（计算数学专业论文）stokes问题间断有限元方法的后验误差估计.pdf

摘要 r m da n d | n 1 1 在1 9 7 3 年第一次用间断有限元方法处理了中子 输运方程，从那以后，间断有限元方法被用来处理各种各样的实 际问题方法本身也有了很多的发展和变化。基于后验误差估 计的自适应方法是现在普遍的为获得更精确的偏微分方程数值 解的一种有效手段。这种估计以估计器的形式给出了数值解全 局或局部的逼近效果。在本文中，我们对九十年代后期发展起 来的局部间断有限元方法进行回顾，描述了如何用该方法处理 不可压流体问题。在此基础上，我们给出本文的主要结果一基 于a u l ) i n n i t c h e 技巧的驴范数的后验误差估计和基于区域分裂方 法的能量范数的后验误差估计。 关键字：间断有限元方法，s t o k e s 问题，后验误差估计 a b s t r a c t t l l e矗ls c( 1 i s c o n t i n l l o u sg a l e r k i l l6 1 1 l t ce l c l n e i l cn l e c h o d w a si n t r o ( 1 u c e ( 1i 1 11 9 7 3b yr e e da 1 1 d h i l l f o rs o l v i n gn e u t r o l l t r a n s p o r te q u a t i o n s ，s i n c et h e nt h e r eh a sb e e ng r e a td e v e l o p m e n t o fd i s c o r l t i n u o u sg 出e r k i i lm e t h o d sf o rv a r i o u sp r o b l e i na d a p t i v e t e c h n i q u e sb a s e do np o s t e r i or ie r r o re s t i n l a t eh a v eb e c o i n ea c o m l n o np r o c e d u r ef o ro b t a i n i n gn l o r ea c c u r a t en u l n e r i c a lb o h l t i o n o fp a r t i a id i f f e r e n t i a le q l l a t i o n s t h e s ep r o c e d u lcu s ei n d i c a t o ist o a s s e s st h eq u a l l t yo ft h ea p p r o x i m a t i o n9 1 0 b a l l ya n d o r1 0 c a l l y i n t h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d w h i c hp r o p o s e di nt h el a t en i n e t i e sf o rt i m e _ d e p e n d e l l tc o n v e c t i o n d i f f h s i o np r o b l e m ，a n dp r e s e n th o wt ou s et h i sm e t h o dt os o l 、，e i n c o m p r e s s i b l em l i dp r o b l e mt h et h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r d o s t e r i o r ie r r o l e s t i l n a t eo fl 2 一n o r n lb a s e do ns t a n ( 1 a r ( 1d l l a l i t v a r g u n l e n ta n ( 1p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t eo fe n e r g yn o r mb a s e do n t e c h n i q u e so f ( 1 0 1 1 l a i l l ( 1 e c o m p o s i t i o nw e r eg i v e n k e y w o r d s ： d i s c o l l t i n o l l sg a l e r k i nn l e t h o ( i ，s t o k e sp r o b l e l n 1 ) o s t e r i o “e ilo 】 e s t l l n a t e s y9 6 8 5 0 3 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务：学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：渤g 啼唱 1 一，6 年s 月；o 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 内部5 年( 展长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最k1 0 年，可少于l o 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，吲少丁2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：挑啼- 8 ”1 年s 月；d 日 1i n t r o d u c t i o n i nt h i si ) a d e r 、w ed r e s e n ti ) o s t c r i o iler 1 1 ( ) rc s t i l l l a t e so f 幽el o c a l ( 1 l s c o n t l l l i l o l l s g a l e r k i nm e t h o df a b b r l d gl i l e t l l o ( 1 ) f o rt 1 1 es t o k e sp r o b l e n lb e f o r es t a r t i n g t h ema i l li d e ao ft h i sp a p e r ，w eg i v es o l en a v o r so f 七h eu ) gn l e t h o dw h i c hw a s i n t r o d u c e db vc o c k b u r n & s h l l i n 【2 2 l ，t h e y 矗r s tp r e s e n t e dt h em a i ni d e a o fth i sm e t l l o da n da n a l v s i so ft 1 i s e t l l o df o rt i m e - d e p e n d e n tc o n v e c t i o n d i m l s i o nd r o b l e m s ，w h i c hc a nb es e e na st 1 1 ee x t e n s i o no fb a s s ia n dr e b a y s m e t h o df o rc o m p r e s s i b l en a v i e r s t o k e se 啡l 龇i o n si n1 5 l t h e r ea r et 、v om a i nc h a r a c t e r i s t i c so fl d gm c t h o dt h e6 r s ti st h a tt h e y c a ne a s i l yh a n d l ec o n l p l i c a t e dg e o l l l e t r i e sp r o b l e n la n de l e m e n t so fv a r i o u s s h a p e sw i t hh a 肌g i n gn o d e s ；a l s o ，d “k r e r l tt y p c so fl o c a 【s p a c e sc a nb eu s e do n d i 行色r e n te l e m e n t ；t h e s ep r o p e r t i e sr e n d e rt h el d gl u e t h o di sh i g h l yp a r a l l e l i z a b l ea n di d e a l l ys u i t e df o r p a d a p t i v i t yt l l es e c o n do n ei st h a tt h e i rc a r e f u l l y d e v i s e dn u m e r i c “n u xi n h e r i t e df l o md gi n e 妇o df o rn o n l i n e a rc o n v e r s a 七i o n l a w s s e et h es e r i e sw d r kb yc o c k b l l r na n dc o a l l t h o r s1 2 0 ，1 9 ，1 3 ，1 1 ，2 l l ，w h i c h s a t i s f yc e l le n t r o p yi n e q i l a l i 七yw i t h o u ts l o p cl i l l l j t e r s ( s e ej i a n ga n ds h u 2 4 】) ， s ot h e yc a nw o r kv e r yw e l lf o r1 ) r 0 1 ) l e m sw h i c hp r o d u c es h o c k s ，s t e 印g r a d i e n t a n ( 1b o u n d a r yl a y e r s ，t h e s ep r o p e r t i e sl n a k et l l i s1 1 1 e t l l o dh i g h l ya p p r e c i a t e ( 1 1 ) 、r1 ) l - a c i j c i o i l e r so fc f dah l lhc o 】i l | ) 1 e l c ( 、o i l mo f ( 1 c 、，c l o p l l l e l l to fd gc a l l b ef o u l l di 1 1 【1 7 卜 t j l el d gm e t h o df o r1 ) l m c l ye l l i i ) t i cp r 0 1 ) h n s 、a sp r o 【) o s e dr e c e n t l ) ra 1 1 f l p r 】o r le r r o ra n a l y s l s 7 a s1 ) r e s e n l e d1 1 1 【u j ；s u p c r c o n v o r g e n c ep r o p e r t y 0 1 1u a r c e s i a ng r i dw a sp r o v e di 1 1f 1 4 1 ，a n ( 1j nf 2 铷 | 1sh p f 、e r s i o l lw a sa l l a l y z e d i n1 1 8 j c h el d cm e t h o dw a s1 1 s e df o rs t o k e sp r o b l e i na n dm a i nd i f 矗c u l t yo fd e a l i n g w i t hi n c o m p r e s s i b i l i t yc o n d m o l l0 1 1t h e 、r e l o c i t y 、a ss o l v e d i tw a ss h o w nt 1 1 a t t 1 1 eo p t i m a lo r d e re s t i m a t e sa r eo b t a i l l e dw 1 1 e i lp 0 1 y 1 1 0 m ia l so fd e g r e eka r e l l s e df o re a c hc o m p o n e n to ft h ev e l o c i t ya 1 1 dp o l y l l o m i a l so fd e g r e e 七一1f o r 1 ) r e s s u r ef 惫 1 ) t h e s eo p “l u a lo r d e r so fc 0 1 l v e r g e l l c er e m a i ni n v a r i a n ti f t h ep r e s s u r ei sa p p r o x i m a t e db yp 0 1 y n o m i a l so fd e g r e e 七，a n di nt h i sc a s et h e r n e t h o di sm o r ee 币c i e n t i l 】f 1 5 1a n d 1 2 1 ，t h el d gm e t h o df o r0 s e e ne q u a t i o n sa n dn a v i e r ，s t o k e se m l a n o l l sw e r ei n t r o d l l c e ( a r l da n a l y z e ds e ea l s o 1 6 f o r 七h er e v i e wo fl d gm e t l l o df o r1 l n e a r i z e di n c o n l l ) r e s s i b l en u l df l o w t h el d gm e t h o di si nf a c tas t a b i l i z e di n i x e dm e t h o dw h o s es t a b i l i z a t i o n i sa c h i e v e db yt h ei u m p so ft l l ea p p r o x i l u a t es o l l l t i o i la c r o s st h ee l e m e n tb o u n ( 1 一 a r vi t i si n t e r e s t i n gt oc o m p a lel d gn l e t h o dw i t l li n t e r i o rp e n a l t ym e t h o d ( a b b ri pm e t h o d l ，a n do t h e rd gm e t h o d si 1 1 t r o d u c e db yd i 矗b r e n ta u t h o r s i ni l l ，a r n o l de 以u n i f y i n gt h e o r e c i c a lf r a i n e w o r kt ot h ei pm e t h o d ，t h el d g i n e t h o da n do t h e rd gm e t l l o d sf o rc h ee l l i p “ci ) r o b l e m f o rs t o k e sp r o b l e m ， b a k e re o f1 4 is h o wh o wt oe n f o r c et h ei n c o m i ) r e s s i b i l i t yc o n d i t i o np i e c e w i s e i n s i d ee a c he l e m e n ta 1 1 do b t a i nt h eo p t i m a le i r o re s t i l n a t e s 、t h e nk a r a k a s h i a n & k a t s a o u n i s1 2 7 1e x t e n dt h l sr e 吼1 1 tt oi n c o m p r e s s i b l en a v i e 卜s t o k e se 小l a t i o l l s h o w e v e r ，l l n l i k et 1 1 ei pi l l e t l l o di n 4 1a n ( 1f 2 7 1 ，t h el d g1 1 1 e t l l o d1 1 0 t 1 o n l yu s ed i s c o n “n l l o u sv e l o c i t ya 1 ) p r o x i i l l a t i o nb l l ta l s od i s c o n t i n u o u sp r e s 吼l r e a p p r o x i m a t i o na n dt r yt oi 1 1 l i ) o s et h ei n c o n l p r e s s i b i l i c yc o n d i “o n 、v e a k l y as t u d yo fc o n d i t i o nn u i i l b e io ft h es “m l e s sr n a c r i xa n dac o l l l d u t a t i o l l a l c o n l p a r i s o no ft h ei n a i nd g1 n e t h o d sf o re l l i p t i cp r o b i e n lw e r eg i v e l li n 7 1 i n 2 3 1a j l d 2 6 1 l u l t i 一1 e v e lp r e c o n d i t i o n e r sf o rd gm e t h o d sw e r ed e “v e da 1 1 d a n a l y z e df o re l l i p t i ca n dc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b i e m s ，r e s p e c t i v e l 矿 a d a p “v et e c h n i q u e sb a 5 e do np o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t eh a v eb e c o m ea c o m m o np r o c e d u r ef o ro b t a i n i n gm o r ea c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r “a l d i f f b r e n t i a le q u a t i o n st h e s ep r o c e d u r eu s ei n d i c a t o r st oa s s e s st h eq u a l i t yo f t h ea p p r o x i m a t i o ng l o b a 】l ya n d o rl o c a l l y t 1 1 ec e l l sw i t hh i g hi n d i c a t o rv a l u e a r er e f i n e da n dt h ep r o c e s si sr e p e a t e dl l n “lt h ed e s i r e da c c u r a c vi sa c h i e v e d t h ea i mo ft h i sp a p e ri st op r e s e n tp o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e si nl 2 一n o r ma n d e n e r g yn o r mo ft h el i ) gm e t h o df o rs t o k e sp r o b l e mf b ra ni n t r o d u c t i o n t ot h es u b j e c to fp o s t e r i o r ie r r o re s “m a t e ，s e et h em o n o g r a p ho fa i n s w o r t h & o d e n1 2 | ；a n df o ram o r et h e o r e t i c a la n a l y s i s ，s e e 七h er e c e n t b o o ko fb a b u 1 ( a s t r o b o u l i s 【6 i nt h i sp a p e r ，w ea p p l yt h es t a n d a r dd u a l i t ya r g u m e n tt od e r i v e p o s t e r i o r ie r r o re s “m a t eo fl 2 - 1 1 0 l i n ，t h e nt h eu p p e rb o u n do fl 2 一n o r mo fe r r o r i so b t a i n e db yu s i n ge x p l j c i tc o m p u t a t i o n so fl o c a lr e s i d u a l s b e c k e e to ff 3 1 a n dr i v 论r e & w h e e l e rf 3 0 1h a eb e e l lu s e dt h es i m i l a rt e c h n i q u e st od e r i v e 1 ) o s t e r i o “e r i o re s t i m a t eo fl 2 一1 1 0 lmf o ro t l l e l d gm e t h o d s i nf 8 1 ，c a s c i l l o i ) r e s e n tau p p e rb o u n do ft h ep “i n a l 、r a r i a b l ef r o n le x p l i c i tc o r n d u t a t i o n so f 】o c a ir e s i d u a l sf b rt l l e1 i n e l re 1 1 i p t 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u r e di nt h ef a c tt h a tt h ec l a s s i c a li n f - s u pc o n d i t i o nc a nb er e p l a c e b ya 、v e a k e rc o n d i t i o nt h a tt a k e si n t oa c c o u n tt h es t a b i l i z i n ge 任b c t so fb i l i n e a r f o r mc h ，s u c hr e s u l ts t a t ea s p r o p o s i t i o n3 2 三e t66 e9 t 可e 礼i 扎偿彳j ，t e 礼，0 ro 扎可p d s i t i ep o m ，n e t e r6 ， e 他e z i s t 廿op d s i i u ec o 佗s t o 佗拈，y 1o 竹d ，地，s 让c 允t n t ( 36 1 。黑粼圳洲。一例咖疙vq q 0 ) r e m a r k3 1 肌s d u f dp o i 僦。让砌t 拈r e s 札此肋2 出厂d re q 札o o r d e re 肛 m e n 7 流ep r d 0 ，0 ，地话尸r d p d s 讹o nc n 礼6 e ，0 “删概口甜 f r o ma b o v er e s u l tw eh l v et h a t ( 3 7 )4 ( u ，p ；v ，q ) g ( u ，p ) | l | | j ( v ，q ) | | j ，v ( u ，p ) ，( v ，口) v ( 九) q ， a n dc o e r c i v i t yo fa ( 3 8 )1 4 ( u ，p ；u ，p ) e | | l ( u ，p ) | | 1 2 ，v ( u ，p ) v q 4a p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t ei nl 2 一n o r m i nt 1 1 i ss e c t i o i l ，w ep r e s e n tp o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t ei n 驴一n o r mw h i c hi s d e 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