（计算数学专业论文）bezier曲面的hermite方法.pdf

摘要 本文基于k i r o v 定理，利用 k ：n i l 沁方法，研究带有附加导数条件的 b e z i e r 曲( 线) 面。通过对h e r m 沁争b e z i e r 曲( 线) 面的研究，发现这种曲 ( 线) 面具有一般b e z i e r 曲( 线) 面所具有的除凸包性以外的一切良好性 质，而且在曲( 线) 面修改、光滑拼按时，能体现出它的极大优势。 现有的c 觥舢订系统中的曲面造型方法建立在传统的c a 6 d 纯数学 理论的基础之上，借借助控制顶点和控制曲线来定义曲面，具有调整曲面 局部形状的功能。但这种灵活性也给形状设计带来许多不便：典型的设计 要求既是定量的又是定性的，如“逼近一组散乱点且插值于一条截面线的 整体光顺又美光的曲面”。这种要求对曲面的整体和局部都具有约束，现有 曲面生成方式难以满足这种要求。设计者在修改曲面时，往往要求面向形 状的修改。通过间接的调整顶点、权因子和节点矢量进行形状修改既繁琐、 耗时又不直观，难以既定性又定量地修改曲面的形状。局部调整控制顶点 难以保持曲面的整体特性，如凸性或光顺性。 该方法可以在每个型值点再给出导数条件；在曲线、曲面修改时，我 们只需对其控制矢量( 也就是之前给出的每个型值点给出的导数条件) 进 行调整，便能达到所需要求，因此与通常的b e z i e r 曲面拟合相比，不但有 更多的自由度，而且更直观，特别需要高阶连续拼接时，要涉及到大量控 制顶点的修改时，更能减少计算量，且其拟合曲面的次数仅比b e z i e r 曲面 高一次。这一方法有助于c a ( 领域的工程人员采用b e z i e r 方法达到控制 所设计曲面形状的目的。 关键词：h e m i t e - b e z i c r 方法；k i m v 定理；b e z i e r 曲( 线) 面；曲面拟合：计 算机辅助几何设计。 a b s t 憎c t ac i 勰so fh e m i t e - b e z i e r 触i i i g 鲫曦啪诵t hc o n d “i o no ft 锄g c n t v e c t o 娼i ss t u d i e di nt h i sp a p 既1 km 甜m di sb a s e d 伽t h ek i m v a p p r o x i m a t i o nt h e o 删n w r cc 觚f i n dt h a tt t i i sc l l c ( s i l r f - a c e ) p o s s e s s e sa n m ep o s i t i v ep r o p e f t i e se x c l u d ec o n v c xh u l l nc 觚a i s os h o wh u g e a ( i v a n t a g e s i i lm o d i 蛐ga n ds m 0 0 m j o i i l m g t h ee x i s t i n gc a d c a ms y s t e mm e m o d so fs u 而鹏m o d e l i n gb a s e d 0 n 缸丽i t i o m lc a g dp u r e 啪t h e m a t i c l e o r yd e 缸e ss 硎知et h f o u 曲 c o n a lc l i r v c 粕dc o n t m lp o i n t 、痂ha 向n c t i o n0 fa 由i l s t i n gl o c a ls h 印e h o w c v m i sn e x i b i l i 哆b r i n g sag r c a td e a lo fi n c o n v e n i e n c et os h 印e d e s i g nf o r 呻i c a ld e m 孤do fd c s i 弘i sn o to n i yq u a l i 戗i v c b u ta l s o q 岫舳h a t i v e ，s u c ha sa 鸢o b a l 湖o o t t i 锄df 缸s u r f a c e 印p r o x i m a t i l l ga g r 0 1 巾o fs c a t t e r c dp o i n t s a n di n t e r p o l 撕n gas e c t i o nc u r v et h e c o n s 仃a i n 如f o rb o t hg l o b e 卸dl o c a l 娜f a c ei sr e q u 她d b u tt h ec x i s t 证g 驯耐b c o n s 劬炳n gm 如o dc a nh a r d i ym e e tm er e q u i 舢t s w h e n 删嘣i 母i n gm es u r f a c e ，t i l ed e s i 弘e r i so 船na s k e di n s h 籼r i 舶t c d t h r 翻l g hi l l d i r c c t l y 枷l i s t i n gv e r t i c e s ，w e i g h tf h c t o ra n d h tv e c t o rt 0m o d i 母t h es h a p ei sf i i s s y ，t i m e c o n s u m i i l g 趾dn o t i m u i t i o n i s t 孤di ti sd i f 珏c u nt o 啪d i 母t l l es h a p eq u a l i t a t i v e l ya n d 删i t ；撕v e i y 1 0 c a l i ya 哇i 璐tc o n 仃o lp o i n t 啪l i a r m yr e t a i nt h eg l o b a l m 扛a “ss u c ha sc o n v e ) 【i 够o rs m o o 1 n e s s t h i sm e t h o dc a i ls u p p l yt h ec o n d i t i o no ft 卸g e n tv e c t o r sf o re a c h c o n t r o lp o i n t s ，、v h e nc u r v ea n ds u 由c ea r em o d i f i e d ，w e0 1 1 l yn e e dt o a d j u s tt h ec o n 旬r o lv e c t o rt h a ti sm ec o n d i t i o nj u s tn o 、砧t os a n s 矽t l l e r e q i l i r c m e n t s o ，c o m p a r e dt ot h eg e n e r a lb e z i e rc u r v e - f i n i n g ，i tp o s s e s s e sm o r e d e g r e e so ff r e e d o ma n dm u c hi n t u i t i v i s me s p e c i a l l yw h e nt h eh i g h t i m e c o n t i n u i t yw h i c hr e f b r st om o d i f i c a t i o nt oag r e a td e a lo fc o n t r o lv e r t i c e s i sn e e d e d ，c o m p u t i n gi sd e c r e a s e dr e m a r k a b l y w h i l em ed e g r e eo ft h e f i t t e ds u r f a c ei sj u s to n et i m eh i g h e rt h a nt h a to fb e z i e rs u r f i c e t h i s m e m o dh e l pt h ee n 百n e e ri nc a g da r e a st oi n 仃o d u c eb e z i e rs c h e m et o c o n 仃o lm es h 印eo fm es 晌c e k e y w o r d s ：h e m i t e b e z i e rs c h e m e ，k i m vm e o r e m ，b e z i e “c u e ) s u r f a c e ， s u r f a c e 币仕i n g ，c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i 印 b b z i 盯曲面的h 曲面t e 方法 第一章绪论 1 1 自由曲线曲面造型技术综述 曲面造型是计算机图形学和计算机辅助几何设计( e 锄p 婀d e d g e o m e 眦d 嚣i 鲫的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对 曲面的表示、设计、显示和分析。它发源于飞机、船舶的外形放样工艺， 由c o o i l s 1 】闭、b e z i e r 【3 】【4 1 【5 1 等大师于六十年代奠定理论基础。经三十多年发 展，现在它已经形成了以b e z i c r 和b 样条方法为代表的参数化特征设计和 隐式代数曲面表示这两类方法为主体，以插值( i n t e 叩o l a t i o n ) 、拟合 ( f i 仕i n g ) 、逼近( a p p m x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几何理论体系。从研究 领域来看，曲面造型技术已从传统的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接， 扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差。传统的曲 面模型，仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状，至多利用层 次细化模型在曲面特定点进行直接操作：一些简单的基于参数曲线的曲面 设计方法，如扫掠法( s 、e 印i n g ) 、蒙皮法( s k i n n i n g ) 、旋转法和拉伸法，也仅 允许调整生成曲线来改变曲丽形状。 现在比较流行的一些曲面造型和修改方浏6 】【7 】【8 】： ( 1 ) 基于物理模型的曲面造型方法 1 9 8 7 年加拿大学者t c 忆o u l o s 等率先提出了活动轮廓造型技术【9 】受到 了国际上众多学者的重视。w i l l i 锄s 以虚拟弹性薄板总能量作为能量泛函用 有限插分法构造光顺曲面。c e l n i k e r 和g o s s a r d 提出了基于能量的自由曲 硕士学位论文 面设计方法( 1 0 】。m o r e t o n 和s e q i n 提出了设计光顺曲面的函数优化方法。 他们首先建立使用曲面插值给定点、法矢和曲率的几何约束方程，然后再 利用非线性优化技术使反映曲面形状的光顺函数最小。使用这种技术，可 以较好地将形状约束和几何约束结合在一起，克服传统上的不足。该方法 可以产生高质量的曲面，但其计算耗费较大。w 如h 和w i t k i n 提出了变分 曲面设计方法 1 2 1 。这种方法也是从设计的角度出发，将整张曲面看作是一 张有弹性的曲面，可以用曲面上任意一些点或曲线控制其形状，或者要求 曲面在一些关键点插值于给定的法矢或高斯曲率。同时，要求曲面满足设 计者的定性要求，如形状光顺而美光等。根据这些要求建立优化的约束方 程，然后用数值方法求解得到所要求的曲面。所采用的能量泛函c e l n j k e r 和 g o s s 盯d 的工作类似，但在曲面表达上作了改变：采用了f o r s e y 和b a n c l s 的分层b 样条曲面1 3 1 表达形式以提高局部控制能力，但使用起来仍不方便。 1 9 9 4 年，t e r z o p o u l o s 等在n 【瓜b s 曲面的定义中增加了一个时间变量， 又提出了基于能量模型的动态n i 瓜b s ( dn 【瓜b s ) 曲面【1 4 1 。t e r z o p o l l l o s 的基本思想是根据l a g r a n g e 动力方程建立一个偏微分方程，按照曲面的变 形要求施加一个外力，以给定偏微分方程的边界条件建立曲面的几何边界 约束，通过方程中表示形状变化的能量函数的内部参数来反映曲面的物理 属性，最后由数值计算方法得到这张曲面离散或精确形式的解。 这些方法具有如下特点： 曲面形状的改变服从物理准则，通过计算仿真可以动态地显示模型 在某个外力作用下的变形； 在给定的约束条件下，这种动态模型的平衡状态具有势能最小的特 b e z i c f 曲面的h 咖岫方法 点，可以建立满足局部或整体设计要求的势能函数和规定与形状设计有关 的几何约束； 能量模型建立在传统的标准纯几何模型的基础上。这意味着尽管交 互或自动的形状设计可以在基于能量模型的物理层进行，但在几何层上仍 然可以调用现在的几何操作库。 基于物理模型的曲面造型方法在具体实施上有以下三种不同的方式： 力学原理的选择：在不考虑时间因素时，可用梁或板的平衡方程或相应 能量泛函的变分原理来建立曲线、曲面的控制方程。当考虑时问因素时， 则用l 柚g r a n g e 方程建立运动方程作为曲线、曲面的控制方程。 能量泛函的选择：i ) 由曲线、曲面的第一和第二基本形式构造；i i ) 由 曲面主曲率平方和或主曲率变化率的平方和的积分构造；i i i ) 由曲面的一阶 和二阶偏导数的加权平方和构造。前两种方法完全从几何概念出发，他们 是曲面物理坐标的非线性函数，计算耗费较大。 曲线、曲面的表达方式：可采用各种不同的曲面表达形式。因m r b s 曲面符合s t e p 标准，是各种c a d c 剐系统广泛采用的曲线、曲面的几 何表达形式，故具有重要的意义。但由于权因子的存在，其控制方程是非 线性的，降低了计算效率。对权因子取值范围的约束也存在一定的问题。 尽管t c r z o p o u l o s 提出并研究了瓜b s 表达式的变形曲面，但在实际应用 中，一般仍取权因子为1 ，即从m 瓜b s 简化为非有理b 样条。 基于物理模型的变形曲线、曲面造型研究已经取得了巨大的成就，但还 有许多问题需要解决，其中包括：计算效率问题，采用有限元方法限制了 交互速度的提高；交互控制问题，如何交互地选择物理参数仍有待研究； 硕士学位论文 能量泛函的选择，如何在提高计算效率和保证曲面质量之间的平衡。 ( 2 ) 基于偏微分方程( p i ) e ) 的曲面造型方法 p d e 曲面使用一组椭圆偏微分方程产生曲面，由l e e d s 天孚明b l o o r 等 人于8 0 年代末将之引入c a g d 领域“5 m 刚“。其思想起源于将过渡面的构造问 题看作一偏微分方程的边值问题，而后发现使用该方法可以方便地构造大 量实际问题中的曲面形体。他们探索了p d e 方法在构造过渡面、自由曲面 及n 边域中的应用。l o 、v e ，d e k a n s h i 同时也探索了这种方法在功能曲面设 计中的应用“町“刚啪1 。船体、飞机外形、螺旋浆叶片等外形都可由p d e 方法构 造啪1 胁1 2 “。 p i ) e 曲面的形状由边界条件和所选择的片微分方程确定。该方法具有 以下特点： 构造过渡面简单易行，只需给出过渡线并计算过渡线处的跨界导 矢； 所得曲面自然光顺。曲面由曲面参数的超越函数，而不是简单的多 项式； 确定一张曲面只需少量的参数，并且对设计者的数学背景要求较 少：用户只需给出边界曲线和跨界导矢即可产生一张光顺的曲面。因此， 用户的输入工作量较小； 可通过修改边界曲线和跨界导矢即方程中的一个物理参数来调整曲 面形状： 便于功能曲面的设计。功能曲面设计最终归结为一些泛函的极值问 题，这些泛函的自变量是形状参数，形状参数的多少直接关系到求泛函极 b e z i c r 曲面的h c m 岫方法 值问题时计算量的大小。p d e 曲面形状完全由边界条件确定，所需形状参 量较少，从而可以降低计算耗费。 p d e 方法是一种新型的曲面造型技术，该方法仅是一种曲面设计技术， 而不是一种曲面的表达方式。 ( 3 ) 流曲线曲面造型 在c a d 领域，许多曲线曲面的设计涉及到运动物体的外型设计，如汽 车、飞机、船舶等。这些物体在空气、水流等流体中相对运动。由于流体 对运动物体产生阻力，运动物体的外型设计将变得十分重要。运动物体外 型的光滑与否将直接影响其运动性能。人们常常希望所设计的运动物体的 外型具有“流线型”，因为具有“流线型”外型的运动物体不仅外观漂亮 宜人，而且能极大地减少前进过程中流体对物体的阻力。 针对这些运动物体的外型设计，一种以流体力学为背景的流曲线曲面的 造型方法被提出。由流体力学理论可知，流曲线曲面上任一点的切线与该 点的水流或气流的流动矢量方向吻合，因此，用流曲线曲面设计的外型具 有良好的物理性能，同时外型也十分美观。该方法的思想以流体力学中的 平面定常理想不可压缩无旋动为力学背景，将流体力学中流函数的概念引 人到c a d 中，从而建立流曲线曲面的数学模型。 该方法的研究刚刚起步，造型方法的理论和流函数的建立尚不完善，故 目前也处于探索阶段，其基本理论、数学模型和一些相关算法还有待进一 步研。 另外，其他方法还有：散乱点的曲线曲面的造型方法。3 儿2 “、基于变分原 理的造型技术乜副乜、小波曲线曲面的造型方法乜7 1 等。 i 硕士学位论文 1 2 本文的主要研究内容 本支中我们将讨论一种新的曲线曲面造型与修改方法：h e 姗i t e b e z i e r 曲线曲面。传统的b e z i e r 曲线曲面在计算机辅助设计中占有重要地位，它 有很多良好性质，并易于控制，因此人们进一步建立了b e z i e r 方法，并用于解 决工程问题。但是在使用b e z i e r 方法时，首先给定控制点，曲线通过首末两 个端点，分别与多边形首末两个边相切，这种做法受限制较多，不方便改变曲 线曲面形状。然而，在实际工程问题中，为了控制曲线的整体或局部形状， 有时会增加约束，这时通常的手段是不得不分片特殊处理。现有几种来修 改曲线曲面形状的常见方法：一种是可以通过给定切线条件【2 引，对曲线进行 修改。也可以给定切线多边形并修改切点参数口9 1 来控制曲线形状。此外还 有一些对曲面改进的方法：如根据节点处三阶不连续性的近似局部光顺准 则，选择曲面待光顺的节点：然后利用约束的最小二乘逼近法修改相应的 局部控制顶点网，从而降低曲面局部的三阶不连续性，使局部形状得到改 进3 们。通过调整控制顶点的权因子来修改曲线曲面形状 3 1 | 。这些方法在计 算上较为复杂。这里，我们将h e 咖i t e 方法在曲线上的研究作进一步探讨， 并拓展到曲面，给控制网格中的各控制点附加导数条件，由此通过用户给 定端点切向量来改变曲面形状，以达到所需要求，从而可以较为简便地对 曲面进行控制而无需对控制点进行改动。 b 商目曲面的 i 锄沁方法 第二章h e n n i t e b e z i e f 曲线 2 1h e n i l i t e b e z i e r 曲线定义 硒r o v g h 【3 2 1 推广了b e n l s t e i i l 多项式，得出如下定理： 令，：【o ，l 】哼r ，q 对任意给定正整数n ，定义 ，= 薹砉铋一睁”圹 = 砉砉护务z 一争( 功 ( 2 1 ) 其中( ： 2 志以嗣= ( 加h 广当n j 砒在 0 ，抠问上，多 项式序列鼠，；砷一致收敛于厂( 砷 当，= o 时，吼，u ；x ) = ，溅，。( x ) 就是b e n l s t e i l l 多项式。 t = 0 ，i 将k 的v 定理应用于参数曲线，可以定义如下参数曲线： & ，( 最，号，只；f ) = 善只& t ( f ) + 善丘。一& t ( f ) f 【o ，1 】 ( 2 2 ) t = nn，t 这里的丘表示咒的控制失量。曲线使用控制顶点处的控制矢量定义，因 此称之为 i 盯m i t e b e z i e r 曲线。文【2 嘲对此类曲线进行了研究，并证明了此曲 线保留b e z i e r 曲线的诸多性质，并可以通过改变切线条件调整曲线形状。 2 2 蛔瑚i t e b e z i e r 曲线性质： 2 2 1 端点性质 曲线端点位置矢量 硕士学位论文 由b 咖s t e i n 基函数的端点性质可以推得，当卢0 时，p ( 0 ) 矾；当卢1 时，p ( 1 ) = 只。由此可见，h e 姗i t e b e z i e r 曲线的起点、终点与相应的特征多 边形的起点、终点重合。 切矢量 设各顶点对应参数r = 三，f - o ，1 ，2 即，由于 开 占：俐= ( b 刀( r ) ) + ( 或( r - 口( ，) ) = 主只一【口。卜l ( r ) 一口。 以) 】+ 兰或川) + 芝鼻( f 一鲁) n 【巩 。( r ) 一巩l 羽) 】 = n b 【口卜l ( f ) 一b ， ( r ) 】+ 或【( 1 一f n f + 】i ) b 。t ( r ) + ( h m 一七徊 l ( r ) 】 = 【n ( 只一只一) + ( 女一f 一”f ) ( 只一一只) 】曰。，。( f ) 于是 蹦扣薹只吨1 ) + ( 七一砉- f ) ( 或r 鲫“( ( 2 3 ) 特别，将瑚，门分别代入上述表达式，则求得端点处的切向量： 占：。( o ) = 刀( p ，一p 。) + 声。一声 曰：( 1 ) = n ( 只一，。) + 只一只 2 2 2 二阶导矢 为了计算丑( 岛，b ，只，；f ) 在端点的曲率，我们需要演算二阶导数： 8 b e z i 盯曲面的h 部m i t c 方法 联。o ) = 【”( 咒一只一) + ( | 一f 一，i f x 毒。一丘) 】( 一1 ) 【鼠一：，。：( f ) 一哦一：。一，( f ) 】 = 1 + ( 1 + 呻幔一定。) 靠一。( f ) t = 】 = 【以( 只一最一。) + ( j 】 一f 一删) ( 戽。一丘) 】加一1 ) 【峨。( f ) 一吃。( f ) 】 ( 2 4 ) = t + ( 1 + 功以一璧。) 【( 1 一哆取。卜，( f ) + 哦 。( 咖 t = i = 【打研一1 ) 2 丑+ 2 ，+ 删+ ( 1 一彬芦2 卑+ 2 ( 毒一一是：) 1 砖_ 2 ，。( ，) 特别端点处有 曰量。( o ) = 一( 以一1 ) 2 p 2 2 门2 息+ 2 曩 日：1 ( 1 ) = 挖( n 一1 ) 2 只+ 2 九2 只+ 2 只一： 其中为向前差分算符。 2 2 3 对称性 由控制顶点只+ = 只。( f = o ，l ，胛) ，构造出新的h e m i t e b e z i e r 曲线，与原 h e n i l i t e b e z i e r 曲线形状相同，走向相反。因为： 坑心) = 耋e 最“f ) + 耋丘( f 一玩必) =拓0t = 0 砉o t 鼠肿( 卜f ) + 骞丘l - 卜专笋) & 一( 1 - f ) = ( 2 - 5 ) = 0t = 0 毫。& 。( 1 一f ) + 砉e 鲁一f ) & 。( 1 一，)i = 0 = 0 ， 这个性质说明h e n n i t e b e z i e r 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处 也有相同的性质。 2 2 4 几何不变性 几何不变性是指曲线的某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 h 咖i t e b 眩i e r 曲线的位置与形状与其特征多边形顶点只( 瑚，l ，鼻) 的位置 有关，它不依赖坐标系的选择，即对于任意的仿射变换爿有： 坚三二翌! 生：1 4 限，( f ) 】= 爿 砉咒或t ( d + 耋怠( f 一最“f ) = ( 2 6 ) l t = 0 = o月 j 荟爿限】& t o ) + 荟爿眨如一& t ( f ) p = 0 i = 0 ，f 即在仿射变换下，曲线的形式不变。 2 2 5h e 砌i t e - b e z i e r 曲线的一些讨论 给出h i 潮i t c b e 西e r 曲线： 鼠儿) 2 砉最且艇) + 薹丘( f 一言) 只觯) =t = 0t = 0 ， 砉最& t 一薹砉丘b ，。+ 耋域e 。( f ) 对前两项利用b e z i e r 升阶公式得到： 最e ，。o ) = 露鼠m ( f ) 月*h 砉告怠最，t ( f ) = 薹砉毒最“。( f ) 其中鞫( 1 一寿最+ 嘉牛- 0 ，袁= 【( 1 一南丘+ 籍柚 第三项实际上就是一个n + l 阶的b e n l s t e i i l 多项式： 薹衄m = 薹筹飒础) 三项之和： 薹并瓴“心，一薹寺氟问+ 薹砜以， 即： 薹等怠w ”薹者瓿( f ) + 薹互朋= 茎砜，“f ) + 薹( 等丘一筝峨，必) 1 0 b e z i 日曲面的h 口沁方法 最后可以写成如下的形式： 曰( ，) ：艺暇+ 牟峨”+ ( r ) ( 2 7 ) 其中芹是由pi = 0 n 定义b e z i e r 曲线曰( ，) = 芝只( r ) 升阶后的控制顶 = 0 点，由此可以看出对h e r i n i t c - b e z i e r 曲线用升阶算法变形后实际上是一个 n + 1 阶的b e z i e r 曲线，只是对其控制顶点进行某种扰动，所以不难看出 h e m i i 协b e z i e f 曲线不具备凸包性( 图2 1 ) 。 图2 1 给定控制矢量后的曲线 从图2 1 中我们可以看出，曲线与直线的交点个数多于直线与控制网格 的交点个数，因此变差缩减性在这里是不成立的。 特别的，当考虑只有矗和只为非零矢量的情况，则有： 烈f ) = 塞最e ，。( f ) + 宾t 邑“f ) + e ( 1 一f ) 鼠，) = 茎互鼠扎羽) + 未了磊最扎。o ) + i 毛庶最“。p ) 此时可以看成原h e m i i e b e z i e r 曲线升阶一次，如下图： 硕士学位论文 图2 2 控制多边形进行升阶 虎和e 的控制矢量的给出实际上就是在升阶后的控制多边形上对碍和 碍进行扰动，如下图： 图2 3 任意给定的控制矢量图2 - 4 当控制矢量和控制网格 边界方向平行 扰动后所形成的新的控制多边形就是我们修改后的h e 衄i t e - b e z i e r 曲 线的控制多边形。 图2 5 新的控制多边形 b e z i 口曲面的 胁加方法 图2 - 6 新的h e r m i t e - b e z i e r 曲线图2 7 新的h e m i t e _ b e 五盯曲线 图2 6 可以看出，修改后的h e 珊血e b e 五e r 曲线在扰动后的控制多边形 凸包内。当控制矢量适当且与边界平行时，曲线形状大致不变，并且位于 原控制多边形的凸包内，这样用户便可以根据所需进行微调，而不致使曲 线大幅度改变( 图2 7 ) 。 2 2 6 几何作图 根据上面推导出的公式，利用b e r s n t e i n 基函数的递推公式容易得出： b ，假，毋，只；f ) 2 荟忍鼠，t ( f ) + 荟怠( f 一告) 吸以) f 【0 ，l 】 p 2 u p = u 芹= 最 j袁= 丘( f 一争 旧( f ) = ( 1 一) 蹈1 ( ) + 畔。( f l 枣( f ) ：( 1 一，庇( f ) + 匆。( f ) 彤( r ) = ( 卜f ) 瑶1 ( ，) + 彤。( ，) + ( 卜f ) 露1 ( f ) + 曰。p ) ( 2 8 ) 由上式直接考虑作图方法既不直观，也不方便。因此考虑特殊情况： 除两个端点外，其余各点处的控制矢量全为零矢量时，在对曲线进行升阶 后的控制多边形上讨论几何作图，如下图： 硕士学位论文 图2 8 几何作图 新的控制多边形顶点是原来控制多边形割角之后在其分割点处加上一 个对应矢量所得到新的控制顶点，从上图可以看出，根本上就是对升阶后 的控制多边形进行割角。 b 画e r 曲面的 妇沁方法 第三章h e 肌i t e b e z i e r 曲面 3 1h e r n l i t e b e z i e r 曲面定义 将h e r m i t e b e z i e r 曲线作张量积推广，得到h e 咖i t e b c z i e r 曲面。给定 曲面控制网格最。，晶气p 肌和一组相应控制向量场( 蟛，巧) ，定义 h 朗【i l i t e b e 商e r 曲面如下： 烈虬v ) 2 薹毫弓巩“) & ) + 薹砉【喵 一告) + 巧( v 一旁】玩，t ) 最 ( 3 - 1 ) t = o ，= ot = o ，= o ， 3 2h e 咖i t e _ b e z i e r 曲面性质 3 2 1 通过四个顶点 很容易看出，胁t e - b e 孟e r 曲面过控制网格的四个顶点，即： 占( o ，o ) = r 。，b ( o ，1 ) = 昂。 觑l ，o ) = 只。，占( 1 ，1 ) = 己 3 2 2 边界线 酬t e - b e z i e r 曲面的四边界是由控制网格四个边界确定的 e 彻i t e b e z i c r 曲线，即： 占( 虬o ) 5 荟最。风t ) + 荟瑞 一云) 瓯t ) = 0t = 0 ” b ( ) 2 荟圪蛾，t ( ) + 荟咒 一吃t 似) 曲 = 0 ” 占( o v ) 2 荟晶- & ，( v ) + 丢喵( v 一争鼠，( v ) 硕士学位论文 b ( 1 ，2 套名e v ) + 砉嘭( v - 争& ) 3 2 3 几何不变性 由于曲面仅依赖于控制点和控制矢量，因而，h e n n i t e b e z i e r 曲面具有 几何不变性。 3 2 4 一阶导数 u 方向控制矢量： v 方向控制矢量： 吃，( o ，o ) 2 肼旧。一圪) + 瑞一日： 吃，( o ，1 ) 2 肼( 岛。一昂。) + 只：一日： 蛾，( 1 ，o ) 2 m ( & 。一只- 1 。) 十已耘一只i t ，o 。( 1 ，1 ) 3 脚( 只，。一己吐。) + 艺一礞。 且，。( o ，o ) = 以b 。一只，。) + 嗡一彤 只，。( o ，1 ) = 船( 只，。一己，。) + 只v 0 一只j 鼠，。( 1 ，o ) = 疗假，。一r ，。一，) + 一磁0 t 色。( 1 ，1 ) = 月( ，_ 。一己。一。) + 只二一j f ：一， 3 2 5 二阶导数 先求u 方向二阶导数： 吃，“( 村，v ) = 【聊( 最。一最山) + ( | 一 一m ) ( 罡。一躞。) 】一1 ) 【战- 2 | 一( ) 一占，卜z 卜一似) 】+ t = 1 ( 1 + 卅) ( 鹾一璀。) 瓯吐。( ”) 1 1 1 6 b 洒日曲面的h 口n 沁方法 = 【m ( ，打一1 ) 2 最，。+ ( 珊2 + m + ( 1 一m ) | i ) 2 噬。+ 2 ( 只：- 。一。) 1 吃一：，t 一：( “) t = 2 对于曲面的四个角点，分别有： 。( o ，o ) = 掰( m 一1 ) ? 只，。一2 m ；噬。+ 2 鼻驽 。( o ，1 ) = 埘( m 1 ) ；b 。一2 ，竹a i 巧。+ 2 ，只： 。( 1 ，o ) = 埘( 肌一1 ) ；只。+ 2 肌；p ：。+ 2 1 e ：_ 2 。 。( 1 ，1 ) = 埘( m 1 ) ；只，。+ 2 m ；墨。+ 2 j 拳：，。 同理，我么可以求得v 方向四个角点的二阶导数分别为： 艮，。( o ，o ) = n ( n 1 ) ：异：一2 h ；蟛：+ 2 a ：蜀 玩，。( o ，1 ) = 胛伽一1 ) ；只：一2 押a ：+ 2 ：最。 吼】。( 1 ，o ) = 押( 一一1 ) ；b 。+ 2 九；磊+ 2 2 磊2 e i 。( 1 ，1 ) = 胛( 一一1 ) ；& 。+ 2 力：最。+ 2 2 ，2 上式中，l ，2 分别为作用于弓下标的向前差分算符。 由h e 珊i t c b c z i e r 曲面附加了一组控制矢量，类似于曲线情形， h e n n i 皓b e z i e r 曲面也不具备凸包性。 硕士学位论文 第四章h e n l l i t e b e z i e r 曲面在曲面造型中的应用 4 1 曲面形状的修改 传统的b e z i e r 曲面仅通过控制网格定义曲面，人们通过对控制网格 的修改达到形状修改的目的。对于h e 彻i t e b e z i e r 曲面，则可通过控制 矢量的修改达到形状修改的目的，但是希望用户给出全部的控制矢量是 不切实际的，也是不必要的。所以通常只需要指定边界处各点的控制矢 量，而将内部的控制矢量指定为零向量，即可很好的控制曲面形状。 咒 图4 1 一般我们给出角点和相邻四个点的控制矢量就能很好地控制曲面 ( 图中箭头为民点的控制矢量) 这里给定角点的切平面：( a ：。，a 品) 熊= 珊哦一气) + 线一碟 熊= 行 一) + 蟛一 则由此可解出： 瑞一碟= 畿一埘嘏。一民) 1 8 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 呈! 至竺些墅塑旦竺芝垄鎏 一- - _ - _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ l _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。一 磁一蟛= 一 ( 只。一) ( 4 4 ) 即只要虎。，磊。，丘。满足上面两式便可使拟合曲面在角鼻处的切向量 为如，如。 拟合时，还可以进一步对角点处的二阶导数作出要求： 如果要求曲面在角点处是凹的，即角点处二阶导数为正- 也即 端= m ( 卅一1 ) 2 一2 肼；昂+ 2 ( 线一只：) o ( 4 5 ) 。4 嚣= 一( 胛一1 ) ；咒：一2 h a ：，甚+ 2 ( 只：一，搿) o ( 4 - 6 ) 联合几式可以求出所需条件。 给出一个图例：一个三次的b e z i e r 曲面，给出四个角点对应的控制向 u 方向：尸。= i ，尸毛= 言 ，p j 。= 三 ，尸+ 。= 三 v 方向：尸。= i ，一。= 三 ，p ：。= 三 ，p j ，= 三 同时其它控制点给定向量全为零向量。根据上面给出的公式，可以求 出相应的控制矢量，拟合出所需曲面。 从下图可以看到曲面形状的变化 硕士学位论文 图a ：b 翻口曲面图b ：附加一阶导数条件的曲面图c ；修改控制矢量使曲面使其位于控制网格 凸包内 ( 图中箭头表示给出的切向量方向) 图4 2h e m d t e - b 商e r 曲面修改实例 从上图可以看出由于给出控制矢量的任意性，以致曲面不具备凸包性， 曲面不在凸包内( 图b ) 。修改角点处的控制向量，使曲面位于凸包内( 图c ) 。 4 2 曲线曲面的拼接 几何设计中，一条b e z i e r 曲线或一片b e z i e r 曲面往往难以描述复杂的形 状。这是由于增加特征多边形或控制网格的顶点数，会引起b e z i e r 曲线曲 面次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般 不超过l o 次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线曲面相互连接起来， 并在接合处保持一定的连续条件。但是在拼接时我们需要调节大量的控制 顶点，既不方便也不直观。这时，h e m i t e - b e z i e f 曲线曲面的一些良好性质 便能体现出来。 4 2 1h e 肋i t e b e 商e r 曲线拼接 通常我们需要约束两段b e z i e r 曲线在连接处附近的控制顶点，使曲线在 边界达到光顺拼接，当需要高阶连续拼接时，要涉及到大量控制顶点的修 改。对h e m i t e b e z i e r 曲面，则可以通过修改相应的控制矢量达到光顺拼接 2 0 b e z i 盯曲面的h e m i t e 方法 的目的。 先考虑曲线的光滑拼接： 给定两段曲线p ( f ) 和q ( f ) ，f 【o ，l 】，使尸( f ) 和q ( d 能达到g 光滑拼接应 满足： 尸( 1 ) 2 譬( o ) ( 4 7 ) l p ( 1 ) = 口q 。( o ) a o 第一式容易满足，切线条件意味着： 呱只一只一，) + 只一只一，2 删( q 】一q 0 ) + 口q o 一岱q l 如果仅需g - 拼接，则我们只要指定端点处的控制矢量。此时有 栉眈一耳。) + 宴= 伽( q i q 0 ) + 口磊，因此我们只需对立和磊进行调整即能达到 g 1 拼接的目的。 一 只 图4 3 修改后在拼接处达到g 1 连续图4 4 修改后在拼接处达到g 2 连续 g 2 连续： 曲线尸( r ) ，q ( r ) ，f 【o ，l 】在连接点处是g ：光滑拼接的充要条件吲【圳是： 硕士学位论文 f只= q 0 尸( 1 ) = a q 。( o ) ( 4 8 ) i 尸。( 1 ) _ 6 叫2 q 。( o ) + 臼 ( o ) 其中瑾 o ，卢是任意常数。 曲率条件意味着： 月( 月一1 ) 2 只一2 n 2 e + 2 ( 曩。一丘一：) = q p 2 一( 一一1 ) 2 q 2 2 一2 龟+ 2 ( 龟一直) 】+ 何月( q l q 0 ) + 磊一磊】 因此为了达到g z 拼接，至少需要指定端点及其邻点处的控制矢量，假定曲 线除端点和邻点处，其它的控制矢量都为零，则有： ”( 只一只。) + 只一只一，= a m ( q l q o ) + a ( q l q ) 【”伽一1 ) 2 只一2 一a 2 寞+ 2 疋。= 掣2 2 磊) + 卢【 ( 蜴一姥) + 巍一磊】 由切线条件和曲率条件可知，只需对e ，只一的控制矢量丘，屯和q 0 ， q 的控制矢量幺，龟做出相应调整即可。如若不满意，则最多只需加入0 ：， q 2 的控制矢量丘幺，便能达到要求。 5 4h e m i t e _ b e z i e r 曲面片的拼接 g o 连续：由h e 珊i t e b e z i e r 曲线的边界插值性质知道，只需要将曲面 在边界处取相同的控制点并且使控制点在v 方向的控制矢量一致便可以达 到g o 连续。 b e z i c r 曲面的h b 方法 图4 5 途中箭头表示给定端点控制矢量 g 1 连续： 有曲面p ，q ，拼接处g 1 连续条件满足g 。连续的条件下，使两曲面沿公 共连接线处处具有公共的切平面，也就是存在函数 似) 肿t ) 满足： g v = 五 ) 成+ ) n ( 4 9 ) 即： 丹慨，一g ，) 雕( ”) 彤。( v ) + t = 0 = o 朋荟善 鳙一鳞，) ( 甜一争+ ( 鳞川一联，) ( v 一争聊 舛。( v ) +t = 0 ，= 0 ， ，线，群( ) 彤( v ) = a ( 甜) 【m ( 最，一只，l 叼。( 越) 掣( v ) + 埘薹毫 ( 最u 一从打一砉) + ( 川一j ) ( v 一争】钟1 ( ”) 占j ( v ) + 埘曩，筇( ”) 巧( v ) 】+ ) 打( 丑。一最，) 影( ”) 彤1 ( v ) + 拧荟再【( 最一鹾从“一+ ( 川一磁，) p 一寺) 】鄙( “) 彤。( v ) +i = 0 ，2 0 ， 卅n 拧磁，钟( ”) 掣( v ) 】 = oj = 0 由上式可以看出，两个在u 方向上拼接的h e 咖i t e b e z i e r 曲面，为了达到 g 1 连续，只需调整两个曲面公共边界上控制点的控制矢量，从而找到合适 的2 似) ， ) 值。如下图，只需调整公共边界上的控制点在v 方向上的控制矢 量，就能达到所需光滑拼接要求。 硕士学位论文 图4 咱曲面拼接 甩( 只。一只，。) + 呓一咒一。3 删( q 1 一瓯) + a 线一a 醮 ，名一气) + 碟一碟2 删哦l 线。) + 口娥。一a 娥。 上式中不难看出，可以通过改变拼接线附近两排控制点的控制矢量而 得到一阶连续。进一步，为保证两曲面在公共等参线处不形成尖棱，取 丑似) o ，另外为满足p 和q 在u 方向上次数不变应把函数丑似) 取为常数， 0 ) 取为线性函数，即 五( 甜) = a ( 4 一l o ) ( “) = ( 1 一”) + ”， ( 4 - 1 1 ) 同曲线拼接时相同，只需给出相应方向控制矢量即可满足等式。 g 2 连续：在g 连续的条件下，再加入与公共边界相邻的两排控制点，调整 其控制矢量，以达到g 2 连续。 f吼= 五( “) 巩+ ( “) 鼠 i g w = 五2 ( ”) p w + 2 五( “) ( “) 见，+ 2