（计算数学专业论文）三带提升滤波器组设计与应用.pdf

摘要 近年来，多速率滤波器组的理论和设计受到广泛的关注。它在通信、图像 编码、语音编码和噪声抑制等领域都有广泛应用。子带码增益表示在相同比特 率情况下子带编码与直接p c m 编码均方失真之比，是衡量滤波器组编码效率的 重要指标。 本文首先讨论三带自适应提升双正交滤波器组的设计方法i 。本文利用三 带提升建立滤波器组的参数结构，设计了一类三带自适应双正交滤波器组。在 设计中，用子带编码增益作为设计的目标函数，从任意一个滤波器组( 正交或 双正交) 开始，然后通过依次优化三对提升滤波器去提高子带编码增益。随后 举例说明，当选择一个合适初始滤波器组时，子带码增益可以得到较大提高。 接着讨论三带自适应提升双正交滤波器组的设计方法i i 。不同于方法i ，在第 二种设计方法中，我们使用了另一个三带提升模式建立滤波器组参数结构。在 这种结构下，依然用子带编码增益作为设计的目标函数，先联合优化前四个提 升滤波器，再优化最后两个提升滤波器组。这种方法可以明显提高子带编码增 益，与方法i 相比，子带编码增益也有所提高。 关键词：双正交滤波器组子带编码增益提升方法有序自适应提升 多速率滤波器组 a b s t r a c t r e c e n t l y , t h e r eh a v eb e e ng r o w i n gi n t e r e s t si nt h et h e o r ya n dt h ed e s i g no fm u l t i r a t e f i l t e rb a n k s i th a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt oc o m m u n i c a t i o n s ，s p e e c ha n di m a g e p r o c e s s i n g ，n o i s er e d u c t i o na sw e l la so t h e rf i e l d s t h es u b b a n dc o d i n gg a i n ( g s b c ) e x p r e s s e st h er a t i oo fi t ss q u a r e d - e r r o rd i s t o r t i o nt o t h a to ft h ep u l s ec o d em o d u l a t i o n ( p c m ) u n d e rag i v e nb i t r a t e i ti s a ni m p o r t a n ti n d e xt oe v a l u a t eaf i l t e r - b a n k s c o d i n g e f f i c i e n c y i n t h i sp a p e r , f i r s t l y , t h ef i r s tm e t h o di ss t u d i e df o rt h ed e s i g no ft h r e e c h a n n e l a d a p t i v eb i o r t h o g o n a lf i l t e rb a n k sv i al i f t i n g i nt h ep a p e lw ee s t a b l i s ht h ep a r a m e t e r s t r u c t u r eo ft h r e e c h a n n e lb i o r t h o g o n a lf i l t e rb a n k sv i al i f t i n g ，a n dd e s i g naf a m i l yo f t h r e e - c h a n n e ls i g n a l a d a p t e df i rb i o r t h o g o n a lf i l t e rb a n k s i nd e s i g n ，t h es u b b a n d c o d i n gg a i n sa r et a k e na st h eo b j e c t i v ef u n c t i o n st oo p t i m i z e s t a r t i n gf r o ma na r b i t r a r y f i ro r h o g o n a lo rb i o r t h o g o n a lf i l t e rb a n k ，t h r e ep a i r so fl i f t i n gf i l t e r sa r eo p t i m i z e di n t u r nt oi m p r o v es u b b a n dc o d i n gg a i n s e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h es u b b a n d c o d i n g g a i n sc a nb ei m p r o v e dw h e na na p p r o p r i a t ei n i t i a lf i l t e rb a n ki sc h o s e n n e x t ， t h em e t h o di i i si n v e s t i g a t e d u n l i k et h em e t h o di ，w eu t i l i z ea n o t h e rt h r e e - b a n dl i f t i n g m o d et oe s t a b l i s ht h ep a r a m e t e rs t r u c t u r e u n d e rt h es t r u c t u r e ，t h es u b b a n dc o d i n gg a i n i ss t i l lu s e da st h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ，t h ef o r m e rf o u rl i f t i n gf i l t e r sa r ef i r s t l yj o i m l y o p t i m i z e da n dt h e nt h er e s i d u a lt w ol i f t i n gf i l t e r sa r eo p t i m i z e d t h em e t h o dc a r l m a r k e d l yi m p r o v et h es u b b a n dc o d i n gg a i n s ，a n dc o m p a r i n gw i t ht h em e t h o dit h e s u b b a n dc o d i n gg a i no b t a i n sa l s os o m ei m p r o v e m e n t k e yw o r d s ：b i o r t h o g o n a lf i l t e r b a n ks u b b a n dc o d i n gg a i nl i f t i n gs c h e m e s e q u e n t i a la d a p t i v el i f t i n g m u l t i r a t ef i l t e rb a n k s 创新性声聪 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外。论文中不 包岔其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：钰十辛 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密后遵守此规定) 本人签名 l ，1 f 彳 刚胡：矽，2 p 新签名：出址日期：迹毕 、 第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波分析及其发展 1 1 1 傅立叶变换存在的问题 傅立叶变换( 傅立叶分析系数) 用无穷区间上的复正弦基函数和信号的内积 描述了信号中总的频率分布，它将原时域信号的研究转换为在频域上的傅立叶分 析系数的研究，傅立叶分析是纯频域分析，从信号处理角度讲，傅立叶分析认为 信号f ( t ) 在每个时刻f 的值是频率n o ) 各个复正弦分量的叠加。傅立叶变换有它本 身固有的缺点，它只适用于平稳信号，在时频域上傅立叶变换没有任何分辨率， 傅立叶变换f ( m ) 在有限频域上的信息都不足以确定在任意小范围内的函数f ( t ) 的变化情况，特别是非平稳信号在时间轴上的任何突变，其频谱将散布在整个频 率轴上，为了克服这一缺点，g a b o r 于1 9 4 6 年引入窗口或短时傅立叶变换 ( s h o r t - t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 。 设有信号f ( t ) 以及在实轴以f 为中心的有限时窗w ( t ) 是平稳的，则短时信 号f ( t ) w ( t f ) 具有以下的傅立叶变换 f 0 ( c o ，r ) = if ( t ) w ( t f ) e 一“d t ( 1 1 ) 短时傅立叶变换将信号映射到二维时频平面( r ，国) 中的变换，从滤波器的角度 来看，在给定的频率c o ，式( 1 1 ) 意味着在整个时域以一个带通滤波器对，( f ) 滤波， 带通滤波器的冲激响应就是调制在该频率的窗函数，如f ( t 1 的傅立叶变换为 w ( t ) ，定义滤波器的带宽厂为 酽= 镟警 m z ， 其中分母为窗函数的能量。两个正弦波只有当频率差大于时才能被分辨出来， 所以短时傅立叶变换分析的频率分辨率为，同理，时间间隔f 为 川w ( t ) l d t 出22 葡 。二3 两个时间上的脉冲只有时间差大于f 时才能被分辨出来，测不准原理或 三带提升滤波器组设计与应用 h e i s e n b e r g 不等式指出时域和频域的分辨率不能任意小。时间带宽积的下限为 f a f 形， ( 1 - 4 ) 这就是说我们可以用时间分辨率来换取频率分辨率，或者相反，用频率分辨率来 换取时蚓分辨率。虽然短时傅立叶变换实现了时一频域分析，但仍存在着局限性， 一旦选定了窗函数，相应的时间分辨率和频率分辨率也就不能改变了。为了克服 短时傅立叶变换的这一局限性，希望时域分辨率f 和频域分辨率，在时一频平面 上变化，时域分辨率随着滤波器中心频率的增加而增加，即可和厂成f 比 厂厂= c( c 为常数)( 1 5 ) 当满足式( 1 5 ) 时，厂以及出随着滤波器的中心频率的变化而变化。但仍应满 足h e i s e n b e r g 不等式，即时间分辨率在高频时变得非常细，而频率分辨率在低频 时变得非常好。这种分析对于由短时高频成分和长时低频成分组成的信号可以得 到非常好的分析结果。这也是我们经常碰见的信号类型。小波分析就是为处理这 样的非平稳信号而引入的。 1 1 2 小波分析的引入 从信号分析的角度来看，要求基函数对不同的研究对象有不同的波形，例如 对奇异信号的奇异点附近，希望基函数的有效支集非常短：而在低频率分析时又 要求基函数的有效支集相对较长，因此小波基应该具有下列形式 虬( f ) ：下1y南(1-6) 吖a a 即分析滤波器的冲激响应被定义为母小波n ( t ) 的尺度描述。a r + 为尺度因子，对 大的口，母小波被拉倬交成有效支集较长的波形，易于分析信号的低频分量；当。 很小时，母小波被压缩为有效支集很短的波形，有利于分析瞬态的高频分量。式 中用i 7 4 - g 来对能量进行归一化。 信号x ( t ) 的连续小波变换定义为信号工( f ) 和小波基的内积 w 班击m 矿+ 学 d f m ， 妒( f ) 满足容许性条件( a d m i s s i b i l i t yc o n d i t i o n ) 阻丛 。( 1 - 8 ) 式中w ( c o ) 是矿( f ) 的傅立叶变换 第一章绪论 甲( 国) 2 去j 一矿( ) 出( i - 9 ) 式( 1 _ 8 ) 的容许性条件意味着： ( 1 ) 如y ( f ) 具有充分衰减，则y ( f ) 具有零均值 i g t ( t ) d t = 0( 1 - 1 0 ) ( 2 ) w ( t ) 具有振荡性，即其振幅具有正负相间的振荡。 如对a 取离散值，a = 2j ，j 为倍频程次数，则 w 肋= 击m y + ( 等 d r m 称为小波级数，相当于傅立叶级数。必须注意小波变换系数的有限能量并不完全 等于小波级数的有限能量，这取决于抽样率和少( f ) ，g ( t ) 平方可积的条件将由有 关滤波器的条件来代替。 进一步取b 为a 的倍数，b = 2 i n ，则 w ( 2j , 2j n ，= 击y + 陆一n 产m 嘲 定义为离散化小波级数，对应于离散傅立叶级数。如x ( f ) 改为离散信号x ( k ) ，则 w ：= w ( 2 j ，2 i n ) = 去少( 2 啦一h ) x ( 七) ( 1 - 1 3 ) 称为离散化小波变换，对应于离散傅立叶变换。短时傅立叶变换的基函数频率改 变，而尺度不变；小波变换的基函数频率变化是随尺度变化而变化，尺度加大， 频率减小，尺度减小，频率增大。 1 1 3 小波分析的发展史 小波分析是自1 9 8 6 年以来由于y m e y e r 1 】 2 1 ，s m a l l a t 3 】【4 】 5 】及i d a u b e c h i e s 6 m 【8 等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是f o u r i e r 分析划时代的发展结 果。然而，它的发展历史可以追溯到1 9 0 9 年h a r r 的工作。从现代小波分析的观点 来看，在1 9 3 0 年前后有许多与小波有关的新方向出现，其中有l e v y 9 】的工作。此 后，由于第二次世界大战的影响，没有出现进展性的工作。与现在的小波分析有 关的主要工作是1 9 6 0 年c a l d e r o n o 】及2 0 年后1 9 8 0 年g r o s s m a n n 与m o r l e t 【1 2 l 的研究，后人称为“原子分解”。特别是1 9 8 6 年以后的工作，由于应用的广泛使 这个学科的发展非常迅速。 八十年代中期由一批数学家领导的“f r e n c hs c h o o l ”环绕基本小波( “小波” 就是小的波形，所谓“小”是指它具有衰减性。譬如是局部非零的；而称之为“波”， 则是指它的波动性，即其振幅呈正负相间的震动形式。) 概念为这一课题奠定了坚 三带提升滤波器组设计与应用 实的数学基础。新理论对相关学科的发展有着重要的影响。1 9 8 8 年m a l l a t 将计算 机视觉领域内的尺度分析的思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念， 用多分辨分祈来定义小波给出了构造正交小波基的一般方法和与f f t 相对应的快 速算法一m a l l a t 算法，并将它用于图像处理和完全重构p 】。值得一提的是d a u b e e h i e s 基于离散滤波器迭代方法构造了紧支撵规范正交小波基，证明了具有有限支集正 交小波基的存在性，将在那时之前的所有正交小波的构造方法统一起来，并为以 后的构造设定了框架【。随后他又发表了长篇综述 8 1 ，对小波理论的发展和推广起 到了积极的作用。m a l l a t 将小波理论与信号处理联系起来，开创了小波理论在信号 处理中的应用。 在信号处理学科中，语音信号处理的子带编码或者称之为滤波器组将信号经 过不同的频带的滤波器滤波和抽样的多速率信号处理，寻求信号完全重构的滤波 器组，建立了一套完整的子带编码和滤波器的理论，即正交镜象滤波器q m f ( q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r s ) 平i i 恢复原信号的完全重构的条件。正交滤波器组是由 s m i t h b a m w e l l 旧1 l 。4 1 首先推导出来的，并由v a i d y a n a t h a n 1 5 】【1 6 1 等人进行了系统的研 究，寻找构成f 交的滤波器组的条件和方法。子带编码中恢复原信号的完全重构 的条件是出v e t t e r l i ”】提出的，并将之推广。 1 2 子带滤波器组的研究发展史 子带滤波器组从提出概念到今天大约有2 5 年的历史，期间经历以下几个阶段 1 2 1 提出概念阶段 子带数字处理概念最早源于二十世纪七十年代中期【1 8 】【1 9 ，主要应用于多速率 采样，信号的子带编码，减少计算复杂度以及减少数据传输率和存储单元的需求： 丌始受到人们的关注时期是1 9 8 0 年，j o b x a s t o n 2 0 1 提出了一类两通道正交镜像滤波 器组( q u a d r a t u r e m i r r o r f i l t e r 简称为q m f ) 以后，1 9 8 1 年，n u s s n a u m e r l “j 给出了两 带伪q m f 的设计方法，1 9 8 4 年到1 9 8 6 年，s m i t h 和b a r n w e l l i 2 2 】【2 3 】和m i n t z e r i 2 4 】 各自独立的提出了两通道精确重构滤波器组的设计方法。在1 9 8 6 年，w o o d s 2 5 埒 二维q m f 成功应用于图像子带编码。 1 2 2 基本理论发展的初步阶段 在1 9 8 6 年，s m i t h 2 2 1 和b a r n w e l l 2 3 1 提出共扼正交滤波器组( c o n j u g a t eq u a & - 第一章绪论 a t u r em i r r o rf i l t e r ，简称c q f ) ，这是首次实现完全重构的滤波器组：v e t t e r l i t ”】在 1 9 8 6 年，v a i d y a n a t h a n 2 。7 】在1 9 8 7 年分别独立研究了两通道予带滤波器组的完全重 构条件。他们引入了多相位( p o l y p h a s e ) 分量来分析滤波器组的方法使得滤波器组的 设计和分析大大简化，从而推动了这一学科的发展。特别是v a i d y a n a t h a n 提出了 f i r 无损( l o s t l e s s ) 系统的l a t t i c e 结构1 2 ”，用于设计完全重构的正交滤波器组，可以 实现功率互补的滤波器组，简化了滤波器的优化设计。这些都极大的推动滤波器 组的理论和应用的发展。 1 2 3 丰富和完善理论的阶段 二十世纪八十年代来到九十年代中期，小波分析研究成为热点。小波的多分 辨分析理论研究表明 2 0 13 0 】，满足一定正则条件的滤波器组可以迭代出小波，m a l l a t 提出了双尺度方程口u 以及塔式分解算法【3 i 】【3 2 】，这些成成果将滤波器和小波紧密连 接在一起，使得滤波器组和小波理论及设计有了非常紧密的联系。人们开始重视 利用滤波器组设计小波，以及滤波器组自身理论的研究。在此期间，v a i d y a n a t h a r t p p 作了重大贡献，他系统地提出了两通道以及m 通道正交滤波器组的理论 2 8 】【3 3 1 ， 并将当时的研究成果汇集成册 3 4 1 ，成为当今从事此领域研究者的必读之书。1 9 8 9 年，h o a n g 和v a i d y a n a t h a n 提出了非均匀滤波器组的理论1 3 5 】。1 9 9 1 年，n a y e b i 等 人提出了非均匀滤波器组的时域设计方法【3 6 1 。k o v a c e v i c 和v e t t e r l i 提出了数据率 可以按有理数变化的非均匀滤波器组【3 7 】：1 9 9 2 年，v e t t e r l i 3 8 1 研究了两通道滤波器 组及小波基和多分辨分析的关系，n a y e b i 等人提出了滤波器组的时域设计方法【3 哪 和时变滤波器组【加l 。1 9 9 5 年，t s a t s a n i s 和g i a r m a k i s 提出了主分量滤波器组的理论， p h o o n g s m 4 l 】提出了口( z ) 和( z ) 结构化的滤波器组，可以适应设计多种类型的滤 波器组及小波基。1 9 9 8 年，v a i d y a n a t h a n 又提出了最优正交子带编码器的理论【4 2 】， 在1 9 9 8 年和2 0 0 0 年，p , e v a i d y a n a t h a n 和p m o u l i n 等人提出自适应双正交滤波器 组设计理论，利用提升方法，水鹏朗【4 3 i “l 等人设计了自适应的双正交内插滤波器 组，2 0 0 1 年，l u w u s h e n g 4 5 1 等人研究了一般两通道自适应f i r 双正交滤波器组的 设计。 1 2 4 应用研究阶段 1 - 语音、图象编码中的应用 子带滤波器组最早的应用是在语音4 6 】【4 刀，图像编码中【4 8 】。各种滤波器组多数 是围绕提高编码增益f 4 9 】，降低滤波器组延时，减少恢复信号的混叠成分和相位失 真以及幅度失真这些目的而出现。特别是为了适应于图像处理，出现了各种线性 三带提升滤波器组设计与应用 相位的滤波器组结构和设计方法【5 0 】【5 1 1 【5 2 1 。最优正交变换编码和正交予带编码器优 化的一般理论框架 5 3 】【5 4 是此应用的最好理论依据。 2 自适应滤波器组 自适应滤波广泛应用于系统辨识、谱估计、回波抵消以及信道均衡。而基于 子带分解的自适应滤波，由于在提高收敛性能上优于常规的l m s 算法，而且还能 减少计算量，常应用于长时间的语音回波抵消，所以受到人们的重视。早在八十 年代中期，许多学者研究了子带自适应滤波器，分析了其性能i 由于子带分解滤 波器组的非理想特性以及下采样引起的子带信号混叠会对自适应滤波产生影响， g i l l o i r ea 【5 5 】，q uj i n z h i 5 6 l 采用加入子带间滤波方法以减少此影响，但这会增加计 算量。u s e v i t c hb e 和o r c h a r dm t 【5 7 l 研究发现，子带自适应滤波的收敛性能以 及最小均方误差性能取决于所有滤波器组的特性参数，根据预先已知的信号知识， 可以推算出这些参数，从而可以设计出最佳的子带完全重构的滤波器组用于子带 自适应滤波。g r i e s b a c hj d 等人【5 8 l 提出了基于非均匀滤波器组，m c c l o u d t 5 。1 提出 了基于变带宽滤波器组的子带自适应滤波器结构自适应滤波器可以根据信号特 征进一步减少收敛时间和降低信号的均方误差。p r a d h a ns s 和r e d d yv u 【蚰1 提出 了一种新的子带自适应滤波器结构，不需要带间滤波器，而且大大缩减滤波计算 量。 3 c d m a 通信应用 滤波器组在通信方面主要是通信干扰抑制和c d m a 的扩频码设计两方面。扩 频通信是当今世界通信发展的主流，但它与其它通信方式一样，也遭遇各种干扰 的影响。其中最主要的是码间干扰( i s i ) ，多址干扰( m a d 和窄带干扰q , m i ) 。n b l 分为人为故意和自然无意两种，它们的表现是功率大，频带窄。所占据的频段随 时间可能变化，处理n b i 的方法很多，用滤波器组抑制窄带干扰是在频域内处理 信号，早在1 9 8 9 年，d a v i d o v i c is 【6 1 l 提出了用d f t 变换法消除窄带干扰，w i l l i a m w j 【6 2 1 在文献中介绍了用滤波器组消除窄带干扰，t a z e b a ym v 和a k a n s ua n 嘲1 在1 9 9 5 年提出了一种自适应确定窄带干扰频段的树型结构分析方法，可以快速找 到窄带干扰频段所处的频段。在1 9 9 8 年，他们分析了此类系统的性能畔1 。j u nw a n g 和g e r a n i o t i s e 6 5 1 提出了时频域结合的方法处理窄带干扰。 1 3 本论文的主要工作与内容安排 本论文的工作得到国家自然科学基金和国家优秀博士学位论文作者专项基金 的资助。本论文的主要研究内容如下： 第一章绪论 ( 1 ) 研究了三带自适应提升双正交滤波器组的时域设计方法i 。对一个三带正 交滤波器，通过规范和盯0 + 盯f + 盯；为常值，使用乘积滤波器，信号自适应f i r 标 准讵交滤波器组的有效算法得到解决。然而，对f i r 双正交滤波器组情形，缺少 这些前提条件致使设计困难。类似于正交情形，设计自适应f i r 双正交滤波器组 时，我们也需要一种结构去简化或回避二次约束。s w e l d e n s 提出的提升方法可以 实现这样的目的。用子带编码增益作为设计准则，从任意一个滤波器组( 标准正 交或双正交) 开始，利用三带提升建立滤波器的参数结构，然后通过依次优化三 对提升滤波器去提高子带编码增益。设计结果表明这种方法非常有效，编码增益 得到提高。 ( 2 ) 研究了三带自适应提升双正交滤波器组的时域设计方法i i 。子带码增益 表示在相同比特率情况下子带编码与直接p c m 编码的均方失真之比，是衡量滤波 器组编码效率的重要指标。为了进一步改善子带码增益，类似于方法i ，我们研 究了另一种三带提升模式设计三带自适应双正交的滤波器组。在这种模式下，从 任意一个滤波器组( 正交或双正交) 开始，通过先优化四个提升滤波器，再优化 剩下的两个提升滤波器提高子带编码增益。 论文的具体章节安排如下： 第二章：介绍了三带滤波器组的基本理论和知识，给出提升模式，这些知识 是本论文研究的基础。 第三章：研究三带自适应提升双正交滤波器组的设计方法i 。本文研究了利 用三带提升方法设计三带自适应双正交的滤波器组。在设计中，用子带编码增益 作为设计准则，从任意一个滤波器组( 标准正交或双正交) 开始，利用三带提升 建立滤波器的参数结构，然后通过依次优化三对提升滤波器去提高子带编码增益。 最后，数据结果表明，当选择一个合适初始滤波器组时，子带码增益可以得到较 大提高。 第四章：研究三带自适应提升双正交滤波器组的设计方法i i 。为了进一步改 善子带码增益，类似方法i ，我们使用了另一种提升结构，进一步研究了利用三 带提升方法设计三带自适应双正交的滤波器组。在设计中，仍用子带编码增益作 为设计准则，从任意一个滤波器组( 标准正交或双正交) 开始，通过先后优化六 个提升滤波器得到三带自适应滤波器组。实验结果说明，当选择一个合适初始滤 波器组时，子带编码增益可以得到明显的提高。 第五章：结论与展望。说明下一步将要努力的方向。 二带提升滤波器组设计与应用 第二章三带滤波器组的基础理论 2 1 子带滤波器组的基本结构 下采样器( 抽取) 和上采样器( 插值) 是数字子带滤波器组中的两个基本环 节，用于改变采样速率，因此子带滤波器组也称为多速率滤波器组。 2 1 1 下采样器( 抽取) 将信号的抽样频率减少三倍，即是对信号进行下三采样，一个下三采样器如 图2 1 所示，输入输出信号分别为x ( h ) 和y ( n ) ，则由抽取的定义知它们的输入与输 x ( 。) d 互丑一y ( 担) 出在时域的关系是 2 1 2 上采样器( 插值) 图2 1 下三采样器 y ( n ) = x ( 3 n ) 将信号的抽样频率增加三倍，即是对信号进行上三采样，一个上三采样器如 图2 2 所示，输入输出信号分别为工0 ) 和_ y ( n ) ，则由插值的定义知它们的输入与输 。( 。) d 王_ y ( 。) 出在时域的关系是 图2 2 上三采样器 当昙为整数 其它 、0l n 一3 ，、 x o ，、，l = 、j n (y 第二章兰带滤波器组的基础理论 2 2 子带滤波器组和子带信号处理 多速率是指在一个信息处理系统中，存在多个不同的数据率。传统单速率数 字信号处理系统的基本组成单元是乘法器、加法器和延迟单元，例如数字滤波器， 傅立叶变换，调制器等。而在三通道多速率系统中，还存在两个新的基本组成单 元，即下三采样和上三采样，如图2 1 和图2 2 所示。 多速率数字滤波器组分解一个信号成为多个子带信号，然后对不同的子带进 行处理、编码和传送，最后再恢复成期望的信号。这种原理在语音编码、图像变 换、图像编码、雷达、回声消除、延时估计和数字通信中有特别广泛的应用。信 号分解和最终合成过程是靠分析一综合滤波器来完成，一个三通道最大抽取的滤 波器组的结构如图2 3 所示。在图2 3 中h ；( ：) ，i = 0 ，1 ，2 被称为子带分析滤波 x ( n z 2 ( n )p ( 栉)y 2 ( h ) 图2 3 三通道滤波器组的结构 y ( n ) 器，g i ( z ) ，i = 0 , i 2 被称为子带综合滤波器，上3 和t3 分别表示下三采样器和上 三采样器，用于改变采样速率，因而子带滤波器组也称为多速率滤波器组。j ( z ) ， i = 0 , 1 ，2 的通带频带依次邻接占据整个数字频段，其间没有空隙，将输入信号分 解为三个不同频带上的子带信号后，然后进行下采样，最后通过上采样，最终合 成信号。 输入信号x ( n ) 一般假定为零均值、广义平稳的高斯随机序列，石。( n ) ，1 ( h ) 和 x ，( 一) 是信号通过分析滤波器后的子带输出信号，c ( n ) ，e ( n ) 和d ( n ) 是下采样后的 输出信号，y 。0 ) ，y ，( n ) 和y ：( ”) 是上采样后的输出信号，当滤波器组用于编码目 的时，图2 3 也称之为三通道子带编码器，此编码器由一个多速率滤波器组和量化 器两部分构成，q 一般表示一个均匀的标量量化器。 三带提升滤波器组设计与应用 利用子带编码来分离信号或压缩信号是子带滤波器组的最早应用之一，传统 的多速率滤波器组设计的基本问题就是如何设计满足一定特性的分析和综合滤波 器使得整个多速率滤波器组的幅度失真、相位失真和混叠失真可以控制在一个合 理的范围内，甚至完全消除。而滤波器组的自适应设计主要是针对输入信号的统 计特性，按照某一给定的性能函数，得到最优或次最优的滤波器组。往往可转化 为一个优化问题实现。 2 3 提升方法 d a u b e c h i e s 在文献 6 】中第一次系统地提出了紧支撑正交小波的构造方法，该方 法所依赖的数学工具主要是f o u r i e r 分析。到了九十年代中期，s w e l d e n s 和 d a u b e c h i e s f “m 】f 6 8 】等学者提出了构造第二代小波的一种新思想：l i f t i n g 方法。与 第一代小波不同，第二代小波不一定是某一个母小波的平移和伸缩，它可以定义 在r ”的任意区域上，如某一曲面上 6 ”。 2 3 1 提升方法的优点 提升方法 6 7 】是构造小波及滤波器组的一种强有力的工具。这种设计方法在 结构化设计和自适应设计方面的突出优点弥补了传统频域设计方法的不足。它的 优势主要体现为以下方面： ( 1 ) 可以从一些简单子波系统设计具有期望性质的子波系统，提升滤波器的选 择不影响双正交性； ( 2 ) 设计自适应滤波器组时，约束规划被简化为无约束规划 6 9 l ； ( 3 ) 灵活的边界处理模式，易于构造区间子波7 0 1 ； ( 4 ) 可以快速变换； ( 5 ) 可以从一个初始完全重构滤波器组出发，通过逐次的提升，得到好的滤波 器组： ( 6 ) 可以采用时域设计方法，可以设计非均匀采样的小波变换，一般流形上的 小波构造：等等方面。 2 3 2 三带提升方法 二十世纪九十年代中期贝尔实验室的w i ms w e l d e n s 提出了用提升方法【6 8 1 可以 构造小波函数，其基本思想是在多分辨分析的低通和高通滤波器间建立联系。相 第二章三带滤波器组的基础理论 邻两个空间尺度函数的联系用低通滤波器表示，小波函数和尺度函数的联系用高 通滤波器表示。在文献【6 ”，s w e l d e n s 利用提升框架与插值d e s l a u r i e r s d u b u c 尺度 函数川较容易地构造了一族双正交小波。 在两带提升方法中，每步利用一个子带系数来修正另一子带分解系数，两步 构成一个完整的提升过程，这已被应用到构建两带双正交滤波器组【7 2 1 。两带提升 方法很容易推广到m ( m 3 ) 带和多维情形【7 引。与两带提升方法不同的是： m ( m 3 ) 带提升方法有多种方式。在本论文中我们仅考虑如图2 4 和如图2 5 所示 的两种提升模式【7 “。 图2 4 三带提升过程流图i 图2 5 三带提升过程流图i i 为了描述上简洁，我们采用多相位矩阵的演变来描述三带提升方法，三带提 升方法是两带提升方法的一个直接推广。整个提升过程分为3 步，每步中一个通 道被另外两个通道的输出修正。它可以看成两带提升的直接推广和多带提升7 3 1 的 一个特例。现讨论如图2 4 所示的提升模式。 定义1 设 户，i = 0 , 1 ，2 ) 和 g 严，i = o ，1 ，2 ) 构成一个三带f i r 双正交滤波器组， 并且日。( z ) 和g 。( z ) 是它们的多相位矩阵，则如图2 4 所示的三带提升可以描述 如下 h 。( z ) = t ：( z ) t i ( z ) t o ( z ) h o 。( z ) 三带提升滤波器组设计与应用 其中 g 。( z ) = s ：( ：一- ) s 。( z t ) s 。( = 一- ) g 。( ：) 1 t o ( z ) = io o 瓦( z ) 1 o 1 王( z ) = l 五o ( z ) 0 l t ( 2 ) 2 i o l ( ：) ( z ) 0 l ， 1 0 0 1 互：( ：) j ， 01 j 00 10i ， 疋。( z ) 1 j s 。( z ) = 2 i 一聍( z 一1 ) ， s i ( z ) = 2 i 一互“( z 。) ， s 2 0 ) = 2 i 一野( z - i ) 毛扣一) = t 口( n ) 旷m w 是复三角多项式，滤波器0 ( 栉) 称作提升滤波器，上标h 表 示对矩阵中多项式系数取共扼和矩阵转置。 从上定义1 可知，6 个提升滤波器完全决定了三带提升过程。因为这个提升过 程每一通道的修正是利用一对滤波器来实现。从 【g 。( z 一。) n 曰。( z ) = g o l 。( z t ) 1 陋。( z ) 】h 兀霉( z ) 日。( z ) i = 0i = 2 和 i s ，( z ) 】h 互( z ) = i ， i = 0 , 1 ，2 我们有 g n 。o 一) 】h 日。( z ) = g 。( z 一一) 】h h 。( z ) = 1 3 所以三带提升是保持双正交性的，提升滤波器的选择不影响滤波器组的双正交性， 既可以通过选择合适的提升滤波器得到需要的滤波器组或子波，也可以自适应选 择提升滤波器得到三带自适应滤波器组。 类似地，可讨论如图2 5 所示的提升模式。 定义2 设( 砷i d ，i = 0 , 1 ，2 ) 和 g 严，i = 0 ，1 ，2 ) 构成一个三带f i r 双正交滤波器组， 第二章三带滤波器组的基础理论 并且h 。，。( z ) 和g ( z ) 是它们的多相位矩阵，则如图2 5 所示的三带提升可以描述 如下 其中 日一g ) = r , ( z ) r a z ) r , ( z ) r o ( z ) h 。( z ) g 衅。( z ) = s ，0 一- ) j ：( z 一- ) s 。( z 一- ) s 。乜一，) g 。( ：) f 1r o ( z ) r 0 2 ( z ) t o ( ：) ：lo l ol ， l o o1 j 1 0 0 瓦( z ) = l 互。( z ) 10 l ， l 疋。( z ) o1 j f 1 0 0 t ( z ) = l o l 互：( z ) l ， 【0 01 j 10 互( z ) = 】0 1 l o 疋。( z ) 瓯( z ) = 2 1 一列( z 。1 ) ， s l ( z ) = 2 i 一正“( z 1 ) ， s 2 ( z ) = 2 1 一掣( z 。1 ) ， s ，( z ) = 2 1 一砰( z 一1 ) ，i j ( e i w ) = t f ( n k 一肌是复三角多项式，滤波器0 ( n ) 称作提升滤波器，上标h 表 示对矩阵中多项式系数取共扼和矩阵转置。 从上定义2 可知，6 个提升滤波器完全决定了三带提升过程。同理可以验证三 带提升是保持双正交性的，提升滤波器的选择不影响滤波器组的双正交性，既可 以通过选择合适的提升滤波器得到需要的滤波器组或子波，也可以自适应选择提 升滤波器得到三带自适应滤波器组。 三带提升滤波器组设计与应用 2 4 主分量滤波器组 无阶数限制时，具有最大子带编码增益的均匀滤波器组是主分量滤波器组 ( p c f b ) 7 “，它是由m k t s a t s a n i s 和g b g i a n n a k i s 在1 9 9 5 年提出的，且滤波器 组的结构如图2 6 所示。设输入信号的功率谱密度为q ( w ) ，- f - - 采样后的输出 信号是x 。( ”) ，x i ( ”) 和x ：( n ) ，其方差分别为盯三，0 - ，2 和盯杰，那么三通道的主分 量滤波器组的频率响应是： 驴c = 协鬻。， 石( 玎) 驴c 们= 恪馏 叩c 们= 恪鬻： 图2 6 三通道子带编码器的结构 j - # , f f 号和下三采样后的输出信号的方差分别是： 中去卜( w ) d w ， 盯三= 瓦1 。最( w ) i 乒8 i 2 d w ： 2 = 去足( 训日p ， j ，( n ) 第二章三带滤波器组的基础理论 仃三= 去，e ( 驯野”i 2 d w 其中q 。，q 。和q ：是依赖输入信号的功率谱密度的。这样的滤波器组的频率响应 由等高的矩形块构成，并且三个滤波器没有频率混叠，因此子带信号问是完全不 相关的。但一般情况下，通道内的子带信号是相关的。所以期望双正交滤波器组 能够进一步降低通道内的相关性，来提高编码效率。 2 5 有关滤波器组的性能参数 滤波器组的设计可以有多种设计准则，常见有以下几种： 1 结合具体的应用，依据滤波器组的频率划分作为设计准则，在这个准则下， 衡量滤波器组性能的标准是阻带衰减：在相同的条件下( 滤波器长度，通带频率， 阻带频率) ，阻带衰减越低，则性能越好。在早期的滤波器组的设计中，多采用此 种方法； 2 用滤波器组与小波理论的完美结合，设计满足正则条件的滤波器组，在这 个准则下设计的滤波器组，阻带衰减比较平缓，避免强烈的震荡； 3 利用信号的能量紧来设计自适应滤波器组，这是近来常用的一个设计准则， 其设计目标是：用尽可能少的子带恢复感兴趣的信号，使其能够在l 2 意义下有很 好的逼近效果。其设计原则是：首先设计滤波器组的第一通道，使得在此通道下 能量最大：接着利用剩余的自由度设计第二个通道。如果有多个通道的情况，则 重复以上的过程； 4 在率失真准则下，设计自适应滤波器组，使其编码增益最大； 5 最小均方误差准则下设计滤波器组，滤波器组用于子带编码时，其失真由 系统失真和量化失真两部分构成。对于给定的比特率，当最小均方意义下的整体 失真最小时，滤波器组的性能最好。 三带提升滤波器组设计与应用 第三章三带自适应提升双正交滤波器组 3 1 引言 从二十世纪八十年代提出的完全重构滤波器理论以来，有关子带编码的研究 就主要集中在对完全重构系统的设计和优化，小波理论的出现更是成为研究完全 重构滤波器组设计的动力，使完全重构滤波器组的理论设计不断发展，而在设计 与输入信号的统计特性相匹配的自适应子带滤波器时，常常用子带编码增益来衡 量滤波器组的性能。 设计与信号的统计特性相匹配的滤波器已成为了滤波器组和子波应用研究的 热点之一。由于滤波器组的频率特性与输入信号的统计特性相匹配，这种滤波器 组的性能一般远远超过标准滤波器组。在自适应滤波器组设计中，子带编码增益 常常作为优化的目标函数。并且具有最大编码增益的i i r 正交滤波器组称为主分量 滤波器组( p c f b ) ，出m k g i a r m a k i s 和g b g i a n n a k i s 在1 9 9 5 年提出【7 ”。主分量滤 波器组由一组块状滤波器( b r i c k w a l lf i l t e r ) 构成，可以通过输入信号的功率谱密度 直接得到。后来，e m o u l i n 和a k i r a c 分别研究了f i r 自适应正交滤波器组的设计 问题，双正交滤波器组具有更多的设计