（计算数学专业论文）二维sobolev方程的有限体积元法.pdf

f i n i t e 场l u m ee l e m e n tm e t h o d f o r2 ds o b o l e ve q u a t i o n z h a 0j i e s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl ih o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a y , 2 0 1 0 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除 本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：丝渔指导教师签名： r 、， 日期：至里翌：!日期：2 垒翌：! 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将学位 论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允许编入有 关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文为保护学院和导 师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作者今后使用涉及在学期间主要研 究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用于发表论文，版权单位必须署名 为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：区这指导教师签名： 二维s o b o l e v 方程的有限体积元法 摘要 有限体积元方法早期称为盒式方法或广义差分方法，是求解偏微分方 程初边值问题的一种重要方法，本文讨论了s o b o l e t ，方程的有限体积元方法 基于空间区域的矩形网格剖分和双线性插值基函数生成的有限元空间，给 出s d b d f e u 方程的有限体积格式给出有限元空间的一些性质和有限体积格 式的日模误差估计的证明 关键词：有限体积元方法，s o b o l e v 方程，双线性插值 f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o r2 ds o b o l e ve q u a t i o n a b s t r a c t f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d s ，w h i c hw e r ec a l l e db o xm e t h o d so rg e n e r a l i z e dd i f - f e r e n c em e t h o d s ，a r et h ei m p o r t a n tm e t h o d sf o rs o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h i n i t i a la n db o u n d a r yv a l u e i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d s f o rt h es o b o l e ve q u a t i o n o nt h eb a s i so fr e c t a n g u l a rp a r t i t i o nf o rt h es p a c i a ld o m a i n a n df i n i t ee l e m e n ts p a c ef o r m u l a t e db yb a s i sf u n c t i o n so fb i l i n e a ri n t e r p o l a t i o n ，w et h e n o b t a i nt h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e s o m ep r o p e r t i e sf o rt h ef i n i t ed e m e n ts p a c e a n dt h ep r o o fo fh l - n o r me r r o re s t i m a t ef o rt h ei i l l i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m ea r eg i v e n k e y w o r d sf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ，s o b o l e ve q u a t i o n ，b i l i n e a ri n t e r p o - l a t i o n i i 中文摘要 英文摘要 目录 第一章引言 第二章二维s o b o l e 方程的有限体积元法 第三章误差估计 参考文献 致谢 i i i i i i 1 3 7 1 8 2 l 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 弗一早ji 百 s o b o l e v 方程来源于许多物理过程，是重要的数学物理方程之一，在流体力学、热 力学等许多数学物理领域有着广泛的应用，如流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤 中湿气的迁移问题，不同介质问的热传导，以及波的色散等问题早期关于s o b o l e v 方 程的数值解法主要是差分方法【1 1 近年来，求解此类问题的有限元方法受到广泛 的重视，n a k a o 在文献【2 1 中用标准g a l e r k i n 方法讨论了一维非线性s o b o l e v 方程，给出 了2 p o 。时的妒误差估计，l i n 在【3 】中证明了非线性s o b o l e v 方程的日1 和l 2 模误差估 计，l i u 和l i n 等人在【4 】中利用高阶数值积分形式构造了高阶时间单步格式，并给出了 收敛性和超收敛性的误差估计，李潜等人在【5 】中给出了非线性s o b o l e v 方程的最大模估 计，并且得出了空间( w 1 ，( q ) ) 中的超收敛性结果，王焕清和李宏等人在文献【6 】中讨 论了一维线性s o b o l e v 方程的h i g a l e r k i n 混合有限元方法，而郭会在 t l e e 则利用最小 二乘g a l e r k i n 有限元方法讨论了对流占优的s o b o l e v 方程 求解偏微分方程初边值问题的有限体积元方法( f v e m ) 已有较长的历史，这类方 法被广泛的应用于科学工程计算领域中，如流体力学、电磁场、平面弹性、热传导、物 质运移以及石油工业等在早期的文献【8 ，9 】中，一种所谓的积分型有限差分方法得到 系统的研究，但大部分结果是关于一维问题的有限体积元方法又被称为盒式格式( 见 文献【1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 】) ，控制体积法( 见文献【1 4 】) ，有限体积法( 见文献【1 5 ，1 6 ，17 】) 自方法提出以来国内外学者在理论和应用方面作了广泛而深入的研究，李荣华 在文【1 8 】最早提出两点边值问题的有限体积元法向新民在文【1 9 】给出了两点边值问题 的l a g r a n g e 二次元有限体积法吴和李在文【2 0 】构造了两点边值问题的一维h e r m i t e 型三 次元有限体积格式这些结果建立了有限体积元法德基本框架李和祝在文 2 1 ，2 2 】中 研究了二维二阶椭圆形方程在三角网和矩形网上的有限体积元法，分别就试探函数 空间为分片线性元和分片双线性元，检验函数空间为分片常数函数空间的情形建立 了日1 模收敛阶估计向新民在文【2 3 】中构造了二阶椭圆方程在矩形网上九点双二次元 有限体积格式，丰连海在文【2 4 】构造了一种新的双二次元有限体积格式，并给出了日1 误 差估计，陈和田在文f 2 5 ，2 6 】中研究了三角网上的高次有限体积法，分别基于l a g r a n g e 型 二次元和h e r m i t e 型三次元的差分格式，得到了与相应的有限元法相同的最佳阶的1 模 误差估计b a n k 和r ( ，s e 于1 9 8 7 年在文1 0 1 中给出了三角网上线性元有限体积格式，并进 行了理论分析，其方法的定义与李荣华等人的文【2 1 】相似后来，文【1 5 ，1 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 】从 各个不同侧面讨论了三角网上的有限体积元法而对矩形网格，s f i l i 在文【3 1 】中构造了求 解p o i s s o n 方程的双线性元有限体积格式，后来在文【3 2 】中将其推广到抛物方程关于有限 1 二维s o b o l e v 方程的有限体积元法 体积法的最新进展，可以参考【1 5 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 1 一般地说，有限体积元和有限体积格式的建立是基于所谓的“平衡”方法：首先，将 问题在每一个离散单元( 称为控制体积或对偶单元) 上表示为局部平衡形式；其次，利用 散度公式，将该平衡形式表示为积分守恒形式；最后，根据计算要求采用不同的技巧将 守恒形式离散一般而言，我们可以将有限体积元和有限体积方法看作是介于有限元 和有限差分方法之间的第三类离散方法，它们一方面具有有限元方法的灵活性，适于 处理复杂区域及边界问题，另一方面，类似有限差分方法离散格式简单易于计算，且由 有限体积元方法产生的数值解通常还保持一些物理量的局部守恒性质 有限体积元方法的基本思路是：将所在区域进行原始剖分和对偶剖分，原始剖分 的每个网点上都可以由对偶剖分得到一个控制体积，将待解的偏微分方程在每一个控 制体积上积分，并利用g r e e n 公式将对偶单元上的积分转化为沿对偶单元边界的线积 分，便可得到有限体积格式2 0 0 4 年王同科【砌研究了双调和方程的混合有限体积元方 法，得至i j h 半范数和l 2 范数的误差估计2 0 0 7 年王同科( 4 u 1 分析了矩形区域上二维抛物 型偏微分方程的交错方向有限体积元方法并给出l 2 模误差估计本文在这两篇文献的 基础上讨论了矩形区域上s o b o l e v 方程的有限体积元方法，给出了日1 模误差估计 本文结构为：第一章为引言，介绍了s o b o l e v 方程的物理背景和近年来对求 解s o b o l e v 方程的一些成果，以及有限体积元方法的发展过程和基本思想。第二章，对矩 形区域进行矩形网格剖分，由双线性插值基函数生成有限元空间，然后给出此s o b o l e v 方 程的有限体积格式第三章，首先在有限元空间中定义了离散日1 半范数和离散l 2 半范 数，证明了在有限元空间中它们分别与日- 范数和l 2 范数等价接着在有限元空间中又 定义了i i i l 并证明它与离散日1 半范数等价，并讨论了有限元空间中函数的一些性质 以引理的形式, h 给出，利用这些引理得到有限体积格式的h 1 模误差估计 2 内蒙古大学硕士学位论文 第二章二维s o b o l e v 方程的有限体积元法 首先在区域q = 【0 ，1 1 2 考虑二维s d 6 0 f e t ，方程 一m = f ( x ，管，t ) ，( z ，可) q ，t ( o ，邳 乱( z ，y ，0 ) = 如( z ，y ) ( 2 0 1 ) 其中，( z ，可，t ) 充分光滑 对矩形区域q 进行矩形剖分虢，交点，u j ) ，i o ) = 0 ，l ，2 虬( ) ，令瓦= ，珊) ，0 i 心，0 j ) ，仇表示所有内点，进一步令 记 ，孑= z i z 一1 ( i = 1 ，2 ，帆) ， k 2 l m ；每a x 。h ? ，h y 2 1 m a x 哪h ；， 酵= 协一协一l0 = 1 ，2 ，g y ) ， h = m a x ( h x ，b ) q 一吾= 兢一三碍，+ = 以+ 去 拜。 殇一= 协一三 ；，殇+ = 协+ 互i ，。y + 1 一 2 ，z 胁+ 。z n 。，u o - 2y o ，+ 2 琳v = k 一，x i + 1x 一，勘+ 扣 其中是交点( 约) 的对偶单元，所有的对偶单元构成区域q 的对偶剖分q 芫，对 【o ，卅作等距剖分，n n 步长x t = 吾，t n = n a t 在( 2 0 1 a ) n 端对t 【t n 一，t l n # ，得到 仁铲o u f sa u d t - f t ： a u t d t = 仁。m m 伽t 仁毗， 对上式中第二项应用梯形公式 z x u d t = i z x t 【+ - 1 】一丢f ：。她印m ) ) ( t 廿) ( t - t n - 1 ) 出 原式两端同除以a t ，得到 3 u o = 一 0 争 岫 ，_i_j(1_i【 二维s o b o l e v 方程的有限体积元法 其中 百2 t n _ u n - 1 一t a u n + a u n - 1 一可a u n - - a u n - 1 = 土x tf ：，m m 啦h 砰( 2 0 3 )t2 ，f n l “1 。1 ” r t - = 去仁。以州啪( 。) ( t - - t n - 1 ) 出 ( 2 o 4 ) 对( 2 0 3 ) 式在上积分，并对第二项、第三项应用g r e e 仃公式，得到 厶掣蛐一三厶竖乒如去z 竖幽 = 击f ：。f v , jf ( z 幽t ) 出d 纰+ 丘，砰一 出由 ( 2 o 5 ) 其中i ( j ) = 0 ，1 ，虬( ) ，p 表示对偶单元的边界a 的外法线方向 用7 r u 表示矩形剖分铂上“的双线性插值函数，在式( 2 0 5 ) 中用丌牡替换仳，得到 其中 厶牮蛐一掣扣去z 华d s = 三a tf 一1 上，( z mt ) 如曲d t + 厶戤1 一 出妇+ 磁一 ( 2 0 6 ) 磁一5 = 厶，塑铲如白一厶，掣出向 一诋华蚺施掣幽 一击z 牮蚺壶z 等如 仁邮， 假设魄c 础( q ) 是矩形剖分q h _ l z 具有双线性插值的有限元空间，假设 q 七( z ) ) ( 七= 0 ，l ) 和 觑( 秽) ) ( 1 = 0 ，1 m ) 分别是z ，y 方向上的插值基函数，则 o 七( z ) 角( 妙) 是魄上 的插值基函数，v u h u h ，有( t 从= t i h ( z k ，娜) ) 4 n h u y 伪 z k q 枷心脚 = n u 令 应用 对双 张量积的基本性质： aq b=【f二a三11三b二a三12二b-)j-；：allb ( 1 ) ：( a + g ) ob = a ob + c 圆b ( 2 ) ：( aob ) r = a to b t ( 3 ) ：( a q b ) ( c d ) = a c 圆b d( 4 ) ：( a b ) 一1 = a t o b 一1 其中a r ，a 一1 分别表示矩阵a 的转置和逆。 6 内蒙古大学硕士学位论文 第三章误差估计弟二早。决左伯丌 在上一章我们得到有限元格式，这一章将讨论格式的收敛性令e = 7 1 u u j l 用1 2 0 6 ) 减去( 2 0 8 ) ，得到误差方程 其中 厶与芦蛐一警扣击z 掣如 ：fr 1 1 如妇+ 磁一互1( 3 o 1 ) ，k o 钟屯去仁。舰帆m 圳t - t n - 1 ) 班 端屯f v j 掣蛐一厶气竽蛐 一华蚺掣如 1 f 一瓦 ( 3 0 2 ) 蚺击z 等d s o s ， 在式( 3 0 1 ) 两端分别乘以鱼等，并对i 从。到心，歹从。到求和，得到结果后作如下定义 工t = 娄薹鱼乒厶譬如匆 c 3 o 4 ， 址一三差薹掣厶鼍竽如 o s ， 如一壶耋薹掣z 笺掣如 慨邮， 死= 鬈萎鱼乒厶砰如匆 c 3 o 7 ， 7 误差估计 假设钒是拟一致正则矩形剖分，即存在常数o t l ，o r 2 ，q 3 ，a 4 o ，满足 ( 3 0 8 ) o i lm a x h m a x 碍， a 2 m a x ；m a x h ；，q 3 ；l q 4 ，哆 ( 3 0 9 ) ttl 。 。 。 定义”s 或l l 忆n 与1 1 。或1 i 。，n 分别表示s 阶s o b o l e v e 产f f i 中的连续范数及连续半 范数对v ，定义离散的日1 半范数和离散的己2 范数如下 = 蛐，e 一1 1 0 , h = ，e ) j 1 e e q he e q h 其中e = 再舜丽= 【x i 一1 ，x i 】【协一1 ，珊】， 陬瞪邶= 芸；戛k 队- 卜州叫2 + 蔫三阻h ，卜州蚴 2 c 3 肌。， 圳 e = 华壹1 = 1 陋t ，】2 ( 3 0 1 1 ) 引理3 0 1 ( g r o n w a l l 弓 理) 设，( t ) ，9 ( t ) 是【o ，卅上非负可积函数，对正常数q ，卢满足 则成立 ，( t ) n 9 ( t ) + 卢z ，( 下) 打 t 【。，卅 他) s q ( 9 ( t ) + 卢e z p ( z 丁, 0 2 9 ( 下) 打) t 【。，卅 引理3 0 2 ( g r o n w a l l 弓i 理的离散型式) 设咖是非负数列，满足 n 一1 1 o 岛， 伽风+ 岣啦( 礼1 ) j = o 其中屿0 ， 风) 为非负且单调不减数列，则有 n l 伽风e 印( 岣) j = o 8 乒 咯一 脚 心：l 乃 内蒙古大学硕士学位论文 引理3 0 3 ( b r a m b l e 一日订6 e n 引理) 【铀设q c r n ；f f l i p s c h i t z l s ：续边界， ( 南+ 1 ，p ( q ) ) ，且，0 ) = o ，印p kc n ) ，则 i ，( u ) l c 1 l f l l i v l , , + 1 p ，q v v i 矿七+ 1 ，p ( q ) 其中l l l l l + = i l f l l ( w - + 1 , p f f t ) ) ， 引理3 0 41 4 0 l 对v ，i 妒。i i , h 等价于i 1 1 ，i i 协i i l , h 等价于i i 1 1 1 ，即有 则 且 塑3 陬i 。胚陬1 1 mi 。，i ，扣州1 0 1 1 i i 。 1 1 i i 。” 引理3 0 5t 4 0 l , , t - v , p ，饥，记= ，耽) ，= c h ( z i ，协) ，定义 n 。 r 川圳3 ， _ i = 0 j = o 丘，州咖 。r t j 釜i = o j 釜= oh f 妒一如咖一厶饥如叫= 。， 此外，对l 2 ( q ) ，有 则 。，i 刘1 妒。i i 。，h 釜曼妒巧厶蚓i l o h 薹厶u 删耖 | 旧i l 0 i h i l o 引理3 0 6 【彳功对。，饥玩，定义 川州汀1 , h = - - 1 心= 0j 釜= o 妒巧z 珈 帅洲 妒巧止。鬻d s 。ur ” 薹萎bz 警d s 一z 警d s = 。 9 嚆薹上掣郴1 掰i 岫陬k 其中c 是只与网格步长有关的常数 下面开始估计l l ，如，l 3 ，丑，死由引理( 3 0 5 ) 由引理( 3 0 6 ) n 。n v l ，= i = 0 j = o 1 2 t 1 2 a t n z n v f f j ：，j ：， i - - - - 0j = o n t n g ff ：jt j i = 0 j = o d z 咖 ( e 舀+ e 扩1 ) f v , j ( e - e - 1 ) 如匆 e 3 厶扩出由一e 矿1 厶扩1 如妇 + e 茅1 厶，扩d z 妇一e 3 厶，矿- 1 如d 胡 土2 a t 粪薹 去刈 e 嚣厶矿蛐一 一扩_ 1 幅 j = oe 矿1 丘，蛐 耻一三薹薹掣z 岩如 i = 0 j = o e 嚣+ e 矿1 = e n q - 一e n - 1 2 厶掣d s ( 3 0 1 2 ) ( 3 0 1 3 ) 学 厂几 掣 地 铷卅 m 儿 竿 由 由 故 所以 由 误差估计 c 上( 解一 ) 2 如咖c t 3 上f ：。 a u t t ( 州啪】2 d t 如妇 i 丑i c 弛3 尉象心出 ( 3 0 1 7 ) ( 3 0 1 8 ) t u n + u n - 1 = 1 i 。一仁。笔( t 一竿) d 刁( 3 0 1 9 ， 端一5 = f l 掣 + 蛐一厶学蛐 蚺华如 o o r u n 一 i f ? 2 ”一1 ) 毛 a ( 让n 一矿一1 ) 一丌u n ) - ( u n 一1 一丌矿一1 ) d x d y o ( u n 一7 r 矿一1 ) 一忐川掣一掣 a 工， 一1 i t 一。厶，掣蛐1 f 一。z + 1 t - 一。o 瓦0 ( 掣) ( t 一竿 + 1 o o ，象( 掣灿 o ( u 一7 1 7 2 ) ) d s d t d s d t ( 3 0 2 0 ) ， k上 1 2 一 k 玎 厂厶厂儿 一t t1一出1一& 一 一 掣 内蒙古大学硕士学位论文 则 记 一击z = l 厶掣如咖d t + 击f ：。厶掣d 础 + 击f ：。z 妄( 掣) ( t 一竿) 砌 + 击仁z 岳( 挈) 酬 = 一羹粪巡2 土a tf ：。丘，掣如d 她台局严- ， 现 一 壶f ：。z 挈砌 去仁。上晏( 挈) ( t t t n4 - t n - 1 ) 删t + 姜薹掣击脱妄( 挈) 捌t ( 3 0 2 1 ) 1 i t - 一。厶掣蛐出 ( 3 毗2 ) 一i x t 。( ：= l - z 挈础 毗3 ， 1 i t 一。z 未( 掣) ( t - t n - t - 2 t n - 1 ) 捌( 3 o 2 4 ) 掣击仁z 击( 挈) 捌t 慨毗5 ， 喝一 ：l | 心渤 i l 死 学一 + 1 嚼一 m ! 豆 帆瑚 1 - 嗡一 触 帆：l 嚼一 m 脚 心枷 = 翰 # 嚼一 m 伽 虬铷 = 砀 掣 m 舢 心! i = 心脚 心渤 = 2 7 误差估计 故 t 2 = 乃14 - 砀+ t 2 3 + t 2 4 由引理( 3 0 5 ) 、引理( 3 0 7 ) 及c a u c h y 一不等式，得到 t 2 1 i ：i i f ：。击| 去仁。厶掣蛐叫 f ：。划等产l | 0 e n4 - 一e n - 1 1 i o 出 d x d y t d t ：。瓦c ( 瓦o u 一百6 1 7 l t t 川1 1 。2 + i i e n4 - e n - 1 2 啪卜 = c l i 竿4 - e n - 1 2 + 一h - 7 。口_ l ( 害一百6 3 7 r u ，舻i 2 c t 2 2 l e n4 - e n - 1 2 0 , h + 罢口出 ，l 厂俨i 瓦上州f 击仁。z 掣砒 击仁。帆1 3e n - i - 一e n - 1 忐聪e l e n4 - 一e n - 1 z 掣d s l 班 出 1 , h + 壶仁，了c h 4 孙出 引竿卜c 刨h 4f p t 。i 出 ( 3 0 2 6 ) ( 3 0 2 7 ) ( 3 0 2 8 ) 进 警 以舢 帆：i l 等 厶学 m ：l i 儿铷 略一 心芦 心渤 = 咯一 心瑚 瑚 内蒙古大学硕士学位论文 t 2 3 i ：i i = 0 j = o 盟n n-1一at，“-2t 旦o t ( 1 ，疗u a ( u 一7 r u ) ) ( t 一t n + 广t n - 1 ) 砒 击肌一竿) 噻粪掣上品( 象一等) 舢i b a t ，艮- t 一 n + t n 一1 2) c h 2 1 窑l 。n 础f ：。( 掰钒n ) ( 壶c t 一竿卜l e n - j re n - 1 k ) 砒 c 4 t f ：，l 象已+ 船：。击o t n 等- 1 ) 2 l e n 4 r 一e n - 12 蛐出 ，护 = c h 4 tf j r 一l 乃4 i ) d s d t 矩，噻薹掣z 品( 丌象一别砒 忐f ：，c 2 i 害ke n - i - e n - 1 1 1 班 = 仁。【志c 2 钒n 面1iten q _ e n - 1 鲫4 壶口o 撕u 2 d t + e n + e n - 1 2 2 1 ， 从而可得到疋的估计式 7 2 i it 2 1 i + i t 2 2 l + i 乃3 i + i t 2 4 l ， d t ( 3 0 2 9 ) ( 3 0 3 0 ) ”e n - k - e n - 1 2 啪+ c 圳h 4f p t 。1 容1 2 , a t + 割竿bc h 4 e 。m ；舯出 栅4 t 尉瓢q d t + c h 4 t ： 。飘o u2 ，n 出 ( 3 0 3 1 ) 帆心 掣c b 一况 上r 厶 一i 出 略一 心伽 心瑚 误差估计 由l l ，l 2 ，l 3 ，噩，死估计，可得 志 i i | e “嘁 一e n 。3 小+ 互1i t e n - l - e n - 1 | 1 2 + 巫1 一 1 l l e 咄 _ i i i e 1 i i l ； 够ie n - 4 - 一e n + l2 一广争le n i - 一e n - 12 蛐+ c 酣尉解2 u 眩2n 出 + o h 4 f t ： 。( c “g t2 “, n + i 害已+ m ；，q ) 出+ c 4 t f ：。l 瓦o u l 2 。，q 出( 3 0 3 2 ) 在上式中，令1 ，并在上式两端同乘2 t ，得到 【l i l e n i | f 3 ， - i l l e - l l l 3 ， 】+ i l l e l l l ；， - 1 1 1 e 一1 i i l ；， c a t 4 ，。t - 一。丹。9 2 t 22 2 , f l d t + c h 4 a t 2j r , 2 ”- 。i 瓦i 9 t tl 。2 ，n d t + c 4 f ：八i i 瓦c 3 u 1 1 2 2 ，n + l 害已+ 川；，n ) 以 - t - c a t ( 1 l e 1 1 2 ，l + i 矿1 ) 托a t ( 1 e 1 3 ， + 矿1 嘲 ( 3 0 3 3 ) 将上式对n 求和，9 令c z x t ，e a t 2 扣喵2 + 妒i ； e 堋， + 矿；， s - 。ll l e - 1 1 3 一百3 川一蚴n 善- , ( i i e 3 一晰， ) 栅t 4 f o t 嘲：州脚门瓢n 出 砌4 f o t ( 嘲0 吲0 u 。2 ，n 仆嘲疵( 3 0 3 4 ， 则有 | l e 川纠叫；庐c t n 邑- 1 ( | l e 3 ， + p 哟+ c h 4 a t 2z o 俨献n 班七= o 。 一叮瞄：，n 出彻4 八雠o q un + 雠n 删，n ) 出( 3 0 3 5 ， 1 6 内蒙古大学硕士学位论文 由g r o n w a l l 弓l 理的离散形式可得 即 所以 e n i l 2 0 , h + 1 e ”i i , h c x t 4 o 严僦一脚门瓦o u 妒2 t 栅4 八雠n + 献n 删班( 3 0 3 6 ， 霄矿一嵋幢_ l = 0 e n 幢l l = i i e n i i 苦， + i e ”l ；， c ( 2 h 4 x t 2 + h 4 + t 4 ) c ( h 2 + a t 2 ) 2( 3 0 3 7 ) 1 7 r 俨一u ；：0 1 ，i l = l i e n i l ；_ i c ( h 2 + a t 2 ) ( 3 0 a s ) 再由双线性插值理论，有i l ，r t t u 0 1 c h 2 3 ，n 从而 l l u n 一嵋1 1 1 ，i l l 矿一7 r 矿0 l + 0 丌矿一 嚣1 1 1 ，l i l c 炉+ c ( h 2 + a t 2 ) c ( h 2 + a t 2 )( 3 0 3 9 ) 上述讨论可总结如下 定理3 0 1 假设，充分光滑，t h 2 ( o ，t ；础( q ) n 日3 ( q ) ) 是方程偿以j ，的解，有限体 积格式俾d 砂的解u h 在h 1 ( q ) 范数下收敛到u ，误差估计由式p 口删给出 1 7 参考文献 参考文献 【1 】e w i n gr e ，t h ea p p r o x i n a t i o no fc e r t a i ni np a r a b o l i ce q u a t i o n sb a c k w a r di nt i m eb y s o b o l e ve q u a t i o n s s i a mj n u m e r a n a l ，1 9 7 5 ，6 ：2 8 3 - 2 9 4 【2 】n a k a om t ，e r r o re s t i m a t e so fag a l e r k i nm e t h o df o rs o m en o n l i n e a rs o b o l e ve q u a t i o n s i no n es p a c ed i m e n s i o n n u m e r m a t h ，1 9 8 5 ，4 7 ：1 3 9 1 5 7 【3 】l i ny p ，g a l e r k i nm e t h o d sf o rn o n l i n e a rs o b o l e ve q u a t i o n s a e q u a t i o n e sm a t h ，1 9 9 0 ，4 0 ： 5 4 6 6 【4 】4 l i ut a n g ，l i ny p ，r a om i n g ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rs o b o l e ve q u a t i o n s j c o m p u t m a t h ，2 0 0 2 ，2 0 ：6 2 7 - 6 4 2 f 5 1c h o us ，l iq i a n ，m a x - n o r me r r o re s t i m a t e sf o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rn o n l i e a rs o b o l e v e q u a t i o n s j k s i a m ，2 0 0 1 ，5 ：2 5 - 3 7 【6 】王焕清，李宏，文宗川，s o b o l e v 方程的h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法内蒙古大学学 报，2 0 0 7 ，3 8 ( 2 ) ：1 4 5 - 1 4 8 【7 】郭会，对流占优s o b o l e v 方程的最小二乘g a l e r k i n 有限元法高等学校计算数学学报， 2 0 0 5 ，2 7 ( 4 ) ：3 2 8 - 3 3 7 【8 1 8 t i k h o n o va n ，s a m a r s l c i ia a ，h o m o g e n e o u sd i f f e r e n c es c h e m e so fah i l g hd e g r e eo fa c c u - r a c yo nn o n u n i f o r mn e t s z h v y c h i s l m a t m a t f i z ，1 9 6 1 ，h5 - 6 3 【9 】t i k h o n o va n ，s a m a r s k i ia a ，h o m o g e n e o u sd i f f e r e n c es c h e m e so nn o n u n i f o r mn e t s z h v y c h i s l m a t m a t f i z ，1 9 6 2 ，2 ：8 1 2 8 3 2 【1 0 1b a n k r e ，r o s edj s o m e e r r o re s t i m a t e sf o rt h eb o xm e t h o ds i a m j n u m e r a n a l ，1 9 8 7 ( 2 4 ) ：7 7 7 - 7 8 7 【11 1 c r o i s i u ejp f i n i t ev o l u m eb o x - s c h e m e sa n dm i x e dm e t h o d s m a t h m o d e l n u m e r a n a l ，2 0 0 0 ，3 4 ( 5 ) ：1 0 8 7 - 1 1 0 6 【1 2 】h a c k b u s c hw o nf i r s ta n ds e c o n do r d e rb o xs c h e m e s c o m p u t i n g ，1 9 8 9 ，4 1 ：2 7 7 - 2 9 6 【1 3 ls c h m i d tt b o xs c h e m e so nq u a d r i l a t e r a lm e s h e s c o m p t i n g ，1 9 9 3 ( 5 1 ) ：2 7 1 2 9 2 【1 4 】c h o ush ，l iq e r r o re s t i m a t e si nl 2 ，h 1 ，l 。o i nc o v o l u m em e t h o d s f o re l l i p t i ca n dp a r a b o l i c p r o b l e m ：au n i f i e da p p r o a c h m a t h c o m p ，2 0 0 0 ，6 9 ：1 0 3 - 1 2 0 1 8 内蒙古大学硕士学位论文 1 1 5 】c a iz ，o nt h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d n u m e r m a t h ，1 9 9 1 ，5 8 ：7 1 3 - 7 3 5 【1 6 】c a iz ，m a n d e lj , m e c o r m i c ks t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tf o rd i f f u s i o ne q u a t i o n s o ng e n e r a l t r i a n g u l a t i o n s s i a mj n u m e r a n a l ，1 9 9 1 ，2 8 ：3 9 2 - 4 0 2 f 1 7 l a z a r o vr ，m i c h e vi , v a s s i l e v s k ip f i n i t ev o l u m em e t h o d sf o rc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m s s i a mj n u m e r a n a l 1 9 9 6 ，3 3 ：3 1 - 5 5 【18 】李荣华，两点边值问题的广义差分方法吉林大学自然科学学报，1 9 8 2 ，1 ：2 6 - 4 0 f 1 9 】向新民解两点边值问题的广义差分法一l a 伊a i l g e 二次元黑龙江大学学报，1 9 8 2 ( 2 ) ：2 5 - 3 4 【2 0 w uw ，l i rh 解一维二阶椭圆和抛物微分方程的广义差分法数学年 刊，1 9 8 4 ，5 a ( 3 ) ：3 0 3 - 3 1 2 【2 1 j 李荣华，祝丕琦二阶椭圆偏微分方程的广义差分法( i ) 一三角网情形高校计算数学 学报，1 9 8 2 ( 2 ) ：1 4 0 - 1 5 2 【2 2 】祝丕琦，李荣华二阶椭圆偏微分方程的广义差分法( i ) 一三角网情形高校计算数学 学报，1 9 8 2 ( 4 ) ：3 6 0 - 3 7 5 【2 3 】向新民二阶椭圆方程的广义差分法高校计算数学学报，1 9 8 3 ( 2 ) ：1 1 4 - 1 2 6 【2 4 l 丰连海求解二阶椭圆型偏微分方程的一种有限体积元格式2 0 0 2 ( 4 ) ：6 3 - 6 7 【2 5 】田明忠，陈仲英椭圆型方程的广义差分法( 二次元) 高校计算数学学报，1 9 9 1 ( 2 ) ：9 9 - 1 1 3 【2 6 】c h e nzy t h ee r r o re s t i m a t eo fg e n e r a l i z e dd i ? e r e n c em e t h o d so f3 r d - o r d e rh e r m i t et y p e f o re l l i p t i cp a r t i a ld i ? e r e n t i a le q u a t i o n s n o r t h e a s t m a t h ，j ，1 9 9 2 ( 8 ) ：1 2 7 - 1 3 5 【2 7 c a iz , m c c o r m i c ks o nt h ea c c l l r a c yo ft h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o rd i f f u s i o n e q u a t i o n so nc o m p o s i t eg r i d s s i a mj n u m e r a n a l 1 9 9 0 ，2 7 ：6 3 6 - 6 5 5 【2 8 1 f a i l l ei a c o n t r o lv o l u m em e t h o dt os o l v e 锄e l l i p t i ce q u a t i o no nat w o - d i m e n s i o n a li r r e g u l a r m e s h c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g ，1 9 9 2 ，1 0 0 ：2 7 5 - 2 9 0 【2 9 】h a c k b u s c hw o nf i r s ta n ds e c o n do r d e rb o xs c h e m e s c o m p u t i n g ，1 9 8 9 ，4 1 ：2 7 2 9 6 【3 0 】s e l m i nv t h en o d e - c e n t r e df i n i t ev o l u m ea p p r o a c h ：b r i d g eb e t w e e nf i n i t ed i f f e r e n c e sa n d f i n i t ee l e m e n t s c o m p u t e rm e t h o d si na p p l i e dm e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n g ，1 9 9 3 ，1 0 2 ：1 0 7 - 1 3 8 】9 m e s h e s m a t h c o m p ，1 9 9 2 ，5 9 ：3 5 9 - 3 8 2 【3 3 】c h a t z i p a n t e l i d i sp ，l a z a r o vd ，t h o m d ev ，e r r o re s t i m a t e sf o rt h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n t m e t h o df o rp r a b o l