（计算数学专业论文）保费率为随机变量的风险模型和双复合poisson风险模型.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文研究了保费率为随机变量的风险模型的破产概率及其精算量和双复合 p o i s s o n 风险模型的破产概率的估计 对于保费率为随机变量的一类风险模型，本文就离散的随机变量、连续的随机变 量、一般的随机变量三个方面进行讨论，运用概率方法和风险理论的方法推导出破产 概率、末离前最大盈余分布、破产前瞬时盈余与破产赤字的联合分布等精算量分布的 一般公式 对于保费收入过程为复合p o i s s o n 过程的破产模型，本文就不带干扰时的破产模 型和带干扰时的破产模型进行讨论，运用鞅方法的得出了破产概率满足的l u n d b e r g 不等式 关键词：风险模型， 破产概率，l a p l a c e 变换，联合分布，复合p o i s s o n 过程，干 扰，l u n d b e r g 不等式 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h er i s km o d e lw i t hr a n d o mp r e m i u mr a t ea n dt h er i s km o d e l w i t ht w oc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e s t h e nw e g e tr u i np r o b a b i l i t y , a c t u a r i a ld i a g n o s t i c s a n dl u n d b e r g i n e q u a l i t yi nt h en e w m o d e l a st ot h er i s km o d e lw i t hr a n d o m p r e m i u m r a t e w ec o n c e r n e dw i t hd i s c r e t er a n d o m v a r i a b l e ，c o n t i n u o u sr a n d o mv a r i a b l ea n dg e n e r a lr a n d o mv a r i a b l e w ed e r i v et h ef o r m u l a o fr u i np r o b a b i h t y , t h ee x t r e m ed u r i n gt h et o t a ld u r a t i o no f n e g a t i v es u r p l u sa n dt h ej o i n t d i s t r i b u t i o no f t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i n a b o u tt h er i s km o d e lw i t ht w oc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e s ，w ed i s c u s st h er i s k m o d e lw i t ht w oc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e sa n dt h er i s km o d e lw i t ht w oc o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s e sb yd i f f u s i o n t h e nw eg e tl u n d b e r gi n e q u a l i t ya n dt h ef o r m u l ao f r u i n p r o b a b i l i t y i nt h i sn e wm o d e l k e y w o r d sr i s km o d e l ，r u i n p r o b a b i l i t y , l a p l a c et r a n s f o r m ，t h ej o i n td i s t r i b u t i o n ， c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s e s ，d i f f u s i o n ，l u n d b e r gi n e q u a l i t y 壹室堕窒堕墨查堂堡主堂堡堡茎 1 1 背景介绍 第一章绪论 保险风险理论产生于保险公司承保项目的可行性研究，其研究对象来自保险商业 的各种随机模型初期的风险理论主要与寿险有关，研究的是个体风险模型通常称 为个体风险理论集体风险理论把全体投保者看成一个整体，索赔的产生为一个随机 过程，如今在风险领域里研究的各种风险模型都是在此基础上逐步发展起来的风险 理论作为保险精算数学的一部分，是当前精算和数学界研究的热门课题，主要处理保 险事务中的随机风险模型并研究破产概率、调节系数等问题经典风险模型是主要研 究对象之一，国内外的学者们以对其进行了大量的研究现已公认，其研究溯源于瑞 典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文 8 他首先进行了破产论的研究， 提出了一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数 学的严格标准，它的严格化是以h a r a l d c r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将 l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础之上，他们给出了k 曲e r g c r a m d r 经典破产 模型的确切表述、有关假定和主要结果现己公认，l u n d b e r g 和c r a m e r 的工作为 经典风险理论的基本定理因此，风险理论较为系统的理论形成应该说始于 l l l l l 曲e r g 8 ，9 】和c r a m 6 r 1 0 - 1 2 了随着随机过程理论的逐渐系统和成熟为风险理论 的研究提供了强有力的方法和工具当代研究破产论的国际领先学者h a n u g e r b e r 以严谨的概率论基础，简练清晰地进一步研究了破产论对风险理论的系统论述当属 于g e r b e r 2 ，1 3 1 4 】和g r a n d e l l 1 5 近年来，风险理论的研究十分迅速，研究问题的 范围也逐渐扩大，其中破产概率的计算和估计一直是风险模型研究的核心问题风险 理论发展至今，已形成许多处理风险模型的方法国内对其研究主要是南开大学的吴 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 荣 7 ，2 0 】教授及她的学生们，他们研究了经典风险模型中盈余过程在首次破产前的 极大盈余额大于某一定值，首次破产前瞬间的盈余额、破产赤字和末离零点前极大盈 余额小于某一定值四者的联合分布以及盈余过程在末离零点前极大值、极小值及零点 数的联合分布 近年来，保险风险理论的研究基本上是对古典风险模型的改造和推广，以使模型 更贴近于实际，结果更具有操作性，使得风险理论研究内容和结果更加丰富多彩 本文对古典风险模型进行推广，第二章是将保费率推广为任意离散随机变量，并运用 概率方法和风险理论的方法推导出破产概率、末离前最大盈余分布、破产前瞬时盈余 与破产赤字的联合分布等精算量分布的一般公式第三章阐述了保费收入过程为复合 p o i s s o n 过程的风险模型，并就不带干扰和带干扰的两种情形分别进行了研究，得出 了破产概率满足l u n d b e r g 不等式 1 2 经典风险模型介绍及主要结果 一般来说风险模型由三个过程组成： ( 1 ) 保费收入过程 s ( f ) ，f r ，s ( r ) 表示( o ，f 内收到的总保费； ( 2 ) 索赔到达的计数过程 0 ) ，t 丑 ，n ( t ) 表示在( o ，t 】内发生的索赔总次数； ( 3 ) 索赔额序列 以，k ) ，以表示第七个索赔的索赔额 若令并( f ) = ：墨，则x ( f ) 表示( o ，明内的索赔总额，而【，( f ) = s ( f ) 一x ( r ) 表示 盈余过程，也就是保险公司在t 时刻的盈余( 或累积资本) 风险模型的最简单情形为经典风险模型经典风险模型需要如下附加假设： ( 1 ) 保费收入过程 s ( f ) ，t r 为时间f 的决定性函数 s ( f ) = u + c t ，t r 其中，c 是一常数，它表示单位时间内收到的保费，u 为初始准备金； 2 南京航空航天大学硕士学位论文 ( 2 ) 索赔到达的计数过程 ( f ) ，t e r 为一齐次p o i s s o n 过程，具有参数z ( 3 ) 索赔额序列 以，k ) 独立同分布的随机变量序列，有共同分布函数f ，且 研墨】_ ； ( 4 ) 索赔到达的计数过程 ( f ) ，t r + ) 和索赔额序列 x k ，k n ) 相互独立 也就是说经典风险模型的盈余过程为 n “) ( ，( f ) = “+ c t 一x j 在风险理论中一个重要问题是研究破产概率，也就是盈余过程夥( f ) ，t 0 在某时 刻小于零的概率，写成数学表达式即为 其中 矿m ) = p ( g t 0 ，u ( t ) 0 l u ( o ) = u ) = p ( t o o l 【，( o ) = u ) r = 警裟兰 称为破产时 而y ( “，t ) = p ( t 0 “ 令r 表示破产时刻，则 t = 警毒鬣 令三表示最终离开零点的时间，则 三= 胪0 ：黧嚣i ，若上集空 定义破产概率 y ( “) = p ( 3 f o ，u ( t ) 0 u ( f ) 吨啦 0 丁工 1 4 各章内容介绍 图1 u ( t ) jl ， o r 上7 ( 1 6 ) 本论文共分三章第一章给出了本论文的一些背景知识，基本概念及预备知识 对风险理论及其发展作了简短回顾，介绍了经典风险模型，风险过程的一般化情形及 推广的风险模型 第二章、第三章是本论文的主体第二章主要是将保费率为常数的风险模型推广 为保费率为随机变量的风险模型，利用经典风险模型的结论得出了破产概率，末离前 最大盈余分布及破产前瞬时盈余和破产时赤字的联合分布的l a p l a c e 形式 第三章主要讨论了双复合p o i s s o n 风险模型，也就是对保险公司的保单持有量来 讨论破产问题，对其破产概率及调节系数进行了研究 第四章是对本论文的一个总结以及对以后将做工作的展望 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章保费率为随机变量的风险模型 为了研究的方便，在对保费率为随机过程的风险模型的研究中，我们从最简单的 随机变量开始研究，将随机变量分为离散的、连续的、一般的三种情形来研究 2 1 保费率为离散随机变量的风险模型 2 1 1 模型的建立 定义模型 “、 u ( f ) = “+ 善( ) 卜x ， ( 2 1 ) ，；1 其中“表示初始准备金，善( 叻是一随机变量且可善( 妫】- 口，它表示单位时间内保费 收入，= ( r ) ) 。是服从参数为a 的p d 加d n 过程，0 ) 为( o ，f 】内发生的索赔次数， 表示第_ ，次索赔量，期望为，x = 吗 州是恒正的独立同分布的随机变量序列， 其分布函数为，( 工) 妒( o ) = 0 ) ，且与x 独立记 ( r ) s ( f ) = = l 它表示至时刻t 为止的索赔总额由独立性知 e s o ) 】= e ( f ) 】占 五】= l 乒f 为了保证保险公司的稳定经营，通常要求 研善( ) t 卜e 【s 0 ) 】= ( 口一a l z ) t 0 ，t 0 即表示单位时间内保费收入大于索赔额由此定义安全负荷系数p ：善一1 0 “ 令r 表示破产时刻，则 丁= 学裂 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 令表不最终离开零点的时间，则 工= 胪：翌凳 定义破产概率 矿( “) = p ( j f 0 ，u ( t ) 0 ，0 ) 。 ( 2 7 ) 其中p ，= p ( 舌) = k i ) 证明f h ( 1 5 ) 圭口y ( “) = p ( t o o l u ( o ) = “) 将( 2 5 ) 代a ( 2 8 1 得 = p ( 孝( ) = 屯) p ( 丁 i 舌( 国) = k i , u ( o ) = “) i = l p ( 亭( 国) = t ) p ( 1 。i u i ( o ) = “) i = 1 = p ，y ，( “) 妒( “) 2 喜p l 【丢( r 户( 工) 出+ r 蚧 一x ) f ( x ) 出) ( 2 8 ) = a f 声( x 胁喜詈+ 喜詈f ( “) ( z 9 ) 在( 2 9 ) 式两边取l a p l a c e 变换。得 由 ( 2 1 0 ) 变为 定理得证 0 ( s ) = a f r e l ”p ( x ) a x a u 艺譬+ a 艺譬0 ( s ) l p ( s ) ( 2 1 0 ) i = l a , il = 1 j 妄r e - i f ( x ) d x d u = 鬟j ：e - f f ( x ) d u d x ：f 韵( 三一) 出：坐一型 判 ssss 2 拿( 一o ( 呦，芝i = l 譬i + 碰，喜。簪，( s ) o“ 扣l f 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 推论2 1 若对于风险模型( 2 1 ) ，p ( 掌( 国) = c ) = 1 ( 其中c 为常数) ，则 = ；一意 亿 证明 由于p ( 孝( 吐) ) = c ) = 1 ，因此 = 孝( 一o ) + 碡弓t =兰(一0(s)+兰ccgc 0 ( s ) 三，( s ) r 于是有 三p o ) = 盟1 二 兰( 一三i ( s ) ) 。 卜 又因为 ，( s ) = f e 一“d f ( z ) = sf f ( 工) e d x = s l a s ) 所以 厶( 。) 1 型 s占 从而 轧班尝纛 注1 我们不难发现，推论2 1 的结论和引理2 2 的结论是一致的 2 1 3 末离前最大盈余分布 令日( “，6 ) = p ( s u p u ( f ) o l u ( o ) = “) ，则它表示末离前最大盈余小于b 的分 o t u 时有 l o 南京航空航天大学硕士学位论文 她6 ) - 燃0 l糍 ( 2 i z ) 当6 “时有 删，= 秽糍 b 聊 当b “时，h ( u ，b ) = p ( s u p u ( t ) 0 | u ( o ) = u ) = 0 证明因为 h ( u ，6 ) = p ( f ( ) = k , ) p ( s u p u ( ，) 0 | f ( ) = t ，u ( o ) = “) i 。1 0 t ( 显然当b u 时 = 只p ( s u pv ( r ) oe v ( o ) = “) ，。io t ( u ，b ) = p ( s u p u ( t ) o | u ( o ) = “) = 0 0 “时，由引理2 3 可得 当“0 时 h ( u ，6 ) = z p 【。( 6 ) 一痧( “) 】，“o 扭l p ，( 6 ) ， “ ：l 矾o ) = 0 ) ，其中= u ( t 一) 表示破产前瞬间盈余 z = l u ( r ) = 一u ( r ) 表示破产时赤字由 1 有如下结果 引理2 4 对于风险模型( 2 2 ) ，其破产前瞬间盈余和破产时赤字的联合分布满足如 下方程 够( “，托：) = 詈 r 纪( u - v , x , z ) 7 ( v 胁- i a ( x ) 户( v ) 西】+ 五e ：f ( v ) 咖 ( 2 1 6 ) 其中，。表示集合a 的示性函数，即 i a ( u - 。) ： ! ：“工： fu “ z l 善( 卯) = t ，u ( o ) = “) = p 。p ( 1 x ，z i z i q ( o ) = p 。仍( ，z ) 所以由7 1 理2 4 ，可得 妒( “ z ) 2 喜b 砉 j ：仍( u - v , x , z ) p ( v ) 咖一l x ) f ( v ) 巩 + 兄e ：户( v ) 州 =艺铷+g(u；x力一旯l功；|；昔户(v)咖+兄e：f。)dv(218)i=1 = 詈+，z ) 一旯l 功譬户( v ) 咖+ 兄f ：，f o “ff = i 。 。 在( 2 1 8 ) 式两边取l a p l a c e 变换，可得 驰纠= 碴i = 1 簪 郴) 轴一弘( 咖) 妻i = 1 詈p “莉批” 2 + 兄f e - s ue ：户( y ) a v a u = a o ( s ) 芝t = 1 簪( 只五z ) 一旯l 。曲妻i = 1 詈e ：j = ：e 1 “户( v ) 出咖k i 2 + 九羹e - s u 。：f 卜) d v d u = a o ( s ) 艺i = 1 等厶( 凡五z ) 一朋。石) 手喜昔e ：e “户( v ) 咖+ 詈e ：户( v ) 西“f j k 1 托s 7 定理得证 推论2 2 若对于风险模型( 2 1 ) ，p ( 善( 国) = c ) = 1 ( 其中c 为常数) ，则 乞0 ，z ，z ) =胡j = 二：户( v ) 幽一丑l 曲萨j 二二：8 一“f o ) d r 一2 s l f ( s 、 证明由于p ( f ( 叻= c ) = 1 ，因此由( 2 1 7 ) ( 2 1 9 ) 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 于是 丑o ( s ) 乞( 品五z ) 一知j ( “曲喜e ：e “风西+ 詈e ：r 咖 z ) - ：竺型簋竺竺：兰塑竺 1 一二x l p ( s ) ：竺：! 至! ：! ! 二! 竺! ：兰：! ! ：至竺! ! c s 一, t s i f ( s ) 注3 我们不难发现，推论2 2 的结论与对( 2 1 6 ) 运用l a p l a c e 变换所得结论是一 致的 2 1 5 例 1 、若孝( ) 服从几何分布，即p ( 掌( 国) = k i ) = p q k , ，其中g = 1 - p ，则 ( 1 ) 破产概率的l a p l a c e 变换形式 乞= 缸瓤呦嵩孚+ 碑喜孚c ；一而i - 2 t ， =等(一加)h击+掣h击一弛小)。一州i-一2丽t1 q 1 i s s 一s 一口 ；一q ，一，p 、 ：鲤1 1 1 上 s 1 一q硝，o ) z 。- 坫 ( 2 ) 末离前最大盈余分布 当b ，“0 时 i 一九u 旯( 1 一s l f ( j ) ) h ( u ，6 ) = p ( s u p 己，( f ) o j u ( o ) = “) = 0 o “，“ 0 ，f 0 即表示单位时间内保费收入大于索赔额由此定义安全负荷系数p = 昙一1 0 u 令丁表不破产时刻，则 r = 掣0 0 裟裳i ，有上朱芏 令三表示最终离开零点的时间，则 三= p ：翌嚣 定义破产概率 妒( “) = p ( 3 t 0 ，u ( t ) 0 ，使得f ( ) 的取值为( n ，o 。) 相应地，记单位时间 保费收入为y 的风险模型的破产时刻，最终离开零点的时间，破产概率如下： u y ( f ) = “+ y t - z j i = l “2 一， ( 2 2 1 ) 。：攀0 0 ：翟2 h ，2 ， ( 2 2 2 ) l ，若上集空 一 ”。7 勺：t ：p p ：兰i 鬈竺f ：l 2 ， 一0 ，若上集空 一b 二 n ( “) 2 p ( 3 t o ，u ( f ) o ) = p ( 0 0 ( 2 2 3 ) q ( “，b ) = p ( s u pu ，0 ) o i u ，( o ) = u ) o t 。( 2 z 。) 其中& ( y ) 为亭( ) 的密度函数 证明 由( 1 5 ) 知矿( “) = p ( t o o u ( o ) = “) = f ( y ) p ( t y “时有 删，= 牌糍 c z z s ， 证明因为 h ( u ，6 ) = p ( s u p u ( t ) 0 i u ( o ) = “) = 0 o t l 日( “，6 ) 2 f ( y ) p ( 。s u 。p u v ( ) 0 1 ( o ) 2 “) 妙 2 lg f ( y ) h y ( “，b ) d y h ( u ，b ) = p ( s u p u ( t ) o l u ( o ) = “) = 0 ( 。，6 ) ： ( 力 丸( 6 ) 一办( “) 妙 “。 ( 2 2 9 ) 【l ( y 拂( b ) 4 v ， “ = l u ( o ) = “) d y ( 2 3 1 ) 所以由引理2 4 ，可得 妒( “，托z ) = f ( y ) 号 r 吩( u - v , x , z ) y ( v ) 咖一l x ) f ( v ) d q + e ：户( v ) d v a y = 五f 嗄w 陟w 胁) 币炒f 叫协+ 五e ：币渺( 2 3 2 ) 在( 2 3 2 ) 式两边取l a p l a c e 变换，可得 厶( 叫一= 五o ( s ) f 鼍墨( 蹦，z 坳矗l 功r o 渺f e 一“j ：! = 其v ) 抛 + a f e e ：户( v ) 珈砌 = 旯毒( s ) f 墨孚乏，( 只工z ) 砂一五l 砷f 毋砂e ：e ：e - 。f ( v ) d u d v 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 + 九毫e - s u 。i u ) d v d u = a o f 挚k 琊) 砂啦( 删手r 啉e - p ( v ) a v + 氯p ( v ) a v 定理得证 2 3 保费率为一般随机变量的风险模型 2 3 1 模型的建立 定义模型 u ( f ) = u + 孝) t 窆x ， ( 2 3 3 ) 其中u 表示初始准备金，孝( ) 是一随机变量且研孝( 国) 】- a ，它表示单位时间内保费 收入，n = ( f ) 。是服从参数为五的p d 洒册过程，( f ) 为( o ，f 】内发生的索赔次数， 乃表示第- ，次索赔量，期望为，x = x ，) 脚是恒正的独立同分布的随机变量序列， 其分布函数为f ( z ) ( f ( 0 ) = o ) ，且与x 独立记 s ( f ) = x j 它表示至时刻t 为止的索赔总额由独立性知 研s ( f ) 】= 研( f ) 】研墨】= 五 为了保证保险公司的稳定经营，通常要求 e 孝( 国) t 】一e 【s ( f ) = ( 口一2 比) t 0 。t 0 即表示单位时间内保费收入大于索赔额由此定义安全负荷系数p ：昙一i o 令f 表示破产时刻，则 ，= i n f f ：【，( ) o ，u ( t ) 0 ，使得善( 国) 的取值为( n ，。) 其分布函数为呸( y ) ，相应地，记 u y ( t ) = u + y t 一乙 i = l 州2 一， = 譬銎渊2 o m ，若上集空 。 。= l f o 鬈萎名， o 2，若上集空 ”1 ，2 f 2 3 4 ) r 2 3 5 ) 妒，0 ) 2 p ( 3 t o ，q o ) 0 i u ( o ) = o ) = p ( i 0 ( 2 3 6 ) h y ( “，6 ) = p ( s u pu j ( f ) 0 i u y ( o ) = “) 0 t o ( 2 3 7 ) 其中q ( y ) 为孝( 国) 的分布函数 证明 由( 1 5 ) 知妒 ) = p ( t l 【厂( 0 ) = “) 2 上p ( 5 “时有 ( “，6 ) = 【1 妒一( u y ) ( - 6 ) c e 6 ： ( 2 4 1 ) 当b ”时，h ( u ，b ) = p ( s u p u ( r ) 0 | u ( o ) = “) = 0 证明因为 ( “，6 ) 2f f p ( 。s u 。p 。u ( ，) o l u , ( o ) 2 “) 咆( y ) = r q ( z f ，6 ) 崛( y ) 南京航空航天人学硕士学位论文 h ( u ，b ) = p ( s u p u ( ，) o t u ( o ) = 1 , 1 ) = 0 删) ：卜姒吲力 蛇。 ( 2 4 2 ) 【tg ( b ) d g f ( y ) ， “ 0 ( “，6 ) = f 办( 6 ) 一办( “) 崛( y ) = f 办( 6 ) 葫唾( ，) 一f 以( “) 动唾( j ，) = f 吩( “) 织( y ) 一f 虬( 6 ) 蜓( y ) ( 2 4 3 ) 由( 2 3 8 ) 知( 2 4 3 ) 司r 化为 h ( u ，b ) = ( “) 一y ( 6 ) 当“ z f q ( o ) = “) 崛( y ) 所以由引理2 4 ，可得 f 2 4 4 ) 砌刖2 睁r 哆( u - v , x , z ) p ( v 协州必) 耶m + a e ：p ( v ) a v a g ( y ) r 多峨吼力崛( 一心( “功e 承岫- f 崛( y ) + a e f ( 岫( 2 4 5 ) 在( 2 4 5 ) 式两边取l a p l a c e 变换，可得 札”) = 五岛r 乒z ) 崛( 力毗( “曲r 晦f 刊：! = 莉妣 + 丑p “e ，f f ( v ) d v d u = 旯o ( s ) r 参 五z ) d 毽( y ) - 旯i a u 曲f 崛- e 矿“p ( v ) , b a v + 九羹e - s u 。t 哥卜) d v d u = 乓( s ) r 仅五z ) d 毽吨 功等f 崛e 矿“p ( v ) a v + 害e f ( v ) 咖 定理得证 2 4 南京航空航天大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章双复合p o i s s o n 风险模型 在以前研究中，几乎所有模型都蕴含这样一个假定：保费率为一常数【“2 1 或与索 赔到达有关的变量【6 1 即保险公司有稳定的顾客群，保险公司的顾客群会随着公司的 发展而增大，随着公司的衰退而减少：但是在实际中，由于竞争、利率等经济环境的 影响，保费率往往不是常数，而是自有规律的随机交量根据这一实际情况，本文对 保险公司的保单持有量来讨论破产问题，也就是在时间( o ，t 】内收到的保费次数服从 p o i s s o n 分布，每次收到的保费也不是常数，而是随机变量，本文就不带干扰和带干 扰两个方面进行了讨论 3 2 双复合p o i s s o n 风险模型 定义模型 m o )f n ，( f ) = “+ k 一x 。 ( 3 1 ) 其中“表示初始准备金；m = m ( f ) ) 。是服从参数为 的p o i s s o n 过程，m ( f ) 为( o ，f 】 内收到的保费次数，乓表示第k 次收到的保费额，期望为“，y = k ) 。是恒正的独 立同分布的随机变量序列，其分布函数为互0 ) ( 互( o ) = o ) ，且膨与y 独立； = ( f ) ) 。是服从参数为 的p o i s s o n 过程，j v ( f ) 为( 0 ，t 】内发生的索赔次数，以表 示第k 次索赔量，期望为鸬，x = 五) 。是恒正的独立同分布的随机变量序列，其分 布函数为e ( 力( e ( o ) = o ) ，且n 与z 独立：并且m ，y ，n ，盖相互独立 显然应有 如 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 它表示至时刻t 为止的索赔总额由独立性知 m ( ，)n i t ) e s o ) 】= e l 丘一k 】= e f o ) e i 一e o ) e 五 = ( 一五：) f 女= lk = l 为了保证保险公司的稳定经营，通常要求研s ( f ) 0 ，即单位时间内保费收入大 于理赔额，则有： “一五卢： 0 由此定义安全负荷系数目：拿丝一1 o 如2 令r 表示破产时刻，则 一f i n f t ：u ( f ) 0 ，u ( t ) 0 ， ( 3 ) 存在正数，使得e e - 椰 。 所以g ( r ) 为凸函数，因而方程g ( r ) = 0 至多有两解，= 0 的解是平凡的 又 掣l 叫f 川+ 五f 鸩叫h + 五鸬 o ) 舰其帆( f ) = 甓老铲 证明对于任意v t ，运用引理3 1 中( 1 ) ，得 眠蜥m 甓蔫产阳 ：e 旦趔! 兰! 尘坠c x p - , - s ( t ) - s ( v ) i 吼；1 。 e x p v g ( r ) 】e x p ( t - v ) g ( r ) 。一“ 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 地e c 篙e x d 篱阳 “r v l p i r l | 。 = m 。( v ) 引理3 3 丁是贝。的停时 定理3 2 风险模型( 3 1 ) 的破产概率满足不等式 妒( “) se “ 其中r = s u p r ：g ( r ) s 0 证明因为t 是贸5 的停时，所以选取，0 t o p r t o e 【a 毛( t o a t ) i t t o p t t o ) = e 帆( 丁) l t s t o p t t o )( 3 4 ) 由于在 r f o ( 3 7 ) 以f ( a 1 表示4 的示性函数，有 0 e e 一8 “it t o p 丁 t o = e e 一。u i t f 0 ) e e 一。“岛i u ( t o ) o 由于o 墨e 一8 “j i u o 。) 。) 1 ，且根据强大数定律当f 。辛 u ( t 。) 呻，8 s 故由控制收敛定理有 l i m e 【e 一。”岛l t t o 】p r t o ) = 0 8 s t o 一 于是在( 3 7 ) 式两端令r 0 斗o o ，即证得结论 3 3 带干扰的双复合p o i s s o n 风险模型 定义模型 m ( r )( r ) u ( f ) = “+ 一以+ c r w ( t ) ( 3 8 ) 其中“表示初始准备金：m = m ( f ) ) 。是服从参数为 的p o i s s o n 过程，m ( f ) 为( o , t 内收到的保费次数，k 表示第k 次收到的保费额，期望为4 ，y = k ) 。是恒正的独 立同分布的随机变量序列，其分布函数为e ( x ) ( e ( o ) = 0 ) ，且m 与y 独立 n = ( o ) ) 。是服从参数为 的p o i s s o n 过程，0 ) 为( 0 ，t 】内发生的索赔次数，置表 示第k 次索赔量，期望为鸬，x = 以 。是恒正的独立同分布的随机变量序列，其分 布函数为f d x ) ( f , ( o ) = 0 ) ，且与z 独立：仃为大于0 的常数，阿( f ) 是一个标准布 朗运动，并且w ( t ) ，m ，y ，x 相互独立 显然应有 五 m ( ，lf n 记s o ) = 耳一五十盯驴( f ) ，它表示至时刻t 为止的索赔总额由独立性知 ，( f )( t ) 研s ( f ) = e k 一五十盯( f ) 】= e ( r ) 】研i 卜e ( f ) e 】= ( “一五鸬弦 k = li - l 为了保证保险公司的稳定经营，通常要求e s ( f ) 】 0 ，即单位时间内保费收入大 保费率为随机变量的风险模型和双复合p o i s s o n 风险模型 于理赔额，则有： “一五2 0 由此定义安全负荷系数口= 拿丝一1 o 2 令，表示破产时刻，则 r = 紫躞l ，右_ ，粜芏 定义破产概率 y 0 ) = p ( 3 t 0 ，u ( t ) 0 ， ( 3 ) 存在正数r ，使得e e “】 。 所以g ( ，) 为凸函数，因而方程g ( ，) = 0 至多有两解，r = 0 的解是平凡的 又 掣| ，= 0 ：一 f 川+ 五f 码叫“咖： 0 证明因为丁是吼的停时，所以选取f 。 f 0 ) e m u ( t o x t ) i