（计算数学专业论文）三角bézier参数曲线曲面的若干研究.pdf

三角b 6 z i e r 参数曲线曲面的若干研究 摘要 本文一共包含五章内容 第一章，简单介绍了研究背景及主要研究内容； 第二章提出了一种带参数的三次三角曲线，具有类似b 6 z i e r 曲线的性质， 插值于起点和末点，a 越大越接近控制多边形，利用此曲线能精确表示椭圆与 抛物线弧。基于给出的调配函数建立c 2 连续的三次三角曲线的生成方法，曲线 上所有曲线段的控制顶点可由给定多边形的顶点直接计算产生，所得结论具有 明确的几何意义，而当每段曲线的参数相同时，可达到c 2 连续。 第三章利用齐次坐标给出了1 次有理b 6 z i e r 三角片到v x 次有理b 6 z i e r 退 化矩形片转化的显式表达，它是1 次b 6 z i e r 三角片到r 刀次b 6 z i e r 退化矩形片 转化的扩展。与传统的b 6 z i e r 三角片到b 6 z i e r 退化矩形片转相比，可以通过 改变权因子的取值，来调整曲面接近控制网格的程度，从而增加了曲面的自由 度，使对曲面形状的控制具有更好的灵活性。 第四章通过引入多个形状参数构造出三角域上的三角曲面，具有三角域上 b 6 z i e r 曲面类似的性质：如角点插值性、对称性、凸包性、几何不变性和仿射 不变性等，改变参数的值即可以做整体调控，也可以做局部调控，比三角域上 的有理b 6 z i e r 曲面具有更好的灵活性。 第五章对全文进行总结，提出下一步的工作设想。 关键词：形状参数三角曲线c 2 连续有理b 6 z i e r 表面升阶转化 三角域 r e s e a r c ho nan u m b e ro ft r i a n g u l a rb 6 z i e rc u r v e s a n ds u r f a c e sw i t hp a r a m e t e r s a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h ea u t h o rb r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n dt h em a i n c o n t e n to ft h i st h e s i s t h es e c o n dc h a p t e rd e a l sw i t hac l a s so f3 - d e g r e ec o n t i n u o u st r i g o n o m e t r i c c u r v e sw i t ht h es h a p ep a r a m e t e r , t h ec u r v et h a ti n t e r p o l a t e ss t a r tp o i n ta n de n d p o i n ti sa n a l o g o u st ob d z i e rc u r v e ，t h el a r g e ri s 五，t h ec u r v e c o m e sm o r en e a rt h e c o n t r o lp o l y g o n ，t h ee l l i p t i ca n dp a r a b o l i ca r c sc a nb er e p r e s e n t e de x a c t l yb yt h e c u r v e b a s e do nt h eb l e n d i n gf u n c t i o n s ，am e t h o do fg e n e r a t i n gc 二3 - d e g r e e c o n t i n u o u st r i g o n o m e t r i cc u r v e sw i t h t h e s h a p ep a r a m e t e r i so b t a i n e d ，t h e s e g m e n t e dc u r v e sa r ea l ls h a p e p r e s e r v i n gt ot h eg i v e np o l y g o n ，t h er e s u l t sh a v e d e f i n i t eg e o m e t r i cm e a n i n g s ，b u tw h e ne a c hc u r v eh a v es a m ep a r a m e t e r ，t h ec u r v e a r ec 2 c o n t i n u o u s t h et h i r dc h a p t e rp r o p o s e sa ne x p l i c i tf o r m u l at h a tar a t i o n a lt r i a n g u l a rb 6 z i e r p a t c ho fd e g r e en c o n v e r t st oad e g e n e r a t er a t i o n a lr e c t a n g u l a rb 6 z i e rp a t c ho f d e g r e en x nb yh o m o g e n e o u sc o o r d i n a t e s ，w h i c hi sa ne x t e n s i o no f a t r i a n g u l a r b d z i e rp a t c ho fd e g r e enc o n v e y st oad e g e n e r a t er e c t a n g u l a rb 6 z i e rp a t c ho f d e g r e en x n c o m p a r i n gw i t ht h et r a d i t i o n a lt r i a n g u l a r b d z i e rp a t c ho fd e g r e en c o n v e n st od e g e n e r a t er e c t a n g u l a rb d z i e rp a t c ho fd e g r e en x n ，b yc h a n g i n gt h e v a l u eo fp o w e rf a c t o r ，t h ea p p r o a c h i n gd e g r e eo fc o n t r o ln e t sc a n b ea d ju s t e d ，t h u s i n c r e a s e dt h es u r f a c ed e g r e eo ff r e e d o m i te n a b l et oh a v eab e t t e rf l e x i b i l i t yt oi t s s u r f a c es h a p ec o n t r 0 1 t h ef o u r t hc h a p t e rb yi n t r o d u c i n gan u m b e ro fs h a p ep a r a m e t e r sc o n s t r u c t e d o nt h ed o m a i no ft h et r i a n g u l a rs u r f a c e ，i th a ss i m i l a rn a t u r eo ft r i a n g u l a rb 6 z i e r s u r f a c e ：t h ea n g l eo fi n t e r p o l a t i o np o i n t s ，s y m m e t r y ，c o n v e xh u l l ，a n d a f f i n e i n v a r i a n tg e o m e t r i ci n v a r i a n c e ，c h a n g e si nt h ev a l u eo ft h ep a r a m e t e rt h a tc a nd o t h eo v e r a l lc o n t r o la n dc a nd op a r t i a lc o n t r o l ，h a sb e t t e rf l e x i b i l i t yt ot h et r i a n g u l a r r a t i o n a lb 6 z i e rs u r f a c e t h ef i f t hc h a p t e rs u m su pt h ef u l lt e x ta n dp r o p o s et h en e x ta s s u m p t i o n k e y w o r d s ： s h a p ep a r a m e t e r t r i g o n o m e t r i cc u r v e s c zc o n t i n u i t y r a t i o n a lb 6 z i e rs u r f a c e s d e g r e ee l e v a t i o n c o n v e r s i o n t r i a n g u l a rd o m a i n 插图清单 图2 1b e r n s t e i n 基函数的图形( n = 2 ，3 ) 。5 图2 2 参数三角曲线几何性质8 图2 3 参数三角曲线的逼近性8 图2 4 参数三角曲线表示椭圆9 图2 5 参数三角曲线表示抛物线9 图2 6c 2 连续曲线的几何关系1 0 图3 1b 色z t e r 三角片与b g z i e r 矩形片1 7 图4 1p 在a a b c 的重心坐标1 8 图4 2 六节点所对应的基函数1 8 图4 3 不同值的参数曲面2 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金胆王些太堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学i 立论文作者签名： 刁受雪 签字日期：碲多月7 e t l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金月曼王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权金熙王丝太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：翻，受殳 签字日期：力昭年易月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 勃吖 功瑙 以纷 名玑獬帆 _ 计 ， 新解 致谢 读研期间，得到了导师朱功勤教授和郭清伟副教授的精心指导，朱老师和 郭老师治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精 神氛围，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟 的学术目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，其严于律己， 宽以待人的崇高风范，朴实无华，平易近人的人格魅力将使我受益终身。 本论文是在他们的悉心指导下完成的，从论文的选题，方案制订，工作实 施到论文最后定稿，他们都倾注了大量的心血，值此论文完成之际，谨向导师 致以诚挚和深切的谢意。 同时谨向指导，关心和帮助过我的老师、同学、亲人和朋友表示诚挚谢意。 最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢 他们在百忙之中给予的批评和指正。 孙雯雯 2 0 0 8 年5 月 第一章绪论 1 1 曲线，曲面的研究背景及现状 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) ，简称c a g d ， 主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、逼近、分析和综合，它源 于飞机船舶的外形放样( l o f t i n g ) 工艺，由c o o n s ，b 6 z i e r 等大师于2 0 世纪6 0 年代奠定理论基础。 c a g d 是随着工业的蓬勃发展而逐步发展起来的应用数学的一个重要分 支，是当代高技术学科之一，随着计算机图形显于对于真实性，实时性和交互 性要求的日益增强，随着计算机几何设计对象向着多样性，特殊性和拓扑结构 复杂性靠拢这种趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息 化、网络化步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设 备的日益完善，c a g d 在近几年来得到了长足的发展，这主要表现在研究领域 的急剧扩展和表示方法的开拓创新。它与应用逼近论、微分几何、代数几何、 线性代数、数值分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及 计算机图形学、几何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、三维 医学图像、人体解剖学等学科的交叉和渗透，曲线和曲面是计算机辅助几何设 计研究的重要内容，它们在实际工作中有广泛的应用。例如，实验，统计数据 如何用曲线，表示? 设计、分析优化的结果如何用曲线，曲面表出? 汽车飞机 等具有风趣外形的产品怎样进行设计，才能使之完美且物理性能最佳? 1 9 6 3 年美国播音飞机公司的f e r g u s o n ( 拂胳森) 首先提出曲线，曲面表示 为失函数的方法，并引入参数三次曲线，从此，曲线，曲面的参数化描述成为 形状数学表达的标准形式。由以多项式为基函数1 6 】的b 6 z i e r 曲线【7 】和f e r g u s o n 曲线【s j ，发展到b 样条曲线和有理样条曲线【5 j ，非均匀有理b 样条( n u r b s ) 曲线，但n u r b s 在形状设计和分析中存在着一些局限性【2 9 3 l 】，如求导次数的 增加、权因子的选取、不能表示超越曲线，如摆线、螺旋线等，使用时有一定 不便【们。利用三角函数来构造曲线具有独到的优点，s c h o e n b e r g 3 2 1 c o o n s 3 3 1 都 曾研究过，用二次三角多项式可构造插值三角样条函数【l o j 和逼近的三角样条曲 线i l i 】，以1 , t ，c o s t 和s i n t 为基函数构造的c 曲线【1 3 1 4 】，包括c f e r g u s o n 曲线、 c b 6 z i e r 曲线、c b s p l i n e 曲线。可精确表示圆弧、椭圆等二次曲线，并通过 参量因子控制曲线的类型，文献【3 】在三角多项式空间 c m = s p a n 1 , c o s t ，c o s 2 t ，c o s m t 找到了与b e r n s t e i n 基类似的三角多项式基，计 算机辅助几何设计中，往往要满足一定连续性的前提下，调整曲线的形状或改 变曲线的位置，b e t a 样条曲线、g a m m a 样条曲线均是具有局部形状参数的c 2 三次样条曲线，仅具有良好的几何连续性，对均匀节点，只有当夙：i ，反：0 时， 曲线是c 2 连续的，即此时不能改变曲线的形状。利用三角多项式可构造c 3 连 续的三角曲线，但所构造曲线往往需要进行烦琐的计算，本文第二章提出了一 种新的参数三角曲线，所构造的曲线具有良好的几何性质，减少了计算量。 随着图形工业对实时交互要求的日益增强，曲面求值已成为整个系统高速 运行的一个“瓶颈 ，研究表明曲线曲面形式的互化在c a g d 中起着重要的作 用，它指的是同一条( 张) 参数曲线( 曲面) 用不同的多项式基来表示不同特 征网格之间的相互转化，或者指拓扑结构不同的矩形曲面片与三角曲面片的相 互转化，或者指参数曲线曲面隐式化和隐式曲线曲面参数化。1 9 8 4 年几何设计 专家b a r n h i l l 2 5 l 在s u r f a c ei nc a g d 的国际会议上指出矩形片和三角片的混合 使用是c a g d 的八个主要课题之一，因此矩形片和三角片的互化和拼接是 c a g d 的一个热点，b r u e e k n e r 2 6 】叶林【2 7 1 、王俊【2 8 】都给出了一些互化公式，把 b 6 z i e r 三角片表为矩形片的t r i m m d e ( 裁剪) 曲面；胡事民【4 0 1 则用升阶法得出 曲面b 6 z i e r 从三角域到矩形域上控制点的转化公式，l i n o 和w i l d e t 2 9 j 把一张b 6 z i e r 三角片分解为三张同次的非退化矩形片；g o l d m a n 和f i l i p 3 5 】把一张朋刀次 的矩形片精确的分割为两张m + n 次三角片，此外，s h e n g ，p i e g 弘j 都对t r i m m d e 曲面的三角化有所研究由于b 6 z i e r 曲面不能表示圆锥曲曲面或其他超越曲 面，所以本文第三章讨论了有理三角片b a z i e r 到有理b 6 z i e r 退化矩形片转化， 使其对曲面的形状控制具有更好的灵活性。 曲面造型也越来越被其它工业领域的产品设计商注意，制造技术的发展也 促进了对曲面造型的需求，要求曲面造型构造出复杂的新颖产品，矩形域形式 的参数曲面在应用中受到了极大的限制，而三角b 6 z i e r 曲面则表现出了良好的 优越性，能够有效地解决复杂区域上散乱点的曲面拟合问题，具有构造灵活， 适应性强的特点，因而在反求工程中受到极大关注。三角域上的b 6 z i e r 曲面最 初是由d ec a s t e l j a u 于2 0 世纪5 0 年代末提出的，但其成果直至1 9 7 5 年才被 b o e h m 5 i 】发现：2 0 世纪7 0 8 0 年代，国外对三角域上曲面造型进行了深入的研 究，代表性的学者有b a r n h i l l ，g o r d o n ，g r e g o r y , s a b i n 及f a r i n 等人p z ，4 4 j 。f a r i n 等提出了各种构造参数三角b 6 z i e r 曲面的方法，成功的解决了基于散乱点的三 角b 6 z i e r 曲面的插值问题，为三角b 6 z i e r 曲面的应用打下了良好的基础。给定 控制网格点及相应的二元b e r n s t e i n 基，即可确定三角曲面片：若要修改曲面的 形状，必须调整控制顶点，有理b 6 z i e r 三角曲面片通过引入权因子，不改变控 制顶点，由权因子可调整曲面的形状；但有理b 6 z i e r 三角曲面片还有一定的缺 陷：如何选取权因子以及权因子对曲线的形状影响还不是十分清楚，求导次数 增加，求积分不方便等【4 0 , 5 3 】。吴晓勤，韩旭里，邬弘毅，提出了带有形状参数 的b 6 z i e r 三角曲面片 1 7 - 2 2 , 4 0 l ，有效的解决了上述问题，显然在多项式空间中， 即使增加参数仍无法精确表示圆锥曲曲面或其他超越曲面，所以本文第四章在 三角多项式空间研究三角域上的带参数的三角曲面，为三角域上的曲面造型提 供了一种新的思路和方法。 1 - 2 本文的主要内容 在已有成果的基础之上本文推广了带形状参数的c 2 三次三角曲线，b 6 z i e r 三角片到退化矩形片的转化及参数b 6 z i e r 曲面，全文内容安排如下： 第一章介绍了曲线，曲面的研究背景及连续参数曲线，曲线曲面形式互 化的发展概况。 第二章引入了与b 6 z i e r 特性相同的一种带参数三次三角曲线是带参数 c 2 四次样条曲线的扩展，并且研究了带形状参数的c 2 三次三角 曲线的构造，具有明显的几何意义，每段曲线上的控制顶点有给 定的控制多边形的顶点直接得到，曲线的局部修改比较方便。 第三章引入齐次坐标讨论有理b 6 z i e r 三角片到退化矩形片的转化，使 之能表示除抛物面以外的圆锥曲面，也可以不动控制多边形，通 过改变权因子，来调整曲面的形状，从而增加了曲面的自由度， 使对其形状的控制具有灵活性。 第四章通过引入多个形状参数构造出三角域上的三角曲面，具有三角域 上的b 6 z i e r 曲面类似的性质：如角点插值性、对称性、凸包性、 几何不变性和仿射不变性等，改变参数的值即可以做整体调控， 也可以做局部调控，比三角域上的有理b 6 z i e r 曲面具有更好的灵 活性。 第五章对全文的工作，创新点，实际意义做总结，对今后的工作提出一 些浅显的想法。 第二章带形状参数的c 2 三次三角曲线 2 1 引言 在计算机辅助几何设计中，往往需要满足一定的连续性的前提下，调整曲 线的形状或改变曲线的位置。文献 1 5 】研究了c 2 四次样条曲线的生成方法，基 函数为带参数的三次b 6 z i e r 曲线，但是它不能精确表示常见的圆锥曲线。本文 研究了与b 6 z i e r 特性相同的一种三次三角曲线，基函数为4 个三次三角曲线组 成，由四个控制点控制曲线，完全具有三次b 6 z i e r 曲线的特征，能够精确表示 圆锥曲线。因此，引入c 2 连续的三次三角曲线，与文献【1 5 】相比具有更好的灵 活性，可使曲线逼近或远离v i v i + 1 ，当每段名值相同时，可达到c 3 连续。c 3 连续的空间曲线能保持曲率和挠率的连续性，因此该曲线可应用于连续性较高 的造型系统。 2 2b 6 z i e r 曲线的定义和性质 2 2 1 8 6 z i e r 曲线的定义 定义2 1 1 设娩琵是n + 1 个空间的点，以r 1 次b e r n s t e i n 多项式 啪，= p 秽一蕊以 为调配基函数的曲线段 心) = 色( 6 0 ，岛，一包；力= 包 0 t l ( 2 2 1 ) 叫做以佼笼为控制点的n 次曲线，这里g = 面者赢 2 2 2 b e r n s t e i n 多项式的性质 b e r n s t e i n 多项式具有如下性质 ( 1 ) 单位分解：b i 埘( f ) - 1 ( 2 ) 非负性：0 b h ( f ) 1 ( 0 t 1 ) ( 3 ) 端点性质： ) = 嚣蒜州1 ) = 器嘉 ( 4 ) 对称性：b i 。( f ) = b n _ f 。( 1 一t ) ，0 t 1 ( 5 ) 递推关系：b i ，。( f ) = ( 1 - t ) b i ，l ( f ) + t b i - i , n - i ( f ) ， ( 6 ) 导数递推公式：去马，。( f ) = 硝e 山一。( t ) - b 枷1 ( f ) 】， f = 0 , 1 ，刀 ( 7 ) 最大值：b j 。( f ) 在t = 二处达最大值。 给出了b e r n s t e i l l 基函数的图形( n = 2 。3 ) ： 牌驴每如 弦2 2 ， 1 ) = 志岔玩 。 j 心匀= _ 厶k - b s 2 2 4 b 6 z i e r 型三角曲线 为表示一些二次曲线和超越曲线，三角多项式曲线在其中发挥了巨大的作 用，【1 6 1 7 又分别用简单的基函数给出了b 6 z i e r 型三角曲线的形式，结构简 单，并且在拼接时可以达到g 3 连续。 1 ，一类三角曲线 1 6 】 定义2 2 2 设p ，( 江0 , 1 ，2 ) 为r 2 或r 3 的控制点，曲线定义为： 仃 r ( t ) = w o ( t ) p o + w l ( 她+ ( 慨，f o ，习 ( 2 2 3 ) z 其中基函数为： iw o ( t ) = 1 - 2 s i n t s i n 2t w ( f ) - - - - 2 + 2 s i n t + 2 c o s t 1w 2 0 ) = 2 - 2 c o s t s i n 2 t 2 显然w f ( f ) o ，( 江o ，1 ，2 ) 且嵋( f ) = l i = 0 在此曲线下构造与多边形相切的曲线时比传统的曲线有如下优点： ( 1 )保形性，切线多边形为凸时，构成的曲线也是凸的：当切线多边形有转 折点时，曲线有转折点，且转折点数与拐点数相同。 ( 2 )光滑性好，所构造的曲线可达到g 3 连续。 ( 3 )无需额外信息，只要给定切线多边形与切点即可 ( 4 )逼近效果好，与传统的曲线相比，与多边形靠的更近 删= 乃o ) ，o f 等 ( 2 2 4 ) 其中b 阳( f ) 为t - b 6 z i e r 基函数，q ，为控制顶点：其矩阵表示为： p c r ，= 丢2 哆“力= 。s 缸r c 。s r ( - i 1 1 立 圣 烈。= 丢哆“力= 1 咖f c o “1 ：。三0 篓l ，卸3 ，( f ) = 【1 c 。s l - 。2 2 。2 0 0 2ig q ：1 1 1 32p(t)-ysj s i n tc o s t2 t i 3 2一一 ig o ，3 ( f ) = 【1 c o s 1nn，l 。 ，= o l vv 0 吁2 l - 1 2 1 1 1 2 一q 3 t - b 6 z i e r 曲线具有与同阶b 6 z i e r 曲线完全类似的性质：端点插值性质、导 失性质、凸包性、变差缩减性等，且表达式简单，特别是t - b 6 z i e r 曲线可以不 需有理形式就可精确表示直线段、二次多项式曲线段以及圆弧、椭圆弧等二次 曲线和心脏线等超越曲线，相应的张量积曲面可以精确表示椭球面等二次曲面， 同时能较易转化为多项式或有理多项式参数曲线，在设计方面使用简单，此外， 在光滑拼接时比传统的b a z i e r 曲线曲面具有更好的连续性。 2 3 三次三角曲线的生成 2 3 1 带参数的三次三角基函数 文献 1 5 利用带形状参数的调配函数曰，3 ( 名，t ) l 风。3 ( 名，t ) = ( 1 一无) ( 1 一f ) 3 b 三0 7i 3 杰三：2 7 0 一1 2 f ( 一3 名1 ，o ，1 ) l曰2 ，3 ( 名，t ) = ( 3 + 允) ( 1 - t ) t 2 、一l 一v i色。3 ( 名，t ) = ( 1 一名+ 办弦3 构造了c 2 四次样条曲线，现将其基函数扩展为带参数的三角多项式基，并生成 三次三角曲线。 定义2 3 1 ：设v i ( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) 为r 2 或r 3 的控制点，称参数曲线 ，( f ) = k w ，3 ( 名，f ) ，o f 等，o 名1 ( 2 3 1 ) 为带参数的三次三角曲线，其中嵋，( 五，t ) 以名为实参的三角多项式。 fw 0 ，3 ( 力，f ) = 1 - 3 2 s i n t + 3 ( 2 2 - 1 ) s i n 2t + ( 2 - 3 2 ) s i n 3 t 麓麓=32sint+2(1-32)sin2：t+(32-一2)sin33tw(232)2 t 3 2 c o s t + 2 ( 1 - 3 2 ) c o st + ( 3 22 ) c o st i，3 ( 名，) = 2 3 一一7 1w 3 ，3 ( 名，f ) = 1 - 3 2 c o s t + 3 ( 2 2 - 1 ) c o s 2t + ( 2 - 3 2 ) c o s 3 t 从基函数的表达式( 2 3 2 ) 可知，基函数具有以下性质： ( 1 ) 非负规范性：即对i = 0 ，1 ，2 ，3 ；有w ，3 ( 名，f ) o ，且w ，3 ( 名，f ) = 1 ( 2 3 3 ) 此性质说明曲线( 2 3 1 ) 位于控制点m 生成的凸包内。 ( 2 ) 对称性：即当f 用v 万- f 替换有w 0 ，3 ( 名，f ) = 3 ( 五，要一f ) ， ，3 ( 彳，f ) = w 2 ，3 ( 名，j b t ) ( 2 3 4 ) ( 3 ) 对参数名的单调性：即当t e o ，妥】时w o ，3 ( a ，t ) 和w 3 ，3 ( 兄，t ) 对力是单调， 3 ( 五，f ) 和w 2 3 ( 五，f ) 对名是单调递增的。 l，- ( o ) = ，( 等) = v 3 ( 4 ) 端点性质： ( 2 3 5 ) l ，7 ( o ) = 3 五( h 一) ，7 e ) = 3 名( 屹一屹) l l 说明此曲线以b 为起端和终端，而且以v l 一和屹一v 2 为起端和终端的切 方向( 如图2 - 2 ) 图2 - 2 参数三角曲线几何性质 由此可以看出此曲线与三次b 6 z i e r 曲线有许多相同的性质：凸包性，几 何不变性，变差缩减性， ( 5 ) 曲线的逼近性： 由文献1 8 1 方法分析t e 0 ， 越大，整段曲线与v f + 。v + ： 对称性等。 罢】时，曲线上任意一点与线段q + 。哆+ ：的距离关系知：五 靠得越近( 如图2 ) 图2 - 3 参数三角曲线的逼近性 2 3 2 表示椭圆与抛物线弧 定理2 3 2 设平面上的3 点v o 。v 3 。v 满足( r o y ，v 3 v ) - 0 ， v o q = a ， v 3 v i = b ，记 v l = ( v + v o ) 2 ，v 2 = ( v + v 3 ) 2 ，令2 = 2 3 ，则以v o ，v l ，屹，屹为控制点的曲线为椭圆弧 x ( t ) = a c o s t ，y ( t ) = a s i n t ，0 t 叫2 ( 2 3 6 ) 图2 - 4 参数三角曲线表示椭圆 证明：如图( 3 ) ：选取适当的平面直角坐标系，使得v o m 屹，v 3 的坐标为 ( 口，o ) ，( 口，等) ，( 詈，6 ) ，( o ，6 ) 代a ( 2 3 1 ) 式，并令力= 0 ，计算可得 二二 r ( t ) = ( a c o s t ，b s i n t ) 证毕 定理2 3 3 ：设平面上的3 点，屹1 ，满足( v o ，b 1 ，) = o ，v o v = a ，v 3 v = a 2 ，记 v o = m ，屹= ( v + v a ) 2 ，令彳= 2 3 ，则以v o v 1 v 2 ，v 3 为控制点的曲线即为抛物线 y = x 20 x a ( 2 3 7 ) 图2 - 5 参数三角曲线表示抛物线 证明：如图( 4 ) ：选取适当的平面直角坐标系，使得v o 。v 1 v 2 ，屹的坐标分别为 ( 口，口2 ) ，( 口，口2 ) ，( i a ，o ) ，( o ，o ) 代入( 2 3 1 ) 式，并令兄= o ，计算可得 r ( t ) = ( a c o s t ，a 2 c o s 2 t ) 或y = ，o o 则参数曲面 p ( s ，f ) = ( x ( s ，f ) ，j ，( s ，) z ( 圳) ，w ( s ，f ) ) = 群( s 烤( f 皿 ( 3 2 1 ) i = oj = o 0 兰s ，t 耋1 称为矩形域【o ，l 】o 【o ，1 】上的n x m 次有理b 6 z i e r 曲面，式中彤( s ) ，彤( ，) 为n ， m 次b e r s t e i n 基。乞为控制顶点，为权因子。 定义3 2 2 ：在给定r ，空间中，在齐次坐标下的鱼掣个点向量 z 互 鼍= i 形咖，w q * y u 七，w z q k ，形驰j 则参数曲面 丁( 州，w ) = ( x ( 州，w ) ，y ( 州，w ) ，z ( “，v w ) ，矿( 州，w ) ) = ，+ 荟i 。- - - - n 吲州，w ) 乙j ( 3 2 2 ) 件+l j 二二- u ，v , w ，0 ， u + v + w = l 称为三角域 ( ，1 ，) i o ”，1 ，材+ 1 ，l 上的n 次有理b 6 z i e r 三角片，式中j ( 甜，1 ，w ) 为n 次b e r s t e i n 基，为控制顶点，矿砂为权因子。 下面的定理说明有理b 6 z i e r 三角片可以转化为退化的有理b 6 z i e r 矩形片， 它的控制顶点可以由有理曲线升b 6 z i e r 阶来得至l j l 4 , 3 0 1 。 3 3 有理b 6 z i e r 三角片到退化矩形片的转化 定理3 3 1 ：n 次有理b 6 z i e r 三角片t ( u ，v w ) ，即( 2 ) 式，可以表示成一张退化的n n 次有理b d z i e r 矩形片。 p ( s ，) = 霹( s ) 骘( f ) 弓 。主s ，t 耋1 ( 3 2 3 ) i = oj = o 其控制顶点可用下面的升阶算子4 与盈确定 暖 4 = = a n a n l a n 一+ 1i = 1 ，2 1 1 ， 4 f ( i = l ，2 n ) 为下面形式的升阶算子， 1o 1k - i kk o 昙 ： oo oo o oo o o o k - 2 00 - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ k o 竿去 o o1 jjj 一ia ，l a 力一1 彳n - i + 1 乃l 互，刀- f ( k + 1 ) x k i = l ，2 n a t ( i = l ，2 n ) 为下面形式的升阶算子 么i2 00 1 矿。_ + i o 七一1 矿。4 + i 1 k 呢4 + l ，ok 呢m l j 0 2 w n - k + l , l k 吃小1 2 ； 0 00 00 k - 2 w - k i a 0 0 k 睨_ m 000 000 1 4 j k - 1w 月一i + 1 t 一2 k 呒m l 扣i j 1 。- k + l , k - i k 睨小i j 01 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( k + 1 ) x k ( 3 2 7 ) m n 肛 矿矿；舐 一一晶；瓦 注：当i = 0 时，4 ，a o 皆为单位矩阵 f s = 甜 证明：参数变换4 , 3 0 , 3 1 v1 ， l t 2 一= 【 1 一u1 ，- i - w 将三角域 ( ，v ) l o “，v ，u + v l 】变换到矩形域 ( s ，t ) l o - s ，t 0 的整数，规定若f ，j ，k 中有一个小于0 ，则坛 ，u 川= 0 显然，由式( 4 1 2 ) 构成了( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 个基函数，具有如下性质： 1 ) 非负性：u ，v w 0 时，有鹾1 ，1 ，w ) 0 ，其中f ，j ，k 是0 的整数，且 f + j + k = 刀+ 1 ， 2 ) 权性：( “，1 ，w ) 兰1 i + j + k = n + l 3 ) 对称性：6 芝 ，v ，叻= b ，n + ：1 ( v , u , w ) = b ：n + ：l ，( v , w , u ) = 喵1 ( “，w v ) = 蝠1 ( “，1 ，) = 1 ( w ，”) 4 ) 角点性质：当“= 1 ，1 ，= o ，w = 0 时，有。b 枷n + l ( 1 , 0 ，0 ) = 1 ，其他鬈苁( 1 ，0 ，0 ) = 0 当“= o ，1 ，= 1 ，w = 0 时，有b n + l ( 0 , 1 ，0 ) = 1 ，其他w 基( o ，1 ，0 ) = 0 当“= o ，v