（计算数学专业论文）一类具有功能性反应函数√x的食饵捕食系统的定性分析.pdf

一类具有功能性反应函数的食饵捕食系统的定性分析 摘要 本文研究了具有功能性反应函数为x 的食饵捕食系统 l 曼= 工( - b + a x x 2 ) 一4 x y ， 【j ) = y ( 一c + d 4 x ) 该系统源自文献【4 和 5 】的综合。我们首先对上述系统的所有平衡点，特别是高 次和正平衡点做了定性分析；其次，运用极限环理论和分支理论，分析了系统 的正平衡点外围极限环的存在性，以及不存在性和唯一性；再次，分析了系统 在第一象限的拓扑结构，研究了无穷远奇点的性态；最后，从生态现象对种群 做了详细的分析。 关键词：极限环；唯一性；分支理论；拓扑结构 4 q u a l i t a t i v ea n a l y s i so nac l a s so f p r e d a t o r p r e ys y s t e m s p o s s e s s i n gf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n 石 a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，w es t u d yac l a s so fp r e d a t o r - p r e ys y s t e mp o s s e s s i n gf u n c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o n 石 f 曼= x ( 一b + a x x 2 ) 一而， 一 l 夕= 夕( 一c + d z ) ， w h i c hi sah y b r i do fc a s e sf r o mp a p e r 【4 】a n d 【5 】。f i r s t l y ，w em a k et h eq u a l i t a t i v e a n a l y s i so na l le q u i l i b r i u mp o i n t so fs u c has y s t e m ，e s p e c i a l l yt h eh i g hs i n g u l a r p o i n t sa n dp o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t s 。s e c o n d l y ，b yu s i n gl i m i tc y c l et h e o r ya n d h e t e r o c l i n i eb i f u r c a t i o nt h e o r y ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n di n e x i s t e n c e ，a sw e l la s u n i q u e n e s so ft h el i m i tc y c l e sa r o u n dt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t s 。t h i r d l y ，w e a n a l y z et h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h es y s t e m i nt h ef i r s tq u a d r a n t ，a n dt h e b e h a v i o ro fc r i t i c a lp o i n t sa ti n f i n i t y 。f i n a l l yw ee x p l a i ni nd e t a i lt h ep o p u l a t i o n i nt h ev i e wo fb i o l o g y 。 k e y w o r d s ：l i m i tc y c l e ；u n i q u e n e s s ；h e t e r o c l i n i cb i f u r c a t i o n ；t o p o l o g i c a ls t r u c t u r e 5 图 图 图 图 插图清单 奇点类型图6 鞍点分界线2 0 异宿轨分支2 2 生态示意图2 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得：金胆王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 糠q 签字日期：、7 年嘭月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金目曼王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 托 辩嗍。竹叶月 电话： 邮编： 嘎西 1 月 、l万丁， 年 名弘 协 者 ： 文 期 论 日 位 字 学 签日 致谢 光阴似箭，岁月如梭，三年的研究生生活即将结束。回首三年的求学历程， 对那些引导我、帮助我、激励我的人，我心中充满了感激。 首先要感谢导师林京教授，在我攻读硕士研究生期间，深深受益于林老师的 关心、爱护和谆谆教导。他作为老师，点拨谜津，让人如沐春风；作为长辈， 关怀备至，让人感念至深。林老师严谨求实的学者风范是我以后的工作和学习 的榜样，在此谨向林老师表示我最诚挚的敬意和感谢! 感谢一直关心与支持我的同学和朋友们! 我的朋友，杨娟，陈衡，徐群， 感谢你们的鼓励和帮助。还要感谢的是计算数学2 0 0 6 级全体研究生同学。三年 来，我们朝夕相处，共同进步，感谢你们给予我的所有关心和帮助。同窗之谊， 我将终生难忘! 在此要感谢我生活学习了七年的母校合肥工业大学，母校给了我一个宽 阔的学习平台，让我不断吸取新知，充实自己。 需要特别感谢的是我的母亲。养育之恩无以为报，她是我十多年求学路上的 坚强后盾，在我面临人生选择的迷茫之际，为我排忧解难，她对我无私的爱与 照顾是我不断前进的动力。 谨以此诗告别我的大学： 金缕衣 劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时。 花开堪折直须折，莫待无花空折枝。” 6 作者：高静 2 0 0 9 年3 月 第一章绪论 种群生态学是生态学一个重要的分支，也是与人们生产生活最密不可分的 一个分支。通过对种群模型的研究，对生物进行合理的开发和利用问题起到指 导作用，并直接关系到资源的可持续发展问题，在经济学和生态学都具有重大 意义。对此国内外已有相当多的学者进行了研究。 l9 6 9 年r o s e n z w e i g m a c a r t h u r 提出了食饵捕食系统的一般形式： p 八砷一磐! ( 1 1 ) 【夕= - c y + 尼( x ，y ) 、。 其中，x ( f ) 和y ( t ) 分别表示食饵和捕食者的时间密度函数，f ( x ) 为食饵种群的 增长率，矽( x ，y ) 为捕食率。如果假定每一个体捕食者的捕食速率只取决于食饵 的密度，而不取决于捕食者本身的密度，则方程( 1 1 ) 变为： f 八引- y q k ( x ? ( 1 2 ) 。【夕= - c y + 砂矽( 石) 、 这时( z ) 表示为捕食者的功能性反应函数。在种群动力系统中，捕食者对食饵 密度的功能性反应指的是食饵密度变化时，食饵在单位时间对单位捕食者的密 度变化。 对功能性反应函数为扩( o 口 1 ) 的捕食系统，人们做了大量的工作。文【1 2 】 讨论了当1 2 口 上讨论上述系统。我们运用微分方 程的奇点理论研究系统( 1 3 ) 的奇点性态，讨论高次奇点在第一象限内的特征方 向，特别是对正平衡点的性态做了全面的定性分析；运用p o i n c a r e 形式级数法 得到了正平衡点的焦点量；并引用l i e n a r d 方程的研究结果证明了极限环的不 存在性及唯一性；利用异宿轨分支理论研究了系统异宿轨线及极限环的存在问 题；对系统在第一象限的拓扑结构进行了详细的分析，并指出两种种群的发展 趋势。通过对参数t b 和五= c d 的分析讨论得到如下结论： 当b a 2 4 或0 6 a 2 4 且x a 诺( x o l ，x 0 2 ) 时，系统不存在正平衡点，这时系统 不存在极限环； 当b 口：4 且f 五 i 时，系统存在一个不稳定的正平衡点，这时系统不存 在极限环。其中孝= 它1 。 ：三言m ； 当b 口2 4 且葺：i 时，系统存在一个不稳定的正平衡点，这时系统存在一 个异宿轨闭轨线5 当6 口z 4j 7 i 五 五，时，系统存在一个不稳定的正平衡点，这时系统存 在唯一的极限环； 当6 口z 4 且墨： 0 ，则平衡点稳 定；若p 0 ，q 1 ，矽= o ( r 席) ，沙= o ( r ”) 当，_ o ，这时奇点叫做高次奇点。在系统( 2 。1 6 ) 中，令x = r c o s o ，y = r s i n o ， 则由方程g ( o ) ：0 来求出系统的奇点0 的特殊方向0 ，因此称这样的方程为示性 方程。 研究非线性奇点附近轨线的定性结构，主要办法是找出所有的特殊方向， 然后讨论沿着这些特殊方向是否有轨线进入奇点以及多少条轨线进入奇点等。 其中g ( o ) 的表达式如下： g ( 秒) = c o s 0 y 。( c o s 只s i n o ) ，当m n 时， g ( 秒) = - s i n o x m ( c o s 0 ，s i n 0 ) ，当m 即时， h ( o ) = - s i n o x m ( c o s o ，s i n 0 ) ，当m 1 。 定理2 1 ( 文献 1 0 p 7 6 7 8 页) 设，是奇数，c h k 0 ，则固有无数条轨线沿着0 = o k 进入奇点o 。 定理2 2 ( 文献【1 0 p 7 9 页) 设0 = 包是g ( 0 ) = o 的z 重根，f 为奇数， g ( o ( o k ) h ( o k ) 1 时，矽= 。r - + t ) ，y = 。( y n + t ) ， ，斗d ，则系统( 2 1 6 ) 只有唯一的轨线沿着0 = 倪进入奇点o 。 定理2 3 ( 文献 1 0 p 8 5 页) 设0 = o k 是g ( o ) = 0 的z 重根，为偶数， g f ) ( 最) 日( 幺) 0 。令 州：，n ( i n _ p ) , - i ， ， v ( r ，0 ) = c o s o g ( r c o s 0 ，r s i n 国- s i n 0 4 ( r c o s a ，r s i n o ) ， 设o k 所在的邻域中有：，7 ( ，p ) c l 彳( ，_ ) ，0 c 1 d ，则系统( 2 1 6 ) 无轨线沿最= 秒进 入奇点d ，其中常数d = 掣) 西l ( g ( 皖) p 一1 ) ) 去。 2 2 极限环理论 把x ，y 看作平面内一点的直角坐标，这个平面称为相平面，点( x ，y ) 称为相 点。相点描述系统在某一瞬时的运动状态。对应于系统的任一特定的运动 x = x ( f ) ，y = y ( f ) 相平面上皆有一条确定的曲线，称为相轨。相轨描述系统的整个 运动状态。对固定的p ，f ( p ，) 叫做过p 点的运动。 7 集合f ( p ，i ) = ( 尸，f ) | 0 0 ， 4 0 0 ) 叫做运动f ( p ，f ) 的轨线，记成0 。 集合f ( p ，+ ) = 厂( 尸，f ) i o t 惘) 和集合f ( p ，1 一) = 厂( p ，t ) - o o t 0 ) 分别叫 做正半轨线和负半轨线，分别记作三p + 和，一。 二阶自治系统的相轨中有一类孤立的闭轨具有特殊重要意义，这类闭轨称 为极限环。从它一侧邻域内任一点出发的相轨，或者都趋近它，或者都离开它。 一个极限环，若内外两侧邻域内的相轨都向它趋近，就是稳定的；否则就是不 稳定的。稳定的极限环对应于物理系统中的自振。极限环和保守系统自由振动 的闭轨的根本区别为：极限环是孤立的，即在它的邻域内不存在其他闭轨；极 限环所对应的周期振动不依赖于系统的初始条件。 对于平面定常系统的研究，极限环的存在问题是很重要的一个环节。研究 的方法一般是把多项式系统通过适当的变换化为l i e n a r d 方程： 护认粤：尺功 ( 2 1 7 ) 【夕= 一g ( x ) 。 再利用关于次方程的结果来研究多项式系统极限环的不存在性，存在性及唯一 性。 2 2 1 极限环的不存在性 极限环的不存在性的判别方法主要有p o i n c a r e 切性曲线法、b e n d i x s o n 定 理、d u l a c 函数发等等，而对于l i e n a r d 方程，主要是用如下判别定理来证明极 限环的不存在性。 定理2 4 ：对于系统( 2 1 7 ) ，设g ( x ) ，f ( x ) ( x 0 1 ，x 0 2 ) ，一 x 0 l 0 x 0 2 佃，若 曲线f ) = f ( v ) 与g ( u ) = g ( v ) 在x 0 1 v o u x 0 2 内无交点，则系统( 2 1 7 ) 在带域 d = ( x ，y ) l x 0 1 x 0 当x 0 时：g ( ) = 悯； 3 f ( o ) 0 ，f ( x ) g ( x ) 分别在( 棚，0 ) 和( 0 , + o o ) 内不下降，且当0 h 口2 4 ， 0 ，方程x 4 一麟2 + 6 = 0 在x 轴的正半轴上没有根： 当时b = 口2 4 ，a = 0 ，方程一a x 2 + 6 = 0 有且只有一个i f _ 根而= 、f 詈； 当时o o ，方程x 4 _ a x 2 + 6 ：o 有且只有一个正根：j k + 4 a 。 记y i 。一x l ( x 1 4 一蕊1 2 + 6 ) 。 引理3 1 1 当b a 2 4 时，系统( 3 2 ) 只有一个平衡点：稳定结点o ( o ，o ) 。 2 当b ：口z 4 时，系统( 3 2 ) 有两个平衡点：稳定结点o ( o ，0 ) 和高次奇点 a ( x 。，o ) 。当五cx o 时，a ( x o ，o ) 为鞍结点；当五= x 0 时，a ( x 。，o ) 为鞍点。 3 当0 b a 2 4 时，系统( 3 2 ) 至多有四个平衡点： 当0 五 x o l 时，系统( 3 2 ) 有三个平衡点：稳定结点o ( o ，0 ) ，不稳定 结点4 ( x o i ，0 ) 和鞍点4 ( x 0 2 ，o ) 。 当， x o ：时，系统( 3 2 ) 有两个平衡点：o ( o ，0 ) 鞍点和稳定绪点 4 ( x 0 2 ，o ) ； 当0 0 且t r j ( o ，o ) = 一( b + k x l ) 五时，血 0 ，根据文【1o 知，为鞍结点么。 3 当0 b a 2 4 时，系统之多有四个平衡点： 当0 or d e t j ( x o ：，o ) o ，m 0 ，所以 此时系统没有正平衡点，稳定结点o ( o ，0 ) ，不稳定结点4 ( x m 0 ) 和鞍点幺( ，0 ) 。 当x 0 1 五 x 0 2 时，d e t j ( x o l ，0 ) x 0 2 时，d e t j ( x 0 1 ，0 ) 0 ，t r j ( x 0 2 ，o ) 0 ，y a 。根据文 1 。 知，4 为鞍结点。 4 当b 0 时，系统至多有三个平衡点： 当b o 时，d e t j ( o ，0 ) = m a x l 0 ，t r j ( x 0 2 ，0 ) 0 ，y l o 所以这事系统没有正平衡 点，o ( o ，0 ) 鞍点和稳定结点4 ( ，0 ) 。 当0 五 x 0 2 时，d e t j ( x 0 2 ，0 ) 0 所以这时系统存在三个平衡点：鞍点 o ( o ，0 ) ，鞍点4 ( ：，0 ) 和正平衡点b ( 而，y 。) 当葺= x o ，时，类似0 6 a 2 4 当时的证明方法，b 与4 重合为鞍结点。 引理3 2 ： ( 1 ) 当b 0 时，系统( 3 2 ) 在第一象限内沿着0 = a r c t a n ( 一b ) 方向有唯一的一条轨 线进入鞍点o ( o ，0 ) 。 ( 2 ) 当0 b 口2 4 且x o l x 1 x o ，则在第一象限内沿着 0 = a r c t a n k ( x l x o ) 方向有唯一的一条轨线进入鞍结点a ( x o ，o ) ；若0 墨 x 0 ，则 在第一象限内沿着0 = 万一a r c t a n k ( x o ：一五) 方向有唯一一条轨线进入鞍结点 a ( x o ，0 ) 。若而= x o ，则在第一象限内没有轨线进入鞍点a ( x o ，0 ) 。 证明：由于讨论方程的有方都是解析的，所以轨线若进入鞍点o ( o ，0 ) ，鞍点 4 ( x o ) ，鞍点4 ( ：，o ) 或鞍结点( 鞍点) a ( x o ，o ) 时，只能沿着固定的方向进入。 下面运用定理2 1 来计算鞍点o ( o ，0 ) ，鞍点t l ( x o ，0 ) ，鞍点4 ( x 0 2 ，0 ) 和鞍结点( 或 鞍点) a ( x o ，0 ) 处的特征方向。 ( 1 ) 当b 0 时，有引理3 1 可知o ( o ，0 ) 为鞍点。对于系统( 3 2 ) ，有f ( o ) 和g ( o ) 的 定义得：强= n 2 = l 。因此 1 4 f ( 目) = 级( c o s o ，s i n o ) c o s g - p ( ， = 【( 6 一慨, c o s g s i n 0 ) s i n 0) c o s o + s i n s s i n o f ( 9 ) = s i n 2 0 + ( 6 一k x l ) c o s 2 0 = - ( b 一) + 2 【( 6 一乜) c o s 0 + s i n 0 c o s 0 g ( p ) 2 瓯( c o s 0 ，s i n 秒) c o s p + & ( c o s 9 ，s i n 0 ) s i n 0 = 一氓一 ( 6 一k x i ) c o s 0 + s i n 0 s i n 0 由f ( o ) = 0 ，舅 o ，姜】，得q = 0 ，包= a r c t a n ( k x l - b ) ，因为o ( e 2 ) = 一乜， ，( 0 2 ) = 缸一b ，所以f ( 岛) g ( 岛) = 惦( 6 一) 0 。由定理2 1 可知，在第一象限 内沿着9 = 只有唯一的一条轨线进入点o ( o ，0 ) 。又因为直线y = 0 是系统的解，所 以鞍点o ( o ，o ) 的另一条轨线为沿着0 = 0 进入。 ( 2 ) 当0 6 a 2 4 且l x 1 x 0 2 时，有引理3 1 可知4 ( x 0 1 ，0 ) 和4 ( ，o ) 都是鞍点。 作变换i = x x o ，歹= y ，仍以x ，y 表示牙，歹，则系统( 3 2 ) 转化为： 文= 4 x o f 4 - 2 a x o i 2 ) x - y 一( 1 0 x o i 3 - - 3 a x 。，) x 2 一( 1 0 x o 。2 一口) x 3 5 x 。f x 4 一x 5( 3 1 0 ) 【夕= k ( x o f x , ) y + k x y 对于系统( 3 1 0 ) ，由g ( o ) 和f ( 回的定义得= n 2 = 1 ：因此： f ( o ) = 【( 尼( 一) + 4 x o l 4 2 f 2 ) c o s 0 + s i n 0 s i n 0 f 7 ( 秒) = - ( k ( x o f 一五) + 4 而，4 2 眠f 2 ) + 2 ( 尼( f - x _ 1 ) + 4 x o f 4 - 2 a x o f ) c o s 0 + s i n 0 c o s 0 g ( o ) = k ( x o j 一) - ( k ( x o f 一而) + 4 而f 4 2 a x o f 2 ) c o s 口+ s 谊9 c o s 9 其中通过x o 。的表达式可计算得4 ；4 2 a x o ，2 = ( 一1 ) 2 ；2 ，由f ( o ) = 0 ，0 【o ，万】 得8 ：0 ，岛：0 ，只： 9 硼c t a n k ( 毛嘞) + 2 9 ， 江1 ，因为 。 l9 = 万- a r c t a n k ( x 0 2 一毛) + 2 x a x 0 22 】i = 2 g j ( 乡) = k ( x o f 一五) ， f 7 ( 岛) = 一( k ( x o ，一鼍) + 4 ，4 2 a x o i 2 ) 所以 g 3 ( 口) ，7 ( b ) = k 2 ( x o 。一五) 2 一( 一1 ) 7 2 。2 七( x 。，一墨) ，由定理2 1 可知，此时系统( 3 2 ) 在第一象限内沿着0 = a r c t a n k ( x ，l 一确，) + 2 12 】方向有唯一的一条轨线进入鞍 点4 1 ( x o l ，o ) ，沿着o = z a r c t a n k ( x 0 2 一x 1 ) + 2 x - a x 0 22 】方向有唯一的一条轨线进入鞍 点4 ( ，0 ) 。 ( 3 ) 当6 ：a 2 4 时，若为x o ，由引理3 1 可知a 为鞍结点。下面分析点么邻域内 的轨线结构：对于系统( 3 3 ) ，由f ( o ) ，g ( o ) 的定义，得啊= ，z 2 = 1 。因此： ，( 9 ) = q t ( c o s 0 ，s i n o ) c o s 0 一p , ( c o s 0 ，s i n 0 ) s i n 0 = 七( 而一x 1 ) e o s 0 + s i n 0 s i n 0 f 7 ( 口) = s i n2 0 + k ( x o 一五) c o s 2 0 = - k ( x o - x 1 ) + 2 k ( x o - x , ) c o s o + s i n o e o s o g ( 功= q ，( c o s o , s i n 力c o s o + , ( c o s o , s i n o ) s i n o = k ( x o 一五) 一_ k x o x o c o s 0 + s i n 0 3 s i n o 蛔耻。，0 e 0 , x 确0 l - o ，0 2 岛= 万：盏纛) 鬟， 因为g 3 ( 0 ) = k ( x o 一而) ，f 7 ( 岛) = - k ( x o x 1 ) ， 所以g 3 ( 研f ( 岛) = 一k 2 ( x o - - x 1 ) 2 x o ( 0 为 ，z ) 。因此，( 国= s i n 2 0 ，f ( 目) = s i n 2 0 ，g ( o ) = - c o s o s i n t ? 。 由f ( d = o ，秒 0 ，万 可得岛= 0 ，幺= 万。又g ( 0 ) = g f f r ) = o ，所以无法运用定理 2 1 判断，但y = o 因为是系统( 3 2 ) 的轨线，且为稳定结点o ( 0 ，0 ) ，所以系统沿着 b = 0 进入点a ，沿着0 2 = 走出a 点进入o 点的轨线均为y = o ，证毕。 当o b a 2 4 时，方酝娟两个正：, 、f 宰3 a - , a - ：( 和 x 1 22，其中1 = 9 a 2 2 0 b ；当b 0 时，方程5 x 4 3 a x 2 + 6 = 0 有一个正 根五：。而且满足五。 而， 五： 嘞。为放便下面讨论，我们记孝= 之1 。 ：三若4 引理3 3 ：对于正平衡点b ( x t ，y 1 ) ： 当孝 为 毛2 时，b ( 葺，儿) 为不稳定的焦点或结点； 当x 1 2 一 x 0 2 时，b ( 五，y 1 ) 为稳定的焦点或结点。 当j c l ：= 五时，b ( 墨，y 1 ) 为一阶稳定的细焦点。 证明；因为d e t j ( x i ，m ) = 砂l ，t r j ( x i ，乃) = 一( 5 x 4 3 a x 2 + 6 ) 。所以 当乡 五 0 ，则b ( 五，m ) 为不稳定的焦点或结点； 当墨2 五 o 。考虑到时间变换，可知， 砖t 匆t矽t n 姆、母、q 矽、 当薯= ：时，b ( x a ，y 。) 为一阶稳定的细焦点。 1 6 第四章极限环的不存在性、存在性、及唯一性 定理4 1 ：当b a 2 4 或0 b a 2 4 且0 五 a 2 4 时，系统( 3 2 ) 只有稳定结点o ( o ，0 ) 和鞍结点a ( x o ，0 ) ；当 0 b a 2 4 且0 五 - 0 是全局渐进稳定的。 定理4 2 ：当0 b x o ：时，系统( 3 2 ) 在区域g 内的正半轨线以鞍 点4 的分界线e 为晃分别趋近于o ( o ，0 ) 和4 ( x o ：，o ) 。 证明：当0 b x o ，时，系统( 3 2 ) 无正平衡点，只在x 轴上有三个平 衡点，分别为稳定结点o ( o ，0 ) ，鞍点a 1 ( x o ，0 ) 和稳定结点4 ( x o ：，0 ) ，有y = 0 是系 统( 3 2 ) 的解，从而系统( 3 2 ) 在区域召内无闭轨和奇异闭轨。有因为除了沿鞍点4 的分界线r ：进入点4 外，g 内的其他轨线都远离点4 ，因此系统( 3 2 ) 的一切正 半轨线的彩一极限集只能是稳定奇点o ( o ，0 ) 和4 ( ，0 ) ，且以r i 为界，f 而s 的左 侧趋于o ( o ，o ) ，e 的右侧趋于4 ( x o ：，o ) 。否则，如果轨线与r i 相交，就与解的 存在唯一性矛盾。 定理4 1 和定理4 2 说明了当系统( 3 2 ) 不存在正平衡点时系统( 3 2 ) 不存在极 限环。下面考虑系统( 3 2 ) 存在正平衡点是系统极限环的存在性问题。即在条件 b a 2 4 且善 x 1 嘞下讨论系统( 3 2 ) 的极限环。其中当0 6 口2 4 时，孝= x 0 1 ； b 0 ，孝= 0 a 定理4 3 ：nb 口2 4 且五2 五 x o ：时，系统( 3 2 ) 不存在极限环。此时正平衡点在 第一象限内全局渐进稳定。 证明：为证明此时系统不存在极限环，首先把系统( 3 2 ) 转化为l i e n a r d 方程。 令i ：x 一五，y 一= h 1 上，仍以z ，y 表示i ，y 一，则系统( 3 2 ) 转化为： 朋贾。缈( 少) 一f ( x ) 【多= 一g ( x ) 其中 x ( 孝一鼍，嘞一墨) y r f ( x ) = ( 5 x 4 3 a x 2 + 6 ) x + ( 1 0 五3 3 a x l ) x 2 + ( 1 0 五2 - a ) x 3 + 5 x l x 4 + x 5 g ( x ) = 奴 9 ( y ) = y 1 0 y - 1 ) 所以 1 7 ( z ) = f 7 ( x ) = ( 5 x 4 3 a x 2 + b ) + ( 2 0 x z 3 6 q ) x + ( 3 0 五2 3 a ) x 2 + 2 0 x l x 3 + 5 x 4 g ( x ) = 艮( f ) 西= 鲁x 2 uz 由g ( u ) = g ( v ) ，得u = 一v ，其中0 u 0 ，所以f ( “) 一f ) 0 。 所以曲线f ( 甜) = ，( v ) 与曲线g ( u ) = g ( v ) 在孝一五 v o 挺 x 0 2 一五内无交点。 根据定理2 。2 可知，当b a 2 4 且五2 五 x 0 2 时，系统( 4 1 ) 即系统( 3 2 ) 不存在极 限环。有由引理3 3 可知，当b a 2 4 且五，五 x o ，时，正平衡点为稳定的焦点 或结点，所以此时艿( 而，y ) 在第一象限内全局渐进稳定。 ， 定理4 4 ：当0 b 口2 4 且1 五 x 0 2 时，鞍点4 1 ( x 0 1 ，0 ) 分界线e 交直线z = x , 1 于 点( x 1 ，s ( x o ) ，s ( ) f ( x 1 ) 且s ( 五) 是x o l 五 瓴) 且以瓴) 是 x o l 五 o ，所以根据向且场 的方向可知f i 由区域 ( z ，y ) 陟 7 ( x ) ) 进入鞍点4 ，而且当x 孙r ：上的觚川满足方程：罢= 篙粤，除非r i 进入点b ，即s ( 五) = 7 ( 五) ，否则对任意的g o ，当x _ x 0 1 + s 时，夕一f ( x ) 确ii f _ 下届， 即y 一7 ( 工) m( m o 为常数) 。因此当x o l + s 歹( 一：) ，因此集合e - = x 1 s ( x 1 ) 7 ( 五) ) 是包含而：在内的非空开集。注意到 方程孕= 下k y ( x - x ，) 的右端关于而的连续性，说明对任意的而，f ，( 五) 存在，所以 瓣 ji x ) 一y s ( 墨) 是墨的连续函数。 ( 3 ) 证明s ( 五) 在的任一区间上严格递增。 设i x 0 1 ) 。因为y ( x 0 1 ) = - k ( x o l 一而) ，所以当夏 x 2 1 时， y ；( x o 。) 以( 。) 。根据导数的定义可以知道，l i m 警孚 l i m 詈磐，所以当x 充 分接近，时，m ( x ) 儿( 夏) 。又因为当x o ， s ( i ) 。设，厶= ( q ，6 1 ) l = ( 口：，b 2 ) ( 6 l 哆) 是中任意 两个相邻但不重叠的区间。由于当五：x l 而：时，平衡点b ( 毛，y 。) 是稳定的奇点， f i 不可能负向进入b ( 而，y 。) ，从而i x , ：，x o ：) c ，即5 ( 薯) 在置：畅 x 0 2 上严格 递增。所以厶，厶cz n “i x l x 1 ： 。 ( 4 ) 证明s ( x o 是x 0 1 o 。因此s ( 五) 在区间【6 l ，口： 上严格递增。又由五，厶c ，s ( 而) 在的 任一区间上严格递增，所以在区间( q ，6 2 ) 上严格递增。所以s ( x o 是x o 。 而 x 0 ：上 的严格递增的连续函数。 注：因为当b 趋于0 时，a ，( x o 。，0 ) 点趋于o ( o ，o ) 点，所以当6 0 且善 j c i 时， 可以把鞍点o ( o ，0 ) 看成是鞍点4 1 ( x o 。，0 ) ，定理的结论不变，故不再讨论，而且为 方便讨论，下面在条件b a 2 4 且乎 x t 而2 下讨论系统( 3 2 ) 。 定理4 5 ：系统( 3 2 ) 存在唯一的而= i ，使得j ( i ) = “( 虿) ，并且孝 i x 1 2 。这时系 统( 3 2 ) 存在唯一的奇异闭轨r 。其中z ：i 为异宿轨分支点。如图2 1 9 证明：定理4 4 中证明了s ( 五) 是善 葺 x 0 2 上的严格递增的连续函数，u ( x ，) 是 善 而 x 0 ：上的严格递减的连续函数。所以函数s ( 五) 一“( _ ) 是善 五 0 ，l i m s ( x 0 一“( 毛) 】= - u ( 4 ) 0 。 根据连续函数在闭区间上介值定理以及单调函数的性质，可得在( 宇，x o ：) 内存在 唯一的i ，使得j 何) = 材( i ) 。这时，r ：与r ：l 轴上线段4 4 ，构成异宿奇异闭轨。 又根据定理4 3 可知当_ ：五 ：时，系统不存在闭轨或奇异闭轨，所以只能 在区间( 孝，x 1 2 ) 内，即善 i 五2 。 定理4 6 ：当b 口2 4 且孝 0 ，单调。 ( 0 ) = 5 x 4 3 a x 2 + 6 o ，所以 胃，( 功 。 ， x ( 孝一置，x 0 2 一墨) 。 又 ( 孝一五) = 一三等+ 5 西2 + 1 0 _ 孝+ 1 5 孝2 - 3 a = ：二坠：二! 堕：塑二塑孚二塑竺二! 坚2 ：鼠 ( 五一亏) 、 当2 1 a 2 1 0 0 5 而2 + 1 0 五孝+ 1 5 孝2 - 3 a 3 0 x o l 2 - 3 a 当0 呈兰盟要兰 铲= 三兰虬垒鱼- i 暑享驴 。 当b 0 时，f =