（计算数学专业论文）radon变换奇性检测与反演的研究.pdf

韭夏奎逼塞堂亟堂焦监塞主塞埴墓 中文摘要 摘要：本文研究一类分片光滑函数的r a d o n 变换奇性和奇性反演。通过卷积反投 影方法先对r a d o n 变换进行奇性反演，并没有得到原函数的奇性的精确反演。首 先我们研究了函数的r a d o n 变换的奇性传播和奇性反演，给出了函数在曲线上具 有跳跃式奇性时函数奇性与它的r a d o n 变换奇性关系。利用了小波变换的奇异性 检测性质，即利用了函数的奇异点位置可以通过跟踪小波变换在细尺度下的模极 大曲线来检测函数r a d o n 交换的奇性。然后利用l e g e n d r e 变换的对合性质对r a d o l l 变换进行奇性反演。我们在数值反演时如果奇性曲线的导数太大时，l e g e n d r e 变 换反演就会产生很大的误差，所以我们对变量区间间隔进行了限制，使r a d o n 变 换的奇性的曲线进行一一的分离，从而实现我们的原函数奇性的较精确的反演。 关键词：r a d o n 变换奇性和奇性反演；小波变换奇异性检测；卷积反投影方法； r a d o n 变换奇性和函数奇性的关系；精确反演： 分类号；t p 3 1 9 4 1 j 塞銮适太堂亟堂焦垃塞旦s ! 基! a b s t r a c t a b s t r a c t ：t 1 1 i sp a p e rs t u d i e st h es i n g u l a r i t yo fr a d o nt r a n s f o r ma n dt h e i n v e r s i o no fr a d o nt r a n s f o r mf o rac l a s so fp i e c e w i s es m o o t hf u n c t i o n w ec a n to b t m n t h ep r e c i s ei n v e r s i o n o ft h eo r i g i n a lf u n c t i o nw h e nw em a k et h er a d o nt r a m f o r m i n v e r s i o nb yu s i n go ft h ee o n v o l u t i o n - p r o j e c t i o nm e t h o d f r i s t ，w e s t u d ys e p a r a t e l y t h es i n g u l a ri n v e r s i o no f r a d o nt r a n s f o r m w eg i v et h er e l m i o nb e t w e e nt h es i n g u l a r i t y o fac l a s so fp i e c e w i s ef u n c t i o n sa n dt h es i n g u l a r i t yo fi t sr a d o nt r a n s f o r mw h e nt h e s i n g u l a r i t yo c c u l t si nt h eb o a r d e ra n di n t e r n a lo ff u n c i t i o n ss u p p o r t i na d d i t i o n , w e h a v ea l s om a k eu s eo ft h ew a v e l e tt r a n s f o r mw h i c hh a v en a t m - eo ft h es i n g u l a r i t y d e t e c t i o n ，n a m e l y , n a m e l y , w ec a nd e t e c tt h ep o s i t i o n so ft h es i n g u l a rp o i n t so ft h e f u n c t i o nb yt r a c k i n gt h et h em a x i m am o d u l u so ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m i nt h e s m a l l s c a l er a n g e a l s ow ec a ni n v e r s et h es i n u l a r i t yo ft h eo r i g i n a lf u n c t i o nb yu s i n g o ft h ed u a ln a t u r eo fl e g e n d r et r a n s f o r m w ef i n dt h a tw ec a ng e tag r e a tb e r ：l o ri ft h e d e r i v a t i v eo f t h es i n g u l a rc u i 、，ei st o ob i gw h e n w em a k et h en u m e r i c a li n v e r s i o n ，s ow e m a k eal i m i tf o rt h ei n t e r v a ls p a c eo f t h ev a r i a b l et os e p a r a t et h es i n g u l a rc u r v e so f t h e r a d o nt r a n s f o r m t h e r e f o r ew ec a l la c h i e v et h et h ep r e c i s ei n v e r s i o no f t h es i n g u l a r i t yo f t h eo r i g i n a lf u n c t i o n k e y w o r d s ：t h es i n g u l a r i t yo f t h er a d o nt r a n s f o r ma n dt h es i n g u l a ri n v e r s i o n ；t h e s i n g u l a rd e t e c t i o no ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m ；c o n v o l u t i o n - b a c k - p r o j e c t i o nm e t h o d ；t h e r e l a t i o nb e t w e e nt h es i n g u l a r i t yo f r a d o nt r a n s f o r ma n dt h es i n g u l a r i t yo ft h ef u n c t i o n ； p r e c i s ei n v e r s i o n ； c i 。a s s n o ：t p 3 1 9 4 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期： 年月 e t 签字日期：年月e t e 塞至煎厶堂亟堂位监塞塾剑丝岂嘎 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 签字日| 明：年月日 致谢 在论文完成之际，首先对我的导师渠刚荣老师表示衷心的感谢。两年多来， 无论在学习还是生活中，渠老师都给了我极大的帮助和鼓励，渠老师渊博的知识、 严谨的治学态度和对问题的深刻的见解都使我受感良多；渠老师坦诚的为人处世 态度、严于利己、宽于待人的作风都使我今后学习的榜样。同时感谢所有给我授 课的老师，他们在对本职业的热爱和执著给了我潜移默化的影响。 渠教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的 感谢。 在工作及撰写论文期间，感谢许琼师姐在对我论文中的一些细节问题的研究 工作给予了热情帮助，在此向许琼师姐表达我的感激之情。 另外感谢父母对我一如既往地支持与鼓励，是他们使我。直保持积极上进的 乐观态度和克服困难的勇气。 最后真诚的感谢专家在百忙中审阅我的论文，我愿意认真听取专家的宝贵意 见，在本论文和今后的学习及研究工作中不断改进。 韭 巫銮适厶堂亟 堂 垃迨塞i !吉 1 引言 计算机成像的数学基础是r a d o n 变换，r a d o n 变换的反演只是对满足一定光滑 性的点有精确反演，可以通过卷积反投影法实现。但是在分片光滑函数发生奇性 的地方没有进行精确反演，所以需到单独研究它的奇性传播和奇性反演，于是我 们引入了支集边界及其内部的r a d o n 变换的奇性与函数奇性的关系，其中内部奇 性性质通过光滑延拓的方法去讨论，然后利用了l e g e n d r e 变换来去实现其数值计 算。 在对r a d o n 变换奇性反演的研究的时候我们主要利用了卷积反投影法和 l e g e n d r e 变换的对和性质的反演进行探讨，而前者可以说是并没有对图像函数出 现奇性的地方进行精确反演，从而引入了后者单独研究了它的r a d o n 变换的奇性 传播和奇性反演。而在进行r a d o n 变换奇性反演研究的时候，并不是仅在函数的 支集的边界上有跳跃性奇性的关系，在支集内部同样存在函数奇性的关系。 本文主要是二维空间下的分片光滑函数的r a d o n 变换的支集及其之际内部的奇 性研究，其中我们主要利用的工具有卷积反投影法，小波变换和l e g e n d r e 变换及 其性质。 我们首先简单介绍了r a d o n 变换及小波变换的定义及其性质，从而知道小波 能够很好的的分析信号的奇异点的位置及其奇异性的强弱。这里我们首先利用了 首先我们利用了小波变换的空间局部化性质，即信号在某点处的小波变换在小尺 度下完全由该点附近的局部信息所确定。从而函数的奇异点的位置可以通过跟踪 小波变换在细尺度下的模极大曲线来检测，从而能够检测出分片光滑函数的r a d o n 变换的奇异性性质。然后简单的介绍卷积反投影发来反演r a d o n 变换奇性，这里 用到的是平行束的卷积法，对于平行束投影数据，c t 中最普遍使用的方法是卷积 法，并且精度好。而这里用的卷积反投影的算法实现，其中可以利用小波窗函数 进行优化，但这里只是用了普通的窗函数进行卷积反投影r a d o n 变换的奇性反演， 所以可以利用其他的一些小波窗函数。得出的结果可以看出原函数的奇性不能够 精确反演，下面我们对r a d o n 变换奇性传播和奇性反演进行了深入的探讨，首先 给出了在二维空间中的分片光滑函数，采用对函数作光滑延拓的方法给出了一类 分片光滑函数在支集内部有跳跃奇性时r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系，然后 利用k 与0 对应的关系：= 一j - - c o s6 ，q = 一_ 冬得出有投影数据的奇性曲线 s i n 伊s l n q = 五( ) ，然后分别做l e g e n d r e 变换得到函数f ( x ，力的奇性曲线s 。：y = g k ( x ) ，而 工= ( ) = x ( ) + p x ( ) g 。( x ( 声) ) 工( 卢) ，y = j ( x ) 一 ( ( 工) ) = g ( x ( ) ) ，最 后进行合并得到f = 【j 墨而这里要弥补的是在对原r a d o n 变换奇性反演的时候需 石 要通过对p 的范围的限制，从而对r a d o n 变换的奇性的曲线进行一一的分离，以 及在反演时对c o t 8 求导时所产生的误差所进行的目的限制，从而实现我们的原函 韭塞銮适 厶堂亟 翌垃篮塞i i宣 数奇性的精确的反演，无论是在支集边界还是在支集内部。 i e 立窑适厶! i 兰亟堂焦迨塞垦dqd 变拯巫! 遮变逸的查星丝拴型 2r a d o n 变换及小波变换的奇异性检测 2 1r a d o n 变换的基础知识 在本节中，我们将给出r a d o n 变换的定义，性质，及其r a d o n 变换的求逆 公式，并有此求逆公式为我们以后引入卷积反投影算法打下基础。 r a d o n 变换近年来有重大发展，它起源于积分几何，而积分几何是1 9 3 4 年 德国数学家w b l a s c h k e 所起的，它起源于“几何概率”。 以下我们讨论的是在二维空间下的r a d o n 变换的定义： j 、k y ) - i 0 ) 弋 l 、 状。 、 ，( 、 l 图2 1r a d o n 变换图 f i g u r e2 1t h ef i g u r eo f r a d o nt r a n s f o r m 如果说函数厂( 工，y ) 是光滑的，是指它是c ”的r 2 上的直线乙为 l 。：p = ( y ) 国= x c o s o + y c o s o 其中，为法线长( p o 为直线乙到原点的距离) ，口为法线与工轴的交角， 0 0 2 z ；= ( c o s 0 ，s i n 印是从原点到直线的单位向量。而r 2 上的紧支集函数 f ( x ，y ) 沿直线，。的r a d o n 变换肜( p ，c o ) 定义为 吧 r f = if ( x ，y ) a 盯= if ( p c o s 0 一$ c o s 0 ，ps i n o + s c o s o ) d s 二 记可( p ，p ) = r f ( p ，c o ) 由于可( - p ，w ) = a f ( p ，一国) ，考虑( p ，口) 的变化范围是 一0 0 p 0 使得v t e r ，i 厂( f ) 一a ( f ) f k | f 一叫对于所有的v 【口，6 】成立。 3 ) 满足，( f ) 在p 点是l i p s c h i t za o ) 的所有口的上g a o ，刻画了函数在 该点的正则性，成为函数f ( t ) 在点的l i p s c h i t z 指数。 如果( f ) 在v 点的l i p s c h i t z 指数小于1 ，则称函数，( f ) 在v 点是奇异的。 对于具有紧支集，分片光滑函数f ( x ，y ) c 。( r2 r ) ，f = u 墨， k = l s ：y = ( 砷，( a k 工 瓯，k = 1 ，2 ，m ，g t 。( x ) 0 ) 是光滑曲线段 f ( x ，y ) 在光滑曲线段最上具有拟l i p s c h i t z a 次奇性是指：设n = ( c o s y ，s i n g ) 是 曲线段墨：y = g k ( d ( 吼 o 是一适当小的数，0 口 离散小波变换是将函数厂( f ) 变换到位移一尺度平面上的离散点处的函数 ( 丁) ( ，七) ，这些离散点按一定的规则分布，而我们在小波分析中所用到的小波函 i 宝童堑厶堂亟堂位迨塞基! dqn 变逸霆尘遮变拯的查是丝捡型 数与有不唯一性，即小波函数| i f ，( x ) 具有多样性。而在小波分析的应用中，个十 分重要的问题就是最有小波及的选择问题，这是因为不同的小波分析基分析同一 个问题是会产生不同的结果，而我们最常用的就是h a a r 小波。 h a a r 函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时 也是最简单的一个函数，其中h a a r 小波的定义为 f l o j c 0 ，使 得对任意的s 0 ，厂在 k + 6 一1 上是一致l i p s c h i t z 疗的。 e 丞窑垣厶堂亟堂位迨塞b 4qg 变拯霆尘邀銮邈丝壹显丝捡型 定理证明了如果小波变换w f ( u ，j ) 在细尺度下没有模极大值，那么厂一定是局 部正则的这既明仅当存在一个小波极大点序列( “，s 。) 。在细尺度下收敛于点 1 ，即l i r a “。= v 且l i r as 。= 0 ，则厂在v 点是奇异的( 非l i p s c h i t z l 的) 该结果 p _ + + p _ 确保所有的奇异性可以通过跟踪细尺度下小波变换模极大而检测出来。 一 而对于在2 中我们假设的具有紧支集函数f ( x ，y ) c ”( r 2 i 、) ，r = lj l ， k = l l ：y = g ( x ) ，( k = 1 ，2 ，m ，g k ”( x ) 0 ) 是光滑曲线段 而下面我们首先主要讨论的是利用一维小波变换来检测以上函数的r a d o n 变 换的奇性值，我们首先得到的是s h e p p l o g a n 图的r a d o n 投影数据，然后我们再根 据小波变换极大模与函数奇异性之间的关系来检测其函数r a d o n 变换的的奇异 性。首先我们利用的是一维小波变换，我们知道r a d o n 变换投影数据得到的是在 二维空间( 0 ，) 下的j 矿的投影，这里我们利用一维小波变换检测的时候按照0 进 行分列，这样就按0 分列后就可以看成一列r f ( o , ，z 1 ) ，r f ( o , ，x 2 ) 彤( 鼠，x n ) ，然后 把每一列的r a d o n 变换的值进行一维小波检测找出其奇异性点，最后我们可以得 出以为小波奇异性检测r a d o n 变换的图。我们使用的小波是h a a r 小波，而以下是 给出的s h e p p - l o g a n 图的r a d o n 变换的奇异性图。 我们可以利用以下步骤进行分析： ( 1 ) 根据r a d o n 变换得到s h e p p l o g a n 头部图像r a d o n 变换后的图象。 ( 2 ) 利用h a a r 小波奇异性检测检测出r a d o n 变换( p ，c o ) 的图像奇异性点，即先 把函数r a d o n 变换后的图象的每一列( 沿y 轴的方向来做) 进行一维小波变换，即 对一个矩阵( 即一个图像) 的每一列进行一维小波变换。利用小波变换的模极大 值的检测线测出在这一列里的奇异点，即r a d o n 变换后的图象的奇性点。这里我 们用的是h a a r 小波( 因为h a a r 小波是有紧支集的一阶消失矩的小波) 。 图2 3 1s h e p p l o g a n 头部图像 f i g u r e2 3 1 t h ei m a g eo f s h e p p l o g a n e 塞奎道厶堂亟堂位诠塞墨dq 变拯霆尘迭变拯盟壹显蛙焦型 图2 3 2s h e p p l o g a n 头部瞄像的r a d o n 变换图 f i g u r e2 3 2 t h ef i g u r eo f 她r a d o nt r a n s f o r ma b o u tt h es h e p p - l o g a nh e a di m a g e 图2 3 3 一维小波检测r a d o n 变换投影数据的奇性幽 f i g u r e2 3 ，3 t h es i n g u l a ri m a g eo f t h e r a d o nt r a n s f o r m 9 e 塞窑道厶堂亟堂鱼迨塞型塞d q 变逸壹挂直笪厘趱显簋洼丝塞超 3 对r a d o n 变换奇性点的反投影算法的实现 3 1r a d o n 变换奇异点反演的局部性的讨论 已知小波变换有良好的时域局部性，r a d o n 变换是图像重建的数学理论的基 础，因而对r a d o n 变换奇异点的反演的讨论也有十分重要的意义。而以下我们讨 论的是已经知道且通过一维小波变换得到了一类分片光滑函数的r a d o n 的奇性图， 而我们是否可以把维，j 、波变变检测的r a d o n 变换得来的这些的奇异点来通过卷 积反投影得到原s h e p p ，1 0 9 a i l 图的一些点，而这些点是否十我们关心的一些局部的 点，即通过r a d o n 变换发生奇异性点的这些投影数据来反演原s h 印p 1 0 9 a 1 1 图的一 些局部的点。 是否可以通过局部点的反演来减少反演点的复杂程度。 首先我们在2 1 中我们初步给出了r a d o n 变换的求逆公式，即反演公式，而对 于2 1 中的反演公式不变作数值计算，所以我们需要一个有效的算法去计算它，并 希望他不是琐碎的，能够有利于提高数值计算的速度。而我们最常用的是平行束 的卷积法，需要求导数并且需要希尔伯特变换用单个卷积进行逼近。 下面介绍简单介绍卷积和l l i i b e n 变换的定义及其性质。 定义3 给定两个函数和妒，他们的卷积缈则定义为 【矿妒】( v ) = 1 矿( “) 妒( v 一) d h ( 3 11 ) 可以看出卷积是一个算子，它是由两个函数进行作用产生第三个函数，妒， 则很用以看出庐妒= 妒+ 庐，即对所有的v ， 妒妒】( = 胗】( v ) ，即卷积满足交换 率。 定义4 函数痧的h i l b e r t 变换h 庐可被定义为庐与函数p 的卷积， p ) = 一( 1 x u ) ( 3 1 2 ) 记我们可以记为 h = 庐t p ( 3 1 3 ) 于是综合公式( 3 1 1 ) 、( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 我们得到 f h 妒】( 力：一三r 地 ( 3 ，1 4 ) 万一v u 3 2 卷积反投影算法的实现算法 卷积反投影算法又称滤波反投影算法，此算法简单，重建精度高，重建速度 较快，应用性广泛，已经有很多人作过研究很改进，这罩我们只是简要的介绍其 0 e 丞窑壅厶堂亟堂位迨塞盟b 14 q 变邀查丝直的区塑髭簋选曲塞氇 算法的理论依据及实现的过程。 在二维空间中，我们可以得出卷积反投影算法的公式 f i x ) = d o e ( r f ) ( t ，伊( a , - t ) d t ( 3 2 t ) 其中 叮( f ) = 2 【g e ( a ) c o s l 2 石( j 国f ) a l d a ( 3 2 2 ) 其中，爿= ( x , y ) = ( r c o s # ，r s i n 痧) r 2 ，国= ( c o s 0 ，s i n 0 ) ，而只是满足以下条 件的窗函数， 对于每个实数a ，令只是一个可积实函数，且对口0 ，满足 j ( 1 )o ) - 1 ，如果a 三，那么，e 位) = o ； 二 ( 2 )c 似) 是a 的单调不增函数； ( 3 ) 1 i m g ( a ) = 1 。 d 而只常被称为具有带宽为a 的窗。而在这里进行算法实现的时候用的普 通的窗函数 只= c o s ( 刀口4 ) ，当然我们窗函数的选取可以用满足窗函数条件的紧支集 小波窗函数来实现，这样可以更好的进行反演，但是这里我们只是说明其算 法实现，窗函数的选取也有很多人研究过，在这里就不详细说明了。 下面我们主要讨论一下算法实现的具体的过程，在以上的第二章的介绍中 我们已经给定了函数r a d o n 变换的奇异性的值p 在p ( n d ，m a ) 点上是已知的 ( 一s n ，0 s 研s m - 1 和m a = j r ) 而 【p + r 口】( 胛d ，”) = ip ( f ，m a ) q ( n 。d t ) d l ( 3 2 3 ) 其中p ( 1 ，0 ) 是投影数据，而我们可以得到其右端积分的黎曼和的形式，即 我们可以得到其公式的离散卷积 见( 胛d ，m a ) = d p ( n d ，m a ) q ( ( n - n ) d ) ( 3 2 4 ) n 而式( 3 1 5 ) 的离散和的形式可以表示为 厂( ，) = p ，( r e o s ( m a - q ) ) ，m a ) ( 3 2 5 一 我们可以综合一下对于等角度向量沿等间距平行射线所采集的投影数据计 算厂( ，) 的全过程。以下我们见要介绍其卷积反演得实现 ( 1 ) 对每个m ( o - m - m 1 ) ，我们用公式计算见( ”d ，m ) ( 一n - n - n ) ，我 们称藓为卷积投影数据。 ( 2 ) 厂( r ，矿) 可以有公式( 3 1 9 ) 计算，这里我们引入了内插法，即由 见( n l d ，m ) 的值估算出( r c o s ( m a 一) ，m a ) 的值，即给定了x ：( x ，y ) ，用 e 丞窑垣厶堂亟堂鱼迨塞盟垦b d q b 銮逸查挂壶的区趱显簋选的塞趣 p f ( n d ，m a ) 的值代替n ( 月d ，) ，其中，n 能够取定，由于我们要选择适当 的n ，使得材 r c o s ( m 一矿) + 1 ) d ，所以只要取月= r c o s ( m - a - 妒一) ，即可 满足上式，对于上一部取定的”，我们对m 采用线性内插法，用公式 ( n + 1 ) d - r c - o s ( m a - 庐) ，p ，( 疗d ，肌) - t - r c o s ( m a - - 妒) - 一n d p ，( 加+ 1 ) a ，州) aa 进行插值，估算p一)，(rcos(ma 于是这样我们得到其卷积反投影的实现，于是我们可以这样利用了小波对 r a d o n 变换奇异性检测的性质来进行兴趣区的重建，于是就是我们感兴趣的区域进 行的重建，我们可以对物体内部区域性的检测，需要指出是，我们就是用来表示对于 待重建图像中人们最关心的区域进行重建或进行更精确重建的处理思想。对物体 内部奇异性的探测，它对每点奇异性的重建只需对邻近该点的投影数据进行处理 即可，其重建速度相当快，但它重建的是物体的轮廓与形态，而不是物体的密度 函数。另外，此处所给的算法对于整个图像的重建也是有效的。以下是我们用卷 积法对已知的r a d o n 变换的奇异点的反演，即由图3 我们可以迸一步来反演原 s h e p p l o g a n 图的一些轮廓。 图3 2 1r a d o n 交换奇异性卷积反投影得到的图 f i g u r e3 2 1 t h es i n g u l a ri m a g eo f t h er a d o nt r a n s f o r m 1 2 韭立銮适厶堂亟堂位途塞盟4q 变逸查蛙壶鲍区超墅簋洼曲塞狸 以上看出我们在卷积反演的时候检测只能反演出原图像的外面的边界上的 点，而对于分片光滑函数的支集内部的些奇异的点虽然也能检测到，但是并不 完全，既没有对其原函数奇性的精确反演。所以以下我们在奇异性研究中主要是 通过边界上的奇异性研究推广到研究其支集内部的曲线段的奇性研究。我们利用 给出的r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系及其l e g e n d r e 变换对r a d o n 变换的奇 异性进行反演，最终同样能够得到支集边界及其内部的奇异性。 i 立窑适厶堂亟堂垃迨塞 由勤选堡变拯盟b 型q n 变逸查丝区遗匾堕麴的叠焦点 4 由勒让德变换对r a d o n 变换奇性反演原函数的奇性点 上一章我们已经可以看出对于卷积反投影方法实现对r a d o n 变换奇性反演， 而这时候我们并没有对原分片光滑函数出现奇性的地方进行奇性的精确反演，所 以我们要单独的研究它的r a d o n 变换的奇性传播及其奇性的反演，而且，其行反 演不需要很多的数据，只需要和函数图像发生奇性附近的投影数据有关。 本章中我们主要利用了前面给出的分片光滑函数，给出了其r a d o n 变换的奇 性和函数奇性的关系，然后对在前面给出的一位小波检测出的r a d o n 变换的奇异 性点，我们由l e g e n d r e 变换来反演出原函数的奇性。 4 1 引言 在图像和信号中的奇异点极不规则的的突变部分经常带有比较重要的信息， 其对于图像检测有着非常重要的意义小波变换给出了函数函数的l i p s c h i t z 正则 性来刻画函数的奇异性，图像的奇性发生在分片光滑的奇性曲线上，而以下我们 研究对于一类分片光滑的图象函数( s h e p p l o g a n 图) ，给出了用一维小波变换来 检测图像r a d o n 变换的奇性曲线及利用了二维空间中积分线旋转变化函数r a d o n 变换的奇性和奇性反演问题进行研究，由一类分篇光滑函数的r a d o n 变换的奇性 反演公式，得出s h e p p l o g a n 头部图像投影数据的奇性曲线。首先利用l e g e n d r e 变换中蕊与，。对应的关系：= 一- - - c o s u ，q = 一_ 得出有投影数据的奇性曲线 s i l l fs i n 伊 q = ( 卢) ，然后利用l e g e n d r e 交换的对和性质对其进行反演，这里进行反演时的 细节在下面我们进行一一讨论。而在奇异性研究中本文主要是通过边界上的奇异 性研究推广到研究其支集内部的曲线段的奇性研究。a gr a m m 对古典r a d o n 变 换对函数在它的支集的边界上恒大于零，且仅在支集的边乔上有跳跃奇性时给出 的r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系。而在实际应用中，奇性不一定发生在边 界，下面给出了在二维空间中，分片光滑函数在支集内部有跳跃奇性时r a d o n 变 换的奇性和函数奇性的关系，采用了对函数作光滑延拓的方法。 以下我们先来讨论一下二维空间下一类分片光滑函数的r a d o n 变换的奇性的 性质。 4 2r a d o n 变换的奇性 下面我们给出了二维空间中一类分片光滑函数f ( x ，y ) 在其支集内部有跳跃奇 性时，r a d o n 变换的奇性与原函数奇性的关系，获得该类分片光滑函数的奇性反 演公式。r a m m 对古典r a d o n 变换对函数在它的支集的边界上恒大于零，且仅在支 集的边界上有跳跃奇性时给出的r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系。而实际上， 4 l 塞銮堑厶堂亟堂垃迨塞由勤婆丝变逸盟b d q b 銮趣壹蛙厦遗厦函塑盥壹丝盛 奇性不一定发生在边界，下面我们利用函数作光滑延拓的方法，给出了一类分片光 滑函数在支集内部有跳跃奇性时r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系，主要是通过 边界上的奇异性推广到研究其支集内部的曲线段的奇性研究。而在实际应用中， 奇性不一定发生在边界，正如引言所述，下面给出的在二维空间中，采用对函数 作光滑延拓的方法给出了一类分片光滑函数在支集内部有跳跃奇性时r a d o n 变换 的奇性和函数奇性的关系。证明了如果直线f 。和函数f ( x ，y ) 的产生跳跃奇性的曲 线段集合r 中的任意一条曲线段相切，那么函数f ( x ，_ y ) 的r a d o n 变换矽( b c o ) 在 p = 哥附近是l i p s c h i t z - 1 2 次奇性的。如果。和函数f ( x ，y ) 的产生跳跃奇性的曲线 段集合r 中的任意一条曲线段都不相切，那么函数f ( x ，y ) 的r a d o n 变换 r f ( p ，c o ) c 。，反之，如果函数厂o ，y ) 的r a d o n 变换可( p ，甜) 在p = 芦附近是 l i p s c h i t z - 1 2 次奇性的，那么函数“y ) 在奇性曲线段上是跳跃奇性的。 而这类分片光滑函数f ( x ，y ) 在2 2 1 中我们已经给出了定义。以下我们详细来 探讨关于f ( x ，力的r a d o n 变换的奇性性质，并详细给出了原函数奇性与r a d o n 变 换奇性的关系。 引理4 2 1 函数f ( x ，y ) 如2 2 1 所述，直线，。；和f 中的某一条曲线段墨相交( 不 相切) 与点o ，g k ) ( 吼 石 吒) ，那么在p = p 附近可( p ，) c 啪。 证明 不失一般性，设7 面：y = p ，否则做一个坐标变换即可。假设名和墨相交于 个点，让x 足够大，使得d = s u p p f c ( z ，) ) j - x j 柳，因为乙和咒在p 附近 相交，且反0 ，所以，。；和最的交点横坐标为g k _ 1 ( p ) 。 设，( 五y ) = 正，( 工，y ) + 工( 五y ) ， 其中 ，、f ，y ) 工 g k - 1 ( p ) 脚，= 妒力嚣翟 那么 r f ( p ，_ ) = e 厂( 五p ) = 丘、f ( p ) d x + e b ) 工( p ) 出 因为 ( 力c 。，那么它的反函数g k - 1 ( p ) c 田，当j & - 1 ( p ) 时， l ( x ，p ) c ”，当j 甑“( p ) 时，所以结论成立a 引理4 2 2 直线，；和r 中的某一条曲线段足在，= p 附近相切于点) ) ( a k x b a ， 那么对给定的正整数n ，存在( ，) ，丘( ，c o ) 使得 。! 彤( p ，c o ) = ( g ( p p ) ) 2 + f i ( p ，) + r a p ，c o ) ， ( 4 2 1 ) 韭盛窑垫厶至塑主堂僮迨塞自盐逵篮变邀盟坠焦! ! 套塑查堂屋遮堕西塑监壹挂点 其中( n c o ) ，r a p ，妫在p = p 附近是”次光滑的，= s 印( “( j ”。 一 ! 一一一一一一! r a p ，c o ) = 2 2 l ( x ，g 。( r ) ) 一f a x ，g 。( j ) ) 】g ：( j ) 2 证明 设直线，。；和墨相切于点( f ，g a x ) ) ( q x b a ， 且 工( j g a x ) - o ) - f + ( x ，g l ( ) + o ) o 因为g ：缸) o ，不是一般性，假设“( j ) p 直线，。；和曲 线段咒不相交，p p ，j p - 和文相交有隐函数定理，如果，p 宣线，面和曲线 段墨相交于两个点，其中横坐标分别为j c a p ) 和j + 薯( p ) ，其中茧( p ) ，鼻( p ) 满 足乒( p ) p 附近，j 矿o ，功= 彤：( p ，动，如果p p ， x f ( p 。_ ) = ( 磁) 慨- ) + ( j 啦) 扫，i ) = 搿f k ，) 出+ f 工o ，p ) d x + ) 工p ) 出 其中x 是一足够大的数，使得d = s u p p f c ( j ，y ) l x z j ) 根据函数 ，0 ，y ) 的假设，对函数工y ) ，工( 五力在最：y = ( 力的下方的一定范围内像 s o b o l e v 空间延拓定理那样做月此光滑延拓，延拓后的函数仍用工y ) 记，于是上 式可写为 g f ( p ，_ ) = f ：孓正( z ，) 一工p ) 】出+ ? 工( 五力出 及上式右边第二个积分为r z ( p ，回，因为z ( x ，y ) 是月此光滑的，n 以r d p ，曲也 是n 此光滑的，则在p = p 附近，上式可写为 ! j 毛r ( p ，西= ( s ( p p ) ) 2 + ( p ，) + r d p ，) 其中( n c a ) ，( p ，c o ) 在p = 户附近是 次光滑的， 一 i 一 一 一一 一一! ( p ，= 22 f - ( 五g 。( x ”一工( 置g 。( 曲) 】或( j ) 2 ，g = s 即( 群( x ) ) 定理4 2 1 对于紧支集，分片光滑函数f ( x ，y ) ，那么对于给定的正整数”，有 ( 1 ) 如果直线f 。二和f 中的任何条曲线段都不相切，那么在p = p 附近 6 丝塞童适厶堂亟堂位迨塞自勤选箜变拯盟堡4 凹变逸壹挂厦遗厘卤麴的查丝盛 r f ( p ，石) c ”。 ( 2 ) 如果直线和r 中的& ( 扛l 2 m 1 ) ( m j 4 时f ( x ，) ，) = 0 ( 1 ) 我们首先可得出f ( x ，y ) 的r a d o n 变换为： 矽( p ，0 ) = 再i 一2 踊 p l - 2 ( 2 ) 然后我们分别得到( g ，) 坐标的奇住曲线 f 万一。 佃 驴1 2 厨一。 卢 悯 ( 3 ) x h ( f 1 ) ：再万得 捌僻善4 1 + , o 彻垆志, l | + 8 2 ( 4 ) 然后我们利用l e g e n d r e 变换得： 9 韭室銮丝厶堂亟堂垃迨皇 自勉选蕉变逸盟曼d q 变拯查丝亟遗厦鱼塾丝壹丝盛 y = l h ( p ) = 工( 工) 一 ( ( 工) ) = l j 2 ( 一1 j 1 ) 同理我们利用q = + 2 4 1 + 口2 得到