（计算数学专业论文）二维水污染问题的数值模拟利用weno格式的分数步长法.pdf

二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 学位论文完成日期：2 0 1 0 4 指导教师签字：壅蹬丛盐筮 答辩委员会成员签字：蝴 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名，青毛签字日期：如l 。年广月i 咱 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：一，药 签字口期：劢舜r 月i r 口 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签字：甜捌扒 签字口期：珂。年5 电话： 邮编： 月夕7 日 | 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 摘要 本文把三维对流扩散问题简化为比较容易处理的二维问题，相当于只考虑 平面方向的对流扩散运动而不考虑垂直方向的物质沉降。运用分数步长法把二 维对流扩散问题转化为二维对流问题和二维扩散问题。 p r 法是一种交替变方向算法，在处理二维扩散问题中具有无条件稳定性 质，缺点是它的精度只有二阶，并且无法推广到三维情形。 对流扩散方程中有意义的是对流占优扩散方程，处理对流。与优扩散方程主 要在于解决对流项的数值模拟。因为一般的迎风格式和l a x - w e n d r o f f 格式在计 算对流方程时精度低，计算步骤多，s o s h e r 和c h i w a n gs h u 的w e n o ( 加权 本质无震荡) 格式【7 】利用n e w t o n 插值法和流函数表示法计算欧拉方程，该方法 在空间上具有高精度特征，并且能有效捕捉激波。考虑到扩散项计算具有二阶 精度，采用w e n o 三点格式计算精度为二阶的对流方程空间离散部分。 最后采用的s t r a n g 法是用于进一步减小分数步长法带来的误差。本文主要 工作是把r u n g e r - k u t t a 法的w e n o 格式应用于解对流扩散方程，并且通过数 值算例说明这种应用是可行的。 关键词：对流扩散方程，分数步长法，p - r 法，w e n o 格式，误差分析 n u m e r c i a ls i m u l a t i o nf o rt w od i m e n s i o nw a t e rc o n t a m i n a t i o np r o b l e m u s i n gw e n o s c h e m ef r a c t i o n a ls t e pm e t h o d a b s t r a c t i nt h i sp a p e rt h et h r e e d i m e n s i o n a lc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e mi sr e d u c e d t oam a n a g e a b l et w o - d i m e n s i o n a lp r o b l e m ，e q u i v a l e n tt oo n l yc o n s i d e rt h ef l a t d i r e c t i o no ft h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o nw i t h o u tc o n s i d e r i n gt h ev e r t i c a lm o v e m e n to f m a t e r i a ld e p o s i t i o n u s i n gt h ef r a c t i o n a ls t e pm e t h o dt ot w o - d i m e n s i o n a lc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e mi n t ot w o - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o b l e ma n dt w o - d i m e n s i o n a l c o n v e c t i o np r o b l e m p rm e t h o di sa na l t e r n a t i n gd i r e c t i o na l g o r i t h m t h i sm e t h o dh a st h en a t t u r eo fu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t yi nd e a l i n gw i t ht w o - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o b - l e m d r a w b a c ki st h a ti t o n l ys e c o n d o r d e ra c c u r a c y , a n dc a nn o tb ee x t e n d e dt o t h r e e - d i m e n s i o n a lc a s e t h em e a n i n g f u lp a r to fc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o ni sc o n v e c t i o n - d o m i n a t e d d i f f u s i o ne q u a t i o n f o rs o l v i n gc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o ne q u a t i o ni sm a i n l y t os o l v et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fc o n v e c t i o np a r t b e c a u s el o wp r e c i s i o na n d m o r ec a l c u l a t i o ns t e p so fu p w i n ds c h e m ea n dl a x - w e n d r o f fs c h e m ew i t hc a l c u - l a t i n gc o n v e c t i o np a r t w e n os c h e m eo fs o s h e ra n dc h i w a n gs h ut a k en e w t o n i n t e r p o l a t i o nm e t h o da n dt h es t r e a mf u c t i o nt os o l v ee u l e re q u a t i o n ，t h em e t h o d h a sh i g hp r e c i s i o ni ns p a c ea n dc a ne f f e c t i v e l yc a p t u r et h es h o c kw a v e t a k i n gi n t o a c c o u n tt h es e c o n do r d e ra c c u r a c yo fd i f f u s i o nc a l c u l a t i o n ，t h i sp a p e rt a k ew e n o 3p o i n t st oc a l c u l a t ec o n v e c t i o np a r t a tl a s tt h ep u r p o s eo fu s i n gs t r a n gm e t h o di st of u r t h e rr e d u c et h ee r r o r o ff r a c t i o n a ls t e pm e t h o d t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri st os o l v ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hw e n os c h e m eb a s e do nr u n g e k u t t am e t h o da n dt h i s m e t h o di sf e a s i b l eb yn u m e r i c a le x a m p l e k e y w o r d s ：d i f f u s i o n c o n v e c t i o ne q u a t i o n s ，f r a c t i o n a ls t e pm e t h o d ， p - rm e t h o d ，w e n os c h e m e ，c o n v e r g e n c ea n a l y s i s 第1 章引言 目录 1 1 1 背景及发展情况 1 1 2 海洋污染物输运 1 1 3 河段污染物分布3 1 4 目前国内外的研究情况4 1 5 本文的写作情况5 第2 章二阶r u n g e - k u t t a 法的迎风型w e n o 格式 。 7 2 1 r u n g e - k u t t a 法 7 2 2 迎风型w e n o 格式 8 第3 章基于分数步长法的的对流扩散方程的差分方法 1 1 3 1 问题的提出 1 1 3 2 误差分析：1 2 第4 章s t r a n g 法和数值试验 1 5 4 1 s t r a n g 法1 5 4 2 数值算例 1 6 致谢 简历 攻读硕士学位期间完成的文章 2 5 2 7 2 9 第1 章引言 1 1背景及发展情况 对流扩散方程是一类基本的运动方程，是描述粘性流体的非线性方程的线 性化模型方程，它可以用来描述河流污染、大气污染、核废物污染中污染物质的 分布，流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象。科学技术中的关于流体 力学的数值模拟问题，很多归结为对流扩散方程，所以对对流扩散方程数值解的 研究是具有十分重要的理论和实际应用意义的。求对流扩散方程的数值解的方 法有多种，如有限差分法、有限元法、有限体积法等，其中有限差分方法是一种 重要的数值计算方法。有限差分法作为一种重要的数值求解方法，经过八十多年 的发展，已经取得了很大的成功，尤其是最近二十多年来发展迅速，研究成果颇多， v o nn e m a n n ，c o u r a n t ，f r i e d r i c h s ，l a x ，w e n d r o f f 等人为此做出了不懈的努 力。 1 2 海洋污染物输运 由于生态动力学的发展及沉积动力学本身的需要，悬浮颗粒物( 以下简称 悬浮物) 在海水中的输运问题越来越受到人们的重视。在渤海，早期的工作有 e m e r y 13 】等( 1 9 7 8 ) 对海水中悬浮物的简略报道，秦蕴珊f l e l ( 1 9 9 3 ) 等对渤海海水 中悬浮体的来源，分布等问题的讨论是迄今为止渤海中较为详细的研究成果。 曾有人从动力学角度出发利用数值方法对渤海的悬浮物等进行过研究( 曹 祖德【6 】等) ，这些数值研究对于了解渤海中悬浮物及沉积物的输运及分布有很大 帮助。江文胜1 14 】0 9 9 7 ) 对黄河输出的悬浮物的运移做了初步的研究，研究利用 德国汉堡大学的悬浮物输运的i 维粒子追踪模式，充分考虑悬浮物的沉积与再 悬浮效应和底质中细颗粒物的运动，对渤海中的悬浮物输运进行长期模拟，以 期对悬浮物的分布趋势及其它与水动力特征和气象状况的关系有一定的了解。 悬浮物输运的数值研究依赖于水动力的模式的完善与悬浮物输运过程的理 解。江文胜，孙文- 5 , 1 5 】以三维j 下压流模式为基础，考虑了影响悬浮物输运的几 个重要机制，可以基本反映悬浮物输运的趋势。 三维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 悬浮物三维粒子追踪模式( 以下简称s p m 模式) 的核心共由三部分组成， 即： ( 1 ) 悬浮物在水中输运部分； ( 2 ) 海底界面处发生的过程； ( 3 ) 底质中沉积物的运动。 悬浮物的运移及沉降模式的驱动力是流及海浪，海流将推动悬浮颗粒物在 海中运动，而海流和海浪等运动产生的湍流效应促进了颗粒物的扩散。当颗粒 物沉降到海底时，海底界面处的一些过程将起作用，如果颗粒物沉积下来，那么 将受模式的第三部分控制。在底质中的细颗粒沉积物又可由第二部分判断是否 会在悬浮起来，再次进入海水中。这样的模式对悬浮颗粒物的输运及分布以及 底质中细颗粒物质的分布可以进行较细致的模拟。 其中悬浮物在海水中的输运是三维粒子追踪模式的关键，该模式考虑一种 保守的悬浮颗粒物( 如泥沙) 在水中的运动，它有对流，扩散，沉降三个过程。 控制方程是描述该过程的数学表达式。 控制方程及边界条件： o c u o c + 秒骞+ 一叫。) 塞= 杀( a 塞) + 南( a 骞) + 麦( a 塞) ，+ 秒瓦+ 一叫s ) 瓦2 瓦( m 瓦) + 瓦( 瓦j + 瓦( 凡瓦) ， 其中，c 为悬浮物浓度；仳，v ，w 为海水的流速；w 。为颗粒物沉降速度；a 知， a 和a 为颗粒物的湍扩散系数。 海洋表面：尽管大气沉降物是海水中悬浮物的一个重要来源之一，只取海 面的净通量为零的条件，即 吼u ，= a v 篆i 。，+ ( 叫，一叫) ci 跚，= o ， 其中q 。，为通过海洋表面单位时间内的悬浮物通量。海洋表面：在海底处，由 于悬浮物的沉积及沉降物的再悬浮，这里是重要的源汇。 = 也塞j 概+ ( m s m w ) ci 的。= g s e d + ， 其中，。为通过海底界面的单位时间内的悬浮物通量；g e ，o 和吼。d 分别是在 海底的侵蚀通量和沉积通量( 在单位时间内) 。侧边界：陆地边界，采用自然 的没有悬浮物通量的条件：q = 0 ：开边界，采用法向浓度梯度为零的条件： 2 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 嘉= o ，育为开边界外法向，在河口，采用第一类边界条件，即给定该点处悬浮 物浓度。 数值方法：模式采用l a g r a n g e 框架下的粒子追踪方法来数值求解控制方 程，这是一种p i c ( p a r t i c l ei nc e l l ) 方法，即将每个网格中的悬浮物分成许多粒 子，然后追踪这些粒子，从而得到悬浮物浓度分布。 以z 方向为例，悬浮物粒予在下一时刻的位置有如下表示： 一堕堕掣警+ 、硒， 瓦 式中，u 伽是是流速u 在网格西侧面的值，a 七是悬浮物扩散系数，新一时刻的悬 浮物浓度由以下公式计算： 尬 叼一广 其中舰是第i 个粒子的质量，表示j 网格中水的总体积。 悬浮物输运的数值研究目前尚处于一个探索阶段，它依赖于水动力的模式 的完善与否和对悬浮物输运过程的理解。悬浮物三维粒子追踪模式可以基本反 映悬浮物输运的趋势。但是有些过程未能反映在模式中，水动力过程及悬浮物 输运过程认识需要进一步完善。 1 3 河段污染物分布 研究污染物在感潮河段中运动规律的计算方法，确定河流中污染物的时空 分布是水环境容量和水质规划的重要内容，是环境管理科学化的- 丰要依据。水 质数学模犁是对流扩散方程的初边值问题。但具体选定还依赖于江段水文，地 形等特征。下面说明三个问题【9 】： ( 1 ) 污染物在河流里垂向扩散很迅速，所以一般垂向扩散不予考虑： ( 2 ) 河流里的流速是以纵向为主的，除非特殊情况，一般横向对流不考虑； ( 3 ) 无潮汐影响，河道也比较规则的情况下，流速和扩散系数作常数处理。 除此之外，应考虑变系数的对流扩散方程。 3 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 所以，感潮河段污染物的运动方程可以归结如下： 瓦o c + q ( z mt ) 瓦o c + p ( z mt 面o c = 昙( 眈( z mt ) 塞) + - 品y ( d u ( 删脚赛) + m ，蚶) ，删印，k t ， c ( z ，y ，0 ) = c 0 ( z ，可) ，x ，y 豆， c ( o ，y ，t ) = c ( t ，y ，t ) = 0 ，0 y b ， c ( z ，0 ，t ) = c ( z ，b ，t ) = 0 ，0 x 0 ， 上述等式中，u 是解向量，r ( u ) ，f d ( 乱) 是对流项和扩散项，我们分裂这些项，产 生一个等式系统，因此，二步二阶分裂法解决系统的时间从t n 到t n + l = t n + a t 的离散应用。 坐：f m ( 札) ，t t n , 矿；) ，钆( 矿) ：“n ， 掣：f d ( u ) ，t t n , 亡n + ) ，u ( 矿) ：u ( t n + ) ， 掣：易( 乱) ，t ( t ，州) ，u ( t n + ) ：札( t n + ) ， 掣：f a ( 札( 4 ) ，( t n + ；，n + 1 ) ，乱( 4 ( n + ) ：u ( 3 ( t n + 1 ) ， 利用算子标记我们表示上述步骤的解为u n + 1 = & 。u n ，o l 是a ，d 表示是差分 解法算子。这样上述方法能够写成为：u ”+ 1 = s a 如t 岛s a u n ，这种方法 被称作s t r a n g 分裂法。 三丝坐亟銎塑题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 二二二二二二= = = = ：竺= ：! 竺 把s t r a n g 分裂应用到本例中有： 州一轰r ( 以霉+ 如噶) + 耐k t 2 甜2 霹慨如如) u 霉；一 蒜( 如磋+ 枷霉 + 筹磋跨仳霉；， ( i 一甜t 一2 ) ( i - e 丽tc ，甜2 ) 矿+ k ( “丽t 2 ) ( ，+ e 而t 。分2 ) 乱( 1 】， i - - 甜t 一2 ) ( ，一g 丽t 。2 ) 乱2 ) - ( ，+ 丽t 。2 ) ( ，+ 一2 丁h 2 - 妣u , u n * ， 1 卅一轰丁( 以葡+ 毛蕊) + 耐k t 2 针2 霹锄每；一 丽k 2 t 3 ( 如酲+ 每 + 1 2 4 k 2 t 4c 啪2 r 2 护；， 算例：考虑二维问题： 4 2 数值算例 z ，0 t 1 ， z ，y l 、，( 4 3 ) + ( y - k t - o 5 ) 2 ) ， 对上述方程应用w e n o 和p - r 格式逼近，时间离散采用二阶r u n g e - k u t t a 方 法，迭代计算使用s t r a n g 方法。下表给出了空间区问【o ，1 】【o ，1 】在j 等分条 件下，由该算法得到的t = 1 秒时刻的l 2 模误差及相对模误差和收敛阶。取l 2 误差范数( 仳表示模拟解，u 表示数值解) ： i = jj = j ej j = ( 2 l u 5 一喊 i = 0j = o e 怯。m a 砌xi u 乙j 一i ， ” 0 i ，j ， b ，j h 图一和图二是j = 1 0 ，7 - = 1 1 0 0 时模拟解和数值解的比较：图三和图四是 j = 2 0 ，7 - = 1 2 0 0 时模拟解和数值解的比较；图五和图入是了= 4 0 7 - ：1 4 0 0 1 6 ： ， 一 勺 船 伽 肛 1 - i e国 讹孬胁1 一“ 文 一e 一乱 乩一曲栅一 玑 + z 争如毗 孔瓦 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 表4 1 二维问题在= 0 1 ，k = 0 8 ，7 = 1 l o o ，空间等分j 下的札的l 2 模误差 及收敛阶 3 恻i 收敛阶 i k l l l l u l l 收敛阶 l k l l 。1 1 “1 1 。 收敛阶 1 0 1 5 0 2 4 e 一31 0 4 9 2 e 一21 0 4 8 7 e 一2 2 03 8 6 8 5 e 一41 9 5 7 43 2 6 9 2 e 一31 6 8 2 32 6 7 5 3 e 一31 9 7 0 8 4 0 1 2 5 2 1 e 一4 1 6 2 7 5 8 6 9 5 1 e 一31 9 1 0 7 5 9 1 5 3 e 一4 2 1 7 7 2 8 04 6 4 6 3 e 一5 1 4 3 0 1 2 3 4 9 4 e 一4 1 8 8 9 72 1 9 4 2 e 一41 4 3 0 8 表4 2 二维问题在e = o 1 ，k = 0 8 ，丁= 1 2 0 0 ，空间等分j 下的u 的l 2 模误差 及收敛阶 3 i 收敛阶 札i i 收敛阶 i k l l 。1 1 u 1 1 。 收敛阶 1 08 1 2 1 6 e 一4 6 3 9 7 7 e 一36 7 1 5 1 e 一3 2 02 2 1 0 6 e 一4 1 8 7 7 3 1 7 9 6 3 e 一31 9 2 0 01 8 7 4 6 e 一31 8 4 0 8 4 05 8 7 8 1 e 一5 1 9 1 1 03 7 6 4 1 e 一42 2 5 2 54 2 5 0 8 e 一42 1 4 0 8 8 0 1 9 6 8 8 e 一51 5 7 8 01 1 1 8 8 e 一41 7 5 0 41 3 8 7 4 e 一41 3 8 7 4 表4 3 二维问题在= 0 1 ，k = 0 8 ，7 = 1 4 0 0 ，空间等分j 下的u 的l 2 模误差 及收敛阶 3 i 收敛阶 i l e l l l l u t i 收敛阶 i k l l 。l l u l l 。 收敛阶 1 0 4 4 1 3 9 e 一4 3 9 e 一34 2 8 5 1 e 一3 2 01 0 8 7 3 e 一42 0 2 1 36 2 9 0 2 e 一42 6 3 2 37 8 1 9 3 e 一42 4 5 4 2 4 03 6 2 9 4 e 一51 5 8 2 92 2 1 5 4 e 一41 5 0 5 52 8 9 1 8 e 一41 4 3 5 1 8 0 1 0 6 8 9 e 一5 1 8 1 8 66 4 1 8 8 e 一51 7 8 7 2 9 7 6 e 一51 7 2 3 2 1 7 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法一 时模拟解和数值解的比较；图七和图八是j = 8 0 ，7 = 1 4 0 0 时模拟解和数值解 的比较。 o 。2 0 1 5 。 0 1 0 0 5 0 1 圈1 ：数值解图2 ：精确解 o 。2 0 ， 5 n o 1 0 ，0 5 0 1 1 1 8 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 o 2 0 1 5 。 o 1 o 0 s 0 1 图3 ：数值解 oox 0 2 0 1 5 n o 1 0 ，0 5 0 1 1 9 图4 ：精确解 00 x 1 一 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 。- - 。_ _ _ _ - 。- _ - _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ - - _ - _ _ - - - - _ _ - - _ _ _ _ _ - _ - - 二二_ 二。一 一 一 瞬5 ：数值解 图6 ：精确解 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 o 2 o 1 5 ： o 1 0 0 5 0 1 图7 ：数值解 0 2 o 1 6 n 0 。 o 0 5 0 1 图b ：精确解 y 00x y l 00 x l 2 1 参考文献 【1 】n a i l k y a m a l e e v t h i r d - o r d e re n e r g ys t a b l ew e n o s c h e m e j o u r n a lo fc o m - p u t a t i o n a lp h y s i c s 2 0 0 9 ，2 2 8 ，3 0 2 5 - 3 0 4 7 【2 】2j i a n gg u a n - s h a na n d s h uc h n w a n g e f f i c i e n ti m p l e m e n t a t i o n o fw e i g h t e d e n os c h e m e s j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lp h y s i c s 1 9 9 6 ，1 2 6 ，2 0 2 2 2 8 ， 【3 】3 李荣华，冯果忱微分方程数值解法北京：高等教育出版社1 9 9 7 ，3 【4 】l i ux ud o n g ，s o s h e ra n dt c h a n w e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r y s c h e m e s j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lp h y s i c s 1 9 9 4 ，1 1 5 ，2 0 2 2 1 2 【5 】s h uc h i - w a n ga n ds o s h e r e f f i c i e n ti m p l e m e n t a t i o no fe s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r ys h o c kc a p t u r i n gs c h e m e s j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lp h y s i c s 1 9 8 8 ，7 7 ，4 3 9 4 7 1 【6 】曹祖德，王桂芬波浪掀沙：潮流输沙的数值模拟海洋学报1 9 9 3 ，1 5 ( 1 ) ： 1 0 8 - 1 1 8 【7 】s h uc h i - w a n ga n ds o s h e r e f f i c i e n ti m p l e m e n t a t i o no fe s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r ys h o c kc a p t u r i n gs c h e m e si i j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lp h y s i c s 1 9 8 9 ，8 3 ，3 2 - 7 8 【8 】d a v i dl r o p p ，j o h nn s h a d i d s t a b i l i t yo fo p e r a t o rs p l i t t i n gm e t h o d s f o rs y s t e m sw i t hi n d e f i n i t eo p e r a t o r s ：a d v e c t i o n - d i f f u s i o n - r e a c t i o ns y s t e m s j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lp h y s i c s 2 0 0 9 ，2 2 8 ( 2 ) ：3 5 0 8 3 5 1 6 【9 】9 马贞信，吴旭光二维感潮河流污染计算的分裂特征线解法水利学报 1 9 9 4 ，3 ，6 6 7 2 【1 0 】z h e n gy o n 分h o n g ，s h e ny o n g - m i n g ，q i ud a - h o n g ah i g h o r d e rs p l i t t i n g s c h e m ef o rt h ea d v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n j o u r n a lo fe n v i r o n m e n t a ls c i e n c e s 2 0 0 1 ，1 3 ( 4 ) ：4 4 4 4 4 8 二维水污染问题的数值模拟一利用w e n o 格式的分数步长法 【11 】j f a l c o n e r ，c h e nj i n ac l a s so fa l t e r n a t i n gb l o c kc r a n k - n i c o