（计算数学专业论文）二阶椭圆型变分不等式的多重网格法.pdf

摘要 本文讨论了一类椭圆型变分不等式的新型多重网格法及其收敛性定理文 中把套多重网格法和瀑布型多重网格法应用于一类椭圆型变分不等式，并且把用 于求解微分方程边值问题的瀑布型多重网格法中各网层迭代次数的迭取新方法， 应用于这类问题理论和数值实验证实和显示所给算法的优越性 关键词：椭圆型变分不等式套多重网格法瀑布型多重网格法l a g r a n g e 线性有限元投影迭代 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s t r u c tan e w t y p eo fm u l t i g r i dm e t h o df o rt h es o l u t i o no f t h e l a g r a n g el i n e a rf i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o no f ak i n do f e l l i p t i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y f u l l m u l t i g r i dm e t h o da n dc a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o da r ea p p l i e dt ot h i sk i n do f p r o b l e ma n dw ea p p l yt h en e wm e t h o do fc h o o s i n gi t e r a t en u m b e r so ne a c hl e v e li n c a s c a d i cm u l t i g r i dt oi tt h e o r e t i c a lr e s u l t sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r eg i v e nt o s h o wt h ea d v a n t a g eo f t h em e t h o d s k e y w o r d s ：e l l i p t i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y f u l lm u l t i g r i dm e t h o dc a s c a d i c m u l t i g r i dm e t h o dl a g r a n g el i n e a rf i n i t ee l e m e n tp r o j e c t i v ei t e r a t i o n t ，辘 慧薹 1 轧* 第一章引言 r | i1 1 1 ： 0 , 2 - “中期意人利_ f | l 法ie , i 产存t 2 , j 变分小等式删沦以米，这个上i | ! 沦迅速深入地发胜，川在不少物理、力学、i m ! 平经济题f 彳9 剑j - 成功的腑川w 此，变分1 ：等式现已成为不少数学家、物理学家、j 。z 家、经济。? 家干j 。w ! j | jf - - r 的 7 ，力i l 之 ( 参看【i - - 9 ) 与此川时，变分小锋式的数f f l 胛分析也取得re 跃发腱， ) e i i 心的成粜川参见文献 1 0 1 6 1 多重网格法是八十q - 4 , ? o ) ，= l ，月女 步2 ：置u 乜1 = 0 ， s 1 次投影迭代：u 厶：= 向 i ( u 厶1 ，f “l ，巾1 ) d 玖汁算：u l l ：= 护：i ( u 工i i ，f n i ，卜1 ) 计算校正值：u l i ：= ( ，工l + 1k u 二 步3 ：历磨光j 2 次g a 女( u 工1 ，f ，o ) = 自? ( u l ，f ，中) 2 3 有关定理及证明 假设21 ：设u i 为问题( 2 3 ) ( = 女) 的解，u j = p 。( v l ，f ，中) ，则有 i l u j u k i ，0 u 上一u 。i ，其中o ， o ，使得| | u 。- 0 。i i 。c h 。 证明：定义瓦：= u 一口r ，由假设21 、算法2 1 及引理21 有 蚓i 。y i i u 。一，“f | y ”妒。一l k u 。”糍1 | | i ) s c y 池+ 敝扎 4 c h y + ( 12 h 女1 ，2 ”十+ ( 。 i y 。 轨蒜 特2 c y ” 1 ，则1 c h k 定理2 2 算法2i 的运算髓为( ) ( ”女) 证明：改毗为算法2 2f j 运算艟，p ! l j 4j w k s csn k + a wk 其中s = s l + 52 ，口( 4 ，于是 c s n 女+ c t ( c s n t i ) + 口2 ( c s n t 一2 ) + + o r ( c s n l ) c s 4 + a c s 4 一斗口2 c s 4 一2 + - i - 口一c s 4 设哦为算法2 1 的运算量，则： 哌哌。+ 埘 哌m c n 女+ m c n 一l + - + m c n m c ( 4 + 4 一1 + + 4 ) c 4 c n c 嵩吼 一 一 第三章椭圆型变分等式的瀑布型多重网格法 奉尊把瀑枷刑多匮m 格法应川j 炎椭州娈分小等， ：j 钏o ( h ，) 收敛书及 其中 其中 3 1 问题离散和算法 改q 为r ”( 肝= l ，2 ) 中的有界多角j 域，k 为h 。( q ) 中的闭凸r 集 k = v ( x ) 月：( q ) ：v ( x ) ( x ) 于q ) h 2 ( q ) 为已知函数，且满足i a 0 ，我们考虑如f 变分不等式 求u ( x ) k ，使得 口0 ( x ) ，v ( x ) 一“( x ) ) ( f ( x ，“) ，v ( 石) 一“( z ) ) ，v v ( x ) k ，( 3i ) d 0 ( x ) ，v ( x ) 一“( x ) ) = 。v u v v d x ，f ( 圳) = 厂( x ) 一q “ ( x ) l 2 ( q ) 为己知函数，q o 常数 在上述条件卜，问题( 3 1 ) 的解存在唯一( 参见【1 6 】) 我们用l a g r a n g e 线性有限元逼近问题( 31 ) ，且采用l u m p i n g 区域【3 3 】处理 f ( x ，“) 项对q 采取均匀剖分，即削分的各单元步长相等，且啊彳= j 1 i q = u f ，e l 表示正的内顶点集如幽示 旧i 6 设 从籼旧到钏刚 ( 月= i ) 竺! ! 塑型竺堕， ( n = 2 ) 定义分片线性函数空间和分片常数空间如f ： ： v c o ( 五) ：v f = o 于锄，v f 置于l ，i = 1 ，一，) c ，： w 心) ：w 知) ：n 1w ，z ，w ，r i , i = 1 ，f ， 其中z ，为只e f 的重心区域上的特征函数再定义_ 的闭子集 定义算子 k ，= v ，巧：v ，厅e ， r ，w ( x ) = w ( 只) i v w ( x ) c o ( q ) 则问题( 3 1 ) 的有限元逼近为： 求玑k ，使得 她，v ，一“f ) ( f ( x ，r l u l ) ，r ，”厂r j u , ) ，v v ，k ， ( 32 等剁棚嘲( 3 l m 肌嘶肌3 2 懈”3 7 叫卜“川j f 。，i c 。j h a 天 假设31 、- 1 ：2 寸化i 述条什卜，改“为6 u 题( 31 ) 的解，“，为( 3 2 ) 斛9 1 i 吼沁， _ c h 7 ，c ! 向历哭 注31 ：上述假没已由数值实验证实，参见文献【3 4 ，3 5 1 当n = 11 ”定义锋rl ： u ， 2 + q ? l一1 其中n ，= 2 一1 a ，= i 2 其矩阵表示为 一1 。一1 1 2 + q ? 当 ：2 时定义算子l i ：巧一坼，其矩阵表示为 其中n ，= 2 一1 ，n = n ，胛 e ， e 。乩。 一1i 一1 4 + q ? j m x 。 f j ( 32 ) 等价丁如卜线性且补问题：求x ，r m ，使得 8 ( 3 3 ) ( 34 ) 酥m n ” d e r，l 厅 一 一 一 一 l | d x 、1 1 1 i 一 j 爿，x ，f ， z ，中， ( 35 ) ( 爿，x f f ) 7x ，一中，) = 0 ， 2 翟? 一_ 1 ， q ，e i = j ，一，v ， i 巾；”= ( q ) ， 。 “：= “；= “o ： g ? = “工i ， “，_ s i , m , ? ， ( 36 ) 其中s t ，。表示在第，层投影迭代( 包括投影r i c h 熊d s 。n ，投影j a c o b i 或投影对称 设 妒) 二为k 的基函数，“j ：兰x ? 妒，则算法3 1 等价于 算法3 2 x ；= x ：= ； f o r 1 = 1 ，三， x ? = i ，x 7 - ， x ? - 口。x o ， ( 3 7 ) x j = x p ， 其中i i 表示把n h 维向量，相邻分最取均值，其它分鲑不变得到n ，维向昔的插值算 f ，目。表示在第，层投影迭代( 包括投影r i c 熬。n ，投影j a c 。b i 或投影对称 9 对rl c p 3 2重要引理 a = ( 口，j r 为对称m 阵且对角线元素相同，且 6 = ( 6 ，) ，c = ( c ) ，x = ( x ，) r ”， ( 38 ) 爿= d ( ，一一u ) = d ( i b ) ，g = d b ， d ：讲昭。一，d 。) ，、u 为严格下三角形和上三角矩阵，i a i = ( | a 。1 ) r h = ( r ” 引理3 1 设s 为投影迭代的误差即s = x 一x + ，x + 为( 3 8 ) 的解，则 e k + l i s 侧s 1 ，其中有 c ，投影r ；c n a r a s 。n 迭代i b i = 1 ，一吴l = ，一x a ( 2 ) 投影j a c o b i 迭代l b i = i ，一d - i a l = ，一d - i a ( 3 ) 投影对称g a u s s s e i d e l 迭代 1 b i = ( ，一帅i l i ( ，一i l l ) 。1 i v i = ( ，一u ) 一l ( i 一上) u 证明：第( 2 ) 种情况住文献【3 6 】中已证明，这里仅证明第( 3 ) 种情况，第( 1 ) 种情况的 h i ：明类似 o 卸 筹 p s g s ：x + 2 x 女+ l p g + ，“烂+ u x * lj ：p g + l x “+ u x 一 lj xk * 1 只2 = m a x ，g 譬，+ 6 ，x ：+ 2 + 6 。r ：“ 没x 为l c p ( 38 ) 的解，易验证： x + = p g + l x + + u x + 即 x + x ，2 m a x c ， 一。：) i + 6 。( 。：+ 一，；) f il + j - ， 。 z i b 。+ 善j 。l ( 蔷i a ，j | x ；+ 必一x ：i + 善i 。i i x j x j ， s “f i v l l t m + | f 占+ 比 - l v f l s i + l m l ( 1 - 1 2 1 ) 。1 圳占。 s i ( ，一r v f ) “，一f l f ) “俐s = ( ，一u ) l ( t 一) “u 川 、l，j r6 + 坯 o q 6 m + c f，i x眦 = r l，i ， x ” 6 + g i ， x ( n 一 一 引理3 2 敬“川= x h o ) h i t ) ，i ) ! t l u h = ( ，x 川) “妒j “ 其一 ， 妒n 兰我叫i ，e i ，if e h 第l ：；有限冗丛蛹数 证明：只对维情况证明，：维情况 i j ： 刿类似 “。= x 尚一! 卜x 矧( 妒+ 妒j ”+ 妒j ) 引理3 3 刈l a g r a n g e 线性+ 订限儿，砹 妒 苫表1 i 第l 层以限元毖蛹数，儿 “= x j c , i i 叱 翩扎c ：，2 ， 其中d 表示域的维数 证明：只对d = 2 情况进行证明，d = l 情况证明类似 ：2 萎p 2 出 其中l t i 表示t 的面积由于 f | = 兰。：( 川 事实上f t i 等价丁砰，义网为“为线性函数，所以有 u ( m 。) 1f 0 u ( m ：) l = i o r ，( 鸭) jl 崩 其中p ，i = 1 ，2 ，3 表示t 的顶点；m ，i = 1 ，2 ，3 表示t 的中点r 是引理得证 ( 3 9 ) r j 科 j ) 渺 u 可 也 ” 2 ” ， 眵了 旧 9 lh l ! i o l ( 39j 代j ! ；舯肼f 仃息玖彩坝q ( x ，y ) n ig ( ，) 出咖= 1 7 一 1 手, i q ( 州。 ( 31 0 ) f 1 “卜 小坐 典： ( r ，y ) f 丑】、五，丑、) ( 丑1 丑! ，_ 、) 山一n ，l 卜 小，f f 班方 1 = 五+ _ ，+ 五： x = x i i + 。j 工! + r ，一 y = j ，l 丑i + y2 2 + y 3 五 f ( x 1 a ，+ x 2 2 ：+ x 3 五，) ( y 丑+ y 2 2 2 + y 3 旯3 ) d x a y = i x , y ，五i + x z y 2 2 2 2 + x ，y ，丑；+ ( x y z + x ：y 一) 五- z + ( x i y 3 + x s y i ) 旯l 五3 + ( x 2 y 3 + x 3 y 2 ) a 2 五3 & d y = i t 3 i f ( 、x 2 l + 等) ( 竽+ 等) + ( + x 2 2 ) ( v 2 l + 孚) + 丁x 2 + - x 2 3 ) ( y ：2 ”+ 等) = 孕和 同样把x y 换成x 2 ，y2 ，x ，y ，1 均成立所以( 3o ) 饿i e ，丁是( 3 9 ) 得让 3 3 一维问题有关结果及证明 本盼我们考虑问题( 31 ) ，n = l 时的情况 引理34 川a ，的n f 个特祉值为： ”一2 c 2 埘坤c o s 羔j ，z ， 引理3 5 殴五。一人，为a ，的最小，嫩人特 n ：值，则 a ，- h , - 2 ，五。c ( ! j q 及啊的i ：界有犬的常数) ( 3 12 ) 3 忙矿( z 埘坤c o s 志j 龇嘶2 k 。叫2 ( z 埘即c o s 尚 = i 2 ( 2 + q h 7 十2 c 0 4 1 一丌) 卅2 + q h 坤_ 1 + 扣卜孚+ 学，r w 1 w 卜z w 一譬 c 引理3 6 对于r i c h a r d s o n ，j a c o b i 及对称g a u s s - s e i d e l 有： 阮，x u ： 等：，陬，x 峪：， ( 3 1 3 ) ，”j 其中矩阵b i 。，表示在，层上迭代m ，次 证明：设o 硝1 a ；2 珥m 是矩阵a ，的特征值 皓， ，1 i n 为其相应的单位正交特征向量 a f = m a x 硝 l s ，e n ，、 n ， 一毒 _ 1 脚卜? 吨* 甜7 筹x ? = a ，卜 l x ? f = l oo ，o o ， 叫2 忡m a 。x ( 。1 _ ，广。夸 4 知e l l b i x k = | l 爿，：爿，：层i 帆x 2 _ p ( 爿，： l 一；口i x c 膨。北： 譬： 删? 同样可证j a c o b i 和对称g a u s s s e i d e l 情况 定理3 2 对于算法3 ，1 ，取第f 层投影迭代次数m ，= p l - , m 1 ，“，为问题( 3 2 ) 的解，u ? 由算法3 1 产生，则算法3 1 产生的误差估计式 i u 。一吼： 当 钆 上，哦 l f x ，一x ；1 1 ：l f b i 。，i x ，一l l x l _ l ：+ 慨。1 1 m i i x 圳， 乓卜扯 m j ( 3 15 ) 式两边乘以( 压) “7 再替加得 i i ，+ 蚓札，i - i i i ： i i x , - x i ”1 , 坐毕l - i i 怫 m ? f - i k 1 j 1 h 2 聊? i ! h i 慨叫扎 由于啊= 2 l - i h 。，聊，= 【“7 m 。】， 肛。一：! k 箸i 矧。 r 蚓k 4 时 i i 旷吼： 击 1 _ 方f 6 3i5 ) ( 3 1 6 ) ：4 j i j ，t l 砷一吼， l 善 定理33 条什旧定理32 ，l j ! j 算法31 的训算i 砖什计式如r ， 一 ，：1 j 百， 2 证明：当 2 和= 2 时易证 = m l 吨吼篁 i = 0 二 2 m l r 趴 c l 引 r 趴“g ( ”1 ) 硼t 喇从割 。，壁竺 ? ? n l + 1 朋。”，( ”，+ 1 ) ( 1 0 8 4 1 7 旦 l m 一 声 。 当 风列 ，l m 盟心 定理3 4 符墩= 4 ，取第层投影迭代次数m ，= k l 2 则算法3i 的以爿 1 ，圳“，一“i 忆c ， 3 4 二维问题有关结果及证明 本1 ，我们考虑6 q 题( 3 1 ) 、_ n = 2 时的情7 兄 引理3 7 刚a 的n ，个特征俯为 阿2 卜。s i n 2 褊仙抒褊 ， k ，m = 1 ，2 ，一，” 引理3 8 设五。，人，为a ，的最小，最人特征值，则 a ， h 7 2 ，丑。c( 3 1 9 ) 证明：由引理3 7 卟竹2 卜。耐捅圳n 2 褊 ，a i - h f 2 , “。叫一心南 叫2 防+ 8 s i n2 纠 引理3 9 对于r i c h a r d s o n ，j a c o b i 及对称g a u s s s e i d e l 有： 阮，x ”：，l i b , 。x 炉：， ( 3 z 。) m ， 8 j 一 ，甜i 阵口j 。表u i n ，层i ：迭代，次 证明：和维情况一样 定理3 5 对j 算法3l ，取第，层投影迭1 次数= p “m ，】， “，j , j f 1 题( 32 ) 的解，“? 由算法3 1 产生，则算法3 i 产生的误筹估汁式： 证明：设x ，为( 3 5 ) 的解，“，为问题( 3 2 ) 的解，x j 由算法3 2 产生，, 4 j 由 算法3 1 产生，则“，= n ix j ，妒( r ) 妒， 妒o ) 二为_ 的基函数 由 引理3 1 、引理3 2 、引理3 3 、引理3 7 、引理3 9 及算法3 1 、算法3 2 l x ，- x ；i 彤。i x ，一x ? s b ：。| x l i ，x | 一 七b ：。i i x i 。一i ，x j 一 忙；i l ：8 重。 ，一扯， 缉怫 ，z ( 3 2 2 ) 式两边乘以2 “再叠加得 ”k 肛m 一印圳： 9 慨一“- ( 3 2 2 ) 肖 当 上，孵 上- 吐 ， 工 m h = ， 甜 掣岬 。n ，hh 掣孵 。 、一 故 j ：h = 2 l - i ，m ，= 妙7 】 ( 32 3 ) 式得 肛t “忆z 箸氧爿 忆一圳， 忆一吼： 4 时 当= 4 时 定理3 6 条件同定理3 5 ，则算法3 1 的计算估计式如下 1 百m | n l 卫堋7 叱 l 。川l n l ， 。f ，；r 1 。8 4 2 证明：妻埘，n ， 妻i ( 訇“，故 a 吼结果显然 证明：埘，= ，”。( 筹j ，故 4 时 口 4 f 32 3 一： 一 ，h 三痧 ，l ，h 上l 孵 一x 上咭 吮了哦 m m 。h ， m ，n ， 1 ， 7 ：i m ，n7 n ? m l 才 辩 饥俐 ：。，( 鲁 1 。g ；+ 1 厂 l 、( 卢一2 ) = 朋 j ；+ li 定理3 7 若取：4 ，取第三层投影迭代次数为川。= k l 2 ，则算法3 1 的 2 、修盯h ， 一 9一i ，l一 一 一 一 l 一 m ) g o+ 0 mm 。h 量算计 l l ”一 吼 为计估差误 第四章迭代次数选取新方法 文献【3 8 】提出瀑布弘多甄旧格法- | 缚坛迭代次数选墩的新方法，本章把其府川j - 变 分4 i 等式的瀑布，口多啊例格法第“章将给f j i ；数f i t f 实验 4 1一维情况有关结果及证明 引理41 对，：r i c h a r d s o n ，j a c o b i 及对称g a u s s ，s e i d e l7 慨侧，。 其中算子b i 。，表示在，层上迭代聊，次 当m ，_ 2 2 7 ： 当脚卜2 “， 证明：设o 硝1 硝2 硝川是矩阵a ，的特征值 易计算 碚， ，1 i n ，为其相应的单位正交特征向最 a ，：m a x 协1 l i g - n ，、7 m a x ( 1 ? _ ，- 2 “ ( 4 1 ) ，k r r 何叫r m h = x x 雕 砰 m h 矿 一 掰 、r 上严 r，0，【 m j i 35 l i 占i 。x j | ：= f f 爿，一；爿，：曩。x c r - i ，| j p l 爿f 2 j j f 爿，2 ，。c 忙既，扎： f 竽i t：， _ 厶 “，为问题( 3 2 ) 的解，“j 由算法3 1 产生，则算法3 1 产生的误差r l = “ 一“：，有 i i r lj | r _ h l ，计算量 2 i 证明：取肌，= 撕 m ( 2 l 2 - ：舭1 ) 22 j j + 1 ， + l 类似于定理3 2 的证明，可得： 裟1 s l 。o ；i 0 有： f l r , 1 l 。f 壹一2 l - i r h + 兰2 _ m r 2 2 t 2 z 一，f 。亍+ 2 2 2 “27 i - “+ 14 m ,酉 砒( ，赫12 ( t - a ) ( l - t ) + 纠i = 1 h ， r ，h 、 _ | v 口；2 。伊”“。+ z ( 2 l 一1 ) 2 ”。j ，i + i = i 取卢= 1 ，。= 昙，口，= ，。，口舌1 ，i f w i - n i2 i * 隅严z i f + 凳叫z 训， 4 2二维情况有关结果及证明 引理4 2 对丁r i c h a r d s o n ，j a c o b i 及对称g a u s s - s e i d e l 有 f i 1 ix l l ： 川j 1 2 “7 峨洲：， 当m ， _ 2 27 其中算子b i 。表示在，层上迭代竹次 证明：类似于引理4 1 定理4 2 对丁算法31 ，取第，层投影迭代次数 m ，： 聊( 一；) z “ + l 当l - 厶 其中 l o = 詈，= 1 ，a ，= l o ，啪 u t 为问题3 2 的解，“? 由算法3 1 产生，则算法31 产生的误差r = ，一“i 订 i f 只，f | ，：_ ，计算颦 0 故订： 慨忆 h ，f 争一1 2 ( l ，嚣1 口7 h ， 取：1 ，厶：妻，口 d ? 2 ( 2 a 一2 ) ( “) = l o ，有 z 划 + 乜一 睨 j ll j + 乜一f 矿2 i h l ，= “+ l ，；l _ 帆( 三+ ( 昙) ，) 0 2 4 2 i 0 f ， u ，0 ， ( 5 i o ) i ( 爿u ，一f ) u ，= 0 ， 其中n ，= ( 2 “2 一1 ) 2 ，p r e = 1 1 m i n ( a ，u ，一f ，u ，一，) j | 。 - 墩再联迭代次数m ，= 【47 一m ，】，= 【】 实验结果 表5 8 光滑子：投影j a c o b i m 层数最细网未知数迭代次数 p r e时间( 秒) 0 1 243 9 6 9 6 4 ，1 6 , 4 ，1 o 1 9 1 94 7 8 51 6 1 2 9 7 6 8 ，1 9 2 ，4 8 ，1 2 , 3 0 0 6 4 28 4 6 4 表5 9 光滑子：投影对称g a u s s - s e i d e l ， +层数最细网未知数迭代次数 p r e时间( 秒) 0 1 339 6 l 1 6 , 4 ，1 0 7 3 0 8o 5 5 43 9 6 9 1 2 8 ，3 2 ，8 ，2 0 0 4 1 52 5 2 6 可见以上实验结果与第三章理论相符 5 3 迭代次数选取新方法的数值实验 旷瞄鼍 m = 0 6 ，c a s c a d e 参数7 - 05 实验结果： 表5 1 0 光滑r ：投影j a c o b i 州j 。：最细嘲术知数迭代次数 p 州 州i 1 1 j ( 秒) 45 1 1 8 ，2 0 ，6 5 ，3 9 4l3 5 9 1 0 l5 9 51 0 2 3l0 ，2 9 ，2 6 0 ，i5 4 ，7 6i9 6 3 8 1 0 “92 2 表5 光滑子：投影对称g a u s s s e i d e l 网层最细网术知数迭代次数 p r e 时问( 秒) 45 1 1 8 ，2 0 ，6 5 ，3 9 1 0 8 4 4 1 0 86 8 51 0 2 3 1 0 ，2 9 ，2 6 0 ，1 5 4 ，7 6 88 0 5 3 1 0 。2 7 8 6 例5 7 用算法3 1 重新求解问题( 5 9 ) ，取各网层迭代次数 实验结果 m t2 m ( l 1 ) 2 2 ，】+ 1 聊( 妻) z2 ：( 一】+ l 表5 1 2 光滑子：投影j a c o b i ，c a s c a d e 参数 3 5 网层最细网未知数迭代次数d r e时间( 秒) i43 9 6 913 ，3 3 ，7 ，50 0 8 5 85 1 6 1 543 9 6 91 9 ，4 6 ，2 5 ，7 0 0 8 0 65 8 8 243 9 6 92 5 ，6 5 ，3 3 ，9 0 0 7 3 56 5 4 151 6 1 2 9 1 7 ，4 9 ，1 0 1 ，2 6 ，7 00 4 1 38 8 4 9 1 551 6 1 2 92 5 ，7 3 ，1 5 】，3 8 ，1 0 0 0 3 5 69 56 8 251 6 1 2 9 3 3 ，9 7 ，2 0 l ，5 i ，1 2 0 0 3 0 51 0 29 3 哇 邹 当 表51 3 光滑r ：投影小称g a u s s s e i d e l ，c a s c a d e 参数05 网层最细蜊未知数迭代次数 p r e jj , l 问( 秒) o243 9 6 9 3 ，7 , 4 ，1 0 1 9 1 l517 0443 9 6 9 5 ，1 3 ，7 ，2 0 0 3 2 71 75 7 0251 6 1 2 9 4 ，1 0 ，2 i ，6 ，2 00 1 6 93 7 24 0451 6 1 2 9 7 ，2 0 ，4 ，1 1 ，3 00 0 9 74 0 69 4 可见以上实验与第四章理论相符 注：本章实验使用软件m a t l a b 5 3 ：机型：p e n t i u mi i i3 0 0 ，1 2 8 m b 【3 】 【4 】 【5 】 【6 】 参考文献 g s t a m p a c c h i a ，f o r m e s b i l i n e a r i r e sc o e r c i t i v e ss u r l e se n s e m b l e sc o n v e x e s ， c ra sp a r i s2 5 8 ( 1 9 6 4 ) ，4 4 1 3 - 4 4 1 6 j ll i o n s ，o p t i m a lc o n t r o lo fs y s t e m sg o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s p r i n g e r ，b e r l i n ，l9 7 i gd u r a u ta n dj l l i o n ，l e sl n e q u a t i o n se n m e c h a n i q u ee t e n p h y s i q u e ，d u n o d ， p a r i s 19 7 2 a f r i e d m a n ，v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e sa n df r e eb o u n d a r yp r o b l e m s j o h nw i l e y s o n s ，n e wy o r k ，1 9 8 2 rg l o w i n s k i l e c t u r e so nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rn o n l i n e a rv a r i a t i o n a lp r o b l e m s p r i n g e r - v e r l l g ，n e wy o r k ，19 8 0 j f r o