（计算数学专业论文）三次几何hermite插值及其优化.pdf

中赢大学硕士学位论文擒要 摘要 几何h e r m i t e 插值( g h i ) ，即要求插值于给定的两端点及端点处 的切方向和曲率等条件。在几何造型和王程设计中有着广泛的应用。 本文在总结现有算法的基础上，提出了种新的构造算法。论文共分 三个部分。 ，第一章为绪论部分，简单介绍了计算机辅助几何的起源，几何 h e r m i t e 插值的匿内外研究现状。简单综述了几何连续性，三次样条 曲线以及b 6 z i e r 曲线的相关性质。 第二章通过引入一个新的节点，提出了一类g t 连续的三次几何 h e r m i t e 插值曲线的构造方法，给出了能量最小化时对应的参数取值 公式。所给表达式中保留了切向的合理调节参数及局部控制参数。讨 论了在各种插值条件下如何选取自由参数才能得到光滑的曲线。然后 分析了算法的利弊，并针对算法的缺点给出两种相应的改进算法e 第三章在第二章的基础上通过引入两个新的节点，给出了g 2 连 续的三次几何h e r m i t e 插值曲线的构造方法及能量最小化时对应的 参数取值公式。算法包含5 个自由参数，分别可以控制插值曲线的切 向量长度、曲率向量长度以及对曲线进行局部修改。 同时论文中给出了一些具体的应用图形，图形都是根据本文算法 用m a t l a b 绘制的。实例表明文中所构造的算法是合理有效的。 关键词：几何连续，应变能，三次b 6 z i o r 曲线，几何h e r m i t e 插值 中南大学硕士学位论文a b s t ra c t a b s t r a c t g e o m e t r i ch e r m i t e i n t e r p o l a t i o n i st of i n dac u w ew h i c h i n t e r p o l a t e sp o s i t i o n ，t a n g e n tv e c t o r s ，c u r v a t u r e sa n do t h e rc o n d i t i o n sa t t h ee n d i th a sw i d e l ya p p l i c a t i o ni ng e o m e t r i cs t r u c t u r ea n de n g i n e e r i n g d e s i g n i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n t e dan e wc o n s t r u c t i v ea l g o r i t h mo nt h e b a s i so ft h ee x i s t i n ga l g o r i t h m t h i sp a p e ri n c l u d e st h r e ep a r t s i nf i r s tc h a p t e r , w es i m p l yi n t r o d u c ep r o v e n i e n c ea n dd e v e l o p m e n t o ft h ec o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g na n dt h ec u r r e n tr e s e a r c h s i t u a t i o na th o m ea n da b o a r d ，t h e ns u m m a r i z eg e o m e t r i cc o n t i n u o u s ， c u b i cs p l i n e sc h iv ea n dt h en a t u r eo fb 6 z i e rc u r v e s i ns e c o n dc h a p t e r , w ep r e s e n t e das c h e m ef o rac l a s so fg h ic u r v e w h i c hi sg 1c o n t i n u o u s t h r o u g hb r i n g i n gi n an e wk n o t ，g a v et h e p a r a m e t e r sf o r m u l aw h e nt h es t r a i ne n e r g yo fc u w ci sm i n i m u m t h e f o r m u l a sf e s e r v er a t i o n a la d j u s t a b l ep a r a m e t e r s i no r d e rt oa c c e s s i n g s m o o t hc u r v e s ，w ed i s c u s sh o wt oc h o o s ef r e ep a r a m e t e r si nv a r i o u s i n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n s t h e nw ea n a l y z et h ep r o sa n dc o n so fa l g o r i t h m , a n d p r o p o s e t w oc o r r e s p o n d i n g i m p r o v e da l g o r i t h ma c c o r d i n g t o a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fa l g o r i t h m i nt h i r dc h a p t e r , w eg a v eas c h e m ef o rac l a s so fg h ic u w ew h i c hi s g 2c o n t i n u o u st h r o u g hb r i n g i n gi nt w on e wk n o t sa n dt h ep a r a m e t e r s f o r m u l aw h e nt h es t r a i ne n e r g yo fc u r v ei sm i n i m u m t h ea l g o r i t h m c o n t a i n s6f r e ep a r a m e t e r s ，t h e s ep a r a m e t e r sc o u l dc o n t r o lt h el e n g t ho f t a n g e n tv e c t o ra n dc u r v a t u r ev e c t o ro fg r ic u r v e ，a n dw ec a nh a v el o c a l m o d i f yt ot h ei n t e r p o l a t i o nc u r v e i nt h ep a p e r , w ea l s og i v es o m es p e c i f i ce x a m p l e ，t h e s ee x a m p l e sa r e d r a w nb ym a t l a ba c c o r d i n gt ot h ea l g o r i t h mo fp a p e r t h em e t h o di s e f f e c t i v ei ng e n e r a t i n gs m o o t hc u r v e k e yw o r d s ：g e o m e t r i cc o n t i n u o u s ，s t r a i n e n e r g y , c u b i c b 6 z i e r c h iv e s ，g e o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：名娅曰期：斗年斗月啦日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阕；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名牌导师签名：雄盟日期：警鉴卫月笪日 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 计算机辅助几何起源 第一章绪论弟一早三百了匕 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) 这一 术语由巴恩希尔( b a r n h i l l ) 与里森费尔德( r i e s e n f e l d ) n 1 在1 9 7 4 年的美国犹他 ( u t a h ) 大学的一次国际会议上提出，以描述计算机辅助设计( c o m p u t e ra i d e d d e s i g n ) 的更多的数学方面，因此加上“几何 的修饰词。在当时，其含义包括 曲线、曲面和实体的表示及其在实时显示条件下的设计，也扩展到其他方面，例 如四维曲面的表示与显示。自此以后，计算机辅助几何设计开始以一门独立的学 科出现。 c a g d 学科是随着航空、汽车等现代工业发展与计算机的出现而产生与发展 起来的一门新型学科。尽管研究对象扩展到四维曲面的表示与显示等，但其主要 研究对象是工业产品的几何形状。工业产品的形状大致可以分为两类：一类仅由 初等解析曲面组成，这一类几何形状可以用画法几何与机械制图完全清楚表达和 传递所包含的全部形状信息。第二类是不能由初等解析曲面组成，而已复杂方式 自由地变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外 形零件。显然这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能清楚表达的。对于这 类问题传统上采用模线样板法表示和传递自由型曲线曲面的形状。模线员与绘图 员用均匀的带弹性的木条、有机玻璃条或金属条，通过一系列点绘制所需要的曲 线即模线，依次做成样板作为生产和检验的依据。在曲面上没有模线控制的部分 取成光滑过渡。这种采用模拟量传递信息的设计制造方法所表示与传递的几何形 状因人而异，要求设计与制造人员付出繁重的体力劳动，设计制造周期长，制造 精度低，互换协调性差，不能适应现代航空、汽车等工业的发展。人们一直在寻 求用数学方法唯一地定义自由型曲线曲面的形状，将形状从模拟量改变为数值 量。由此而来的大量计算工作手工无法完成，只能有计算机完成。随着计算机的 出现，采用数学方法定义自由型曲线曲面才达到实际应用的地步，这导致了本学 科的产生和发展。依据定义形状的几何信息，应用本学科所提供的方法，就可建 立相应的曲线曲面方程即数学模型，并通过在计算机上执行计算和处理程序，计 算出曲线曲面上大量的点及相关其他信息。期间，通过分析和与综合就可了解所 定义形状具有的局部和整体的几何特征，这里实时显示与交互修改工作几乎同步 进行。形状的几何定义为所有的后置处理( 如数控加工、物性计算、有限元分析 等) 提供了必要的先决条件。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心的问题是计算机表示，既要 找到即适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息 传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。 1 2g 的研究现状 曲线插值问题是c a g d 中类基本而广泛的问题，实际问题中可能要求曲线 不仅插值于某些点，而且要插值于某些点处的切方向乃至曲率信息。古典的 h e r m i t e 插值能用高阶参数曲线得到高阶精度，但是一般古典的最低次数多项式 的，达到c 的插值问题的解唯一地由一段2 k + 1 次的参数曲线构成。实际问题中 几何连续的要求更为普遍，从而导出一类称之为h e r m i t e 插值( g e o m e t r i ch e r m i t e i n t e r p o l a t i o n , g h i ) 的问题。一般地，几何连续的条件弱于参数连续的条件，从而 我们可以期望降低插值多项式的次数，由低次多项式可以得高阶连续。特别地， c - h 踟1 1 i t e 插值问题需要五次多项式，但对于平面曲线的g c 2 - h 锄【i l i t e 插值 问题，已有的工作表明用三次b 6 z i l e r 曲线甚至两次b 样条曲线就够了，这大大简 化了曲线设计的计算。下面我们简单地总结一下一些已有的成果及其结果。 d eb o o r 脚用平面三次b 6 z i e r 曲线考虑了g h i 问题，结论是当曲率不等于零 时，局部解存在并具有六阶逼近精度；h o l l i gk 和k o c hj 【3 】讨论了插值于给定的 两端点及端点处切方向，再加上另外一点的空间三次b 6 z i e r 曲线，结论是当端点 挠率不等于零时，局部解存在并具有五阶逼近精度，接着再1 9 9 6 年又用平面二 次b 样条曲线研究了g h i 问题【4 】。i m r ej u h a s z 5 1 ，讨论了给定两切矢和曲率的平面 三次b 6 z i e r 曲线。接着h o l l i gk 和k 0 c hj 【4 】所作的工作，r i e fu 【6 】研究了用平面 二次b 样条曲线进行g h i 插值的局部解的存在性问题。【7 1 6 是一些关于h c r m i t e 插值的相关研究。在国内比较有代表性的是，吴宗敏【4 l 】用有理三次b 6 z i e r 曲线处 理了同d eb o o r 类似的问题，结论是局部解存在，且当曲率不等于零时局部解有 六阶逼近精度。徐良宏【4 2 】等讨论了空间曲线的g h i 问题，用空间四次b 6 z i e r 构 造了插值给定曲线两端点、切方向和曲率向量的算法，这个算法在适当的假设下 有一个自由度，并且能达到6 阶精度。宋家宏【4 3 】等用空间五次b 6 z i e r 曲线构造了 插值给定曲线两端点、切方向、曲率向量和挠率的算法。算法有两个自由度。朱 春钢【删等构造了具有两个自由度的三次b 样条曲线的算法，并证明插值曲线是 局部存在的且具有4 阶精度。在 1 7 2 1 】中，相关学者对空间的g h i 曲线做了详 细的研究，得出一些比较好的结论。同样在 4 4 5 6 】的文献中，对b 6 z i e r 曲线， g h i 曲线的构造算法及其保凸性质，几何特征，交互式修改等做了一系列研究。 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 3 几何连续性 在实践中砸，当用b 6 z i e r 方法进行几何设计时经常会遇到一个普遍问题，就 是难于用单一的b 6 z i e r 曲线段与b 6 ：z i e r 曲面片描述复杂的形状。如果一定要这样 做，就只能靠提高次数来增加潜在的控制灵活性，但这会使得曲线和曲面缺乏局 部修改能力，就是进行局部修改时也会影响到整体。为了避免这个缺陷，通常我 们采用组合b 6 z i e r 曲线曲面，对复杂形状的曲线与曲面在满足一定的光滑连接条 件下，分别采用分段与分片拟合，以满足实际要求。这里自然而然就会产生光滑 连接的问题。有两种不同的关于光顺性的度量。一种是参数连续性，简记为c 。； 另一种称为几何连续性，简记为g 4 。 参数连续性就是把组合参数曲线构造成在连接处具有直到以阶连续导矢即 刀次连续可微。通常在造型设计中人们尽量去考虑几何连续性而非参数连续性， 这是因为通常参数连续是对参数曲线连接光滑度的过分限制。参数连续与参数选 取与具体的参数化有关，而行状的可观内在几何特征例如光滑度是不依赖于参数 选取及具体参数化的。正是由于参数连续性不能客观准确度量参数曲线连接的光 滑度，取而代之的就是被称为视觉连续性的几何连续性。几何连续性与参数选取 及具体的参数化无关，同时几何连续性是对用参数连续性度量正则参数曲线连接 光滑度的苛刻而不必要的限制的松弛，即对参数化的松弛，他只要求较弱的限制 条件。随之而来，为曲线和曲面形状定义与形状控制提供了额外的自由度。 一般有多种关于参数曲线几何连续性的等价定义，在这里我们给出其中的一 种定义方法。 定义1 1 ：当且仅当两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有连 续性，则称他们在该点处具有g “连续性或是g “的。 弧长是曲线的内在几何性质，取弧长参数化使曲线的定义与参数无关，因其 切矢模长恒为单位长，排除了非正则情况。在弧长参数化下，几何连续性g ”与 参数连续性c ”是一致的。对于用一般参数表示的两曲线，如果能通过参数变换， 使他们在公共连接点具有一致的直到咒阶的关于弧长的导矢，则他们在该点就是 g “的。当然，并非所有参数曲线都能取自身弧长为参数。例如，非正则曲线就 不能。在通常的曲线和曲面构造中，一般只需考虑到g 2 连续就可以满足我们的 设计要求。在下面我们给出曼宁提出的分段曲线在连接点处g 1 连续( 切向连续) ， g 2 连续( 曲率连续) 的条件。 设p ( u ) 是一分段组合曲线，e ( u ) 是组合曲线的一连接点，则g 1 、g 2 连续 性的条件如下： 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 切向连续条件 只( “) = 8 p ( ”) ，万 0 2 曲率连续条件 只( “) = 万只( ”) 万 o ，r 1 只。( “) = 万( “) + 记( “) 可以看出当艿= 1 ，1 ，= 0 时，p ) 在连接点e ( u ) 处是c 2 连续的。 1 4 参数三次样条曲线的光顺性 在c a g d 实践中眦1 ，给定数据点与端点约束等插值条件，不仅要求把插值曲 线构造出来，而且要求能构造出符合光顺性要求的插值曲线。 光顺性( s m o o t h n e s s 或f a i r n e s s ) 是一个在c a g d 中应用很普遍有很重要的 概念。顾名思义就是光滑顺眼。关于光顺的准则，存在不同的提法。可以说至今 仍是一个模糊的概念。一条曲线光顺与否，常因人而异，缺乏统一的判断依据。 文献 5 9 的作者认为，从物理样条所形成的变形曲线总是光顺的这一基本事实与 实际需要出发，可以引出过同一组数据点且具有相同边界几何约束的两条平面插 值曲线相对光顺性的4 项判别依据与准则： 1 二阶几何连续( 指位置、切线方向与曲率矢连续，简称曲率连续，记为g 2 ) 2 不存在奇点与多于拐点。 3 曲率变化较小。 4 应变能较小。 其中准则2 与3 ，苏步青与刘鼎元在文献 5 9 中已经给出。这里的边界几何约束 是指边界条件中与参数无关的那些几何信息( 如切线方向与曲率) ，不包括与参 数有关的那些信息( 如切矢模长) 。之所以讲二阶几何连续而不提二阶参数连续， 因后者并不一定能保证切线方向与曲率连续。反过来，切线方向与曲率连续也不 一定必须二阶参数连续。这是参数曲线与函数曲线的明显不同之处。在函数曲线 里，可微性c 2 是与二阶几何连续相一致的。不存在奇点与多于拐点的要求是显 而易见的。不考虑刚度常数，曲线在其整个弧长上应变能e 为在该弧上取积分： e = k 2 凼( 1 4 1 ) j 对于弧长参数有： e = i ( p ) 2 凼 对于一般参数，弧长j = | 户i 幽，于是： 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 肚，f , w l p x p l 雌i 如 从式( 1 4 1 ) 可见，能量最小可粗略地说成绝对曲率较小，其中包括某种平均的 意义。但用应变能较小的说法更贴切，是可以给出确切度量的。而应变能较小并 不能包括曲率变化较小，故后者也应作为判断依据之一。它虽可由曲率函数的导 数来考察，但仍给不出确切的定量说法。实践中可通过绘制曲线的曲率图来反映 曲率沿曲线的变化情况。 对于空间曲线来说，其形状由曲率函数、挠率函数及佛朗内特标架的连续性 三个量完全确定。但就参数三次样条曲线而言，曲率与佛朗内特标架是连续的， 而挠率将是一个不连续函数。因此，关于挠率的考察，可以检查在连接点处三阶 导矢的变化量( 由此引起挠率的跳跃) 不宜过大。此外，就只能考察曲率函数。 这可以取其在两个坐标平面的投影，并分别按平面曲线绘出其曲率图予以分析和 判别。 1 5 贝齐尔曲线 1 5 1 贝齐尔的定义 贝齐尔曲线是分别由德卡斯特里奥( d ec a s t e l j a n ) 大约于1 9 5 9 年和贝齐尔 大约于1 9 6 2 年独立地研制的。贝齐尔曲线是参数多项式曲线，它采用一组独特 的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质。 定义1 2 给定疗+ 1 个平面( 或空间) 上的数据点2 5 i ( i = 0 ，l ，2 ，刀) 。称刀次 参数曲线段 尸( f ) = 包尽，。( t )( o f 1 ) ( 1 5 1 ) i = 0 为贝齐尔( b 6 z i e r ) 曲线，式中基函数层。( f ) = q f ( 卜f ) 川为伯恩斯坦基函数，其 中( 扛0 l ，2 ，n ) ，( o f 1 ) 。 用伯恩斯坦基表示的贝齐尔曲线的性质取决于伯恩斯坦基函数的性质。下面 我们给出伯恩斯坦基函数的性质与计算公式如下： 1 非负性 局。( f ) o( i = 0 ，1 ，2 ，阼) ，。( o f 1 ) 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 2 规范性 3 端点性质 4 对称性 5 函数递推公式 6 导数递推公式 7 最大值 8 升阶公式 9 积分 啪) = 锰茹 哪) = ： 翁 垦，。( f ) = 色- f 。( 1 - t ) e ，。( t ) = ( 1 - t ) b l 矿。( t ) + t b i - l , n - i ( f ) 掣刮- l ( 沪( f ) 】 j 9 i 。( f ) 在f = f 以处达到最大值。 ( 1 - t ) b i f ) - ( 1 一丢il b 枷+ l ( r )劓2 l 1 一再l 枷荆 堪劓= 等荆 哪) = ( 一熹) + 措+ l ( r ) i 兰 、- 、“：，玎毽 。脚 击6 = 矽“：，一 毽 一 旬 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 5 2 贝齐尔曲线的性质 1 贝齐尔曲线的首末端点正好分别是贝齐尔多边形的首末顶点，即 p ( o ) = b o ，p ( 1 ) = 包。 2 贝齐尔曲线在首末端点的七阶导矢分别与贝齐尔多边形的首末七条边有 关，与其他边无关。这表明曲线在首末端点分别与首末边相切。 3 几何不变性与仿射不变性。 4 对称性。即将贝齐尔多边形顺序取反，定义同一条曲线，仅曲线方向取 反。参数三次h e r m it e 插值就不具有对称性。 5 凸包( c o n v e xh u l l ) 性质。贝齐尔曲线的凸包性质是指贝齐尔曲线恒位于 他的控制顶点的凸包内。这一性质确定了贝齐尔曲线的所在范围，使得设计人员 预先就心中有数。他还被用于分割求交：如果用贝齐尔形式表示的两相交元素的 控制点的凸包不相交，则可肯定它们不相交。 6 变差减少( v a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ) 性质( 又称v d 性质) 。即任一平面与 贝齐尔曲线的交点数不会超过它与控制多边形的交点数，但包括整个控制多边形 的平面除外。 7 移动行次贝齐尔曲线( 1 5 1 ) 的第f 个控制定点历，将对曲线上参数为 t = i n 的那点p ( i n ) 处发生最大的影响。这是因为相应的基函数置。( t ) 在t = i n 处达到最大值。 1 5 3 三次贝齐尔曲线的几何特征 对式( 1 5 1 ) ，当刀= 3 时就得到如下式的三次贝齐尔曲线段： 3 p ( f ) = 包e ，( f ) ( i = o ，1 ，2 ，3 ) ，( o 0 ，因此满足能量最小条件的， 毛一定存在。 2 1 3 样条曲线优化前后比较 我们取= 1 时的特殊情况对优化前后的插值曲线来进行对比分析。我们取 区间【u 0 “。】为【o ，2 】，插值点分别为p o = ( 一l ，o ) r ，日= ( 1 ，o ) r ，插值切向量分别为 r o = ( 3 , t 3 1 3 ，一2 x i - 3 1 3 ) 1 ，巧：( 3 伍1 3 ，2 x 厄1 3 ) 1 。如图2 1 ，图中的实线表 示优化后的插值曲线，它是由两段b 6 z i e r 曲线连接而成的，由第一节知连接点为 a 3 ( b o ) ，且在连接点处达到g 1 连续。图2 1 表示的插值曲线的参数a = l ，= 1 5 ， = 1 5 。实线表示的g h i 曲线的参数能量最小的g h i 曲线经过式( 2 1 1 2 ) 计 算后，毛= 0 5 7 0 9 ，毛= - 0 4 9 4 4 。虚线是表示任意取的k ，k 所得到的曲线，这 里i , o = 1 2 ，毛= 一1 2 ，当然取不同的，毛不是一定会得到这种带重点的曲线， 也有其他非能量最小图形。由图2 1 可以看出，在能量最小的情况下，插值曲线 没有了重点。这在实际应用中会有一定的作用。 1 6 组程方f如得起 能薯 劫 酏酏 啡懈 卜 j气重 鼢 骗一锅盟饯 二一 二一 盟鹕盟锅 中南大学硕士学位论文第二章带一个节点的三次h e r m i t e 插值 图2 1 1 图2 2 是昂昂r o 、巧、a 、a o 、与图2 1 的取值一样，取不同值时得到 的插值曲线。其中实线为= l ，长虚线为= 2 ，短虚线为= o 5 。可以看出 越大时最值点越向左侧昂点靠近，表明曲线是可以水平方向上局部修改的。 图2 2 图2 3 是昂、号、咏a 、与图2 1 的取值一样，a o 、q 取不同值时得到 的插值曲线。其中实线为= q = 1 2 ，长虚线为= q - - 1 5 ，短虚线为 v t o = a 。= 1 0 。可以看出a o 、越小时最值点越向上移动，表明曲线是可以垂直方 向上局部修改的。 1 7 中南大学硕士学位论文 第二章带一个节点的三次h e r m i t e 插值 图2 3 图2 4 是r 、昂r o 、巧、与图2 1 的取值一样，f z l - i 0 ，a o 取$ n 值 时得到的插值曲线。其中实线为a ：o - - 1 2 ，长虚线为口。= 1 5 ，短虚线为t z o = - - 0 。 可以看出越大时左侧的分段曲线越向上移动，而右侧的分段曲线除了在连接 点处发生移动外，靠近只部分的曲线基本上没有改变，这表明整个插值曲线是可 以分段局部修改的。 图2 4 2 2 曲线、插值条件和参数之间的关系分析 在前面内容已经提到，在以前大量的相关文献中，虽然有很多带参数的g h i 曲线的构造方法，它们的研究结果主要是考虑g h i 的存在问题和构造算法，但是 很少有文章讨论参数、初始插值条件和g h i 曲线形状变化规律的关系，因为插值 中南大学硕士学位论文第二章带一个节点的三次h e r m i t e 插值 曲线表达式中除了自由参数外，初始插值条件( 如插值点处的切向，曲率向量) 也有许多不同情形，因此实际上相当于除自由参数外还有一些自由变化的量。特 别是当两端点取某些初始条件时，如两端点切向变化比较大时，本来就很难构造 出理想的插值曲线。因此更加大了讨论自由参数和插值曲线形状的关系的难度。 而我们上一节讨论的算法，由于插值曲线的表达式尸( ) 的选取时有一定的特殊 限制，因此可以得出一些关于自由参数与曲线形状的一些关系。 由上一节的讨论我们知道，对任意0 3 。、，满足能量最小的k o 、毛一 定存在，但是这里会产生一个问题，是不是、不管取什么值时得到的 曲线p ( “) 都是一条比较理想的光滑曲线呢? 如果不是的话，那么0 3 。、取 什么值时，才会得到比较理想的曲线? 我们这里理想的曲线是指，在构造的三次 曲线中，尽量少出现尖点、拐点，不出现重点、切向变化比较大的点，看起来比 较光顺。由( 2 1 2 ) 式可知，我们构造的样条函数p ( u ) 实际上是由a o 、a i 、a ，、 a 3 和b o 、岛、6 2 、b 3 分别为控制顶点的两段b & z i e r 曲线在系数中a 3 ( = t o ) 所表 示的点出拼接而成的。由( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 可知，a o 、6 3 即为两插值 点只、曰，a i 为忍点切方向上的一点，包为曰点切方向的反方向上的一点，且 i l a o q l l = 1 3 a o a ，l i b 3 6 2 1 i = 1 3 0 3 。a ，a 2 、6 1 分别为v o 、k 所在直线上的点，且 i i 口l a 20 = i k 0 1 0 3 0 a ，i i b 2 岛l i = i 与1 0 3 1 a ，鸭= t o 为线段口：包上的一点。有b 6 z i e r 曲线的 构造知，随着a o 、a 、a 2 的位置不同，会出现如图2 5 、图2 6 、图2 7 三种情况 的b 台z i e r 曲线，对应的分别为k o 1 1 3 、0 k o 1 3 、k o 1 3 ，毛 0 、码 0 、m 1 3 ，墨 k o 、强 毛或 o 又因为( 日- p o ) r v o 0 ，( e l - p o ) r 巧 o ，因此： 6 ( 日- e o ) r z o - 3 ( p i - c o ) r z y o r 巧 0 6 o 因为a o 、q 是任意的正实数，因此一定可以找到合适的、q 使得( 2 2 3 ) 式 成立。由式( 2 1 5 ) 式知： i 口i = 1 3 a o ( t i u o ) z o + p o 【6 2 = 一1 3 t z i ( u l f 1 ) k + 号。 其中a o 、q r + ，可知当t ；t o 、无限小且满足定理所述初始条件时，( 2 2 3 ) k 一 r r 1堕：q 一八u翌一一八 分一一猡 + 一 一一竺 2 一 一3、一一吼 乙一一3盥尘 兰枷 2 一 一2 + 一一 2 一 一n r一一叫竺彬 (一一r1 + 一x壁她 一口 节一泸 曙一“炒一i一7 “一够一x竺甜 3 一+ + 一口竺叽矽一“ + 一晓 2 一j工，胪一邵筇一 嵋鼻 峨” 一 一 水“彤蚋 = = 吒岛 r【 中南大学硕士学位论文第二章带一个节点的三次h e r m i t e 插值 式肯定成立，此时满足( 2 2 2 ) 式的、玛一定满足，l d k o 、，l i 1 3 ，毛 1 3 ，毛 1 3 ，毛 i 3 ， 毛 1 3 ， 毛 1 3 ， 毛 o 、k o ，毛尺，所以4 马一4 反 0 ，因此满足能量最小条件的毛， 毛一定存在。下面我们给出改进前后的图形比较，如图2 1 9 。 图2 1 9 这里的初始数据和第一节第三部分中图2 1 的初始数据一样。图中下边的曲 线是按第一节中算法得到的曲线，上边的曲线是按上面的改进算法得到的曲线， 相比改进前曲线，我们可以看到改进后的曲线在端点附近的部分离端点切方向上 的直线的距离比较远，端点处的曲线部分形状更自由。这个算法即避免了端点处 切向和曲率向量共线，也避免了分段曲线三个控制顶点共线所带来的控制定点顺 序问题所带来的曲线是否光顺的问题。改进后算法的缺点是不能很方便地预测所 有控制顶点的分布情况。 改进2 在原有算法的基础上，通过在插值域中加入一个或多个新的插值点， 避免控制顶点顺序问题。 定义2 2 ：对于给定点a 和点曰及分别由这两点出发的向量口和向量b ，其 中线段a b 、向量口、向量b 共面，平面记为口。对于这个平面上任意一点q ， 如果可以分别在向量a 和向量b 所在射线上找到两点m 和，使得点q 在线段 m n 上，则我们称o 为插值点。由平面口所有插值点组成的区域称为插值域。 当然插值域中的点即插值点。 这里改进算法的依据是定理2 1 ，定理2 1 给出当插值点只、层两点处的插 值向量v o 、v l 异侧，v o 、一k 相交且、k 和向量最号的夹角o o 、o l 为锐角的初 始条件时，一定可以得到满足能量最小的没有重点和拐点的光滑曲线。这样我们 对各种初始条件通过加入插值点，使所有顺序插值的插值点满足定理2 1 的初始 条件。下面我们通过一个具体问题来说明。 插值点r ( 一1 ，0 ) 、日( 1 ，0 ) 两点处的插值向量i 一3 2 ，- 1 2 ) 、 k ( - 3 2 ，1 2 ) 异侧，由初始条件知v o 、k 与向量异暑的夹角e o 、q 都为钝角， 中南大学硕士学位论文第二章带一个节点的三次h e r m i t e 插值 j i2 , r - a o - a , i t 2 ，如下图所示。 图2 2 0 对于这种初始条件下的插值曲线，根据第一节中的算法和定理2 1 的证明过程 知： 和坐鼍篇1 64 孺警崆 iik 。kii 瓯 其中( 日- p o ) r v o 0 ，q 0 。 进一步得： ( e , - e o ) r v o - ( y , - e o ) r v , v o r k = i p o p ls i n 0 is t n ( o o + q ) 1 1 3 ，毛 1 3 ， 毛 1 3 ，毛 0 ，因此满足能量最小条件的，毛一定存在。由第2 节 知，是由届， 的值决定，而到了求解的最后又变为自由参数，是因为在 整个求解过程中，n = ( 8 + 届) ( 8 + 乃) 一1 6 相当于在( 3 1 4 ) 、( 3 1 5 ) 的基础上多 加了一个未知量和一个方程，而在求能量最小曲线时对f ( f l 。，九) 求导，实际上主 要是在厂( 层，乃) 的表达式里对6 i ，红求导，而我们引入= ( 8 + a x 8 + r , ) - 1 6 是 为了使对岛，6 2 求导的结果表示比较简单。 3 1 3 插值曲线优化前后比较 我们取参数= q = d o = d l = a = 1 ，n = 2 时的特殊情况对优化前后的曲线 来进行分析。取区间k 。，材。】为【0 ，2 】，e o = ( 一5 ，o ) ，e o - - ( 5 ，0 ) ，k = ( 1 2 ，撕2 ) ， z o = ( 1 2 ，一f f 3 2 ) ，s o = ( 历2 ，一1 2 1 ，墨= ( 一1 2 ，3 2 ) ，如图3 1 0 图3 1 图3 1 中实线表示的g h i 曲线的参数能量最小的g h i 曲线经过式( 3 1 1 0 ) 计算 4 7 中南大学硕士学位论文第三章带两个节点的三次h e r m i t e 插值 后，届= 3 7 5 9 1 ，乃= - 3 8 0 8 5 。虚线是表示任意取的属，乃所得到的曲线，这 里屈= 3 9 ，以= 3 9 ，当然取不同的屈，乃不是一定会得到这种带重点的曲线， 也有其他图形。由图3 1 可以看出，当随意取屈，y 。的值时，即使和( 3 1 1 0 ) 算 得的结果差距比较小，得到的插值曲线差别也会很大，这和上一章的算法是有明 显区别的。从图3 1 可以看到，经能量最小得到的曲线，明显比非能量最小得到 的曲线要光滑。 图3 2 为在、q 、吒，4 、k 、s o 、s 相同时，取不同值时 得到的样条曲线，其中实线为= 2 ，短虚线为= 3 ，长虚线为= 4 。可以看 出增大时最值点向上移动，这样就能控制曲线的凹凸程度。这里 = ( 8 + 届) ( 8 + ) 一1 6 ，其中0 ，实际上当的值取定后，属、 的取值相 当于以届、艿分别为变量= ( 8 + 属) ( 8 + ) 一1 6 函数表达式所表示的双曲线上的 横纵坐标值。而且应该取正值且尽量不要太大。由上一章我们知a 在k 上，岛 在一形上，由( 3 1 5 ) 式及图3 2 分析知，如果取负值，会使我们构造算法中 的岛、c l 不位于a o 、a 、c 2 、c 3 所组成的四边形的下方，这样就不会得到保凸的 插值曲线。同时如果的取值太大的话，根据能量最小求得的屈、 就会使得 ( 3 1 5 ) 式看起来不是很对称，得到的插值曲线同样也不会很理想。 图3 2 对于、q 对插值曲线的控制作用和上一章得到的结论一样，当、越 小时，最值点越向上移动，当然插值曲线同样也可以进行分段修改。下面我们简 单的说一下曲率向量长度瓯、d l 对插值曲线的控制，如图3 3 。其中实线表示 d o = 4 = 1 0 ，虚线表示瓦= d l = 1 5 ，长虚线表示也= d i = 2 0 。从图中可以看到 吒、d 。的值越大插值曲线越向下移动。至于像上一章中的初始条件下如何选取 中南大学硕士学位论文第三章带两个节点的三次h e r m i t e 插值 参数值，由于加入插值曲率向量，讨论起来比较难，在本论文中将不做论述。 3 2 图例 图3 3 以下四个图是过正四边形四个顶点的插值曲线，随着自由参数的不同，我们 分别可以得到，类似正四边形，圆等图形，如图3 4 、图3 5 也可以得到如上一 张插值正八边形的图形，如图3 6 、图3 7 。在这里通过带两个节点的三次g h i 插值曲线，我们只要插值四个点就可以得到同样形状的图形。 图3 4 4 9 中南大学硕士学位论文第三章带两个节点的三次h e r m i t e 插值 图3 5 图3 6 中南大学硕士学位论文第三章带两个节点的三次h e r m i t e 插值 图3 7 5 l 中南大学硕士学位论文参考文献 参考文献 0 1 】b a m h i l lr e ，r i e s e r n f e l dr ec o m p u t e r - a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n m a c a d e m i c p r e s s ，1 9