（计算数学专业论文）三次样条插指函数的研究.pdf

i b 哀窑通太堂亟堂僮逾塞生塞遁墨 中文摘要 摘要：插指函数是近年来出现的一种关于函数逼近的新的研究领域，它是利用指 数函数的特性，将多项式形式的插值函数变为指数形式的插值函数，属于函数插 值的推广，有关这方面的研究可以在一些科研杂志中看到。 本文借助插值法的数学理论和构造机理，在充分研究了有关样条插值理论和 已有的插指函数特点的基础上，提出了新型的三次样条插指函数概念。此外，针 对三类不同的边界条件，本文给出了当节点是等距节点时的三次样条插指函数难 一存在性证明和当节点为任意节点时不同边界条件下的三次样条插指函数唯一存 在的限制条件。 与已有的样条插指函数结果相比，本文的新型三次样条插指函数给出了更广的 适用范围和更多的结果。计算实例表明，利用本文的新型三次样条插指函数，可 以有效的解决三次样条插值函数解决的问题，较好的逼近原函数并实现了提高计 算效率的目标。 此外，三次样条插值函数在某些问题上计算量大，计算复杂，本文给出的新型 三次样条插指函数对此有一定的改善。 关键词：插值函数；插指函数；边界条件：样条函数；三次样条插指函数 分类号：0 2 4 6 i b 塞窑逼太堂亟堂包论塞堡s 至壁羔 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ni np o w e re x p o n e n tf o r m i san e wr e s e a r c hf i l e df o r a p p r o x i m a t i n gf u n c t i o ni nr e c e n ty e a r s ，w h i c hc h a n g e st h ef o r mo fi n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ni n p o l y n o m i a lt oi ne x p o n e n t i a lb yt h es p e c i a l i t yo fe x p o n e n t i a lf u n c t i o n ，i ti sak i n do fg e n e r a l i z a t i o n o f f u n c t i o ni n t e r p o l a t i n g w ec a ns e er e s e a r c h e si nt h i sa r e ai ns o m es c i e n t i f i cj o u r n a l i nv i r t u eo ft h em a t h e m a t i ct h e o r i e sa n dc o n f o r m a t i o nm e c h a n i s ma b o u ti n t e r p o l a t i o n ，t h i s p a p e rc o m e su p w i t han e wc o n c e p to f c u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o ni np o w e re x p o n e n tf o r m , b a s e do n s t u d y i n go nt h et h e o r i e so fs p l i n ei n t e r p o l a t i o na n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fi n t e r p o l a t i n gf u n c t i o ni n p o w e re x p o n e n t i a l f u r t h e r m o r e ，a i m i n ga tt h e ed i f f e r e n tk i n d so fb o u n d a r i e s ，t h i sp a p e ro f f e r s e v i d e n c ef o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fc u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o ni np o w e re x p o n e n tf o r m w h e nn o d ei si s o m e t r i cn o d e ，a n dt h er e s t r i c t i v ec o n d i t i o n sw h e nn o d ei sn o ti s o m e t r i cn o d e c o m p a r i n gw i t he x i s t e ds p l i n ei n t e r p o l a t i o ni np o w e re x p o n e n tf o r m , t h i sn e wc u b i cs p l i n e i n t e r p o l a t i o ni np o w e re x p o n e n tf o r mi sa p p l i c a b l ei nm o r ew i d er a n g ea n dc a nr e c e i v em o r er e s u l t s t h ec o m p u t a t i o ni n d i c a t e st h a tn e w s t y l ec u b i cs p l i n ei n t e r p o l m i o ni np o w e re x p o n e n tf o r mc a l l e f f e c t i v e l ys o l v ea n yp r o b l e m st h a tc a nb es o l v e db yc u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o n , w h i c hc a r l a p p r o x i m a t eo r i g i n a lf u n c t i o nb e t t e ra n da c h i e v et h et a r g e to f e n h a n c i n gc o r r i p u t a t i o n a le f f i c i e n c y m o r e o v e r , c u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o nw i l lb ec o m p l e xi nc o m p u t a t i o n0 1 3s o m e p r o b l e m s ，t h i sn e l c c - $ t y l ec u b i cs p l i n ei n t e r p o l a t i o n i n p o w e re x p o n e n tf o r mc a n p r e d i g e s tc o m p u t a t i o na n di m p r o v ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c yt oa l le x t e n t k e y w o r d s ： f o r m ；b o u n d a r y e x p o n e n tf o r m i n t e r p o l a t i n gf u n c t i o n ；i n t e r p o l a t i n g c o n d i t i o n ；s p l i n ef u n c t i o n ；c u b i c c l a s s n 0 ：0 2 4 6 f u n c t i o ni np o w e r e x p o n e n t s p l i n ei n t e r p o l a t i o ni np o w e r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期：年月 日 签字日期： 年月日 韭塞变通厶堂亟主堂焦垃毫 独剑蛙岂嘎 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字目期：年月日 致谢 本论文的工作是在我导师王兵团教授的悉心指导下完成的，王老师严谨求实 的治学作风、精益求精的科研态度和他广泛渊博的科学知识深深地影响着我，并 鞭策着我不断努力。他的严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助。 除此以外，在生活上王老师还给予了我无微不至的关怀，他对事业孜孜以求的精 神、对生活乐观进取的态度令我受益终身。在此，谨向恩师表示深深的敬意和衷 心的感谢! 感谢这两年多来王老师给我的指导和关怀! 颜宁生教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此特别向 他表示感激之情! 在本学位论文撰写期间，樊纪香同学对我论文提出了很多宝贵意见，并在研 究工作中给予了热情帮助，在此向她表达衷心的感谢。研究生生活即将结束，对 养育我的母校不免深深的眷恋，在这里向所有关心和帮助过我的老师和同学们致 以深深的谢意! 最后还要感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学 业。感谢他们默默无私地供养我长大，感谢他们不断地鼓励和支持着我走过这二 十年来的求学生涯。 j e 基銮道苤堂亟堂僮j 坌室! i l 主 1引言 1 1 选题背景和意义 在工业生产和科学研究中，往往要通过实验得到的数据，来构造出变量之间 的近似函数关系，这类问题通常称为函数逼近问题。常用的函数逼近方法包括插 值法和拟合法，而多项式插值法是解决这类问题的经典插值方法。然而，对于有 的问题中，多项式函数虽然形式简单，但不便于计算。为便于这类问题的处理， 近年来，一些学者尝试把插信函数由原来的多项式形式变为指数函数的形式，这 样就德到了插指函数，而对应的方法称为插指法。 插指法实际是插值法的一个推广，所以可以借助插值法的理论和方法来构建 插指函数。近年来插值函数在外形设计、现代土木、水利、建筑，以及环境和计 算机辅助设计等许多领域里得到了越来越广泛应用，并且在应用数学、物理学、 天文学等领域都有广泛的应用，而插指法作为寻找形式简洁、计算简单的近似函 数的重要方法也会有着广阔的前景。 摇指法的关键是构造合适的插指函数。通常人们可以根据问题的出发点以及 要求问题的不同，构造不同的插指函数。当前，从一些发表的论文中，可以看到 由l a g r a n g e 插值多项式推广得到的l a g r a n g e 插指多项式和由n e w t o n 插值多项式 推广得到的n e w t o n 插指多项式等，但一些较为复杂的插指函数的构造还很少见 到，本文就是在构造较为复杂的插指函数方面所作的一些研究工作。 1 2 研究状况及本文工作 插值法是一种古老的数学问题，自从插值法提出至今一直有着重要广泛的应 用，在插值函数方面人们也一直不断的寻找简单方便的新的形式，现在国内外的 研究在这方面也越来越重视。根据我们需要解决的问题的不同，函数的形式在不 断的改迸。像分形插值法、基于y c + + 的阿克玛插值法、密度插值法等。目前国内 外一些学者提出了插指函数概念，得到了与多项式插值类似的指数插值的方法， 同时构造出了l a g r a n g e 插指函数、n e w t o n 插指函数 2 l 、h e r m i t e 插指函数等。显 然，由这些插指函数构造的插值法也是对插值法的推广和延拓。 j b 塞交道太堂亟堂焦论窑 ! i l 宣 三次样条插值函数根据给定的函数表构造一个分段函数，要求构造的函数通 过给定点且具有连续的一阶，二阶导数它不仅是现代函数逼近论的一个活跃的 分支，而且也是现代数值计算中一个十分重要的数学工具它已在许多领域里得到 了越来越广泛应用。目前关于三次样条插指函数还研究的不够，很多问题还没有 解决。本文就是在这方面所作的一些工作，论文做了如下的工作： 1 对插指函数做了充分的分析，构造了一个新型的三次样条插指函数。 2 在三类不同的边界条件下，当节点为等距节点时，得出了三次样条插指函数唯 一存在的结论并给出了证明。 3 当节点不是等距节点的时候，给出了三类不同的边界条件下三次样条插指函数 存在唯一的条件。 2 j b 夏窑道太堂亟堂僮诠塞2 翅擅选笸盆 2 插指法 2 1 插值法的简介 给定函数y = f ( x 1 的下列函数表( 木) j 而五玉矗 y = f ( x ) my f 只 设给定连续函数y = f ( x ) 的函数表，寻求一个次数h 的多项式p 。( 力， 磊力= a o + a l x + + 口。r ( 其中a i 都为实数) 并且满足下式 厂( t ) = 只( 薯) ( f = o ，1 ，n ) ( 2 1 ) 定义2 ，l ： ( 1 ) 如果满足插值条件( 2 1 ) 的多项式见( 工) 存在，称岛( 砷为f ( x ) 的插值多项式， 五( f = o ，1 ，n ) 称为插值节点，f c x ) 称为被插函数。 ( 2 ) 求插值多项式的方法称为插值法【7 】。 我们熟悉常用的插值法有拉格朗日插值法、逐步线性插值法、埃尔米特插值 法、三次样条插值法等等。原理就是用简单的多项式来逼近原函数，通过研究多 项式的性质来研究原函数的某些性质。 2 2 插指法的提出 在求离散型随机变量问题中的最大似然估计量时，对于0 - 1 型随机变量x 的 分布率我们写成指数形式的分布率n = p 。( 1 - p ) i - xx = 0 ，1 而不是写成多项式的形 式的分布率见= 印+ ( 1 一力( 1 一p ) ，x = o ，l 。也不写成其他形式的分布率。从虽大似 然函数的定义上看，将随机变量x 的分布率写成指数形式的分稚率最容易求解。在 我们遇到的问题中，把某些函数写成指数形式来计算会有意想不到的效果。 设总体x 的分布律为 j e 塞童迫盔堂砸堂焦论塞 2 搔撞鎏筮金 ! 燮 芝兰旦( ! = 虫 芝! = 丝 其中o ( 0 0 i 2 ) 是未知参数，总体x 的样本值为：3 ，1 ，3 ，0 ，3 ，1 ，2 ，3 。 求0 的最大似然估计值。 总体x 的分布律我们可以写成指数的形式： 日( 功：p ( 力：e x ：工 ：2 ；，一i 5 ，“0 一；，+ ；，专( 1 一口) j i ，一；，“( 1 2 口) ；，2 p x ， 其中x = 0 , 1 ，2 ，3则似然函数为： ( d ：2 挚芬沁粉秘势，面 x ，+ 2 n ( 。一印z j - 样 扣嗍牡势 令a = 一言喜# + 三喜2 一竽喜而+ z n a = 三喜薯3 主喜t 2 + s 喜t c = 委杰i 。1 乒昙z 杰i * lx i 2 + 三喜t 则0 的最大似然估计量为： 毋：3a+b+2c-4(b-a)2+4c(a+b+c) 4 ( a + 6 + d 补充总体x 的样本值为：3 ，l ，3 ，0 ，3 ，1 ，2 ，3 。可求0 的最大似然估计值。 此时，n 2 8 ，蕾= 1 6 ，五2 = 4 2 ，f = 1 1 8 ， 贝0 + 6 + c = 1 2 ，3 + 6 + 2 c = 2 8 ，= 6贝毋= 7 - 4 1 3 l z 可以看到把总体分布的函数设成指数的形式能够简化计算。由此我1 f 1 - 7 v a 得 到启发把某些近似函数也写成指数形式，从而引入了插指函数的概念。插指函数 是构造函数，选的指数形式不同我们所构造的函数也就不一样。 2 3 插指法定义 设函数y = f ( x ) 在区间 a ，b 上有定义且大于零满足函数表( ) ，已知它在点 4 i b 立銮逼杰堂亟堂僮途塞2 插搓逵茴企 口s 五 s 6 上的函数值y o ，咒，只，若存在一个次数不超过i l 次的插指多 项式p a x ) 满足条件只) = ，( 蕾) = 咒( i = o ，1 ，2 ，”) ( 2 2 ) 则称n ( 曲为函数厂o ) 的n 次插指多项式。求插指多项式的方法叫做插指法； 而，玉，矗称为插指节点：函数，( 工) 叫做被插指函数；( 2 2 ) 式叫做插指条件；区 间 8 b 叫做插指区间；点x 叫做插指点。 插指法的关键是构造插指函数，类似插值函数我们通过构造新的函数形式得 到了拉格朗日插指函数，牛顿插指函数，三次样条插指函数。 j s 塞窑亟厶堂亟堂僮论塞 垣擅函数 3 插指函数 3 1 拉格朗日( l a g r a n g e ) 插指函数 3 1 1 拉格朗1 5 1 插指函数定义 设c 为大于零的常数，岛( x ) = d 。+ q x + + 4 。，为n 次多项式，称一( 。为幂指多 项式：砖”，力”，力为l a g r a n g e 基本幂指多项式( 其中t ；0 , 1 2 ，n ， l a x ) = 密器，为在，州个节点上的n 次基本插值多项式，或n 次拉 格朗日插值基函数) ；p o ( x ) ，a ( ，见( 功为n + 1 个多项式，兀咒4 。为插指多项 式：p o ( x ) ，p l ( ，p a x ) 中的最高次数称为插指多项式兀咒“。的次数； 设函数y = f ( x ) 在区间 a ，b 上有定义且大于零，已知它在点 a - x o 6 上的函数值粥，以，咒，若存在一个次数不超过n 次的插指多 项式兀咒“，满足条件：兀乃4 = ( 而) = 咒( f = o ，1 ，2 ， ) ( 3 1 ) 则称兀卫竹为函数厂( 力的n 次拉格朗日插指多项式。一般记为： i = o r 。蛾r 。 ) = 兀y , - 似 3 1 。2 拉格朗日插指函数性质 以n + 1 个基本插值多项式为基础，就能直接写出满足插指条件( 3 1 ) 的n 次拉格朗 日插指多项式。 定理3 1 ( 1 )n 次拉格朗日插指问题的解可表为： 6 j b 立銮道太堂亟堂僮i 金塞 通煎鱼鍪 r 。( j ) = 丌y 对 ( 3 2 ) ( 2 )满足插指条件( 3 1 ) 的次数不超过h 的插指多项式唯一。 证明： ( 1 ) 因为厶( x ) 都是”次多项式，所以插指多项式兀y k 的次数为，l 。 由= 瓦= ：；，篡 得 l “) = 丌以m = 只，( 扛o ，1 ，2 ，力 k = o 式( 3 2 ) 为l a g r a n g e 插值公式的幂指数形式，简称l a g r a n g e 插指公式。 a ( 2 ) 设q ( 工) = n y i “。是任意一个次数不超过n 的满足插指条件( 3 1 ) 的插指多项式， 扣o 令e ( x ) = 1 i l q ( 力一1 i l r 。( z ) 则只( 力是次数不超过栉的多项式且只( t ) ：0 ( f = o ，1 ，2 ，甩) ，这说明次数不超过7 1 的多项式只( z ) 有n + 1 个不同的零点，所以 c ( 力恒等于零。即q ( 功= - f 。( x ) 。 口 3 1 3 线性插指与抛物线插指 用f l ( x ) 近似代替厂( d 称为线性插指，称r 。( x ) 为线性插指多项式，f i ( 工) 也称 为线性插指公式；用f ：o ) 近似代替厂( 石) 称为抛物线插指，称i ：o ) 为抛物线插指 多项式；f ：o ) 也称为抛物线插指公式。 例1 ：求满足插指条件y o = ，( 0 ) = 1 - p ，m = 厂( i ) = p 的线性插指公式，其中 0 p 1 。 l 解：由( 3 2 ) 式知：f l ( 工) = 兀m 。= ( 1 一，) 。p 。 t 种 上式即为( 0 1 ) 分布的分布律。 其中令p = o 4 ，用m a t h e m a t i c a ( 1 0 1 1 1 1 1 分别绘出线性插值及线性插指图形如下： 实线表示线性插值的图形，虚线表示线性插指的图形。 1 ) 在区间 0 ，1 上比较线性插值和线性插指图形。 7 j e 立蛮通盘堂亟堂僮j 金塞 3 撞揖函数 图1 线性插指与线性插值在 0 ，1 上图形比较 2 ) 在区间 0 ，5 上比较两个图形， 。 一。jj 0l2345 图2 线性插指与线性插值在 0 ，5 上图形比较 线性插值及线性插指在区间 0 ，1 上的图形区别不大，但是在区间 1 ，5 上的图 形区别比较大。 例2 ：求满足插指条件= 八o ) = ( 1 一p ) 2 ，咒= ，( 1 ) = 2 p ( 1 - p ) ，y 2 = ( 2 ) = p 2 的抛物线 插指公式，其中0 p l 。 解：由公式( 3 2 ) 可得： 2 f 2 ( = n 儿扛= ( 1 p ) 扛叫忙脚 2 p ( 1 一p ) 】吖产2 p 。p 1 = 2 。2 叫p 。( 1 一，) 2 吖 k = o 比较二项分布b ( 2 ，p ) 的分布率p x = x ) = ( 1 - p ) 1 2 - xx - - o ，1 ，2 r ：( 功可以看成二项分布的另一形式。 令p = o 4 ，用m a t h e m a t i c a 分别绘出抛物线插值及抛物线插指图形如下： 实线表示抛物线插值的图形，虚线表示抛物线插指的图形 3 ) 在区间 0 ，2 上比较两个图形 8 o ； m j t 基窑塑太堂缝堂僮途塞插攫酉煎 0 5 0 0 4 5 0 4 0 0 3 5 0 3 0 o 2 s 0 2 0 图3 抛物线插值及抛物线插指在区间 0 ，2 上图形比较 4 ) 在区间 0 ，5 上比较两个图形 o 4 0 2 0 - - 0 2 o n 6 八 。 、一 一jl。 ol2345 图4 抛物线插值及抛物线插指在区间 0 ，5 上图形比较 从图中可以看出抛物线插值及抛物线插指在区间 0 ，2 上的图形区别不大。抛物 线插值及抛物线插指在区间 2 ，5 上的图形区别较大。以上例子说明，插指函数在 0 ， 1 区间内具有很好的函数逼近特性。 3 2 牛顿( n e w t o n ) 插指函数 3 2 1 牛顿插指法定义 k - 1月 p o ( x ) = 1 ，p a x ) = i q o t ) = 1 ，2 ，雌) 是雄个多项式，称n a i “是次插 f t oi s o 指多项式，其中珥( f = o ，i ，2 ，力是常数a 设厂( d 是定义在【n ，6 】上的函数且大于零，已知它在点口= x o 王 = 6 上的函数值兄，y 2 ，咒，若存在一个n 次插指多项式也( j ) = 1 - i q “1 且满足条件 n h ( j f ) = f ( x i ) = y i ( f - o ，l 2 ， ) 则称m ( j ) 为函数，( x ) 的n 次牛顿插指函数， 9 j k 夏窑垣太堂亟堂焦i 金塞翅指缬熬 求牛顿插指函数的方法叫牛顿插指法【2 1 。 3 2 2 插商指 对于给定的函数表( $ ) ，( 再) 为非负函数，焉，五，艺是互不相同的节点，各阶 差商指定义如下： m f 】= 厂f ) ；称为函数厂o ) 在的零阶插商指： 称为函数( 工) 在玉及t 两点的一阶插商指： 一阶插商指的插商指称为二阶插商指，( z ) 在，- ，以点处的二阶插商指定义为： 胍】= ( 嬲) 磊 依次类推，有了n - 1 阶差商指之后，可以递推地定义n 阶差商指 1 低如廿c 甓意身，磊 性质( 1 ) f i f o ，1 ，而，矗】= 厂 ，而，】 ( 2 ) 低而，曲m 】罂去 3 2 3 牛顿插指函数 规定 引理l - 1 兀( t 一再) 去l 一= l ，v i 0 7 兀( 一一) ? 书 o 柚一功 一 一 一 瓴 兀等兀 = 啪一m 一 一 一 “一 h丌儿nh “ 韭塞交道左堂亟堂熊i 金室 垣指函熬 引理2 引理3 。甜( ) 罂“一) 掣一= 型一 ，i s j i i ，柳 o 满足条件：i n s ( x ) 是三次多项式，则称函数y = s ( x ) 为 三次指数多项式。 若函数s ( x ) 满足条件： ( 1 ) s ( x ) 在每个子区间 x i - i , x ， ( f - 1 , 2 ，”) 上是一个三次指数多项式； ( 2 ) s ( 工) 在每个内节点_ ，x 2 c x 。上具有直到2 阶的连续导数，即 s ( z ) c 2 i x o ，x 。】； 则称s ( 力为节点x j ，工：，j 。上的三次样条指数多项式。 若函数s ( x ) 在所有节点上还满足插值条件： ( 3 ) s ( x ，) = y ，( i = 0 , 1 ，2 ，n ) 则称为s ( x ) 是区间 x ox 。 上三次样条插指函数。其中s ( x ) 中的( 2 ) 为“光滑性” 条件。 j 立交适盘堂亟堂焦j 金塞 三丛搓玺捶指函塑 边界条件定义： ( a ) 第一类边界条件：给定i n s ( x ) 在端点的一阶导数，要求s ( x ) 满足 i n s ( x o ) = 以，i n s ( ) = z ； ( b ) 第二类边界条件：给定h a s ( x ) 在端点的二阶导数，要求s ( x ) 满足 h a s 。( x o ) = 必，i n ( 艺) = 形； 当i n s ( x o ) = i n s 。( 以) = 0 时，称为准自然边界条件。 ( c ) 第三类边界条件：当原函数y = ( d 为周期函数时，要求s ( 力也是周期函数， 即要求s ( z ) 满足( ) = s k ( )k = ( o ，l ，2 ) ，称s ( x ) 为周期样条函数。 4 2 三次样条插指函数形式 以三次样条插值函数为例，我们构造出的函数s ( x ) 的形式也为分段函数，参考已 有的三次样条插值和插指函数的特点，我们定义任意节点的三次样条插指函数为下面 形式： is o ( 力工e x o ， 】 s ( 力： s ( 艇i x , ，t 】 l 【最一1 ( x ) x i x 一l ，毛】 并且墨一。 ) ：昧。w 专“景矿t x - 嘞x l _ 煳叱”i 薏“：1 ，2 ，)并且墨一l ) = ) ，1 如拍 乃h 4 4 “= 1 ，2 ，露) 不难看出等距节点的函数是上式的特殊情况，此时形式为： 是l ( 力：咒- l k x 一- d x n _ 7 h i 一。了x - x ，乃x - j q _ t h h 二x - 丁x t 4 ( 待1 ，2 ，刀) 4 3 三次样条插指函数构造及定理 如果我们给出的节点而，五，是等距节点，那么在三类边界条件下都唯一存在 确定的三次样条插指函数s ( x ) 。如果不是等距节点那么要存在唯一确定的三次样条插 指函数的条件就有所限制，在三类不同的边界条件下可得出相应的限制条件。 j 盟配鹭垦去兰耍堂焦捻童 垒三逸搓垂适指函数 4 3 1 第三类边界条件下三次样条插指函数存在性 定理4 1 在第三类边界条件下。，若区间 j o ，j j 中以= x o + 西( 儿1 ，y i 0 ) 叩 玉“= o ，l ，m ) 是等距节点，则区间 j 。， 上存在三次样条插指函数。 证明： 当x b 。，z ：j 时，( f = 1 ，2 ，r ) 由前面4 2 给出的函数了o ) 形式得到 “： 。一i 争州吨- “争孚m h “孚 j n & e = e t ，( 兰手) 3 + 0 一缸t ) ( 手) 】n ，钿+ 配一。( 三二手却3 + ( 1 一o ) 睁) 】l n 咒 陋蹦跏- 3 与( 等) 2 + 堡芋m 抽+ 3 等睁) 2 + 翌笋 1 n 弘 胁。邓笋呀x - - x t ) 】i n y i - , + 6 争( 孚m 咒 由“光滑性”s , - 。仅一o ) = 7 “+ o ) 可知洳昆。瓴一0 ) 】，：洳以+ o ) 】，可得： ( 等m 抽+ ( 半) l n 州1 + 2 k l n 川挚l | 1 圳吐z ，) 将其化为下式： c 半2 1 p n y 1h 私+ c 挚= 学一半十孚肌 i n y “h + 2 1 n y ，l “+ 2 l n y ，k f + l n y “l f ，= l n y f 1 - 2 1 n y ，+ l n y ( 1 ) 由“光滑性”s ，”瓴一o ) = ”( t + 0 ) 可知【k s 。“一o ) 3 一：阻s ( 再+ o 玎可得： 1 1 1 弗= 等l i l h 即= 毛( h 2 ，州) ( 2 ) 将( 1 ) 、( 2 ) 式联立得出力程组 4 1 伊兰+ 2 毗| f f _ 1 + 2 h a y , - 牡岘_ 地 2 峨他玑呻 h = i ”。” 该方程组共有2 n 一2 个方程，但有2 n 个未知数，所以要完全确定2 n 个未知数加上第三 类边界条件： s ( x o + o ) = s ( x 。一o ) 。y = y 。；( 3 ) 咒 且o y 为因 j e 立銮道太堂亟堂僮逾塞g 三这搓盘垣擅鳕錾 l 4l 14i - l4 l 可得：jd j = 2 + ( 一1 ) ”“4 瓦。+ 【( 一1 ) ”+ 2 + ( 一1 ) “】瓦2 1 4l 14 41 141l 141 f l41 l 1 4 1 ( 。，i h ( 。一i j 一挈严+ l 。 一厶o n + l 。 所以j d 净0 即l d i 0 ，所以原方程组有唯一确定的解，可得结论。 口 由定理易看出在第三类边界条件下求三次样条插指函数的步骤： ( 1 ) 写出方程组 4 2 】 1 n 片一l k 1 + 2 1 n y f 1 + 2 h a y j 砖+ l n y f + l = h n y f _ i 一2 1 n y i + l r i 一l = k i = 一。 【4 1 n y o + l n y l 乇+ l l l 咒一i 。吒一l = l n y j 一2 1 n y o + l n y 一1 求解出待定系数岛，“= 0 , 1 ，2 ，n 一1 ) ( 2 ) 将系数岛，以及节点玉，i = o ，1 ，2 ， 一1 代入函数 o = 1 ，2 n - 1 ) 蹦曲：咒一。“譬划i x - x t 费。孚。孕( f - 1 ，2 ，n ) 然后按照4 2 给出函数s ( x ) 。 如果节点，不是等距节点，那么存在插指函数的条件就有所限制，下面 就在第三类边界条件下，找出唯一存在三次样条插指函数的相应条件。 4 + 4 ) l一 ( + ) 2一n 卜 一目 4 l + 】 i一 也4 d k +2 = d l 4 4 1 ： 1 4 1斗1 睁 瓦 中其 1 4 4 1 ： -=uri f瓦 得可推递 步 逐过经 j e 立銮煎苤堂亟堂焦边塞4 三这挂釜遁指函堑 |。12j喜2。二21)2clizz，；：。，：。，爿“+。+。，。一 等”等 警心+ 半小等一等一警+ 訾 o = 1 , 2 ，z 一1 ) ： ( 2 ) i 等：- + 百2 t n y i ”丁2 1 n y ip t i n y i + l t 2 等一等一半+ t i n y i + t 睁啦，扩。 l 且：玉 、一 。d 2 ， j 塞銮运太堂亟堂焦迨塞4 三丛搓螽垣指函鍪 ：等吨+ 警”等 ：警。，一警+ 警+ 等一等 上l ：玉 d 2 n l d 2 0 所以联立以上四式得出方程组 4 4 等+ 警”警”半弘警一警一警+ 半 l z 警”警小等，k 铊警。 b = 舞 ( 4 ) ：一丛+ 丛+ 垃一监( f = 1 2 ，扩1 ) d od o或_ 1一 去h 百11 1 1 万2 1 i l m 三d 1 1 1 1 咒1 4 l n 儿 11 d 2 0d 2 i h d l h d l 咒云db 致 。i 2 。 去h 抽 ， 云峨 土l l lv 磊 1 9 去k 乃 h 只一i d 一2 l d 2 一z i n y n 一1 4 d - i 一去h 只 去h 只 云咄 ，。 毛 以一 一 岛一以 = 苴九 峨 “ 土“ 孑 j e 塞銮垣太堂亟堂僮i 金塞4 三i 筮拄玺埴垣鸶数 0 l n y o l n y j 尘! 丛。l n y z d oa od ld i o 丛一墼一l n y 2 l n y 3 4面d ：d ： 0 监一虹一虹。皇! 筮 或一：以一：吃。以一。 o 一l n y o + 尘丝+ 峻一皇l 鳖 d od od t td - t 令系数矩阵的行列式为f n l ，要想唯一存在三次样条插指函数我们要求待定系数唯一 存在，由行列式的性质我们可以知道只要系数矩阵j nj 不等于零即可。下面我们来看 系数矩阵i n 卟垂去 l n y o d o h a y o2 1 n y l2 1 n y l 1l a o d l l n y l l n y 2 2 1 n y 2 l 4 一警f 1 d 1 2 1 n y 2 1 n y , h a y l 1dd ： i 。 - i- 1 l 。一2。- 1 因为o 所以只要上式中的行列式in j 0 。 j e 塞銮逗鑫堂砸望僮硷室 生三逸搓盘地拦些塾 令i n f = h a y o d o i n y o2 i n y l 2 h l y ll n y 2 l1 d od 1 l n y t 2 1 n y 2 2 1 n y 2 11 d jd 2 l n y ol n y i 2 1 n y 。- 2 1 n y 。一l l1 d 卜2d ，4 l a y 。q ( 依次将上面行列式中的第2 i 列。冬加到第2 i l 列上，其中，：1 ，2 ， 一1 ) d 旦趣 以 l n y o2 1 n y i2 1 n y l ( 1 + z i ) l n y 2 丢 。 l n y i2 1 n y 22 1 n y 2 ( 1 + = 2 ) 上 。 正 1 n y ol n y l ( 按第3 , 5 ，2 n l 行依次展开) 2 ( 1 + z 1 )z 2 1 2 ( 14 - 。2 ) 乇 因为d ，0 ，且只0 ，片 1 所以l n y 0 。 1 2 1 n y ，】2 1 n y , 一1 ( 1 + z ) 一l o 以一： l n y d q 1i 以i i 1l 2z 一“ ： )肼 【 ( 。兀m一4m n 一 ) 一 可 2 j e 塞銮道太堂亟堂僮诠童 三这搓筮堙撞函数 目。以当：l i i2 ( 1 i d i ：2 1 ) ：。：，z ，一万l 。 i + z 1 )z 2 f 所以当 ：l 1 2 1 j 2 z z ， i o 2 z 。 l 2 ( 1 + 1 。 一i ) ：1 l。+，。+， 等+ 等”警灿半簪警一警一警+ 半 z 警舻争+ 等”2 等。：一警+ 警+ 警一警忙1 务，驴。 f 土l ：玉 【d 2 。一 d 2 0 求解待定系数岛，( i = 0 , 1 ，n - 1 ) 。 ( 3 ) 将系数t ，t 以及节点五，f = o ，1 ，2 ，月一1 代入函数 轴( 力：咒一，k l _ l ( ”x - x 一, m l 划嚣，矿嚣州瓦x - x _ i ( f ：，砖 按照4 ，2 给出函数s ( 曲。 我们从定理4 1 和4 2 看出等距节点的情况是一种特殊情况，若定理4 2 中的行 列式l d l 中z ，都相等则就是定理4 1 的情况。同理，在第一类边界条件下我们也可以得 出相应的结论和条件。 4 3 2 第一类边界条件下三次样条插指函数存在性 癣 = 苴屹 j e 鏖窑遭盔堂亟堂僮论塞4 三达搓釜搔搓函数 己知第一类边界条件是】1 1 s ( x o ) = y o ，i n s 瓴) = z ， 即i n 蜀( 而) = “，如( ) = z t 由醐赵式得呻驰) 】，k ：一警肾警小警+ 等 由此可得出 2 1 n y o k + l n y o 7 0 = ( - d o ) y o i n y o + l n y l 同理可以得到 i n y - 1 吒i + 2 1 n y 。一l = 屯i 一+ l n y 一l - l n y 上面两式与方程组 4 3 联立我们可以得出方程组 4 5 訾+ 警”警p 半仁等一等一半+ 孚 仡, - 1 = 鲁 1 2 1 n y o + h l ( ) = ( - d o ) y o l n y o + t n y l 旧岫b + 2 1 n y t - i = 缸l z + l n y _ l b y 我们把方程组 4 6 写成矩阵的形式，得到它的