（概率论与数理统计专业论文）关于离散随机变量和的记录值的一些研究.pdf

e r at h e s i si np r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s 溉 s o m er e s e a r c ha b o u tr e c o r d v a l u eo ft h es u mo fd i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e s b yw a n gh a i l o n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t e p r o f e s s o rs u np i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 j 秀 鼯 如 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 ，的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 峥 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 素e 。 学位论文作者签名：互淘龙 日 期：2 鲫墨0 7 乃 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年 学位论文作者签名：王奴舷 签字日期：删子d 乃 导师签名： 签字日期： 汐d 矿刀够 。 ? 挂上1 东北大学硕士学位论文 摘要 关于离散随机变量和的记录值的一些研究 摘要 记录值是刻划随机变量序列变化趋势的重要特征，它的应用极其广泛，例如粮食最 高产量值、洪水最高水位值、运动成绩、股票指数等等。因此研究记录值的变化趋势及 其出现规律具有重要意义。由于关于记录值的研究在理论和应用方面都有重要意义，所 以对它的研究受到许多中外学者关注。记录值自从1 9 5 2 年由c h a n d l e r 提出后得到了迅 速的发展，取得一系列重要的结果。 过去关于记录值的研究讨论主要是在连续分布的情况，在此方向得到了记录时间、 记录值、k 阶记录值、k 阶记录时间的分布函数、联合分布函数和发生函数等结果。而 离散型随机变量的记录值研究也是记录值问题的重要部分，但工作相对不多，本文主要 研究了具有特殊分布律的离散随机变量和序列的记录值问题。具体工作有： ( 1 ) 介绍记录值、记录时间等基本定义、定理。 ( 2 ) 简要介绍了记录示性符的一些性质和结果，包括记录示性符定义，记录时间示 性符、记录值示性符和弱记录值示性符的性质。 ( 3 ) 引入了具有特殊分布律的离散随机变量和序列，利用概率论和组合数学的工具， 得到了此新序列的记录时间、记录示性符的分布，以及对记录产生情况作了一些研究， 同时对得到的结果进行验证分析。 ( 4 ) 总结文章主要内容和提出未来工作展望。 关键词：离散随机变量；记录值；记录时间；记录示性符 i i ； hm，1扣 东北大学硕士学位论文 s o m er e s e a r c ha b o u tr e c o r dv a l u e so ft h es u mo f d i s c r e t er a n d o m a b l e s a bs t r a c t r e c o r dv a l u e , w h i c hd e s c r i b et h ev a r i a t i o nt r e n do fr a n d o mv a r i a b l e s ，i sv e r yi m p o r t a n t t ot h ed e v e l o p m e n to fc o u n t r ye c o n o m y i t sa p p l i c a t i o ni sm u c ha b r o a d ，f o re x a m p l et h e m a x i m a lo u t p u tv a l u eo ff o o d , t h em a x i m a lw a t e rl e v e lv a l u eo ff l o o d , s p o r tr e s u l t , i n d e xo f s t o c k m a n ys c h o l a r sa r ei n t e r e s t e di nt h er e s e a r c ha b o u tt h er e c o r dv a l u e sf o rt h er e a s o nt h a t i t st h e o r ya n da p p l i c a t i o ni sv e r yi m p o r t a n t r e c o r dv a l u e sh a v eb e e nr a p i d l yp r o m o t e ds i n c e i tw a sa d v a n c e db yc h a n d l e ri n19 5 2 r e s e a r c ha b o u tt h er e c o r dv a l u ei nt h ep a s ti si nt h ea r e ao f c o n t i n u u md i s t r i b u t i o n , a n d s o m ea c h i e v e m e n t sa r eg o t , i n c l u d i n gr e c o r dv a l u e s ，r e c o r dt i m e s ，t h ek t hr e c o r dv a l u e sa n d t h ed i s t r i b u t i n gf u n c t i o n ，u n i t ed i s t r i b u t i n gf u n c t i o n ，h a p p e nf u n c t i o no ft h ek - t hr e c o r dt i m e s r e s e a r c ha b o u tr e c o d ev a l u eo ft h ed i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e si sa ni m p o r t a n tp a r to ft h e r e s e a r c ho fr e c o r dv a l u e s ，b u tt h e r ei sl i t t l ew o r k i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yd i s c u s s e dr e s e a r c h a b o u tr e c o d ev a l u eo ft h ed i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e ss u m m a t i o nh a v i n gs p e c i a lr u l e s 珊l a tw e g o t i nt h ea r t i c l ea r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) w r ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fr e c o r dv a l u e ，r e c o r di n d i c a t o r sa n dt h ew o r kw ew i l l d oi nt h ef u t u r e ( 2 ) w ，ei n t r o d u c es o m ep r o p e r t i e sa n dr e s u l t so fr e c o r di n d i c a t o r s ，w h i c hi n c l u d et h e d e f i n i t i o no f r e c o r di n d i c a t o r s ，r e c o r dt i m ei n d i c a t o r s ，r e c o r dv a l u ei n d i c a t o r sa n dw e a kr e c o r d v a l u ei n d i c a t o r s ( 3 ) w r ci n t r o d u c et h ed i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e ss u m m a t i o ns e q u e n c eh a v i n gs p e c i a lr u l e s , a n di nv i r t u eo fc o m b i n a t o r i a la n dp r o b a b i l i t ym e t h o d ，w eg o tt h ed i s t r i b u t i o n so fr e c o r dt i m e a n dr e c o r di n d i c a t o r s w - ca l s or e s e a r c ht h eh a p p e ni n s t a n c eo fr e c o r d ，a n a l y z ea n dv a l i d a t e t h er e s u l tw i ms o m ee x a m p l e s ( 4 ) f i n a l l y , w es u mu pt h em a i nc o n t e n ti n t h i sa r t i c l e , a n db r i n gf o r w a r dt h em a i n d i r e c t i o ni nt h ef u t u r ew o r k k e yw o r d s ：d i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e s ；r e c o r dv a l u e ；r e c o r dt i m e ；r e c o r di n d i c a t o r s - i - 埕； ；灞 东北大学硕士学位论文 目录 目录 声明i 中文摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论l 1 1 弓i 言1 1 2 记录值与弱记录值定义2 1 2 1 记录值的定义2 1 2 2k 阶记录值的定义3 1 2 3 弱记录值的定义3 1 2 。4k 阶弱记录值的介绍4 1 3 预备知识4 1 3 1 发生函数4 1 3 2s t i r l i n g 数和推广的s t i r l i n g 数5 1 3 2 1 第二类s t i f l i n g 数定义5 1 3 3c a t a l a n 数。6 1 4 问题的提出及主要研究内容6 第2 章记录示性符的性质7 2 1 记录示性符定义7 2 1 1 连续分布记录时间示性符7 2 1 2k 阶记录时间示性符7 2 1 3 离散分布记录值示性符8 2 1 4 弱记录值示性符8 2 2 记录时间示性符的性质9 2 3 记录值示性符的性质。1 5 2 4 弱记录值示性符的性质- 。l8 2 5 记录示性符之和的分布1 9 2 6 记录值之和的中心极限定理2 1 东北大学硕士学位论文 第3 章 离散随机变量和的性质2 7 3 1 离散和的记录时间的分布2 7 3 2 离散和的记录值示性符的分布3 5 3 3 离散和的记录值产生情况3 8 第4 章文章综述及下一步工作4 5 4 1 本文综述4 5 4 2 下一步应该做的工作4 5 参考文献4 7 致谢4 9 v 瓢i；0 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 在这一章里，主要介绍记录值、k 阶记录值和弱记录值的定义，以及有关记录值、 k 阶记录值和弱记录值的一些结果，简要介绍了记录时间和记录时间示性符的定义以及 有关记录时间和记录时间示性符的一些成果。介绍了一些基本的预备知识，包括发生函 数、s t i r l i n g 数和推广的s t i r l i n g 数，以及我们的研究方向与将要做的工作。 1 1 引言 众所周知，记录值是刻划随机变量序列变化趋势的一个重要特征，对记录值的研究， 始于2 0 世纪4 0 年代，记录值概念首先是由c h a n d l e r kn 提出【l 】：称x r 为一个记录值， 当且仅当五 m a ) 【 五，以一。) 。为方便起见，规定五是一个记录值，并将它记为x o ) 。 在过去半个世纪，记录值得到了迅速的推广，并在7 0 年代取得了一系列重要的成果。 由于关于记录值的研究在理论和应用方面都有重要意义，所以对于它的研究受到许多中 外学者的关注。从记录值的提出一直到现在前辈们在记录值方面做了很多工作， d z i u b d z i d aw 和k o p o c i n s k iw 对记录值概念进行了推广【2 】，提出了k 阶记录值的定义， v e r v a a tw 提出了弱记录值的定义【3 】，其他主要工作有，得到记录值的分布函数和记录 时间的分布函数，记录值的联合分布函数和记录时间的联合分布函数，记录时间的发生 函数和记录值的发生函数 4 1 ，记录值矩的递推关系 s l ，k 阶记录时间的分布和k 阶记录值 的分布，k 阶记录时间的联合分布和k 阶记录值的联合分布，k 阶记录时间的发生函数 和k 阶记录值的发生函数 4 1 ，k 阶记录值的高阶矩【6 】，k 阶记录值的预测【刀，基于记录值 的随机区间嘲，弱记录值的分布【9 】，记录值的费舍尔信息以及弱记录值的费舍尔信息【l l 】， 离散分布记录的期望值的边界估计【1 2 1 ，r e s n i c k 研究了记录值序列的极限定理，并且他还 利用点过程的方法研究了记录值发生的间隔的极限定理，a r n o l dv i l l a s e n o r 研究了三类 分布函数( 指数分布，g u m b e l 分布和b e t a 分布) 记录值的部分和序列，并且发现记录值序 列部分和的极限分布不仅有正态分布，还有一类无穷可分的非退化的分布，苏淳等研究 了w 硪u 1 1 分布记录值序列部分和的渐近正态性，姜涛等研究了两类重要的分布，即b u r r 分布和f r e c h a t 分布记录值序列部分和的渐近正态性。 上述都是前辈们在记录值方面做的工作，对于以后的研究非常有意义。而在实际中 也有许多关于离散和情况下的记录值问题，因此，就可以前面的工作为基础，借鉴了概 率论和组合数学的思想，借助于记录示性符的工具，引入了具有特殊分布律的离散随机 - 1 - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 变量和作为新的随机变量序列，来研究离散和情况下的记录值问题，对这样的随机序列 的记录时间、记录示性符的分布，以及对记录产生情况进行研究，下面我们介绍一些必 要的定义、结果。 1 2 记录值与弱记录值定义 1 2 1 记录值的定义 考虑随机样本墨，置，它们相互独立且来自同一个连续的分布函数f ( 曲，密度函 数为( 工) ，c h a n d l e rkn 定义了记录时间三( 力) 和记录值x ( ，1 ) 如下【1 】： l o ) = 1 l ( n + 1 ) = m i n j ：j 三( 甩) ，x 户x ( 。) ) ( 1 1 ) x ( 刀) = x ( 。) 其中刀1 可以得到第个记录值的密度函数 1 3 】： f j ( x ) = 志 - l 。g ( 1 廿( 堋一厂( 功， 其中o f ( 功 i 三( 甩) = f ) = 三 j 尸+ 1 ) = j i l ( 加扣志7 其中s ( m ，甩) 表示第一类无符号s t i r r i n g 数，且( 1 ) = l ，( 2 ) = ，( 2 ) ，三( 刀) = j ( 疗) 的联合分 布律为： p 唧) _ l ，叩) = m ) 一m ) = m ) ) = 丽两顽南丽 ( 1 - 3 ) 其中 1 = ( 1 ) ( 2 ) x 一i ，1 ) ，靠1 x ( n ，七) 2x ( 。，i 卜l + l ，工( 。， ) ，刀1 可以得到第刀个k 阶记录值x ( n ，k ) 的密度函数： 厶( 础) ( 曲= 石岛( 一l o 甙l f ( x ) ) ) ”1 ( 1 一f ( 力) 卜1 ( 功 ( 1 4 ) 通过引入k 阶记录时间示性符，用发生函数的方法可以得到第弗个k 阶记录时间的概率 和两个相邻的k 阶记录时间的条件概率如下【4 】： 尸( 三( 刀，七) ：朋) ：掣s ( 历一七，刀一1 ) ，竹! 户弘(n+l,k)，i三(刀，七)=册=皇竺三!云m宅j；譬三丢铲，俄露+七一l i 十l - i ，一l j 厂 尸 三( n + i , k ) = ，l ( 以，七) = 胁，= 羔竺号苦；冬 等，r m n + k - 1 ( 5 ) 以及三( 1 ，k ) = j i ，l ( 2 ，k ) = 所( 2 ) ，l ( n ，k ) = m ( n ) 的联合分布函数： p l ( 1 ，七) = k ，l ( 2 ，后) = 坍( 2 ) ，l ( n ，七) = ，玎( 刀) ) ：生! 蜓堕= 型! ( 1 6 ) 朋( 以) !( 掰( 2 ) 一七) ( 扰( 3 ) 一七) ( m ( ，1 ) 一七) 1 2 3 弱记录值的定义 考虑随机样本x ，x 2 ，它们相互独立取值为 0 , 1 ，n ( n 可以取无穷大) 的离 散型随机序列，v c r v a a t w 介绍了弱记录值x 。o ) 和弱记录时间w 伽) 3 1 ： l ( 1 ) = 1 l 0 + 1 ) = m i n j l ( 刀) ：m a 】【 五，x 2 ，一i ) ) l ( 刀) = k 。) ，刀= 1 , 2 ， 可以得到前n 个弱记录值石。( 1 ) = 毛x ，( 刀) 最。的联合分布及x 。0 + 研) 和x d n ) 的条 件概率【1 0 】： - 3i 查! ! 垄兰堡主堂堡垒查 ： 苎! 主竺笙 p ( x 。( 1 ) = x w ( 刀) = 后。) = p 兀当( 1 7 ) i = lq k , l k l 吒n p 叉0 ( 刀+ 聊) ：j l 叉0 ( 甩) ：f ) ：p yr , n ( i ，) ，l f ( 1 8 ) 其中 舭归，以亿垆吝 k 妻一：等，加2 2 p 苫= p ( 墨= x ) ，q 鼻= 以墨力 1 2 4k 阶弱记录值的介绍 考虑随机样本x 。，x ：它们相互独立取值为 0 , 1 ，2 ，n ) ( n 可以取无穷大) 的离 散型随机序列，k 阶弱记录值k ( 刀，k ) 和k 阶弱记录时间定义如下： 三，( 疗，后) = k 。 三。( 以+ l ，k ) = m i n u l 。( 后) ，x j 工0 ( 。，七) 一“l ，k ( 。，七) ) ， 刀= 1 , 2 x 。( 行，k ) = x k ( 。，i 卜i + l ，k ( 月，i ， ， 以1 1 3 预备知识 1 3 1 发生函数 发生函数能以某种统一的方式处理和解决众多不同类型的问题，它是离散数学和连 续分析的桥梁。该函数适合求解计数问题，一方面发生函数可以看成是代数对象，其形 式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性数目另一方面，发生函数 是无限可微分的泰勒级数【1 4 1 。 对于一个有限或无限的数列 d o ，a z 用幂级数形式 4 ( x ) - - - - a 0 + a l x + a 2 x 2 + 来表示，我们称彳( x ) 为序列 ，a 。，a ：) 的发生函数，记为g a 。) 。因此，每个序列都 有一个发生函数，发生函数的方法是在我们研究组合问题时的一个重要工具。 4 气 ： 和 蓦 东北大学硕士学位论文 1 3 2s t i r r i n g 数和推广s t i r r i n g 数 1 3 2 1 第二类s t i r r i n g 数定义 刀，= s ( p ，0 ) 【刀】o + s ( p ，1 ) 【力】i + + s ( p ，p ) 【疗】| p ：圭s ( p 帅】。 1 9 s ( p ，七) 叫做第二类s t i r r i n g 数1 6 ，1 7 1 ， h i i = n ( n - 1 ) 伽一七+ 1 ) 刀1 ，关于第二类 s t i r r i n g 数递推公式： s ( p ，七) = 嬲( p 一1 ，七) + s ( p l ，k 1 ) 其中 s ( p ，0 ) = 0 ( p 1 ) s ( p ，p ) = 1 ( p 0 ) 第二类& f ，f f 馏s ( p ，七) 表示的意义是将p 个元素的集合划分成七个不可辩别的非空盒 的划分个数。 1 3 2 2 第一类s t i f l i n g 数 m p = ( n 一( p 一1 ) ) ( 一1 ) 尹l - t s ( p 一1 ，七) 刀七 ( 1 1 0 ) 其s ( p ，k ) 叫做第一类s t i r l i n g 数。 关于第一类s t i r r i n g 数递推公式： s ( p ，k ) = ( p - 1 ) s ( p - 1 ，七) + j ( p 一1 ，k 1 ) - - 类s t i r l i n g 数j ( p ，七) 表示的意义是将p 个物体排成七个非空的循环排列的方法数。 1 3 2 3 无符号s t i r l i n g 数 工( 工+ 1 ) ( x + 2 ) ( 石+ p 一1 ) = 芝二s ( p ，七) x ( 1 1 1 ) 其中s ( p ，k ) 记为第一类无符号s t i r r i n g 数。 关于无符号s t i r l i n g 数s ( p ，k ) 的一个递推关系： s ( p ，k ) = s ( p - 1 ，k - 1 ) + s ( p l ，七) 1 3 2 4 推广的第一类s t i r r i n g 数j 。( 刀，k ) 设口= ( ，口，4 2 ) 是一个实数的无限序列， 推广的第一类鼢朋略数s 4 ( 刀，七) 定义 为 ( xl 口) 。= ( x - - a o ) ( x a 1 ) ( 工口。一1 ) - 5 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 = s 。( n ，k ) x k = o 其中 l 口) o = 1 ，关于推广的第一类s t i r r i n g 数的一个递推关系式： j 。( 刀，后) = s a ( 万一1 ，k 1 ) 一口。一l s 。( 刀一1 ，后) ( 1 1 2 ) 1 3 2 5 推广第二类的s t i r r i n g 数咒( 玎，k ) r = s o ( n ，k x x - a o ) ( x - a 1 ) ( x - - a “) k = o = 疋( n ，k ) ( x l a ) 。， k = o 关于推广的第二类s t i r r i n g 数的一个递推关系式： 配( 刀，七) = - 咒( 刀一1 ，k 一1 ) + a n _ 1 s 。( 栉- 1 ，后)( 1 1 3 ) 1 3 3c a t a l a n 数 c a t a l a n 序列即 c 0 ，c l ，c 2 ，q ， 其中 q = 六( ，z = 0 , 1 州2 ) 为第刀个c a t a l a n 数。前几个c a t a l a n 数为： c o = 1q = 1c 2 = 2g = 5c 4 = 1 4 g = 4 2g = 1 3 2c 7 = 4 2 9c 8 = 1 4 3 0g = 4 8 6 2 n 个+ 1 和以个一l 构成的2 刀项a l , 口2 ，口2 。，其部分和满足a i + a 2 + + a k 0 ， ( k = l ，2 ，2 n ) 的数列个数等于第靠 c a t a l a n： q = 熹 1 4 问题的提出及主要研究内容 从记录值的提出到现在前辈们在记录值方面做了很多工作，但主要集中在连续情况 下，而对于离散情况下记录值的研究却工作不多。在实际生活中，离散情况下变量序列 的记录值研究有很多的应用背景，特别是关于随机变量和的记录值的的研究，而尚未见 到在这方面的结果。本文利用选举定理，引入记录时间示性符和记录值示性符，来研究 些特殊的离散情况下随机变量和的记录值的分布，这构成本文的主要内容。 - 6 一 峥 l 东北大学硕士学位论文 第2 章记录示性符的性质 本章主要介绍了记录示性符的各种性质以及利用记录示性符的方法得到的一些有 用的结果。 2 1 记录示性符定义 记录示性符从总体上可以分为记录时间示性符和记录值示性符这两类，对于连续型 随机变量序列，可以引进记录时间示性符的定义，对离散型随机变量序列引进了记录值 示性符的定义，并且得到了记录示性符之间相互独立，通过记录示性符可以得到很多有 用的结果，如：对于连续型随机变量序列，通过记录时问示性符，可以得到第一个记录 时间l ( b ) 的概率分布，第力个记录时间l ( n ) 和第n + 1 个记录时间l ( n + 1 ) 的条件分布， 对于离散型随机序列，也可以得到第万个记录值x ( n ) 的概率分布，第以个记录值x ( 刀) 和 第n + 1 个记录值x ( n + 1 ) 的条件分布等。 2 1 1 连续分布记录时间示性符 考虑随机样本x 。，五它们相互独立且来自同一连续的分布函数f ( x ) ，记录时间 l ( n ) 和记录值x ( n ) 定义如下： l o ) = l ( + 1 ) = m i n j ：， 工( 刀) ，x 户x o ) ( 2 1 ) 石( 刀) = x ( 。) ， 疗1 记录时间示性符六定义如下： 己= 1 ：刀是记录时间，即x 。是一个记录值， 磊= 0 ：刀不是记录时间，即x 。不是记录值。 2 1 2k 阶记录时间示性符 考虑随机样本墨，五它们相互独立且来自同一个连续的分布函数，( 功，k 阶记录 时间三( 刀，k ) * n k 阶记录值疋( 刀，七) 定义如下【1 8 1 ： l ( 1 ，七) = k l ( n + 1 ，七) = m i n j l ( n ，七) ：x j x j 。，_ 1 ) ，刀l ( 2 2 ) 石( 刀，七) 。x l ( 一，t 卜k + l l ( 一。t ， 以1 7 - 东北大学硕士学位论文 第2 章记录示性符的性质 k 阶记录时间示性符定义如下 4 】： 磊( 七) 2 k ，k ，。 ，疗= k ，k + l 2 1 3 离散分布记录值示性符 考虑离散的随机变量序列墨，x ：以，它们相互独立，且取值为 0 ，1 ，2 ， 记录时间三( 刀) 和记录值x ( 聆) 定义如下： l o ) = 1 三伽+ 1 ) = m i n j ：j 三( ，1 ) ，x 户x l ( 。) ) ( 2 3 ) x ( n ) = 况( 。) ，n 1 记录值示性符定义如下【4 】： r 。= 1 ：刀是一个记录值，即存在x ( 研) = ，l ，m = 1 ，2 r l 。= 0 ：刀不是一个记录值，即不存在x ( m ) = 甩，m = 1 ，2 2 1 4 弱记录值示性符 考虑随机样本五，置它们是相互独立取值为 0 ，1 ，2 ，n ) 的离散随机序列，弱 记录值x 。( 以) 和弱记录时间三。( 栉) 定义如下： 三。( 1 ) = 1 l w ( 刀+ 1 ) = m i n j l w ( 刀) ：x j m a x x n ，置，x ，一1 ) ) ( 2 4 ) l ( 以) = _ ( 矿以= 1 ，2 ， 弱记录值示性符定义如下： r 。”= 1 ：刀是一个弱记录值，即存在x 。( m ) = 刀，m = 1 ，2 玑”= 0 ：n 不是一个弱记录值，即不存在x 。( 棚) = n ，m = 1 ，2 p ( r , w = 1 ) = 矧删，1 眠”- o ) = l _ 眠* 矧删，l 弱记录值个数示性符盼2 0 】： 以= m 表示在序列x ，( 1 ) ，x w ( 2 ) 中有m 个弱记录值的取值为n ，m = 1 ，2 p ( k t 。= m ) = ( 1 一) 用，n = 0 ，1 ，m = 1 ，2 - 8 - 东北大学硕士学位论文第2 章记录示性符的性质 p ( 彳= 疗) ，= _ 1 p ( x 万) 2 2 记录时间示性符的性质 引理2 2 i t 2 1 】：随机序列x l ，x 2 相互独立且来自同一个连续的分布函数，( 工) ，记 录时间示性符六，磊和膨。相互独立，其中m 。= m a x x i ，x 。，且磊的概率为刚： 尸( 六= 1 ) = 二 刀 ( 2 5 ) 尸( 六- 0 ) _ l 一- 1 ) = 等 证明取n 2 ，可以得到， p ( 己= 1 ) = p ( x 。= m 。) = 尸( x l = m 。) ： k = 1 , 2 ，刀 当i j 时，则p ( x ，= x ，) = 0 ，有： 1 = p m 。= 墨) + + p 似。= e ) = n p m 。= 以) 可得 p ( 六= 1 ) = 尸( 以= 膨一) 2 言 引进一序列数口( 1 ) ，口( 2 ) a ( s ) 使得 1 口( 1 ) 口( 2 ) 口o ) ， ，= 2 ，3 ，s = 1 ， 只需要证明下面等式即可： p 厶( 1 ) = l 厶，) = l ，m ， x ) = 尸 厶( 1 ) = 1 ) p 乞( ，) = 1 p m ， 耐 对s = l 和j = 2 进行证明，可得到： p ( 幺( 1 ) = l ，鸠 x ) = p m a x ( x l ，以( 1 ) 一i ) 以( i ) x ；m a x ( x 口( 1 ) + l ，z ) 舛 邓尸聃枷即) _ l a f ( 炉哿 = p 虢( 1 ) = 1 ) p m x 令s = 2 则有： 以乞( 1 ) = 1 ，厶( 2 ) = 1 , m ， 工) = p m a x ( x n ，丘( i ) 一i ) 以( 1 ) x ；m a x ( x a ( i ) + i x a ( 2 ) - t ) 墨 m a x ( x 。( 2 ) + i ，墨) jl 0 ) = i ) = ，j f 证明由于记录时间示性符缶，磊相互独立，所以： p ( l ( n + 1 ) = jll ( n ) = f ) = p ( 缸- = o ，缶+ 2 = o 白一- = o ，彭= 1 ) = p ( 参+ = o ) p ( 专+ ：= o ) p ( 彭一。= o ) p ( 白= 1 ) ii + 1 一21 i = 一：二- - - - 一一= = 一 i + 1i + 2 j - 1jj ( j 1 ) p ( l ( n + 1 ) ji 三( 万) = f ) = p ( 毒+ = o ，磊+ ：= o 彭一。= o ，旬= 0 ) 2 尸( 氟。= o ) p ( 鼠：= o ) p ( 旬i = o ) p ( 白= 0 ) ii + 1 一2 一1 i =一：二二-=一 i + 1i + 2 j 一1jj 定理证毕。 定理2 2 3 记录时间( 1 ) = 1 ，三( 2 ) = _ ，( 2 ) ，( 甩) = j f ( n ) 的联合分布函数【2 2 】： p ) 卅，讹) = m ) ，砸) = m ) ) 2 丽丽顽示而丽( 2 8 ) 1 ( 2 ) p c ( 一- l 卜l = o ) 尸 乞( 一1 ) = 1 ) p 蟛( ) + l = o ) p 辑州= o p f 孝j , 。，= 1 堋z 删慨，叫畿罱老嗜 东北大学硕士学位论文 第2 章记录示性符的性质 l ：= ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ _ - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( j ( 2 ) 一1 ) ( ( 3 ) 一1 ) ( _ ，( 力) 一1 ) 定理证毕。 。 引理2 2 2 - 随机序列五，五相互独立且来自同一个连续的分布函数，( 石) ，k 阶 记录时间示性符序列磊( 后) ，磊+ 。( 后) 相互独立，则有【4 】 尸( 六( 七) ：1 ) ：一k ( 2 9 ) 尸( 孝。( j j ) = 0 ) = l p ( 幺( 七) = 1 ) ：n - k 定理2 2 4k 阶记录时间l ( n ，k ) = m 的概率分布为【2 3 】： p ( l ( 以，七) ：m ) ：掣s 伽一后，n 一1 ) ( 2 1 0 ) 证明通过k 阶记录示性符利用发生函数的方法证明该定理，有k 阶记录时间示性符 磊( 后) ，色( 后) 相互独立，可知 p ( l ( n ，七) = 朋) = 尸( 磊( 后) + 磊+ i ( 七) + + 彘一i ( j | ) = n - 1 ，己( 后) = 1 ) = p ( 磊( 七) + 六+ l ( 尼) + + 厶一。( 七) = n 一1 ) 尸( 厶( 七) = 1 ) = 鱼p ( 磊( j | ) + 民+ 。( 七) + + 厶一。( 七) ：b - - 1 ) 为了求 p ( 磊( 后) + 磊+ ( 后) + + 厶一，他) = n - 1 ) 进一步求磊( 后) + 磊+ l ( 七) + + 厶一l ( 七) 的发生函数： 只一l ( s ，后) = 西矗( 七) + 矗+ i ( 卜”斗厶一l ( i ) 早 t 点仆、丌m - ii k + k s = 兀西削”= 兀竿 k s ( 1 + k s ) ( 2 + k s ) ( ，竹一1 一k + k s ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ l - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ i _ 一 k ( k + 1 ) ( 七+ 2 ) ( ，靠一1 ) ：手生二 芒k s ( 1 + b ) ( 2 + k s ) ( m l k + k s ) ( 珊一1 ) ! “、 令t = 砖，则 黜唧圳( 2 + k s ) ( m - l - k + k s ) 1 2 东北大学硕士学位论文第2 章记录示性符的性质 = 黜砸卅( 2 + f ) ( m - l - k + t ) f ( f + 1 ) ( f + 2 ) ( t + m - l - k ) = s ( m - k ，n ) t 4 = s ( m - k ，刀) ( 缸) 开 拍= 黜喜s ( m - k , n 删 p k - ( s ，七) 。而k - i ( k - i ) s ( m - k , n - 1 ) p ( t ( n ，七) = 小) = 扩1 k 。) = 丛掣s ( 坍一七，川) 定理证毕。 定理2 2 5 ：k 阶记录时间联合概率分布4 1 p l ( 1 ，七) = k ，l ( 2 ，七) = 小( 2 ) ，l ( n ，七) = 朋( ，1 ) ) 一尼! ( ，l ( 刀) 一后) ! k “一1 ( 2 1 1 ) 聊( ，1 ) !( 埘( 2 ) 一七) ( 朋( 3 ) 一后) ( 所( ，1 ) 一后) 证明 p l ( 1 ，后) = | ，l ( 2 ，七) = m ( 2 ) ，l ( n ，j | ) = 肌( 疗) ) 2 p 最( 七) = l ，孝i + l ( 七) = o ，厶( 2 ) - - i ( 七) = 0 ， 厶( 2 ) ( 七) = 1 乞“卜l = o ，乞( 。) = 1