（计算数学专业论文）单个守恒律方程边值问题的整体弱熵解的数值模拟.pdf

摘要 具有边界条件的非线性双曲守恒律问题在流体力学交通流理论等中有着 直接的研究背景和重要意义 本文主要研究单个守恒律方程( 凸与非凸) 具有分片常数的初边值问题解的 数值模拟首先介绍其整体弱熵解的结构及其构造原理，以及在构造过程中的 重要依据。边界熵条件然后按照流函数的凸性根据边界熵条件及其构造方法 设计两种基于g o d u n o v 方法的数值算法，用于模拟这两种守恒律方程的整体弱 熵解我们将得到这种算法得到的数值解是满足边界熵条件的 最后我们用这种算法计算数值算例，从中可以看出数值结果和理论上的相 应初边值问题的整体弱熵解完全吻合能够正确的模拟出单个守恒律方程初边 值问题的弱熵解，包括不同于相应c a u c h y 问题的解的结构：在流函数f ( u ) 为 凸的情况下，一个疏波碰到边界，边界弹回一个激波；在流函数f ( u ) 为非凸的 情况下，一个接触或非接触激波碰到边界，边界弹回一个非接触激波 关键词z 单个守恒律方程，初边值问题，g o d u n o v 方法，边界熵条件，激 波，疏波 a b s t r a c t t h ei n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e mo fh y p e r b o u ce q u a t i o nf o rc o n s e r v a t i o nl a w s p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nh y d r o m e c h a n i e sa n ds i m u l a t i o no ft r a f f i cf l o w t h i sp a p e ri sc o n c e m e dw i t ht h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rt h ei n i t i a l - b o u n d a r y p r o b l e mo fs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s ( c o n v e xo rn o n c o n v e x ) w i t hp i e c e w i s ec o n - s t a n ts t a t e s f i r s to fa l lw ew i l li n t r o d u c et h es t r u c t u r eo fw e a ke n t r o p ys o l u t i o n o ft h i sp r o b l e ma n dt h eb o u n d a r ye n t r o p yc o n d i t i o n sw h i c ha r ev e r yi m p o r t a n t i ng e t t i n gt h es t m c t l l r eo ft h ew e a ke n t r o p ys o l u t i o n t h e nw ew i l ld e s i g nt w o n u m e r i c a lm e t h o d sf o rs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w sw i t hc o n v e xa n dn o n c o n v e xf l u x f u n c t i o n ，w h i c ha r eb a s e do nt h eg o d u n o vm e t h o d ，t h eb o u n d a r ye n t r o p yc o n d i - t i o n sa n dt h et h e o r yo fs t r u c t u r eo fw e a ke n t r o p ys o l u t i o n w ew i l lg e tt h a tt h e n u m e r i c a ls o l u t i o n sg o tb yt h i sn u m e r i c a lm e t h o ds a t i s f yt h eb o u n d a r ye n t r o p y c o n d i t i o n s f i n a l l yw eg i v es o m en u m e r i c a le x a m p l e s ，w h i c hs h o wt h a tt h en u m e r i c a l r e s u l t sa r ei d e n t i c a lw i t ht h et h e o r yo n e s w ec a ns i m u l a t et h ew e a ke n t r o p y s o l u t i o no fs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s w h i c hi n c l u d et h ed i f f e r e n tp h e n o m e n ai t h es o l u t i o ns t r u c t u r ef r o mt h ec o r r e s p o n d i n gc a n c h yp r o b l e m ：i ff l u xf u n c t i o n f ( u ) i sc o n v e x ，ar a r e f a c t i o nc o l l i d e sw i t hb o u n d a r ya n dt h eb o u n d a r yr e f l e c t an e ws h o c k ；i ff l u xf u n c t i o n ，( t 正) i sn o n c o n v e x ，ac o n t a c to rn o n c o n t a c ts h o c k c o l l i d e sw i t hb o u n d a r ya n dt h eb o u n d a r yr e f l e c tan e wn o n c o n t a c ts h o c k k e y w o r d s ：s c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s ，i n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，g o d u n o v m e t h o d ，b o u n d a r ye n t r o p yc o n d i t i o n ，s h o c kw a v e s ，r a r e f a c t i o nw a v e s i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 繇墩茸魄7 珈 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保留 论文及送交论文复印件。允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 导师弥凯蹶 6 7 。f 如 ， 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 非线性守恒律方程 具有如下形式的一维空间的偏微分方程， t t + ，( “k = 0 称为守恒型方程，( 1 1 1 ) 的形式称为守恒形式，其中“= ( “l ，地，) 是关 于z ，t 的n 维矢量函数，称为守恒量，或状态量，如流体力学中的质量，动量 和能量当n = 1 时，( 1 1 1 ) 式称为单个守恒律当f ( u ) 为线性函数。且彤( t ) 的特征多项式有互不相同的实数根，( 1 1 1 ) 式称为线性双曲型守恒律方程( 组) ， 否则若f ( u ) 为非线性函数，( 1 1 1 ) 式成为非线性双曲守恒律方程( 簦i ) 。 非线性双曲型守恒律方程来源于力学空气动力学、燃烧与爆炸，色谱学， 沉积学，交通流等应用学科其中的一个经典例子就是描述流体质量守恒、动 量守恒、和能量守恒的e u l e r 方程组由于这类拟线性方程所描述的物理现象 的复杂性。对他们的研究一直是国际数学界所关注的主要研究领域之一 我们知道，若流函数( u ) 为非线性函数，方程( 1 1 1 ) 的古典解可能不存 在，因为即使所给的初始值u o ( x ) 十分光滑，其解随着时间的变换也可能产生 间断，在物理和力学中就对应着激波和切向间断 3 4 】但是含有间断的解不再按 经典意义满足偏微分方程( 1 1 1 ) ，因为此时解连古典意义的导数都不存在因 此我们须寻找下面形式的弱解 定义1 1 1 设咖是( z ，) 平面的任意具紧支集的一阶连续可微函数，如果 对所有铝( 冗r ) ，都有以下关系成立 ，+ c o，+ ( u 也+ ，( t ) 九) d = d t + 蛳( z ) 毋( $ ，o ) d 一0 ( 1 1 2 ) j 0j 一j 一 则称u ( z ，t ) 是方程口4 ，的弱解 在实际应用中较多的是分片光滑的间断解在分片光滑的间断解之中，间 断线两侧的解应该满足如下的r a n k i n e - h u g o n i o t 条件( 见【3 9 】) s m = 旷( t ) 】，( 1 1 3 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 其中，8 = 害称为间断速度，z = x ( t ) 是方程( 1 4 1 ) 的间断解，m = 札l t r ，【，( t ) 】= ，( 蛳) 一f ( u ，) ，u f = ( x c t ) 一0 ，t ) ，t r = ( x c t ) + 0 ，t ) 若流函数，( ) 为非凸函数，间断线两侧的解还应该满足如下的o l e i n i k 熵 条件【3 2 】 ，m 一) 一f ( u + ) ，f ( u 一) 一，( u ) i 瓦f 一百z 百一 一个合理的，具有物理意义的间断还应满足一定的熵条件，例如下面的l a x 熵条件阻】 l 兰! 二! 竺! ) s ! 兰2 = f 兰：2 ，( 1 1 4 ) 让一蛳“一脚 其中，铆，t r 为间断的左右常数状态，撕= u ( x ( t ) 一0 ，) ，u r = u ( z ( t ) - i - 0 ，t ) ，“ 为介于“l 和脚之间的一切值 由于间断的出现，使得非线性双曲守恒律方程的研究变得困难在非线性 波的传播中，方程的非线性性产生了丰富的现象，但也造成了分析上的巨大困 难 近年来，由于b r e s s a n 【6 】及其研究组t 一p l i u ，t y a n g 3 3 等的出色工作， 关于非线性双曲守恒律方程c a u c h y 问题的整体弱熵解的结构、逼近解与整体 弱熵解的误差估计以及整体弱熵解的大时间渐进形态等方面都取得了一系列重 要成果然而对于实际问题来说，大多数都是有边界的，因此对具有边界条件 的双曲型守恒律整体弱熵解的研究有着重要的理论与应用意义 1 2 非线性双曲守恒律的初边值问题 本文将考虑下列一维单个守恒律方程的初边值问题 ， it t + ，( 让k = 0 ，0 0 其中t 0 ( z ) ，t 3 ( t ) ，埘( t ) 是三个不恒等的常数，f ( u ) 俨 按照流函数的凸性，我们可将其分为两种情况； 1 流函数为凸的情形t 铲 0 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 2 流函数为非凸的情形：f ( u ) 只有一个拐点缸。，满足 ( t 一i t o ) ，( “) 0 ，t ( 1 2 4 ) 非线性双曲守恒律方程的初边值问题在捞e 体力学，交通流理论中有着直接的研 究背景和重要意义( 【1 7 】，【4 5 】) 近年，b u s t o s 等人( 【8 】，【1 0 】，【1 1 】，【1 2 j ) 以单个 守恒律方程的初边值问题为模型研究一维沉积学的实际问题 与初值问题相比，双曲型守恒律初边值问题的主要困难在于由于边界的出 现而导致的困难这表现在；一方面双曲型守恒律组的初边值问题在通常情况 下是不适定的，甚至方程组是线性的情形，另一方面由初始扰动引起的非线性 初等波碰到边界时会受到边界的干扰，并与之产生相互作用，边界迹与边界数 据不一致，这样就会产生边界层由于边界层的出现，使得非线性双曲守恒律 的初边值问题的研究比相应的初值问题更为复杂和困难其中问题的关键在于 如何合理的给出边界熵条件来保证满足物理意义的整体弱解的适定性单个守 恒律的初边值问题首先由b a r d o s - l e r o u x - n e d e l e cf 1 3 开展研究，他们利用粘性 消失法和k r u z k o v 方法在有界变差函数类中分别证明了单个守恒律初边值问题 的整体弱熵解的存在性和唯性文【4 1 】中还研究了在有界可测函数类中单个 守恒律初边值问题的整体弱熵解的唯一性其研究的核心是边界熵条件，它仅 仅要求边界条件与解的边界值满足一个不等式这使得对双曲型守恒律初边值 问题的研究变得十分有趣，同时也有相当的难度 j o s e p h 【2 2 利用粘性消失法和h o p f - c o l e 变换方法研究了最简单的单个守 恒律h 0 p f 方程的初边值问题，文【2 6 】，【2 7 】推导了具有凸条件的单个守恒律初 值问题的整体弱熵解的l a x 型表达式文】利用折线逼近法研究没有凸条件 的单个守恒律一般初边值问题的整体弱熵解的存在性 对于守恒律方程组的初逸值问题，文【2 0 】研究了守恒律方程组的的边界熵 条件，文【4 0 】，【2 4 讨论了双曲守恒律方程组的边界层等问题，文【1 6 】利用补偿列 紧粘性消失法证明了等熵流方程组初边值问题的整体弱熵解的存在性文脚】 中y a o - s h e n g 利用d u b o mf 和l ef l o c hp 在j d i f f e q u 8 ( 1 9 9 8 ，7 1 ) 中所得 到的结果，在边界上得到了一个边界熵条件，最终构造了一种含有乒波解的一 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 4 类双曲型守恒律方程组的初边值问题的解 由于边界条件的影响，关于守恒律方程初边值问题的整体弱熵解的结构以 及解的大时间形态等方面的研究比相应的初始值问题更为困难，文 8 】对用来 模拟一维沉淀学的实际问题中的两端有边界的单个守恒律问题就具有三段常值 的某些特殊初边值的情形构造了整体弱嫡解，其解的结构与相应的初始值问题 类似，而且他们没有得到关于具有三段常数值的各种初边值的一般结果 对于一端有界的单个凸守恒律方程具有初值为有限个间断点的分段光滑函 数和边界值为常数函数的初边值问题，文【2 9 】讨论了初等波与边界的相互作用， 给出了初边值问题弱熵解的一个构造方法，澄清了弱熵解的结构和边界性态， 并发现了在单个凸守恒律方程初边值问题的解结构中不同于相应的初始值问题 的新现象，即稀疏波与边界相互作用可以反射激波对于两端有界的单个凸守 恒律具有初始值和两端边界值均为常数的初边值问题，文m 】研究了初等波与 两边边界的相互作用及解的大时间性态，并发现了在解的大时间性态中有与初 始值问题不同的现象，即在两边边界上，疏波都可以与边界相互作用并反射激 波 对于非凸单个守恒律的初始问题，由于接触间断的出现，使得关于弱熵解 的几何结构和渐进性态的研究变得困难关于流函数具有有限个拐点的单个守 恒律方程，文【17 】使用特征方法在一类分片光滑解中构造了初始值为一般有界 可测函数时初始值问题的整体弱熵解的存在性当初始值为有界的局部有界变 差函数时，文 1 8 】利用折线逼近法对具有一般非凸的单个守恒律初始值问题构 造了一类分片常数的近似解，并由此得到整体弱熵解的存在性文【1 9 1 对流函 数其有个拐点的非凸单个守恒律方程初边值问题给出了弱熵解的个构造方 法，澄清了弱熵解在边界附近的结构，并发现单个非凸守恒律方程初边值问题 的解结构中有不同于相应单个凸守恒律方程初边值问题的现象，即一个接触或 非接触激波碰到边界，边界弹回一个非接触激波 单个守恒律方程的数值方法作为计算流体力学的一个重要组成部分已经有 了较成熟的发展，例如，一阶单调格式中的g o d u n o v 格式，l a x - h - i e d f i c h s 格 式，这些格式在计算过程中不会出现非物理振荡，并且还能保证非线性稳定性 在高阶格式的设计中，为了减少在计算过程中会出现非物理振荡从而影响计算， 人们引入了保证非线性稳定性的机制，以提高在间断处数值解的精确性这些 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 5 年来，人们建立了很多高分辨率格式，它们在解的光滑区域具有高阶精度，在 间断附近为很陡的结构而非振荡，见f l 】 【2 】，【3 】，【5 】但是这些算法主要都是研 究初值问题，并没有涉及到用于某一种具体初边值问题的算法的设计 1 3 守恒律方程的g o d u n o v 格式 1 9 5 9 年，g o d u n o v 在其博士论文中提出了采用l r j e m a n 解求解双曲型方程 的格式，取代之前直接将e i d e r 方程离散为差分方程求解流场的做法，现已发 展为一类计算格式，称为g o d u n o v 型格式其做法是将求解区域分解为很多不 重合的小子区域，并假设计算变量在小区域内为常数，这样在子区域的界面处 就形成了r i e m a n n 问题通过求解界面的r i e m a n n 问题，计算通过界面的通 量，从而计算子区域内各种变量的变化 g o d t m o v 方法因其具有模拟大梯度流动合自动捕捉激渡的能力，在空气动 力学中得到了广泛的研究合应用尤其是在使用近似r i e m a u n 解，如r o e ，h l l ， o s h e r ，h l l e 等，降低了求解界面流通量时间，并通过重构形成高精度格式后， 这种格式更加具有吸引力 对于一阶g o d u n o v 方法，具有很好的性质，如由其得到的弱熵解满足熵条 件，其具有非线性稳定性【3 9 】等这种方法在单个守恒律的研究上起到了很重 要的作用，也相对比较成熟，但是在利用其研究非线性单个守恒律的初边值问 题上至今相应的结果还比较少，在非线性单个守恒律方程的初边值问题中，由 于在边界中要求满足边界熵条件，对于单个初边值问题的弱熵解的数值模拟就 变的困难，因为要使得在边界上的数值解满足边界熵条件为此我们就必须选 择一种边值，以及相应的边界处理方法 1 4 主要工作 本文的主要目的就是分析一维单个守恒律方程凸流和非凸流的两种情况。 利用理论上的边界熵条件，得到相应的数值边界和相应的边界处理方式这种 算法是基于g o d u n o v 格式的事实上，我们要求做这样的一种数值边界处理： 当物理区域( 本文中的物理区域就是区域( o ，1 ) 1 0 ，+ ) ) 中的值满足边界熵条 件，则对其做相应的处理；相反，若边物理区域中的值不满足边界熵条件，则要 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 6 对其进行另外的处理，以使得其值满足边界熵条件具体的说，我们需要做以 下两件事情：第一，如何判断物理区域值在边界上是否满足边界熵条件；第二， 如何处理满足边界炳条件的情况和不满足边界熵条件的情况在本文中，我们 在边界上以边界值和相邻物理区域值为两段间断值精确求解一个r i e m a n n 问 题，以r i e m a n n 解的波的走向判断物理区域值是否满足边界熵条件，然后，利 用r i e m a n n 解的情况决定边界的处理方式数值试验表明这样的方法是有效 的，我们能够将模拟出本文一开始提到的一维单个守恒律方程初边值问题解与 相应初始值问题不同的新现象t 在凸流情况下，疏波与边界作用可以反射激波； 在非凸流情况下，接触激波或非接触激波与边界作用可以反射非接触激波 由于所考虑的只是单个守恒律方程的情况而且所用方法只一阶精度，因此 本文的结果还是非常初等的，然而也是本质的我们期望在这基础上能在以后 的研究之中将我们的这一算法精度提高并推广至方程组的情况，以期望得出新 的结论 1 5 基本概念，理论，标记 三 ( 1 5 1 ) 其中t “t r 为常数，分别称为左右常数状态对于r i e m a n n 问题( 1 4 5 ) ，其 中f ( u ) 是任意可以是凸或非凸流函数，它的满足熵条件的解由多个激波间断 和稀疏波构成，激波都须满足熵条件这些激波和疏波的初始时刻都由原点出 发，因此解具有扇形结构r i e m a n n 问题的解可以通过对流量函数f ( u ) 的图像 构造凸包来获得，也即所谓的橡皮筋原理( 见f 4 3 】) 首先比较r i e m a n n 初值中 均，脚的大小，如果t r 蛳，则构造集合 ( “，) i t r “铆，y ，( t ) ) 的凸包， 它是包含原来集合的最小凸集此时相当于用一条橡皮筋从上面来包裹函数曲 线，( u ) 然后观察凸包的上界，其与f ( u ) 重合的部分对应着解中的稀疏波，而 仉n z $ m 饵伽 产 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 7 不重合的部分对应着解中的一个激波如图1 5 1 ，此时的r i e m a n n 船为 l t = 蛳， 矿( l a x se n t r o p yc o n d i t i o n ) 这里t 一= u ( x ( t ) 一0 ，t ) ，+ = ( t ) + 0 ，t ) ( 3 ) 迎拜浦兼许i 5 d 和i 5 5 ) 晟i ； 俐t 上( z ，0 ) = t o ( z ) a e 0 $ 1 2 假设在非凸流函数情形“2 彤式或“2 秒成立一个具有分段光滑间 断的分片光滑函数u ( z ，t ) 是初边值问题“2 在p 5 砂式意义下的弱熵解当 且仅当下列条件满足 口，在其光滑区域内，t i ( 。，t ) 满足p 2 纠的第一个方程； ! ! ! ! 生占塑盔兰堡主兰垡堡塞! 俐若z = z ( t ) 是“( 善，t ) 的一条弱间断，则掣= ，m 。( t ) 如若 z = 茹( t ) 是u ( x ，t ) 的一条强间断，则 警= 警( r a n l 【i n e h u g o n i o tr e l a t i o n ) 并且 百f ( u - ) - - f ( u + ) 掣芒二掣( o l e i n n ce n t r o p yc o n d i t i o n ) 缸一一矿 一 u 一一“ 、 这里一= u ( x ( t ) 一o r t ) ，札+ = u c x c t ) - i - 0 ，t ) ( 3 ) 逝拜淹条侮( 1 5 4 ) 扣( 1 5 5 ) 戴i f 秒u ( x ，0 ) = 蛳( z ) 口e 0 z 1 标记与符号 冗( “撕；( n ，6 ) ) 表示一个从左至右连接仳l 和u ，的以( a , b ) 点为中心的中心稀 疏波； f 铆， z a + 厂( 铆) o 一砷， r ( u l ，脚；o ，) = ( ，) 一1 ( 善詈) ， o + ，( 铆) o 一 z + ，7 ( 坼) ( t - 6 ) s ( u t ，坼；( a ，6 ) )表示个从左至右连接铆和脚的由( a , b ) 点发出的非接触激 波z = x ( t ) ， 眠h 驴 ：x a t + e 掣( 。t - b ) , 它满足r a n k i n e - h u g o n i o t 条件和l a x 激波条件 x 化1 ；丛) 二幽 她一t r ，7 ( 坼) x 他) = ，( t r ) ； 驴，脚)表示一个连接t l 和坼的双边接触激波= x ( t ) ，它满足( 1 5 7 ) 式 和接触条件，( u s ) = x ( t ) = ( u ，) ； 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 0 1 6 本文结构 本文将按如下结构组织t 第一章是引言，分析单个守恒律方程的初边值问题研究的最新进展情况，物 理背景，然后介绍了本文研究的基本思路，最后介绍了一些本文要用到的基本 概念，重要的定理，以及常用的符号标记； 第二章将介绍一维单个守恒律方程初边值问题整体弱熵解的结构及其大时 间性态，包括流函数，( t i ) 为凸和非凸的两种情形，这一章是我们进行第四章的 算法设计的理论基础 第三章详细介绍用于计算单个守恒律方程初边值问题整体弱熵解算法构造， 其中分为凸流和非凸流两种情形在这一章，我们将重点分析怎么样利用边界 熵条件来设计算法的边界值。以及边界处理方法 第四章给出了一些具有代表性的数值例子来检验我们的算法 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 第二章单个守恒律方程初边值问题整体弱熵解的结构 在本章，第一节介绍一维单个守恒律方程初边值问题整体弱熵解的结构； 第二节介绍一维非凸单个守恒律方程初边值问题整体弱熵解的结构 2 1 凸流函数初边值问题整体弱熵解的结构 本节我们将简单介绍凸流函数的初边值问题( 1 2 1 ) 的整体弱熵解的构造 理论，至于其中的理论证明可参考【2 9 】 对于单个守恒律方程，c h a n g - t i s i a o 在文【1 5 】中讨论了基本波在z t 上半 平面( 一o o ，+ o 。) ( 0 ，+ ) 上的交互问题，并且得到了下面c a u c h y 问题的弱熵 解的结构； i 仇+ ，扣k = 0 ，0 r 时，在边界z = 1 上不满足引理1 5 2 ( 1 ) 的条件( 在边 界o = 0 上同理) ，则以下式为方程( 2 1 1 ) 新的初始值， ”c 毛矿，= i 曼，t 一。，三三兰 ， 。，z ， 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 在( 一o o ，+ o 。) p + ，) 上求解相应的c a u c h y 问题，以其弱熵解替换口( z ，t ) 在 ( 一o 。，+ o o ) i t ，o 。) 上的解这样我们就可以把口( z ，t ) 扩展到( 一o 。，o o ) 【0 ，c o ) 然后再让u ( x ，t ) = v ( x ，t ) l ( o ，1 ) 。( 0 ，+ 。) ，我们可以证明这样得到的让( z ，t ) 是满足 引理1 5 2 ( 1 ) 的条件的( 见【2 9 】) 按照这样的方式，我们就得到了初边值问题 ( 1 2 1 ) 在条件( 1 2 2 ) 下的整体弱熵解 下面我们分六类情形来介绍一下问题( 1 2 1 ) 在条件( 1 2 2 ) 下的中的弱熵 解的结构： ( 1 ) t 一= t h “+ ； ( 2 ) u r n = “+ t 一； ( 3 ) t l 一 u m t 一； ( 4 ) “+ t m “一； ( 5 ) t 一，t “ t h ； ( 6 ) t t 。 让，t “ 第( 1 ) ( 2 ) 类比较简单，在此省略 情形三lt 一 1 m 1 工+ 此时问题问题( 1 2 1 ) 在条件( 1 2 2 ) 下的中的弱熵解为，从( 0 , 0 ) 点或( 1 , 0 ) 点发出的稀疏波在区域( 0 ，1 ) ( 0 ，+ ) 上的限制，可如下表示t t 扛，t ) = r ( ，q ；( 1 ，o ) ) | ( 0 1 ) 。( 0 佃) t 一 t ，i u + 0 ， 冗( t t ，l ，o ；( 1 ，o ) ) i ( 0 1 ) ( o + ) “一 t ，n 0 t l ， 0 一 0 = u m 札+ ， r ( o ，“m ；( o ，o ) ) l ( 0 ，1 ) 。( o ，+ 。) t 一0 t b n t + ， 五( t 正一，；( o o ) ) | ( 0 1 ) ( 0 ，+ 鳓0 让一 钍m t + t 膏形四：“+ ，( t 。) ，此时弱熵解为由( 0 , 0 ) 点发出的激波和由( 1 , 1 ) 点发出的激波组成，且这两个激波会在某一时间t 相交，并形成新的激渡表 示如下 如归 o m - ，u r n “o ，0 ) 酬q “1 ，o ) ) 岫】。1 0 “】， 【s ( 牡+ ；( o l ，t 圳【0 q ，t ( t l ，) 这里( o l ，t 1 ) 为激波s c u 一，u m ；( 0 ，o ) ) 和s ( t 。，q ；( 1 ，o ) ) 的交点坐标 情形五：钍+ t 一 将此类情形分成五种子情形； ( 1 ) t 一，廿+ u , n s0 ； ( 2 ) 0 u 一，t h 或t 一 0 或t + 0 t 一 “m ，( t + ) s f ( u 一) ； ( 3 ) n 一，“+ 0 嘶。，( t ，。) f ( u + ) 或“+ 0 一 ，( t l 一) ，( t 。) ； ( 4 ) 缸+ ，( u 一) 或缸一，“+ 0 ， t 仇，f c u + ) ，( t m ) ； ( 5 ) t l + 0 “一 f c u 一) 或t 一，“+ 0 t m ，( t + ) = ，( t 竹1 ) 。 下面按照上面的分类分别介绍 ( 1 ) 缸一，q 0 此时问题问题( 1 2 i ) 在条件( 1 2 2 ) 下的中的弱熵解为由( 1 , 0 ) 点发出的激 波在区域( 0 ，1 ) ( 0 ，+ o o ) 上的限制，最终激波被边界z = 0 吸收，表示如下； t ( z ，t ) = s ( ，；( 1 ，o ) ) l ( o 1 ) 。( 0 ，佃) ( 2 ) 0 s “一，t l 或“一 0 或u + 0 t 一 t l f ，l ，) ，( 钍一) 若0 t 一，札 仳m ，“一0 或” 0 牡一 t m ，( u + ) ，( t 一) 弱熵 解为由( 0 , 0 ) 点发出的稀疏波在区域( 0 ，1 ) ( 0 ，+ o 。) 上的限制，表示如下： ( z ，t ) = r ( t 一，；( o ，o ) ) l ( 0 1 ) 。( o 扣) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 若0 = “一，t + ，或“一 0 s t + t 。弱熵解为由( 0 , 0 ) 点发出的稀疏 波在区域( 0 ，1 ) ( 0 ，+ o 。) 上的限制，表示如下 “o ，t ) = r ( o ，t ，i ；( o ，o ) ) l ( 0 1 ) 。( o 佃) ( 3 ) 钍一，钍+ 0 ，( ) f ( u + ) 或t + 0 t 一 ，托一) ，( t h ) 此时在( o ，o ) 点发出一支中心疏散波r ( u 一，；( o ，o ) ) l ( 0 1 ) 。( o ，+ 。) ，而在 ( 1 ，o ) 点处发出一支右向的激波s ( u m ，t + ；( 1 ，o ) ) f ( 0 1 ) ，( o ，佃) ，他们会在某一时间 t l 处相交，此时会生成一支新的激波z = x ( t ) ，它将穿过疏散波最终被边界吸 收 ( 4 ) “+ s ( u 一) 或一，u + 0 ， u m ，f ( u + ) ，( t 竹i ) 此时，将出现我们在一开始提出的不同于初值问题的新现象，疏波与边界 z = 1 作用反射激波首先，在( o ，o ) 点发出一支中心疏散波r ( u 一，“+ ；( o ，o ) ) | ( 0 1 ) 。( o ，+ 。) 它会与边界相碰，之后其中的一部分会被边界z = 1 吸收，但在某一时刻以处 与边界相作用，反射激波z = x ( t ) ，最终在t 。处激波穿过疏散波被边界z = 0 吸收，见图 2 1 1 t t 。 t 彦 ) 、 、 豸t 一歹 叉 = 厶 ( t ) 图2 1 1 其解可如下表述：当0 t r ， 出力2 临r ( ou m 揣；溉1 ) 【 ， ( o ，o ) ) i 。( o ，1 ) ， t t 。 珍 ? t 。 黧， ；x t j u + f ( u 一) ， “一，t 上+ 0 ，( t + ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 ! ! 当t 。 t t u ( z ，t ) = “+ 其中 ir ( u 一，“( o ，o ) ) i ( 0 以卸一) ，札+ ，( 一) ， 【r ( o 池；( o ，o ) ) l ( o “( t ) ) x ( t ) ， “一，“+ 0 ，( t + ) 其中，t 。为满足，( 乱) = f ( u + ) 的点，茹= x + c t ) 是从( 1 ，t 。) 点反射的激波 在 ( z ，t ) l o s z l ，t 以) 上的限制，z = x ( t ) 由下式得到； j 警= 删u - - u + ，f ( u 一) = 7 x ，协一) 李，( u 。) ix ( t 。) = 1 ( 5 ) t + 0 u 一 ，( t 工一) 或t 一，t + 0 t m ，( m ) = ，( t + ) 此时在( o ，o ) 点发出一支中心疏散波r ( u 一，+ ；( o ，o ) ) l ( 0 1 ) x ( o + 神，它会与边 界相交，相交后即在交点处厶与边界相作用，反射激波z = x p ( t ) ，最终在t 。 处激渡穿过疏散波被边界z = 0 吸收，见图2 1 1 ( 6 ) 其解可表述如下t 俐= 卜嚣竺 k 1 ) x ( o ，佃) 吣“瑚 情形六“，l 一，让+ 和情形五相似，将其分成五小类t ( 1 ) 0 s t m t 一，t + ； ( 2 ) u m t 一，u + 0 或u r n t 一0 t + 或t m t + 0 “一且 ，扣一) ，( ) ，f ( u 一) s ，( u + ) ； ( 3 ) t h 0 ， u 一，+ 且f ( u 。) f ( u 一) ； ( 4 ) “。 u + s0 “一且，( q ) f ( u 一) ，( ) 或t h 0 “+ ，让一且 i , 一0 5 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 6 ( 5 ) t 。 0 ，t 。 8 + “鼍斧p 一6 j 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 7 断，只含左或右接触激波间断，因而，一个中心扩张波e ( t 一，+ ) 或中心压缩波 c ( u 一，珏+ ) 分别为下列情形之一；r ( u 一，t + ) ，s ( t 一，“+ ) ，s z ( u 一，缸+ ) ，( 一，“+ ) ，r ( t i 一，t 十) u s 。( t 一，u + ) ，s ( 一，1 工+ ) u r ( u 一，1 王+ ) 根据“和u 。的大小，将此情形分成下列三种子情形 ( 1 ) “一 “m t | + ； ( 2 ) t m t 一，t + ； ( 3 ) 缸一，“+ u m 情形一t 一 u m 这时，其相应初始值问题的弱熵解v ( x ，t ) 可描述为，在z t 平面上的点 ( 0 , 0 ) 和( 1 , 0 ) 处