（计算数学专业论文）反演技术和q级数恒等式.pdf

摘要 本文探讨了反演技术及其等价的形式在寻求和证明超几何级数恒等式方面的应用。 具体内容如下： 1 初文昌 2 6 】给出了g o u l d h s u 反演的二重推广的q - 模拟形式，但没有找到一个 具体的恒等式满足g o u l d h s u 反演二重q - 模拟形式而给出具体的应用我们将其应用 于级数和公式6 九 4 0 ，( i i _ 2 0 ) 】和w a t s o n 变换公式s 7 1 4 0 ，( i i i 1 7 ) 】中，得到了包括g e a n d r e w s 【( i i 1 7 ) 【4 0 的结果在内的许多漂亮的终止型q 一级数恒等式，部分解决了初文昌 2 6 的公开问题。 2 鉴于初文昌 2 6 】提出的公开问题，本文建立并证明了q - - z 重反演公式，然后将口三 重反演公式用于某些基本超几何级数导出了一些新的求和公式，并推广了g e a n d r e w s 的结果【4 0 ，( i i 1 7 ) 】，并用于s l a t e r 7 9 的恒等式，得到了很多的终止型恒等式最后建立 初文昌得到的g o u l d h s u 4 8 反演多重形式的酽模拟 3 本文推广了b a i l e y 变换，b a i l e y 引理，b a i l e y 对等概念以及g e a n d r e w s 的几个 重要的结果，并给出了他们在超几何级数变换公式，r o g e r s r a m a n n j a n 型恒等式，以及 多重的r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式等方面的一般结果。并且具体的讨论了带参数( a ，q ，2 ) 的b a i l e y 对和带参数( a ，q ，3 ) 的b a i l e y 对的具体应用得到了一些新的r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式由此说明我们又找到了一个新的证明和发现r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式的有 效方法。 4 给出了g a s p e r 4 2 】矩阵反演公式的具体应用，得到了j a c k s o n 的求和公式( 【4 0 ， ( i i 2 2 ) ) 的双基推广并由此给出了2 a + 6 佴，2 + 5 ，2 + 6 + 5 等一般形式的封闭公式同 时也得到了含四个独立基的变换公式及其应用。并由此得到了几个基本超几何级数求和 公式及其极限情况 5 本文用f h j a c k s o n 的恒等式【5 5 】给出了s u b b a r a o v e r m a 【8 3 】， j a i n - v e r m a 8 5 ，初文昌 2 3 】，g a s p e r r a h m a n 3 9 】等推广的g a s p e r 4 2 的双基和公式的统一形式， 同时也给出了这些公式的对偶公式，最后给出了多基变换公式的例子。并给出了g a s p e r 双基和公式的另一个推广形式。 关键词：基本超几何级数，反演公式，矩阵反演公式，b a i l e y 对，b a i l e y 引理， b a i l e y 变换，g 二重反演公式，g - 三重反演公式，双基和公式，对偶公式，恒等式。 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h ea p p l i c a t i o n so ft h ei n v e r s i o nt e c h n i q u e s a n di t se q u i v a l e n t f o r mi nf i n d i n ga n dp r o v i n gt h eh y p e r g e o m e t r i cs e r i e si d e n t i t i e s t h ec o n t e n ti s a sf o l l o w s ： 1 c h u 2 6 1d e r i v e d t h eq - d u p l i c a t ei n v e r s es e r i e sr e l a t i o n s u n f o r t u n a t e l y ，h eh a sn o tf o u n d a na p p r o p r i a t ei d e n t i t yw h i c hf i t si nt h eq - d u p l i c a t ei n v e r s es e r i e sr e l a t i o n s w ef i n dt h a tt h ev e r y - w e l l - p o i s e d6 5 【4 0 ，( i i ，2 0 ) 】s e r i e sa n dw a t s o n st r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a 4 0 ，( i i i 1 7 ) c a nf i to u r s c h e m ea n d g i v es o m et e r m i n a t i n gs u m m a t i o nf o r m u l a s ，i n c l u d i n g t h o s ed u et oa n d r e w s ( i i 1 7 ) 4 0 】，b yu s i n gt h eq - d u p l i c a t ei n v e r s es e r i e sr e l a t i o n s 2 f i r s t l y , w ec o n s t r u c t e dq - t r i p l i c a t ei n v e r s es e r i e sr e l a t i o n sa n d u s et h e mt od e r i v es o m e n e ws u m m a t i o nf o r m u l a s ，i n c l u d i n gt h eg e n e r a l i z a t i o no fg e a n d r e w s i d e n t i t y 【4 0 ，( i i 1 7 ) 】 s e c o n d l y ，w eg e ts o m et e r m i n a t i n gi d e n t i t i e sb yu s i n gs l a t e r l si d e n t i t i e s 7 9 f i n a l l y ，w ee s t a b l i s ht h eq - m u l t i p l i c a t ei n v e r s es e r i e sr e l a t i o n s 3 w ee s t a b l i s ht h eg e n e r a l i z e db a i l e y st r a n s f o r m a t i o n ，b a i l e y sl e m m a ，b a i l e yp a i r s a n ds o m eo fg e a n d r e w s si m p o r t a n tr e s u l t sa sa p p l i c a t i o n s ，s e v e r a li d e n t i t i e so fr o g e r s r a m a n u j a nt y p ea n d t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a so fb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e sa r ed e m o n s t r a t e d ， e s p e c i a l l y ，w eg i v et h ec o n c r e t ea p p l i c a t i o n so f ( a ，q ，2 ) 一b a i l e yp a i r sa n d ( a ，q ，3 ) 一b a i l e yp a i r s 4 w es h o ws o m en e wt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a sb yu s i n gb r e s s o u d sm a t r i xi n v e r s e a s a p p l i c a t i o n so fg a s p e r l sm a t r i xi n v e r s e ，w eg e n e r a l i z ej a c k s o n l sb i b a s i cs u m m a t i o nf o r m u l a ( 4 0 ，( i i 2 2 ) 】) a n dg e tt h ec l o s e df o r mo fg e n e r 柏2 a + 6 i 鸭 + 5a n d2 a + 6 k + 5 at r a n s f o r m a t i o n f o r m u l ac o n t a i n i n gf o u ri n d e p e n d e n tb a s e si sf o u n da n da p p l i e dt od e r i v eaf e ws u m m a t i o n f o r m u l a sf o rb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s t h eo r d i n a r yh y p e r g e o m e t r i cl i m i t so ft h e s ef o r m u l a s a x ea l s oo b t a i n e d 5 b yu s i n gf h j a c k s o n si d e n t i t y 5 5 ，w ed e r i v eag e n e r a l i z a t i o no fs u b b a r a oa n d v e r m a ss u m m a t i o n f o r m u l a ( 5 1 6 ) w h i c h g e n e r a l i z e d c h u s s u m m a t i o n f o r m u l a ( 5 1 5 ) i n v o l v i n g f o u ra r b i t r a r ys e q u e n c e sa n do t h e rg e n e r a lb i l a t e r a ls u m m a t i o n s s u b s e q u e n t l y , w e e x h i b i tt h e d u a lf o r m u l a sf o rt h ea b o v em e n t i o n e di d e n t i t i e s a n dw ed e r i v eaf e wt r a n s f o r m a r i o nf b r m u l a s w i t he i g h ta r b i t r a r ys e q u e n c e s f i n a l l y , a n o t h e rg e n e r a l i z a t i o no fg a s p e r ，sb i b a s i cs u m m a t i o n f o r m u l ai sa l s oo b t a i n e d k e y w o r d s ：b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ，i n v e r s i o nr e l a t i o n ，m a t r i xi n v e r s e ，b a i l e yp a ir s ， b a i l e yt r a n s f o r m a t i o n ，口- d u p l i c a t ei n v e r s es e r i e s r e l a t i o n s ，q t r i p l i c a t ei n v e r s es e r i e sr e l a t i o s ， b i b a s i cs u m m a t i o n f o r m u l a ，d u a lf o r m u l a ，i d e n t i t y 0 前言 基本超几何级数的研究始于1 7 4 8 年，以e u l e r 3 6 将无限乘积 。 ( 吼口) ：= i - i ( 1 一q k ) k = l 看作一个正整数n 的分拆数p ( n ) 的发生函数为标志。 在此之后，e u l e r 【3 7 和p f a f f 7 3 研究了超几何级数 。州翻= 薹牿产 ( 0 叫) 的许多重要的性质其中升阶乘( n ) e 被定义为 ( a ) k = o ( + 1 ) - - ( a + k 1 ) 在1 8 1 2 年，g a u s s 【4 3 在其论文中进一步对这个超几何级数( 我们称它为g a u s s 级数或 一般超几何级数) 进行了广泛地研究并证明了下面的含7 函数的求和公式： z 毋 制= 等景掣 ( 。毗) 这里bs0 或者r ( c ) r ( a ) + r ( d ) 等到1 8 4 6 年，h e i n ef 4 9 】 5 0 5 1 对一般超几何级 数的q 模拟形式一口超几何级数进行了系统的研究。铲超几何级数通常也被称为基本超 几何级数或口- 级数。h e i n e 得到了与g a u s s 的一般超几何级数2 f l 并行的基本超几何级 数2 妒，的系统的理论。相继得到了2 毋1 的变换公式，g a u s s 的超几何级数2 凡的求和公 式的q - 模拟，二项式定理的q _ 模拟，j a c o b i 的三乘积公式以及其他的有关幂级数，y 函数和卢函数的一些公式的q 模拟在这期间j t h o m a e 【8 4 和j r o g e r s 7 4 【7 5 】在这 方面的工作也起到了主导的作用。直到1 9 世纪后期，f h j a c k s o n 开始系统的研究基本 超几何级数的理论，发表了几十篇文章，研究发展了q 微分，q 积分理论并且推导出了 由a c d i s o n ，j d o u g a l l ，l s a a l s c h i i t z ，f j w w h i p p l e 和其他人发现的超几何级数的 求和公式和变换公式的q - 模拟，得到了很多新的漂亮的恒等式。而在1 9 3 0 年到1 9 5 0 年 的期间，w n b a i l e y 1 4 】 1 5 l 【1 7 】【1 8 在超几何级数和基本超几何级数方面也得到了很 多重要的结果，一些数学家称w ，n b a i l e y 的最大贡献是他发现了b a i l e y 变换。即：如 大连理工大学博士学位论文：反演技术和g - 级数恒等式 果 伽，c q ，) 和 而，6 1 ，) 是两个数列，并且满足 则 及傩= 矗嘶一女嘶+ 女 r = k 这里假设所有的无限和都是一致收敛的 1 2 ，p2 4 1 。 这一个b a i l e y 变换至今还有很多的数学工作者在不断地给出它的应用w n b a i l e y 得到的其它重要结果是他对j a c k s o n 的8 7 求和公式的非终止推广和对w a t s o n 的8 咖7 级 数和平衡的4 曲3 级数变换公式的推广这一方面的推广现在仍然可见于各种文献中。在五 十年代，s e a r 【7 6 1 推导出几个有关3 咖2 ，平衡的4 妒3 和。+ t 奴的变换公式而且在这同一 时期，g n w a t s o n 和l j s l a t e r 从c o n t o u r 积分的观点发展了基本超几何级数理论在 这个理论逐步完善的同时，双边基本超几何级数理论也逐步地形成。大约在六十年代左 右，r pa g a r w a l 2 j 2 和s l a t e r 8 0 】分别出版了他们各自在基本超几何级数方面的专著 也是在这一个时期，g e a n d r e w s 开始了他在数论方面的研究。从此人们看到了基本超 几何级数的求和公式和变换公式在分拆理论的作用，使用这一种方法，g ea n d r e w s 对 很多典经的恒等式给出了新的简单证明，在7 0 年代中期，他同r a s k e y 在基本超几何级 数这一领域的理论上取得了丰富的成果，正是由于他们的工作使得对基本超几何级数理 论方面的研究工作至今还是一个非常活跃的领域。由于r a s k e y 最初的兴趣是研究正交 多项式，但基本超几何级数理论给他和他的同事对口积分和j a c b i ，g e g e n b a u e r ，l e g e n d r e 、 l a g u e r r e 和h e r m i t e 等经典正交多项式的q 推广提供了理想的q _ 环境。由于特殊函数也 能划归到超几何级数理论，我们可以设想它的应用范围之广泛。a n d r e w s ，a s k e y 及r o y 在( 4 】中阐述了基本超几何级数在特殊函数理论中的重要性。基本超几何级数理论的应用 并不限于上面提到的数论和数学理论。它在根系( m a c d o n a l d 恒等式) ，结合方案，组合 学，差分方程，李代数和李群，物理学，统计学等方面都有广泛的应用g e a n d r e w s 早在他的文章 5 和书 1 2 中对基本超几何级数的应用给出过一些综述 鉴于基本超几何级数理论的应用价值，人们用各种方法来研究基本超几何级数使 得对它的研究方法逐渐形成了三大类，即：w z 一方法，变换的方法和反演的方法。 w z - 方法是由h w i l f 和d z e i l b e r g 【8 7 】 8 8 】 8 9 ( 9 0 提出的，借用g o s p e r 算法实现 了恒等式的机械化证明w z 方法能解决大多数的二项式恒等式，超几何级数和基本超 几何级数恒等式的机械化证明但对某些含组合数等恒等式的证明还是有其局限性的。 变换方法就是用简单的恒等式导出复杂的恒等式其核心的方法就是利用前面提到 的b a i l e y 变换如果b a i l e y 变换和一个确定的求和公式相结合，我们就得到了b a i l e y 引 理【1 2 】 7 】，b a i l e y 引理在证明和导出恒等式方面是一个更有效的工具b a i l e y 引理，作 为b a i l e y 变换的最重要的应用，是由b a i l e y 1 7 首先提到，并且描述了其证明的思想， 2 抖 叶蛳嘶 。脚 = 觑 如凤 = 第0 章前言 但是他并没有写出这个引理的证明。而是由g e a n d r e w s 首先在其文章 1 2 】中建立了 b a i l e y 引理并利用迭代“b a i l e y 链”的概念导出了许多的争级数恒等式。g ，e ，a n d r e w s 在文f 1 1 1 中引进了”b a i l e y 对”和“b a i l e y 链”的概念，由此奠定了发现和证明q 一级数 恒等式的b a i l e y 链理论的基础。在 1 中，我们可以找到b a i l e y 引理的的另一个形式，它 将b a i l e y 链的概念延伸到了2 维格上。d b r e s s o u d ，m i s m a i l 及d s t a n t o n 在文【2 1 中 也考虑了不同基口下的b a i l e y 引理的不同版本并得到了很多的哥级数变换公式和多维的 r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 反演的方法就是利用反演关系来证明或者导出恒等式。即对一个恒等式的证明可简 化为对其对偶恒等式的证明另一方面，给定一个已经知道的恒等式，通过反演关系有 可能导出一个新的恒等式。那么其关键的问题就是如何给出一个反演关系和是否能找到 一个适合的恒等式。 反演关系的研究是从1 9 6 1 年开始的，在h ，w g o u l d 发表了一系列的研究一类特 殊的反演关系的文章之后，h wg o u l d 和h s u 4 s 发现了反演关系的一般形式而l c a r l i t z 【2 2 】给出了他们的反演公式的q - 模拟。g e a n d r e w s 证明了b a i l e y 变换就等价 于l c a x l i t z 的反演公式。也就是这时候g e s s e l 和s t a n t o n 4 5 4 6 】利用双基矩阵反演证明 了他们得到的l a g r a n g e 反演的q 一模拟也是c a r l i t z 的反演公式，即：g o u l d h s u 反演的q 模拟的特殊情况并用之导出了许多基本超几何级数的求和公式和变换公式及再次得到了 r o g e r s - r a m a n u j a n 类型的恒等式。b r e s s o u d 于 2 0 】给出了一个矩阵反演，既反演关系的 等价形式，并且于 1 9 】中考虑r o g e r s - r a m a n u j a n 类型的恒等式的有限形式时候也使用了 反演技术。a 1 - s a l a m 和v e r m a 【3 】也得到了重要的矩阵反演并给出了具体的应用g a s p e r 4 2 】发现了另一个重要的双基矩阵反演公式，这个公式推广了b r e s s o u d 【2 0 发现的矩阵反 演公式。而上面各反演公式的统一形式是由c k r a t t e n t h a i e rf 6 3 1 获得。c k r a t t e n t h a i e r 给出了一个很通用的反演关系并且也给出了几个在基本超几何级数方面的应用。所以用 反演技术来获得新的恒等式或验证恒等式的方法及其条件已经逐步成熟起来 初文昌f 2 3 2 4 】 2 5 j 2 6 】就反演技术在恒等式方面的应用发表了系列文章。并证实 了大多数的终止型的超几何级数恒等式都是c h u - v a n d e r m o n d e g a u s s ，p f a f f - s a a l s c h u t z 和 d o u g a l l - d i x o n k u m m e r 三大类超几何级数公式的对偶形式。为近一步发掘反演技术在超 几何级数方面的潜力，初给出了g o u l d h s u 反演的二重推广和多重推广，并应用于超几 何级数，得到了很多的漂亮的结果。例如，将其应用于s t a n t o n 8 2 】的结果，得到了包括 了g e ，a n d r e w s 1 3 】的重要结果在内的二百多个恒等式。同时给出了g o u l d h s u 反演的 二重推广的q - 模拟，但没有找到一个具体的恒等式满足g o u l d h s u 反演二重q - 模拟形 式而给出具体的应用 本文主要是以初文昌f 2 6 j 的公开问题为出发点，用反演技术来研究基本超几何级数 方面的问题。 在第一章，我们系统地讨论了一般的反演关系与矩阵反演之间的关系，将其具体地 应用于级数和公式6 如 4 0 ，( i i 2 0 ) 和w a t s o n 变换公式【4 0 ，( i i i 1 7 ) 】中，得到了包括了g 3 大连理工大学博士学位论文。反演技术和口- 级数恒等述 e ，a n d r e w s 【( t l ，1 7 ) 】 4 0 】的结果在内许多终止型争级数恒等式，回答了初文昌f 2 6 】提出的 公开问题。 在第二章，我们首先建立并证明了p 三重反演公式，然后将口- 三重反演公式用于某些 基本超几何级数导出了一些新的求和公式，并推广了g e a n d r e w s 的结果 4 0 ，( i i 1 7 ) 】 最后建立初文昌得到的g o u l d h s u 【4 8 反演多重形式的于模拟。 在第三章，我们首先将b a i l e y 变换用于m h i s m a i l 等人得到的结果【5 2 ，( 5 5 ) 中， 得到了新的变换公式，同时我们推广了b a i l e y 变换以及b a i l e y 引理，并给出了他们在超 几何级数变换公式，r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式，以及多重的r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等 式等方面的具体应用。 在第四章，我们先给出了b r e s s o u d 矩阵反演公式 2 0 的一个应用，得到了几个变换 公式。然后我们给出了j a c k s o n 的求和公式( 4 0 ，( i i 2 2 ) 】) 的双基推广并由此给出了一个 统一的公式。同时也得到了含四个独立基的变换公式及其应用 在第五章，由于s u b b a r a o 和v e r m af 8 3 j ，j m n 和v e r m a 【8 5 】，初文昌【2 3 】，g a s p e r 和r a h m 觚 3 9 从不同的角度推广了g a s p e r 4 2 证明的由c a r l i t z 2 2 ，a l s a l a m v e r m a 3 ，及 w m g o s p e r 得到的双基和公式。我们用f ，h j a c k s o n 的恒等式【5 5 给出了他们的统一的 公式，同时我们也给出了这些公式的对偶公式，最后我们给出了多基变换公式的例子 并用c ，k r a t t e n t h a l e r 于1 9 9 6 年发表的一个矩阵反演公式【6 3 】得到了g a s p e r 的双基和公 式的另一个推广。 4 铲二重反演和铲级数恒等式 在hw g o u l d 发表了系列研究一类特殊的反演关系的文章之后， h w g o u l d 和h s u 4 8 】发现了他们的反演的一般形式。由l c a r l i t z 2 2 给出了g o u l d h s u 反演公式 的q 模拟。而初文昌给出了g o u l d h s u 反演的二重推广和多重推广，并应用于超几何级 数，得到了很多的漂亮的结果，同时给出了g o u l d h s u 反演二重形式的q _ 模拟，但没有 找到一个具体的恒等式满足g o u l d h s u 反演二重q _ 模拟形式而给出具体的应用。我们首 先系统地建立起一般的反演关系与矩阵反演之间的关系。然后介绍初文昌【2 6 】最近给出 的g o u l d h s u 【4 8 】反演的二重形式及g o u l d h s u 反演的二重形式的q 模拟。我们成功地 将其具体地应用于级数和公式6 毋5 4 0 ，( i i2 0 ) 】和w a t s o n 的变换公式【4 0 ，( i i i 1 7 ) 中，使 用一些初等技巧得到了包括了g e a n d r e w s 【( i i 1 7 ) 1 4 0 的结果在内许多新的漂亮的终止 型铲级数恒等式。 1 1 超几何级数和基本超几何级数 定义ll ：超几何级数 ，只： 纠= n 妻= o 垫! ! ! ! ! 12 1 ：f ! ：2 1 ( b 1 ) 。( 6 2 ) 。( b 8 ) 。n ! 其中，( 。) o = 1 ，( n ) 。= 。( o + 1 ) ( 84 - 一1 ) ，n = 1 ，2 ， 我们称超几何级数，只为平衡的，如果 a l + 口2 + + 钟+ s = 6 l - 4 - b 2 + + b s + r 例如：( p r a f t - s a a l s c h i i t z 公式) s 恳 c ) l + ： 芒。一n ；， = 兰蒜 是一个重要的平衡的超几何级数恒等式。 定义1 2 ：q - 阶乘 ( n ；q ) n ：= ( 1 一) ( 1 一a q ) - - ( 1 一a q “一1 ) ，n 1 ，( o ；口) o ：= 1 ( 。；g ) n ：= ( ( 1 一a q 1 ) ( 1 一a q 一2 ) ( 1 一a q 一“) 】- 1 ，n 1 5 ( 1 1 2 ) 口 大连理工大学博士学位论文：反演技术和口级数恒等式 我们也经常使用g a s p e r p m h m a n 的紧凑记号 忙i ，0 , 2 ，a m ；口) n = ( a l ；g ) n ( 。2 ；口) n ( a m ；q ) n ( 6 l ，a 2 ，a m ；叮) = ( a l ；g ) o 。( 。2 ；g ) ( a m ；g ) 。o 定义1 3 ：基本超几何级数 川黜： ：= 塞 ! 竺! ：兰! ! ：! ! ：i 虫翌 ( 6 l 6 2 ，一，肆，q ；q ) 。 ( 1 13 ) 基本超几何级数也称为q 超几何级数( 简称q 级数) 这里的定义是b a i l e y ( 1 4 l 及 s l a t e r 8 0 】给出的。 如果b i b 2 b ，= q a l 0 2 a ，+ l ，且2 = q 那么，我们称基本超几何级数，“为平衡 的。 例如：( q - s a a l s c h i i t z 公式【5 4 1 ) s 妒。 。，。a 。, 。b 一, q 。- 。n 一。；a ：a = 鬻n = o ，l ( 1 1 ，4 ) 口 是一个平衡的基本超几何级数恒等式是p f a f f - s a a l s c h i i t z 公式的q 一模拟。 如果口l ，a 2 ，a ，+ 1 中至少一个是g 一“，m = 0 ，1 ，并且q 0 。那么，我们称基 本超几何级数h 1 为终止的( t e r m i n a t i n g ) ，如果a i b i = q a o ，i = 1 、2 ，r ，并且a ，中 有口、，丽和一g v 丽，那么，我们称基本超几何级数r + l 办为v e r yw e l l - p o i s e d 。我们对v e r y w e l l - p o i s e d 基本超几何级数，+ 1 机使用标准记号，即： 啉n n ，州舭h m a o , q v r 葡, - q 篇0 ，赫咿 我们仅列举了几个基本的定义，对于其它的记号和术语请参考 4 0 】，本文也将使用 ( 4 0 ，a p p e n d i x1 1 中的基本恒等式来证明文章出现的恒等式。 1 2 矩阵反演和反演关系 对于无限上三角形矩阵( a i i ) o i _ 1 和( 6 t j ) o i j 。以及无限序列( ，( n ) ) o ! n o 。和 ( 9 ( n ) ) o ( 。 。我们说矩阵( a i ) o _ i _ i 。和( b i j ) o s i i 锄相互可逆的充分必要条件是下面 的正交关系成立； 6 ( 1 2 1 ) u f o 一一 幻 6 女 n ，商 茎! 主生三重垦堕坌查查堂塾塾坚至壅一 因为互逆的两个矩阵是可交换的，所以，我们也有 b 郴 j = d q 由正交关系( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 容易证明下面的反演关系成立： 引理1 4 ：如果( a i j ) 0 9 9 o 。和( b i j ) o _ i j o 时，由( 1 2 8 ) ，可知 竺! ! ! ：竺墨虫 币( + j + 1 ，q ) 为关于q “的阶小于或等于n 一1 的多项式。 于经典的等式 静怕弦- ( 1 叫卜( 1 - - q n - l x ) = 0 o。 用q 一替换z ，有 8 ( 12 1 1 ) 1j 一 一n 七 -1 k ， 一 2 q j 州长铷m 曲 曲 场 忆 n g 妒 妒 m m 叫 娃 n ? ” u 。 一 一 一 。脚。脚。：豆 脚 ，+ b 一 一 升 明鲥黧 ：嘏小讥 以 者 所 或 糕 耥 6 一 g +0 州卅 l | 一n+一 叮 一l 十z一 叮 一l t g 一1 = z 叮 忆七 -【 g产 1一 。脚 茎! 主生三重墨鲨坌垄翌丝墼坚至壅一 所以， 驴n 怕附她，”，一 所以，我们司得到 邑nc 砒嘞网糕等锱= 。 等式( 1 2 1 1 ) 得证。 该反演的对偶形式为； ，( n ) = 1 - i i g ( j of ：| 币( n ，k ，g ) g ( e ) ， 咖) = 圣n ( 砒国由嘲需m ) 其中n 为正整数或无穷大 定理1 3 ：设妒同定理1 2 ，则 ，( n ) = ( 一1 ) g ( ；1 ) “i n k l 砂( - k , n , q ) 9 ( ) 。 咖，= 薹nc 砒，嘲踽m 卜 证明在定理1 2 中，将q 替换成g 则嘲变成g p 一“。 ：j ，考虑到 妒( z n ，q 一1 ) = 妒( 一z ，n ，目) 代入定理1 2 的公式中整理即可 1 3 q 一二重反演公式 最近，初文昌【2 3 】建立了g o u l d h s u 反演定理1 1 的二重形式如下 复变量z ，y 和四个复序列( n t ，“，c 女d k 崆o ，定义两个多项式序列如下： m 一1 ( z ；o ) 三l ，曲( z ；m ) = i i ( o ；+ 。如) ，”。= 1 ，2 ， i = 0 n l 妒( y ；o ) 兰1 ， 砂n ) = ( 勺+ y d j ) ， n = 1 ，2 j = o ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) 对任意的两个 ( 1 ，3 1 ) ( 1 3 2 ) 那么，我们有 定理1 4 ：妒和币一多项式由( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 定义，则：方程组 q n 2 。e ：。 。n ，。) i i 元i 揣，( t ) ( 。s ) 一轰( ，褙揣m 卜 9 大连理工大学博士学位论文：反演技术和于级数恒等式 ，( n ) = ( 一1 ) ( 警) 她n ) 蚺n ) ， ( 1 叫 办) ：掣( - 1 ) * f 1 气2 “协m ( k ；n + l 胁 定理1 5 ：假设，9 和f 2 与定理14 相同如果 n ( n ) = ，( n ) 生l ；i ：；：耕+ ，( n ) ：i ；糊 ( 。s ) 坳) ：警( _ 1 ) t f l t 2 8 1 训螂；帆 ( 1 3 6 ) k = 0 、 与下面的方程组等价 = 羔( 最) 茄m ， 。刃 一毛( 。赫赫m 卜 同时，作为一种画然的推广，初文昌用有限q 差分的方法得到了定理1 4 的口模 拟，即定理1 2 的二重形式： 定理1 6 ：争多项式和咖多项式由( 1 3 1 ) 和( 1 32 ) 定义，那么方程组 2 赢酬东m ， s 删 丽篙1 m )庐( 口“；+ 后) 1 ，f i ( g “；七+ 1 ) 3 吖 m ) = 苎( - 1 ) t 圈舭嘶( q k ；n ) ( 1 3 9 ) 咖) = 篆( 叫1 捌q ( 1 舳m q k ；n + l 胁 为了便于应用，我们考虑下面的特殊情况。 首先，在定理1 6 中，令 毋( nk ) = ( a q “；q 2 ) ，妒( nk ) = ( a q ”“；) k ， 经过化简整理后，我们可以得到 推论1 5 ：方程组 2 丢图丽黥篱丽m ) ( 1 s 1 0 ) 一羔 。? ( 8 q n 朝1 枞- a 妒q 4 k + 1 2 k瓣船) 盘l l + ( 8 q “；q 2 ) 枞( 础一1 ；9 2 ) 州“” 弘 n 卜 ，且 唧 一 组程万于喻 手 第1 章哥二重反演公式和9 - 级数恒等式 等价于下面方程组 跏) ：p 鱼拿掣k - 1 ；q ) ( a q k - 1 ；q 。趣， m ) 叫2 一一薹堕赢警 z 羽h = 0 g ( 。) ：q 。冉。2 f n + l 鲨荽姜地! ( a q k - 1 ；q ) 。州n 。 咖) 叫2 水扣圣蛩) 2 州吼 k = 0 。 同样地，于定理1 6 中，令 曲( 矿；) = ( a q “一1 ；q 2 ) ，妒( q “；k ) = ( a q ”；q 2 ) k 习l ，么，毪1 艺l 司干u 登趣i ”j 1 哥 椎论16 ：方程组 一驰2 k 丽m ， 一泓划雨杀蒜舭卜 m ，= 口2 “量警z 瓤， g ( 。) ： 2n+l(q-2-；-liq)kqk(q2n2+n 。q k - 1 ；q ) 2 。( 1 - - a q k + 2 n ) 吼g ( n ) = ： 。一。 、，。，。 。 ) 2 n () n 1 4 若干终止型q 一级数恒等式 ( 1 3 1 1 ) ( 13 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) 使用定理1 6 及其两个推论的关键性问题在于找到适合给定关系的恒等式和找到的 恒等式能够巧妙地分成所需要的两个有限和之和初文昌在给出定理1 4 的应用中，给 出了这方面大量应用实例，但其q 模拟形式的定理1 6 ，就作者所知，至今还没有给出 其具体应用的文献。本章利用初等的方法给出一些具有一定代表性的应用，获得了许多 漂亮的t 庐3 ，5 机以及6 如有限和公式并再次得到了g e a n d r e w s ( i i 1 7 ) 4 0 的经典的 恒等式 我们将定理1 6 及其两个推论用于q - d o n g a l l - d i x o n 公式 4 0 ，( i i 2 0 ) 或者【8 0 ，( 3 3 1 3 ) ： ( 1 ，4 1 ) 硪菇笺三；茹纛孙盟bed_一(aq,aqbc,aqbd,aqcd；q)oo 首先在( 1 4 1 ) 中，用q 2 替换q ，然后令d = q “和c = q - n ，那么我们有： ( 1 4 2 ) 善篙笔鬻怒撩(0口1+2即卜丽(aq；q)丽n(aq丽b；q2)nq a q ba qa q n +a q ；q 2 ) 急( 2 ，舡，一面，2 ，州， 2 ；口2 ) k 。”一(。( d g 如g ) 。 大连理工大学博士学位论文：反演技术和叮级数恒等式 即 丽( a q ；q ) 丽n ( a q b 丽；q 2 ) n = 黏2 k 筹a 盟) ( a q 2 等ba q 描a q 裟q 2 ) k ( 吲9 2 ) n ( o 口6 ；口) n 怠【j ( 1 一 ，时1 ，时2 ； 如果令 吣卜鲁高锯警 以及 跗：= 掣糍鬻群 那么，( 1 4 3 ) 可以写为 u f n ) ( 1 一a q ”1 ) ( 1 一a q “) = 赢嘲丽丽忐丽丽( 1 - - a q 4 k ) q 2 k 2 s 利用( 1 4 4 ) ，我们可以得到下面的基本超几何级数公式 情况【2 o a 】由于( 1 4 4 ) 可以表示为 盟1 - - a q n - 1 = 驰2 k 矿蔫筹丽等等掣 所以，由( l 3 9 ) ，我们有 蚤2 n 气- 2 n k q ) k 1 案q ) kc t 一叼啪m ，= 舞掣色 ( 一n ) ( 叼； 1 1 一n 口4 “ 且队 q q “，a q 2 ”1 ，a q 2 州，再而，一 丽 【a q “，4 - 面q ，一面，a q b ( 1 一a q 2 ”1 ) ( 1 一a q 4 “) ( q ，6 ；口2 ) 。( a q b ) ” ( 1 一a q 2 “) ( 1 一a q 4 n 一1 ) ( a q ，a q 2 t b ；9 2 ) 。 情况f 2 o b 因为( 1 ，4 4 ) 可以写成 等= 聂酬萨高蔫而q 2 k 2 s 所以，由( 1 3 9 ) ，我们可得： 即 曼。一。( q - 、2 。n ，；。q ，) 。k q k ；! ! ! ! ! ! ： ；：! ；i q 坐) k “，( m ) = a “s ( n )= o 、y t y ，( 1 一o ) ( o g ； w ”。7。一。“7 警咤( a q k + l ；q ) 2 , 。w ( k ，一o ( 1 43 ) ( 1 ，4 4 ) ( 1 4 5 ) 第l 章q 二重反演公式和q 级数恒等式 4 3 i f n i so d d i f n i se v e n 如果在