（计算数学专业论文）分数阶常微分方程和修正反常次扩散方程.pdf

摘要 摘要 分数微积分出现至今已经发展了很长一段历史。它的应用领域很广，包含 在各种材料的记忆、反常扩散、信号处理、控制理论、粘弹性系统、柔软构造物 体的震动控制、自然界中多孔或裂断介质中溶质的反应和扩散以及混沌等现象 的描述中得到了诸多应用。比起传统的整数阶微积分模型，在以上这些领域，用 新的分数阶模型能更精确地模拟现实问题，能非常有效地描述各种各样物质的 记忆和遗传性质，在工程、物理、金融、水文等领域发挥越来越重要的作用。对 于整数阶微分方程，相关数值算法理论比较成熟，而对于这些分数阶模型中的分 数阶微分方程，数值算法研究起步不久，特别是理论分析方面目前还比较有限。 分数阶常微分方程可用于描述众多物理现象，得到广泛研究。例如，震荡控 制模型、混沌模型、分数阶丹a 控制器的仿真研究。但是大部分仅限于一些应 用研究。近年来，分数阶研究者已提出不同的数值解法，大部分对于误差分析还 是有很大的困难。目前研究者的关注更多集中于现象解释，对于数值算法分析和 应用原理还在探索之中。发展分数阶常微分方程有效数值方法和理论分析，探 索分数阶常微分方程的进一步应用，将十分有意义。工程研究人员对之特别感 兴趣。 分数阶的动力方程对描述复杂系统的动力传送现象相当有效，如修正反常 次扩散方程等。但是求解这类问题相当困难。针对不同情况的反常扩散模型，许 多研究人员提出了不同的数值方法，并不断完善误差分析等理论研究。 本篇论文主要研究两类问题：分数阶常微分方程数值方法及其应用，修正 反常次扩散问题。 绪言部分介绍了关于分数阶微积分的一些预备知识，给出了分数阶微积分 一些基本定义和性质。综述分数阶常微分方程数值方法和分数阶次扩散问题数 值方法的近期发展。 第一类问题，考虑分数阶常微分方程数值方法及其应用，由第二章至第四章 组成。 第二章中，我们讨论分数阶松弛震荡方程。我们证明分数阶松弛震荡方程 摘要 解的存在唯一性：推导出分数阶松弛震荡方程的解析解：提出一种计算有效的 分数阶预估校正方法解分数阶松弛震荡方程，并给出该方法详细误差分析；最 后列举一些数值例子来验证理论结果，并显示分数阶松弛震荡方程解的性态。 第三章中，我们考虑分数阶的反馈控制系统。多项的分数阶常微分方程转换 为分数阶常微分方程组。利用分数阶预估校正方法数值模拟分数阶控制系统， 并给出了分数阶常微分方程组数值解法的一些误差分析。最后给出一些数值例 子。 第四章中，我们进一步考虑实际物理现象模型中的应用。考虑四种类型的 混沌模型：分数阶混沌震荡模型、混沌冲击( j e r k ) 模型、c h e n 分数阶模型和状态 反馈控制。利用计算有效的分数阶预估校正方法数值模拟这四种类型的混沌模 型。数值结果证明分数阶预估校正方法的模拟情况完全符合混沌物理现象。 第二类问题，考虑修正反常次扩散问题，由第五章和第六章组成。 第五章中，我们考虑带非线性源项的修正反常次扩散方程。目前仍是个开 放的问题为了解决和分析此类问题，我们提出新的隐式差分方法和分析技巧。 对该方法进行稳定性和收敛性讨论。数值例子证明我们的理论分析。 第六章中，我们提出了一种新的隐式分数阶预估校正梯形方法求解修正反 常次扩散方程。首先我们给出时间分数阶融e m 扑n l i o u v i i l e 导数的数值近似。借 助离散技巧，把修正反常次扩散方程转换成常微分方程，然后利用隐式分数阶预 估校正梯形方法求解。这个隐式分数阶预估校正梯形方法有许多优点：不必迭 代求解；高精度：在预估梯形方法和校正梯形方法中，具有相同的系数矩阵。我 们给出一些数值例子，证实这个隐式分数阶预估校正梯形方法是一种计算有效 的数值方法。这个方法可以应用解其它类型的分数阶偏微分方程。 关键词：分数阶常微分方程：修正反常次扩散方程；预估校正法：隐式数 值方法；稳定性和收敛性。 a b s l r a c l f r a c t i o n a lc a l c u l u sh al o n gh i s t o t l l ea p p i i c a t i o ni sv e 巧c o i n p r e h e n s i v e ， i n c l u d i n g 1 em e m o r y0 fm a n yl 【i n d s0 fm a t e r i “s ，锄o m a l o u sd i 仃- u s i o n ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，c o n 昀lt h e o 阱v i b r a t i o nc o n d lo fv i s c o e i a s t i cs y s t e m 觚dp l i a b l es t m c t u r eo b j e c t s ，f r a c t i o n a lb i o l o g i c a ln e u r o n s ，a d v e c t i o n - d i 仃u s i o ni np o m u s 0 rf h c t u r e di n e d i u m ， c h a o t i c ，e t c c o m p a r i n gw i t | lt t l e c l a s s i c a li n t e r o r d e r 出d e r e n t i a le q u a t i o n ，t t l e 舱w f a c t i o n a lo r d e rd i 胞r e n t i a le q u a t i o nw r h i c hi sc o n t a i n i n gt h en o n i n t e g e ro r d e rd e r i v a t i v e ，i sm o r ea d e q u a t et 0s i r n u l a t ep r a c t i c a lp r o b l e m s nc 锄e f f e c t i v e l yd e s c r i b e 恤 m e m o d ra n dt r 锄s m i s s i b i l i t yo fm a n yh n d so fm a t e r i a l s ，卸dp l a y 柚i n c r e a s i n g i yi m 。 p o r t a n tr i o i ei ne n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ，f i n a n c e ，h y d r o l o g ya n do c h e rf i e l d s f b ri n t e r o r d e r d i 骶r e n t i a le q u a t i o n s ，c o 玎e l a t i v en u m 甜c a la r i 山n l e t i c sa r em m 陀r c l a t i v e l y b u tf o r f r a c t i o n a id i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt | l ef r a c t i o n a lm 0 i d e l s ，山ei n 、r e s t i g a t i o n0 fn u m e r i c a l m e t l l o d si su n d e r w a y m e o r e t i c a la j l a l y s i si sl i m i t e de s p e c i a l l y f r a c t i o n a io r d i n a 呵d i 髓r e n t i a le q u a t i o n sc 卸d e s c r i b em 柚yp h y s i c a lp h e n o m e n 钆 i n v e s t i g a t e dw i d e l y f 0 re x a i i l p l e ，d y n 锄i c a lc o n 昀l l e ds y s t e 吣，c h a o t i cm o d e i ，f r a c t i o n a j 用a d pc o n 缸0 l l e rs i m u l a t i o ni n y e s t i g a t i o n h o w e v e rt t l e ya r el i m i t e di ns o r i 伦 a p p l i e df i e l d s i nr e c e n ty e a r s ，佗s e a r c h e r sh a 、，cp r o p o s e d m en u m e r i c a lm e t h o d s ， b u tt h e r ca r cs o m ed i 伍c u l t i e si nm ee 盯o ra n a l y s i s a tp r c n t t l l en u m e r i c a lm e t h o d s ， t | l e o r e t i c a l 龃a l y s i s 锄da p p l i c a t i o n sa r ej u s tu n d e re x p l o r a l i o n d e v e l o p i n gc o r 印u t a t i o n a l l ye 衔c i e n ts o l u t i o nm e t h o d 扑dt h e o r c t i c a l 扑a l y s i s0 ff r 孔t i o n a lo r d i n a r yd i f - f e r e n t i a l ，e x p l o r i n gf u r t l l e ra p p l i c a t i o n0 ff a c t i o n a l0 r d i n a 巧d i f ! f b r e n t i a lw i l lb ev e 巧 s i g n i f i c a t i v e ，w h i c he n g i n e c r sa r ei n t e r e s t e di n f 豫c t i 叩a ld y n a r n j ce q u a t i o n sa 陀v e 巧u s e f h li nd e s c 曲i n gp o w e r 咖s 耐s s i o n p h e n o m e n o no fc o m p l e xs y s t e m s ，f o re x a m p l e ，am o d i 6 e d 锄o m a l o 吣s u b d i 何u s i o n e q u a t i o n ，e t c b u ti ti sd i 币c u l tt 0s o l v es u c hp r o b l e m s f 0 r 锄o m a l o 璐d i f f u s i o nm o d e l w i t hd i f f b 陀n ts i t u a t i o n s ，m 肌yi m 忙s t o r sp r o p o s e dd i 髓r c n tn u m e r i c a lm e m o d s ，柚d i m p r o v e dt h ee r r o ra n a l y s i so ft l l e o r e t i c a ls t u d yc o n t i n u a l l y i a b s t r a c t n i st l l e s i sf b c l l s e s0 n 觚ol ( i n d so fp f o b l e l l i s ：n u m e 矗c a lm e 啦o d sa n da p p l i e a t i o n o ff a c t i o n a lo r d i n a 叮e q u a t i o n s ，m o d i f i e da n o m a l o u ss u b d i 仃- u s i o np r o b l e m 秘的d 醢e t 至o 鞋g i v e ss o m ee o n c e r n i l l g 魏e 蠢o n a le a k u l s 幻p r e p a 糟t 董l eh o w 董e d g e a n dp r e ! 汜n tb a s i cd e f i n i t i o n sa n dp r o p e n i e so ff r a c t i o n a lc a l c u i u s i td e s c 曲e sn u m e 纛e a 王臻刮b d so ff 穗e i o 鑫越。蚶i 纛a 巧e 唾珏戤i o 髓躲da 耀越摊ss 狂睫i 惫l s i o 魏p 国b l e 溅 c o m p r e h e n s i v c l y t h e 蠹f s tk i n do fp b l e m s ，w ec o n s i 如f 挑m e d c a lm e 也o d sa l l da p p l i c a 圭i o no f f n c t i o n a lo r d i n a 哆e q u a t i o n s ，w h i c ha r ec o n s i s t e do fc h a p t e r s2t o4 h c h a p t c r2 ，w ed i s c u s s l cf r a c t i o n a lr e l a ) ( a t i o n o s c i i i a t i o ne q u a t i o n ( h 的e ) i 董l ee x i s 沦n c e 鞠d 珏n i q l l e n e s so fs o l u 吐。建餐o rf r ( ei sp “) v e i l ，a n di t sa 蕤a l y t i cs o l u t i o ni sg i v e n a c o m p u t a t i o n a l l ye 丘e c t i v ef r a c t i o n a ip 捌i c t o 卜c o r r e c t o rm e t h o di s p 妁筘s e 文秘d 凌出蠢l e 纛e 嘲匿醒采y s i si s 蠢v e d r 纛越l y w eg i 犍s o 鼓羚蕤珏璎砥e a l e x a m p l e s ，觚ds h o wt h ec h a r a c t e r i s t i cp h e n o m e n ao f 髓a c t i o n a jr e i a x a t i o n o s c i l l a t i o n e 驴蕊o r ss o l u 幻n i f ic h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h cf r a c t i o n a l o r 如rd y n a m i c a lc o n l l e ds y s t e m s t h e m u l t i - o r d e r 行a c t i o n a ld i f 伦r e n t i a le q u a t i o ni s 扛锄s f b 麒e di n t oas y s t e mo f 触c t i o n a i o 谢e fd i 蠢| e r e n t i 越o q t l a t i o n s an e wc o m p u l a i o n a 鞋ye 嚣蛀v ef r a c 主o n a 重薹晚d i c 沁卜 c o 鹏c t o rm e t h o di sp r o p o s e df o rs i m u i a t i n g 山ef a c t i o n a lo f d e rs _ y s t e m sa n dc o n 一 的l l e 貉。a 如嫩l 甜e 揪锺鑫至y s i si s 如蠢v c d 。r 髅l 耋y 强佬参v es o 糖en l | 臻e 永壅e x a 热一 p l e s 扭a p 瞅4 戳：e q n s i 如r 吐玲鑫鼯l i e a 谯雠遮a c 娃c a l 曲y s l e 砖m o d e l s + w ec o n s i d c rf o u fc h a o t i cm o d c l s ：f j 僦t i o n a lc h a o t i co s c i i l a o rm o d e l c h t i c 1 ：i e r k ”m o d e l ， c h e ns y s t e m ，c h a o t i cs y s e m su s i n gs t a t ef e e d b a c kc o n t r o e r ac o m p u t a t i o n a l l ye 厶 f e e 螽v e 触e t i o 脚融d i c 鼢c o 氍e 溆m e t h 确i sp f o p o s 醯衙s i l n 毽l a t i n g 龇舾c l i o 罪a 差 o r d e rc h a o t i cs y s t e r i l s f i n a u y ，w cg i v es o h 地n u m e r i c a le x 瓤咐l e s t h en u m c f i c a l 豫s 珏l 据勰i 鑫鑫秘e e 臻e 珏w 浊e 囊a o 蝰c 曲y s i c 鑫lp k 璎e 纛氛 1 m es e c o n dl d n do fp r o b l e m s ，w ec o n s i d e rt h ef r a c t i o n a la n o m a l o u sm o d i f i e d a n o 瓣鑫l 陇s 蛆m i 羝l s 至i 豫辨曲l e 甄w 量l i e ha f ! e 程s i s 泓o fc h a p 渔r s5 勰d6 。 i nc h a p 泓5 ，w ec o n s i d e fam o d i 厅e d 翮o m 酣o u ss u b d i 觚s i o ne q 明t i o nw i t hn o n l i n e a rs o u r c et e r n 1 sf o rd e s c r i b i n gp r o c e s s e st 量l a tb e c o f 浆i e s sa n o m a l o u s 觞t i m ep 胁 i v j 慨t r a c t g r c s s e sb yt l l ei n c l u s i o no ft t l e c o n d 鲰t i o n a lt i m ed e r i v 撕v ea c t i n go nm ed i f f u s i o n t e 衄。i ti sa l lo p e np r o b l e m a ni m p l i c i td i f r e n c em e t l l o di sc o n s t n l c t e d 。t l l l es t a b i l i 哆明d 删| e r g e n a f e 碰s c u s s 丽u s i n ga n e we n e g y 臻e 幽o d f i n 舔l y w eg i ws o m e n u m e d c a le x a m p i e s t h en u m e r i c a ir e s u l t sd e m o n s 仃a t et t l ee 窳- c c 石v e n e s so ft h e o 豫t i c a i 勰a l y s i s ， i nc h a p t e r6 ，w ep r o p o s ean e wi l i l p l i c i tf r a c t i o n a lp r e d i c t o r _ c o r r e c t o rt r a p e z o i d a lm e 瓤避衙妞阻。蚕e d 醒o m 砖潍ss u b d l 鼬s i o n 镁娃a i o n 。 辆勰f l y ，戳g i v e o u tt l en u m e r i c a la p p r o x i m 撕o no ft i m ef a c t i o n a l 砒e m a 触一乙i o u “l l ed e r i v a t i w ，u s i n gn u m e r i c a lt e c h n i q u e s ，t h em o d i 6 e da n o m a 】o u ss u b d i f m s i o ne q u a t i o ni s 玳s f o 硼髓i 建oas y 晰mo fo 珥i 巍a gd i 魏瓣n t i 越e q t l a i 傩s ( o d 动弧ei 磷) l i e i 鲰c t i o n a 重 p r e d i c t o r - c o 嗽t o r 脚e z o 谳m e t h o df o r 龇0 d ei sp r o p o s e d m r 。雏s o m ea d i 耀n a g e s ：n e e d 薹眭i 钗霞i 托，魏i 曲p 辩c i s i o 珏，h 静l 嚣gs 雒l ec 钟臻c i 鞠豢a 蹑xi 糕p 怼一 d i c t o r 觚dc o r r e c t o rm e t l l o d s f i n a l l y ，n u m e r i c a lr e s u l t sa r cg i v e nt od e m o n s t r a t ct h e e f l e c t i v e 藏e s so fl h i sm e t 量l o d 弧i s 把c h n i q l l ec a n 越s ob e 印p l i 葩沦s o l v eo 虫e fl y p e so f f r a c t i o n a lp a n i a ld i l 纯f e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：f 雠t i o n a lo r d i n a r yd i 髓r e n t i a le q u a t i o n ；加o m a l o u ss u b d i 肌s i o n 明毪蕊。髓；融奎e l o 卜c o 聪c 轮f 藤e 惫o d ；薹m p l i e i n 疆靛e 蠢e 蠢黼e 蠡o ( 1 ；s 曲i l i 事瑟de o n - v e 瑁e n c e v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以 明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 物瑙久 2d o 孑年6 月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密 ( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 作者签名：枷拂日期：枷。辟多月7 日 导师签名：么和崎期：矽，辟石月7 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 分数微积分理论是数学分析的一个分支，是传统的整数阶微积分概念的推 广，专门研究任意阶( 甚至可以是复数) 积分和微分的数学性质及其应用的领 域。 最早提出这一思想的是数学家l e i b n i z ( 1 6 9 5 年) ，l e i b n i z 在写给l h o s p i t a l 的 信件中讨论整数阶微积分概念时就提及l 2 阶的导数。在之后的数百年的发展 中，有不少数学分支的概念和结果都应用到分数阶微积分理论中，不过仅仅限于 数学领域内的理论研究。 在它之后有挪威的a b e l 、匈牙利的g r n n w a l d 、俄国的l e t n i k 0 v 、法 国的l i o u v i l l e 、l a p i a c e 、f o u r i e r 、德国的鼬e m a u l n 等先后在该领域做出 了杰出的贡献。最系统化的研究是由l i o u v i l l e ( 1 8 3 2 ) 、硒e m a n n ( 1 8 5 3 ) 和h o l m g r c n ( 1 8 6 4 ) 在1 9 世纪初期和中叶完成的，但g m n w a l d 和k r u g 最先统 一了l i o u v i l l e 和鼬e m 锄n 分数微积分定义。到上世纪初理论和应用又有显著 发展。n u t t i n g 【l 】( 1 9 2 1 年) 、g e m a n t l 2 】【3 】( 1 9 3 6 年，1 9 3 8 年) 、s c o t t b l a i r 【4 】( 1 9 4 9 年) 将分数微积分理论引入粘弹性材料的本构关系；同时，前苏联著名科学 家r a b o c i l o v 【5 】【6 】( 1 9 4 8 年，1 9 8 0 年) 在介绍它的具有弱奇核遗传效应固体力学时 也暗示了需要分数微积分理论；另外，在早期的研究工作中c a p u t o 【7 】( 1 9 6 6 年) 、m a i n 删i 【8 】【9 】( 1 9 7 1 年) 等将分数微积分理论在有关地震、冶金等方面也得到 很好的应用。 分数阶微积分或分数阶演算这一重要的纯数学分支已渐渐发展成体系。但 对于绝大多数工程技术界学者而言，它还鲜为人知。直至m 卸d e l b r o t 【1o 】提出分 第一章绪论 形学说，将砌e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微积分用以分析和研究分形媒介中的布朗 运动，分数阶微积分才在许多学科的现代工程计算中得以广泛关注和应用。研 究者们发现，分数阶微积分算子与整数阶微分算子不同，具有非局部性，非常适 合用以描述现实世界中具有记忆以及遗传性质的材料。 在近十几年来，这一理论得到了相当的关注【l i l5 1 ，应用领域很广，包含：各 种材料的记忆、力学和电特性描述、岩石的流变性质描述、分数电容理论、黏弹 性材料【1 6 - 1 9 1 、电气化学过程【2 0 】、电介质极化现像【2 1 1 、色噪声【2 2 1 、不规则扩散、 信号处理【2 3 1 、控制理论【i5 1 、粘弹性系统和柔软构造物体的震动控制、分数阶生 物神经元、自然界中多孔或裂断介质中溶质的反应和扩散【2 4 ，2 5 】以及混沌【2 6 】等 现像的描述中得到了诸多应用。在以上这些领域，比起传统的整数阶微积分模 型，用新的分数阶模型描述的结果能更精确地模拟现实问题，其中又以分数阶微 分方程的应用最广泛。对于整数阶微分方程，相关数值算法理论己比较成熟，而 对于这些分数阶模型中的分数阶微分方程，数值算法研究起步不久，特别是理论 分析方面目前还比较有限【2 ”2 1 。 分数阶常微分方程的数值解法发展比较缓慢。1 9 9 9 年，p 0 d l u b n y 在关于分数 阶微积分的专著【1 5 】中提到一些分数阶常微分方程的数值解法，但是全书在数值 解法方面并没有给予证明。目前关于分数阶常微分方程的数值解法有，2 0 0 4 年 沈和刘在文献【3 3 】中对分数阶b a g l e y t 0 r v i k 方程提出一种计算有效的数值方法， 同年d i e t l e l m 在文献【3 4 】中提出解分数阶常微分方程的a d a 娜方法，给出了误差 分析。林、刘【2 7 1 提出了一种线性多步法解的分数阶常微分方程，证明了其方 法的相容性和收敛性，并给出稳定性分析。l i n 和l i u 在文献 2 8 】中讨论了分数 阶r e i a ) ( a t i o n 方程。之后2 0 0 7 年，l i n 和l i u 在文献【3 5 】中对非线性常微分方程提出 高阶方法，并给出了数值方法的稳定性和收敛性证明。 同样分数阶偏微分方程数值解的发展也比较缓慢。一般的，我们称时间导数 是分数阶导数的偏微分方程为时间分数阶微分方程，称空间导数是分数阶导数 的偏微分方程为空间分数阶微分方程，时间和空间均为分数阶导数的方程称为 2 第一章绪论 时间空间分数阶微分方程。2 0 0 2 年l i u 等人【3 6 】提出了分数阶行方法( m e t h o do f l i n e s ) ，将分数阶偏微分方程转换为常微分方程系统来求解，他们的主要思想是 采用自动边阶( 1 5 阶) 变步长的向后差分公式。这是一个开创性的方法，已得到 普遍认可和广泛应用于解空间分数阶的微分方程。m e e r s c h a e r t 和t a d j e r 锄【3 7 】进 一步发展了分数阶对流一扩散方程的有限差分法。r d 0 p 【3 8 】对g a l e m n 逼近的计 算方面进行了研究，在r 2 有限区域的规则三角形块上，构造分段连续的多项式 函数。l i u 等人【3 9 】还研究了空间时间分数阶对流扩散方程的稳定性和收敛性 问题。y u s t e 和a c e d o 【加】对于反常次扩散微分方程提出一种显式的有限差分法 和v o nn e u m a n n 类型的稳定性分析。然而，他们并没有给出收敛分析以及指出实 际计算中使用隐式方法的难点。l a i l g l 觚d s 和h e n r y f 4 i 】同样也研究了此类问题， 并提出一种隐式的数值算法( l l 近似) 。但是，他们也没有导出整体精度和无条 件稳定性。最近，z h u 勰g 和l i u 【4 2 】提出了新的隐式方法和技巧解反常次扩散方 程，成功地给出完整的误差分析。s h e n 等人【3 2 】对于空间分数阶扩散方程提出了 一个显式有限差分近似，并给出了误差估计。l i u 等人f 4 3 】用随机游走和有限差 分方法来讨论k v y f e l l e r 对流扩散过程的近似。z h 锄g 等人【4 4 】用数值逼近来讨 论l v y f e i l e r 对流扩散过程和它的概率解释等等。 ， 在这些年的分数阶微积分体系发展过程中，许多研究者理论提出了很多分 数阶微分和积分的定义。 根据各种分数阶微分模型提出的背景，时间分数阶导数通常是c a p u t o 导 数，而空间分数阶导数则有多种，包括分数阶导数一一融e m 觚n l i o u v i l l e 分数 阶导数、g r n n w a l d 心t n i k o v 分数阶导数、c a p u t 0 分数阶导数等，还有复杂的对 称分数阶导数一一硒e s z 分数阶导数，以及更复杂的非对称的双侧分数阶导数一 r i e s z f e i l e r 分数阶导数。 本文的引言部分接下来将分别介绍这些基本定义，并引出一些性质定理。 第二章讨论分数阶松弛震荡方程。涉及松弛( r e l a ) 【a t i o n ) 和震 荡( o s c i l l a t i o n ) 基本现象的过程是与物理密切相关：从数学观点来看，由 3 第一章绪论 l 孑啪( 力= 如) 一匆( f ) ， 1y ( 。( 。) = 始， ( 七：。，1 ，九一1 ) 1 - 1 晰，： 索r 器把= 2 ， l1 厂。 仃叫 g ( j ) =i 万i i i 丽了i i 币矿丽 ( 1 3 ) 其中 一l 口l 询0 ，o 一一i l ，陬( 七= o ，l ，n ) 是任意 实数。在时间域内，f ( 廊程( 1 3 ) 等价于以+ l 项分数阶微分方程 锄d ) i ( f ) + 锄一l d 一) ，( f ) + + 口i d a l y ( f ) + 口0 d 嘞) ，( f ) = 口( ，) ， ( 1 4 ) 4 第一章绪论 其中d a y = 占砰) ，= 尸一a y ( 历) ( f ) 是关于时问的口阶c a p u t 0 分数阶导数。 第四章中，我们进一步考虑实际物理现象模型中的应用。考虑四种类型的 混沌模型：分数阶混沌震荡模型、混沌冲击模型、c h e n 分数阶模型和状态反馈控 制。利用计算有效的分数阶预估校正方法数值模拟这四种类型的混沌模型。数 值结果证明分数阶预估校正方法的模拟情况完全符合混沌物理现象。 一般形式下，带控制项的分数阶混沌系统如下表示： 占砰j ( ，) 占卵) ，( f ) 吕必( f ) c 儿工0 q l 工( f c 3 i 工( f + c 1 2 y ( f + c 2 拶( ， + c 3 2 y 0 + c 1 3 z ( ，) + 0 ( r ) + c 2 3 z ( f ) + 止扛( f ) + c 3 3 z ( f ) + 乃0 ( r ) ( 1 5 ) 其中 ，丘，矗是模型的非线性项。0 仅，卢，y l ，c u ( f ，j = l ，2 ，3 ) 是常 数，矩阵c = 【a + b 2 吲的元素。g p p 是( 时间) c a p u t 0 分数阶导数。 第五章，考虑带非线性源项的修正反常次扩散方程【4 孓郴】。此类方程用于描 述随着时间推移反常次扩散现象，包括在扩散项上存在二阶分数阶时间导数。特 别考虑存在两项分数阶时问导数作用于扩散算子的扩散模型( m a s d e n s t ) ： 掣= 叫+ 玩叫邛) 掣坼f ) 卜。( 1 6 ) 其中o a o ， ( ；) = 盟掣， 函数 其中可以是非负整数。还有一个在分数阶微积分里常用到的枷魄- 如批， 昆以z ) = 盖币南以如，肛o o 关于分数阶微积分的定义，目前有许多不同表达形式，主要有以下几类。 6 第一颦绪论 1 i 2 分数阶积分 g 是一个正实数，令嚣一l a 露，那么，个定义在【口，翻区闻上的函 数，( r ) 的a 阶分数阶积分的定义是f 1 5 】 矿托h 酽k ( 加刊， 它还有另一个表达形式 a 町嘶) = 志小叫p 1 价) 把 其中r ( z ) 表示通常的g a m m a 函数，即 取z ) = z 妒叫产_ 斑。 ， 已经证瞬了这两个形式是等价的f l 翅。 1 。3r l e m a 精n o o o 硼l e 分数阶导数 对于一个正实数貔，令以一l 口墨撑，一个定义在陋，纠区间上的踊 数，( ，) 的a 阶鼬e m 卸n l i o u v i l l e 分数阶导数的定义是f 5 l 册= 嘉( 志r 卷尚) 。 1 4g r c j n w a l d l e t n k o v 分数阶导数 同样的，对于一个正实数袋，令茬一l 缮露，个定义在蠢，翻区闻上的蹑 数，( r ) 的a 阶g m n w a j d k t n i k o v 分数阶导数的定义是f 1 5 】 瑚吵嘞h 吵球装菪鹅) 也) m 伽肺 7 第一章绪论 其中( 擘) 表示二项式系数，即 ，口、a ( a 1 ) ( a j + 1 ) k _ ，j2 万一。 砌e m a n n l i o u v i i l e 分数阶导数和c 腼n w a j d k t n i k o v 分数阶导数之间有这样 的一个等价关系，对于正实数口，疗一1 口刀，如果定义在【口，纠区间上的函 数，( ，) 有直到甩一1 次连续导数，并且，( 一) ( f ) 在【口，纠是可积的，那么这时融e m a n n “o u v i l i e 分数阶导数和g r 旺n w a i d l e t n i k o v 分数阶导数是等价的【1 5 】。 1 5 c a p u t o 分数阶导数 对于正实数口，刀一l 0 ， 口町a ( 口町卢巾) ) = 4 町口一卢巾) 。 而对于分数阶导数，这里使用r i e m 锄n i i o u v i l l e 分数阶导数定义，有这样一 些关系，令刀一l 0 ，则先求积分 再求导数时， 口衅( 日d 卢巾) ) = 口衅一卢饨) 先求导数再求积分， 口d 卢g 衅巾) ) = d 衅邛巾) 一毫l 衅。巾) ，= 4 揣 接下来，当整数阶导数和分数阶导数复合运算时， 豢( 口衅巾) ) = 口妒川f ) 1 0 第一章绪论 口衅( 掣) 叫一篆帮等等 如果是分数阶导数之间的复合运算，令n l 0 ，那么有 d 衅g w 九) ) = 口衅邯巾) 一毫 口衅一研r ) 】，剐簧若菩写 1 6 3 分数阶导数的积分变换 下面介绍分数阶导数的积分变换。通常积分变换是可以用来解析求解整数 阶微分方程，对于分数阶导数来说，各种积分变换也是解析求解分数阶微分方程 的重要手段之一。 首先是分数阶导数的l 印i a c e 变换【1 3 】【1 4 1 。一个函数的l a p i a c e 变换是 ，( s ) = 己 饨) ；j ) = 口叫，( f ) 出 对于一个函数的融e m a n n 1 i o u v i l l e 分数阶导数，它的l a p i a c e 变换是 l 【口衅巾) ；s ) = j a f ( j ) 一邑 口衅一川厂( f ) ，铆 其中以一1 a ，l 。 还有一个常见的积分变换，就是f 0 u r i e r 变换。一个函数g ( f ) 的f 0 u r i e r 变换是 g ( ) = 层 g ( f ) ；) = 已埘g ( f ) 出 可以看到，对一个函数g ( f ) 进行f o 耐e r 变换，要求g ( f ) 在整个实轴上有定义，所以 采用无穷区间上的分数阶导数定义是合理的。因此分数阶导数定义是 一捌觯，= 南高等， 其中疗一1 口刀。这时分数阶导数的f 0 u r i e r 变换就是 尼 一。钟g ( f ) ； = ( 一f ) 口g ( 国) 。 第二章分数阶松弛震荡方程的一种分数阶预估校正方法 第二章分数阶松弛震荡方程的一种分数阶预估- 校正方法 整数阶的常微分方程的数值解法，如欧拉法、线性多步法等都已经有比 较完善的理论。而对于分数阶微分方程，数值方法和误差估计的理论研究还 相对不完善。我们先考虑最基本的分数阶常微分方程。注意到，在分数阶微 分形式上很多文献通常使用鼬e m 锄n l i o u v i l l e 分数阶导数来替代c a p u t o 导数。 特别是那些文献中要求的是齐次的初值条件。而由文献【4 9 】可知，在这些齐 次条件下的融e m 锄n l i o u v i l i e 算子方程等同于c a p u t o 算子方程。我们之所以选 择c a p u t o 分数阶导数形式是因为我们可以讨论非齐次初值条件下的问题。而若 使用黜e m 卸n “0 u v i l l e 分数阶导数，一般会有很多实际应用困难。【删 本章中考虑的分数阶常微分方程是分数阶松弛震荡方程。涉及松 弛( r e l a ) 【a t i o n ) 和震荡( o s c i l l a t i o n ) 基本现象的过程是与物理密切相关；从 数学观点来看，由时间分数阶导数a 。0 a l 或l a 2 来控制的现象，被称 之为分数阶松弛或分数阶震荡现象。在第二节中将介绍一种计算有效的分数阶 预估校正法；在第三：符中，证明分数阶松弛震荡方程解的存在唯一性：在第四 节中，利用格林函数给出了它的解析解：在第五节中，给出详细误差分析；最后， 我们将列举一些数值例子来验证理论结果，并显示分数阶松弛- 震荡方程解的性 态。 2 1 一种计算有效的松弛震荡方程的预估- 校正方法 j 御灭，) 吖。) _