（概率论与数理统计专业论文）有理样条和代数曲线曲面样条的研究.pdf

摘要 本篇博士论文主要研究有理插值曲线、代数插值( 逼近) 曲线曲面的构造及其 性质等问题共由八章组成 首先对参数曲线曲面、代数曲线曲面等问题的历史背景和研究现状进行了综 述，并归纳了本文所做的工作 对有理插值曲线的研究，具体构造了一类含有三角函数与多项式函数的混合基 函数，并提出了以该基函数构造的带有局部调整功能权因子的有理插值样条的方 法，且对样条权因子的影响作了分析，最后还与常用的h e r m i t e 插值函数作了比较 另外还研究了一类有t 理 2 m + 1 ，2 m 】型分段多项式插值样条，该样条是g e o g r y 有理 插值样条的两种低次样条的推广，给出了该型样条的具体代数表示形式，并讨论了 该样条的逼近阶及其保形情况，还结合一个经典的算例予以说明 对代数曲线曲面的研究，第四章讨论了由三角形重心坐标的仿射变换而形成 的b - b 形式的一类四次隐代数样条，样条保留了部分b e m s t e i n 系数作为曲线的局 部调整参数利用该样条的端点性质，对给定的数据点列，可以利用该样条便利地 构造g 2 连续的插值曲线，并对该曲线的保形及样条关于b e r n s t e i n 系数的合理选取 给予了证明，最后结合具体算例进行了分析 第五章研究了一类三次分片c 1 _ 连续插值代数曲面由四面体重心坐标的仿射 变换而得的b - b 形式曲面样条，分别选取不同约束的b e r a s t e i n 系数确定两类位于 四面体内的代数曲面片，即：主基片、副基片对给定的三角剖分，每个三角形 外加一个控制顶点形成一个四面体在四面体内生成一个主基片。相邻两个四面 体之间生成一个副基片通过约束相关b e m s t e i n 系数，得到一类关于该三角剖分 的g 1 连续曲面，同时进行了算例演示 第六章构造了一种空间代数逼近样条，该样条是由四面体内的两个代数曲面的 交所确定的曲线，这两个代数曲面分别是二次和三次，这种低次曲面有较好的几何 性质，同时又易于参数化，并可得到其参数形式先固定二次曲面，然后约简三次 曲面为带三参数的代数曲面，由此两曲面容易生成较光顺、带有较多形状因子的 空问代数曲线，最后还对这类曲线的光顺性利用弹性能进行了分析 最后一部分是在第六章的基础上，研究了在空间四面体内的马鞍面上，利用一 类函数，构造一种类似b 包i e r 曲线方法的参数样条，但这种样条具有更加简洁统一 的形式，同时由函数决定的样条具有更多的可选择性，满足这类函数特征的不同函 数均可以构造样条，且样条生成曲线易实现g 2 一连续 关键词代数曲线曲面，代数样条，b - b 样条，局部调整权因子，有理样条， g 2 一连续曲线，分段连续曲线，分片连续曲面 堡圭耋：篁堡奎! ：! ：! ，! 。：!：。! ：!垫量 a b s t r a c t t h i sp h d t h e s i si sd e v o t e dt oc o n s t r u c ta n da n a l y s i sp i e c e w i s er a t i o n a ls p f i n e s ， a l g e b r a i cc u r v ea n ds u r f a c ef o ri n t e r p o l a t i o n i ti sc o m p o s e do fe i g h tc h a p t e r s f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tp r o g r e s so f p r o b - l e m st h a tc o n c e r nw i t hp a r a m e t r i cc u r v e sa n ds k r f a c e s ，a l g e b r a i cc u r v e sa n dt i m ：- f a c e s t h em a i nw o r k so ft h i sp a p e ra r ec o n c l u d e d 越w e l l ， t h es t u d yo fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nc u r v e s ak i n do fb l e n d i n gb a s i sw i t h t r i g o n o m e t r i ca n dp o l y n o m i a lf u n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e d ，t h er a t i o n a lc u r v eg e n - e r a t e db yt h eb a s i sw i t hl o c a ls h a p eh a n d l e si si n v e s t i g a t e d ，a n dt h ei n f l u e n c eo f e a c hs h a p eh a n d l e sf o rs p l i n eu n a l y z e d t h e r ei sae x a m p l ef o rt h es p l i n ec o n t r a c t t oh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n a tt h es a m et i m e w es t u d yap i e e e w i s er a t i o n a l i n t e r p o l a t i o ns p l i n eb e i n gt y p eo f 【2 m + 1 ，2 m ，w h i c hi sg e n e r a l i z e db yl o wd e g r e e g e o g r yr a t i o n a ls p l i n e ，a n dt h er e p r e s e n t a t i o no ft h e ma r eg i v e nw i t ha l g e b r a i c m e t h o d t h ed e g r e eo fa p p r o x i m a t i o na n ds h a p ep r e s e r v i n g 解ei n v e s t i g a t e d ，t h e n t h es p l i n ei sa p p l i e dt oac l a s s i c a ld a t af o ri n t e r p o l a t i o n t h es t u d yo fa l g e b r a i cc u r v e sa n ds u r f a c e s ，a na - s p l i n ea r ep i e c e w i s ea l g e b r a c u r v e so ff o u r t ho r d e ri si n v e s t i g a t e d ，w h i c hc o n s t r u c t e db yac o n t r o lp o l y g o nt h a t i ss e q u e n c eo ft r i a n g l e sm e e t i n ga tt h ev e r t i c e s t h ea r ci nag i v e nt r i a n g l ei sa s e g m e n tt h a tj o i n st h e s ev e r t i c e sa n di n t e r p o l a t e sa t s ot h es l o p ea n dc u r v a t u r ea t e a c he n d p o i n t t h j sa r ci ne a c ht r i a n g l ei sc o n t r o h e db yf o u rs h a p eh a n d l e s ，a n d a ne x t e r i o rp o i n tc o n t r o lt h es l o p ea tt h ev e r t i c e sp o i n t t h ei n d i v i d u a la r e si s s i n g u l a ra n da l w a y sm o n o t o n ei nt h e a 伍n et r a n s l a t i o nt r i a n g l et h r o u g hb a r y c e n t r i c c o o r d i n a t es y s t e m a n di tc 姐b ec o n v e xb ya d j u s t i n gf o u rs h a p eh a n d l e s i nc h a p t e r5 ，an e wm e t h o dt oc o n s t r u c tc 1c o n t i n u i t y ( n o r m a lv e c t o rc o n t i n u - i t y ) i n t e r p o l a t i o ns u r f a c e so nt r i a n g u l a t i o ni sg i v e n p o i n t si nat e t r a h e d r o nc a nb e r e p r e s e n t e db ys p a c eb a r y c e n t r i ec o o r d i n a t e ss y s t e mt h r o u g hs p a c e a t 五l n et r a n s f o r m b o t ha l g e b r a i cp a t c h e so ft h i r d o r d e rw i t ht h r e ev a r i a b l e sa r ec o n s t r u c t e di nt e t r a e h e d r o n ，w h i c hr e p r e s e n t e db ya l g e b r a i cb e r u s t e i n - b d z i e rz e r oc o n t o u r p r i n c i p a l - p a t c hi si nat e t r a h e d r o nf o r m e do i lag i v e nt r i a n g l ew i t ha n o t h e re x t e r i o rc o n t r o l v e r t e x a n dt h r e ev e l 托x e so ft h et r i a n g l ea r eo nt h ep a t c h s u b - p a t c hi si na t e t r a h e d r o nf o r m e do nt h ee o m n l o nv e r t e x e so ft w on e i g h b o r i n gt r i a n g l e sa n db o t h c o n t r o lv e r t e x e s ，a n dt h et w oc o m m o nv e r t e x e sa r eo nt h ep a t c h s o m es h a p eh a r t - r i l e s ( i n c l u d i n gc o n t r o lv e r t e x e sa n db e r u s t e i nc o e f f i c i e n t s ) c o n t r o lt h o s ep a t c h e s e a c ht r i a n g l ew i t hac o n t r o lv e r t e xb u i l d su pap r i n c i p a l - p a t c hi nt h et e t r a h e d r o n ， a n das u b - p a t c hc a nb eg a i n e db e t w e e nt w on e i g h b o r i n gp r i n c i p a i - p a t c h e s c o n - s t r u c t e dp a t c h e sc a nb ej o i n e da sc 1 - c o n t i n u i t y ( n o r m 8 lv e c t o rc o n t i n u i t y ) s u r f a c e s 苎圭兰堡丝奎：! ! ：，! 。：，! ! ，：! ! ! ：。：垫茎 t h r o u g hs o l v i n gs y s t e mo fh o m o g e n e o u sl i n e a re q u a t i o n sa b o u tt h eb e r n s t e i nc o d - f i c i e n t s c h a p t e r6c o n s t r u c t as p a c ea p p r o x i m a t es p l i n ew i t hi n t e r s e c t i o no ft w oa l - g e b r a i cs u r f a c e s t e t r a h e d r o nc a nb ef o r m e dw i t hf o u rs e q u e n c ea n dn o n - c o p | a n a r p o i n t si ns p a c e b o t hr e g u l a ra l g e b r a i cp a t c h e so fc u b i ca n dq u a d r a t i cw i t ht h r e e v a r i a b l e s ，w h i c hc o n s t r u c t e di nt h et e t r a h e d r o n ，r e p r e s e n t e di na l g e b r a i cb e r a s t e i n - b d z i e rz e r oc o n t o u r t h ei n t e r s e c t i o ns e to fb o t hp a t c h e sf o r mar e g u l a rs e g m e n t f i x e dq u a d r a t i cp a t c h e s b e r n s t e i nc o e f l i d e n t s ，w eg a i ni t sp a r a m e t r i cr e p r e s e n t a - t i o n t h ec u b i cp a t c h e sr e d u c et ot h r e eb e r u s t e mc o e 伍c i e n t st oc o n t r o ls l m p eo f c u r v e t w oo ft h e ma r eu s e dt oj o i ns e g m e n t si n t oc o n t i n u o u sa p p r o x i m a t ec 1 1 r v e 8 f o rg i v e ns e q u e n c ed a t ai ns p a c e t h eo t h e ri su s e dt oa d j u s ts e g m e n t w ec 粕 e a s yg e n e r a t eag 2 一c o n t i n u i t ya p p r o x i m a t ec u f y ef o ras e q u e n c ep o i n t ss i m i l a rt o c u b i cb 包i e rs p i n e sw i t hf o u rc o n t r o lp o i n t s t h em e t h o di sq u i t ed i f f e r e n t 矗o m p o p u l a r l ya l g e b r a i cm e t h o db yj o i n i n gp l a n a ra r ei n t oac o n t i n u o u sc u r v e t h ef i n a li s s u ei sa l s oa b o u ts p a c es p l i n e w ei n t r o d u g ean e wm e t h o dt oc o n - s t m c t8 p a c es p | i n eb a s e do i lm e t h o do fc h a p t e r6 ，c o n s t r u c taf u n c t i o n a lf o rt h e p a r a m e t r i co fa n t i c l a s t i ct og e n e r a t ed i f f e r e n ts p l i n ef o rq u a d r i l a t e r a la n a l o g o u st o b 包i e rp a r a m e t r i c a ls p l i n e ，b u tt h i ss p l i n ei sm o r ef r e e d o mf o rs h a p ec o n t r o l l i n g ， h a ：v i n gu n i f i e dr e p r e s e n t a t i o n ，a n dv a r i o u sf u n c t i o n s c a nb ec h o s ef o rs p l i n e c u r v e s g e n e r a t e db yt h es p l i n e si se a s yt oj o i n 鹅g 2 一c o n t i n u i t y k e yw o r d sa l g e b r a i cc u l ea n ds u r f a c e ，a l g e b r a i cs p l i n e ，b e r n s t e i n - b 6 z i e r s p l i n e ，f o c a ls h a p ef a c t o r s ，r a t i o n a ls p l i n e ，g 。- c o n t i n u o u s l y , p i e c e w i s ec o n t i n u o u s l y c n r v e ，p i e c e w i s ec o n t i n u o u s l ys u r f a c e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 撇名：粒眺埠年月4 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：薹乒李叠导师签名日期：埤年月4 日 博士学位论文 第一章前言 第一章前言 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) ( c a g d ) 由巴希 尔( b a m h i u ) 与里森费尔德( b i c s e n f e l d ) 在美国犹他( u t a c h ) 大学的一次国际会议 上提出4 】，以描述计算机辅助设计( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) 的更多的数学方面譬 如曲线、曲面，实体表示以及实体的重建与设计，至此计算机辅助几何设计开始 以一门独立的学科出现 曲线曲面造型( c u r v e s u r f a c em o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计和计算机图 形图像学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 的基础，主要研究在计算机图像系统环境下对曲 线曲面的表示、设计、显示和分析同经过几十年的发展，曲线曲面造型现在 己成为了以有理b 样条( r a t i o n a lb - s p l i n e ) 参数化特征设计和隐式代数( i m p l i c i t a l g e b r a i c ) 表示这两类方法为主体。以插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼 近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几何理论体系几何形状的核心问题 是计算机表示，需解决能有效地用计算机表示几何形状和几何设计的要求，同时要 有可行的计算方法能在计算机上处理，并且要便于形状信息传递和产品数据交换 的形状描述的数学方法，在文献【2 ，3 】中提出了关于形状处理和形状信息的几点要 求： 1 ：唯一性，也就是由给定的有限信息决定的形状是惟一的； 2 ：几何不变性，当用有限的信息决定一个形状时，如果这些点的相对位置确 定，所决定的形状也就固定下来，不随所取的坐标系统改变而改变； 3 ：易于定界，产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界； 4 ：统一性，能统一表示各种形式及处理各种情况，包括特殊情形； 5 ；计算处理简便易行，易于在计算机上实现和推广应用 从形状表示与设计的角度，计算机对形状数学描述和处理还有下列四点要 求： 1 ：具有丰富的表达力与灵活的响应能力； 2 ：易于实现连接，在较多的情况下是光滑拼接； 1 博士学位论文第一章前言 3 ：易于实现形状控制，要求形状的数学描述不仅要有整体控制的能力，丽且 须有局部控制的能力： 4 ：几何直观性，明显的几何意义易为工程设计人员所接受 其实自由曲线曲面在工业中的应用在此c a g d 提出之前已有较大的发展，它 是随现代工业的发展与计算机的出现而产生和发展的- - i t 新兴学科1 9 6 3 年，美 国波音( b o e i n g ) 公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢量函数方 法，突破了以往的标量形式耖= s ，p ) ，? = z ( x ，秒) 及隐式方程形式芦p ，弘z ) = 0 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m i t ) 的孔斯( c o o n s ) 州在四条边界围成的封闭盟线上 定义一块曲面片的方法，使得曲面的构造成为实用，在他后来的发展中得到了 广泛应用c o o n s - - - 次曲面“，它与f e r g u s o n 三次曲面的区别是角点矢量具有了自 由度，不再是零矢量，但同样存在形状控制与拼接的问题同年，s c h o e n b e r g 提 出了样条( s p l i n e ) 函数解决连接问题的一种技术，较好的解决了插值问题，由于 缺少自由度，形状难以可见，从而存在连续性曲线曲面生成的缺陷1 9 7 1 年，法 国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b d z i e r 给出了一种由控制多边形定义曲线的方法 由于方法简单，且出色的解决了整体形状控制问题，从而为g a g d 的发展奠定 了基础，但还是存在局部修改的问题1 9 7 2 年，德布尔( d eb o o r ) 给出了b 样条的 一套标准方法”，美国通用公司的g o r d o n 和r e s e n f e l d 于1 9 7 4 年将b 样条理论应 用于形状描述”1 ，得到了b 样条曲线曲面b 样条继承了b 6 z i e r 方法的优点，同 时也克服了他的缺点，同时较好的解决了局部控制和参数连接问题关于b 样 条的研究旱在1 9 4 6 年由s c h o e n b e r g 提出但论文直至u 1 9 6 7 年才发表嗍后来还 有b o e h m ( 1 9 8 0 ) 【9 l 、c o h e n ( 1 9 8 0 ) 1 0 1 ，f o r f e i t ( 1 9 7 2 ) 、p r a u t z s c h ( 1 9 8 4 ) 等人的升阶 技术 前面所述方法较好地解决了自由曲线曲面的描述问题然而在对初等曲线曲面 是不成功的，均只能近似的描述，而代数的隐方程解较好地满足这一要求同时有 理曲线曲面由于能解决这些问题在二十世纪七十年代又得到较快的发展二十世 纪八十年代后飙菲均匀有理b 样条( n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ) 仪u 删方 法成为用于曲线曲面描述的最广泛流行的数学方法现今，n u r b s 仍在进一步发 展中，譬如权因子对参数化的影响及权因子的确定还待深入研究 参数形式的曲线扛= x ( t ) ，可= y ( 幻) 与曲面和= x ( u o ) ，譬= y ( ，u ) ，z = z ，口) ) 由于构造简单，容易计算成为几何设计的主流，而隐式形式只o ，弘o ) = o 像 2 博士学位论文第一章前言 是逐渐被人们忽略然而研究与经验表明，对c a g d 的许多问题，隐式形式同样或 者更为有效1 1 1 1 隐式形式有如下优点： 1 ；隐式形式相对参数形式有更多的自由度，相对同次的参数形式提供了更多 的形状控制因子，因而可达更高的连续性： 2 ：隐式形式代表更广泛，参数形式仅为隐式形式的一个子集，所有参数形式 通过消去法可得其隐式形式： 3 ；隐式形式表达式紧凑，具有几何运算下的封闭性，例如( 求交，求和，偏 移( 豳e t ) ) 的结果均可方便表示成隐式形式，而参数形式不具有这些特点； 4 ：隐式形式容易判断空间上点的位置 但隐式形式同时也有其缺点： 1 ：隐式形式表示简单，但计算不方便，涉及到非线性方程的求解问题但对 离散的数据可通过数值求解方法求出近似解，也就是近似空间点的位置； 2 ：隐式曲线曲面有奇异点的存在，为构造设计带来一定的不便因此在代数 方法在几何设计中关于奇异点的判断是一个首要的关键问题，目前已有较好的充 分条件的结果可被利用； 3 ；隐式形式有多个分支对较低次( 二次，三次和四次) 的代数曲线曲面的分 支相对还是较直观，因而对较高次的研究目前还是比较困难 1 1 参数曲线曲面 当今，对曲线曲面的设计的研究主要有两个主题：一个是曲线曲面的连续性， 另一个是曲线曲面的光顺性；文【2 】中阐述了曲线曲面光顺的几个准则平面曲线的 光顺连续性的四个准则，当然也极易推广到空间曲线，其具体描述如下： 1 ：二阶几何连续性： 2 ：不存在多余的奇点和拐点： 3 ；曲率变化较小： 4 ：应变能较小 曲面的光顺性同样可参照曲线的光顺性，如果样条曲面的两个网格线符合样条曲 线的光顺准则。这样曲面就有一个合乎光顺的网格骨架但是这还不能反映曲面的 3 博士学位论文 第一章前言 光顺要求，因为网格线的光顺并不能代表曲面的光顾，还涉及瞳面的应变能由于 曲面的应变能过于复杂，般采用一个近似的公式 e = ( k ；+ 鼋) d s k l ，物分别表示曲面的主曲率尽管是一个近似公式，可其计算量也是可观的现在 所采用的手段较多的还是显示曲面上的等高斯曲率线，进而显示高斯曲率的彩色 光栅图像，从而了解到曲面的光顺性情况 1 1 1 一般参数曲线 参数三次多项式样条曲线在c a g d 中有其及其重要的地位，因为除了可做 到俨- 连续的基本性质外，作为理想的分段插值曲线( 例如h e m 曲e 插值曲线) ，还要 有如下特点： l ：存在惟一性，当数据点，数据点的边界条件与参数分割确定后，所定义的 三次样条曲线是惟一的，因此也说明它不具有修改的t l 由度 2 ；收敛性，当数据点无限地加密时( 数据点的最大间隔无限小) ，它所确定的 样条无限逼近被插值曲线 3 ：计算稳定性，改动一点或端点处边界条件，样条曲线的改动会随着曲线的 逐渐减弱 4 ：整体性及不易修改性，也就是曲线任意条件的改动对整个曲线均产生影 响，当然不利于局部修改 由于这些特点，后来对参数曲线的研究绝大部分是关于三次的，包括三次的其它交 形形式，譬如混合( 多项式与三角函数，多项式与指数函数等) 的三次曲线近几年， x h a n 在低次三角函数的样条构造和表示方面做了很多工作“” 在参数曲线的光顺问题中，保形也是插值( 逼近) 曲线的一个重要内容，一般 讨论的是曲线在给定区域的单调性和保凸性文【1 5 】对一般保形插值( 逼近) 曲 线有较好的综述，也包括拟合和有理样条并对各类不同方法均举例予以说明 c z h a n 科1 6 】介绍了一类带有形状因子调整的三次样条和双三次曲面样条，利用最 小能量光滑化的新方法还有m e e k 和d u a n 等人在二次和三次有理样条方面的工 作似删 一般意义上的参数多项式曲线的应用日臻完备，广泛应用于机械设计、图形图 像等方面因而近些年，对这些成熟而又经典的方法没有太多的改进和发展，关于 4 博士学位论文第一章前言 曲线的大部分研究工作是集中有理曲线，混合曲线及新样条曲线的发现和探讨，而 更多的研究是关于曲面的 1 1 2 参数曲面 随着计算机功能的日益强大，采样技术和硬件设备的日益完善，对图形的真实 形、实事性，交换性的日益增强随着几何设计对象的多样性、特殊性和复杂拓 扑结构的日趋统一，曲面造型近凡年得到了长足的发展，主要表现为研究领域的急 剧扩展和方法的开拓创新研究的主流有【3 ，2 0 ，2 1 】： 1 ：传统的曲面造型的研究主要集中在曲面表示，曲面求交和曲面拼接上面 现在已发展到曲面的变形、重建、简化、转换和偏移等方面 2 ：基于细分的曲面的方法，由于计算机所表示的均为离散的点，细分方法是 将连续的模型离散化，这是一个从离散到连续，再到离散的过程其优点是能实现 曲线曲面的快速绘制l c 唧吲和d y n 嘲等人提出了基于三角网格的细分方法，均 受到当今图形工作者的重用，尤其在九十年代以后，细分的造型方法得到了迅猛发 展 3 ：基于物理模型的造型方法，主要利用曲面的物理弹性能和变分法等思想应 用于曲面设计这些方法具有下列特点： 1 ：曲面的形状的改变服从物理准则； 2 ：在给定的约束条件下，这种动态模型的平衡状态具有最小能的特点； 3 ：能量模型建立在传统的标准几何模型基础上，交互和自动设计可约在能量 模型的物理层进行 4 ：基于偏微分方程( p d e ) 的曲面造型方法由l e e d s 大学的b l o o r 等人在八十 年代将偏微分方程引入c a g d 领域其基本思路是起源于将过渡面的构造问题看 作一偏微分方程的边值问题，而发现该方法在c a g d 中的许多应用嗍p d e 曲面使 用一组椭圆偏微分方程产生曲面，其形状由边界条件和所选择的偏微分方程确定， 该方法的特点是：构造曲面简单易行：所得曲面自然光顾；确定一个曲面只需少量 的参数( 用户只需给出边界曲线和跨界导失即可) ，并可通过对这些参数的修改来 调整曲面；在功能曲面设计方面有很大的潜力 5 博士学位论文第一章前言 1 2 代数曲线曲面 1 2 1 代数曲线曲面的参数化 已知所有的二次曲线均可以参数化，三次和高次曲线只有一个子集可有理参数 化，文【2 5 】对三角形重心坐标仿射交换的任一三次多项式族，= 0 ，简记为z 有如 下的等价性质2 ”： l ：，为有理的，也就是说它有一个有理的参数化形式； 2 ：它可表示为有理三次b d z i e r 形式： 3 ：芦为零亏格( g e n u sz e r o ) 1 ： 4 ；，为奇异的。恰好有一个二重点 并对三次代数曲线 ，= 口s 2 “2 + b s 铲一c s t 2 一d t 龟+ e s t u 一，矿= 0( 1 1 ) 给予了有理b d z i e r 化的具体研究对于不可参数化或难于参数化的曲线、曲面只 能寻求某种近似的参数化方法，主要工作有：在光滑点处将其中一个变量表示成另 一个交量的幂级数形式；同样也可用脚o r 展开方法实现嗍但是对奇异点处的 参数化只能通过参数化逼近的方法删，但是这种方法的应用是有限的，得使用改进 的p & ：l e 逼近对曲线的每个分支构造局部有理参数逼近 g x u 在文1 3 l j 介绍了三类d ( d i s c r i m i r m t i n g ) 一正则代数样条，即通过仿射交换 把z 扩平面的三角形和四边形区域转化为靠平面的【o ，l 】( 一o o ，+ 。) 区域，并利用 它们对不同的代数曲线实现插值和逼近所使用的样条具有：非奇异性，易转化为 单变量的有理函数等优点，并使用b e r n s t e i n 系数关系有效地对曲线的逼近，能避 免r u n g e 现象，并实现误差控制 二次代数曲面均可有理参数化，三次代数曲面除了锥形和桶形外也可有理参数 化“1 列，虽然许多匹次曲面( 如圆环与圆桶) 可以有理参数化，可是大多四次曲面不 能有理参数化只能选取分片近似的参数化方法但是在计算过程中，近似参数化 1 亏拮是一个基本不变蕾【见书f 2 7 j 】，拓扑学关予二维流形分类的结泉告诉我们，任何可定匈的二维蘩漳形舒同艇于一个 具有若干环柄的球面。这个环柄的个数口称之为= 维紧曲面的亏格 p p ：9 - l 川亏格为零的可定向紧地颇就是通常的球面，亏 格为l 的可定向鬟曲面就是环面，亏格为2 的可定亩】譬曲面就是取环诃并且有亏格公式缸，p ：嬲1 0 2 1 设ccp 。是矗次不可约 代数曲面，它的j 个奇点都是通常的= 重点，d ：o _ c 是其正剜化，有亏格公式：口；垡墨萼重型一d 6 博士学位论文第一章前官 是非常需要的b l o o m e n t h a l ”提出一种基于空间八叉树( 0 c t r e e ) 分割的分片线性 逼近隐式曲面的方法，该方法从一个包含所考虑曲面的立方体开始，逐次分裂，直 到每一个八叉树内的曲面近似于一个平面，然后用线性插值法确定曲面与八叉树 立方体棱的交点，利用这些交点连接起来的多边形逼近该立方体内的曲面，此方法 简单、易实现，不足之处是多边形的构成方式有时不惟一此外a u g 婀等分别 使用单纯形延拓的算法来获得分片线性逼近，具体是从曲面的一个正则点开始，向 周边扩张产生一系列包含曲面的单纯形，在每个单纯形内用线性插值逼近其中的 曲面还有c b a j a j 等构造了代数曲面的自适应盼三角化，并在其上产生光滑的 有理样条逼近。且考虑了曲面的奇异点和奇异线的处理方法 1 2 2 代数曲线曲面的构造方式及其正则性 因为代数曲线与曲面可有奇异点和多分支性，所以在几何设计中应用的也就是 其光滑部分通常所定义的曲线曲面的区域和方法有： 1 曲线：三角形、平行四边形 2 曲面：四面体、平行六面体、三棱柱、四棱锥体 定义代数多项式的方法一般用b e r n s t e i n - b z i e r 和直接构造多项式代数族的方法 定义在区间【n ，胡上的n 次b b 形式的多项式为： 焖= 喜吲= 瓦x - a 硎牡志即卅。 定义名e m t $ 空间上的b b 形式的多项式通常有两种方式： 一是定义在m 维空间中的平行2 m 面体( m 3 ) 上的张量积形式 f ( z l ，霉。) = 加钿b 黯，) b 。n ：2 ( t 。) 砺( t 。) i 1 ：= 0 缸f f i oh = o 其中l ，岛，t 。c a ( x t ，1 ，z 。) t = p o + 銎l ( p i p o ) t , ，0 t i l 定义， 且p 一p o g = l ，m ) 线性无关 另外一种是定义在m 为单纯形( 仇3 ) 其b - b 形式为 ，( 勋，) = 小殁如如，口l ，) 1 l + 白+ + m = 8 其中 觇咖( 咖煳，) = 赢毋n 嘲 7 博士学位论文第一章前官 且( 。l ，茁l ，。) t = 函只，0 啦l ，岛o t i = 1 ，( o t 0 ，口l ，。) t 被称为 点0 l ，。l ，如；) 7 的重心坐标 通过，= o 来定义代数曲线和曲面，使得定义在三角形或四边形以及三维基本 体素上的光滑且单值的曲线曲面 再来看曲线的正则性的研究，s e d e r b e r g 嗍证明了：如果所以位于平行三角 形某一边的线上的系数均为单调递减( 增) ，那么任何一条平行于这条边的直线 将与所考虑的代数曲线至多相交一次后来在文【3 7 】指出：玩，o ，。一0 ，b o 。，m 一 0 ，6 m i , i , o 0 以及在重心坐标系( o ，o t l ，眈，d 3 ) 式( 1 1 ) q h ，关于方向口l = o t o t 2 的方向 导数非零，为一个保单值性的条件更一般的条件是由b a j a j 和x u 给出的，只要 求b e r n a t e i n 系数在某个方向上有一次变号，可证明这曲线是正则的并且对四边 形的b - b 形式有类似的结论相对而言，四边形的应用比较少，因为在三维空间中， 其仿射变换为退化的仿射变换我们所用的约简形式( 大部分系数固定或等于零) 的 正则曲线进行插值和逼近，并且这种约简形式的低次插值和逼近可转化为经典函 数形式的插值和逼近，且误差是可以控制的 曲面的正则性，还有s e d e r b e r 毒”证明：如果定在四面体上的b - b 形式的多项 式的系数在一棱的方向单调递增( 减) ，那么任何一条平行于该棱的直线将至多 交曲面一次我们认为定义在给定四面体区域内的曲面是正则的而g x u 和c n a j a i 眦“1 给出了一个简单而易用的条件，即b - b 形式的系数在某一方向至多 有一次变号但这仅仅是说明曲面正则的一个充分条件，充要条件现在还未曾见 到 1 2 3 合成代数曲线曲面的连续性和光顺化 合成连续( 光滑) 代数曲线曲面是指由分片形式的代数曲线和曲面合成一个整 体上具有一定光滑度的曲线和曲面样条曲线相对曲面而言，它的合成情况相对 较简单些，一般是给定平面上一有序点列，构造一条代数曲线插值或逼近这些点 一般首先对这些点列选取控制点的方法，构造一系列三角形或四边形，这些三角 形和四边形包含所给的点列，然后在这些三角形或四边形上构造插值或逼近所 给点列的正则曲线段，并实现光滑拼接”“给定数据点列的二次代数曲线的插 值( 逼近) 曲线见图1 1 该方法从形式来看，有类似b 6 z i e r 样条的形式，但具有更多 的自由度，从而可达更高的连续性以三角形上的二次曲线为例，通过选取相应 8 博士学位论文 第一章前言 的b e r n s t e i n 系数，可使曲线达到c 1 连续，并且该曲线还可通过选取b e r n s t e i n 系数 使得曲线经过三角形中的任意一点，两二次的b 6 z i e r 样条却无法实现如果使用更 高的代数曲线，则具有更好的光滑性文【4 2 】讨论了定义在四边形上的代数曲线合 成，并描述了构造插值曲线的方法，但相对三角形的发展较慢还有文| 4 3 】讨论了 用代数的方法对给定约束区域的曲面的拼接方法 对离散数据点利用代数曲面片合成光滑曲面的方法目前还在进一步发展中。关 于曲面连续性的定义和解释在文1 4 4 中有专门的论述曲面合成的一般的思路是： 首先对该离散数据的三角化，再在三角化的拓扑结构上构造分片代数曲面，最后实 现光滑拼接 田1 1 给定敢据点列的= 欢代数曲线的光滑拼接 c b 8 j a j 和i h m 通过在三角化的每个顶点处计算出一个法向量，在每一条边 上构造一条通过该边两端点，且在端点处与所产生法向量正交的有理曲线，同时构 造一条插值端点法向量的法向量曲线最后通过对每个三角形解线性方程组构造 一个七次代数曲面，该曲面包含三边的曲线，并具有三边曲线的法向量直观地看， 这样的曲面在拼接处有相同的法向量，因而光滑但是对七次这样一个次数太高曲 面的正则性问题没办法解决同样在【4 5 】中介绍了一种符号和数值相结合的方法构 造g 0 和g i - 连续分片逼近曲面大致的步骤是：第一步，判剐逼近曲面奇异情况，若 有奇异点，贝目在给定奇异点区域实施分片线性逼近；第二步，对曲面作三角化逼近； 第三步，构造网格线；第四步，作分片逼近在构造过程中，还考虑了能量最小法修 改网格，其优点是计算速度比较快，因为均是网格定义曲面的形式作逼近曲面但 是也没有一个普遍适用的算法和设计方法 9 博士学位论文第一章前言 另一种方法是定义在四面体上的曲面片通常所用的方法是在每个三角形选 取对应的顶点构造一个四面体，在四面体内构造正则曲面片，并实现曲面片之间的 光滑拼接s e d e r b e r g 嗍讨论了在四面体上的曲面片，并提出了拼接问题，但未给出 具体的方法d a h m e n i “l 提出了一个使用二次多项式构造显式曲面的方法，该方法 类似g t 分割的思想，