（计算数学专业论文）关于平面弹性问题的lockingfree有限元方法的收敛性.pdf

摘要 本论文主要考虑的是用非协调有限元方法解决平面弹性问题的l o c k i n g 现象，我们构造 了一个四边形单元，能够克服l o c k i n g 现象，达到收敛的目的 对位移边晃条件下的平面弹性问题来说，关键是构造一个算子t ：l 2 ( t ) + ；o h ，7 t w = 南厶w d z d l l ，斥w = 南矗w d s 本文构造丁一个四边形单元，在此单元上定义的有限元空间 使上述算子刚好满足d i v l t f f = ? 2 d i v f f 对应力边界条件平面弹性问题来说，非常重要一点 是要求第二k o r n 不等式的离散形式在非协调有限元空间成立，本文我们得到了一个新的非 协调四边形有限元格式，然后，我们证明了此非协调有限元的收敛性，并给出了最优的误差 估计式 关键词t 平面弹性； 非协调有限元；l o c k i n g 现象 a b s t r a c t t h et h e m eo ft h i sd i s s e r t a t i o ni su s i n gn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d st oa v o i dl o c k i n g p h e n o m e n o ni np l a n a re l a s t i c i t yp r o b l e m ，as u c hr e c t a n g l ee l e m e n ti sg i v e n t h ek e yt ot h ep r o b l e mi st h ec o n s t r u c t i o no ft h eo p e r a t o rf o rt h ep l a n a re l a s t i c i t y ：o t ： 二2 ( t ) u ，竹 = 诗lf tw & d y ，厅t | ，= 南j ：fw d s ，h e r et h ef i n i t ee l e m e n ts p a c e s i nt h er e c t a n - g l ee l e m e n tc a ns a t i s f i e st h er e g u l a z 埘o fo p e r a t o rm e n t i o n e da b o v e t h ek e yt ot h es t e pi st h e p r o o fo ft h ed i s c r e t ev e r s i o no fk o r n i s e c o n di n e q u a l i t yi nt h en o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n ts p a c e s f o rt h ep l a n a re l a s t i c i t yw i t hp u r et r a c t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n ，h e r ean e wn o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n tm e t h o dw a sp r o p o s e d ，t h e n ，t h eu n i f o r mc o n v e r g e n c eo ft h ee l e m e n ti sp r o v e d ，a n da n o p t i m a le s t i m a t ei sg i v e n k e yw o r d s ：p l a n a re l a s t i c i t y ；n o n c o n f o r m i n gf i n r ee l e m e n t ；l o c k i n g - p h e n o m e n o n 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等 违反学术道德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法 律后果，特此郑重声明 学位论文作者 b 易呻立 伽弓 1 z 引言 当今。有限元已经广泛地应用到各个领域，特别是在解决实际的计算中起到很大作用 有限元方法在中国和西方从不同的实际背景沿着不同的学术道路，各自独立平行地发展起 来，在西方，有限元的思想在库郎1 9 4 3 年的篇论文中明朗提出过，但一直没有受到重视， 2 0 世纪5 0 年代中期，欧美工程界阿吉里斯，克拉夫等以航空工业为背景，在结构分析和矩 阵方法基础上提出了结构有限元的雏形，6 0 年代初期，引进连续体的单元剖分6 0 年代 中期，逐渐明确有限元方法是变分原理加剖分逼近的思想，1 9 6 8 年，西方数学家对有限元 方法进行数学的理论分析 在中国6 0 年代初期冯康，黄鸿慈等结合一系列大型水坝建设的应用分析问题。开展 了椭圆型边值问题数值解的系列研究，为了克服问题传统提法中的几何复杂性和材料复杂 性，把能量法和差分法结合在一起，于1 9 6 4 年建立了求解椭圆型边值问题一套普遍有效的 方法，命名为基本变分原理的差分方法，即统称有限元方法与此同时，建立了方法的数学 理论基础，而后2 0 年中，周天孝，唐立民对混合元拟协调元的发展，应隆安等对无限元的发 展，冯康对边界有限元的发展，石钟慈对非协调元的发展，林群对有限元外推理论的发展， 都作了重要贡献 本文的写作安排如下， 第一章t 介绍预备知识。列举本文所用到的定理和不等式，并介绍了有限元的基本知识 第二章列举了平面弹性问题的一些记号和概念，并给出了两种边界条件下的收敛性 第三章分析了纯位移边界条件下平面弹性问题l o c k i n g 现象的产生原因，给出了相应的解 决办法 第四章，分析了应力边界条件下平面弹性问题l o c k i n g 现象的产生原因，利用构造单元，定 义新的双二次型的办法达到克服l o c k i n g 现象，得到收敛效果 1 1s o b t e v 空间及一些记号 第一章预备知识 下面的内容可以在以下参考文献中找到【1 】1 、【2 】、【1 0 、【1 5 令。是空间舻上连通区域的开集，磊为集合n 的闭包，n 为有界区域，a n 为其边界 妒( q ) 的全体构成个b a n a c h 空间，其上范数定义为t 0 刘p ( n ) = 【如i ( x ) i p d x 1 加，当1s p o o | | 刘护f n ) = e s 。s u p ，( 。) j ，当p = o 。 w ”巾( q ) 空间定义为t 当l p w ”巾( n ，= 口2 ( f t ) l d 8 酽( n ) v l a isn q ) 其上范数定义为， 删m n = 0 d 。”n 】1 p m m 当p = o 。时，对应的空间及范数定义如下t w ”巾( n ) 的半范数定义为 m 禹n 2 爵刘伊帆泖 ”o 。( q ) = l n i m ，* ，n n ( m 一1 ) 柏是非负 整数，则成立t w ”+ j 。( n ) t 1 ( _ ) 其中 由下列条件确定t l ：如果n ( m 1 ) p ，则0 m 一罟 2 ：如果n = ( m 一1 ) p ，则0 a n ( m t ) p ，0 a m 一罟则 w + j 。( q ) l qg 似( 囝 定理1 1 4 ：设有界区域n 的边界a o g m ，则定义在c - - ( 竭上的迹算子。 t b ( ，瓦0 uo o ，瓮 3 可扩充为日m ( q ) 到节1 日m j 一 ( a n ) 上的有界线性算子； j = o 定理1 1 5 ：设有界区域n 的边界a n c “，则定义在a q 上的迹 存在函数t 日”( q ) ，使得t 鲫h m j 一 ( 踟) 】j = 0 ，1 ，m 一1 祟：$ ，j ：o ，l ，m 一1 丽。$ ，j 5 ”，1 ，。，”一1 且存在只依赖于n 的常数c ，使得 r a - 1 m 。n s e 。手 撇 j ；0 定理1 1 6 ：设n 是空间舻中的有界区域，抛g ”，则 珊( 啦k e r , 7 悱日m ( n ) m = ( t ，象，瓮) ) _ ( 0 1 0 ， o ) 下面介绍几个常用的不等式，其中的内容详见下列文献， 3 ，【4 】， 1 1 1 ，【12 1 【l f i l ， 2 0 j ，【2 2 j 定理1 1 7 ：( m i n k o w s k i 不等式) 如果1s p o 。，u 妒( n ) ，u ( n ) 则 n u + v l l o ，p ，n 墨0 u l i o n + l l v i l o , , n 定理1 1 8 ：( h i ；f d e r 不等i 勺如果l p ，一为其共轭指数，即i 1 + = 1 ，而且t 妒( n ) ， ( n ) ，贝0t 工1 ( q ) ， 上小巾) l a x _ i i u i i 。加”t l 。巾 定理1 1 9 ：( p o i n c a r $ - f r e i d r i c h 不等式) 设q 是有界l i p s c h i t z 区域，d 为n 的区域直径。 1 n i 为n 的测度，1 s p 则存在与q 无关的常数c 使得； ( 1 ) ：若t w 曙巾( n ) 贝4 t l | t l | o 护，n g d l u h 一，n ( 2 ) ：若u w 1 毋( q ) 则； 娜s c ( d l u i ，巾丑+ l 高正溅| ) 4 定理1 1 1 0 ：若q 是无界区域或有界l i p s c h i t z 区域，设1 o 使得 l d ( u ，t ) i a 0 “0 备v t 日 定理1 2 1 ：( l a x - m i l g r a m 定理) 设口( ，) 是定义在日h 上的有界强制双线性型，对于任 意，存在唯一的u 盯。满足， 口( u ， ) = 铷日 并有估计式z 日s 刳州 其中日是对偶空间， 表示对偶积 设v 为h i l b e r t 空间，o ( ，) 是定义在v 上的双线性型，f 为定义在v 上的连续性泛函，且 存在常数c 与口 0 ，使得t b ( u ，口) sc l i t i i ”i i l l ”v u ， v ( u ，“) n l i 0 ：v u v 考虑变分问题 求t k使得 ( 1 - 1 ) ia ( t ，口) = ，( 口) ，v 口k 设为逼近于空间v 的有限元空间，则上述问题的近似问题为： j 求u h ， 使得 ( 1 2 ) 【a h ( u h ， ) = ，( ) ，v n k ， 当hcv 时，( 1 2 ) 为( 1 1 ) 的协调有限元逼近，误差估计由下面的碰n 引理给出t 引理1 2 2 ：存在与h 无关的常数c ，使得； i i ”一” g 。i n h f i l u - 训” 当v h 芷v 时，我们称( 1 2 ) 为( 1 1 ) 的非协调有限元逼近。误差估计由下面的s t r a n 9 引理给 出： 引理1 2 3 ：存在与h 无关的常数c ，使得； 1 u - - u h 蚓剖i i v u v h + 勰掣) ，( 1 3 ) 非协调有限元的工2 范数抽象误差估计式由下述引理给出； 引理1 2 4 ：设h 为h u b e r t 空间，其上的范数定义为日，内积定义为( ) ，v 连续嵌入到 h 中，若c v ，则存在与h 无关的常数c ，使得 一u ”日 0 是与h 和 无关的常数 证明t 设i t ：( 日1 ( q ) ) 2 + 玩是分片多项式插值算子，由c a 引理； a d 一诹i 懵n n ( 疗一该，矗一诹) 如i n h f 口( 矗一碗，矗一讳) n ( d h h f f ，宙一n 回 p i 矗一 讨i ，n + ( _ “- i - a ) 0 击 ( 面一n 回0 3 n 5g ( 2 p + ) 0 ( d 一 回i 瞪n g ( 2 p + ) 2 i 矗l ；n 证毕 对固定的a ，上述误差估计式说明了平面弹性问题的协调元是收敛的，但当 + 。o 时， 我们用通常的协调有限元来逼近原问题。无论h 多么小，都得不到任何收敛性的结论。从而 产生l o c k i n g 现象 该问题的关键是估计t ( p + a ) l d i ( d 一 回8 3 n 由【9 】知t 在解决纯位移边界条件下平面弹性问题的l o c k i n g 现象中，其主要思想是构造这 样的有限元空间及插值算子t ：( 日1 ( n ) ) 2 h 使得下式成立t 出” 矗= 7 a d i v 矗 1 3 其中：恤：工2 ( n ) w h 也是插值算子，而 t o 是比h 低阶的分片多项式空间 并且要求算子对任何矗旧1 ( q ) ) 2 具有下面的性质： i i d d v 矗一7 h d i v a l l o ，n c h l d i v d l l ，n 对于纯位移边界条件下的平面弹性问题，利用正则性估计t | i 矗1 1 2 ，n + i 硪 d i l ，nsc h 0 ，1 l o ，n 则有下面的误差估计t 1 1 , 7 一 _ l l h o c h l l ，j l o , n 对于应力边界条件下的平面弹性问题，也要求算子讥对任意矗矿具有下面的性质。 j i d i v 面一7 n d i v 口l l o ，n c h l d i v g h ，n 利用正则性估计； i i , i l h ，n - i - i 出u 训1 ，n ( 1 n 酬芥l o ，n + 0 于瞻a n ) 则有下面的误差估计一 j 矗一, 靠l l h ，n c h l l 开l o ，n + 1 1 剜1 鼬) 其中为正的常数，与h ， 无关，厂工2 ( n ) ，砝为有限元逼近方程的解 这样，就得到了关于a 致的误差估计，此时满足上述条件的有限元空间将不再是协调 元空间，而是非协调元空间。这时c a a 引理将不再成立，我们将利用s t r a n g 引理来进行误 差估计一 定理2 , 2 2 ：( s t r a n g 引理) 设“与嘲分别为( 2 5 ) 和非协调元的逼近解： 则 旧吲| g ( 撼忙吲嗽s u p 。h 逝等蔷! 划) ， 1 4 第三章：一个纯位移边界条件下的平面弹性问题的有限元方法 3 1 模型方程和单元构造 本章内容可以参考以下文献，【5 】，【1 3 ，【1 4 ，【1 8 ，【1 9 本章中，我们提出一种新的方法来解决纯位移边界条件下的平面弹性问题的l o c k i n g 现象。 这种方法和p l _ + n o n c o n f o r m i n g 的例子不同，主要是构造个新的四边形单元，在此单元 上定义有限元空间，能够克服l o c k i n g 现象，能量模的收敛性不依赖参数 在1 1 2 】中王烈 衡构造一个四边形有限元空间，达到克服l o c k i n g 现象的目的，但王的四边形比较复杂，这 里构造四边形的方法是r o b u s t ，o p t i m a l 考虑模型方程t 一p d 一( p 十 ) 9 r 以( 出 回= 五 在q 中， ( 3 1 ) i口= 0 ，在a q 上 这里 和p 是l m 6 常数，假定( ，p ) ( 0 ，+ o o ) 山1 ，p 2 】，并且0 p l p 2 设d ( ，) ：嘲( n ) 1 2 口瑶( n ) 】2 r 是对称双线性，定义为； 。 回2 厶卢g 。积：9 ”。d 弛由+ 厶似+ a ) d 6 d i v 6 d x d 9j nj n 这里矗= ( u 1 ，2 ) ，矗v = ( 础( q ) ) 2 问题( 3 1 ) 的弱形式 找到矗v ，使得对任意，陋2 ( n ) 1 2 ln ( 匾司= ( 五回， 【( f 回= 如如 d z d y ， 本章中我们假定q 是r 2 中有界的凸多边形区域， 逼近问题t i 找诹v h ， ia ( 魂，碗) = ( z 玩) ， 我们很容易得出下面的误差估计。 v 订v ( 3 2 ) 为v 的协调有限元空间，则( 3 1 ) 的 使得 v 该k 定理3 1 1 ：假定矗v 和6 h h 分别为( 3 1 ) 和( 3 3 ) 的解，【铲( n ) 】2 1 5 ( 3 3 ) 则下面的误差估计式成立 | | d 一诹0 l ，nsg 面而 1 矗1 2 。n 这里g 是正的常数与k 豸无关 ( 3 4 ) 注一本章中0 是个不依赖于h 的常数，不同的地方或许不相同 引理3 1 2 ：变分问题( 3 1 ) 有唯一的解d 嘲( q ) n 日2 ( n ) 】2 ，并且下面的椭圆正则性估计式 成立； a 0 硪 矗| | l ，n + jj , i 1 1 2 ，n c l l l o ，n ( 3 5 ) 从定理( 2 2 1 ) 可以看出对固定的a ，协调有限元方法是收敛的( 因为h + o ) 但当 a o 。，弹性材料变的不可压，这时协调有限元不再收敛【5 1 ， 1 4 1 。这就是所谓的l o c k i n g 现 象，为了克服这种困难，下面我们考虑非协调有限元 下面我们考虑单元构造t 设立= 一1 ，1 】x 【一1 ，1 】是四边形参考单元，四个顶点坐标五，五，南，也 设矗：蕊，毛：蕊，毛：蔬，矗；蔬， 那么我们定义在定上的参考元为z 这里 = 偷，逮，南，赢) ， 户= s p a n 1 ，f ，q ，”2 ) x l ，f ，叩，2 ) = 南石掘渊，z ，3 ，t ，z 可以证明这样定义的插值是适定的，插值函数为t i - i t 秽= 畔甙，衅) d 2 】 唧承l ，= ：嗡1 + s 铲一一巩+ ；一嘏 + ；一嘏付；+ 一一1 ”2 ( 。e ) 1 6 笋d 2 ) ：知3 责2 + 3 瘟甜一南一瘟2 】+ 忘一赢2 】f + ；一嘏”+ ；一铲+ 铲一嘏2 ( 3 7 ) 规定单元k 的中心点为( z ，y k ) ，并且平行于z a x i s 和y - a x i s 边长分别为2 h 。，2 h 。，h = m o z ( j k ，h g ) 设如：霞+ k 是一个可逆的仿射等价映射tz = 2 k + 。f ，= y k + 押 p r = p = 筘。j ；1 ；声声) 定义有限元空间为t 昧= 魂；碗毋，二靖出= 二啄出，v f 卯+ n 押一，f 正勰，二壤幽= o v f c o a 设 竹儿2 ( t ) ，u 一，竹t t ，= 南二”如由，玮w = 南上u d s ( 3 - 8 ) w h 是比壤低阶的分片多项式空间 下面的引理在证明最优误差估计中很重要t 引理3 1 3 ： d i v i t d = 7 r d i v 秽w ( h 1 ( t ) ) 2 证明t 由t 秽的定义t 姗秽：譬+ 掌 ：；峨一蛊1 】+ ；畸孙一责2 】 = ；【高厶亭”却一而1 厶分u 训+ j 1 11 f 爿( 2 一高厶守2 矧 = 高二警蜘+ 高二筹蚋 2 亩厶撕谜由 = 下r d v g f 3 9 ) 引理3 1 4 ：h t 对一阶多项式精确成立。即，v 声( a ( t ) ) 2 使得 n t 户= 声 证明，由t = 【n ，n g 】的定义可以很容易证明 1 7 3 2 非协调有限元的收敛性 下面考虑( 3 2 ) 的非协调元逼近t 找 嘞讫使得 ( 3 1 0 ) i 凸 ( 诹，现) = ( 五磊)v 靠唬 、 引理3 2 1 ：设矗【日2 ( n ) n 础( n ) 】2 和魂讳是( 3 2 ) 和( 3 1 0 ) 的解，( 工2 ( q ) ) 2 i o ，1 1 】 那么t 忙m ，n 0 是与h 和a 无关的常数 下面的正则性估计式成立t 引理4 1 2 ：存在一个常数c h 使得当，工2 ( n ) ，矿日 ( a q ) 有t l i , i 1 1 2 ，n + a l d i v , x , ，ns ( 删州o ，n + 8 于0 ，a n ) 其中为正的常数，与h ，a 无关， 下面我们考虑一种新的非协调有限元 下面我们考虑单元构造t 设立= 卜1 ，l 】【- l ，1 1 是四边形参考单元，四个顶点坐标t 五，如，鑫，也， 设矗：赢，毛：硫，矗：蕴，矗：d 一4 d l ， 2 1 那么我们定义在露上的参考元为。 = 庆，忘，南，赢) p = 8 n i ，f ，q ，q 2 ) l ，f ，q ，2 ) 这里瘟= 南丘1 = 1 ，2 ，3 ，4 j = 1 ，2 可以证明这样定义的插值是适定的，插值函数为； 秽= 【i i 等岳1 1 ，h ：2 承2 】 这里 掣承1 ) = 扣1 + 3 一一贲( 1 ) - - 幽+ ；一鹕f + 拶一鹕”+ ；+ 一一嘏”2 n 2 永2 ，= ：晰2 + s 一铲一巩+ ；一嘏 + ；魄一嘏卅i 一+ 铲一嘏。 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 规定单元k 的中心点为( 女，珊) ，并且平行于z a x i s 和y - a x i s 边长分另为2 h 。，2 h ，h = r a a z ( h $ ，b ) ， 设j k ：霞斗k 是一个可逆的仿射等价映射；g = z + ； ，= 讥+ b 玑并且记 插值算子 p r = p = 宙。j 苌1 ；声p ) f i h 试h = 血。啄1 下面我们对应力张量作如下修改- 设n 为多边形区域，巧为其上的正则四边形割分，一t h 为四边形单元。连接t ，的每 边中点形成四个相等的小四边形，从而形成更细的四边形剖分t ，设t 为四边形单 元， 设 巧：五2 ) 叫g ， 为工2 ( 一) 的投影 其中 矗卢= 南厶卢如，即工2 ( 一) g ，= 3 l 2 ( t ) ；卢i r p o ( t ) ，v 一研) 4 2 一种新的l o c k i n g - f r e e 有限元格式 我们考虑这样的有限元空间，位移的一个分量定义在n 中，另一个分量定义在研中，具 体我们定义如下的有限元空间； 叼= ( ，r ) 2 o h t 工2 ( q ) ：口 ，i t 叠。巧。1 ，在剖分t h 中相邻边中点的积分平均值连续) 2 t k l 2 ( q ) ：b 声。巧1 ，在剖分t h , 中相邻边中点的积分平均值连续) 唬= p w 尼。 出= o ，；矗r 。t o h d z = o ( 4 9 ) 定义如下的双线性型 。：( 蟊，磊) = 舡莩二矿( 赢) ：矿慨) 如+ a 莩二矗( d i ”该) 巧( d i ”诜) 如 ( 4 1 。) 其中 矿( 巍) b = 9 r a d g a l t 一；瑶( r o 讳) x b ，v t 孙 巧卢= 南厶芦如，即工2 ( 一) 这样( 4 3 ) 的逼近同题为t 求诹诒， 使得 ( 4 1 1 ) 【( 魂，该) = 如f 该如+ ，舳正碗山，v 碗讯， 。 设h = ( 1 - i n 。，l - i ：) 是由h 1 ( n ) 空间到有限元空间w 的插值算子定义由( 4 5 ) ，( 4 7 ) 则有下面的引理， 引理4 2 1 ：对任给该四，下面的等式成立： 菩扣南厅舞如，抓日1 ( t ) ，t ( 4 1 2 ) 1 警扣1 i 1 5 ，惫如，删( 吮一嘞 h j 证明。由1 7 定义很容易证明 引理4 2 2 ：对任给秽日1 ( 一) ，有下面的关系式； 矗d i 口秽= p o d w v 。 证明t 设t ，t h ，将t ，的对边中点相连，得到四个相等的四边形分别1 己为1 l ，1 ，码，1 a 由引理( 4 2 1 ) ： p o d i v i i 。p o t o l - 叫 h l t ) 1 ) + 砖( 警) ：南厶警如+ 南厶警如一i 扫阮l i r i 扫如2 一 = 刚1 _ _ 高v 疗 0 i i a 9 - - 2 如南厶差出 = f 1 i 善一 a v t 。d x + 南厶挚 = 南厶d i ”池 证毕 引理4 2 3 ：( s t r a n g 第二引理 1 9 】设d 和诹分别是( 4 3 ) 和( 4 1 1 ) 的解，则下面的抽象误差 估计式成立t 则 情瑚蚓卷忙吲i h + 唧s 龇u p 。盥铲) ， 其中 2 厶f 哦出+ f j o r d s ，j n 引理4 2 4 喃散k o r n 不等式：即存在一个与h 无关的正常数k 使得t i f 【靠) 憾t ) 耳 9 r 刹( 该) n 3 ，r ) ，v 晚切 证明。由定理( 2 1 2 ) 。对所有r l 2 ( q ) 我们有t 莩二“魂) ：r 出2 莩二( 旷n 硒。一：巧( r 以诜) x ) ：r 如 由l u ( f 2 ) 中的向量分解定理t f = g r a d d h c l 磊 则下面的等式成立t 莩二矿慨) ：r 如= 莩二( g r a 氓一；蟛( r 喊) x ) ：( ，r n d 该一“r 惦) 出 2 莩二胛慨：矿n 慨如一莩二肿搋：“r 场如 一；莩二矗( r 慨) ：( r 耐诹一d f ”磊) 出 因为d i v ( c u r l p ) = 0 ；利用g r e e n 公式可得； 所以； 莩知n 慨c u r z 磊如2 莩二。r 。砒一：r l z h t d x + 事厶，r 。咖彬“r r 张，如 2 莩厶t 警如+ 等厶蜥，鲁出 莩二，( 磊) ：r 如5 莩二，r a d 讳：n a 讳如 一t 事小t 警出+ 等厶百o z h 2 叫 一；莩二焉r 雠慨) ：( r o t 靠一龇靠) 出 从上面的表达式看出，为了证明k o m 不等式成立，必须选取适当的亨使得下面的等式成 立t 莩厶鲁如+ 事厶鲁d 8 ) 扎四 厶巧r d ( 吼) ：( r o t 秽h d i v 未a ) d z = o ，四 因为砘翰，在剖分n 中，v h 。的积分平均值在相邻边耳与卫的中点连续，同时， 在剖分死，中，的积分平均值在相邻边4 与t 的中点连续，所以要使上式成立。只要 z l 在剖分n 中为双线性协调元，并且却在剖分孔，中为双线性协调元，或。1 与忽在剖分 a 中同时为双线性协调元，叉由引理( 2 1 1 ) 可以使上式成立 这样就有： 莩厶矿慨) 一出。莩二9 似慨：g r o 慨如 因而，引理得以证明 定理4 2 5 ：设，工2 ( n ) ，亨日( n ) 并且碗诜分别为( 4 4 ) ，( 4 1 1 ) 的解，则下面的误差估计式 成立。 0 d 一嘞0 ，ns c h ( 1 l f l l o ，n + i i 剜i ；，a n ) 其中 0 矗一如l l ，n = n ；( d 一锄，矗一诹) ) 这里c 为正的常数，与h ， ，和d 无关， 证明由引理( 4 2 3 ) ，分几步来证明此定理 第一步t 利用引理( 4 2 2 ) ： i n 。1 1 矗一该0 si i 矗一 矗0 i 而略? = 口：( 面一l i h d , g 一 回 = 2 p e0 矿( d 一 矗i 佬j ，+ e i i 蒜旅”( 露一n h a ) 1 1 3 x g 1 1 9 r n d ( 口一r l h 回l 1 0 2 ，t + i i 乓r o t ( g 一 司1 3 ，t ) g i 矗一 司 z + g 0 矗r d 亡忙一 回0 ：， ( 4 - 1 3 ) t ， 而 i l i o t ( d 酬o 2 南善厶州枷n 2 s 南暑矧厶 r o t ( 枷涮2 如 s 丽笔吲厶哆一h 司i 能 r m 一 回1 3 丑 置r s i ( g 一 回信，噩 ( 4 1 4 ) 正r 由( 4 1 3 ) ，( 4 1 4 ) 知t 第二步 i d n 司i ：s n ：慨哦) 一 = g l a - 毗t t d 矿嘲n 2 p 莩二州回：州魂) 出 ( 4 1 5 ) 因为t 则有 + a 葶二f 5 ( 出”回矗( 旅”钌h ) d x 一( 4 1 6 ) 二e ( 回：( s ( 瓯) 一s ( 魂) ) 如= ；二s ( 回：( 删魂一矗r o t 口h ) x 如 = = 0 二州回：州诹) 如= + + e ( 司：矿( , v h ) 如 ，( 面t ) ：( 神一s ( ) 如 ( 回：e ( 瓯) 出 矿( 诹) ：( ，( 回一e ( 回) 出( 4 1 7 ) 又因为t 二矿( 诹) ：( 矿( 回一s ( 回) 如= ；二( r 耐d 一矗r 以回x ：( 9 r n d 瓯一；矗r 。诹x ) 如 = ；二( r d t d 一矗r 。闾：( r 以哦一矗删诹) 如 ；i i r 。t d 一- o r o t a l l 。，r 。t t _ 一r o t 每h l l 。，t 因而，我们有t 莩二s + ) ：( 矿( 国一e ( 回冲s ；等l l r 蕊一矗r a 嘲l 咿- l | r 。慨一式r 雠晚l l 咿 s ( 盯蒯一碟r 棚i 曙一) ， ( 1 l r 。e t 碗惦，t + 0 矗r 耐t 矗| 屠f ) ) g h r o t a l l ，n 0 厩j i ，t a i 叫2 ，n ，0 t 蔬i | 进而，我们有 莩二州回：以碗冲莩二s ( 回：e ) 出+ g 吲：如i i , 磊l l n ( 4 1 8 ) 上二二上 第三步t 因为有 莩二矗( 硪”回( 硪”诹) 出2 莩二巧( 出”回- 鹾( 出”诹) 如 2 莩二( d i 啤p 擀f ”v ；h ) d x ( 4 1 9 ) 由( 4 1 9 ) ，我们可得； 莩二矗( 出。回矗( d i ”魂) 如2t 。 d i v 矗d i v 诹如+ 等二击”正( 玮出”碗一出”魂) 如 = i t d i 正出口诹如 + 厶( 出口d 一矗出”回( 残旅”t 靠一d i ”面h ) d z 厶旅 覆出口西。d z + c h l d i v f f h ，n | | t 巩队 ( 4 2 0 ) 由( 4 1 6 ) ，( 4 1 8 ) 及( 4 2 0 ) 正则性估计式引理( 4 1 2 ) ，我们有 o ；( 矗，哦) 一 ( a 慨瓯) 一 ) - i - c h ( 1 d 2 ，n + a l d i v , l l 。o ) 0 魂队 s ( o 魂) 一 ) + c h ( 1 1 , q l 。，f l + l i 爿i ，a n ) 1 1 魂1 1 ( 4 2 1 ) 其中t d 慨魂) = 2 i f as ( 砷：s ( 魂) 如+ a 上d i 佩出”哦出 第四步； 由标准的非协调元误差估计式，( 见 2 6 】，f 2 7 】) ，以及正则性误差估计式引理( 4 1 2 ) ，我们 有下面的估计式。 0 j l ( 斌t 巩) 一 s c h ( 1 l a i 。，n + l | 引i ，a n ) i i , 魂l l h 综t - _ , s y v - j $ 。定理得以证明 参考文献 1 r a a d a m s ，s o b o l e vs p a c e ，n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 8 2 r a a d a m s ，索伯列夫空间，叶其孝等译，第一版，人民教育出版社( 北京) ，1 9 8 1 3 d n a r n o l d ，l r s c o t t a n dm v o g e l i n s ，r e g u l a ri n v e r s i o no ft h ed i v e r g e n c e o p e r a t o rw i t h d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n so nap o l y g o n a ld o m a i n ，a n n s c u o l an o r m s u p p i s ac 1 s c i - s e r i e ，2 1 5 ，p p 1 6 8 - 1 9 2 ，1 9 8 8 4 s c b r e n n e ra n dl i - y e n gs u n g ，l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rp l a n a rl i n e a re l a s t i c i t y m a t h c o m p ，5 9 ，3 2 1 ，1 9 9 2 5 - f a l kr s n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h ee q u a t i o n so fl i n e a re l a s t i c i t y j m a t h c o m p 1 9 9 1 ，5 7 ：5 2 9 - 5 5 0 6 d - b r a c e s ，f i n i t ee l e m e n t s ：t h e o r y ，f a s ts o l v e r sa n da p p l i c a t i o n si ns o l i dm e c h a n i c s ，c a m b r i d g e u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 7 7 p g c i a r l e t ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m s ，n o r t h - h o l l a n d ，a m a s t e r d a m ， n e wy o r k ，o x f o r d ，1 9 7 8 8 冯康，石钟慈，弹性结构的数学理论，纯粹数学与应用数学专集，第6 号，第一版， 科学出版社，1 9 8 1 9 齐禾，位移边界条件下弹性问题的有限元方法，博士毕业论文，中国科学院数学与系 统科学院计算数学所，2 0 0 2 1 0 李立康，郭毓篁，索伯列夫空间引论，计算数学丛书，第一版，上海科学技术出版社 1 1 p g c i a r l e t ，m a t h e m a t i c a le l a s t i c i t y , t h r e e - d i m e n s i o n a le l a s t i c i t y , 石钟慈，王烈衡译数学 弹性理论，卷1 ，第一版。科学出版社，1 9 9 1 1 2 - p g r i s v a r d ，p r o b l e m e sa u xd a n sl e sp o l y g o n e s m o d ed a m p l o i ，e d g ，b u l l d i r e c t i o n 亩t u d e s r c h s r $ c m a t h i n f o r m 1 ，p p 2 1 - 5 9 ，1 9 8 6 1 3 a r n o l dd n ，b r e z z if a n dd o u g l a sj , p e e r sj r an e wm i x e df i n i t ee l e m e n tf o rp l a n a re l a * t i c i t y j ，j a p a nj a p p l m a t h 1 9 8 4 ，3 4 7 - 3 6 7 2 9 1 4 w a n gl i e - h e n g ，q ih e t h el o c k i n g - f r e ef i n “ee l e m e n ts c h e m e f o rp l a n n a re l a s t i c i t ya b o u t p u r ed i s p l a c e m e n tb o u n d a r yv a l u e j 1 m a t h e m a t i c an u m e r i c a ，s i n i c a ，n i a y2 0 0 2 ， v o l ，2 4 ，n o 2 1 5 明平兵，非协调元- v sl o c k i n g 问题，博士毕业论文，中国科学院数学与系统科学院计 算数学所，2 0 0 0 1 6 p g r i s v a r d ，s i n g u l a r i t s se l le l a s t i c i t d s ，a r c h r a t i o n a lm e c h a n m ，1 0 7 ，p p 1 5 7 - 1 8 0 ，1 9 8 9 1 7 j a n i t s c h e ，c o n v e r g e n c eo fn o n c o n f o r m i n gm e t h o d s ，p r o c s y r u p o nt h em a t h e m a t i c a la s - p e c t so f f i n i t ee l e m e n t si np a r t i a ld i f f e r e n t i me q u a t i o n s c d eb o o r ，e d ，a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ，p p 1 5 - 5 3 ，1 9 7 4 1 8 b a b u k ai 。a n ds u r im l o c k i n ge f f o r ti nt h ef i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o no fe l a s t i c i t yp r o b - l e m j 1 n u m e r m a t h 1 9 9 2 ，6 2 ：4 3 9 - 4 6 3 1 9 k b a t h e ，e w i l s o n ，n u m e r i c a lm e t h o d si nf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，p r e n t i c e - h a