（概率论与数理统计专业论文）运用拟生灭过程解决一类呼叫中心问题.pdf

摘要 本文从排队论的角度出发，分析了较为常见的呼叫中心排队模型，简单的回顾目前所 取得的一些方法，进展 重点在于探讨了一类常见的呼叫中心的不耐烦，重试，可变服务率和故障率的m m 纠+ 肘模型，然后根据拟生灭过程建立q 矩阵+ 根据系统的稳态方程，求解系统的稳态解 在讨论过程中，同时给出了一些重要的参数结果，以及系统优化设计算法，有着较为实 际的应用价值 关键词：呼叫中心，排队模型，不耐烦，重试。可修可变服务率，可变故障率，q b d 过 程 a b s t r a c t l h o mt h ev i e wo ft i l eq u e u i n gt h e o r y , t h em o s tc o n l n l o nm o d e lf o rt h ec a l lc e n t e r 、勰 a n a l y z e d ，a n dt a k eb r i e f l yr e v i e ws o m eo fw h a th a sb e e na c h i e v e d t h ee m p h a s i si sas e r i o fc a l lc e n t e rw i t hi m p a t i e n t ，r e t r i a l s ，v a r i a b l es e r v i c er a t e a n df a u l tr a t eo fm m s n + mm o d e l t h u su t i l i z et h eq u a s i - b i r t h - a n d d e a t hp r o c e s st o e s t a b l i z et h eqm a t r i x a n da c c o r d i n gt ot h es t e a d y - s t a t ee q u a t i o n ，w ef i n dt h es t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i nt h ec o u r s eo ft h ed i s c u s s i o n ，w ea l s og i v ean u m b e ro fi m p o r t a n tp a r a m e t e r sr e s u l t s ， a n dg i v eas i m u l a t i o na n do p t i m i z a t i o na l g o r i t h md e s i g np l a n sw h i c hh a sm o r ep r a c t i c a l v a l u e s k e yw o r d s ：c a l lc e n t e r ，q u e u i n gm o d e l ，i m p a t i e n t ，r e t r i a l s ，r e p a i r ，v a r i a b l es e r v i c e r a t e ，v a r i a b l ef a u l tr a t e ，q b dp r o c e s s u 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体。均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 日期，二零零七年四月二十五日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 学位论文作者签名 李壶卤 日期t 二零零七年四月二十五日 1 1 呼叫模型的背景 第一章引言 呼叫中心是基于c t i 技术的，充分利用通讯网和计算机网多种多样的功能集成并与企 业连为一体的一个完整的综合信息服务系统，它能有效。高速的为用户提供各种服务呼 叫中心涉及了交换机技术，计算机技术，计算机电话集成( c t i ) 技术，数据仓库技术和管 理科学等方面，作为一种能充分利用现有通讯手段和计算机技术的全新现代化服务方式， 呼叫中心已越来越多的引起了大家的注意在实践中，如何在一定的经济条件下，设计合理 的坐席数目达到预定的服务质量，并预测系统性能，这对大型呼叫中心的设计具有指导意 义反映在数学模型中，就是通过经验数据的统计分析，建立呼叫中心的排队模型来解决上 述问题，为呼叫中心的设计和管理提供科学的依据 1 2 呼u q e e 心, 模型的建立和已经有的一些结果 呼叫中心的排队模型综述。英文可见【1 】，【2 】，中文可见【3 】；近年来呼叫中心应用广泛， 背景越来越复杂，如对多级串联系统。优先权顾客，负顾客等等进行讨论，此处不再多加说 明；而采取的方法也是多种多样，如应用统计和仿真方法，可见【4 j ，f 5 】，f 6 j ，1 7 j ；或应用补充变 量法来解决状态相依过程如| 8 j ，m 本文所要重点讨论的是不耐烦。重试，可修排队模型：对 于不耐烦模型早就有文章涉及，可见【l o l ，【1l l ，近来又采用一些新的方法如【7 l ，( x 2 l ，【1 3 1 ；对于 重试排队模型，研究无等待位置和一个等待位置的文献较多，如【1 4 】，但对于多个等待位置 文献较少；1 15 1 运用拟生灭过程进行尝试，但没有给出解析解；i l6 】运用拟生灭过程建立q 矩阵解决不耐烦重试排队模型，但没有考虑可变服务率；对于可修排队模型，近年来很多人 对此作了广泛的研究：【1 7 j 给出了两种服务速度的可修排队系统，1 1 8 1 给出了有无穷个修 理工( 但这种情况和实际有所差异) ，且服务台忙时和闲时故障率相同的可修排队系统；【1 9 1 研究了并联和串联可修排队系统；【2 0 j 处理了有一个修理工，服务台忙时和i 稠时故障率不 同的可修排队系统。可见对于多服务台可修排队系统可有很多工作值得去做；1 2 1 l 运用拟 生灭过程进行尝试，给出解析解的具体求解过程，但所考虑的不是呼叫中心时的情形；【2 2 】 运用拟生灭过程建立矩阵并给出解析解，但却没有考虑可变故障率 2 1 3 问题的提出和主要创新点 在| 1 6 】，【2 2 l 运用拟生灭过程建立矩阵并给出解析解，但考虑状态空间在二维情况下即 可以解决之本文所要重点讨论的是e r l a n g e r a 模型的一种待例，在本文中，我们所观 察的模型均看作一级排队系统( 因为把顾客看作无穷到达的时候，二级排队系统中，普拉松 输入的输出流也近似服从普拉松分布的) ，并且是建立在三维空闻上的模型，问题要复杂很 多，而这是上述文章所没有考虑到的 本文对 1 6 m 2 】部分情形作进一步修改和推广：对于1 1 6 1 ， 2 2 1 ，其具体方法和结果简单 罗列如下：在【1 6 】中，作者建立了0 矩阵，并给出了元索值，具体分析过程可借鉴参看本 文内容； 1 6 】规定在重试组中，其假设重试组中的重试顾客数是无不耐烦的，无序的，每 个顾客只能重试一次，且一次只能重试一个顾客，并且没有考虑可变服务率；本文对此做了 两方面的补充：首先考虑了可变服务率。其次考虑了重试组中顾客数是不耐烦，且有序的情 形；同时通过求解稳态方程给出了一些相关性能指标；在【2 2 】中作者建立了q 矩阵，并 给出了元素值，但建立矩阵方法和本文不同：本文从有效服务台数入手，而拉2 1 则从故障 服务台数着眼，具体讨论过程可在本文讨论情形中进行对比参照；1 2 2 l 没有考虑可变故障 率，且在修理过程中，假设修理过程中顾客是可以转台继续服务的；本文在两方面进行了推 广；首先考虑了可变故障率，其次考虑了在修理过程中等待顾客直接离开的情形；当故障， 可修及重试等情形同时考虑时，情况要复杂一些。本文对此进行了重要讨论 3 第二章主要结果及证明 2 1 几种呼口q 中心模型模型的建模分析 ( 1 ) 无故障，不耐烦，可变服务率，有重试( 无不耐烦，无序) 模型背景如下：有s 个服务台，0 s c o ；有t s 个等待空问；顾客到达时问间 隔服从指数为a 的负指数分布，0 a c o ；服务时间服从指数分布为胁0 = 1 ，2 ) 的负指数 分布，0 - ，上l 弘2 o c ；其中当等待队长大于0 时，就用侠服务率肛2 ，反之则用普通服务率 卢l ；服务规则为f c f s 原则；设口为顾客等待时间限度，口服从参数为的负指数分布， 0 0 时，顾客便放弃等待，立即离开队列，也不 再重试；当顾客到达时遇队列满时，便以概率。进入重试组，0 o t 曼1 ，以概率( 1 一q ) 离 开，不再重试；重试组中顾客数只能重试一次，且每次只能重试一个人，重试顾客为无不耐 烦及无序的；假设重试组最大能容纳的重试的人数为r ，0 r o ( ；当重试人数为r 时，新 到达顾客遇占线以概率1 离开；重试组中的每个顾客的重试时问间隔服从于参数为a - 的负 指数分布；顾客到达过程，服务过程，重试过程相互独立 设i 为系统中顾客数，i 【0 ，t i ；j 为重试组中顾客致，j 【0 ，用 设x ( t ) = ( ( ) ，吖( t ) ) 表示时刻t 系统的状态。有状态空问如下， e ( n ，m ；0 sn t ，o m r ) 由于到达。重试，耐心等待和服务的时间间隔都服从负指数分布，故x ( t ) 是状态空间 e 上的马氏过程，根据模型描述，由拟生灭过程可得0 矩阵( 以后的讨论过程中都以此为 例) ， q = 山g b 1a ic 玩a 2 c b 一la t lc b t以 其中q 为( r + 1 ) 口+ 1 ) 阶方阵，状态空间按照字典序排列 4 均为( r4 - 1 ) 阶方阵其中 特殊的 其中 a 0 ，a ，风，且，e a i =r f - ( x + j + i r a ) ， 21 一n + j 3 他+ ( 一帆 a m n a ld l 毗l 口a a l = i f 0 s i s s0 j ； i f s i 正0 j r 以一1 i l t , r 1 以 ： f 一【s + ( t s ) u + n a + ( 1 一a ) j a l l ，i f0 j r ； 2 i 一+ ( t s ) u + ( 1 _ d ) 眦 i 巧：r d j = ( 1 一o a l ( 1 j s r ) 旦：l 钆 岛= 。i p “i 。, + “一。，；，f s l i ； s s t ； 5 c = a c l a ga d 其中 c j = j a l ( 1 js r ) 从矩阵的结构可以看出x ( t ) 是个有限状态的拟生灭过程类似于【1 6 】可得： 引理1 ：不论p = a 肛为何有限值，对参数固定的x ( t ) 都存在唯一的稳态分布( 在以 后的讨论情形中。亦可得此性质。证明见f1 6 】) 定理lt 令 i t 0 = ( 耳o ，霄1 ，霄f ) ，霄i = ( 丌m ，霄1 ，霄。，) ( o 曼i t ) 为x ( t ) 的稳态分布则 丌o = 靠彬以= 丌0 r ，t l o = i 为( r + 1 ) 阶方阵，本文中均表示单位阵， 冗l = 一a o m ，j b = 一( 月j a l + e ) ( 2 p 1 ) ， r 一( 风一2 e + 圮一l a 1 ) ( t 卢1 ) ， i f3s s ； 蜀= l 一( 忌一2 e + 尼一l a 1 ) 【s p 2 + ( i s ) l ，i f s i z 为 靠( 且a + 风一1 e ) = o 一个基解， w = 硝扁c ， l = 0 f 为元素全为1 的+ 1 ) 维列向量 证明：根据引理1 ，x ( t ) 存在稳态分布，又因为x ( t ) 稳态分布满足下列方程 6 展开即为 ( ”o ，”l ，7 r 2 ，一，丌t ) q = 0 丌o a o + ”l b l = o ； 7 r o e + 霄1 a l + 7 r 2 8 2 = o ； 7 q c + 7 r i + l a + 1 + 7 r i + 2 b , + 2 = o ； 矶一2 c + m i a i l + 丌f b t = o ； ”t 一1 c + 7 q a t = 0 ； 易知b 1 可逆，类似的与【1 6 】求解过程，可依次解得， ，r 1 = 一”o a o b ? 1 = 一 r o a o u l = r l 7 = 。瑚 ”2 ：一i r o ( r i i a 1 + 一c ) ：7 f 。r 2 砘。一1 f 2 砌2 因0 矩阵秩为( j r + 1 ) ( t + 1 ) 一1 ，则以q 矩阵为系数矩阵的齐次方程有且仅有一个基解 令( 硝，”i ，) 为 ( 丌o ，7 r l ，i f 2 ，m ) q = o 的基解，则 即靠满足 由此可解得因 得 满足正则性条件，即 硝( p “a t + 皿一i c ) = 0 为x ( t ) 的稳态分布，定理得证 根据上述定理和推论，可得系统相关性能指标如下； 1 系统中平均逗留顾客数， 8 彤 略 = 珊砬 。!l i | 缈 = r 。!1 = 行 。脚 r 一 1 一 r如 = 屯 而形 = 故 ” ，触 。 = e 其中 2 系统中平均忙服务台数： 3 系统中平均等待顾客数 4 系统重试组中顾客数 5 占线率： 6 因占线损失顾客概率： 7 总的顾客损失率： e ( ，) = e ( n ) 一e ( s n ) b = j = o p 口= ( 玮一) ( 1 一口) + p l = p b l + p l 其含义为在稳态条件下，等待队列中的顾客因不耐烦而离去的概率 证明；对于一般系统，在稳态条件下，一个到达的顾客所看到系统中的顾客数在概率上 等于他被服务完离开系统时所看到的顾客数对于本系统，一个到达的顾客看到系统内正 在等待的顾客有两种：一种是将被服务的顾客，一种是将放弃等待。未接受服务便离开系 统的顾客同样在稳态条件下。一个到达的将被服务的顾客看到系统中将被服务完的顾客 数在概率上等于他被服务完离开系统时所看到的这种顾客数记以表示在稳态条件下，一 个有无限耐心的顾客到达时看到系统中有“一1 ) 个顾客，在其被服务完前所需要等待的时 间则 p ( 玑口) = ( s p 2 ) 【( 5 p 2 ) 十a s ) 工，】， 9 玎 ，!豆 s 。 + ，：豆 ， = 曲酞 玎 币 。：l ，d纠 =m e 蔫 而 得证 ( 2 ) 无故障，不耐烦，可变服务率，有重试( 不耐烦，有序) 其与( 1 ) 的区别仅在于，重试顾客为不耐烦且有序的，讨论如下： 设l 为系统中顾客数， l o ，t 】；j 为重试组中顾客数，j 【o ，r 1 其中 q = c b la lg 且一1a t - ! bl q 为( 冗+ 1 ) ( t + 1 ) 阶方阵，状态空间按照字典序排列 山，a ，岛，鼠，e 均为+ 1 ) 阶方阵 a i =r f n + a l + 0 1 ) 王，+ 弛l 】， i fo s t ss ，0 s js r ； n u = 1 一n + l + o 一1 ) 工，+ s p 2 + a 一8 ) 卅，i f s i 正o j r 特殊的， 他d l ：。1i o n a a i a t = d r 一1a t r ，l q a d r 啦， 1 0 燕 其中 f 一【5 p 2 + 0 一s ) + o a + ( 1 一n ) a l + ( j 一1 ) u 】，i f0 j 兄； 2 1 一+ ( 卜s ) u + ( 卜。) a l + ( r 1 ) 叫，i f j ：兄 d j 一( 1 一n ) a l + 0 1 ) l ，( 1 茎j r ) 最= = ：郇嘞裳甾 c = a aa q c ：a 其中 g = a l + o 1 ) ( 1s j r ) 系统讨论过程与【1 】相似，所得结果亦与 1 】相似，在此不再讨论 ( 3 ) ( 转台) 可变故障率，不耐烦，可变服务率，无重试 系统中顾客，服务台性质与1 相同，区别在于；系统无重试情况；服务台在空闲时发 生故障率为e 1 ，而在繁忙时发生故障率为e 2 ；系统中有一个修理工，处于故障状态的服务 台修理率为q ，其中；服务台故障发生在修理工空闲时，服务台立即被修理，否则等待修理 完毕，服务台立即恢复服务，且服务台恢复如新，服务规则为f c f s 原则当服务台中断 时，正在被服务的顾客可转移到其他空闲的有效服务台接受服务，若没有空闲的有效服务 台，则在原地等待当系统中所有的服务台都发生故障，没有服务发生时，顾客到达仍然服 从到达时间间隔服从指数为a 的负指数分布；顾客到达过程，服务过程，故障过程和修理 过程相互独立的；在 2 2 】中模型建立如下( 此时故障率固定为) ： 设i 为故障服务台数 q 的每个分块均为( 丁+ 其中 岛= 印 幻= ：i m ：+ 。一。+ 。，“ 设t 为有效服务台数， i s 一1 ) i f0 i s 只1 j ( s 一订； i f0 5 s ( s i ) + 1 j t i f 0 s 只o j s t ； i f 0 is s ( s 1 ) + 1 j ( t 一1 ) i f 0 i s ，j = r 性能指标而在本文中建立模型如 系统中顾客数 叫 ， 则，、ili_、隆 数 g a 戥 峨 艮也 僦 削 4 l 懈 嘲 缸忍 u 绑 五 口 系 b 缸 一强艮一 啪 凡且 隆引，i-方 一、0 “ a 母 一 趣 扣 口 = a 卜 昏 。 吣 k a 一 k ，一 q 一一 h a 斗 p 沙球_ “来护u 态咖+ 稳 d 一 謦绯她懈 卜川 一 过 + + + 色 f f ”谭村驸帆耀 + + 一断 卜惭叫叫岬 ，_剡 7o 佧、，-二j ， c 以缸盛 c ，艮 挖 涝 g a 卅 日 h，。一 = o q 其中q 为( s + 1 ) ( t + 1 ) 阶方阵，状态空问按照字典序排列， 均为( 丁+ 1 j 阶方阵其中 i = 0 时， s 时， i = s 时。 其中 a = 山，a ，岛，玩，g c = q ，t + l ； j ) l 】厶+ 1 ，i f 0 i s0 j 霸 i f0 i s s ，i js t 咖 以l 啦! 6 1 t l a o s = 一( a + 口+ j ) ( 0 s j s t ) r n + j 卢l + 0 一j ) + j 6 + 叼】，i f j ； = i 一【a + i p 2 + 也+ ( j i ) + 喇， i f 蕾 j 丁 r 一【a + j p l + ( s 一歹) l 十j 已】，i f js i = s 。”2 i 一 a + s p 2 + s 2 + o s ) 】，i f t j t fj p l ， i f0 i s1 j i ； 2i 锄+ o 叫“i f o s t s 跗 j r 系统的稳态分布为， 知= ( 7 r 0 ，f f l ，) ，仉= ( 1 r i o ，f i l l ，丌) ( 0si s ) 根据引理1 ，x ( t ) 存在稳态分布，又因为x ( t ) 稳态分布满足下列方程 、 a 一 t 啦玩 n 十 +聪渤，、 = 有 晚 亦 毖 同的似 譬 其 ( 丌0 ，7 r 1 ，丌2 ，仉) q = 0 ： 类似【1 求解过程，并参见【2 2 1 可求其解为 仉= 七靠r ( 0 s l ss ) 其中n o = + l ，r 1 = 一a o b i l ，r 2 = 一( r l a l + g ) 呀1 ，尼= 一( 忍一2 g + 忍一1 a i i ) b f l ，( 3 茎 i ss ) ；其中靠为 靠( 尼一1 e + r a ) = 0 的一个基解， = 【”盯1 ， i 善o f 为元素全为1 的( 丁+ 1 ) 维列向量从而求得 丌o = e 硝，以= 知足( 1 s i ss ) 为系统稳态解，系统相关性能指标如下： 1 i 个有效服务台时系统乎均顾客数 2 系统中平均顾客数 3 系统中甲- 均等待顾客数 4 系统中平均故障台数 厶= 厶 j = o l 。= d 一帆玎 i = o j = i + l e ( d ) = ( s f ) i = 0 j = 件t 1 4 = 。脚 。 。d一 | | l 5 系统中平均空闲服务台数 6 系统中平均忙碌服务台数； e ( b ) 一s e ( d ) 一e ( i ) 7 系统占线率： 8 单位时问内平均离开队列不耐烦顾客数： 9 总顾客损失率 ，i e ( y ) = o i ) w o = 一k = 0 j = i + l p l = p 8 + v l q | 、； f ， 1 5 ” 丌 一 “ ；脚 。 = ，e 一以 ：l = 加降。二 ， b = 芝二羔：i ：i 耋；三；三主 q ； 筏c | 联珥 耳一l 以一l b ：4 1 6 q 为( s + 1 ) 口+ 1 ) ( r + 1 ) 阶矩阵。 7 a o ， 均为( r + 1 ) + 1 ) 阶矩阵其中 尉= 状态空问按照字典序排列，其中 ，q ，玩，e ， 。f b 已+ ( i j ) f t l + l ， 肠2i 泓+ l ， = a 净 口+ 1 i f 0 s i s 0 j i ； i f o 曼i s ，i j t 4 g b la i lg 最2a 。2g b o = 1 7 目+ 1 鼠, t - 1a i , t - 1 g 最ta n b 玎为( r + 1 ) 阶方阵， r 姐l ， i fj i ； 。i 讹+ o 叫f i js r g = a a 1 a j a l a r a la g 为+ 1 ) 阶矩阵，a 玎亦然分四种情况讨论( 以后模型讨论亦依此进行) 当 当 如= 0 蔓i s0 j t 蛳。 f 一盼+ j p l + ( i j ) 6 + 歹已+ 叩+ 七a l 】，i f 0 i sj s i ，o s k r ； = i 一陋+ i + o 1 ) + l + 矸+ 血a 1 1 ， i fo 墨i 歹 正o 后s r ， a “= 0 s i s0 j = t n 帕 n a d lo n l a a d r - 10 f , t , r - i n a d r o “r 1 8 为( r + 1 ) 阶矩阵，其中 当 a i 聩= 一【o a + ( 1 一a ) 七a l + j # 2 + ( t i ) t s + i 已+ 嘲 出= ( 1 一a ) k a l ( 1sk r ) ； 如= r 咏_ ， f 一协+ 七a i + j p l + ( s j ) f l + j 岛+ 叩j ，i f i = s ，j 曼只0 曼k r ； 口弛= 。 【- i x + 七a l + s p 2 + o s ) p + s 已+ 叫，i f i = 只s j 正0 k 冬r f b a + ( 1 一n ) 七h + s u 2 + ( t 一5 ) p + 5 已】，i f i = 只j = t ，0 k r ； 【一【( 1 一a ) r a l + s # 2 + ( t s ) p + s 巳】， i f i = s ，j = e 女= 月 d k = ( 1 一a ) k a l ( 1 曼r ) 同前面讨论，系统稳态分布如下： 7 r = ( 7 t o ，7 r i ，丌a ) ，7 f i = ( 7 r o ，7 f i i ，巩t ) ，7 r 0 = ( 7 t o o ，7 r 玎1 ，1 0 r ) ， 满足稳态方程； ，lll， 以 以 加露 以 “ 以 曲 h d ，j-_-_-_、 | i “ a 帆其 阵矩 阶 r 为 ( 7 r 0 ，丌1 ，丌2 ，7 r 。) q = 0 类似( 3 ) 求解过程，可解得系统稳态方程解注意其中 为元素全为单位阵厶+ l 的( r + 1 ) 维列向量并得系统相关性能指标 1 i 个有效服务台时系统平均顾客数 2 系统中甲均顾客数 3 系统中平均等待顾客数 4 系统中甲均故障台数 5 系统中甲均空闲服务台数 厶：( k + 咖班 j = 1k = 0 l t = k i = o 6 系统中乎均忙碌服务台数： e ( b ) = s e ( d ) 一e ( i ) = 北 ， 。舢 ， er 。cl 而 = 啪渺 一 0 ，脚。， i i “ 七 磅 一s ，脚。卅 | l 功 目 哪 一 ，脚 ；舢 。：l i i ， 酬 7 系统占线率： 8 单位时间内平均离开队列不耐烦顾客数 9 总顾客损失率： e ( v ) = v 岛 p l = p b + v l q f k ( 6 ) ( 转台) 可变故障率，不耐烦，可变服务率，有重试( 不耐烦，有序) ( 6 ) 与( 5 ) 系统情况相同，差别仅在于重试组情形类似的 q = 粕矿 b i 珥 c ， e la ：一l e 珥 q 为( s + 1 ) ( r + 1 ) ( r + 1 ) 阶矩阵，状态空问按照字典序排列，其中分块矩阵均为( r + 1 ) ( r + 1 ) 阶其中： e = b 鼠b 。f d 已+ “一j ) 6 】+ l ， 惦2 i 娩h ， 2 1 i f 0 i 只0 j ； i f 0 i s si j s t k一 ，脚。l | 1 当 g = c = a 7 7 1 r + t t l ，+ l a og b i la 。lg 鼠24 。2g 最f _ l a i , f - - 1g 鼠a t 卜 ：l 幻 【 铲 j i a l + 工， a i f j l ； i f t j t a 1 + 0 1 ) v a 0 i ss ，0 j t a 1 + ( r 一1 ) a 当 玎= 一队+ j p l + “一j ) 1 + j g + 叩+ ( k 一1 ) a i + j p l ，i f0 sj t ，0 七兄； 一协+ i p 2 + j p + 6 + 町+ ( 七一1 ) a l 】， i f0 i s ，i j t ，0 七s r 0 l s ，0 j = l a “= a d ld t l 口a d r lo i t r i 出 ： n 触= - a a + ( 1 一q ) a l + ( 七一1 ) + j 肋+ ( t 一 ) + t f 2 + 叩】 d 七= ( 1 一口) a 1 + ( 七一1 ) p ( 1 七r ) a “= i = 曼j t 。蝴_ r 一协+ a l + ( 七一1 ) p + j ，j 1 + 扣一j ) 乏l + j 已1 ，i f i = 只j 只0 七曼j r ； n 巧= i n + a l + ( 膏一1 ) + 5 抛+ u s ) 工，+ s 如j ，i f i = 只s j zo 曼后r 当 i = 最j = z ，il-f，【 | i 当 钆= r o a o “1 q a d r 一1 c l s , t , r - - l o a 西o j f 一【q a + ( 1 一d ) a i + ( 尼一1 ) + s p 2 + ( t s ) p + s f 2 l ，i f t = s ，j = t ，0 k r ； a s t k = l 一【( 1 一a ) a l + ( r 1 ) + s p 2 + ( t s ) + s 已】，i f = sj = tk = r d k = ( 1 一q ) a l + ( k 一1 ) ( 1sk s r ) 同前面讨论，系统稳态分布如下 ”2 ( 7 t o ，7 r i ，”一) ，死= ( e 1 0 以l j ，丌 t ) ，= ( o ，7 r o l ，) f 丁 霹= ( bt鼠且)， 当 鼠：d 已+ o j ) 6 l + l ，计o i 茎s o j ； li 2 + l ， i f0 i s ，i j t = a ：= q ，r + i q + i g 鼠la 。lg 最2a 2g b “= 叶，r + l 鼠t ia ，t la z a “ f 缸l + j v ，i f js i ； 2 i 讹+ 弘骶 j r g = a a 1 a 竹i a 以l a 0 s i s ，0 sj t 舻r 咖 f n + j # l + ( i j ) 6 + j 已+ q + k a l + j r d “= i 一【a + i 弘2 + j + i 2 + 卵+ 七a l l ， 当 仉”i = 当 a “= 0 t s ，0 j = t 啦ma a d ln “1 a a 4 一l 啦塘= 一【n a + ( 1 一a ) k j h + j p 2 + t v + i 岛+ 叫 d k = ( 1 一q ) k 入l ( 1 sk s r ) - = s ，j t r 如= i 嘶 【哳 j i ，0 k s r ； i j l0 k r 一协+ k a l + j p l + ( 5 一j ) f l + 歹巳+ 叩+ j 叫，i f f = sj s0 k r ： 一n + 七a t + s p 2 + u s ) 矿+ 5 已+ 叩+ j 川，i f f = ss j z0 sk r 1 = s ，j = e 只只 ， 、illilfi，1 ， 一 一 加 lt， a 挣 。 啦 ， 加出 0 a n = n n 0q a d lo “l o a d r 一1 a s , t r 一1 o a d rn “r r 一【n a + ( 1 一a ) k a l + s # 2 + t v + s 2 】，i f = s ，j = z 0 k r ； o i t k = 【一【( 1 一n ) r + s # 2 + s 如+ 圳，i f i = s j = k = r d k = ( 1 一o ) a l ( 1 k r ) 同前面讨论，系统稳态分布如下： - = ( 7 f 0 ， l i ，“) ，m = ( 7 f i 0 ，霄 l i ，7 r u ) ，= ( o ，“r ) ， 满足稳态方程t ( 知，7 r l ，l r 2 ，丌- ) 0 = o ； tr 7 f i j k = 1 i - - - - oj = ok = 0 类似( 5 ) 求解过程，可解得系统稳态方程解，并得系统相关性能指标 ( 8 ) ( 放弃) 可变故障率，不耐烦，可变服务率，有重试( 不耐烦，有序) ( 8 ) 与( 6 ) 情形相同，区别在于顾客在遇到故障发生时顾客将放弃服务，其余类似同 样的可知； q = 氍e 耳q 耳= ( 鼠 e la ：一l b 3a i 2 7 最， 鹾= 戮 g = = a ：= 叼+ t i f 0 s i 墨s i f0 曼iss q “ a mg 鼠la lg 鼠2a 2g a l4 - p a o s j 墨 ； i j 墨t 卵+ l b t la , t - lg 最ta “ a l 十0 一1 ) a 1 + ( r 一1 ) v a ， r 幻 ， 一 1 一 ( 岵 0 ； 似m + + 幻 孤讥 | i = 踟 晒 当 a o k = i 当 当 0 i s0 sj t 如= l o 巧 0 “r 一协+ j p l + ( 1 一j ) f 1 + j 岛+ 町+ a 1 + ( k 一1 ) p + j 叫，i fj t ，0 k r ； - a + t 弘2 + j p + f 如+ 叩+ a l + ( k 一1 ) d ， i fi j t ，0 sk s r a “= 0 s 只0 j = t n n k = 一陋入+ ( 1 一a a t + ( k 1 ) u + j p 2 + t u + i 2 + 州 d = ( 1 一口) + ( k 一1 ) ( 1 k 冗) ； = sj t r a 巧= i 口卵 【哳， 、， a 扣 啦 以 加由 啦 烈 缸 以蛳 西 r 一肛- 6a l + ( k 一1 ) p + j p l + ( 8 一j ) f l + j 如+ 町+ j 】，i f i = s ，js s0 k r ； a 5 佧= 。 l 一协+ a l + ( 七一1 ) p - f5 p 2 + 0 5 ) + s 岛+ 叩+ 川，i f i = s ，s j t ，0 墨ks r 当 i = s ，j = t ， f 一陋a + ( 1 一n ) a l + 似一1 ) p + s 脚+ p + 2 1 ，i f t = s ，j = t 0 sk ( r ： n j t k = 【- 0 一o ) a l + ( r 一1 ) 工，+ s z 2 + 咖+ s 已】， i f i = s ，j = rk = r a t 盅( 1 一n ) a l + ( k 1 ) ( 1 k r ) 同前面讨论。系统稳态分布如下； 7 r = ( 1 t o ，7 f i ，丌j ) 仉= ( 7 r i 0 ，仉1 ，7 r u ) ，丌“= ( 7 r i j o ；7 r f j t ，仉打) ( o i s ) 满足稳态方程t ( 丌0 ，7 r 1 ，丌2 ，丌) q = 0 ； fr - = 1 i = 0 j = ok = o 类似( 5 ) 求解过程，可解得系统稳态方程解，并得系统相关性能指标 2 2 系统的优化设计 现代呼叫中心更多的成为企业的利润中心，呼叫中心对于企业营销，增加企业品牌认 知度具有至关重要的作用，因此对于呼叫中一c , - 从某种意义上来说，是企业的利润来源之一 采用经济学中的边际分析法，利用利润最大化原则来提出优化算法并对呼叫中心系统进行 优化设计 以 加4 口 烈 ，“ a “ n d ，。一 | | n a 2 2 1 | 系统优化设计思想； 目标函数： ( s ) = n a f l 一p l ( s ) 】一6 s 其中 r ，e a ，a l ，p l ，p 2 ，f l ，6 ，仉，q 为已知参数；b 表示单位顾客带来的收入；b 表示单位时问单位服务台服务成本；设 r ( s ) = l 一巳( s ) 设服务台数目为s 时，f ( s + ) 取得最大值，即有： 该不等式化简有 n a b ( s + ) 一b s a x r ( s 一1 ) 一b ( s 一1 ) d a r ( s + ) 一b s a x r ( s ：4 - 1 ) 一b ( s 4 - 1 ) 只( 4 - 1 ) 一b ( ) a x 只( s ) 一r ( 一1 ) 2 2 2 系统优化设计算法； 根据上面的边际分析优化设计思想。由此可提供算法，从而方便的求出最佳服务台数 目( 由于系统中服务台一般不会仅为1 台，我们从s = 2 开始) 算法可如下所示； 1 令s ：= 2 ，转入2 ； 2 将s 及参数 r ，r a ，a l ，p l ，p 2 ，f l ，已，町，t ，o l 代入方程 求解不等式 只( s ) = 1 一p l ( s ) r ( s + 4 - 1 ) 一b ( s + ) 6 o a s b ( s ) 一b ( s + 一1 ) 是否成立；若是，转入3 ；若不是，令 转入l 中； 3 输出s 即为s 值，运算结束； s ：= s4 - 1 3 1 参考文献 1 in o a h g 8 ，l $ ，g e r k o o l e ，a v i s h m m a n d e l b a m n ：t e l e p h o n ec a l lc e n t e r ：研t o r i a l ，r e v i e w ，a n d r e s e a r c hp r o s p e c t s ，m a n u f a c t u r i n ga n ds e r v i c eo p e r a t i o n sm a n g e m e n t5 ：7 9 - 1 4 1 ，2 0 0 3 【2 lg e r k o o l e ，a v i s h a i m a n d e l b a m n ：q u e u e i n gm o d e l so fc a l lc e n t e r s ；a ni n t r o d u c t i o na n n a l s o fo p e r a t i o nr e s e a r c h1 1 3 ，f 2 0 0 2 1 4 1 - 5 9 1 3 】宋美娜，段云峰，宋俊德：呼叫中心排队模型综述，中国数据通讯2 0 0 3 8 1 4 】a b a a n d ta n dm b r a a d d t ：a a y m p t o t i cr e s u l t sa n dam a r k o v i a na p p r o x i m a t i o nf o rt h e m ( n ) m ( n ) s + g is y s t e mz i b r e p o r t0 0 - 1 2 ，2 0 0 2 4 【5 】l a w l e n c e b r o w n ，n o a hg a n s ，a v i s h a i m a n d e l b a m n ：s t a t i s c a la n a l y s i so fat e l e p h o n ec a l l c e n t e r ：aq u e u e i n g - s c i e n c ep e r s p e c t i v et h ew h a r m n ns c h o o l ，u n i v e r s i t yo fp e n n s y l v a n i a ( o c t o b e r ，5 ，2 0 0 4 ) 【6 】k h u d y a k o vp o l i n a ：d e s i g n i n gac a l lc e n t e rw i t ha ni v rs e n a t eo ft h et e c h n i o n 。i s r a e l i n s t i t u t eo ft e c h n o l o g yf e b r u a r y2 0 0 6 f 7 l j m i c h a e lh a r r i s o n ，a s s a fz e c v i ：am e t h o df o rt i ms t a f f i n gl a r g ec a l lc e n t e rb a s e do i l s t o c h a s t i cf l u i dm o d e l s ，m a n u f a ( ：t u r i n ga n ds e r v i c eo p e r a t i o n sm a n g e m e n t f e b r u a r y2 0 0 4 【8 1 8o y e m i nl e e j o n g w o oj ：a n a l y s i ro fa n x e l if i n