（计算数学专业论文）二维热方程neumann边界条件的二阶交替方向隐格式.pdf

摘要 本文研究二维热传导方程n e u m a n n 边界值问题 塞= 象+ 雾+ ，( 砌，小1 0 t l 垒丛塞孑型；o ，鱼丛轰孑盟= o o s 可， 垒丛考字盟= 。，垒丛；孑盟= 。，。z s ， u ( x ，暑，0 ) = 妒( z ，! ，) ，0 z ，! ，1 的数值模拟，建立了一个交替方向隐式差分格式每一时间层上只要解一系列三对角线 性方程组利用能量分析法证明了数值解的存在唯性、关于初值的无条件稳定性以及 在离散h 1 范数下关于时间步长2 阶和空间步长1 5 阶的收敛性最后用一个数值算例 验证了文章的理论结果 关键词：热传导方程，n e u m a n n 边界条件，交替方向隐式格式，收敛 a b s t r a c t 1n ep u r p o s eo it i n sa l 飞l c l ei st os t u d yt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h eh e a te q u a t i o n w i t hn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o ni nt w od i m e n s i o n s 雾：尝+ 耄堋舢埘，o 霸y 1 0 f 冬正 瓦2 瓦万+ 石再+ ，( z ，玑2 ) ， o z ， 1 ，o 冬正 o u ( o 万, _ y , 一t ) ：0 ，o u f ( 1 , y , t ) ：o ，o 可1 ， 8 z 1 8 z ”、28 。：1 掣：o ，下o u ( x , 1 , t ) ：o ，o z 1 ， 却 锄 。2 “3 。 a na l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei sc o n s t r u c t e d t h en u m e r i c a ls o l u t i o n o fe a c ht i m e - s t e pi so b t a i n e do n l yt h r o u g hs o l v i n gas e r i e st r i d i a g o n a ls y s t e m so fl i n e a r a l g e b r a i ce q u a t i o n s u s i n gt h ee n e r g ym e t h o d ，w ep r o v et h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nw a s u n i q u e l ys o l v a b l e ，u n c o n d i t i o n a l l ys t a b l et oi n i t i a lc o n d i t i o na n dw i t ht h ec o n v e r g e n c e2 o r d e ri nt i m ea n d1 5o r d e ri ns p a c e a tl a s t ，an u m e r i c a le x p e r i m e n ti sp r e s e n t e dt o d e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：h e a te q u a t i o n ，n e u r r m n nb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n ，a d i ，c o n v e r g e n c e 1 1 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名；。蕉选日期，c 堑生丛： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 签名：垄董： 导师签名：7 盈耋! 垃日期：o 业! ：! ! ! 第一章引言 二维，三维抛物方程被广泛地应用于工程和医学领域对于二维，三维问题，常常应 用交替方向隐式格式去求解解抛物方程的交替方向差分方法产生于上世纪五十年代， 由于其稳定性好，易编制计算程序，几十年来在科学与工程计算中得到了广泛的应用 最早的交替方向差分格式由p e a c e m a n ，和r a c h f o r d 2 1 ，以及d o u g l a s 和r a c h f o r d 4 1 给出d o u g l a s 于1 9 6 2 年提出了后人称之为d o u g l a s 格式的一类交替方向隐格式，其 特点是有二阶截断误差而且适用于三维情形 对于第一类边界值的二维热方程的交替方向隐式格式，在【l 】中作者已经做了详细 的介绍本硕士论文考虑第二类边界值问题 害= 象+ 酽0 2 u + ，( 训) ，0 刎 1 0 t 正 掣：o ，下o u ( 1 , y , t ) ：o ，o y 1 ， 矿2 ”矿2 ”，u 331 ， 掣：o ，o u ( x , 1 , t ) ：o ，o z 1 ， 鲫o y u ( x ，y ，0 ) = 妒( z ，) ，0 z ，y s1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 的交替方向隐式格式的求解 第二章给出交替方向差分格式第三章对差分格式做了关于l 2 范数和研范数的先 验估计第四章证明了差分格式的可解性收敛性及稳定性 第二章差分格式的建立 这一章中我们应用t a y l o r 展开式得到了差分格式，并给出了交替方向隐式格式的 算法为了求解初边值问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) ，取正整数m 和，令h = 击，r = 丙t 记墨= i h ， 珊= j h ， 如= k r , t k + ；= ；( “- 4 - t 女+ 1 ) ， q = “墨，y a l o ，js 膨) ，n r = t k o s 七) 设钍= ) 嚣= o 为x 珥上的网格函数， 引入记号s 豇5 = 互1 ( 铲1 + 屿) ，反u 。= ；( u 巧k + l 一钍；) 疋u 墨。j = 丢( 坞一“墨，j ) ，毛屹- - 1 2 = 瓦1l k 一屹一，) ， 磋屿= 去( 略，。一2 屹+ u “- * 。) ，班；= 秽1 k 川一2 屿+ 屹一，) ， f 跏知， a 。砖= 酲“各， i 一；以札：f 书 i = 0 ，0 s 歹尬 1 i 曼m 一1 ，0 jsm i = m0 j m ， l ；雠 ， j - o ，osi m ， 呜= 霹札嚣， 1 s j m 一1 ，o m ， 【一；毛u ：m 一 ，j = m o s l m ， i 1 ，1 ，j m 一1 ， = 鬟 i m m - 一臻：凹o r 乏 【i 1 ， ( i ，j ) = ( o ，o ) o r ( o ，m ) o r ( m ，o ) o r ( m ，m ) u = 嘴10 i ，jsm ，0 七) ， y = 呓10 i ，j s m ，0 k n ) 2 壅童查兰堡圭堂堡堡苎量三塞薹坌堡苎堡竺垄竺笪塑 3 其中 嗡= “( 孔，y j ，“) ，咭= v ( x i ，珊，“) ，0 s i , j m ，0 七n 在慨，y j ，t t + ；) 处考虑( 1 1 ) 有 害( 蛐 _ = 丽0 2 u ( 嘶训+ 雾( 撕 ) + f ( w i , y j , t k + ) ( 2 1 ) 将 和 牡( 墨，鲫，t + 1 ) = 乱( 戤，协，。) + i t 瓦o u ( 以，协，t + ) + i t 2 否a 2 万u 【墨，协，t 女+ ) + 篡嘉( 蛐慨mt k + 轨州s t 州+ 五百否万【戥，协，啦，七+ 1 ) ， s 哺，七十1s 詹+ 1 t ( 鼢，协，“) = u ( 以，珊，t + ；) 一i r 瓦0 u 【甄，珊，。 ) + i t 2 否d 2 万1 ( 甄，珊，t t + ；) 一一1 - a 面0 a 歹u 【4 8 z i ，珊，哺詹) ， “琅膏t 詹+ 一一否万【z i ，珊，哺) ， “s 琅s t + 分别相减，想加得 将 和 害( 螂 _ = 扣础 + 1 ) 叫撕m ) 】+ 丢嘉( 墨，娜m ) = & 唠5 + 丢嘉( 兢，协m 出 - 可i j 朋妯+ 。 “( 鼢，珊，t 知+ ；) = 互1 阻( 趣，协，t 七+ 1 ) + 乱( 盈，蜥，“) 】一i t 2 否0 2 万? 2 ( 墨，珊，依，七2 ) “( 鼢，珊，t + ；) = 互阻( 趣，协，t 女+ 1 ) + 乱( 盈，蜥，“) 】一百j 再虿( 墨，珊，依，女2 ) = 涝5 一萼嘉( 粕，娜艘) j t 。鲰船“， u ( 舭) 叫撕纠+ 塞( 撕a ) + 笙2 坠0 x 2 ( 蛐埘 + 竺6 垒0 x a ( 删+ z h 4 4 甜0 4 u ，。+ 1 舭) ，+ 一【z t ，珊，“j + z 4 甜，。+ 1 ，七，协，“) ， a 6 + 1 x i + i ，1 i m 一1 ( 而一。，蜥，“) = u ( 翰，协，“) 一 宝( 甄，缈，t 七) + 虿h 2 , 瓦0 2 万u ( 霸，协，“) 一等豢( 蛐 ) + 夏h 4 丽。御u ( “一彬成一百石【黾，协，“) + 夏石i ( “1 ，珊，“) ， 丑一1 矗一1 ，1 i m 一1 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 0 譬2 u 、j 黧t 2 “甄蒯“轴舭w 一笔骞呦 i f y j , t ，t d d 护 、，“u ”，c f l 、 ：三【让( z 件l ，协，t k ) 一2 缸( 甄， k ) + 札l 瓤4 协坫门 1 2 8 一” ：碱j b - 一西h 2 0 丽( 咖砒z “鲰蛳 1 s 。s 朋叫 由上式与( 2 3 ) 得 ；黧嚣秽h 2 0 a u ”删m 。h 。2 。0 势l u 州瑚 纛篡1 i ，吵， a ， ；硅噶3 + 矿 ， s m 一1 ，雌处” 舯，哪：一笔氡川舭+ 1 ) 一篆客( 蚓沪鲁淼协眦动 r 。孙卅幽j 之臻冀0 u 磐雾拳奶删”“。“”1 ( t ! w 一1 ； 由舶削矿o u - t + x o等孙舭) + 等孙洲如, y i f l 牡( 础，t 。刚 o + h 矿专秒。十虿酚m ” 飙精虑娄慧笺三一。州蹦一；知彬。， 嘉渤，霍篡：豢芝篡1 ：要兰。= i 以一面蚧垤如“一一 婺裂砧；h o 。u 。一t ，h h 孙o z u ， ：毳疋嚼伽 。一倒h 静b 蚧“n + 等墓，叩删( 2 。) ：缸u 学+ r 黔 奎童奎兰堡圭兰堡垒塞量塞丝童垫墼叁些童 5 其中 同理 其中 菇5 ：一石h 瓦0 2 芦u 【如, k + l , y j , t k + 1 ) 一百h 瓦0 2 i u ( 如t ，协，“) 一i - r 2 瓦0 丽4 u ( 勋，协，和，耽) 象( m 彬沪一五2 k 矿崩，坼- s 协 ( 2 6 ) 舒= 百h 孬o 渤, k + l , y j , t k + 1 ) + 石h 丽0 2 u ( 觚册一芸鑫( x m , y # , r l i 心) 由( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 , 6 ) 同理得 其中 雾( 蛐 _ = 6 v 2 f r k + 5 + 萨5 ，1 j m _ 1 。詹- 1 ( 2 7 ) 雾( 蛐 _ = ；如蟛+ 龆1 ，m “。七_ 1 ( 2 8 ) - - 差( z i , y u , t k + ) = ；如2 十t 警，1 j m 一1 ，。后一1 ；( 2 9 ) = 一篆券( 硝州) 一笙2 4 塑0 y 4 圳沪可r 2 瓣0 ( x i , y j , 7 j , k 2 ) 茹5 = 一鲁等( 玩( o ，“。) 一：雾( 翰，沁，) 一；喾篆瓴胁枇) ，0 一k 一n - 1 搿= 一：雾( 以赢州 + 1 ) 一：象( 墨沁- ) 一i t 2 i ! ；兰( ，y m ，仍m ，七2 ) ， o 七一1 ； 一虿石i j 否万( ， ，仍m ，2 ， “s 詹s 。一1 ； 将( 2 2 ) 一( 2 9 ) 代入( 2 1 ) 得差分方程 磊瞄1 2 ：a 。噶啦+ a 。略啪+ 1 2 + 学o ， 0 i ，j m ，0 茎奄n 一1 ， ( 2 1 0 ) 堡堕查兰堑圭堂堡垒塞篁三塞耋坌堑塞堡竺丝笪墼 6 其中 学5 ： 毒+ + 弓+ + 砉象( ，协， 1 ) ，1 ，j m 一1 ， t + + ；专+ 丽v 2 否0 3 一u ( ，y o ，讯o ，詹1 ) ，1 i m 一1 ， j = 0 ， # + ；+ r ：菅+ 丢券( 孔，掣m ，哺肘崩) ， 1s i m 一1 ，歹= m 葶+ + 砖； + 砉豁( z o ，珊，r l o j ，t 1 ) ，1 j m 一1 ，i = 0 ， 专+ + 努+ 丽r 2 否8 z u ( z m ，蜥，r l m j , 七1 ) ，1 歹sm 一1 ， i = m 砖j + r ； + 芤7 2 面0 a f u ( x o ，y o ，r o o ，轧) ， ( ，j ) 一( o ，o ) ， 呓 + t 学+ 西7 2 市o a u ( y m ，r l o m , 1 ) ， ( i ，j ) = ( o ，m ) ， 戎芳+ t ； + 磊r 2 砸0 3 u 扛m ，y o ，7 m o 朋) ， ( i ，j ) = ( m ，o ) ， r 搿+ 警+ 西r z 矿t z u ( x m ，y m ，彻| l l f m ) ，( ，j ) = ( m ，m ) 存在和h 与r 无关的正常数c ，使得 ic ( h + 户) i 善5 l ： c ( h 2 + t 2 ) ，i = 0 ，m0 j m ，1 i ，j m 一1 ， c ( h + 7 _ 2 )，j = 0 ，m0 s i s m 在( 2 1 0 ) 中增加小量项萼a 。，u 。k + 1 2 ，由前面同样方法可以得到 ；蛳，文瞄坍伊 所以 盈略= 船u 。k + u 24 - d ”k + 1 24 - 1 2 一；m 。，u 。k + v 2 ，砖5 ， 0 i ，j s m ，0 k n 一1 ， ( 2 1 1 ) 存在和h 与7 无关的正常数c ，使得 搏隰嚆麓： 吗= 妒( z ，y ) 0 i ，j m ( 2 1 2 ) 东南大学硕士学位论文 第二章差分格式解的先验估计 7 舍去小量项尼，并用仳嚣代替嘴，得到如下差分格式， 盈让铲1 2 = a 。u 巧k + u 2t a ，学1 归一萼a 。a ，盈札1 ，2 + 学1 ，2 0 i ，js m ，0 七s n 一1 t 岛= 妒( z ，可) ，0 i , j m ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 在第k 时间层上，差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 是关于未知函数 札嚣，0 i ，jsm ) 的 线性方程组 差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 可以写成 k + l 一；a 。u 铲1 一；札1 + 百, i - 2a 。a ，磊矿 = u 嚣+ ；a 。仳善+ 互t a ，屿+ ；a 。a ，文屿+ f 1 胆， 0 i ，j m ，0 k n 一1 ， 两边分别因式分解得 其中 ( i - 百t 儿) ( ，一；) “铲1 = ( ，+ 互t a 。) ( ，+ ；) 仳嚣+ r 孝5 ， 0 ，j m ，0 k n 一1 ，( 2 1 5 ) j 仳：= “0 令t 0 = ( ，一) t 学1 ，则( 2 1 5 ) 等价于 ( ，一i t 也) 屿= ( ，+ ；也) ( 互t ) 札：+ 下孝。， 0 i ，j m ，0 k n 一1 ( j 一互t ) “扩1 = “0 ，o i ，js m ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 当第七层上的u 的值 “嚣f o i ，j m ) 已知时，求出过渡层变量 缸i o i , j m ) 对任意固定的j ( 0 歹m ) 求解 ( i - t _ 2 a 。) 1 - - - 1 - i 7 如) ( ，+ ；) 坞+ r 孝， 0 i ，j s m ，0 后n 一1 ， 东南大学硕士学位论文第二章差分格式解的先验估计8 得到 u 0 = 0 i ，j m ) 当 u l o ，j m ) 已经求出时，由( 2 1 7 ) 求出第k + 1 层上的t 的值 u 铲1 i o i ，j m ) ：对任意固定的i ( o i m ) ，求解 ( ，；) u 铲1 = ，o j s m ( 2 1 6 ) 是关于z 方向的隐格式，( 2 1 7 ) 是关于y 方向的隐格式它们也均是三对角线性 方程组，可用追赶法求解 第三章差分格式解的先验估计 在本章中我们应用能量分析法给出了差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 的先验估计 定义内积： 定义范数： 0 乱0 = h 0 如训= | | 屯训l = 3 1 预备引理 i mm - 1 1 1 磊荔 恻i m m 纱- l 咖扩+ - 【1 咖峥扩+ 历1 悱= 何丽可丽 ，= 而而丽 引理3 1设t ，= v a o i ，jsm ) ，叫= 舡协l o i ，j 茎m ) 为n h 上的网格函数， 则有： ，一1f h ( 酲) = 一危( 如2 j ) 以w i 一1 ，2 j i = 1l = 1 一( 6 ： 1 2 j ) 咖j + ( & v m 一1 2 , j ) w m , j 引理3 2 设口= v 巧1 0 ，j m ) ，w = 毗j l o s i ，j m ) 上的网格函数，则有 等量( 瓴扣而。 - i = 1 。 叼 m 渊 胪= 专 胁 毗 ” 以 一 恸o _ = i ：1 加 缸 而 b 蛐 m=汹 铲 胪虿 一 一 i i 奶 n ( a v v , w ) ：一九。mm - 1 ( 毛q j 一；) 如毗j 一 一百h 2 m ( 毛j i ) 毛以) = 一九2 ( 毛q j 一；) 如毗j 一 一万( 毛j i ) 毛以 一百h 2 m ( 屯。幻一；) 矗加m j 一 。= 1 证明：应用引理3 1 ： mm ( a 幽 ) = h 2 ( a 。) ， i = 0 j - - o 将内点与边界点分开，展开上式右端得： ，1 2 ( a 舶) m - 1 m - 1一m 一1一m - 1 = 2 ( 霹) + 了h 2 ( 磋，。) 毗，。+ 百h 2 ( 鹾仇，m ) 劬，m i = 1j = 1i = 1i = 1 + _ l ( 劬如) w o j h ( 疋一如) w m j + ：( 如口 ，。) t t l 0 。一互h ( 瓦一，。) 钮m 。 + ；( 疋可 ，m ) t ，m 一；( 如”m 一， f ) 蜘m ，m m l m l h 2 ( 磋) i = 1 = l ，9 肘一1 等( 酲蛳) 蛳 = 等2 ；m ( 嘛扣咕。一互h ( 蛳。+ i h ( 以嘲o ) 帅， 蚴 m ，1 慨 埘 危 + j蛳 慨 m h一 j 舌 毗 疋 1 限 似 m 汹 舻 = 塞壹塞学硬兰堂僮迨皇第三章差分格式解的先验估计 1 1 整理代入得： i h 2m 备- 1 ( 纸m ) 帅 = 等喜( 魄冲； m 习h 咄一蛳叼h 瓦帅 mm - 1 l ，m ( a 以叫) = 2 ( 疋一j ) 疋毗一j + 等( 疋啮一，。) 瓦毗一；，。 + 等2 善m ( 慨扣龇弓m ， 同理，可以得到： 引理证毕 ( a u v , w ) ： 。mm - 1 ( 毛一 ) 毛毗j 一；+ 等2 m ( 毛j 一) 矗以) = 2 ( 毛j 一 ) 毛毗j 一；+ 等( 毛j 一) 矗，j 3 + 等2 m ( 毛一) 毛- ；， 。倍l 3 2 关于l 2 范数的先验估计 这节我们给出差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 关于l 2 范数的先验估计 定理3 1 设 札：l o t ，jsm ，0 k n ) 为差分方程组偿j 别一偿j 的解，则当 步长下充分小时，有 一2 m l i 矿n ；铲( 如毛钍墨；j 一 ) 2 t j = l 2 m k - im e 圩, t t 0i 1 2 + ； 2 ( 如如吐；j 一 ) 2 + r 2 e r l + 1 7 2 ) 2 ) 】 i , 3 = 1 1 = 0z , i - - - - - 0 0 k n 壅壹盘堂亟堂鱼迨文 第三章差分格式解的先验估计1 2 证明；将( 2 1 3 ) 两边分别与u k + 做内积得 ( 盈乱“，u 。+ ) = ( a 曩缸州) + ( a ，乱每5 ) 一；( 舢加州，扩 ) + ( 广，t + ；) ( 3 1 ) 其中，由引理3 2 得： ( a ；乱+ 熹，札i ) ：一mm-1(以t嚣)。一等量(疋札鼍1h2 1 0 ) 2 一等h z 兰( 以札鼍m ) ：= 一( 以嘞) 2 一等( 疋札鼍。) 2 一虿( 以札鼍m ) 2 i = lj = l 一 一i = l 一 括l 。 = 0 如+ ；1 1 2 ， 同样的，由引理3 2 得： ( a v 仳 ，“；) = 一 2 善mm 萎- 1 ( 毛缸墨 ) 。一等粪( 毛呓! ) 。一i 善m h 2 ( 毛札嚣扩 = 一 2 ( 毛缸墨 ) 2 一等( 毛呓! ) 2 一百( 毛札嚣；) 2 = 一愉“。+ 1 1 2 再看右端第三项 譬( a 。文札t 一，仳蚪 ) ：百t 2 危。妻( a 。a ，玩每3 ) 让5 4 ；u , 4 一- - v n 将内点与边界点分开，展开得。 ( a 。a p 磊就+ ；，缸；) 肘一1 m - 1 m - 1 = 酽5 - ：( 2 2 盈仳o ) u ；+ ( 鹾矗五札冀5 ) 钍翁5 一 ( 磋驰乱盛 ) “搿+ ( 疋霹跏警) 牡铲 t = 1 ，= 1 一 ( 霹毛& “麓j ) “掰+ 毛也乱爱) 钍筘。 一( 疋啪就撞) 崩一( 以毛跏鸽，) u 搿 + ( 疋毛跏怂肌 ) 仳龆， ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 东南大学硕士学位论文第三章差分格式解的先验估计1 3 兵甲，厦用引理3 1 得： 舻( 鲤踟奇3 ) u 争 mm - 1 m ， = 一h 2 ( 以巩u 饕) 瓦线一九i n - - a ( 以氍u 孑) 或5 + 慨氍钍铵j ) 仳掰 甜( 以驰牡一) 以矗札饕一 m 一1 m 一1 一 ( 疋霹文乱孑) 仳；+ ( 疋氍蹬 j ) 乱学 + ( 疋如文赶) 疋蟛p 一 ( 如m 蛾州) 如札譬m ， ( 3 5 ) m 1 ( 鹾如也t t 麓5 ) u 譬 ： 釜( 瓦如文让薯；) 如牡：知一( 疋矗& u 爱1 ) 1 + ( 疋如也让葛， ) “b m * , o ，( 3 6 )= ( 瓦如文让薯；) 如牡：知一( 疋矗& u 爱) + ( 疋如也让葛， ) “5 ，( 3 6 m l ( 磋屯巩盛 ) u 搿 m = 一 ( 以啪蟛叫) 疋缓m 一( 疋毛文乱翁一；) 镏 + ( 如如也爱 ，m 一 ) 让瓮乞， ( 3 7 ) 将( 3 5 ) 一( 3 7 ) 代入( 3 4 ) 并整理，显然可得 萼( 蛳加，让 ) = 垦曼兰窒叁里兰! 兰篁：! ! 查：叁三塞丝篁苎堡竺叁丝堡 1 4 ，mm 2；2(疋矗以“麓一；)疋屯“墨一i= 1j = l 。 f 2m2mm = + ；酽若若( 以屯让k q + l 一) 2 一； 2 善若( 疋毛让l 弘；) 2 ， ( 3 8 ) ( 文“5 ，5 ) ：知u 州f f 2 - i l u e i 。) ，( 3 9 ) 将( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) 代入( 3 1 ) 得： t 2 mm 2m l l u k + , | j 2 一岫j 2 + ； 2 慨西。一；) 2 一! j i z 2 限毛哇。一；) 。i = 一 2 一l 如牡+ 邪= + 1 下j = 2 l ；5 4-m mila=仳k+；11 h 下h 2 ( 孝3 ) 2 + r h 2 ( 苷5 ) 。 s 丁 2 ( 5 ) 2 十孤啪忡孤- o r 2 u i j ，、, , ，i j + 、2 十；| i 缸- i i + ；- i , u k l , + 萼 2 娄霎c 疋毛让；k 一+ 如l 一；，2 + i 7 3n 2 姜喜c 疋屯吃；。一；，。， 应用g r o n w a l l 不等式得； 2 + 萼噻姜c 如毛嘣州，2 定理证毕 一2 mm t 一1m e 汀伽。1 1 2 + ；矗2 阪以哇妒 ) 2 - i - r h 2 ( 疗讷 “j 2 1 l = 0 t j = 0 0 k 3 3 关于研范数的先验估计 这节我们给出了差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 关于h 1 范数的先验估计 东南大学硕士学位论文 第三章差分格式解的先验估计 1 5 定理3 2 设 钍0 i osi ，j m ，0 ks ) 为差分方程偿i s ) 一俾j 的解，则当步 长r 充分小时。有； mm 阶h 2 ( 也如嘣j 一 ) 2 i 一= 1 i = 1 mm k - im e 盯 i i u 。i i ：+ i n 2 ( 以毛u ；o 一如一；) 2 + 2 r ，1 2 ( 学3 ) 2 ) ， i = 1i = z i = oi , j = o 0 k 证明：将( 2 1 4 ) 两边与5 t u + ；做内积得； ( 也札+ 4 ，魂t + ；) = ( h z u + 4 ，反乱+ ；) + ( a ”“+ ；，魂u + ) + ( 百t 2 屯最仳，磊u k + 4 ) + ( ，* ，文钍+ ) ，( 3 1 。) 其中，由引理3 2 得： ( a 。t + 4 ，也“+ ) ：萎mm萎-1(疋u警)况疋k+如4一；羹(如心k_；，+4_h2 k + 4 。) 函以让鼍。 = ( 疋u 警) 况疋如一；( 如心_ ；，。) 函以让鼍。 一：姜c 疋越珈如札鼍肘 = - ( 1 i e u 2 一慨矿，( 3 1 1 ) 同样的，由引理3 2 得： ( a 口让+ 4 ，也乱+ ) mm 一1 ，m 聍( 毛) 文毛乱尝；一：( 毛仳。k 叫+ 4 ) 盈屯缸蹬 一互h m ( 屯u 嚣；) 反毛札镣 ：一( i 品+ 肛愀t | 1 2 ) ( 3 1 2 ) 再看右端第三项 ， ( a 。a ，文“，晚钍。+ ；) = h 2 哟( 也a 。况u 5 ) 盈乱争o i , j = o 将内点与边界点分开，展开得： ( a 。a & “詹+ ，磊就七+ ；) = + 2 ( 2 。，2 巩u 5 ) 巩“5 + j l ( 鹾屯文u 譬3 ) 巩蝣5 t = 1j = l i = l 一(磋啦5)跏搿+(以氍札)&仳等3i 一 = l ( 如跏麓i , m - j ) 4 让掰+ ( 如毛文k 狲+ l ，蜥o 0 ，k + 。 一( 瓦屯玩蠕一；) 跏镒一( 瓦毛民u 如，) 4 仳m , o 。 + 阮啪枷一；) 坑札鼢， 其中，运用引理3 1 得 ( 3 1 3 ) 炉( 鹾霹文5 瓶札5 i = lj = 1 = 一 2 善；慨铂u 饕- 1 - ) 疋盈u 警一 m 若- - i ( 瓦露文“窘) 巩乱芯5 + ，l 阪秭钍m - 5 j ) 玩“抖m d ； = + 2 若萎( 以啪缸鼍一) 2 一危萎( 以霹函“孑) 抗u 皆 + ，l ( 疋霹& 鸽。) 祝札舒+ ( 疋毛& t 毪a 成疋让薯。 一 4 = 1 ( 疋如蠡t 鹭村一 ) 疋跏鼍| l f ； ( 3 1 4 ) m - 1 ( 鹾啦让& 谢。 ( 鹾啦让警) & 谢5 东南大学硕士学位论文第三章差分格式解的先验估计 1 7 = 一 萎( 以啪越；) 以跏鼍。一慨毛也“安) 文谋5 ( 3 1 5 ) m = 一l ( 以驰让鼍叫) 疋蠡村 一假啪”茹一 ) 也札寄+ 矗况u 爱m ) u 鼢 ( 3 1 6 ) 将( 3 1 4 ) 一( 3 1 6 ) 代入( 3 1 3 ) 并整理，显然可得 ( a z a v & u + 3 ，玩“。+ 5 ) = 舻i = 1 2 = i ( 以毛反札：刍一；) 2 ( 坑奇3 ，魂u 争5 ) = 愀k + o i i 。， 将( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 代入( 3 1 0 ) 得： 1 1 6 , u k + 1 1 2 + ； 2 ( 瓦啪t 嚣一；) 2 l = lj = i = 一；( 旷1 1 2 - ) + 2 ( 疗o ) 盈苷o ， i d = o 两边乘以1 并移项整理，考虑a b 0 , 2 + 譬显然可得； m 胪1 卜妒1 1 2 + r 慨。+ ；1 1 2 下h 2 呦学5 1 坑眷； 所以 丁等量( 孝分刮附+ l i ： i 。j = o t 知羟 k - 1m e 盯( i 让。n r h 2 ( 疗钢，o k 曼 f 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) q m 。l 盯 如 溉 缸 ；毛 。 砖肛 ；，1 m。 砖q 砸 。 如 鼢 磋 6 l； 僦 中 学 m 渊 舻一0 r尸 垄童查兰堡主堂堡垒塞篁三塞丝堕壅堡竺塞矍篁奠 1 8 再由定理3 2 得： 定理证毕 一2 mm i l u k l l i + ； 2 ( 如州k 一+ l j 一；) 2 = lj = 1 口mm k - 1m r o s 矿 l 堋i + ；酽( 疋以咯j 一；) 2 + 2 2 哟( 疗3 ) 2 ) i = 1j = 1 l - - - 0 i j = o o 七 第四章差分格式解的存在性，收敛性和稳定性 在本章中我们将证明( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 的解的唯一存在性，收敛性和稳定性 4 1 差分格式解的存在唯一性和稳定性 这节我们将证明差分格式解的唯一存在性与稳定性 定理4 1差分格式偿j 砂停j 训是唯一可解的 证明：差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 是线性的考虑其次方程组： 巩仳v 2 = 啦au 巧k + u 2 + 屯札1 2 一；屯文u 矿1 2 ， 0 s l ，j s m ，0 盘n 一1 ， 蜡=0，0si，jsm 应用定理3 1 知0 矿i l 0 ，则( 4 1 ) 一( 4 2 ) 只有零解定理证毕 ( 4 ，1 ) ( 4 2 ) 定理4 2差分格式俾i s ) 一p j 训对下述意义下对初值和右端函数在历范数下是稳定 的；设 屿i o i ，j s 必0 s 盎，为差分方程组 魂诺1 肛= a 。“1 2 + 屯诺1 胆+ 1 2 一芸心a ，况让铲1 2 ， 0 t ，j m ，0 _ | n 一1 ，( 4 3 ) 喝= 妒( z ，寥) ，0 ，j m ( 4 4 ) 的解。则有： j j i t 孵se 汀f j | “o 孵 证明；直接由定理( 3 2 ) 可得 砷 勺 学 m ： 渤 炉 m 尸 一 1 j - 芹 乒 一 。q o 咖 疋 蚪 胪 一一4 壅童奎兰堡主堂堡垒塞丝堕塞丝童苎堡竺童! 堕：些墼堡塑塞壅堡2 0 4 2 差分格式的收敛性 下面我们证明，差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 解的收敛性 定理4 3设 钍，协，t k ) l o ，j m ，0 ks ) 定解问题一j ，以的解， 吨1 0 i ，j 曼m ，0 七s n ) 为差分格式偿到一r 2 j 4 ，的解记 则有： 鸣= 让( ，协，t k ) 一屿，0 t ，j m0 曼南n 0 扩1 1 1 c ( r 2 + i ) ，0 k ， 这里g 为与h 和1 - 无关的正常数 证明； 将( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 分别与( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 相减，得； 巩e 铲v 2 = a 。e , 7 1 t + a 口e 1 胆一；a 。a f 祝e 1 7 2 + 忍j ， 0 i ，j s m ，0 sk n 一1 ， e o = 0 ，0 i ，j s 舱 应用定理3 2 。得： ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 2 mk - 1m e 旧+ ；危2 ( 疋如圣j 一) 2 e 汀丁h 2 ( 砖1 7 2 ) 2 ，o 七s l j = l 1 = 0 i , j ；0 利用露5 的表达式，可得 | | 砖种 m = h 2 ( 礤v 2 ) 2 j = o = 炉p ( 危2 + r 2 ) 】2 + 等p + r 2 ) 】2 + 可h 2 p + 户) 1 2 + 2 p ( 危+ 下。) 】。 c 2 ( m 一1 ) 2 ( 2 + 下2 ) 2 + ( m 一1 ) h ( h + f 2 ) 2 + h 2 ( h + r 2 ) 2 】 c 2 【( m 一1 ) 2 ( 2 + 丁2 ) 2 + ( m 一1 ) ( h i + i 17 - 2 ) 2 + ( 妒+ h t 2 ) 2 1 俨( ，一1 ) 2 ( ；+ r 2 ) 2 ， 堕垦查塞兰坠兰兰丝塞一一一 篁望塞叁坌童苎堡墼童壅堡：些竺堡垫垒塞堡 21 所以 则 定理证毕 t e 2 t i 礤椰 c c h + + 下2 ) 2 ，0 s 矗曼n e k1 1 1 sc ( t 2 + ；) 0sk n 勺磋 m 唧 脚 矿 汀 e 一 矿 第五章差分格式的求解以及数值算例 应用差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 计算如下问题 u t = “+ u y y + ( 2 霄2 一1 ) e 一e o s ( ，r x ) c o s ( 7 r 可) ， ( z ，y ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，卅， t l ( z ，y ，0 ) = c o s ( ，r x ) c o s ( 7 r s ，) ，【0 ，1 】f 0 ，1 】， ( 0 ，y ，t ) = 0 ，u x ( 1 ，y ，t ) = 0 ，0 t z t 正f ( z ，0 ，亡) = 0 ，钍p ( z ，1 ，t ) = 0 ，0 t s e 该问题的精确解为就( z ，y ，t ) = e _ lc o s ( f f ；t ) c o s ( t r y ) 令 u 嚣 l l i ，j m ，0 七n ) 为差分格式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 的解并定义 e ( ，r ) 2 。m a x 。i i g 一钍l i l 假设 e ( h ，丁) = o ( r p + 口) 如果r 充分小，则e ( h ，下) zo ( h 9 ) 因而警糊“2 口，q 。l o 勖( 警粉) ； 同理，如果h 充分小的时候，则有e ( h ，r ) zo ( r v ) ， 所以涮z2 p ，p z l o g z ( 帮) 计算结果见表5 1 和表5 2 ，善 e ( h ，r ) e ( 2 h ，t ) l 0 9 2e e ( ( 2 h r , r ) ) e ( h ，r ) 1 0 0 1 9 1 0 4 1 9 0 5 1 0 1 o 0 0 4 7 7 5 6 1 9 7 53 9 0 2 71 9 6 4 5 2 0 1 o 0 0 1 1 9 5 6 3 7 5 93 9 7 5 21 9 9 1 0 柚 1 0 0 0 0 3 0 0 7 7 4 7 9 73 9 9 4 21 9 9 7 9 1 7 7 0 1 6 7 4 5 3 4 e - 0 0 54 o ( ) 0 42 0 0 0 1 1 6 0 ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) 壅堕奎堂里圭兰竺垒塞叁耋垫 2 3 r e ( h ，r ) e ( ，2 r ) l o g ：甓碧e 丁1 1 0 0 2 5 9 6 6 7 0 6 5 1 0 1 0 0 0 6 4 8 6 1 3 4 5 5 3 9 4 7 31 9 8 0 9 2 0 1 o 0 0 1 6 1 3 8 9 2 5 53 9 9 0 71 9 9 6 6 4 0 1 o ，0 0 0 4 0 4 4 1 6 6 84 0 1 8 92 o ( ) 6 8 8 0 1 0 0 0 0 1 0 2 4 5 3 6 0 74 0 0 3 4 2 0 0 1 2 1 6 0 图5 1 ：t = l 时数值解的误差图 o q 吨 喝 q o 参考文献 【l 】孙志忠偏微分方程数值解法【m 】- 第一版，北京；科学出版社，2 0 0 5 1 1 2 1 2 jp e a c e m a n ，d w a n dr a c h f o r d ，hh ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r a b o l i ca n de l t i p t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j s i a m ，3 ( 1 9 5 5 ) ，2 8 - 4 1 【3 】d o u g l a s ，j j r a n dr a e h f o r d ，h h ，o nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h eh e a tc o n d u c t i o n p r o b l e mi nt w oa n dt h r e es p a c ev a r i a b l e s t r a n s o ft h ea m e r m a t h s o c ，8 2 ( 1 9 5 6 ) ，4 2 1 4 3 9 【4 】d o u g l a s ，j j r ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d sf o rt h r e es p a c ev a r i a b l e s ，n u m e r m a t h ， 4 ( 1 9 6 2 ) ，4 1 6 3 【5 】c o n t es d ，n u m e r i c a ls o l u t i o no fv i b r a t i o np r o b l e