（计算数学专业论文）关于全实正代数整数的迹的研究.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 关于全实正代数整数的迹的研究 计算数学专业硕士研究生梁艳华 指导老师吴强教授 摘要 令a 是一个d 次的全实正的代数整数，q l = 口，o l 2 ，q d 为它的所有共轭元 令鼠= 冬1 前( k 为正整数) ，显然研就是通常意义上的q 的迹，s l d 被称为q 的绝对迹对于岛d ，有一个著名的“s c h u r - s i e g e l - s m y t ht r a c ep r o b l e m ”【1 】： 对于给定的p p 对于这个问题有很多人进行了研究，在本文中我们利用整超限直径的理论，结合相 应的辅助函数，借助改进后的l l l 算法和半无限线性规划法解决了p 0 ，研究了眸( q ) 的集合编 其中， 蚺) _ ( 三磐 p ) m ， a 是一个d 次的全实的代数整数我们在他研究的基础之上进一步研究了 文肛( 忌= 2 ，3 ) 的下界 作为研究生期间研究工作的一部分，我们最后讨论了不定方程z 34 - 8 = d y 2 ， 并给出了其全部整数解【3 】 关键词：绝对迹全实正的代数整数s a l e m 数辅助函数l l l 算法半无限 线性规划法不定方程 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t u d i e so nt h et r a c ep r o b l e mo ft o t a l l yp o s i t i v e a l g e b r a i ci n t e g e r m a j o r ：c o m p u t a t i o nm a t h e m a t i c s n a m e ：l i a n gy a n h u a s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw uq i a n g a b s t r a c t l e tab eat o t a l l yp o s i t i v ea l g e b r a i ci n t e g e ro fd e g r e eda n do t l = a ，口2 ，a d b ea l li t sc o n j u g a t e s l e t 最= 渊d 砖( ki sap o s i t i v ei n t e g e r ) ，岛i st h e nt h e t r a c eo fq ，s 1 di sc a l l e dt h ea b s o l u t et r a c eo f 口f o rs x d ，t h e r ei saf a m o u s “s c h u r - s i e g e l - s m y t ht r a c ep r o b l e m ”( 8 0c a l l e db yp b o r w e i n 1 ) ： f i xp p m a n yp e o p l ea r es t u d y i n gt h ep r o b l e m i nt h i sp a p e r ，w es o l v et h ep r o b l e mf o r p 0 ， w h e r e 屿( 8 ) = ( 三雠) ；， 。i - - - - 1 a n dai sat o t a l l yr e a la l g e b r a i ci n t e g e ro fd e g r e ed b a s e do nt h ec j s m y t h s r e s u l t s ，w ei m p r o v et h ek n o w nl o w e rb o u n d so f 毹肛( k = 2 ，3 ) f i n a l l y , w ed i s c u s st h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o nz 3 + 8 = d y 2a n dg i v ei t sa l lt h e i n t e g e rs o l u t i o n s 3 k e y w o r d s ：a b s o l u t et r a c e ，t o t a l l yp o s i t i v ea l g e b r a i ci n t e g e r s ，s a l e mn u m b e r ， e x p l i c i ta u x i l i a r yf u n c t i o n ，l l la l g o r i t h m ，s e m i - i n f i n i t el i n e a rp r o g r a m m i n g ，d i o - p h a n t i n ee q u a t i o n 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：漂j 缸华 签字日期： ，i j 年 争月节日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：柒车色竿 导师签名：关荔茜 签字日期：为f 年争月7 日签字日期：矽3 年争月哆日 西南大学硕士学位论文 第1 章引言 第1 章引言 1 1全实正代数整数的绝对迹 代数数域是数论研究的一个对象，而代数整数，尤其是全实正的代数整数作为 这个数域的重要内容，一直是被人们广泛研究的随着计算数论的发展，利用计算 的方法研究代数整数的性质已成为数论研究中的一种重要的研究手段 对于全实正的代数整数，我们可以从迹，马勒测度，绝对长度等方面来研究它 的性质和特点c j s m y t h 2 ，v f l a m m a n g 【2 9 ，3 0 】等人曾从马勒测度，绝对长度 方面对全实正的代数整数进行了研究在本文中，我们主要利用计算的方法研究全 实正代数整数的迹的问题 设q 是一个d 次的全实正的代数整数，p ( x ) = 一+ a d - 1 一- 1 + + 口1 z + 伽为 它的极小多项式，q l = 口，q 2 ，q d 为p ( z ) 的所有根令鼠= 诘d1q i = ( k 为正整 数) 显然s l 就是通常意义上的代数整数q 的迹，s l d 被称为q 的绝对迹p e t e r b o r w e i n 在( c o m p u t a t i o n a le x c u r s i o n si na n a l y s i sa n dn u m b e rt h e o r y f 1 1 一书中 提出著名的“s c h u r - s i e g e l - s m y t ht r a c ep r o b l e m ”： 对于给定的p p 对于全实正代数整数的迹的问题最早进行研究的是i s c h u r 于1 9 1 8 在【4 】中 利用对均值不等式的改进证明了：满足研d ，y 的全实正的代数整数为有限个， 其中，y 是一个正的常数，且7 1 7 7 1 9 除非0 f 有如下形式的极小多项式：z 一1 ，z 2 3 x + 1 ，护一5 x 2 + 6 x 一1 ，z 4 7 x a + 1 3 x 2 7 x + 1 ，x 4 7 x a + 1 4 x 2 8 x + 1 ( 这些多项式在相关的研究中被称 为“例外”) ；f l a m m a n g ，g r a n d c o l a s 和r h i n 3 1 】于1 9 9 7 年解决了p 1 7 7 3 5 的情 形；m c k e e 和s m y t h 7 】于2 0 0 4 年解决了p 1 7 7 8 3 7 8 6 的情形；a g u i r r e ，b i l b a o 和 p e r a l 【3 2 】于2 0 0 6 年解决了p 1 7 8 3 6 的情形；a g u i r r e 和p e r a l 8 】于2 0 0 6 年解决 了p 1 7 8 4 1 0 9 的情形；v f l a m m a n g 9 】于2 0 0 9 年解决了p 0 ，研究了屿( q ) 的集合编 在这里， 屿( q ) = ( 刍”) 1 p ， 一i f f i l 其中口是一个d 次的全实的代数整数他证明了： 当p = 4 时，弼在( o ，1 5 0 9 8 0 ) 内只包含7 个离散的点( 在本文中我们称之为 例外点”) ；在( 1 5 6 5 0 8 ，o o ) 内是处处稠密的；在( 1 5 0 9 8 0 ，1 5 6 5 0 8 ) 内是不确定的 这7 个例外点分别为：2 7 ；z 一1 ；z 一2 ；护十z 一1 ；护+ z 2 2 z 一1 ；z 5 + z 4 一缸3 3 2 2 + 3 z + 1 ：z 6 + z 5 5 2 7 4 4 护+ 6 2 7 2 + 3 2 7 1 注：上述“处处稠密”是指对于任意z 玩，都存在一个全实正的多项式序列 只) ，使得当t o o 时，屿( 只) _ z 2 西南大学硕士学位论文 1 3 关于全实正代数整数的& d 我们知道：如果q 是一个全实的代数整数，则q 2 是一个全实正的代数整数，并 且有眸( 口2 ) = ( ( 0 f ) ) 2 我们利用这一事实和c j s m y t h 的上述结果可以很容 易地得到：如果q 是一个全实正的代数整数，则它的岛d 在( 0 ，5 1 9 6 1 0 ) 内只包含 了6 个例外点；在( 5 9 9 9 9 3 ，o o ) 内是处处稠密的；在( 5 。1 9 6 1 0 ，5 9 9 9 9 3 ) 内是不确定 的这6 个例外点是：z 一1 ，z 一2 ，护一3 x + 1 ，z 3 5 2 2 + 6 z 一1 ，矿一9 2 4 + 2 8 x 3 3 5 x 2 + 1 5 x l ，z 6 一l l x 5 + 4 5 2 ：4 8 4 护+ 7 0 x 2 2 1 x + 1 类似地，对于p = 6 ，我们有：如果n 是一个全实正的代数整数，则它的 & d 在( 0 ，1 6 2 6 4 8 1 ) 内只包含5 个例外点；在( 2 0 0 0 0 0 8 ，o o ) 内是处处稠密的；在 ( 1 6 2 6 4 8 1 ，2 0 0 0 0 0 8 ) 内是不确定的这5 个例外点是：z l ，z 一2 ，z 2 3 x + 1 ，z 3 5 2 2 + 6 z 一1 z 5 9 x 4 + 2 8 护一3 5 x 2 + 1 5 x 一1 在这篇文章中，我们利用类似于绝对迹的研究方法同时改进了& d ( k = 2 ，3 ) 的下界，从而缩短了c j s m y t h 的未知区间对于岛幺我们把未知 区间由( 5 1 9 6 1 0 ，5 9 9 9 9 3 ) 缩短为( 5 3 1 9 3 5 ，5 9 9 9 9 3 ) ，并且在( 0 ，5 3 1 9 3 5 ) 内发现 了1 个新的例外点；对于& d ，我们把未知区间由( 1 6 2 6 4 8 1 ，2 0 0 0 0 0 8 ) 缩短为 ( 1 7 5 6 7 6 5 ，2 0 0 0 0 0 8 ) ，并且在( o ，1 7 5 6 7 6 5 ) 内发现了3 个新的例外点在第二章中 我们将介绍研究过程中所需要的预各知识；第三章介绍研究的过程及用到的主要 方法和理论；第四章针对全实正代数整数的最d ( k = 1 ，2 ，3 ) ，详细阐述了我们的 研究结果及数据分析：第五章介绍了不定方程z 3 + 8 = d y 2 3 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章主要介绍我们在研究过程中所需要的一些预备知识主要包括代数数和 代数整数，多项式，l l l 算法及半无限线性规划法的基础知识 2 1代数数和代数整数 定义2 1 如果q 是一个有理数多项式 矿+ n l z n l + + a n l z + a n 的根，则称口为一个代数数若上述多项式的系数都是整数，则称q 为一个代数整 数q 所满足的次数最低的多项式称为o t 的极小多项式，极小多项式的次数称为q 的次数 定理2 2 一个有理数是代数整数当且仅当它是有理整数 定理2 3 在通常的复数加法与乘法下，全体代数数构成一个域，全体代数整数 构成一个环 定理2 4 假设q 是多项式 o o 矿+ a l x n 一1 + + a n - l x + a n 的根，如果a o ，a l ，a n 都是代数数，那么口一定是代数数；如果a o ，口1 ，a n 都是代数整数，且a o = 1 ，那么a 一定是代数整数 定义2 5 设q 是一个代数整数，它的共扼元定义为口所满足的极小多项式的 所有根 定义2 6 设a 是一个代数整数，如果它的共轭元都是实数，则称口是全实的； 如果它的共轭元都是正数，则称o t 是全实正的 关于代数数和代数整数更详细的介绍可参考文献【1 1 】和【1 2 】 2 2多项式 定理2 7 如果，( 。) 与9 ( z ) 是域f 上的两个多项式，且夕( z ) 0 ，那么存 在唯一的q c x ) ，r ( x ) f m ，使得，( z ) = q c x ) g ( x ) + r ( z ) 这里r ( z ) = 0 ，或者 d e gr ( z ) d e g 夕( z ) 定义2 8 如果数域k 上次数1 的多项式p ( x ) 不能表示成数域p 上的两 个次数比尸( z ) 低的多项式的乘积，则称p ( x ) 为数域p 上的不可约多项式 4 西南大学硕士学位论文2 2 多项式 定理2 9 e i s e m t e i n 判别法】设f ( x ) = a n x n 十a n i x 加1 + + a l x + a o 是一 个整系数多项式，如果存在一个素数p ，使得 1 p 十a n 2 p l a n 一1 ，a n 一2 ，n 0 3 矿十a o 那么f ( x ) 在有理数域上是不可约的 关于多项式在给定区间根的个数的判定，有以下法则： 定理2 1 0 f o u r i e r b u d a n 如果，( z ) 是扎次多项式，口 b ，( 口) ，( 6 ) 0 ， 令( z ) 表示序列，( z ) ，( z ) ，( n ) ( z ) 正负号的变化次数，那么，( z ) 在区间 ( a ，b ) 内的根的个数( 重根按重数计算) 不超过n ( a ) 一( 6 ) 定理2 1 1 d e s c a r t e sr u l e 多项式 ，( z ) = a o x n + a l x n 一1 + + 口n 的正根的个数不超过序列a o ，a l ，0 ，i 的正负号变化次数 给定多项式，( z ) ，令 ( z ) = ，( z ) ，我们用e u c l i d 算法计算f ( x ) 与 0 ) 的 最大公约数 f = q l f l 一厶， = q 2 1 2 一 ，厶一2 = 一1 厶一1 一厶，厶一1 = q n 厶 序列， ，厶一1 ，厶称作多项式，的s t u r m 序列 定理2 1 2 s t u r m 令u ) 表示序列，( z ) ， ( z ) ，厶( z ) 的正负号变化次 数，口 b ，f ( a ) f ( b ) 0 ，则多项式f ( x ) 在区间( a ，b ) 内根的个数( 不按重数计算) 等于u ( n ) 一0 4 b ) 下面介绍关于结式的一些性质 nm 考虑多项式f ( x ) = 啦护一和夕( z ) = b i x m 一，a o 0 ，b o 0 我们构造下 i = 0i = 0 面的m + n 阶矩阵 s ( f ，g ) = a on l a o a on i a n 6 ；d6 l 6 m 6 06 l 6 m 6 06 l 6 m 5 西南大学硕士学位论文 2 3l l l 算法 矩阵s ( ，g ) 称作多项式，和g 的s y l v e s t e r 矩阵s g ) 的行列式称作，和 g 的结式，记作r ( f ，夕) 定理2 1 3 多项式，和g 有公因子当且仅当r ( f ，g ) = 0 定理2 1 4 设o l l ，a 2 ，q n 是多项式，的所有根，夙，尾，风是多项 式夕的所有根，则 r ( f ，夕) = 口m 皤( 一岛) = n 孑i i 夕( 啦) = 6 ni i ，( 展) l s i s n l 一 i 一 n 1 i n l j _ 啦6 i ，啦z z 一。 i = l 我们称向量组b l 6 2 ，k 为格l 的一组基 数论中的许多问题是通过在一定的格中寻找一些最短的( 短的) 向量来解决 的“短”是通过内积给出的范数而言的通常，我们用的范数是欧氏范数或f 2 范 数，即对一个实向量口= 【q l ，勉，n n 】，其范数是 z 2 ( o ) = i = 们可耳面再f _ 币孑 在格中寻找长度最短的非零向量是比较困难的，对不同的n ，这是一个n p 难题， 即通常情况下，解决这类问题的多项式时间算法是不存在的不过l l l 算法能够 找到最短向量的一个近似值l l l 算法确切做的事情是通过格的一组已知基，返回 一组新基这组新基是在严格意义上推导出来的，它包含有相对短的向量这样一 组基就称为l l l 约简基，其定义如下： 定义2 1 9 。( l l l 约简基) 令b l ，b 2 ，k 是格三的一组基，蟛= 魄一 i 忙- 1 1 肌j 叼，其中胁j = 陬如) 川6 ；| 1 2 我们称向量组6 l ，6 2 ，k 为l l l 约简 的，如果它们满足一下两个条件： ( i ) i p i j i ，1 歹 l n ( i i ) i l 酵+ 弘d 1 6 0 lj 1 2 i i i 啦l 1 2 ，1 i 豫或l l 骘j 1 2 ( i 一瑶i 一1 ) l l 啦l l j 定理2 2 0 令b 1 ，6 2 ，6 n 是格l 的一组l l l 约简基，则 ( 1 ) l | 6 l i i 2 协一1 ) 2 l l z l l ，l ，z o ； ( 2 ) i i 幻i i 2 “一1 ) 2 i i w f | ，l 歹i 仃； ( 3 ) 对任意线性无关向量组z l ，戤l 有 1 1 6 j i i 2 一1 ) 2m 强( i l z l i i ，i i z t i i ) ，1 j 亡 由定理2 2 0 中的结论( 1 ) 可知，格l 的一组约减基中的b 1 的长度不超过其中 最短向量长度的2 ( - - 1 ) 2 倍在实际计算中我们看到向量b l 接近格三中最短的非 零向量事实上，它往往是最短的向量，即使不是，在大多数情况下我们都可以用它 近似代替最短向量来使用而且，我们观察到维数越低，所得的结果越好 下面我们用最简洁的方式描述l l l 算法假设向量b 1 ，b k l 已经是l l l 约减的( 即是它们所产生的格的l l l 约减基) ，其中k 2 向量k 需要s i z e - 约 减，即使得i p 七。，i 1 2 对所有j k 成立，这可以通过下面的方法将巩换成 k 一j 蠡j b j ( 町z ) 达到假定l 纵t j i 1 2 ( 由2 = k 开始) 对z 歹 z ，p k j 没有改变( 因为对所有z 歹，6 ；与6 l 正交) ，而p 七，l 被纵，l q 替 换( 6 l 6 = b 7 b t ) ，并且i p 七，l q i 1 2 ，则改变后的纵j 对z 一1 2 ，对所有1 j k 一2 ，交换鲰j 8 西南大学硕士学位论文2 4 半无限线性规划法 和胀一l j 再设置a 卜纵，七一1 ，b 卜上k + p 2 上k 一1 ，触。七一1 + - a b k 一1 b ，b 卜蜒一1 ， 蜒一l 卜蜒+ a b ，b * k 卜- a k ，k 1 6 + ( 风b ) b ，b k 卜风一1 b k b ，b k 一1 卜b 最后对所 有i = k + l ，k + 2 ，k 瞰，设置t 卜雎，七，以k 卜以，k 一1 - a t ，以，七一1 卜t + p 知，k l 以，七， 结束子算法 算法的第二步是依照定义2 1 9 来计算纵j 蜒和b k ，k 是一个变量，满足向量 h ，“一l 是约减的在第二步中，算法试图修改k ，使得6 l ，k 是约减 的，其中子算法r e d ( k ，2 ) 是适当的修改向量b k ，使得i a k , l i ，并对1 i z 一1 ， 更新纵i 子算法s w a p ( k ) ，是针对若t = k 不满足定义2 1 9 中的条件( i i ) ，则 交换向量k 和k l ，并更新风对应的参数此时k 也减少1 ，因为我们只能保 证6 l ，k 一2 是约减的更深入的分析表明，l l l 算法的算术运算数至多为 o ( n 6 i n 3 b ) ，若1 6 t 1 2 b 对所有t = 1 ，2 n 成立 2 4 半无限线性规划法 半无限的线性规划是在1 9 8 4 年由s m y t h 2 】引入到计算数论中的，详细的介绍 见【1 9 】和f 2 0 】。通常用于解决以下类型的问题： m a x m i n 9 ( z ，c ) cx e x 其中夕( z ，c ) 是关于c = ( c l ，c 2 ，) 的线性函数，x 为复数域c 上的紧子 集，其最大值是在c f 08 = l ，2 ，k ) 的情况下获得的 传统的线性规划与控制点的选取有很大关系，通常选取大量的控制点然而， 结果的获得实际上仅依赖于特殊点的选取半无限的线性规划主要思想是在重复 前一次的过程中加入新的控制点，并保证整个过程收敛于某个数仇 具体步骤如下 ( 1 ) 选取c 的一个初始值a ( o ) ，计算 瞩= r u z i ng ( z ，c c o ) ( 2 ) 在x 中选取一组控制点x ( m ，计算 显然有碱m m o m o 2 m 俐i n 如删) ( 3 ) 在控制点集x ( o ) 中加入9 ( z ，c ( o ) ) 的局部极小值点，从而获得新的控制点集 x ( 9 西南大学硕士学位论文 2 。4 半无限线性规划法 ( 4 ) 求解线规i 司题： 。嗲霉里e x l n o ) 9 ( 巧，c )c 霉 。、 我们将获得一组新的最优解c = c 1 和新的最优值嵋2 卿9 ( z ，c 1 ) 从 而获得 m ：m ：m m ls ) n o 其中 m r 霉m x i n ( 。) 如倒)别x 【lj ( 5 ) 重复步骤( 2 ) 一( 4 ) ，我们将获得两个数列 r o d 和【仇，) ，使得 m ：m ：m ：仇豫m l ) n o 当数列 m ) 和 m ：) 很好逼近的时候，例如m 一仇：1 0 - 6 时，停止计算 假设在第p 次达到精度要求，就取，n p 为m 的近似值 1 0 西南大学硕士学位论文 第3 章研究方法及相关理论 第3 章研究方法及相关理论 本章将详细介绍关于全实正代数整数的绝对迹的研究过程及用到的主要方法 和理论我们首先介绍所研究问题的来源，再说明解决问题的思路即通过辅助函数 来研究绝对迹的下界，以及辅助函数的构造过程，然后阐述整超限直径的理论和辅 助函数与整超限直径的关系，最后介绍我们在计算过程中遇到的困难及解决方案 3 1问题的来源 设a 是一个d 次的全实正的代数整数，尸( z ) = 一+ a d 一1 一- 1 + + a l x + a o 为它的极小多项式，口1 = 口，a 2 ，蚴为p ( x ) 的所有根由均值不等式可得， 8 1 d l q l o t d l l d = i ( 一1 ) d n o l l d ， 所以岛d 1 ，除非口= 0 或口= 士1 我们记： t = 研d ：n 1 ) ， 其中q 为全实正的代数整数 对于任意一个正整数n ，= 4 c o s 2 ( i r 2 n ) 都为全实正的代数整数，它的极小 多项式为 脚，= x n 2 + 争，七如- ! c - l1 ：) x 2 - k r ( z ) + ( 一1 ) 七罢( n 七一1 工 ：z l n 2 一n x , 2 1 一l + 掣z h 2 】一2 士口如2 】， 在这里【】是一个取整函数， i4 - 2 礼三o ( m o d2 ) q 吖2 1 _ 1 士n n 兰 ( r o o d lr o o d2 ) i 士nn 兰2 ) 由艾森斯坦判别法可知，如果亿是一个奇素数或2 的某个方幂，则r 不可约从 而当n 是一个奇素数p 时，如的绝对迹为印一1 ) ；当n 为2 的某个方幂时，以 的绝对迹为2 ，即对于任意的正整数m ，都有如。的绝对迹为2 ，所以2 为丁的 一个极限点p e t e rb o r w e i n 在 c o m p u t a t i o n a le x c u m i o n si na n a l y s i sa n dn u m b e r t h e o r y ) 【1 】一书中提出著名的“s c h u r - s i e g e l - s m y t ht r a c ep r o b l e m ”： 对于给定的p p 换句话来说，这个问题就是问除有限个可确定的代数整数外，2 是否为丁的最小 极限点 1 1 西南大学硕士学位论文3 2 辆助函数的构造 本文研究的问题就是通过改进岛肛的下界，从而得到p 的最新上界 我们研究的整体思路是首先结合问题构造合适的辅助函数，然后利用整超限 直径的理论和l l l 算法找出好的辅助多项式，同时利用半无限的线性规划法给出 好的系数，最后使得& d 的下界越大越好 3 2 辅助函数的构造 构造辅助函数是计算数论中的重要研究方法和手段之一该方法被c j s m y t h 【2 】，v f l a m m a n g ，g r h i n 【l7 】等人广泛应用，比如c j s m y t h 于1 9 8 4 年 利用辅助函数的方法研究了全实代数整数的均值问题，v f l a m m a n g ，g r h i n 于 1 9 9 7 年利用辅助函数的方法研究了整超限直径的问题 设a 是一个d 次的全实正的代数整数，尸( z ) = 一+ a d - i 一一1 + + a l z + a o 为它的极小多项式，口1 = q ，口2 ，q d 为p 扛) 的所有根 设z 0 ，虿= ( e l ，e 2 ，e n ) 舯，舀七) = ( c r ，眷，c 5 0 ) r n ，e ，叠埘 0 ，q ，碍 z m ，l i n m ，k = 2 ，3 对于研d ，我们考虑辅助函数 令r e ( e ) = m i n f l ( x ，虿) 则有 n 哟一e t l o gl q ( ) l m ( 虿) ，1 j d ， i - - - - i 从而有 dnd 哟一龟l o gi q t ( ) i d m ( 功， i = 1 i = i j = 1 n s l 一e i l o gi r e s u l t n n t ( p , q j i d m ( 动 d = l 当p 不整除任何一个q 时，我们有 d r e s u l t a n t ( p , q i ) l = i ii q t ( ) i 1 ，1 i n j = l 从而 & d m ( 动 1 2 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) zq g 0 龟 n 汹 一z = 一ez 西南大学硕士学位论文3 3 整超限直径 类似地，对于瓯d ( 七= 2 ，3 ) ，我们考虑辅助函数 ( z ，吾七) = 矿一始。g 眇( z ) 1 ( 3 2 3 ) i = 1 令m 知渺七h = r a ) i n ua ( x , - ( 砷) ，当p 不整除任何一个带时，我们有 s k d m 知( 百七) ) ( 3 2 4 ) 由式( 3 2 2 ) 和( 3 2 4 ) 知，对于s k d ( k = 2 ，3 ) 下界的研究归结为对辅助函数 ( 3 2 1 ) 和( 3 2 3 ) 在z 0 时最小值的研究从而把问题转化为解决下面的优化问 题： m 2 黔m 詹( 踟= m ( 拍a x m i n f k ( x , c - - ( k ) ) 即我们要寻找最优的q ( 或碍七) 和色( 或c ：知) ，使辅助函数( 3 2 1 ) 和( 3 2 3 ) 在区 间( 0 ，+ ) 内的最小值达到最大 在本文中，对于e t ( 或c ：七) 的选取我们主要利用2 4 节中的半无限线性规划法； 对于q ( 或碍七) 的选取我们主要利用整超限直径的理论和2 3 节中的l l l 算法 3 3 整超限直径 设k 是c 中的一个紧集，p 是一个多项式且p c 陋】令i p l ，k = s u pi p ( z ) 1 k 的整超限直径定义为 ：k 定义3 1 t z ( k ) = l i m _ i n fp m z i n i i - 。i l l , ，, k n _ “口，= n 对于任意n 1 ，如果某个n 次多项式r 满足 吲，k2p e z m i n i p l = 。k 则称只是c h e b y s h e v 多项式满足上式的r 通常不是唯一的目前已知：如果 k 是一个实区间，不妨设k = 【口，6 】，则当b 一口4 时，t z ( k ) = 宁；当b 一口 1 7 9 1 9 3 ， 除非它的极小多项式为为表格1 中的q 表格1 qs x d z l1 0 0 0 0 0 x 2 3 x + 1 1 5 0 0 0 0 x 3 5 x 2j 6 x 11 6 6 6 6 7 x 4 7 x a + 1 3 x 2 7 x + 11 7 5 0 0 0 x 4 7 x a + 1 4 x 2 8 x + 11 7 5 0 0 0 证明：由3 2 节我们可知。 n s l 一e l o gi r e s u t t a n t ( p , q , ) i d r e ( e ) ， i - - - - 1 其中m ( 动为辅助函数 t ( z ，动= z 一e t l o gi q t ( z ) i ， i = 1 1 5 西南大学硕士学位论文4 1 研究结果 在z 0 时的最小值从而有 n 岛d m ( 习+ e i l o gi r e s u l t a n t ( p , q i ) 1 i - - - - - 1 当p 不整除表格4 中的任何一个q 时， & d m ( 百) ， s l d m ( - ) 结合表格4 中的辅助多项式和表格5 中的相应系数，我们得到m ( 虿) 的最优值为 1 7 9 1 9 3 2 ，从而我们有& d 1 7 9 1 9 3 只有当p 整除q 中的某一个时，它才有可能不满足s l d m ( 虿) ，从而就有 可能成为例外由于我们所用的辅助多项式都是不可约的，因此我们在其中找出满 足：首项系数为1 的，根为全实正的且a 4 且它的其它共轭元都在( 0 ，4 ) 事实上，如果我们令 p c x ) = 一一( 2 d 一4 ) x d 一1 + 为q 的极小多项式，通过变换z = z + x z + 2 ，我们可以得到一个互反的多项式 q ( z ) = z 列+ 4 z 刎一1 + + 4 z + 1 因为p ( x ) 在( o ，4 ) 内的一个根对应给出q ( z ) 在单位圆周上的一对根，p p ) 在 ( 4 ，) 的一个根对应给出o ( z ) 的一对互为倒数的实正根，所以q ( z ) 为一个迹为 - 4 的2 d 次s a l e m 数的极小多项式由定理4 2 可知，岛d 1 7 9 1 9 3 器，因此不 存在迹为3 4 的1 9 次全实正的代数整数，故迹为一4 的s a l e m 数