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硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 摘要 小波变换作为一种多分辨分析方法，因其具有时频局部化特性和多分辨特性 而特别适合处理非平稳信号，但是小波阈值去噪方法在图像灰度值发生跳跃处会 出现振荡现象。基于全变差最小的t v 模型去噪方法能够很好的保留图像的边缘， 但是并不能很好的保持图像的细节部分( 边缘、纹理等) 为了克服振荡现象的 同时更多的保留图像的细节部分，本文利用一种新的适合于描述图像细节的表征 方法c o n t o u r l e t s ，在c o n t o u r l e t 框架下嵌入全变差，提出了一种新的非线 性无约束最优化图像去噪方法。由于c o n t o u r l e t 变换具有多分辨分析和多方向 的特性，使得在c o n t o u r l e t s 域中建立模型比在小波域中建立模型更有优势实 验证明该方法在抑制噪声的同时不仅能够很好的减少阈值产生的振荡现象，同时 也能很好的保持图像的边缘，是一种有效的去噪方法并且该去噪方法优于其它 几种去噪方法，且该方法也能用于去除椒盐噪声。随后分析了偏微分方程在图像 处理中的物理意义，修改所提的去噪方法得到一种新的图像修补方法，通过实验 证明了这种新的修补方法的可行性。 关键词：c o n t o u r l e t 变换，全变差，小波闺值去噪，图像恢复 硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 a b s t r a c t i ti sw i d e l ya c c e p t e dt h a tt h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sav e r ya t t r a c t i v e t o o lt od e a lw i t hn o n - s t a t i o n a r ys i g n a ld u et oi t sm u l t i - r e s o l u t i o na n d t i m o - f r e q u e n c yl o c a t i o np r o p e r t y h o w e v e r ，t h ea p p r o a c hi sm o t i v a t e db y w a v e l e t i m a g ed e n o i s i n gm e t h o d s ，w h e r et h r e s h o l d i n gs m a l l w a v e l e t c o e f f i c i e n t sl e a d s p s e u d o - g i b b s a r t i f a c t s t h et o t a lv a r i a t i o n m i n i m i z a t i o nc a np r e s e r v es h a r pe d g e ，b u ti tc a n tp r e s e r v et e x t u r e i n t h i sp a p e r ，i no r d e rt op r e s e r v em o r et e x t u r ew h i l ed e n o i s i n g ，w eu s ea n e f f i c i e n td i r e c t i o n a lm u l t i r e s o l u t i o n i m a g er e p r e s e n t a t i o n c a l l e d c o n t o u r l e tt r a n s f o r m , w h i c hi ss u p e r i o r sc o m p a r e dt ow a v e l e t si n c a p t u r i n gf i n ec o n t o u r ss u c ha se d g ea n dt e x t u r e u n l i k em o s tc o n v e n t i o n a l r vm i n i m i z a t i o nt e c h n i q u e si ni m a g ep r o c e s s i n g t h et o t a lv a r i a t i o n r e g u l a r i t yi sd i r e c t l yi m p o s e do nt h ec o n t o u r l e td o m a i mt h ea s s o c i a t e d e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n sl e a dt on o n l i n e a rp a r t i a ld i i t e r e n t i a l e q u a t i o n s ( p d e s ) i nc o n t o u r l e td o m a i na n dp r o p e rn u m e r i c a la l g o r i t h m s a n ds c h e m e sa r ed e s i g n e dt oh a n d l et h e i rc o m p u t a t i o n o u rm e t h o dp e r f o r m s an e a r l ya r t i f a c tf r e ei m a g ed e n o i s i n g ，a n da c h i e v e sab e t t e rc o m p r o m i s e b e t w e e nn o i s es u p p r e s s i n ga n de d g ep r e s e r v i n g m o d i f y i n go u rm e t h o d ，t h e n w eh a v eai m a g ei n p a i n t i n gm e t h o d t h em e t h o di sf i tf o ri n p a i n t i n gi m a g e s w i t hg e o m e t r i cf e a t u r e s i ti saw o r t h yr e s e a r c ho nc o n t o u r l e t sw i t hi t s p a r t i c u l a rc h a r a c t e r i s t i c k e yw o r d s ：c o n t o u r l e tt r a n s f o r m ，t o t a lv a r i a t i o n ，t h r e s h o l d s ， d e n o i s i n g ，i m a g er e s t o r a t i o n 硕士论文 基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 图表目录 1 1t v 模型对一维信号去噪效果8 1 2t y 模型对b a r b a r a 图像进行去噪8 1 3 使用改进的全变差所得到的恢复信号8 1 4 两种阈值结果比较，阈值都取0 4 1 1 2 1 小波与c o n t o u r l e t s 具有不同的支撑集1 2 2 2l a p l a c i a n 金字塔格式1 3 2 3 方向性分解示意图1 4 2 4 使用带有扇型滤波器的五点梅花形滤波器组产生的二维频谱1 4 2 5 重采样算子的一个例子1 4 2 6c o n t o u r l e t 滤波器组1 5 2 7 基于c o n t o u r l e t 变换和c o n t o u r l e t 包下的频率分解例子1 6 2 8c o n t o u r l e t s 子空间示意图1 9 2 9b a r b a r a 图像进行c o n t o u r l e t 分解2 l 2 1 0 分别用m 个最重要的系数进行小波和c o n t o u r l e t s 重构得到的细节子空间2 2 2 1 1 小波和c o n t o u r l e t s 进行阈值去噪比较2 2 3 1 小波阈值和c o n t o u r l e t s 阈值去噪结果2 3 3 2 几个去除高斯白噪声的例子3 1 3 3 几个去除椒盐噪声的例子3 l 3 4 几种去噪方法的比较3 3 3 5 对含有纹理的图像进行各种去噪方法比较3 5 4 1 图像修补问题3 9 4 2 边缘修补例子4 2 4 3 对l e n a 图像进行修补4 2 4 4 修补b a r b a r a 图像4 3 v 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：趁焦蜜：“年6 月 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：砸啦 p 辟6 月 曰 硕士论文 基于c o n t o u r e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 引言 2 l 世纪，人类已经进入信息化时代，图像信息是人类获取信息及利用信息的重 要来源，而人类大概有9 0 的信息来自于图像。但是图像在采集、编码、传输和存 储等过程中会产生各种各样的信息丢失，影响了人们对信息的获取。所以人们需要用 各种手段和技术来对图像进行加工以获得更多重要信息。 经过几十年的研究与发展，数字图像处理的理论和方法进一步完善，其在现代 信息处理领域中变得越来越重要医疗图像、遥感图像、视频图像、特征识别、三维 物体或场景的重建、质量检测、指纹分析等，都需要图像处理技术的支持。 图像处理方法主要有两大类：一类是在空域处理，即直接在图像空间对图像进 行处理：另一类是在频域中处理，把图像变换到各种频域中，如傅立叶交换域、小波 交换域等，通过研究其频率各方面的性质对图像的频率进行适当处理，最后再变换到 空域，也能达到处理图像的效果 图像恢复是图像处理中最重要的一部分图像一般都带有噪声，而噪声对图像 分析、图像压缩等高层处理影响比较大，所以对噪声进行预处理是很有必要的传统 的去噪方法主要用线性滤波理论来进行图像建模，模型适合于图像中的光滑区域，丽 磨光了图像中边缘等重要信息。为了在去噪的同时更好的保持边缘，1 9 9 2 年，r u d i n ， o s h c t 和f a t c m i 提出的全变差模型( r o f 模型) 【l 】，提高了图像去噪效果该模型 较好的刻画了图像中重要的视觉信息- 边缘结构，但是对于图像中小尺度的重复结 构( 如纹理) 的效果却不能很好的刻画。m e y e r 经过对r o f 模型的研究，2 0 0 1 年提 出了普通图像都是由几何结构和振荡部分构成1 2 】他把边缘和光滑区域归为几何结 构，把纹理和噪声认为振荡部分，分别用不同的函数空间中的范数来描述图像不同的 特征结构他从理论上说明了几何结构属于有界变差空间，并且定义了一个新的空间 g 来表示图像的振荡成分，也证明了b e s o v 空问的对偶空间e 也能很好的描述振荡成 分。通过进一步研究，他认为纹理属于g 空间而噪声属于空间e 。2 0 0 3 ，o s h e r ，s o l e 和v c s c 重新对振荡部分建模，认为振荡部分也属于负指数的s o b o l c v 空间( 如圩1 ) 【3 】。根据他们的思想，许多研究者开始关注于图像处理时处理一些弱边缘和小纹理 的方法。 l 硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 随着小波理论系统的发展和完善，人们开始应用小波进行去噪。小波具有良好 的时频局部特性和多分辨分析特性，在图像去噪领域受到了广泛的重视，应用小波变 换进行图像去噪可以很好的保留图像的边缘。从信号学角度看，小波去嗓在很大程度 上可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功的保留图像的特征，所以，小 波去嗓可以看成是特征提取和低通滤波功能的结合经典的小波去噪方法是d o n o h o 和j o h n s t o n e 于1 9 9 2 年提出来的小波阈值收缩方法【1 0 】，它表现出了非常好的噪声和 信号区分能力，但是有很明显的缺点，就是小波软阈值去噪会模糊边缘、小波硬阈值 去噪会在图像边缘处产生振荡现象和振铃现象为了消除这些现象，d o n o h o 等人提 出了小脊变换【2 8 】、c u r v e l e t 交换【1 8 】等新的图像表征方法，它们不但具有小波变换的 动态局部时频分析的特性，而且小脊变换能刻画直线的奇异性、e u r v e l e t 变换能刻画 曲线的奇异性虽然这两种变换提出不久，理论有待于完善，实际运用有待进一步发 展，但是它的应用效果已显示出它的无比优越性d o 等人又从滤波器角度建立了与 小波滤波器组类似的能够很好的刻画曲线的c o n t o u r l e t 变换【2 0 】该变换相较于 e u r v e l e t 变换有着很明显的优点：其冗余度大大减小了，并且是直接建立在离散角度 上，很容易从直观上理解。c o n t o u r l e t 交换能够将图像大多数的信息包含于少数的重 要系数中，是一种新的结合多分辨分析和多方向的种图像表征方法。其阈值去嗓效 果相对于小波阈值有着明显的改善，不过由于其方向滤波仍然存在一些振荡现象，影 响了视觉效果。 为了达到去噪目的的同时，更好的保持图像的细节部分( 边缘、纹理等) 并且 减少振荡现象，本文结合了c o n t o u r l e t 交换能够很好的刻画曲线边缘这一特征和全变 差去噪技术的优点，在c o n t o u r l e t 框架下嵌入全变差，提出了一种新的非线性无约束 最优化图像去噪方法，推导了相应的去噪算法。通过与其它去噪方法比较，实验结果 表明，无论是从主观评价和客观评价上来看，该算法都能够很好的抑制和去除噪声， 同时也能很好的保持图像边缘等细节特征最后我们修改了该最优化问题，提出了一 种新的图像修补方法，主要是针对非纹理图像进行修补，取得了一定的效果 本文结构组织如下： 第一章，本章分别从空域、小波域介绍了图像去噪方法。首先，介绍了几种经典 的线性正贝i j 化方法和非线性正则化方法，分析了各方法的优缺点，通过实验可以知道 t v 模型去噪会产生“阶梯”效应。其次，介绍了小波阈值去噪方法，分析其阈值去 2 硕士论文基于c o n t o u t l e t s 和全变差的一种图像去嗓方法的研究 噪得到恢复图像的边缘具有振荡现象或者被磨光为了避免阈值产生的振荡现象，最 后介绍了最近提出的小波阈值结合全变差的去噪方法。 第二章，针对小波变换艟够刻画。点”奇异性，本章介绍了一种新的多尺度变 换：c o n w u r e t 变换，该变换能够很好的描述边缘的轮廓线，其对一般的几何图像具 有稀疏表示特性根据这个性质应用阈值去噪，相对于小波阈值，其较好的保持了图 像的边缘，但是其方向滤波导致的视觉效果不是很好 第三章，由于c o m o u r | e t 交换能够很好的保持图像细节部分，如边缘、纹理，本 章结合了c o n t o u r l d 变换和全交差两者的优点，提出了一种新的去噪方法，推导其 e u l c r - l a g r a n g e 方程，通过解e u l e r - l a g r a n g e 方程得到数值化算法和相应的离散格式， 并且对各种去噪方法进行了比较。实验证明，本文提出的去噪方法能够在抑制噪声的 同时很好的保持图像的边缘。 第四章，通过分析偏微分方程在图像处理中的物理意义，我们可以看出几乎所有 处理图像的p d e 都可以修改为图像修补模型。因此，本章修改第三章提出的方法得 到一种新的修补方法，并给出其实验结果。 结束语，对本文工作进行总结，综述其优点和仍需改进和完善的地方以及未来的 研究方向。 硕士论文 基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 1 图像恢复理论研究 图像恢复问题是图像处理中最基本的问题从观察到的数据出发，求真实图像的 一个最优估计，得到一个在视觉效果上令人满意的图像观察到的图像数据和图像的 生成模型给了一个约束，图像恢复问题就是在这个约束下求最优估计的问题。图像去 噪是图像恢复中的一个经典难题，它要求在去掉噪声的同时保持图像的几何特征( 如 边缘) 这里我们主要讨论图像恢复中的去噪问题 本章首先从空域角度介绍了正则化去噪模型，讨论了模型的优缺点，随后在小波 域中介绍了小波阈值去噪方法及其优缺点 1 1 基于正则化模型的图像去噪方法 1 1 1 经典正则化去噪方法 首先，设图像是一个在有界区域上的二维函数：q 一【o ，1 】，其中q r 2 是图像 区域，一般是方形区域。假设观察图像的退化模型为：u o ( x ) f f i ( r u x x ) + n ( x ) ，其中( 力 表示被观察图像函数，c 力表示被恢复的理想的未失真的原始图像，n ( x ) 表示图像 中的误差或者噪声，r 是退化算子，有着对图像甜o ) 的模糊效果当r 为单位矩阵时， 表示图像没有被模糊，只受到噪声污染，下面我们一般只考虑足为单位矩阵的情形 从被噪声污染的图像中恢复原始未污染图像的问题基本上是一个不适定问题( 反 问题) ，因为数据较小的扰动就引起了解的较大的交化，并且方程离散后所得到的方 程也是相当病态的由于对噪声n 的先验知识知道的比较少，仅能知道一些统计知识， 如它的均值和方差所以在 4 中通过求解最小二乘( l e a s t - s q u a r e ) 问题： m r ( u o r 1 2 凼 ( 1 1 1 ) 得到材的近似解，此时玑u o 是确定的。这个最小二乘问题的e u l e r - l a g r a n g e 方程为 r r u = r u o ( 1 1 2 ) 其中f 是r 的共轭伴随算子解式( 1 1 2 ) 一般是一个不适定问题，因为r r 不是 一直都一对一的，并且尽管r r 是一对一的，它的特征值可能很小的，这会引起数值 的不稳定性。 硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 为了解决解的唯一性问题，1 9 7 7 年t i k h o n o v 在 5 中提出了对能量添加一个正则 项，得到如下最小化能量泛函： 叩e ) = i n u o - r “1 2 d x + 五刚2 d x ( 1 1 3 ) 其中五是l a g r a n g e 常数。式( 1 i 3 ) 中第一项衡量了图像的逼近程度我们称之为保 真项，第二项为正则项。这个模型的思想是为了寻找与图像逼近最好的，使得它的 梯度是最小的这里n 所在泛函空闻是 矿1 0 ( q ) = 伽e p ( q ) ，v u e r ) 通过对置的合理假设，最小化能量泛函( 1 1 3 ) 式具有唯一的解甜，并且这个解具 有n e u 魁衄边界条件，在a q 上满足娑：0 ，其中疗是a q 的外法向，其e u l e r l a g r a n g e 册 方程为 置r ”一封= r 。t “ ( i 1 4 ) 方程中为l a p l a c i a n 算予，具有各向同性特点，能够光滑图像但是不保持图像的 边缘。而一般图像本身在目标边界和边缘处允许不连续，具有不连续点和跳跃边缘， 但是t i k h o n o v 正则化的解是连续的，这样用t i k h o n o v 的正则化方法得到的图像具有 g i b b s 现象( 即不连续点被光滑掉或者边缘处具有振荡现象) 1 1 2 基于全变差的图像去噪模型 首先介绍有界变差空同( b v 空同) ，令q 为r “中的有界开子集，函数“的全变 差( t o t a lv a r i a t i o n ) 定义公式为： t v ( u ) ；1 驯= 粤( 叫枷v ) d x ，y = v q ( 哟”：i v ( 圳s l ，h e q ( 1 1 5 ) 其边界鼢是l i p s c h i t z 连续的。假设二维图像属于s o b o l e v 空间w 1 。( 哟，则 v u 卫( q ) 且通过分部积分可得二维图像“的全变差定义： ( “) = i v 牡 聊封= 篇甜i v u l = 是图像的梯度场，q 为图像的支持域， x q 为图像像素点的二维坐标。 根据( 1 1 5 ) 式有界变差函数空间占y ( q ) 可以定义为 硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 雪矿( q ) = 甜k e z ( q ) ，础胡v ) t 软阈值函数：8 ( 0 = t + t t 一t 【0i t t 两坐特坐丽翎信函将。m 1 至窘e 孕s g n ( t ) 五 i “ 瓦 实验结果证明，硬阈值可以很好的保留图像边缘等局部信息，但是图像会出现振 铃、伪g i b b s 现象等，导致很差的视觉效果；软阈值方法得到的去噪效果相对平滑的 多，但是会造成边缘模糊等失真现象；半软半硬阈值通过选择合适的互和e ，能够在 硬闽值和软阈值之间得到很好的平衡在实际运用中，对于高斯白噪声来说，硬阈值 硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 和软阈值方法已经能够达到很好的去噪效果 碰麓值并捌盼信号敏值得到的信号 图1 4 两种阈值结果比较，阈值都取o 4 目前小波去噪方法的研究主要还是针对高斯自噪声，这是由于平常出现的噪声 般都服从或者近似服从高斯分布，而对于其它非高斯分布的噪声都有比较复杂的模 型，很难用现在数学工具进行理论描述。因此，去噪方法还必须受到噪声类型的限制 1 2 2 小波阈值+ t 、r 模型去噪方法 由于小波阈值去噪在r 空间是近似最佳的，但会在图像的边缘附近产生振荡现 象，从而使恢复图像的全变差增加，所以人们意识到可以通过全变差作为惩罚项来抑 制振荡现象。基予这种目的， 1 ，1 3 中提出了结合小波阈值和 i v 一种去噪模型； d 卿f ( u ，) = j l v “。纠出+ 鲁肛一嵯 其中甜心。) = o j 九( 功为小波变换，小波系数满足当( i ，d 叠m 时q = o j 由于小波变换具有很好的时频局部特性所以计算图像的曲率可以直接在小波域 中进行。该模型进行图像去噪方法主要过程是：首先，选取合适的阈值，对噪声污染 的图像进行小波阈值去噪；其次，对阈值过后的小波系数代入t v 模型进行迭代；最 后，对迭代结束得到的小波系数进行重构 这种非线性无约束最优化模型较好的消除了小波阈值所产生的振荡现象，起到了 平滑和保持边缘的作用。从其实验效果来看，相对于小波阈值，该模型能够很好的保 持边缘，并且其峰值信噪比也有所提高。 利用小波变换进行图像压缩也会在边缘处引起振荡现象，严重影响图像视觉效 果。所以小波阈值结合t v 模型进行图像压缩能够产生很好的效果 1 4 ，1 5 】，同样应用 于图像修补也能够得到不错的效果 1 6 1 。 硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 2 c o n t o u r l e t 变换理论 1 9 9 9 年，c a n d e s 和d o n o h o 提出了一种新的基于连续空间r 2 中提出的小曲线 ( c u r v e l e t ) 表示方法 1 8 ，1 9 小曲线变换如同小波变换一样，也是种多尺度变 换，有着与尺度和位置参数相关联的框架结构。与小波交换不同的是，小曲线变换具 有方向参数，并且小曲线的金字塔型结构具有高度的方向性。另外，小曲线变换是以 具有不同方向的尺度为基础的，这与小波变换的各向同性尺度有所不同。当支集框架 的长与宽满足关系式宽* 长2 时，基组遵循着一种特定的尺度规则。 这种变换的简单思想是；将曲线边缘分割成较短的曲线段，然后对这些曲线段进 行规范化得到近似于直线的小脊片段，这样可以对这些小脊片段分别进行小脊变换， 得到了小曲线系数。 连续域中的小曲线其离散变换对于表示含有许多特征的采样图像仍然是一个挑 战。并且，由于小曲线变换直接定义于频率域中，其在空域中如何进行小曲线采样并 不是很清楚。所以，2 0 0 1 年n d o 和m v e t t e r l i 基于小曲线思想发展了这一理论 2 0 ，提出了能够有效处理分片光滑图像的滤波器组结构，图像展开结构是一组由轮 廓片段组成的结构，因此称之为c o n t o u r l e t 。相对子c a n d e s 和d o n o h o 他们提出了 离散的小曲线交换，并且其交换后的结果只有很小的冗余，接近于临界采样 c o n t o u r l e t 交换主要的目的是为了得到有着曲线图像的稀疏表示基于张量积函 数的二维小波变换如图2 1 所示，缺少方向性，并且只擅长于描述点的奇异性而不能 描述几何光滑的轮廓。c o n t o u r l e t 变换不但具有小波的多尺度性和时一频局部特性， 并且具有高度方向性和各向异性，如图2 1 。图中表明小波具有正方形支撑集而只能 捕捉到点，c o n t o u r l e t 具有长方形支撑集而能更好的捕捉到轮廓片段，因此能用很 少的系数来有效地表示光滑轮廓。 扩汐 图2 1 小波与c o n t o u r l e t s 具有不同的支撑集 硕士论文基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 2 1 金字塔型多方向滤波器组 2 1 1 多尺度分解 在 2 1 3 中，b u r t 和a d e l s o n 介绍了使用l a p l a c i a n 金字塔 l p 型滤波器来进行多 尺度分解。l p 分解在每一步分解中产生一个降采样的低通的粗糙图像和一个原始图 像与低通图像之间的差产生的带通图像( 如图2 2 ( a ) ) ，其分解过程重复作用在上一 步得到的粗糙图像上 l p 的一个缺点就是过采样然而l p 有着很好的区别于具有临界采样的小波格式 的特征是在每个尺度上只产生一个不含有混乱频率的带通图像( 多维情况也一样) 。 而频率混乱会在小波的高通滤波时产生带有正交滤波器的”是支撑为l 的紧支集， 在此情况下，可以用对偶支撑算予定义最优的线性重构，它与正变换对称( 如图 2 2 ( b ) ) 。注意到这个新的重构不同于一般的重构，并且对c o n t o u r l e t 的展开是至关 重要的。 c c i 图2 2l a p l a c i a n 金字塔格式( a ) 分析：输出为粗糙部分c 和原始信号与c 的差d ( b ) l a p l a c i a n 金字塔格式的重构格式 2 1 2 方向性分解 在1 9 9 2 年，b a m b e r g e r 和s m i t h 提出了一种能够最大次采样得到完全重构的2 一d 方向滤波器( d f b ) 【2 2 。d f b 通过一个卜l 喻树型结构分解实现的，能够产生2 7 个契型 频率分割子带( 如图2 3 ( a ) ) 。 从图2 3 ( b ) 可以看出，卜阶树型结构d f b 等价于一个具有相同滤波器和全采样 矩阵的2 j 平行信道滤波器族。与图相对应记这些等价( 不同方向的) 合成滤波器为 d ，0sk 2 ，相应的全采样矩阵有下面对角形式： s f f ) _ - - d i a g ( 2 1 - 1 , 2 ； 力，! j k 2 - t ， ( 2 1 1 ) 缈2 “k _ 2 z ，0 七 2 7 ，厅z 2 有坳，眨= 酽3 4 ( 2 2 1 7 ) 对多方向分析在所有尺度上的积分可以得到厶( r 2 ) 上c o n t o u r l e t 框架的结论。 定理2 2 3 ：对一列有限正整数 ，轴， 九，( f ) ，形2 ( f ) ， 埘一- i ，一 ( 2 2 1 8 ) 是上2 ( r 2 ) 1 - 1 拘一组紧框架。对一列有限正整数以) 脚， 织：( f ) ) 脚心矽。，| z z ( 2 2 1 9 ) 硕士论文 基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 是厶似2 ) 上的一组紧框架。在上面两个情况中，框架界都为l 。 最后，类似于连续小波和滤波器之间的关系，下面定理也说明了连续域中的 c o n t o u r l e t 函数( 2 2 。1 8 ) 、( 2 2 1 9 ) 与离散c o n t o u r l e t 变换之间的关系 定理3 1 2 3 ：假定m = ( “) 是函数( ，) 厶( r 2 ) 与尺度为上的尺度函数在厶( 矗2 ) 上的内积。并且，假定图像a j n 】通过c o n t o u r l e t 变换分解成系数 q m 彩【，l 】) ，产l ，2 ，j ，o k 2 一1 ， 那么乃协】= ( ，丸。，) ，c 翟【嵋= ( 厂，础，) 。 ( 2 2 2 0 ) 下面介绍c o n t o u r l e t 变换一些独特的重要性质： 1 ) 定义在矩形网格上的c o n t o u r l e t 扩展可以无损的转化到离散空间。为了得至q 这个 数字特征，c o n t o u r l e t 核函数? 必须在不同方向七下是不同的，并且不能通过 简单旋转一个函数来得到。这是n d o 和m v e t t e r l i 提出的c o n t o u r l e t 与c a n d e s 和d o n o h o 提出的一种c u r v e l e t 关键差别。 2 ) c o n t o u r l e t s 系统是以中心为方形进行二维频率分割的，不像c u r v e l e t s 系统是 以中心为圆形、其它系统是定义在极坐标下 3 ) 由于c o n t o u r l e t 像小波一样是通过迭代滤波器定义的，c o n t o u r l e t 变换也有快 速滤波器算法和树型结构。 4 ) 从迭代的c o n t o u r l e t 滤波器组可以得到紧支c o n t o u r l e t 框架，并且c o n t o u r l e t 函数也：支集大小为宽a c 2 、- 长：c 2 叶。2 换句话说，在每个尺度和方向下，集 合 乃笛) 。一铺满r 2 平面( 如图2 8 ( b ) ) 5 ) c o n t o u r l e t 结构给出了空域多分辨格式。 2 3c o n t o u r l e t 变换的应用 图2 9 为c o n t o u r e t 变换的一个例子，可以看出高频中的重要系数组成图像轮 廓具有局部性和方向性。 2 3 1c o n t o u r l e t s 非线性估计( n l a ) 这里比较小波和c o n t o u r l e t 变换的非线性估计( n l a ) 效果。对给定任意值膨， 在每个变换域中选择m 个最重要的系数进行重构，比较重构图像的效果。由于两个 硕士论文 基于c o n t o u r l e t s 和全变差的一种图像去噪方法的研究 变换有着相同的细节子空间，所以可以在这些子空间中严格比较，期望有更多的边缘 信息被提取出来。 图2 9 对b a r b a r a 图像进行c o n t o u r l e t 分解，分为两层，每层分别分成4 和8 个方向 2 3 2c o n t o u r l e t s 阈值去噪 对c o n t o u r l e t s 非线性估计改进可以应用到很多方面，包括压缩、去噪和特征提 取举去噪为例，随机噪声会产生重要的小波系数就像真的边缘一样，而不会产生重 要的c o n t o u r l e t s 系数 2 3 应用 2 4 的阈值格式到c o n t o u r l e t 变换上，其阈值去 噪原理和过程与小波阈值去噪类似，由于c o n t o u r l e t 分解每一层包