（计算数学专业论文）基于pde的几种图像处理方法及其数值解法.pdf

大连理工大学硕士学位论义摘要图像处理是计算机视觉的基础，也是图像理解的重要组成部分。随着电二于技术和计算机技术的提高和普及，特别是计算机多媒体技术和信息技术的遴勃发展，数字图像处理逐渐深入到包括人们的日常生活在内的各个领域，图像处理技术也被广泛应用于科学工程当中，如视觉通讯，机器人导向，医学诊断，遥感及天文观测等。在图像处理方法中，非线性方法，尤其是基于p d e 的图像处理方法，方面，由于比传统的线性处理方法具有更好的准确性而备受关注；另外，这种方法还能够直接处理一些图像特征，如梯度，几何曲率等，便于建立各种数学模型灵活表述，因此目前已成为了图像处理中的一种重要方法。但是，同传统的线性方法相比，p d e 图像处理方法的主要问题是计算最大，计算速度较慢。本文在充分总结了几种经典的p d e 图像处理模型及其数值解法的基础上，针对p d e 水平集图像分割模型中的一些影响计算速度的因素，如过于单一的水平集初始化方法，局部快速算法无法应用于全局模型等，对p d e 水平集图像分害8 模型进行了改进，提出了一种基于多重网格和自适应初始化符号距离函数的快速分割算法。通过构造一个闽值曲面，用图像曲面与阈值曲面问的有向距离来定义符号距离函数曲面。这种方法使初始符号距离函数的定义与图像信息具有相关性，使其可以报据图像信息自适应的选择形状，从而有助于减少迭代次数，提高计算速度；同时，引入多重刚格方法，采用分级的松弛算法来减少计算量；在此基础上，将算法同基于m u m 缸d s h a l l 的全局p d e分割模型结合，使得新的模型在保持原有全局模型通用性的基础上，计算速度也大大加快。本文最后还进行了数值实验以验证模型的有效性。关键词：p d e ，水平集，多重网格，符号距离函数，能量极小化基于p d e 的j l 种图像处理方法及其数值解法s e v e r a li m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d sb a s e do np d ea n dn u m e r i c a is o l u t i o na b s t j 曰c tl m a g ep r o c e s s i n gi st h eb a s i so f c o m p u t e rv i s i o n ，粕di sa l s oa ni m p o r t a n tc o m p o n e n to fi m a g eu n d e f s t a n d i n g a l o n gw 潍t h ei m p r o v i n g 拍dp o p u i a r i z a t b no f e i e 曲na n dc o m p u t e rt e c h n i q u e ，e s p e c i a l l yt h ev i g o r o u sd e v e l o p m e n to f c o m p u t c j m u l t i m e d i aa n di n f o m l a t i o nt c c h n i q u e ，d i g i t a l m a g ep r o c e s s m gh a sc o m ei n t on e a r l ye v e 叫f i e l di n c l u d i n gp e o p l e i sn o 兀r l a li i f e i m a g ep r o c e s s i n gt e c i l l l i q u ch a sb e e nw i d e l yu s e di ns c i e n c ee n g i n e e r i n 岛s u c ha sv 随) nc o m m u n i c a t i o n ，r o b o tg u i d 妯岛m e d i c a ld i a g n o s i s ，m m o t es e n s i n ga n dc h r 如o m e t c ro b s c r v a t j o n ，e t c a m o n ga nn l em 劬o d so f i m a g ep r o c e s s h g ，n o n l i n e a rm c t h o d ，e s p e c i a 儿yi m a g ep r o c e s s i n g b a s c do np d e ，f 研o n cm i n & na 龇c t s 啪m u c ha 呛n t i o nb e c a u s eo fbb e n e rv e r a c i t yc o m p a r e dt o1 i 1 1 e a rp r o c e s s i l l gm d h o d ，f o r 如o t h e t h i sm e m o dc o u l da i s od e a lw i c hs o m ef e a t u r e0 ni m a g el i k eg 恪d i c n t 舭dg c o m e t r i c a ic u r v a t u r c 曲_ c c t l y w h i c hj sc a s yf o r_ e l 瓢b l ed e s c r b i n gw i t hv a r i o u sm 础e m a t m o d e i s ，m e f e f o r c hh a sb e c o m ea ni m p o r t a n tm e f h o d 洫i m a g ep r o c e s s i n gi i lp r c s e n t h o w c v c r ，c o m p a r i n gt o 订甜h i o n a li m c a fm e t h o d ，眦mp 曲i e mo f p d em 酏o di sl a r g eq u a n t 时o f m p u 协“o n ，a 1 1 ds l o wc o m p u 诅t i o ns p e e d i nm i sp a p e r ，b a s c do nc o m p i e t e i ys u m m a r j z i n gt h ec l a s s l c a lm o d e i sb a s e do np d ea n dt h e i rn u m e r i c a la i g o r i t h ，a i m i n ga ts o m ef k t o r st h a tr e s 打i c tt h e m p u t a t i o ns p c e di nt l el “e is e ts e g m e n t a t i o nm o d e lb a s e do np d e ，s u c ha su n i t a r yl e v e ls e ti n i t i a lm e t l o d ，u n s u j t a b i 珏t yb e “旧e l ll o c a lf 酏ta l g o r j t l l m 锄dg l o b a lm o d e i ，吼p r o v em el e v e ls e ts e g m e n 叫0 n ，p r e s e n ta 缸tk v e l 姒s e g m e n t a t i o nb a s c do nm u l t j 蛳da f i da d a p t j v ei n h i a ls i g n e dd i s c e 如n c t i o n d c f i n es i 即e dd i s 嘶c ef u n c t i o nb ys i 譬n e dd i s t a n c eb e t w e e ni m a 窖es u r f h c e 醐dt h r c s h o l ds u 如c e t h i sm c t h o dm a k e st h ed e f i n i t i o no f s 噜n e dd i s t 眦c e 如n c t i o nr e l a t c dt 0i m a g e ，b yw h i c hm “( ci tc o u l dc h o o s es h a p ea d a p t i v e l y ，a n dm a k c sa n n b u t ct 0d e c r c a i t c r a t i o nt i n l e 柚da c c e l 吼t ec o m p u t a t i o ns p c 。d ；s y n c h o n o u s l ym u h i 掣i di si n 昀d u c e dt od e c r e a s ct i l eq u 锄t 岭o f c o m p u t a t i o nb yr e l a xa l g o r i m m ；f i n a l l y ，c o m b i n e dw 汕g l o b a ls e g m e n 诅t i o nm o d e l b a s e do nm u m f b r d - s h a l lm o d e l ，w h i c hm a k et l en e wm o d e ln o to n l ya su n i v e r s a l 躬。魄mg l o b a im o d e i b u ta l s oh a v el e s sc o m p u t a t i o nc o s t n u m c r i c a le x p c r i m e n th a sb nu s c dt 0p r o v et h ev a i i d 时o f t h en e wm o d e i - ( e yw o r d s ：p d e ，l e v e ls 鸭m u l 堍r i d ，s i g n e dd i s t a l l c e 胁c t i o n ，e n e r g ym i n i m a li i 独创性说明作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。作者签名：韭日期：缮! 乏大连理工大学硕士学位论文数字图像处理，即用计算机对图像进行处理，这一技术是随着计算机技术发展而开拓出来的一个新的应用领域，汇聚了光学、电子学、数学、摄影技术、计算机技术等学科的众多方面 1 】。图像处理作为一门学科已经被美国数学学会列为应用数学的一个研究分支。在其短暂的发展历史中，已经被成功的应用在几乎所有与成像有关的领域，而且，近年来，一些基于偏微分方程( p 【坦) 的非线性图像处理方法逐渐受到了关注，这些方法的特点是着眼于图像信号的结构( 诸如曲率等) 。相信随着计算机性能的不断提高，基于p d e 的图像处理技术将会有更加广阔的发展前景和应用领域。1 1 图像的定义视觉是人类从大自然中获取信息的最主要的手段。据统计，在人类获取的信息中，视觉信息约占6 0 ，听觉信息约占2 0 ，其他的如味觉信息、触觉信息等加起来约占2 0 【2 】。由此可见视觉信息对入类的重要性，而图像正是人类获取视觉信息的主要途径。图像是一种高维的、以人类视觉为最终归宿的信号。是人们生活的体验中最丰富的部分之一，人们都知道一幅图像是什么，但对图像却没有一个精确的定义。所谓“图”就是物体投射或者反射光的分布；“像”是人的视觉系统接收图的信息而在大脑中形成的印象或认识。前者是客观存在的，而后者是人的感觉。图像应该是两者的结合。在一般意义下，一幅图像是另一个事物的一种表示。一幅图像包含了有关其所表示物体的描述信息。图像有各种各样的形式，其中的一个重要子集是由连续函数和离散函数组成的抽象的数学图像，其中后一种就是能被计算机处理的数字图像( d i g 蹦i n l a g e ) 。数字图像指的是一个被采样和量化后的二维函数( 该二维函数由光学方法产生) ，采用等距离矩形网格采样，对幅度进行等间隔量化。至此，一幅数字图像是一个被量化的采样数值的二维矩阵。需要注意的一点是，图像的原本状态是连续的，处理的结果一般也要以连续的形式演绎。图像的离散表示形式只是为了方便使用计算机作为工具来实现算法 3 。1 2 图像处理及其中的数学方法所谓图像处理就是对图像信息进行某种目的的加工修正趴满足人的视觉心理或应用需求的行为【3 。广义上讲，图像处理分作图像的模拟处理( 光学方法) 和图像的数字处理( 电子学或数字方法) 。前者已经有很长的发展历史，从简单的光学滤波到现在的激基于p d e 的几种图像处理方法及其数值解法光全息技术。光学处理理论已经日趋完善，而且处理速度快，信息容量大，分辨率高，又很经济。但是光学处理图像精度不够高，稳定性差，操作不便。后者通常称为数字图像处理，简称图像处理。数字图像处理是随着计算机技术的兴起而产生的借助于计算机的图像处理技术，其主要工作是将图像信号转换成数字格式并利用计算机进行某些数学运算和分析，以提高图像的实用性。数字图像处理技术处理精度比较高，而且还可以通过改进处理软件来优化处理效果。从上世纪六十年代起，随着电子技术和计算机技术的不断提高和普及，数字图像处理进入高速发展时期。特别是上世纪九十年代开始，随着计算机多媒体技术和信息技术的蓬勃发展，突破了限制数字图像处理发展的数据量庞大、处理速度相对较慢、硬件成本较高等限制，数字图像处理技术逐渐深入到军事领域、医学领域、商业领域、艺术领域、出版领域、广告领域甚至人们的日常生活。目前，图像处理主要关心以下几个方面：图像预处理，边缘检测，图像分割，形状模型，图像校准，特征提取，目标识别，运动目标检测与跟踪，以及图像可视化等。在科学工程领域，如视觉通讯，机器人导向，医学诊断，遥感及天文观测等，图像处理技术都发挥了巨大的作用。按用途不同，图像处理可以分为以下几类【2 6 】i ) 保证图像正确的重现景物的前提下尽可能压缩图像的数据量，以便于存储和传输。也就是图像的压缩编码技术。常用的压缩技术有予带j 髓整换编码、预测编码和运动补偿等等，其中迭代函数系和小波变换等数学工具都对图像编码产生过重要影响。近年来有人从图像恢复的角度考虑过图像编码的问题，归结为相应的偏微分方程( p d e ) 。2 ) 消除图像形成和传输中引入的失真和干扰，使图像尽可能正确的重现景物。如果处理的效果是由人的视觉来评判，那么称为图像增强技术。如果处理工作是根据引入失真和干扰的特性来进行、并根据某种客观准则来评判处理的效果，则通常称这种方法为凰像恢复技术。许多图像恢复算法依赖复杂的数学工具，估计理论、病态反问题、线性代数以及数值分析等等。在气象观测、星际航行等工程领域里以及历史影响资料修复保存会经常遇到这类问题。3 ) 根据某一原则尽量去除图像中的无用信息而突出图像中蕴涵的主要信息。例如在人类表情模拟仿真或面部识别系统中，眼睛和嘴部是需要突出处理的部分。4 ) 从图像中提取若干袭征图像特征的数值，以便进一步对图像进行描述、分类和识别。一般图像识另4 包含3 个环节：预处理、特征抽取和识别。典型的预处理主要是滤波去噪或者轮廓提取( 基于形状的目标识别) ，后者特征抽取是通过对目标边界的数学描述和特征系数展开来完成的。2 。大连理工大学硕士学位论文5 ) 图像重建，根据一组投影图像( 非一幅完整图像) 再生原始图像。与图像恢复类似，最后可以归结为求解一组线性或非线性方程。1 - 3 基于p d e 的图像处理方法的意义及应用领域几个世纪以来，物理学直是数学发展最大的推动力之一。正因为如此，在物理学领域，数学成为了一种最经济的语言，它提供了一系列的基本原理用以解释大量物理现象。其中，有很大一部分可以用偏微分方程( p d e ) 来描述。类似的，数学的发展也同样受到了来自图像处理领域的推动。图像处理中的许多问题，比如图像分割，图像的多尺度表示以及图像复原都产生了大量的富有挑战性的数学问题。起初，人们对这些问题都只是或多或少的提出一些启发性的探索，随着计算机计算能力的不断提高，这些问题正在逐渐变得容易解决。于是，人们开始尝试使用更复杂的数学方法去解决图像处理中更困难的问题。在数学上，选定一定的函数空间，自然界的物体都是连续的，而图像本身也是连续的，物体成像的过程可由一个偏微分方程来描述。根据这一原理，就产生了基于p d e的图像处理方法。为了方便计算机的处理，传统的图像处理方法通常先将图像离散化，然后对图像矩阵进行线性处理。随着图像处理在各个领域得到了越来越广泛的应用，传统方法的局限性严重影响了图像处理的效果。而同传统的图像处理方法相比，p 工陋方法具有很多突出的优点：1 、p d e 方法是一种直接分析图像的连续模型，离散的滤波表现为连续的微分算子，因而使得网格的划分，局部非线性滤波分析易于实现。2 、p d e 使得图像处理方法的合成十分自然。例如用于滤波合成的安际应用：图像平滑与保持边缘，使得同时去除噪声和保持边缘的方案成为现实。3 、p d e 方法由于可以直接处理一魑图像中的梯度，曲率等几何特征，便于建立各种数学模型灵活表述，而且可以充分利用数值分析和偏微分方程计算理论中的一些已有成果，能获得较好的图像质量，并具有一定的稳定性。4 、一些经典的图像处理方法如高斯滤波，中值滤波以及膨胀和腐蚀在p d e 的统一框架下得到了全新的解释，而且算法拓展到视频处理比较容易。正是由于以上优点，p d e 方法已经成为图像分析中的一种重要方法。现在，基于p d e 的图像处理已经是一个结合了数学形态学、变分法、逼近论和仿射几何等数学工具的一个完整的理论体系。目前，p d e 方法已经在用于图像的恢复和去噪，边缘检测，图像分割，图像校准，特征提取，以及运动目标的检测与跟踪等方面都有广泛的研究。其成果在图像理解、模式识别、图像编码和图像合成等方面，尤其是卫星遥感图像的复原和去噪、医学3 一基于p d e 的几种图像处理方法及其数值解法图像处理( 超声、核磁共振、伽玛相机和c t ) 以及安全和工业生产等领域都发挥了巨大的作用。1 4 本文主要工作同传统的线性处理方法相比，p d e 方法的计算羹比较大，计算速度较慢，而且其收敛速度也需要从理论和数值分析上进行进一步的研究。对于目前p d e 方法常用的数值解法一水平集方法，其两种快速算法都属于局部算法，在应用上都存在着局限性，n a r r o wb a n d 和f a s tm a r c h i n g 方法只依赖图像的局部信息【4 】【6 】，像m u m f o r d s h a h 这种需要使用图像全局信息的方程无法使用 5 ：而且这两种方法的计算效率还和选定的参数有关，通用性也受到一定的限制。本文对几种经典的p d e 图像处理模型进行了综述，并介绍了求解这些模型的一些经典数值算法。在总结了传统的模型和算法的特点的基础上，对p i ) e 图像分割方法的计算速度问题进行了改进。本文从水平集函数初始化方面入手解决计算速度问题。在使用水平集方法求解p d e 时，尝试构造新的初始化函数以替代原有的单一的水平集函数初始化方法，希望能够充分利用图像的信息实现自适应的水平集函数初始化，进而提出了一种能够根据图像信息自适应构造钌始水平集函数的方法。通过构造一个初始闽值曲面，利用图像与初始阂值曲面对应点闻的有向距离来构造初始水平集函数。由于这种构造初始水平集函数的方法同原始图像有很大的相关性，所以同传统的水平集方法中与图像无关的水平集函数初始化方法相比，可以大大减少迭代次数，从而加速了计算速度。在此基础之上，本文还将水平集方法同多重网格方法相结合，并改进了自适应初始化函数的光滑陛，结合通用性较强的m 啪6 ) r d s h a h 分割模型对模型做了进一步的改进，使计算速度进一步的提高。本文在第二章中对经典的p d e 模型进行了综述；在第三章，介绍了用于求解p d e的数值解法。第四章是对本文工作的详细介绍，阐述了本文提出的自适应初始化水平集函数的构造过程以及通过几种方法的结合对迭代计算速度的改进。并通过不同实际算例的实验结果，验证了本文方法的有效性。最后是全文总结和未来工作的展望。d 大连理工大学硕士学位论文2 基于p d e 方法的图像处理综述目前，p d e 方法在图像处理中的应用主要集中在两个基础部分：图像的复原( 如去噪滤波) 和分割( 如边缘检测等) ，这些应用的传统解决方法是采用低通滤波来减弱噪声的影响，增强图像的边缘。最早的p d e 方法就是由滤波技术导出的，随着滤波技术的不断改进，相应的p d e 也陆续被使用，a l v a r e z 首先将p i ) e 方法系统的引入了图像处理当中；后来，o s h e r 从图像恢复的角度出发，又提出了基于能量极小化和变分法的p d e 方法，这一方法为图像处理提供了一种通用的框架，使p d e 方法脱离了滤波技术的限制，成为目前基于p d e 的图像处理方法的基础。在基于能量极小化的框架下，针对不同特征的图像，人们提出了多种能量极小模型来处理。其中，活动轮廓模型( a c t i v ec o n t o l 耶m o d e l ) 是一种基于能量极小化的分割模型，基于这一模型的p d e 方法是目前应用比较广泛的一种方法，= 维模型可用于寻找图像的边界轮廓线，三维模型可用于图像的三维萤建和三维几何物体的变形【2 7 。2 1 由滤波技术导出的p d e在图像处理的经典方法中，低通滤波被用来提取图像的总体趋势特征，通常由一个滤波器函数对图像做卷积来实现，其理论源于m a 玎和聊d r c 吐l 嘲，并由w 酞i n 【9 ，k d e n d e 出埘l o 】形成较好的体系。c a i l l l y 【1 1 在此基础上提出了目前应用比较广泛的边缘检测算法( c a n n y 算法) 。特别的，w i 蝤n 【9 还指出，用高斯函数对图像进行卷积等价于求解以图像函数为初值的热传导方程，基于p d e 的图像处理方法便由此导出。基于这一思想，a l v a r e z 将p d e 方法系统的引入图像处理领域，对图像处理中的p d e 给出了一般性定义 12 ：一幅灰度图像可以看作是一空间中的有界实函数，对于观测图像f 经过一族滤波a 器t t 处理后得到图像u ，“( f ，x ) = q ，) ( x ) 是方程豢= f ( d 2 “，d “，f ) ，初值为u ( o ，x 户f 8 )研的解。a l v a r e z 等人 12 还将滤波器t t 需要满足的条件进行总续并依据其对p d e 模型进行分类，同时指出构造新的p d e 模型也需要依据这些准则。2 1 1p d e 模型的表示和原理化分析根据a 1 v a r e z 等人提出的理论【l2 ，图像滤波器t t 需要满足的条件大致可分成3 类：5 -基于p d e 的几种图像处理方法及其数值解法1 ) 体系结构要求( 觚1 1 i t e c t u r a lr e q u i 埘n e n t ) ，如局部性( 1 0 c a l 时) ，递归性( r e c u r s i v 时) ，因果性( c a s u a l 崎) ，发生器( g e n e 曲r ) ，正则性( r e g u l a r i 可)等：2 ) 稳定性要求( s t a b i l 时r c q u i r e n l e i l t ) ，比较原理( c o m p 撕s o np r i n c t p l c ) ；3 ) 形态学要求( m o h o l o g i c a lr c q u i p 锄e n t ) ，包括保形性( s h a p e _ p r e s e r v i n g ) ，平移不变性以及尺度不变性等。1 ) 体系结构要求递归性( r e c u r s i v 崎) ：t 。( f ) t s t t - k ( o o n r _因果关系( c a s u a l n y ) ：将任一时刻的t t 看作一族变换k ，t t = r 。，_ 1 r 邯+ l令t h 。_ 1 沁时即等价于递归性条件。无穷小发生器( n e m t o r ) ：( 1 - h f _ f ) i l 姒田当i 卜 0 + 对光滑的f正则性( r e g i l l a r i t y ) ：对无穷小发生器的修正i k ( ，+ 蛔) 一( z ，+ 姆) k c fh ，t 0 ，1 ，f ，g 光滑。局部性( 1 0 c a l 时) ： t f ) - t 国) ( x ) = o ( t ) 当t - 0 + ，有e g2 ) 比较原理( o r d e r _ p r c s e r v i r i g ) ：z u ) t ( g ) j ，g ，此原理只对灰度图像有效，对深度映射图像等无效。3 ) 形态学要求，来自数学形态学理论，由一系列不变置来描述，保证滤波器与图像的平移，旋转，明暗无关。灰度平移不变量( g r a y - l e v e l s h 谂i n v a r i 舭c e ) ：t o ) 卸，胖声砥f ) _ 屺，c 为常数。灰度尺度不变量( g r a p s c a l ei n v a r i 锄c e ) ：1 袖( f ) 卜h f 助，h 为单调实函数，此条件表示滤波器没有利用任何有关图像的先验知识。平移不变量( t r 锄s l a t i o n i r 】v 撕飘c e ) ：7 ：( “力= “( 1 ，) ，气厂= ，o + a等距不变量( i s o m e 时i n v 撕a n c c ) ：z ( r ，) = 尽z 盯) ，r ，= ，( j h ) ，r 为正交变换。尺度不变量( s c a i ei w a r i 觚c e ) ：保证经过滤波之后的不同图像中的同一物体不因大小远近的改变而改变形状，v 五，r ，j 一5 j 岛z = z 4 ，q ，( 砷= ，( x ) a投影不变量( p 耐e c tm a r i 粕c e ) ：w ，f ，j f 。，j j 爿z = 互一，a 为纷陛变换。对于一个滤波算子，需要满足这三类要求，但不必满足所有以上条件，a l v a r c z 1 2 】已经证明，由滤波器导出的p d e 一定是一个二阶方程，且无穷小发生器存在。6 大连理工大学硕士学位论文如果图像处理算子满足递归性以及其他所有条件，则u 是方程娑：f ( d ：“，d “) 的解。如果图像处理算子满足因果条件以及其他所有条件，则u 是方程害= f ( d 2 ”，d 址f ) 的解。如果图像处理算子不满足平移不变量条件，则相应的方程变为x 相关的，即掣：f ( d 2 “，d “，z ) 。如果算子不满足灰度平移不变量条件，则方程变为昙：f ( d z “，d “，“，f ) 。2 1 2 基于数学形态学的图像处理p d e数学形态学中的基本操作，主要为d i l a t i o n ( 膨胀) 和e r o s i o n ( 腐蚀) 两种。令b 为r n 的有界子集( s 虮l 曲i 血ge l e m e n t ) ，则膨胀算子：d ，( z ) = s u p ( ，( y ) ，_ y x i n t 毋腐蚀算子：簟， ) = i n f ，( y ) ，y x i i l t 毋其中，t 为非负参数，若b 为凸集，则( t 嘲b 铂+ s b ( 递归性) 。a 1 v a r e z 【1 2 】已证明，若d c 删，e 盘x ) 茼足之前介绍的条件，则经膨胀算子变换的图像是方程詈。i l d “k 的粘性解，经腐蚀算子交换的图像是方程詈= 一l i d “k 的粘性解。2 1 3 经典的图像处理p d e 模型w i 悄n 【9 】证明，“：g + 是热能方程娶：“的解，g r ：( 4 万) 一t f 一- p 为高斯平滑算子，a l v a r e z 【1 2 】证明了高新算子满足因果条件，正则条件，平移不变量，灰度平移不变量等条件，并同时证明满足以上条件的滤波器处理后的图像一定是热能方程的解。高斯函数卷积会导致图像过光滑而使得图像一些细小的细节边缘信息丢失，进而会导致边缘定位提取的错误。改进滤波技术，使得在滤噪的同时保护重要边缘信息始终是图像处理关注的问题之一。数学形态学方法由于具备良好的保形性质从而在处理图像时能够保持图像的一些边缘信息，由于p d e 模型的可组合眭，一些结合了数学形态学的p d e 图像处理模型被陆续提出。7 基于p d e 的几种图像处理方法及其数值解法p e r o n a m a l i k 模型【1 3 】：罢= 咖( g ( i 抛i ) 眈) ，g 为光滑非增函数，g ( o ) = l ，g - o当g 为常函数的时候，此方程为热能方程。此方程的滤波器算子满足体系结构条件，灰度平移不变量，等距不变量等。o s h e r r u d i n 模型【14 】：詈= 咖锔) + 五( 坝圹啪， 为关于u 的l a g 啪g e 乘子，此方程也可以由极小化能量函数1 1 d “( x ) l 出得到。a l v a r 必l i o n s _ m o r e l 模型【1 5 】：基于平均盥率和异性扩散的方程，詈= 酬胁岛) 。改进方程：詈= g ( 1 v q4 “) l v ”l d h 尚) 是目前效果较好的方程。极大极小曲率流f 1 6 】方法：罢= 嚣8 甲“当x 取为平均曲率时，图像会收缩成单位圆然后逐渐缩成一点，当k 取为极小曲率时，图像所有的凹点向外运动，凸点不变，当x 取为极大曲率时，图像所有凸点向内运动，凹点不变。极大极小曲率流方程就是自适应选取曲率方程，害：f ( 茁) i l v 村其中f ( 彭) = ：芝盘，当a v 歇。心y ) 对为给定图像，则在传统的s n a k e 方法中，曲线c 的能量可以表示成：e ( c ) = 口f i c ( p ) | 咖+ 卢f l c ”( p ) l 由一五r l w c ( p ) 】| 咖，其中。，b ， 为给定常数，等式右边前两项为控制曲线光滑性，第三项控制陆线趋向于图像的边缘。应用此方法进行边缘检测的过程就是使参数蘸线c 进行演化并最终停在使其能量最小的位置上。活动轮廓模型中的外部能量决定着向某种固定的特征移动轮廓线，吸引蛇模型到显著的图像特征。而这些特征只能根据特定的问题而定义，所以一般的外部能量函数不易确定。因此，模型的外部能量没有统一的数学表达式，必须从问题本身的特性出发，利用灵活的数字图像技术来处理。同a l v a r e z 的思想相同，活动轮廓模型中的轮廓线可以由平均曲率驱动，传统的基于能量的s n a l ( c 模型已经被证明等价于在一个硒空间中，通过由图像数据得到的矩阵寻找一条测地线。这一描述使活动轮廓模型有了基于测地线计算的求解方法，此方法的偏微分方程为：j ! ! ! ；匕生= g ( 1 w ( c ) i ) ( 后+ v ) i v ( z ，_ y ，f ) i其中，巾为曲线c 的函数，七= 乳尚) 是c 的曲率，v 是常数，i ( x ，y ) 表示图像，g 函数为一非负递减函数，此方程描述了曲线c ( 即图像的轮廓线) 的演化，当c 靠近图像边缘时，f w ( c ) 增大，所以g - o ，曲线的演化速度趋近于o ，最终停止运动，c 最后停在图像的边缘位置。在实际的应用中，并非所有的圈像边缘都是理想的阶梯边缘( 即由梯度定义的边缘) ，如果图像的边缘比较平滑，则上述方法就无法取得较好的分割效果。为了解决这一问题，c h a n 和、r e s e 提出了一个基于简化m 嗌l 矗州s h a h 的分害n 模型【2 5 ，该方法把图像i ( x ，y ) 用边界轮廓线c 划分为目标( c 的内部) 和背景( c 的外部) 两个区域，每个区域的平均灰度为c 。和c b ，定义如下能量函数：f ( c ，已，岛) = 工( c ) + 丑氏( c ) + 无。( 。) i ，一q 1 2 西c 砂饥l 。( 。) 1 ，一1 2 西c 咖( 4 )一1 2 大连理工大学硕士学位论文其中，l ( c ) 为曲线c 的长度，s o ( c ) 为c 的内部区域面积，u ，x ， 。和h 均为正的权重系数。由上式可看出，只有当c 位于图像的边界时，此能量函数才会达到极小值，所以通过求此能量函数的极小值可以得到理想的边界轮廓曲线c 。2 2 2 2 基于三维活动轮廓模型的p d e 方法三维活动轮廓模型 2 7 】由二维基于能量的活动轮廓模型推广得到，此时的轮廓变成了曲面。在三维活动轮廓模型中，初始曲线变为曲面，s ( r s 产【x ( r ，s ) y ( r ，s ) ，z ( r ，s ) 】，( r ，s ) 5 o ，1 p ：【o ，l 】，而相应的能量函数为：脚，= l h 割2 斟蛔l 嘉1 2l 批+ l h 等+ 2 j 雾卜陬 ，l 咖出其中，尸；一8 w n 也可定义为其他形式的梯度下降函数。同二维情况类似，三维s n a k e 模型需要给定一个初始曲面，然后通过e 的极小化计算使曲面逐渐趋近于使e 达到最小值的位置。对于相应的e u i e f l 8 蹦m g e 方程，三维模型具有与二维模型相同的形式，仅仅是维数的增加。便于向高维模型推广，也是p d e 方法的一个优点。三维活动轮廓模型在三维物体熏建中已经得到了应用，对于从照片恢复三维物体的问题【2 8 ，假设用于重建的照片均为同时拍摄所得，所以同一点在不同照片中的像素值相同，根据这一条件可以得到匹配函数：c 。( ) = l j ( ( 珊( x ，_ y ) ) 一厶( 删：( 毛) ，) ) ) 2 西砂= ( ，t y ) 6 6 c 砂其中，f 为待求的匹配函数，它通过在一定的函数空间中使误差函数c 1 极小化得到，1 1 ( m 1 伍y ) ) ，1 2 ( n 您( x y ) ) 为两幅照片中两点的像素值。由上面的方程可以得到此极小化方程相应的e u l 州a g 瞌n g e 方程：( 一厶) ( w 誓一v l 芝釉= o对此方程应用变分法求解即可得到待重建的物体表面f 。基于三维活动轮廓模型的p d e 方法还存在计算量大，收敛速度慢等缺点，但是由于它需要的先验信息较少，准确性高的特点，仍然受到了很多关注，人们仍然在不断提出各种方法对其进行改进。1 3 ，基于p i ) e 的几种图像处理方法及其数值解法求解p d e 模型有多种数值方案可以利用，比如有限差分法、变分差分法( 有限元) 、水平集方法和多重网格方法。这些方法通常是组合使用，而且根据图像处理的实际问题的不同，人们也提出了很多有针对性的具体的数值处理方法。可以充分的利用数值分析理论中的已有成果，是p d e 图像处理方法的一个重要优点。3 1 差分法和逼近格式差分法是偏微分方程求解问题中最常用的方法，它通过用差分方程逼近待求的微分方程求解【3 0 】。a 。对于图像处理中得到的p d e 方程，可直接采用有限差分法求解。对u 的导数尝采n + 1h用前向差分墨；兰旦，此外，由1 匆l o r 展开式，用二阶中心差商代替二阶微商。例f如，对于图像处理中比较常用的基于几何平均曲率的p d e 模型，经常会用到如下的表达式：审 l ( 啪( 南) ) = 热毫萨出、r ( 南) ；纽音铲，对其中的微分算子应用差分法，则有( 蚶嚣一挚， ( ) 嚣= 挚，( 马z 蜿号譬啦，( ) 嚣一啦_ 挚，= 弛匝照鼍避丛型变分差分法，从变分原理出发构造差分格式，也就是有限元法，将微分问题转化成一个求极小问题从而实现方程的降阶。由于目前大部分的图像处理p d e 模型都是由一个能量函数极小化来定义的，因此使用变分差分法求解更方便。1 4 大连理工大学硕士学位论文为了提高迭代运算的精度，人们提出了一些高精度的差分格式来替代普通的中心差分格式。o s h e r 和s 咖i 肌f 4 】使用迎风格式来逼近计算，取得了不错的效果。例如，对于几何p d e 模型中的v g v “，有( 审9 v 材) 甜= m 酥( $ 爨，o ) 者埘j 十m 融( a 。绕，a ：蛳，i十搬a x ( 如出j ，0 ) ；啦j + m i n ( f 职d ，o ) i 钍q ，其中，；旺i j 一啦一_ 撕一l 一 毒啦j = + l ，j 一佩一，a 彳地。，8 雌坷一崛，一1 ，喜珏i ，j = 铋觯1 砧i ，j ，氐= 地坛，蛳一塑茅雌+ 近年来，本质无振荡格式，即e n o ( e s s e n t i a l l yn o n - o s c 订l a t 。r y ) 格式已经在图像处理p d e 求解中得到了一定的应用并取得了不错的效果 5 0 。e n o ( e s s e n t i a l l yn 0 n 一0 s c i l l a t o r y ) 格式是由h a r t e n 等人在1 9 8 7 年的一篇经典文献中引入的 4 2 。其基本设计思想是构造一类具有高阶、高分辨率的格式，在光滑区域具有较高阶的阶数，在间断前后基本无振荡，并对间断有较高的分辨率，在不同网格系统下也有较好的稳定性，特别适合于计算包含各类间断的函数。e n o 格式包含平均、重构和模板自适应选择三个重要的设计思想。平均就是指在一个区间内物理量的平均。重构就是在已知函数分段平均值的情况下，构造满足一定精度下的原函数分布。以一维均匀网格为例，在计算区域 a ，b 之间划分网格：定义分划= 【“2 ，葺+ ：】，己知一函数u ( x ) 在区域 a ，b 中分段区间上的平均值u ，q2 焘k “( 亭烤，渊厶棚。需要构造一近似多项式p ：( x ) ，在区间i l 中逼近u ( x ) 有k 阶精度：a ( = “( x ) + 0 ( x ) x ，f = 1 ，2 ，n特别是( 上标减号代表点的左极限，加号代表点的右极限) ：哌m = a ( 五w 2 ) ，畦m = p ( 薯w 2 ) ，f = l ，2 ，”啄l 2 = “( h 埘) + d ( 缸) ，“乙，2 = “( t - 2 ) + 0 ( 缸) ，f _ 1 ，2 ，具体的重构方法可以选择多项式插值、三角函数插值、正交函数逼近等方法。1 5 。基于p d e 的凡种图像处理方法及其数值解法模板的自适应选择，在计算中为了避免跨越间断插值引起数值振荡，需要在计算中自适应地选择模板，即取“最光滑”的模板。这里“模板”指所选的重构点区域。首先定义差商：“h w 2 】_ “( 。：) ，。= _ j l ( 冉) + d ( )“ ，+ ，- 】= 兰生兰二! 篆：望三i 譬：1 1 ：二! 蔓墨在差分分析中易知，差商有如下性质：在光滑区域“h - 士，。叫七】= 竺；产，在间断区域“【_ ，+ h 】= d 【_ 】。因此可以利用差商作为判断准则来选择在计算点周围“最光滑”的模板。e n o 的基本计算方法 4 3 ：以一维守恒问题兰+ 兰= o 的初值问题为例，介绍e n o 的基本计算步骤。守恒性质的差分问题：如给定一函数f ( x ) 的点值f ( x 。) ，可以引入重构的思想来构造计算的数值方法，直接在单元点x t 处采用守恒差分近似：鱼磐= 一去( 丘 一山) ，其中“2 m 一m + ，) ，且要求壶= ( a 一山) = ，( 毛) + d ( 血) a可设厂( z ) 2 壶鲜6 ( 孝矽掌= ( 掌) ，可以看出，“x ) 是“在区间上的平均值。则有：歹功= 击+ 争一姆一争因而可取z 。= ( # ) + o ( 缸) ，式中h ( e ) 可以采用已知函数平均值构造区域内函数值的方法进行计算。时间项的处理多采用r u n g e k u t t a 法。在一维情况下e n o 格式较其他格式有较为优越的表现：截断误差小、极值处不降阶、对间断有良好的分辨率。二维、三维应用也已表明，高阶e n o 对各种间断有良好的分辨效果。高阶e n o 格式对于网格的变化较低阶格式更为敏感，因此在计算中网格加密所带来的糟度改进与其所带来的误差需要仔细地考虑，以确定满足合理计算精度要求下的网格变化。高阶e n 0 格式在相同的精度要求下比低阶格式所需要的网格数更少，因而可以减少计算的存储量：同时由一阶导数的精度分析可以看出，采用高阶e n o 格式能够明显的提高对它们的分辨精度。这在粘性等问题中的计算是非常重要的。由于e n o 格式在构造上的特点其算法是自相似的，使得日婚格式具有很好的可扩展性。1 6 大连理工大学硕士学位论文3 2 松弛算法由图像处理模型导出的p d e ，尤其是基于几何平均曲率模型的p d e ，是一个边值h m i 蛔n y 乱o b i 方程组【4 】。i l t o n - y a c o b i 方程组是一类非线性方程组，在光滑函数类中基本无法求得精确解或解析解。通常是使用一些迭代松弛算法求得逼近解，c r a n d a l l 【3 1 】的粘性解理论为p d e 在图像分析上的使用提供了一定的框架基础，但对于一些复杂非光滑的图像，模型方程解的存在唯一性问题还需研究，各种数值方案在一般条件下的存在稳定性和收敛速度也急待进一步的讨论【3 2 】。3 2 1j a c o b i 迭代j a c o b i 迭代 3 4 】是一种显式迭代方法，对有限差分格式，一“。+ 2 “，一“= 2 z ，有“；”= ( 宁+ z 盘? + 2 z ) 2对矩阵格式a u ；f ，令a _ o - l u ( d 为a 对角线元素，l 为下三角元素，u 为上三角元素) ，则j a c o b i 算法为：( d 一三一u = ，d “= ( 工+ u + ，“= d 一( 上+ u h + d q ，“m ”= d 一1 ( 三+ u m 。甜+ d + 1 ，带权重的j 8 c o b i 迭代( 更常用) ：) 卜( 1 一曲“j “) + 罢( “浮+ 蝴+ 2 ，)工矩阵形式：“”1 = 见封棚+ 砌2 d “，民= 【( 1 一妫+ 印d _ 1 ( 上+ u ) 】3 2 2g a u 黯s i e d e l 迭代g a u s s s 湖e l 迭代【3 4 】，是一种半隐式迭代方法。对a u 爿，( d 一三一u ) “= ，( d 一工) “= u k + ，“= ( d 一三) 一u + ( d 一三) 叫，“”刚=