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山东大学硕士学位论文 多孔介质中控制释放问题的有限元法 佐春梅 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 农业中广泛使用化肥，农药来提高生产效率，但同时对土壤带来了污染 现代农业采用控制释放新技术，技术方案的选择和优化可以通过田问或实验 室试验获得，但时间长成本高采用数值模拟技术可以大大节约成本，不受时 间季节限制在控制释放问题的研究中，f r i e d r n a n 7 给出了释放过程的般 公式，考虑了水的上下流动导致的弥散，垂向迁移和降解采用数值方法求解， 并在等效的球形土壤区域研究了局部释放过程的解析方法，人为地将释放过 程和水流作用解耦，释放量作为源项处理，同时只能作为一维问题求解；程爱 杰 9 】给出了控制释放一迁移完全耦合模型在三维空间形态下数值求解的有 限元方法，其假定速度流场是已知的本文在上述工作基础上，进一步考虑控 制释放一迁移水流耦合模型在三维空间形态下数值求解的有限元方法迁 移方程是带机械弥散的对流扩散方程并具有第二三类边界条件： 咖杀+ v ( 乱c ) 一v ( d ( x ，u ) v c ) 一，c = 0 ，z q ，t ( 0 ，卅， 控制释放方程是非线性边界积分- 常微分方程： 一掣= f r 0 7 ( c c ( 瑚) ) _ c ( 速度流场满足下面方程： l v t = 0 ，z 2 ，t ( 0 ，t 】 h = 一端( v p - - v d ( z ) ) ， z 5 2 ，t ( o ，纠 【“n ll ，。= 0 ，让钆l r l = 9 1 ( z ) ，u n l 、2 = 9 2 ( x ) ，t f 0 ，】 山东大学硕士学位论文 第一章中对此耦合系统作了详细陈述 第二章中构造了该耦合系统的半离散有限元数值计算格式，并分析了收 敛性 半离散格式的误差估计： 定理2 1 假定矽( z ) 有正的下界，矩阵d ( u ) 正定，c ( ) 和e h ( t ) 分别为 方程( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 的解，则有如下误差估计。 ，t i i c ( t ) 一c ，l ( t ) 1 1 2 十h i i v ( c ( o c h ( t ) ) 1 1 2 m ( ，学+ 1 + h p 2 k + 2 ) ，t t ( 2 2 6 ) ，u 该估计比最佳阶逼近低了半阶特别地，在零阶释放阶段，有最优估计 第三章中构造了该耦合系统的有限元全离散数值计算格式，并分析了收 敛性 全离散格式的误差估计： 定理3 1 在定理2 1 的条件下，设c m = c ( t ) 是( 2 2 1 ) 在= t ”时刻 的解，c 霄是方程( 3 1 1 ) 的解，则有一 i i c ( t ”) 一钟0 2 + h a t 愀c ( ) 一q ) 0 2 m ( a t 2 + b y + 1 + 带+ 2 ) ，( 3 2 1 ) n = 0 特别地，对零阶释放问题，也有最优估计 本文中运用混合有限元元方法对水流速度进行数值求解，用标准的g a l e r k i n 有限元法对整个控制释放系统进行数值求解在收敛分析的过程中运用了微 分方程先验估计的理论和技巧，混溶驱动问题传统分析方法见 1 3 】 关键词：混合元法；有限元法； 半离散格式；全离散格式；误差估 计 山东大学硕士学位论文 f e mf o r c o n t r o l l e d r e l e a s ea n ds p r e a d o fs o l u t ei np o r o u sm e d i a z u oc h u n m e i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t f e r t i l i z e r sa n dp e s t i c i d e sa l ew i d e l yu s e di na g r i c u l t u r et oi m p r o v ep r o d u c - t i o ne f f i c i e n c y ，w h i c hb r i n g ss o i la n de n v i r m n e n t1 ) o u u t i o n an e wt e c h n o l o g yo i l c o n t r o l l e d - r e l e a s e i su s e di nm o d e r na g r i c u l t u r e t h ec h o i c ea n do p t i m i z a t i o no ft h e t e c h n o l o g yp r o g r a m m ec a l lb eo b t a i n e dt h r o u g ht h et e s ti nt h ef i e l do rl a b o r a t o r y , b u tt h ec y c l et i m ei st o ol o n ga n dt h ec o s ti sh i g h a d o p t i n gt h et e c h n o l o g yo f n u m e r i c a ls i m u l a t i o nc a ng r e a t l ys a v et h ec o s ta n dn o tb er e s t r i c t e db yt h et i m e o nt h er e s e a r c h o ft h ep r o b l e ma b o u tt h ec o n t r o l l e d r e l e a s e ，t h eg e n e r a lf o r m l l l a s o nt h ep r o c e s s o fr e l e a s ea r ep r o v i d e da n dt h ed i f f u s i o nc a u s e db yt h ew a t e rf l o w i n g f r o mh i g ht ol o wa r ec o n s i d e r e di nf r i e d m a n ? s t i l li nf r i e d m a n 7 】v e r t i c a lm o v e a n dd e g r e t a t i o na l es o l v e dt h r o u g hn u m e r i c a lm e t h o d ，a n da n a l y s t i c a lm e t h o d so n t h ep r o c e s so fl o c a lr e l e a s ei nt h ee q u i v a l e n ts p h e r i c a ls o i lr e g i o na r es t u d i e d i n f r i e d m a n 7 】t h ep r o c e s so fr e l e a s ea n df l o wa c t i o na l ed e c o u p l e df a c t i t i o u s l y t h e r e l e a s ei st r e a t e da so r i g i na n dr e s o l v e do n l yo no n ed i m e n s i o np r o b l e m g i v e nv e l o c - i t yf i e l d ：t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt on u m e r i c a l l ys o l v et h em o d e la b o u tt h ep r o c e s s o fc o n t r o l l e d r e l e a s ec o u p f i n gt h ep r o c 醛so fs p r e a di nt h r e ed i n m n s i o ni sp r o v i d e di n 9 1 i nt h i sp a p e r ：b a s e do nt h e s ew o r k ，t h et h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt on u m e r i c a l l y s o l v et h em o d e la b o u tt h ep r o c e s so fc o n t r o l l e d - r e l e a s e ，s p r e a dc o u p l i n gt h ep r o c e s s o f f l o wa c t i o l li ut l l r d ! d iz n c n s i o ni ss t u d i e d 7 l h ei n ) t 塔so fs p r e a dw a sc h a r a e t e r i z 簋e d i i i 山东大学硕士学位论文 b yac o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hm e d l a n i c a ld i s p e r s i o na sw e l l a sab o u n d a r y c o n d i t i o no ft h et h r i dt y p e ： 咖宝+ v 如c ) 一v 印( 刚) v c ) - - j u c = o ，z 1 2 , te ( o m t h ep r o c e s so fc o n t r o l l e d - r e l e | a s ew a sg o v e r n e db yab o u n d a r yi n t e g r a lo r i d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： 丁d m c ( t ) = 厶1 ( c c ( 他) - c ( ) d s v e i o c i t yf l u i ds a t i s f i e dt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s z q ，t ( 0 ，t 】 z q ，t ( 0 ，t 】 9 2 ( x ) ，t ( 0 ，吐 i nt h ef i r s td i a p t e r ，t h ed e t a i l s0 1 1t h ec o u p l i n gs y s t e ma r eg i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h es e m i - d i s c r e t ef i n i t ed e m e n tn u m e r i c a ls c h e m ei s c o n s i d e r e da n dt h ec o n v e r g e n c ei sa n a l y z e d t h ee r r o re s t i m a t eo fs e m i - d i s c r e t es c h e m e ： t h e o r e m2 1s e t 咖 ) s h o u l db eb o m t d e db e l o wb yp o s i t i v ec o n s t a n t sa n dt h e m a t r i xd ( u ) s h o u l db cp o s i t i v o - d c f i n i t c ，c ( t ) a n dc h ( t ) a r er e s p e c t i v e l yt h es o l u t i o n o fe q u a t i o n ( 2 2 1 ) a n d ( 2 2 3 ) t h e n ，r c ( ) 一c ( t ) 1 1 2 + h i i v ( c ( t ) 一c h ( t ) ) 1 1 2 m ( l 警+ 1 + h 2 p k + 2 ) ，t t ( 2 2 6 ) j 0 t h i se r r o re s t i m a t ei sl o w e r t h a no p t i m a la p p r o x i m a t i o n e s p e c i a l l yi nt h ez e r oo r d e rr e l e a s es t a g e ，t h e e r r o re s t i m a t ei su pt oo p t i m a i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h et i m e - d i s c r e t ef i n i t ee l e m e n tl l u l l l e r i c a ls c h e m ei sc o n - s i d e r c da n dt h ec o n v e r g e n c ei sa n a l y z e d i v t h ee r r o re s t i m a t eo ft i m c - d i r e t es c h c m e 叫垫 吨一刊 山东大学硕士学位论文 t h e o r e m3 1u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m 2 1 ，s e tc m = c ( m ) i st h e s o l u t i o no f ( 2 2 1 ) a tt h et i m et = t m ，叼i st h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ( 3 1 1 ) t h e n m 懈”) 一c e l l 2 + h a t 慨e ( t ”) 一哪) 0 2sm ( a t 2 + h 芋+ 1 + h 梦+ 2 ) ， ( 3 2 1 ) n = o e s p e c i a l l yi nt h ez e r oo r d e rr e l e a s es t a g e ，t h ee r r o re s t i m a t ei su pt oo p t i m a i nt h i sp a p e rt h ee q u a t i o no ff l u i dv e l o c i t yi sa p p r o x i m a t e db yam i x e df i n i t e e l c m e n tm e t h o d a n dt h ew h o l es y s t e mo f c o n t r o l l e d - r e l e a s ec o u p l i n gb yas t a n d a r d g a l e r k i nm e t h o d t h et h e o r ya n dt e c h n i q u eo np r i o re s t i m a t eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n a sw e u a st r a d i t i o n a la n a l y s i sm e t h o do nt h ep r o b l e mo fm i s c i b l ed i s p l a c e m e n ta r e u s e dw h e nc o n v e r g e n c e sa r ea n a l y z e d k e y w o r d s ： m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；c o n t r o l l e d - r e l e a s e ；f i n i t ee l e - m e r i tm e t h o d ；s e i n i - d i s c r e t es c h e m e ；t i m e - d i s c t e t es c h e m e ；e r r o re s t i m a t e v 山东大学硕士学位论文 q r o r 1 ， r 2 必( ) c ( z ，t ) c c ，t ) u ( t ，z ) p d ( x ，仳) 恻l v i 符号说明 整个模型区域 模型内区域 区域内边界 区域外边界 释放过程中胶囊内溶质余量 溶质浓度变量 胶囊中溶质浓度 区域外边界 压力 区域外边界 点z 的范数 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本论文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：黼导师签名： 山东大学硕士学位论文 第一章控制释放问题的介绍 本章先介绍控制释放问题的研究背景及前人关于控制释放问题的研究成 果，再给出本文所要研究的模型问题从而，为第二三章研究控制释放问题 的半离散，全离散格式分析做必要的准备工作 1 1 引言 农业生产中广泛使用化肥，农药来提高生产效率，但同时对土壤，环境带 来了污染现代农业采用了控制释放新技术，该技术是把化学药品或药荆封臀 于由特殊材料制成的胶囊内，按优化的模式散播于土壤中，化肥通过胶囊释放 到土壤中，并在土壤中扩散开，在一个相当长的时问内发挥功效，技术方案的 选择和优化可以通过田问或实验室获得，但时问周期长，成本高采用数值模 拟新技术可以大大节约成本。不受时间季节限制 在控制释放问题的研究中， k o c h b a 1 1 研究了释放与迁移无关的问题； h a s a n 2 假定了溶质迁移仅仅是扩散行为，同样的假定出现在了f r i e d m a n ， m u a l e m 3 l ，w a n g 等f 4 j 中；b e a r 5 l ，v g 6 】假定了宏观二维流动，未 考虑释放源的三维形态；蹦e d m a n 【7 】给出了释放过程的一般公式，考虑了水 的上下流动导致的弥散，垂向迁移和降解采用数值方法求解，并在等效的球形 土壤区域研究了局部释放过程的解析方法，人为地将释放过程和水流作用解 耦，释放量作为源项处理，同时只能作为一维问题求解； 【8 】给出了释放，迁 移的完全耦合数学模哩，考虑源项的三维形态，研究了多种释放模式的释放 迁移机理，用有限元方法求解三维轴对称问题【9 1 9 中讨论了控制释放一迁移 完全耦合模型在二维空间形态下数值求解的有限元方法，其假定流场是已知 的 本文讨论了控制释放一迁移完全耦合模型在三维空间形态下数值求解的 有限元方法其中迁移方程是带机械弥散的对流扩散方程，具有第三类边界条 件；控制释放方程是一个非线性边界积分一常微分方程；流场是未知d a r c h y 速度流，与浓度无关，满足第一类本质边界条件构造了该耦合系统的有限元 半离散和全离散数值格式，分析了收敛性，获得了拟最佳收敛结果和零阶释放 条件下的最佳收敛结果在计算过程中先通过混合有限元方法求解出速度， 然后再将速度流单向耦合于控制释放一迁移模型中本文理论分析方法参考 山东大学硕+ 学位论文 了混溶驱动问题的传统分析方法【1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 】 1 2 控制释放问题的陈述 设区域s2 由一单连通区域去除一个其所包含的单连通区域s 2 0 而成内 边界记为r o ，外边界记为r 1 ，r 2 ，z 为空间变量，t 为时问变量化肥透 过胶囊薄膜r o 释放到q 中，遵循f i c k 定律，释放过程中胶囊内溶质余量i 磊 由如下边界积分一常微分方程描述， 一掣= 小训删砘啪d s ( 1 2 1 ) 其中1 为综合传导系数，与胶囊材料，厚度等有关应，通过实验测得c 为 溶质浓度变量，c c 为胶囊中溶质浓度，假定在教囊内部溶质浓度是一致的， 该浓度与胶囊内药品余量 厶( ) 相关， c c ：= c c c 坛，= 麓，k ，兰兹至宝： c 1 2 2 ， 其中q o = k ，k 表示胶囊内腔容积，c 。为饱和浓度， 不q o 阶段称 为零阶释放阶段。尥q o 阶段称为一阶释放 土壤是典型的多孔介质，化肥( 溶质) 在土壤中的迁移是溶质在多孑l 介质 溶液中的对流扩散行为，假定介质中充满了溶液( 单相流体) ，在一个未知流 场中即速度压力满足以下方程， 恳v - u - - - - 誊- o , _ 一l 2 渤 【让u 刊 n l i l 2 r , ：= 9 2 ( g l ( n x ) , 溶质的迁移由下述对流扩散方程描述： 9 塞+ v 小c ) 一v 徊( 础) v c ) 一p c = o ，z f , te ( o 丑( 1 2 4 ) 其中u = u ( t ，, 7 ) = ( u l ，u 2 ) 为流体速度场，p 为压力k ( x ) 是渗透率，p 1 ) 为粘度，9 1 ( z ) ，夕2 ( z ) 为已知函数，d ( z ) 表示模拟区域的纵向深度，咖= 咖( 丁) 2 山东大学硕十学位论文 为多孔介质孔隙度， c = c ( t ，z ) 为溶质浓度，p 为降解和吸收综合系数，在 此设为常数在土壤水动力学中，水动力弥散起到非常重要的作用， d = d ( x ，u ) = 砂( ，4 - d l l u i e + d t i t , i e 上) 这里如为分子扩散系数，d i 和也分别为纵向，横向弥散系数，e = ( 静) 。， 丘上= i e ，为单位矩阵 f ( d ( u ) v c 一乱c ) 万= 0 ， i ( d ( u ) v c 一让c ) 元= 7 ( c c c ) ， 其中万为边界上单位外法向初始条件为t c ( o ，z ) = c o ( z ) ，z q 腹( ) l l = 0 = m o 整个模型问题的参看示意图如下， 帆三u f 2 ( 1 2 5 ) o nl 。0 u l ：o l q 一 图1 ：模型f 1 j 题的纵剖面示意图 3 山东大学硕+ 学位论文 第二章控制释放问题的半离散格式及其收敛性分析 本章给出第一章所提出的控制释放问题其半离散化格式的数值解法，并 进行了收敛性分析由于本文中速度与压力方程是单向耦合于控制释放问题， 在数值求解控制释放口j 题时，其可以独立求解，因此本章中首先单独用一节内 容介绍速度与压力方程的混合元法速度压力的数值结果会直接影响对整个 控制释放过程的分析。在第- - i j , 节中系统分析了控制释放问题半离散格式的 数值收敛结果 2 1 压力和速度的混合元法 在本节给出压力和速度方程的混合元解法，为下节及第三章研究整个控 制释放系统作必要的准备工作，本节分两部分 2 1 1 压力和速度方程的弱形式 从1 2 问题中提取出压力和速度方程即方程( 1 2 3 ) 如下t f 玑牡= 0 ， l 让= 一糕( v p - v d ( z ) ) ， t n l r 。= 0 ， ( 1 2 3 ) i u 。n | r 。= 9 l ( z ) ， 【让佗l r ：= 9 2 ( z ) 为了理论上分析的简便，首先对上面方程的边界条件进行齐次化，然后 再利用奇次问题的已有结论对非其次问题进行分析假定9 t ( z ) ，卯( z ) 属于 h 吉( n ，这里r = r 0ur 1uf 2 则通过迹定理存在g ( z ) h ( d i v ；q ) nl 。( q ) 使得l ， lg ( z ) 。n f r 0 = 0 ， g ( z ) 冗| i 1 = g l ， 【g ( z ) 。n l 1 2 = q 2 此时令面= u g ( ，：) ，且给出如下空间： 4 y = h ( d i v ；f 2 ) = t 7 l 2 ( q ) ；v - 口el 2 ( q ) ) 山东大学硕十学位论文 v = h “( a i v ；q ) = u h ”( q ) ；v 移h ”( q ) ) v 。= h ( d i t ，；q ) n n l r = 0 ，f = t our ，ur 2 ) w = 驴( 妒三c o n s t a n to no 1 对任意的n ，v 妒w 定义下面两个双线性形式： ( n )a ( n ，p ) = ( 警o t ，p ) ( 6 )b ( o t 妒) = 一( v q ，妒) 则奇次化后问题( 1 2 3 ) 转化为求解含有时问参数的鞍点问题： 求 缸，p ：j = ( 0 ，7 1 一w 满足： 州面，t ，) + 口( 口，p ) = ( v d ， ) 一a ( g ，口) 俨，( 2 1 1 ) i 口( 霸，妒) = 一( v g ( z ) ，妒)即i , e 、7 在下面- - i b 节中我们给出速度压力方程的混合元解及其数值逼近的误差 估计 2 1 2 混合元逼近及误差估计 记n 是q 的拟致正则剖分，最大单元直径为取kcv cw 是指数为七的r a v i a r t 一- t h o m a s 有限元空间参考【l5 】例如我们可以取， k = v h v ；vk x h ，l 知q ) = 口h 厂；vk x h ，v hl 七p d 嵋= nu h - i r = o 其中q k ，r 定义参看f 15 】这些空间对任意的u ， t o v 具有如下逼 近性质及逆性质： 眯i n f h 一班| i 圳口怯+ - ( n 廖1 ， 1 罂5 ：i i v v h l i v m | l r | i t + ，( n ) + i i v f o h - + ，( n ) ) ，l ；+ 1 ， t t h 、。 i n f 1 1 w - 豇, h l l w m i i 酬肿，( 1 ”咿1 ， i l v l l l = m k li l v l l ， 5 山东大学硕士学位论文 。 i l v l l w , 。( 。) c h ；1i l v l e - ( 。) 其中k 为任意一个网格单元从而方程( 2 1 1 ) 的半离散格式如下： 求 厩，p h ) ：j = ( 0 ，刀一馏矾满足- j 力( 哦，f ，1 ) + b ( v h ，p h ) = ( v d ，u h ) 一月( g ( z ) ，) ，v v h 昭， 【b ( 如? w h ) = - ( v g ( z ) ，姚) ， v w h i 玩 ( 2 1 2 ) 关于问题( 2 1 1 ) 解的存在惟性参看文献【1 6 】；关于问题( 2 1 2 ) 解的存 在惟性可以参看文献【1 7 l 且有如下误差估计，设 面，p ， 哌，p h 分别为问 题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的解，则 忙训l 一+ l l p p h h l o o ( j ；w ) m i n f 忙- - v h o y + 眯i n w f 。 p 一帆m s i ，砖“ 在后面的证明过程中还需要用到速度的最大模估计，下面直接给出结论即： i i 霞( ) 一峨( t ) l l l m ( n ) m ，t ( 0 ，7 1 证明过程参看【1 8 】利用上面奇次问题的结论，我们再来考虑非奇次问题 ( 1 2 3 ) 的数值逼近误差大家知道对于压力速度方程的精确解 u ，计的有 限元逼近，其边界条件一般是不可能精确满足，因此我们以定义在边界上的函 数去近似令u l l l = 峨+ a ( z ) 。其中g ( z ) 满足下列方程t fa ( g ( z ) 一0 ( z ) ， ) + b ( v ，p 一肌) = 0 ，铷增， 【b ( a ( x ) 一g ( z ) ，妒) = 0 ， 邯i t c h 且有 i l g ( z ) 一0 ( z ) i l l ，5 ，砖+ 1 l l a ( ：r ) 一g ( z ) i i l 叫n ) m 估计成立从而 i l u 一 h i l l x ( j ；y ) = 0 ( 面+ g ( z ) ) 一( 吼+ g ( z ) ) i i i i 霞一f f h l l l * ( d ；1 ，) + l i a ( x ) 一a ( x ) l l l - ( j ；，) s ， ：+ 1 所以 i i 一t ，1 0 l 。( 以y ) + i i p p h l i l * ( 以) ，砖+ 1 类似证明： ( ) 一u h ( t ) t l z 一( n ) m ，t ( 0 4 6 山东大学硕士学位论文 2 2 控制释放问题的半离散格式及其误差估计 在本节中针对第一章卡提出的控翩释放系统翘题却在未知速发流场审的 控制释放问题，给出其半离散化格式的数值逼近及收敛分析本节主要分为两 小节 2 2 1 半离散格式 我 j 先给穗阍题的弱形式；设配驴，拶为2 ，1 。1 巾所定义的，受l 速度压 力方程等价于求解 u ，p ：j = ( 0 ，2 1 呻v w 满足； la ( 簦，移) b ( 影，矽) = ( v d ，移) 魄；7 0 ， lb ( t ，妒) = o却砒 溶质迁移方程的弱形式即求e ：j 一嚣1 ) 满足t ( 咖矿0 c ，饥) + ( 脚肌，矾h ( c 圳 ( 2 2 1 ) + f ? ( 岛( 矗乏) 一c ) v d s 一0 ，移嚣1 ( q 、 其中就是满足方程( 1 2 3 ) ，控制释放过程中溶质剩余量有积分获得t 蜊牡骗一f z 。7 ( 醐坼) ) - 如圳池 2 ) 阆题的半离敖格式t瓯为q 的披一致正则割分，最大单元直径记为 h 。，m h 昵为z 次分片多项式空间，具有如下逼近性质及逆性质，对2 u 2 + 1 ( 1 2 ) ，x m h 棚i n f 犯一魏十圳z 一瓠 m l l 粕1 叮啦! ， i l x l l w 像，譬1 l l x i f t ，i l x l l , a o 篓足l k l l l x l l 溶质迁移方程的有限元半离散格式为： ( 毋警，? 一( ，v 砌+ ( 脚姆们嘲一舻注2 渤 十，y ( ( a 厶 ) 一1 2 h ) v h d s = 0 ，y h r r l h 其中程再淹速度滚场精确躲髓的有隈元逛近，在本文审其囊上节的混合元方法 获得，其实还可以用特征线等其它方法对速度流场进行数值逼近，只是收敛精 山东大学硕士学位论文 度有所不同，其会影响整个控制释放系统的数值逼近结果与半离散格式相对 应，控制释放过程中溶质剩余量 纭( ) 亦由积分获得t pf a ，c ) = m o 一1 ( c c ( a 疋。( 7 - ) ) 一“( 7 - ，z ) 幽d r ( 2 2 4 ) 初始逼近采用以下定义的椭圆投影： 锄( o ) = 面， 如( o ) = m o 西为初始浓 度( z ) 在有限无空问m l i 上的椭网投影，不失一般性假定c 1 ) ( z ) = 0 假定0 机s 咖( z ) 1 ，并且矩阵d ( u ) 是正定的，即存在常数d 。使得 ( 7 1 d ( u ) ( d 。i ( 1 2 在此假定下，不难验证半离散格式问题解的存在惟性，证明方法可参看文献 【19 】 2 2 2 收敛性分析 为，收敛性分析的需要，定义如f 椭圆投影， o ：t f 0 ，7 一m h 使 ( ( 。( u ) v ( c a ) ，v t h ) 一( t l ( c 一6 ) ，v ) 一z 。7 ( c 一力t f d s ( 2 2 5 ) + ( ( a t o o 一再) ，t h ) = 0 其中a 为足够大的正数以保证双线性形式的椭圆性，事实上，记- a 三( 。( 札) v v ) 一( t z ( v ( ) 一。，y 2d s + ( a 一，z ) ( ( ) 又知。 l ( t ，v f ) i m i l * , l l t 一( 【o ，t i ；l t i n ) i i v f i i l l 1 i m i i f i l 2 + e l i v f l l 2 由迹不等式 ii 黝s | - m 1 1 1 1 1 1 ( 1 1 - i f l l f l l 2 + i i v 1 1 2 因此， as d + i i v 1 1 2 2 e i | v 0 2 + ( 入一，i 一2 u ) l l 1 1 2 墨j i i i l ；， 当a 足够大时成市此处a 是i e 常数 8 山东大学硕士学位论文 为了后面收敛性分析，在此对控制释放问题的精确解 乱，p ，c 做一定的 正则性假设： p l 。( 日+ 1 ) ， 仳l ”( 七+ 1 ( 出 ) ) nl 。( w 己) n 吧( l ) n 2 ( l 2 ) ， c l o o ( h + 1 ) n 日1 ( 日件1 ) n 三”( w 曼) n 日2 ( 己2 ) 并给出下面几个重要的引理 引理2 1 记( = c 一6 ，对椭圆投影，有如下误差估计。 i i ( 1 f + h l i c i il m l k l l , + - 舻1 o 羞o + 圳差l l l m ( 1 | c i | f + - + o 赛+ 1 ) 1 本文中m 为任意常数不同处可取不同值，e 为任意小的整数 引理2 2 设亡由( 2 2 5 ) 定义的，则有t f 1 6 i i l * 舰，l i w l i l * 尬，f i t h l l l 一慨 证明，由有限元空问的逆性质及引理1 知， i i i i l * sc h 1 b s 棚1 ( 0 c 一i | l z + i i c l i l 。) s 啦! i l c l l , + 1 ，1 + c k li l c l i 胪 sm 1 ， 同理可得，l i w l t l 一m 2 ， 引理2 3 设d 为水动力弥散系数，d = d ( u ) = ( d j + d t l u l f - , + d t l u l e 上) d m 为分子扩散系数，d l 和d t 分别为纵向，横向弥散系数， e = ( 静) 。x 。， e 上= i e ，i 为单位矩阵，则 i ( ( d ( u ) 一d ( 让，i ) ) v a ，v f ) fsj i v e l i l 。cj l u 一“ l l l l v q i 证明：由矩阵d 的定义知， d ( u ) 一d ( u l 。) = 移 d _ c ( 1 u l e ( u ) 一i u ，。f e ( 乱，) ) + d t ( 1 u l e 上( “) 一i u , , l e 上( u ，。) ) ) 9 山东大学硕十学位论文 我们暂时假定l u l 和i h l 是非零的，则m e ( u ) 一l u l i e c u ) 的( t j ) 元逐 点满足不等式t i 莆晋f f 莆一而u i u j + i lo q u j - u h , t u h z ) i = i ( 世- - u h ) 川u i i u 乱j 玎+ 南( u t 一u + “吩一u 牡 j ) i i ( m i 札一i ) 1 丽 u i u j l + 瓦1 l u ( 札t 一，t ) j + i 。( 一，j ) | t t - - t t h l 雨1 1 t i i l j i + 丽1 m 1 1 札- u h i + j u i i u - - u h i ) = i t , - u h l ( ，+ 2 器) 把上中的j 1 1 , i 与i 仳 i 互换，有 i 可u h , i u h , j 一u i u j l t - - u h l ( - + 2 酱) 逐点取m i n l u l l l u h l ：f 乜 i m ) 1 ，从而 i 箬一弋u h , i u 丁h , j i 3 1 t 一u “ l 川li ”哪r 当i t i ，i l t h l 中有个为零或者全为零时上面不等式仍然成立，实际上当 i u l 或i u _ l i l = 0 时， 啦= 0 对l u l e 上u ) 一i 札 l e 上( 札 ) 中的元同理可以证得上述结论 因此，再由s c h w a r z 不等式得： i ( ( d ( “) 一d ( u ) ) v a ，v ) i i i w l i l 1 1 一u h l i i i v 0 引理2 4 记( = c 一0 ，对椭圆投影，有如下误差估计； i + h l l g l l t m i i c l l , + 。 ，1 1 1 筹1 1 刊伽 m ( i i c l i f + i i 。圳孰+ 1 ) 定理2 1 假定西( z ) 有正的下界，矩阵d ( u ) 正定，c ( t ) 和c h ( t ) 分别为 方程( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 的解，则有如下误差估计： ，r l j c ( f ) 一( ! h ( t ) 1 1 24 - i l v ( c ( t ) 一c ( ) ) j j 2 ，( 7 + + 笋+ 2 ) ，t t ( 2 2 6 ) j 0 山东大学硕士学位论文 该估计比最佳阶逼近1 氐了半阶特别地，在零阶释放阶段，有如下最优估计 ， 。 i i c ( t ) 一c ( ) 1 1 2 + h i i v ( c ) 一c h ( o ) 1 1 2 f ( | 芋+ 2 + ，l 笋+ 2 ) ，t t o ( 2 2 7 ) 证明：记c c h = ( c 一岙) 十( 一c h ) 兰( + ，然后用方程( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 即有， ( 妒掣，) _ ( t 圮啮们 + ( ? ( u ) v c d ( u h ) v c h ，v ) 一，l ( ? 一c ，) + o 讹( 尥) 飞( 尬 ) ) 州5 _ o r ( c _ 咖“s - 0 m 加，1 0，i o 利用椭圆投影并取t ，= 饥= 得误差方程； ( 器；) + ( 脚棚) 一( 羞+ ( ( t i 咄琏v 卅( t l 心v ) ( 2 2 一( ( ? ( 仳) 一d ( u p ) o ，v ) + a ( ( ，) 十弘代， = ) + 上。记幽一f r 0 7 ( c c ( 耽) q ( ) 刖s 由矩阵d 的正定性，s c h w a r z 不等式，迹不等式，三角不等式，及引理 2 1 ，引理2 2 ，引理2 3 得： 丢( 袄+ 争v 刮2 甏) l 州( t t u h ) 芒，v ) i + i ( u h ：，v o i + i ( ( d ( t ) 一d ( 乱，1 ) ) 己v f ) i + l a ( ( ，f ) i + l p ( ? ) i + i y 2 d s i + i ，y ( c c ( 厶) 一c , ( a g 。) ) f 幽f l l 羞搬忡1 1 。1 1 x l | u u i i i i v l l + i l u l l 一慨l l + i i w ：i i l w | f 一乱 i v | | + 入f | ( 引i + i l l f i l 2 + 7 i j 洲f l + i 7 ( c c ( l 磊) 一(