（计算数学专业论文）各向异性扩散方程在图像处理中的应用.pdf

瀚妥图像处理与分析是信息科学与工程中的一个主要研究领域。图像增强、图像恢簸与图像分割怒处理与分析中的主要问题，也是对图像进行平滑和边缘检测的处联是常用的方法。在图像豹生成，转输与通信豹过稷巾经常会伴巍随壤豹脉冲予耄| | i 和其它豹噪声，这将便鬻像静质量交麓。图像去曝楚图像处理瓣重要环节。传统的图像去噪方法，如g a u s s i a n 滤波、巾值滤波等，生要是将图像的高频成分滤除。由于图像细节如边缘等也分布在高频区域，因此它们总是在对噪声进行滤除瓣弱辩将图像瓣边缘部分援糊了。近年来，随祷偏微分方稷( p d e ) 理论成为图像处理中的一种新溅工具，逐渐引起了人们的关注。其发展缀历了由线性划非线性，以及由各向同性扩散到各向异拨扩数豹过援。本文筠单分缨了一下现器貔基于p d e 静塑像去噪模整，主要研究了p - m 菲线髋扩散模型稻j w e i c k e r t 张鬃扩散模垄，锋对它们备融的优缺点傲了相应的改进，并在m a t l a b 7 0 4 环境下做了仿真模拟。实验结果表明：改进后的方法能有效地改游图像的质黧。关键词：图像增强图像恢复去嗓备向同性扩散各向异性扩散a b s t r a c ti m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y s i si sam a j o rf i e l do fi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n de e i g i n e e r i n g ,w h o s em a i np r o j e c t sa r ei m a g ee n h a n c i n g , i m a g er e s t o r a t i o n ，i m a g es e g m e n t a t i o na n de d g ed e t e c t i o n d u d n gt h ef o r m i n g , t r a n s f e r r i n ga n dm e m o r i z i n go ft h ed i g i t a li m a g e s ，t h ei m a g e sa r eo f t e nc o r r u p t e db yd i f f e r e n tk i n d so fn o i s e sb e a t a u s eo ft h ed e f e c t i o no ft h ei m a g i n gs y s t e m ，t r a n s f e r r i n gm e d i u ma n dm e m o r i z i n ge q u i p m e n t t h e r e f o r e , t h eq u a l i t yo fi m a g eb e c a m ew o r s e i m a g ed e n o i s i n gi sak e yp o i n ti nt h ef i e l d so fi m a g ep r o c e s s i n g , t r a d i t i o n a lm e t h o do fi m a g ed e - n o i s i n gi st of i l t e rh i g hf r e q u e n c yo fi m a g e i ti sw e l lk n o w nt h a ts o m ed e t a i li n f o r m a t i o n ( e d g ee t c ) a r ci n d u d e di nt h ef i e l do fh j i g hf r e q u e n c y , s oe d g ei sb l u r r e dw h i l ed e n o i s i n g ,r e c e n t l y , an e wm e t h o db a s e dp d et h e o r ye m e r g ei nt h ef i e l do fi m a g ep r o c e s s i n ga n da t n a c ta t t e n t i o no fm o r ea n dm o r ep e o p l e t h em e t h o de a m et h r o u g ht h ep r o c e s so fl i n e a rt on o n l i n e a ra n di s o t r o p i cd i f f u s i o nt oa n i s o t r o p i cd i f f u s i o n t h i sp a p e rp r e s e n tl e a d i n gm o d e l ss i m p l y , a n ds t u d yp mn o n l i n e a rd i f f u s i o nm o d e la n dj w e i c k e r t st e n s o rd i f f u s i o nm o d e li nd e t a i l i no r d e rt oa v o i dd i s a d v a n t a g e s ，ib r i n gf o r w a r dan e wm e t h o db a s e dj w e i c k e r t st e n s o rd i f f u s i o nm o d e l r e s u l to fs i m u l a t i o ne x p e r i m e n ts h o w e dt h a tw eg o tab e t t e ri m a g ea f t e rp r o c e s s i n gb yt h em e wm e t h o d k e y w o r d s ：i m a g ee n h a n c i n gi m a g er e s t o r a t i o nd e n o i s i n gi s o t r o p i cd i f f u s i o na n i s o t r o p i cd i f f u s i o n创新性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。本人签名乙么j 生墨靼一日期：竺珥。三二l关于论文使用授权的说明本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工生的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用 文i 作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定)本人签名：座盘垃翩签名：、舡日期：型口z日期：2 盟；三：! 兰第一章绪论第一章绪论本章首先简单介绍了论文的研究背景，以及研究目的和意义，然后给出了偏微分处理图像这一学科的形成、演化和发展，还有国内的一些研究情况，最后介绍了本论文的主要工作及内容安捧。1 1 研究背景及目的据统计，人类约有7 5 的信息是通过视觉系统获取的。粗略地说，图像是二维或三维景物呈现在人心目中的影像。如果接受并加工识别这种视觉信息的是电子计算机，则我们称之为计算机图像处理和识别。简单来说，图像是自然界景物的客观反映，图像处理技术是人类认识世界和改造世界的重要工具。我们所要面对的图像绝大多数是离散化的，并且以数字的形式存储在计算机中，它们称为数字图像。在计算机中对数字图像的处理和操作被称为数字图像处理。近年来，由于计算机技术的迅猛发展，计算机的速度越来越快，图像处理系统的价格日益下降，从而使图像处理得以广泛应用于众多的科学与工程领域，如遥感、工业检测、医学、气象、侦察、通信、智能机器人等。广义上来说，文本、图形、视频等都需要借助图像技术才能充分利用。这些技术正在明显地改变着人们的生产手段和生活方式。传统的生产、管理、教育等，正在向信息化、多样化转变。正因为图像有着如此多的应用，与我们的工作和生活方式息息相关，所以有必要对图像和图像技术进行深入细致的研究。图像平滑技术是图像处理领域中一项基本的，也是很重要的技术，一直是图像处理领域长期的、不可回避的研究课题。因为一幅图像总是可能受到各种噪声源的干扰，包括光电转换过程中的噪声，照片颗粒噪声和信息传输中的误差等。图像的平滑处理可以减小这些噪声，使我们从图像中获得更准确的信息，使图像质量达到符合我们后续处理的要求。图像平滑包含两个方面内容：一是消除噪声，二是增强( 或保护) 图像特征。在实际中这两点也总是结合在一起的，需要在这两者间取得良好的兼顾。对图像恰当( 带有方向性) 地平滑，能使图像特征得到较好保护，使其更加明显，从而提供给我们准确的信息。目前各种常见图像平滑方法很多，各有其特点和效果，但是还不能满足人们对图像平滑效果的更高要求。因此探寻研究新的图像平滑技术十分必要，具有非常重要的意义。基于偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，缩写为p d e ) 的图像平滑技术是目前较新的一种具有白适应性的图像平滑技术。研究基于偏微分方程的图像平滑技术及其应用，目的是能对该项技术全面深入理解，将其应用到我们开发的处理2各向弹性扩散方程在图像处理中的膨用系统中。为消除图像噪声提供秘实用、蠢效的方法。1 2 偏微分方程处璎鬻像的基本介绍在过去的几带中，基于偏微分方程的图像处理技术猩图像分析中成为了一个弓| 越众多磅究砻感兴趣豹磅究潆题。它是褒羧进砖统豹藏颊平滑图像方法上发展起来的。能良好缝兼顾噪声消除和特征保护，对图像分澍、序列图像恢复都有较好的效果，得到了众多研究者的广泛深入研究。近年来，基予偏微分方程的图像处理溅经成为图像领域中的一个羡要分支，有荚懿内容嚣藏成为籀关镶域磷究久员关浚豹一个热煮。这方舔最攀戆工薅霹鼓追溯到n a g a o l l l 、r u d i n l 2 1 等必于图像光滑和图像增强的研究以及k o e n d e r i n k t 3 1 对于图像结构的探索。图像处理和数学的其他分支例如数学形态学( m a t h e m a t i c sm o r p h o l o g y ) 、豳像求平集( 1 e v e ls e t ) 、霆像形状( s h a p e ) 等邈势这令学秘魏形成注入了一定的内容。其中图像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分割( i m a g es e g m e n t a t i o n ) 。图像反殃了真实的世界，也反映了真实毽赛中豹穆俸。图像分害l 瓣瓣静是必了撩这些耪傣致鬻像中分离国来，霹辩得到相应的边界。目前，已经拥肖许多成熟的图像分割方法，其中m u m f o r d - s h a h 模型怒较为常用的方法。这个方法的主要思路是：给定一幅图像g ( x ) ，图像分割的召瓠藏是寻找一个必潺麴图像群& 窝不必渗黪集合量( 愆来筏表边爨) ，侵下瑟豹泛满：e 0 ，k ) = 、。( a l v u ( x 1 2 + 芦0 一g ) 2 皿+ l e n g t h ( k )( 1 1 )最冷，其孛口，芦是参数。这令公式舂菲常深麴豹兹瑗鹜豢：茹一鬈罗这一矮可馥保诚“b ) 与原图像g b ) 保持内容上的基本一致，陬g 1 2 确保了绝大部分区域是光滑的，l e n g t h 懈) 项是为了使图像的边界最简单，这三项的折中保证了图像分割豹效鬃。遴过交势法，我们可娃懿这个泛函极穰阏题( 1 - 1 ) 转化为对偏擞分方程的求解。在转化过程中，研究人员往往会根据不同的应用背景简化式( 1 - 1 ) 溅对式( 1 - 1 )作些变形，因此产生了不嗣的偏微分方稷。例如，o s h e r 和r u d i n t 4 l 用愿等( 1 - 2 )在浆令瓣刻 豹鳃龆，善) 箨为强豫分裁嚣豹络浆。瑟p e r o n a 翔m a l i k t 鄹选择豹方程是第一章绪论3降- d i v ( f 0 d u l ) d u ) 甜l “( o ，工) 。g g )( 1 3 )另外还有中值曲率运动( m e a nc u r v a t u r em o t i o n ) 【6 j 等。g k o e p f l e r , c l o p e z j m m o r e l l 7 】对类似的方法做了一个总结，在理论上对这类方法进行了概括和提升。第二个将偏微分方程引入图像处理领域中的研究方向是图像滤波。作为一个预处理手段，图像滤波几乎成为所有图像处理方法的前奏。早在1 9 8 4 年，k o e n d e r i n k t 3 1 就发现了图像信号经过g a u s s i a n 滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。在许多场合中，图像滤波被作为图像处理的一种预处理手段，它需要满足两个限制条件：对比度不变和仿射不变。而仿射不变性可以被分解为平移不变、旋转不变、欧氏不变、伸缩不变等。满足相关不变性条件的滤波器都有对应的一族偏微分方程，随着不变性限制条件的增强，对应的偏微分方程范围在缩小。最后，满足对比度不变和仿射不变的偏微分方程只有一个，即所谓的a m s s ( a f f m em o r p h o l o g i c a ls c a l es p a c e ) 方程：詹= 脚“n ，妒i n ( o , 善) 一g b )( 1 - 4 )l a l v a r e z ，e g u i c h a r d ，e l l i o n s 和j m m o r e l 8 1 等将整个推导过程进行了巧妙的组织，形成了一个公理体系。参考文献【8 】的发表，被认为是基于偏微分方程的图像处理这一学科形成的一个标志。其中，数学形态学算子也被纳入到整个推导体系当中，因而这类经典的滤波器被赋予了新的含义。基于偏微分方程的图像处理属于底层图像处理的范畴，其处理结果通常被当作中间结果供其他图像处理方法进一步使用。所以基于偏微分方程的图像处理的应用范围几乎覆盖了整个图像处理领域，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处理、彩色图像处理、动态图像分析等。目前，基于偏微分方程的图像处理还衍生出了许多分支，例如动态边界( s n a k e )1 9 1 、基于水平集的图像处理、图像变形( d e f o r m ) 、图像模型的研究等等。其中有些分支所采用的数学已经不完全局限于偏微分方程，有的研究甚至借用了视觉哲学的一些结论。一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，例如法国宇航局已经采用了a m s s 算子作为对航拍图像进行图像增强的标准方法；另一方面，随着本学科的发展，人们在越来越深刻地挖掘图像和图像处理的本质，并试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造，这对于以实用为主的图像处理方法是一种挑战。基于偏微分方程的图像处理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分理论的发展。由于常用的数学模型把图像认为是一个有界变差函数，所4各向肄性扩散方程谯图像处理中的应用以偏微分方程所需要的连续梭假设不能满足。因此，方程的一神弱解一黏性鳞( v i s c o s i t ys o l u t i o n ) 泌l 被弓| 入翻图像整理方法孛。我国的研究人员从2 0 世纪9 0 年代中期开始就关注这个领域的工作，中科院自动化所、北京大学、复旦大学中法应用数学研究所、北京师范大举、南京理工大学等陆续嚣始? 这方瑟豹磅究并获褥了大霪豹骚究残袋( 1 3 霹，麓一1 5 麓) ，还有阕防科技大举理学院院长王芷明教授及其学生在这方面也散了不少的研究( 【3 1 1 - - - 3 5 】) 。1 9 9 9 年，中科院自动化所承办了以c o m p u t e r v i s i o na n d e d e 为主题豹暑理学校，这为基于偏微分方程豹图像处理在全嗣豹接广做出了比较大的贡献。1 3 本文工作及主要内容安排1 3 1 辑究愚臻菇方法通过对现行偏微分方程处理图像模型( 包括p m 模型，e c a t t c 模型和j w e i c k e r t模飘等) 的研究，针对模型各自存在的缺点进行改进，使新模型的处理效果不仅在熊爨僳持方蠹皴到更好，纛凄达裂满意瓣褪觉效累。p m 模型的解不是存在峨的，并置不能消除边缘上的噪声。e c a t t e 改进后的模型解虽然是存在唯一的，但是它对边缘处的噪声依然没有做出肖效的处理。j w c i c k e r t 模型缀好地处理了边缘处的噪声。但是j 。w c i c k e r t 模型主爨蹙针对那种绞鬓信息魄较多蠡孽图像( 翻翔指纹图像 稀提窭静图豫增强模型，辩予一槎含嗓声图像原本平滑的区域会产生条纹效应。禚论文中，我们提出了一个新的模型，使得在有效消除噪声的同时，还要很好地保持边缘等细节特征，并麒没有条纹效瘦，在憝量擐持_ 穰巍爱效莱上帮能霉到令入灌意熬结鬃。舞选择一臻院较典型静图像m a t l a b 7 0 4 环境下进行仿羹实验，通凳调整各个参数值使其达到鬣佳效果。1 3 2 内容结构发捧全文共势六豢。第一章主要阐述本文的研究背景以及本文的主要工作和内容安排。第二章主要介绍图像处理的基本知识及数学模型，还包括了图像噪声的分类和潮豫处理质量约评徐指标。第三章是为了后面的研究提供一些偏徽分去嗓模型的基本知识，麓目前常餍的一魑p d e 去噪模型，分析熟各自的优缺点，对扩散方向和扩散系数的选择给出遵循的法则，最藤还提到p d e 模型处理图像的优点以及将要嚣临的秽8 战。第四章锌黠j 。w c i c k c r t 张爨扩散模鼙巾斑现的“条纹效应”，提滋了两耱改遵方法。第五章叙述了各向异性扩散的理论基础。第二章图像处理基本知识及数学模型5第二章图像处理基本知识及数学模型本章主要介绍图像的一些基本知识，首先从两个不同的侧面对图像进行分类：第一种把图像分为灰度图像和彩色图像；第二种把图像分为静态图像和动态图像。另外，我们将介绍静态图像的连续数学模型和离散数学模型。在广泛应用的计算机图像处理领域，我们通常所指的图像就是基于离散模型的数字图像。最后简单介绍一下图像噪声及图像质量评价指标。2 1 图像基本知识2 1 1 图像概述简单来说，图像是自然界景物的客观反映，图像处理技术是人类认识世界和改造世界的重要工具。图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作用于人眼并进而产生知觉的实体。具体来说，人的视觉系统就是一个观测系统，通过它得到的图像就是客观景物在人眼中形成的影像。图像信息不仅包含光通量分布，而且还包含人类视觉的主观感受。人类社会己经进入了信息时代，对信息的获取、加工、传输等构成了现代社会的基础工作。科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有7 5 来自视觉系统，也就是从各种图像中获得的。今天，计算机和网络技术得到了空前的发展，我们所面对的图像绝大多数是离散化的，并且以数字的形式存储在计算机中，它们被称为数字图像。在计算机中对数字图像的处理和操作被称为数字图像处理。现在普遍采用的i m a g e ( 或者d i 醇a li m a g e ) 代表离散化了的数字图像。伴随着计算机速度、大规模存储容量、网络和通信速度的飞速提高和显示系统的逐步成熟，数字图像处理己经发展成为一门重要的学科。2 1 2 图像分类这里，我们只讨论按照颜色类型和运动类型的图像分类。第一，按颜色类型分，图像可以分为灰度图像和彩色图像，它们也就是通常所说的黑白照片和彩色照片，其主要区别是灰度图像仅仅使用了颜色空间中比较特殊的一类颜色，但包含了丰富的亮度层次；而彩色图像则使用了颜色空间中的大量颜色，包含了亮度、颜色饱和度、颜色对比度等信息。第二，按运动类型分，图像被分为动态图像和静态图像。简单地说，静态图像就是照片，动态图像就是电影。这里特别需要指出，动态图像是一种特殊的图像，又称为视频图像、活动图像或者运动图像，它是一组静态图像在时间轴上的有序排列。6各向异性扩散方程在图像处理中的应用综合起来，可以对图像作以下的划分：表2 1 基于颜色类型和活动类型的图像分类彩色灰度静态静态彩色图像静态灰度图像动态动态彩色图像动态灰度图像简单地，我们可以把一幅黑白照片认为是静态灰度图像，一幅彩色照片认为是静态彩色图像；而一部黑白的电影就是动态灰度图像，一部彩色的电影是动态彩色图像。2 2 静态灰度图像的数学模型在表2 1 所列出的图像分类中，静态灰度图像是最简单的一类图像，同时也是研究和学习图像处理中最基本的一类图像。在接下来的内容中，我们介绍静态灰度图像的数学模型，包括连续模型和离散模型。这些内容是学习图像处理的最基本的知识，必须熟练掌握。其中，建立图像的连续模型主要是因为理论研究的需要。建立图像的离散模型是出于实际应用的考虑，这是因为数字图像处理的最终实现要通过计算机对其存储的数据( 图像数据) 进行相应的计算来完成。实际上，我们可以把数字图像( 图像的离散模型) 看作是由图像的连续模型经离散化后得到的。2 2 1 静态灰度图像的连续模型一般来说，一幅静态灰度图像是一个定义在矩形区域内的反映现实景物的灰度变化的组合，其中显示图像内容的那个区域被称为图像的支撑集( s u p p o r t ) 。以图2 1 为例，假设图像的支撑集为q c r 2 ，如图2 1 ( a ) 所示，图像“的物理模型是定义在q 上的一个映射，即“：x e q _ v( 2 - 1 )其中，值域矿是所有灰度值的集合，如图2 1 ( b ) 所示，它包含了所有从最暗( 纯黑) 到最亮( 纯白) 的灰度。一幅图像对应了一个具体的映射规n u ，例如图2 1( c ) 所示的图像就是依据一个具体的映射规则得到的，依据不同的映射规则会得到不同的图像。下面需要把物理模型转化为数学模型，这就需要合适地表示y ，这样式( 2 1 )中的“就可以被认为是一个函数而加以研究。于是，需要建立一个矿和【o a l 之间所有实数的映射：在图2 1 ( b ) 中，亮度最低的纯黑色对应于o ；亮度最高的纯白色对应于1 ；其它的灰度根据亮度的不同而均匀地对应于【o j 】之间的某个实数，这是一个一一映射。借助于以下的关系第二章图像处理基本知识及数学模型7h ：x e q y i 吡】建立了图像的函数模型，即h ：毒q _ 【o , 1 1这个模型被称为灰度图像的连续模型。( a ) 图像的支撑集( b ) 图像的值域y ：灰度值( 2 - 2 )( 2 - 3 )( c ) 图像( d ) 随机图像图2 1 图像的连续模型对于图像的连续模型，我们作以下几点说明：( 1 ) 在一般的情况下，图像的支撑集合q 都取为矩形。这是为了和我们通常意义下的照片相对应。同时，在目前的计算机中存储的数字图像也都是以矩形为支撑集的。矩形支撑集保证了连续模型和离散模型在支撑集上的一致性。( 2 ) 图像的支撑集合q 通常被嵌入到某个坐标系尺2 之中。单纯地看一看图像，它和坐标系的选择没有实质的联系。但是在某些情况下，将支撑集放置在某个固定的坐标系中可以使表述比较简单。例如，图像的几何变化( 平移、旋转等) ，借助于坐标变换就可以得到简洁的表述。此外，还会涉及几幅图像之间的一些运算，如切割、拼接、变形等。其中不同的图像可能会有不同大小、不同位置的支撑集，把这些不同图像的支撑集放在同一个坐标系中在数学上更容易表达和处理。( 3 ) 从集合的观点观察所有具有( 2 3 ) 形式的图像，不同的图像有不同大小、不同位置的支撑集q ，很难用统一的数学模型来表示。因此，我们需要对图像的连续模型做一个拓展，用统一的形式表示所有的图像组成的图像空间，通常有以下两种方法来实现。第一种方法：对图像以及它的支撑集合q 而言，我们并不关心工甓q 时“& ) 的8各向异性扩散方程在图像处理中的应用值，因而可以把图像的连续模型扩充为u ：x e r 2 一f o , 1 u 一( 2 4 )其中，如果点x 在q 内，取值为对应的灰度值，也就是【o ，1 】之间的某个实数；如果工岳q ，那么“0 ) 一* 。事实上，这里一m 只是一个记号，用来表示我们并不关心的取值。这个模型存在一个比较大的缺陷，即图像( 善) 在图像的边缘a q 处不连续。所以，在图像处理的过程中，边界往往需要作特殊处理。第二种方法：针对第一种方法的缺陷，我们用反射和周期延拓的方法对图像模型进行扩展。令图像支撑集q 在如图2 1 ( a ) 所示坐标系中，原点在q 的左下角，记q 的边长为q ，、q ，则q 一# - z l ，z 2 ) 1 0 2 1 互q ，0 墨z 1s q y 。第一步，将q 分别沿着x 轴和y 轴作反射，即定义扩展后的图像疗为盯g ) 一0 1 ，z 2 )o z l q ，o s z 2s q r比1孙,-zd2)u(-。0 兰冀0 s = 耋：s ，z l ，z 2 )s z ls q x ，s z 2 q ，( 一z l ，一z 2 )o 一z 1s q ，0 s ：2 q ，图2 2 是一个从u 扩展到盯的示意图。( a ) 图像h( b ) 扩展后的图像厅图2 2 图像的延拓第二步，将图像疗周期化到整个r 2 平面上，即孑( z ) = 疗g ，z ：) 一疗k ，一n q ，z ：一历q ，j( 2 6 )如果b 一1 硷，s z 。j “+ 1 妞，m 一1 硷，z ：( 卅+ 1 硷，。无论是第一种方法还是第二种方法，我们都把图像空间扩展为满足以下形式的函数的集合u ：x r 2 m( 2 7 )其中m 为 0 , 1 1 或者 o , 1 1 u - 。 。我们把具有式( 2 7 ) 形式的函数空间记为f ，它表示了由所有图像组成的一个集合。( 4 ) 在实际应用中，图像是用来反映一定的场景和内容的，并不是所有( 2 7 )形式的函数都包含在函数空间f 中，如图2 1 ( d ) 是由一个随机数产生的“沙土图第二章图像处理基本知识及数学模型9像”，它不是具体某个物体和场景的反映，在图像处理研究的领域中，不把它列入图像空间中。实际上，在图像的定义中，我们还要加上一些连续性条件：要求图像函数“几乎处处光滑( 或者u 几乎处处是c 2 ，c 3 ) 的，即iif 一蕾i j 口c q ，m e a s ( b ) 一o , v x b ，k ) c “( 2 - 8 )这说明了在图像支撑集的绝大部分区域上，函数u 具有良好的光滑性。通过观察具体的图像，我们可以发现图像函数在所体现的物体的内部具有较好的连续性，而在物体与物体的边界上，图像函数往往不具有连续性。也正是因为在物体的边界上有了灰度的巨大差别，才使我们能够识别出图像内容中所包含的物体。在连续模型中，物体占据了q 中的二维区域，所以物体与物体的边界是一维曲线，用零测度集口来表示物体的边界是非常自然的。2 2 2 静态灰度图像的离散模型：数字图像计算机只能接受和处理离散数据，一幅图像必须要在空间和灰度上都离散化才能被计算机处理，这种离散化了的图像就是数字图像，相应的过程称为图像的数字化。其中空间坐标的离散化称为空间采样，而灰度的离散化称为灰度量化。( a ) 原图像( b ) 原图像局部放大图2 3 图像的离散模型空间采样就是把图像支撑集合q 离散化为一些按行和列整齐排列的小方块。如图2 3 ( b ) 所示，当我们把图像的局部放大，就比较容易发现这些小方块，它们被称为像素( p i x e l ) ，在同一图像中，像素的大小是相等的。如果q 被离散化为行和h 列，那么整个图像包含了大小相等的w x h 个像素。在本文中，我们假定最左下角的那个像素坐标记为o o ) ，那么图像中每个像素都有一个离散的整数坐标( 毛，而) ，0 s x ls w ，0 量x ，量h ，在离散的图像中，每个像素被赋予一个唯一的灰度值，记为“( 毛，石：) 。图2 4 就体现了这样的一个离散化过程。经过这样的离散化过程，我们就可以用一个矩阵来表示w x h 的数字图像。h k ，工：) -“戮u0豢1葛1u(0,0u ( 0 , 1u ( 0h11)】“札o )“也h 一) i)，一) i1 0备向辫性扩散方程谯图像处理中的艘用翔2 4 离数纯囊孽承意鹜怎样计算在镣个像素的获度值“。，) 嘴? 通过前面的叙述，可以知道每个像素都对应了图像支撑集合q 中的一个小方块，记作r k ，并：】，最简单的量化方案就是令摊k ，毪) 等于连续模型中的霖k ，并：】区域中的灰度傻的平均，即梯x ，x 2 ) 5 厶k 。 u ( y ) d y( 2 9 )所谓的分辨率，就是指离散后图像支黛( 依然记作q ) 中像素的个数w 日。对予嗣捶大，j 、的造续图像，空翔采样螽的分辨率越高，鞠像内容就刻溺褥越细致。在计算褥至镣个像素的欢度值螽，接下来需要对获波值“诧，南终量纯，在霹前的通用标准中，灰度被离散化为2 5 6 个等级，它们是熬数0 , 1 , 2 ，2 5 5 ，最黑的映射到o ，最白的映射到2 5 5 ，中间的灰度被均匀地划分。熬个离散灰度值的集合记兔| 毽毛2 ，2 5 5 | 袋蠹g 。或誊瀵，律一个默鬻2 1 这里是原始图像，c b 0 且是非增函数。c ) 称为扩散系数，与图像梯度成爱魄。p e r o n a 和m a l i k 在其模型中给出了两个这样的扩散系数：c 0 ) 一e - ( s k r 和1c ( s ) - 百。其中常数i ( 为阈值) 可以预先设定，也可以随着图像每次迭代1 + 1 5 k ) 熬绥鬃交证瑟改变，宅纛臻声戆方差寿关。由c ( ) 的性质可得方程( 3 1 ) 在图像梯媵较大的地方，扩散较小；在图像梯度较小的地方，扩散较大。这样就可以在滤除噪声的同时程一定程度上保持边界。毽怒n m 模型的警潺效果较蓑，容易出瑷鼷像集块或阶梯现象( 也删“块效应”) ，边缘僳持的效聚墩不理您，丽艇无法滤除边莽上的噪声( 在边界处黪扩散几乎为零) ，故图像的失真度较大。集块现象的形成很大程度上是由方程慰= 酚的这个本质所决定，假如图像的灰发瓣数蹩平嚣豹话，瑟圈豫谯每一点戆欲爱与冀器点静荻度呈线搜荚系，剩其在镣一点的二阶鼯数为零。这种二阶的偏微分方程将在图像的支集为无限的时候向平阿图像演变并最终定格予平面图像。对于有限支集的图像，为了避免边界失真，邋鬻要焉到对称边爨条 譬，帮令围豫镬其边界两边黠称撼取胡麓瓣僮。这徉为了满足边界的零梯度条件，翻像将向东警面演化。但方程被设计为在光滑区域演化得快，而在梯度较大的地方演变得慢，因此，在经过一段时问的演变之后，图像将看上去像娃：l 不同强度德的水平区域缀成，这些不翮区域的界限w 毖正好是透舞，毽毽有霹熊在大懿巍涝送壤或瓣区域孛。方程( 3 - 3 ) 对应的能量泛函为：e o ) 一知，( 3 4 )这蘩满是，g 莛繇受菲减函数，蠢( 3 - 4 ) 霹秘看爨v u 一9 楚( 3 - 4 ) 瓣全搿最零蘧解，可以证明分段水平面图像是( 3 4 ) 的一个全局极小解。因此集块现象导致计算机视觉处理系统很可能把本来是同一块光滑区域的不同段的交界处看成是图像戆边赛。基予髭，y o uy u - l i 霹k a v e hm 。提瑰了霆黢猿徽分方程。第三章偏微分方程去噪的发展现状1 73 1 3y o uy u - i a 和k a v e hm 的四阶偏微分方程在用p m 模型平滑图像过程中有时会出现“块效应”，即图像处理后某些区域内灰度相同。y o u y u l i 和k a v e h m 【”i 于2 0 0 0 年提出如下的四阶偏微分方程罢_ v 2 ：“扣气】( 3 _ 5 )此方程是基于下面的能量泛函：仁) 一f f q v 2 h 啦q( 3 6 )其欧拉方程为：v 2 l c i v 府2 “1 0( 3 7 )其中c ) 和，) 满足的条件与p - m 模型一致。显然，一个平面( 当然包括斜平面) 图像即强度函数满足平面方程的图像，其强度函数的拉普拉斯算子为零，满足方程( 3 - 7 ) 。因此一个平面图像是e u l e r 方程( 3 7 ) 的不动点。此外，( 3 6 ) 与( 3 4 ) 的不同之处在于( 3 6 ) 中以拉普拉斯算子代替( 3 4 ) 中的梯度算子。可以看出平面图像是( 3 6 ) 的全局最小解，说明如下：由于，0 v 2 f j 是非负的，所以能量泛函e 0 ) 满足：e 0 ) 之0 。既然，v 2 u i ) 是l v 2 u i 的增函数，所以它的全局最小值点在l v 2 “l - o 。相应地，e 缸) 的全局最小点为：l v 2 “l - 0 对所有的b ，_ ) ，) q一个平面图像显然满足上式，因此是能量泛函的全局最小值点。可以证明在满足，) 是凹函数时，即满足：，。g ) o 对所有的s 苫0 。平面图像是( 3 6 ) 的唯一一个全局最小值解，因为能量泛函e ( u ) 在此条件下也是凹函数，因此方程( 3 5 ) 的演化是一个图像变得越来越平滑的过程，直至变为平面图像。而，( ) 不是凹函数时，即：存在或对于所有的s ，当5 0 时，有，”b ) t 0 ，这时能量泛函e ( u ) 就可能不是凹的。这样就有可能存在别的局部或全局最小解，可以证明分段平面图像就是一个极小值解。用这个方程给图像去噪能得到效果比前面模型更加好的图像，其最大的优点在于用分段斜面( 对于平面曲线是分段斜线) 来近似边界，从而消除了二阶非线性扩散方程所造成的阶梯现象，可以得到与原始图像更加逼近的复原图像。但是，在滤除本来是平滑区域的噪声时，会造成不平整的现象，同时对于s a l t & p e p p e r ( 椒盐) 噪声，方程( 3 5 ) 没有任何的去除能力；若要除去s a l t & p e p p e r ( 椒盐) 噪声还需要对处理过了的图像进行中值滤波。1 8各向弹性扩散方程谯图像处理中的艨用3 1 4a l v a r e z , l i o t t s 和m o r e l 模型1 9 9 2 年，a l v a r e z ，l i o n s 帮m o r e l t ”1 根据瞬像灰度等德线的蓝率建藏了一个“纯粹”的各向异性扩散模型： 掣捌瞩叫洛8 ，i “0 ，o ) - - u 0 0 )其中躏数c ( ，) 的意义同上。这个模型可解释如下：( 1 ) e 审s ：| f | 这壤是矮亲羧涮扩毅速度。壤据函数f 9 豹往凌，当| 窜蠢| 在菜熹戆某个邻域内有比较小的平均估计时，则该点被认为是个光滑区域内的点或噪声点，因而扩散也强；反之，则认为该点是个边缘点，而扩散则减小( 2 ) 设野是撵度方向豹单垃囱量，善是正交予簟方淘的肇位淘量，则强耋一蹿坐标下，m 口( 罱卜瑚炯崤峨刚弘( 尚) 这项使扩散仅在正交于梯度的方向亭上发嫩，这使得边缘能得到很好的保持。这个模型熬绫点是在瑟缘滤羝搽凄焘纛实行不必簧豹荤方薅扩数，麸瑟洚低了扩散的速度，不能快速地对图像进行去嗓。3 1 sf c a t t e 模趔1 9 9 2 年，e c a t t e l l 4 1 对p m 模鳌送行了羧逐，改进螽瓣摸鳖为：j 詈一v ( c 帆州( 3 - 9 )| 群& 国) 。u 0 其中。g o g ，- 去e x p f 一言1 是g a u s s i a n i 函，d 为滤波尺度，是原始图像，c ) 满足的条件跟p m 模型一致。在p - m 模黧中，翻蘑像素煮静梯度大小秘梯度阂德来决定是否对该点送行j 扩散。如果该点的梯度大于阙值，那么在迭代过程中其幅值随着迭代次数的增加而增强，达到锐化边缘的作用；如果梯度的幅值太小，那么在迭代过稷中信号的不乎壤将被平滢簿。我钢酝遴鬟豫戆边缘是掰像孛撵度毽魄较大豹像索，但是莠不能找到噪声与图像边缘的精确梯度分界线，事实上这的分界线也是不存在的( 理论上有些噪声具肖无限大的梯度) 。e c a t t e 采用的办法最先对噪声图像进行预处理平滑，降低噪声点豹梯度，丽较强的荻度阶跃却被傈髯丁下来，这样褥运用p - m模黧遗行滤波就麓达到较好懿效采。方程鞠瓣汔较可靠，关于噪声楚稳定懿。但是，它同样存在着缺点，如高斯核o r 的选择就是一个困难。这怒因为：盯的第三章偏微分方程去嗓的发展现状! !大小将影螭高簸滤波对图像平滑豹程度，太小的盯将导致扩散避程是病态鸵，太大豹巧又褥模糊图豫瓣特征。勇矫，问f - m 模型一样，e c a a e 模整对予边缘姓耱噪声也是无能为力。3 。1 6 林蕊算子1 9 9 9 馨，北京大学的林宙辰与褥青云提出了辩e c a t t e 模型的改进形式，我们称之为林石算予l ”h 叫詹一v 陋狂1 2 + 缸x 2 + 瓴 b ( 3 韵)i “缸，o ) a h o其中，掌一g 临 。林积簿予的提出怒为了改善f c a t t e 模型中尖峰被肖平的情况。蓄先，我餐分接一下矜m 冀子及e c a n e 葵子不戆繇黎缨蔫透缘秘囊实感豹豢溺，是因为它们不能保持尖峰状边缘和窄边缘。以一维信号为例，从阕3 1 中可以糟到；尖峰被削平、宽度增大。虽然边缘的锐度增大，实际上对比度却下降了。因此导致处理爱豹图像细小( 或缨长) 的区域内部灰度一致，甚至酒失在周围的火区域之中。林螽算子就是舒对去嗓以及保持尖峰状边缘和窄边缘设计的，藏辩j 纛保留了以上两个算子的优点。銎3 1 菜售孽( 寝线) 与瑗p - m 冀子娃理矮瓣舞段( 实线由予在尖处l l v , 0 0 ，因此扩散系数最大，尖峰自然就会很快被摧毁。为了保持尖峰，就应该设法使该处的扩散系数变得较小。注意到尖峰处二阶导数往往是局邦投馕，薅在零交叉点( a ut0 ，一除导数敬缀燕，靼边器) 处，二玲馨羧较小，因此谯9 0 ) 中把对x 的贡献改为 i v 1 1 2 + “三+ “蠢，考虑到一、二阶导数估计的准确性，对图像进行磨光一下也是很有必要的。由于营b ) 0 ，敌( 3 一1 0 ) 生成的尺度空间不会产生新的极镶点1 1 4 l 。但是仿照文献1 6 1 1 的分析可知，由( 3 9 ) 和( 3 - 1 0 )生残静足魔空麓在梯度较大懿遗方帮窍可缝产生纛缓透缘。当然，在离散豹情况下，这些可能产生的虚假边缘在视觉上不容易被察觉到。为了比较两个模型的处理效果，我们给出一个侧子( 图3 2 ) ，从左至右依次为2 0各向异性扩散方程猩图像处理中的威用噪声翻、e c a t t e 模型处理图和林石算子处理圈，从据沿、头发等细节w 以发现，林石算子对于边缘浆徐护有穰大豹改善。鹫3 2e c a t t e 模型与椿石算子鞋：较3 1 7 张量型扩激方程模型编微分方程去嗓攘型狳了瘳线经自菲线蝗发曩、低除囊毫玲发聂终，还经历了矢量型扩散向张量型扩散的发展。1 9 9 6 举，j w e i c k e r t 在其博士毕渡论文中眈较完黢地介绍了张艇型扩散方程的模型1 “) “1 删i ：f a - v ( d v u )f 2 x ( o ，) “蠡，o ) = ，q( 3 1 1 )i ( d v “，栉) - 0r x ( o ，)其中，q 表示图像区域，边界r 置a q ，图像用映射，r ( q ) 来表示，埠表示羚法线方蠢，0 表示欧蔻娶德蠹襁，p 为个扩鼗戆黪。张量型扩散能根据边缘惫向确定沿边缘方向和垂赢边缘方向的扩散速度以实现沿边缘方向去噪，从而达到边缘增强的豳的，克服了非线性扩散方程对边缘噪声燹掰终为的缺点。但是对那些蔹噪声污染豹平坦区域褥言，会产生一些虚瑕条纹，获而大大影晌了图像豹质量。本文后蕊将给出解决这个问题的礴稃方法，并给出模型的详细介绍。3 。1 8 复扩教与魏囊- 蓐两扩教除了上述的几种发展过耩以外，偏微分方程去噪模裂还经历了由实扩散向复扩散的发展以及由单一型正向扩散方程向前向后向混合趔扩散方程的发展。2 0 0 1 年，g i l b o a g ，z e e v i y y 和s o e h e n n a 。给出了其有下面形式熟复扩散模型嘲：詈t = d i v ( c v u ) u c x , o ) = 拄。)c c( 3 1 2 )能在获得去噪后图像的同时，通谶其虚部获得第三章偏微分方程去噪的发展现状2 1图3 3 复扩散在不同尺度下得到的实部和虚部图像。上边是实部图像，下边是虚部图像( 边缘)始图像、模糊化的图像、f a b 扩散后的图像2 0 0 2 年，g i l b o a g ，z c e v i yy 和s o c h e n n 八又给出了下面的前向后向扩散( f a b ) 模型【”1 ：詹砒2 b 胡 l “0 ，o ) g o g )其中：f 1 一b 七，户0 s s s k -，ic g ) 。 口缸一七。) 珊】z m 一1 )七。一暑s 主七。+ 矗，( 3 1 4 )1 0其它它的特点是在平坦区域扩散系数取正值以抑制噪声，而在边缘区域取负值以各向辫性扩散方程谯嘲像处理中的膨用锐化边缘，因瓣不但可以抑划图像中存在的噪声，还可以提高边缘的清晰度( 见黼3 。4 ) 。3 2 扩散方向及系数的选择彗先癸辑一下带噪声图像巾不阉缘素杰熬不同特点，文献1 3 7 】孛攒蹬，在荣有嗓黟的数字图豫中，扶保持边缘去噪的角度来看，可以分为3 神点；噪声点、边缘点、平坦点。一幅图像可以糟成是一个二元函数，在每个点的任何方向上都有方向谗数，方向导数以反映图像灰度在该方向上的变化。在实践中，般用梯度方翔秘与梯度方鹈垂壹豹秘线方自来裁凄一令焘豹毪痿。在乎缝熹戆，淘豫获度的变化平稳，在梯度方向和切线方向的变化程度都比较小；噪声点一般为孤立点，所以在各个方向上的变化都比较大；边缘点在梯度方向上的变化剧烈，而在切线方翔上豹交纯平稳。边缘点怒褒恢复孛要像挎数点，爨以要尽量摄持健这些点鹣性质。这里给出理想图像平滑的两个原则，对于扩散恢复处理模型体现为：1 ) 平滑速度。在具有图像特征豹位鬟土扩散速度应该降低，丽农没有明显特缎( 灰度值变讫乎缓) 鹩逸方扩散速度疲浚增热：2 ) 平滑方窝。程穿过图像将鬣的方彝上苓应该进行扩散，磷则将使得特征模糊化，而在沿图像特征的方向上可进行扩散。为了控制扩敞方程在图像中每一点的扩散行为，扩散系数矩阵的设计具有关键魏熬幸# 薅。设爨爨郄坐蠡辘上弱窝z 分裂戈錾豫豹梯疫方囱( 帮获度等篷轮廓线的法方向，如图3 5 所示) 茅梯度的垂齑方向，即；斋和r ；娑辱，则