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对间断系数特征值问题的超收敛解法 o 1中文摘要 特征值问题的计算方法是科学计算基本论题之一。在科学研究， 工程技术，经济管理等方面有广泛的应用。在本论文中，我们对具 有间断系数的特征值问题，创造性地结合谱方法和有限元方法的思 想，得到本文的重点一一g 谱方法，其模拟间断的能力相当强，达 到超几何收敛。我们对这一结论进行了严密地论证，数值结果肯定 了这一理论分析。 国际上有关本课题最新的研究是由m s m i n 和d g o t t l i e b 【1 8 提 出的a 谱方法，需要重新构造基函数，推导过程相当复杂。相比之 下，g 谱方法构造非常简单，直接使用传统的谱方法基函数，仍然 能够达到超几何收敛。我们认为岛谱方法在实际应用中优于g 谱 方法。 本文主要结果如下： ( 1 ) 对间断特征值问题q 1 ，q 2 求出其精确特征值与特征函数。 ( 2 ) 对于d i r e c h l e t 边界条件的间断系数特征值问题q 1 使用通 常的l o b a t t o g a u s s 基函数，巧妙地构造q 谱方法，这种构造比a 谱 方法更加简单，而且不丧失精度。在理论上能够证明这一方法具有 更好的超几何收敛阶。本文对这一方法的推导过程进行了详细地介 绍，并给出了离散矩阵的具体形式，建立了准确的误差界，并对数值 例子进行结果分析。 ( 3 ) 对周期边界条件的间断系数特征值问题q 2 应用f o u r i e r g a l e r k i n 方法。理论分析指出，特征值收敛速度达到立方阶，而特征 函数收敛速度达到2 5 阶。数值例子表明了这一理论分析是准确的。 相比之下g 谱方法更加精确有效。 关键词：间断系数，特征值，g 谱方法，f o u r i e r g a l e r k i n 方法，超 几何收敛阶 - f p 、 0 2a b s t r a c t u t h ec a l c u l a t i o no fe i g e n v a l u ep r o b l e mi so n eo ft h eb a s i ct o p i c so fs c i e n t i f i c c o m p u t i n g i th a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si ns c i e n c e ，e n g i n e e r i n g ，e c o n o m y , a n dm a n a g e m e n t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e re i g e n v a l u ep r o b l e m sw i t h d i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t s w ec o m b i n es p e c t r a la n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s t oc o n s t r u c tac os p e c t r a le l e m e n tm e t h o d t h em e t h o dh a ss t r o n ga b i l i t yt o s i m u l a t et h ee i g e n v a l u ep r o b l e mw i t hd i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t s i th a ss u p e r g e o m e t r i cc o n v e r g e n c er a t e w ep r o v i d ear i g o r o u sp r o o fo ft h i sf a c t a n do u r n u m e r i c a lt e s t ss u p p o r tt h et h e o r e t i c a lr e s u l t + t h i s s u b j e c ti sr e c e n t l ys t u d i e db ym s m i n a n dd g o t t l i e b 1 8 1 t h e y r e c o n s t r u c t e db a s ef u n c t i o nf o rt h ec 1s p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ，w h i c hr e s u l t s i nac o m p l e xp r o c e s s i nc o n t r a s t ，c o n s t r u c t i o nf o ro u rc os p e c t r a le l e m e n t m e t h o di sm u c hs i m p l e r a sam a t t e ro ff a c t ，c o n v e n t i o n a ls p e c t r a lb a s i s f u n c t i o n sc a nb eu s e dd i r e c t l y , a n ds t i l lm a i n t a i n i n gg e o m e t r i cc o n v e r g e n c e r a t e t h e r e f o r e ，t h ec os p e c t r a le l e m e n tm e t h o dh a sa d v a n t a g ei np r a c t i c e o v e rt h egs p e c t r a le l e m e n tm e t h o d m a i nr e s u l t so ft h i st h e s i si n c l u d e ： ( 1 ) f o rd i s c o n t i n u o u se i g e n v a l u e e i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n s p r o b l e m sq 1a n dq 2 ，w ef i n da l le x a c t ( 2 ) f o rt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mq 1w i t h d i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t sa n d t h ed i r e c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，w eu s et h et r a d i t i o n a ll o b a t t o g a u s sb a s i s f u n c t i o n st oc o n s t r u c tac os p e c t r a le l e m e n tm e t h o d t h i sc o n s t r u c t i o ni s m u c hs i m p l e rt h a nt h ec 1b a s i sf u n c t i o n sw i t h o u ts a c r i f i c i n gt h ea c c u r a c y i n a d d i t i o n ，w ea r ea b l et op r o v eas u p e r g e o m e t r i cc o n v e r g e n c e w eg i v ed e t a i l e d a n a l y s i so fo u rm e t h o d ，d e r i v e de x p l i c i tf o r mo ft h ed i s c r e t em a t r i x ，e s t a b l i s h t h eo p t i m a le r r o rb o u n d s ，a n dp r e s e n tn u m e r i c a le x a m p l e s ( 3 ) f o rt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mq 2 w i t hd i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t sa n dt h e p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n ，w es t u d yt h ef o u r i e r g a l e r k i nm e t h o d t h e o r e t i c a la n a l y s i sh a ss h o w nt h a tt h er a t eo fc o n v e r g e n c eo ft h i sm e t h o di so fo r d e r 3f o rt h ee i g e n v a l u e sa n d2 5f o rt h ee i g e n f u n c t i o n s t h e s er a t e sa r ec o n f i r m e d 对间断系数特征值问题的超收敛解法 i i i b yn u m e r i c a lt e s t s a sac o m p a r i s o n ，t h ec os p e c t r a le l e m e n tm e t h o di sm u c h m o r ea c c u r a t ea n de m c i e n t k e yw o r d s ：d i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t s ，e i g e n v a l u e ，c os p e c t r a le l e m e n t m e t h o d ，f o u r i e r g a l e r k i nm e t h o d ，s u p e r g e o m e t r i cc o n v e r g e n c e q 1 ， - 对间断系数特征值问题的超收敛解法 第一章引言及综述 特征值问题计算方法是计算数学基本论题之一，由于弹性振动、 圆柱和壳体的屈曲、核反应堆的多组扩散、电磁学和光学以及经济 管理等大量应用领域均需要求解特征值问题，因此对这个问题深入 的研究，对在数值计算过程中有效地提高精度有着重要的意义。 在具有周期结构的绝缘体序列中的电磁波的传播问题中，我们能 将统治电磁波领域的麦克斯韦方程转化为特征值问题。在非线性光 学中，当考虑不同的媒介时，系数仅仅分片光滑，精度丧失。对应于 具有周期结构序列的绝缘函数可以表示为一个周期性分片常函数。 早在1 8 8 7 年r a y l e i g h 首次研究了电磁波在周期绝缘媒介中的传播， 他证实了存在一个狭窄频率的间隙阻止光线传播通过一维的周期孪 生面这一事实。一百多年以后，具有全方面禁止的频率的间隙在二 维和三维中考虑，随后导致了有关于电磁波在光纤中传播在制造、 理论以及应用等的许多方面的发展 1 4 1 ，m 【1 5 ， 2 3 。对于多种周期性 绝缘结构，完成频率间隙计算已经成为首要的工具。 大多数数值研究的焦点放在了精确预测禁止的特征频率，运用 在频率区域解麦克斯韦方程的方法m 1 7 ， 1 6 。然而，数值分析 方面缺乏，并且高阶理论仍然还没有应用到这种问题上来。 我们将研究下面这类带有间断系数的特征值问题： q 1 求解a 和饥属于瑶( o ，1 ) ，满足 一“= 入e ( z ) 让 同时满足d i r e c h l e t 边界条件让( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 ，这里的系数函数满足 ，、f 1 ， 在区间( 0 ， ) ； 弋叫 lu 2 ，在区间( ；，1 ) ，u 1 j 在文章 1 8 】中，同样考虑了一个带有分片常系数但是周期区间不 同的特征值问题： q 2 求解a 和乱属于雕( 一丌，丌) ( 这里的p 代表周期性) ，满足 一u = 入e ( z ) u 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 同时满足周期性边界条件乱( 一丌) = u ( 丌) ，让7 ( 一丌) = 札，( 丌) ，这里的系数函 数满足 e c z ，= ，襄墓高 i ：，2 1 在文章【1 8 】中，m i n 和g o t t l i e b 根据系数函数的不连续性分离区 域，分离子区域使得不连续的系数函数在各自的子区域变得光滑，同 时对这一特征问题定义了多区域的变量形式。文中使用的是l e g e n d r e g a l e r k i n 方法以及l e g e n d r e c o l l o c a t i o n 方法、c h e b y s h e v c o l l o c a t i o n 方法、l e g e n d r e c o l l o c a t i o np e n a l t y 方法、c h e b y s h e v c o l l o c a t i o np e n a l t y 方法定义离散的多区域变量形式。对于l e g e n d r e g a l e r k i n 方法的特 征解的谱收敛速度已经得到了证明。对其中的收敛分析运用的是最 小最大原则。这一文章为国际上有关本课题的最新进展，这里构造 的g 的谱方法，需要重新构造基函数，分片连续且导数也连续，结 构相当复杂。 在文章 1 9 中，w i l h e l mh e i n r i c h s 对带有间断系数和d i r i c h l e t 边 界条件的二阶特征值问题进行研究。文中运用c h e b y s h e v 谱方法逼近 特征值与特征函数。这一方法相对于l e g e n d r e 谱方法来说，优点是 可以应用快速傅立叶变换。其中对于g a l e r k i n 方法与t a u 方法计算 特征值能达到3 阶精度，而特征函数能达到2 5 阶精度。对于配点方 法却只有一阶精度，但是通过对不连续系数的预处理以后，也可以 达到同样的精度。 本课题着重介绍应用g 谱方法逼近具有间断特征函数的特征值 问题，这类问题在电磁学和光学中有着广泛的应用。理论上讲我们 首次证明对于具有分片解析特征函数的特征值问题所提出的谱方法 达到了超几何收敛性。在我们的研究中构造了精度更高，形式上却 更为简单的岛谱方法，巧妙运用通常的谱方法的基函数即可解决问 题，在理论上能够证明这一方法具有更好的超几何收敛阶。我们认 为本论文提出的函谱方法优于a 谱方法。而对周期边界条件的间 断系数特征值问题? 2 应用f o u r i e r g a l e r k i n 方法，通过理论分析 出特征值收敛速度达到立方阶，而特征函数收敛速度达到2 5 阶。数 值例子肯定了理论分析，但其精度远不及岛谱方法。 对间断系数特征值问题的超收敛解法 本文安排如下： 第一章首先对本课题的理论背景、研究意义、基本问题以及在国 际上对此问题的一些重要的研究、最新进展进行了阐述。 一些预备知识放在了第二章，重点介绍了q l 的精确解的计算以 及一些定理和引理； 在第三章中，对于d i r e c h l e t 边界条件的问题q l ，对g 谱方法的 构造进行了详细地介绍，同时本论文的结果进行理论分析证明，并 做误差分析； 在第四章中，对周期边界条件的间断系数特征值问题q 2 计算精 确解，用p a r s e v a l 等式，对结果进行分析，同时对f o u r i e r g a l e r k i n 方法进行构造，通过数值例子进行验证； 文章第五章则是一些归纳性评价。 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 第二章预备知识 帚一早 以亩大u 嵌 2 1q 1 的精确解 首先我们对间断系数特征值问题q 1 计算其精确解： q l 求解入和u 属于础( o ，1 ) ，满足 一u = a e ( z ) u( 2 1 ) 同时满足d i r e c h l e t 边界条件乱( o ) = o ，乱( 1 ) = 0 ，这里的系数函数为 e c z ，= ，囊墓高 堇：蕃u ， 这里系数函数在z = 芎1 存在一个跳跃，其中不同的系数由机械材 料的不同的性质或者在热传导中材料的不同的传导性决定，为了方 便起见，本文所取的系数为u = 2 。 在( 0 ，；) 区间；我们求解这一微分方程+ a u = 0 。其对应的特 征方程为 天2 + a ：0 求得相应的特征根为天= 土施i ， 所以在( 0 ，虿1 ) 区间，通解及其导数可以表示为： l t i = gc o s ( 俪z ) + gs i n ( 何z ) 礼i = 一c 1v 锄- s i n ( v 侨z ) + q 扼7 rc o s ( 、锄z ) 同样在( ；，1 ) 区间，求解方程u ，7 + 4 a u = 0 ，对应的特征根为天= - k 2 v - 五i ，通解和导数表示为： u 2 = 岛c o s ( 2 v - 砑x ) + c 4s i n ( 2 v 伍t r x ) u ：= 一2 g 施7 rs i n ( 2 、儡z ) + 2 q 、c o s ( 2 何7 r z ) 翌! 里断系数特征值问题的超收敛解法 5 。一一： 这里用d i r e c h l e t 边界条件u l ( o ) = o ，u 2 ( 1 ) ：0 代入，我们可以得到： c 1 = 0 ，c 3 = 一a t a n ( 2 x _ 7 r ) 然后由函数的连续性 州扣以扣( 三) 叫( 妻) 可以计算并化简得到 j c 2s i n ( 孚) = c 4 【一t a n ( 2 讧7 r ) c o s ( 俪) + s i n ( 俪) 【c 2c o s ( 孚) = 2 c 4 t a n ( 2 讧丌) s i n ( 讧丌) + c 0 8 ( 舡7 r ) 】 两式相除得到 2 t a n ( 2 以丌) t a n ( 舡丌) + 2 t a n ( 华) = 一t a n ( 2 v - a 丌) + t a n ( 舡丌) 令y = t a n ( 孚) ，由三角函数倍角公式我们可以得到： 可( 可6 3 y 2 2 ) = 0 求实数解，因此可由下式确定一组特征值 t a n ( 半) ：o ，士讵 可以推出 压= 2 k ， k = 1 ，2 州3 一，o r 何：2 尼一2a r _ c t a nv 侄，七：1 ，2 ，3 ，。r 7 r 以= 2 七十2 a r c 了t a n v 侄，k = 0 , 1 , 2 , - - - 对应的特征值为入= a t 2 ，因此，我们可以取最小的七求得前5 个准确的特征值： a 1 = a 2 = a 3 2 a 4 = a 5 = r 2a r c t a nv 互) 2 3 6 5 0 5 1 9 3 6 3 4 5 9 4 ( 2 7 r 一2a r c t a n 讵) 2 1 9 1 1 9 2 1 1 6 1 2 9 9 9 2 ( 2 7 r ) 2 3 9 4 7 8 4 1 7 6 0 4 3 5 7 4 ( 2 7 r + 2a r c t a n 以) 2 6 7 1 3 8 6 6 2 3 2 2 6 3 4 5 ( 4 7 r 一2a r c t a n 讵) 2 1 1 3 5 4 4 7 3 9 0 7 1 2 5 4 6 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 进一步我们计算特征函数，当讧= 2 k ：t ：2 a r c t a - nx 2 ，危= 0 ，1 ，2 ，时， 由 可以推出 c 2s i n ( 孚) = 讣t a n ( 2 俪) c o s ( 俪) + s i n ( 以硎 仍= 1 ，特征函数峰高降低， 而峰间距更小更接近了，峰的数目也更多了。这一点与e = 1 但是a 增大的理论结果类似。 我们再来看看最小的特征值对应的特征函数的一阶导数以及二 阶导数的图像： 图2 - 2 对“( 1 ) 的一阶导数 图2 - 3 对乱( 1 ) 的二阶导数 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 从图中可以明显看出，对于这个特征函数一阶导数是连续的， 但是二阶导数间断，对于其他特征值也有类似的结果。因此本文想 到可以用谱方法与有限元方法相结合的方式，在因间断自然分开的 两个单元分别用谱方法逼近，而对间断点则在整个区间用一个整体 基函数来处理，这样做结合了谱方法以及有限元方法的优点不但确 保了精度，收敛速度还相当地快。由此得到了本文的重点一g 谱方 法，将在下一章详细介绍。 2 2记号和变量形式 对于( 2 1 ) ，我们百先定义 n ( ，u ) = j | ：o 1 u t ( z ) u 7 ( z ) d z ， ( 札，u ) = 1u ( z ) u ( z ) e ( z ) d z 由此问题( 2 1 ) 可写为如下弱形式 4 】：寻求a ，乱明( o ，1 ) ，使 o ( 钆，v ) = a ( 乱， ) 对任意v 矾( o ，1 ) 成立。 2 3特征值问题的几个重要定理 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 对特征值问题的逼近，r a y l e i g h ，p o i n c a r e ，c o u r a n t 和f i s c h e r 等发 现的下列r a y l e i g h 商和最小最大原理具有根本性作用。 定义2 1 ( r a y l e i g h 商)称 脚) = 错( u 0 ) ( 2 5 ) 为 的r a y l e i g h 商。 对间断系数特征值问题的超收敛解法 9 定理2 1 ( 最小最大原理) 令a z 为( 1 1 ) 的特征值，s t 为明( o ，1 ) 的任意f 维子空间，因此对于入。入2 a2 ，有 a f = m i n i n a x r ( u ) s t e 础( o ，1 ) v e s t 一 定理2 2 ( 最小原理) 入l a 七 卿r ( ) = r ( u ) ，、m i n r ( u ) = r ( 札凫) ， k = 2 ，3 ， u u n ( ，1 正 ) - - - - 0 ，i = l ，k - 1 、。、。 引理2 1 使入。按升序排列，定义 = s p a n u i ，一，札j ) 这里钍；是特征值九对应的特征函数，所以有 a j = m a x 。 e k a ，= m i n u e 1 m 8 ( 秽，u ) ( v ，v ) a ( v ，v ) ( v ，u ) k 2 l m ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 第三章g 谱方法技巧及误差估计 谱方法最值得赞赏的性质在于它的谱精确，几何或者指数的收 敛阶。这一显著的特性在文章【5 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，2 4 】中都有很好的 研究。本课题应用的岛谱方法用普通基函数逼近具有间断特征函数 的特征值问题，这类问题在电磁学和光学中有着广泛的应用。 3 1q 谱方法技巧 在区间 一1 ，1 】上正交的l e g e n d r e 多项式为 圳_ 1 ，圳= 丽1 掣，2 一 这里厶为尼次的l e g e n d r e 多项式，且l 七( 1 ) = 1 ，定义 咖+ 1 ( z ) = l k ( t ) d t ， 七= 1 ，2 ， 由文 2 满足以下( 性质1 ) ： ( 3 1 ) ( 3 2 ) m + - ( z ) = 互石三f t ( l 七十- ( z ) 一l m 二( z ) ) = 丽( x 2 - 1 1 ) 磁z ) = 一l ，n i ，：l 后( 七+ ) 尸肌叫 这里咖k 的零点被称为七次的g a u s s l o b a t t o 点。而l e g e n d r e 多项式 有较好的正交性( 性质2 ) f x l i l j d x = 0 , 2 万，警 现在需要来定义逼近的有限维子空间： 先定义一个连续且分片线性的全局基函数 酢卜n = 2 x , 饧，嚣碧 3 ， 对间断系数特征值问题的超收敛解法 1 j 用p n ：s p o 札 l ( ) ，卜l ，1 】) 表示最大次数为n 的l e n g e n d r e 多 项式空间。定义m 型多项式 4 】， ( ) ：v 丽+ lf ，圳d z ，k = 1 , 2 , - - ( 3 4 ) 定义局部变量z 一和z + 为 z 一= 去( + 1 ) ， n n d z + = 去( + 3 ) 这里【- l ，1 】，对( 3 4 ) 坐标变换nk i ；- j ( o ，；) 得可以到局部基 函数帆x 一) ；变换到区间( ；，1 ) 可以得到局部基函数饥( z + ) 。 因此现在可以定义一个2 p 一1 维的逼近子空间一- 为： p 一1 = s p a n o k a n dna n d 讥 对于问题( 2 1 ) 的弱形式：a ( u ，u ) = a ( u ，u ) ，在这一逼近子空间寻找 牡p k p 一。c 嘲( o ，1 ) ，对于任意v p 一t 满足 a ( u p ，j u p ) = 入( t p ，u p ) 更具体写为 zu ：) ( z ) 嵋( z ) d z = a p 上u p ( z ) 唧( z ) e ( z ) d z ( 3 5 ) 将让p p 一- 写为基函数展开形式 p p ：f 叫一+ t o p n + w # k - 1 妒 l i pl t p p - k + 2 w p + k k ( 3 6 ) 2 2 一叫一 + p + 2 一 k 【文bj k = 2 k = 2 取v p = 妒，n ，饥代入( 3 5 ) ，可以得到如下形式： k = ( k 茎塞n 妒k 薹n 兰n 豢k n 妒，) m = ( 戛妻蕃强麓) 1 2 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 其中 田p = ( 叫，叫z 叫p 一。脚叫p + 。唧+ 。训。p 一。) 7 k 妒= ( 垆：，蟛) 】( p - 1 ) ( 州) k 妒妒= ( 妒：，蟛) ( p 1 ) ( p 一1 ) ， 妒= ( 暖，谚) ( 州) ( 州) ， 曲 k 。n k 曲n k n 妒 k n n 而质量矩阵中 i ，j = p ，p 1 - 2 fi ：p ，p 1 2 tj ：2 ，3 p 小= 2 ，3 p 【j = p ，p l 2 呓) 】( p 一1 ) ( p 一1 ) ， t ，j = 2 ，3 p ，) 】( p 一1 ) 1 ，i = p ，p 1 2 ，) 1 ( p 一1 ) 地 i = 2 ，3 p ，k n 中= k o n 1 妒= ( 妒t ，) 】( p 一1 ) ( p 一1 ) ， n = ( 蛾，奶) 1 ( p 1 ) ( p 1 ) ， 妒 蛳妒 m 【。n m e n m n 妒 m n n i ，j = p ，p 一1 2 fi = p ，p 一1 2 tj ：2 ，3 p 砒叫蜘叫，惟裟k ( 妒i ，奶) 】( p 一1 ) 加一1 ) ， i ，j = 2 ，3 p 【( 妒i ，) 】( p 一1 ) 1 ， i = p ，p 一1 2 ( 慨) 】( p 一1 ) 1 ， i = 2 ，3 p m o nm n 妒：m o n ( ，) 计算刚度矩阵k 先由l e g e n d r e 多项式很好的正交性质( 2 ) 得到 ( = 1 1 1 蜓= 。仁丁2 i - 1 j 11 ( f ) 蜓= 1 j 一 二 ( 钙) = 0 ， i j 暖“0 懈懈懈州 对间断系数特征值问题的超收敛解法 - 1 3 通过变化积分区间等计算得到k 中对角线上的元素为 ( 妒：，l p ：) ： 2 妒：( z 一) 妒：( z 一) d z = 4 残( ) p ：( ) d = 4 同理得到 ( 砂：，妒：) = 饯( z + ) 矽：( z + ) d x = 4 i ，； ( 7 ，) = z 。12 2 d z + 1 ( 一2 ) ( 一2 ) d z = 4 从理论上说明k 中除了对角线以外的其他元素都为0 。 ( 妒：，蟛) = 0 ( 妒：，蟛) = 0 ( 垆：，妒；) = 0 ( 妒：，n 7 ) = 0 ( 妒：，n 7 ) = 0 所以刚度矩阵k 为4 木，。 计算质量矩阵m 先由性质( 1 ) ，( 2 ) 得到： 1 1 ( 驴t ，9 t ) = p t p 嫩 。= 志厶圳- l i - 2 腿 = 志煳+ 蜓 1 ， 22 、 2 2 丽( 万万+ 瓦巧) = 面i 丽再酉 ( 晰+ 2 ) = 溉z 蜓 = 而南而南眦) “瑚z “水) k! 五曩两云再厕一l 。“。、“。一。、川。“。+ 。、7 “n 、川” ：一了焉亍集焉焉厂1l ；( f ) 蜓 3 一万葛司面丽上。k 州 12 = 一 辑晒= 硕研2 i + 1 ( 觑，白) = 0 ，i j ，j 士2 1 2 i + 1 - 1 4 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 通过变换积分区间得到m 中的元素： ( 妒；，妒。) = ：。1 妒；妒i d z = 三，：9 ；p i d = 互露i 南 ( + 2 ) = 知1 删z = 丢小p ( 妒t ，妒t ) = ，1 4 咄咄d x = l ， 三厶 c 哦，毗+ 。，= f l4 砂i 矽i + 2 d x = 4 - 4j _ i 同理可得 ( ，n ) = ( 妒2 ，n ) = z 5 ( 2 z ) 2 d z + 么1 4 ( 2 2 z ) 2 d z = 石5 5 妒。( z 一) ( z 一) d z = ( 妒。，) = z 5 妒。( z 一) ( z 一) d z = ( 妒2 ，n ) = ( 妒3 ，n ) = 遗 遗 4 姒酬虻厶砌卜等 4 纵删如= 纵涨赋= 一鲁 1 2 i + 1 ) l 2 i + 1 理论说明m 中除了以上主对角线以及第三对角线上的元素之 外，其他元素都为0 。 ( 忱，t 丹) = 0 ， ( 妒i ，n ) = 0 ， ( 妒t ，奶) = 0 ( 哦，奶) = 0 ( 咄，n ) = 0 i j ，j 士2 i ，j 2 ，3 孽磊 碡研嫦 缝丝受圳 一 一 i i = 苍 焉 d 艘 ni，hy 瘪 ，itk m 、i、， 莓，、，k 2 3 妒 妒 ，7一2，。，一2 最后得到的右端矩阵m 是一个五对角矩阵。 m = 其中 a p 0 8 p 一2 0 q p 一1 8 p 一2 0 一逝 1 2 0 0 1 1 0 瓶 2 4 0 q 一硒高汪2 ，3 ，p 岛2 砺百赢去丽j 卅，3 ) ，p q 通过以上推导，不论是矩阵还是m 矩阵都计算简便，且形式 都相当简单，便于上机编程计算，这正是得益于构造的巧妙。现在可 以求得( 3 7 ) 的数值解，并且可以获得逼近的第2 ( 52 p 一1 ) 个特征值 婶，以及对应的向量。这里求得的向量是第2 ( 2 p 一1 ) 个特征 函数按照p 一，空间基函数展开的系数。 3 2对数值结果的分析 前面用分析的方法已经计算了前5 个特征值九，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ， 通过对婶一九的误差作图分析，我们发现对每一个a t 的逼近随着p 增大到一定的数值其误差很快达到双精度的机器零。我们把误差稳 定减小到双精度的机器零的这样一个p 的范围称为对每个a 。的有效 范围。在表3 _ l 中我们列出了对前5 个精确a ；的逼近的p 的有效范 围。 咖。锄 o 0 等o。卧 0近6；0， 一 逝啪15号百墨。近。叠； 嘈0 等等 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 0 a tp 的有效范围 1 3 6 5 0 5 1 9 3 6 3 4 5 9 43 8 2 1 9 1 1 9 2 1 1 6 1 2 9 9 9 25 一1 0 33 9 4 7 8 4 1 7 6 0 4 3 5 7 46r v1 3 46 7 1 3 8 6 6 2 3 2 2 6 3 4 59 1 4 511 3 5 4 4 7 3 9 0 7 1 2 5 41 1 1 6 表3 1 在表3 - 2 中我们列出了对于前五个特征值随p 的增大，所求智一a z 的相对误差，数值结果显示随p 的增大，误差显著减小。 九p 碍 必 o r d e r 沁 33 6 5 2 0 5 9 1 9 1 4 3 8 9 44 2 1 8 l e - 42 1 6 1 1 43 6 5 0 5 3 1 0 7 5 6 3 7 6 73 2 0 8 4 e 一62 1 2 7 7 a l = 3 6 5 0 5 1 9 3 6 3 4 5 9 453 6 5 0 5 1 9 5 8 0 0 0 9 9 95 9 3 2 0 e - 8 1 9 4 6 9 63 6 5 0 5 1 9 3 6 4 1 6 4 6 41 9 3 1 9 e 一1 01 9 7 0 6 73 6 5 0 5 1 9 3 6 3 4 6 6 0 01 8 0 7 2 e 一1 21 8 8 8 83 6 5 0 5 1 9 3 6 3 4 5 9 4 12 4 4 2 5 e 一1 5 1 9 2 9 7 31 9 8 0 6 3 4 0 7 0 5 7 6 2 63 5 9 3 9 e - 20 9 2 4 9 4 41 9 1 5 0 2 2 5 5 7 3 3 4 1 31 6 2 2 1 e 一31 0 8 0 5 51 9 1 2 2 3 2 5 2 8 8 5 2 5 l1 6 2 8 6 e 一41 0 2 0 5 6 1 9 11 9 2 6 9 7 6 3 9 5 6 6 3 0 4 1 5 e 一6 1 1 1 9 2 a 2 = 1 9 1 1 9 2 1 1 6 1 2 9 9 9 2 71 9 1 1 9 2 1 4 5 0 4 8 5 4 41 5 1 2 5 e _ 71 0 9 6 6 81 9 1 1 9 2 1 1 6 4 1 8 1 1 91 5 0 7 0 e 一91 1 6 5 91 9 1 1 9 2 1 1 6 1 3 8 5 8 44 4 9 4 1 e 一1 11 1 5 2 4 1 01 9 1 1 9 2 1 1 6 1 3 0 0 4 62 8 0 6 6 e 1 31 2 0 2 9 1 11 9 1 1 9 2 1 1 6 1 2 9 9 9 49 1 0 3 8 e 1 51 1 7 6 6 对间断系数特征值问题的超收敛解法 1 7 _ _ _ _ _ _ - i l _ l _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - - _ _ _ 一i _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - 一 a l p 碍 必 o r d e r a 53 9 4 9 0 2 5 6 6 4 6 2 2 1 l2 9 9 8 9 e 一40 9 4 9 1 63 9 4 8 9 9 6 5 2 8 7 0 9 0 5 2 9 2 5 1 e - 4 0 7 1 6 8 8 73 9 4 7 8 4 4 5 5 6 7 1 4 4 87 0 8 3 1 e - 70 9 8 8 7 6 a 3 = 3 9 4 7 8 4 1 7 6 0 4 3 5 7 4 83 9 4 7 8 4 4 5 4 9 9 3 5 5 27 0 6 5 9 e - 7 0 8 1 2 3 93 9 4 7 8 4 1 _ 7 6 2 8 1 5 3 56 0 2 7 6 e - 1 01 0 2 6 8 1 03 9 4 7 8 4 1 7 6 2 8 1 4 8 2 6 0 2 6 3 e 1 00 8 8 3 6 2 1 13 9 4 7 8 4 1 7 6 0 4 3 6 6 52 3 0 0 4 e 1 31 0 5 9 1 1 2 3 9 4 7 8 4 1 7 6 0 4 3 6 6 5 2 2 9 1 5 e 1 30 9 3 8 2 8 1 33 9 4 7 8 4 1 7 6 0 4 3 5 7 42 2 2 0 4 e - 1 61 0 4 0 4 76 7 1 6 7 4 4 9 7 6 8 4 4 5 4 4 2 8 7 8 e - 40 5 4 1 4 7 86 7 1 3 9 8 5 8 6 7 9 7 2 0 41 7 8 1 9 e - 50 6 2 7 1 8 96 7 1 3 8 7 9 0 7 6 6 0 3 8 21 9 1 3 1 e - 60 6 3 6 8 4 a 4 = 6 7 1 3 8 6 6 2 3 2 2 6 3 4 5 i 06 7 1 3 8 6 6 5 4 4 1 5 2 7 3 4 6 4 5 4 e 一80 7 0 2 7 8 1 16 7 1 3 8 6 6 2 5 4 3 5 8 5 13 2 9 1 0 e 一90 7 1 0 8 6 1 26 7 1 3 8 6 6 2 3 2 6 1 9 3 1 5 3 0 0 4 争1 l0 7 6 2 7 8 1 36 7 1 3 8 6 6 2 3 2 2 8 1 3 82 6 7 1 2 e - 1 2 0 7 6 9 2 1 46 7 1 3 8 6 6 2 3 2 2 6 3 6 63 1 0 8 6 e 一1 40 8 1 1 0 7 1 56 7 1 3 8 6 6 2 3 2 2 6 3 4 8 4 4 4 0 9 e - 1 50 7 8 4 6 81 1 3 6 1 2 8 0 3 1 0 4 6 3 25 9 9 4 5 e - 40 4 2 5 5 4 911 3 5 5 7 5 4 5 3 6 5 9 9 2 1 1 2 7 9 e 40 4 3 9 6 6 1 011 3 5 4 5 3 2 7 2 5 3 3 8 85 1 8 0 2 争60 5 0 6 5 7 1 l11 3 5 4 4 8 1 0 7 7 1 7 8 86 3 1 4 7 e - 70 5 1 9 5 4 a 5 = 1 1 3 5 4 4 7 3 9 0 7 1 2 5 4 1 211 3 5 4 4 7 4 11 7 2 5 2 81 8 5 0 6 e - 80 5 7 4 0 1 1 3 11 3 5 4 4 7 3 9 2 5 2 1 9 71 5 9 3 6 e - 90 5 8 4 7 2 1 41 1 3 5 4 4 7 3 9 0 7 4 9 6 83 2 7 1 4 e - 1 1 0 6 2 9 6 1 51 1 3 5 4 4 7 3 9 0 7 1 4 9 3 2 1 0 2 1 e - 1 20 6 3 8 3 6 1 61 1 3 5 4 4 7 3 9 0 7 1 2 5 83 3 9 7 3 e - 1 4 0 6 7 4 7 7 1 71 1 3 5 4 4 7 3 9 0 7 1 2 5 4 3 5 5 2 7 争1 50 6 6 7 2 3 表3 2 其中o r d e r 是误差的指数收敛阶e r r o r = e - a p ( b g p ) 中的盯，用盯= l o 刊g e r 昭r o p r 求得。从表中观察发现这里对前几个特征值a t 的逼近相当快， 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 对第五个特征值仅仅取了3 3 个基就达到双精度的机器零。这里的 o r d e r 并不是一个常数，说明误差不仅仅是e r r o r = e - 口p ( k g p ) ，根据我 们的估计，误差应该还带有一个小扰动7 ，使得e r r o r = e - 矿p ( 1 0 9 p 一训。所 以接下来，我们从图形上看看绝对误差婶一a z 与e r r o r = e - a p ( 1 0 9 p 一7 ) 的关系。 图3 1 对入l 误差的逼近 图3 - 2 对a 2 误差的逼近 图3 3 对a 3 误差的逼近图3 4 对h 误差的逼近 对间断系数特征值问题的超收敛解法 图3 5 对a 5 误差的逼近 图中，带有木以及o 的曲线为在各点的相对误差的连线。光滑曲 线则是其逼近。这里对a l 取e 。9 2 p l o g p 作为逼近，对a 2 取1 0 e - 1 5 5 p ( 1 0 9 p - 0 5 ) 作为逼近，对a 3 取e -