（计算数学专业论文）双曲qk空间.pdf

提要 1 9 9 8 年伍鹏程在文章瑶o ni i l c r e a s 咄c t i o 璐，b l o c h 劬c t i o n s 蚰dn o m 胡f u n c t i o n s 中研究了b f d c 函数和n d r m 口f 函数的判别准则时引入了个增函数，2 0 0 1 年伍鹏程和乌兰哈斯在此文的基础上于文c h a r a c t e r 让赋i o 璐o fq 七印a u c 笛中提出 了q 七空间的概念至今钒仍然是复函数几何理论研究的热点，有很多问题尚未解 决r a u l 嬲k 眦i ，p l 印p 蛐，m e s 酣n ，伍鹏程、乌兰哈斯，肖杰、赵如汉等在仉上 得到了很多成果 在本文中，我们将双曲导数与q 七空间相结合，得到一个新的函数空间，它在处 理有界解析函数时起着很大的作用在引言部分我们先介绍了函数空间的发展历史 和双曲函数空间的概念及其发展，第一章我们系统的讨论了双曲q k 空间的基本性 质，有趣的是我们得到了双曲q k 空间与饥空间之间的一个关系，同时还讨论了双 曲饥空间与其它双曲函数空间的关系在第二章我们用c 甜z e s 饥测度刻画了双曲 q 七空间的性质在第三章中我们讨论了双曲q k 空间上的复合算子理论，推广了伍 鹏程和乌兰哈斯的结果，得到了个双曲q k 空间上复合算子与q 七空间上复合算子 的等价关系 关键词：双曲钒空间、c n r f e s o 扎测度，双曲a b f d c i i 空间、双曲d 洲c 胁 空间、双曲q 空间、钒空间、q b f d 饥空间、有界复合算子 中图分类号：0 1 7 4 a b s t r a c t p w - us t u d yt h ec r i t e r i o no fn o m a la n db l o c hf i m c t i o n sw i 乞han o n d e c r e 嬲洫g f u n c t i o ni i lt h ep a p e rd ni n c 7 毹7 l g ，h n c 挽d n s ，b z d c ，i m c 坑d n sn n dn d n 7 l 口l 知n c 托o n s i n1 9 9 8 ，o nt h eb a s i co ft h i sp 印e r ，p w ua n dh w u l 蚰f 0 咖“l y 毗r o d u c et h ed e 缸i t i o n o fq s p a c e si nt h e i rp 印e rc y 谊m c t e n 抛挽d 傩o ，钒印口c e s b yn o wq ks p 8 c 铝a l s d a t t r 8 c t sa1 0 to fa t t e n t i o 璐o fm 锄yp e 叩l e a tt h es 鲫t 衄旧t h e r ei sal o to f 眦l s o l v e d p r o b l e 瑚喝i i lt h i sf i e l d r a u k i s k a r i ，p l a p p a n ， ，e s e 色n ，p 、 ，u ，h 、- u l a n ，j x i a da n d r z h 觚d8 0o nh a eo b t a i n e da n m 】曲e ro fr 髑u o n 饥印a u c 铕 i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c ean e wf u n c t i o ns p a c eb yi i 】_ t r o d u c eh y p 毁b o l i c i e r i 僻 t i v et 0q 七s p a c 销i tp l a y 锄i m p o r t a n tr o l ei i lc o p i i l g 诵t hb o u n d e d 鲫耐y t i cf l m c - t i o n s w ef i r s ts t a t et l l eh i i ；t o r yo ff m l c t i o ns p a c e 蛐dt h 融lg i v es o m ed t 蛆n i t i o i l so f 1 l y p e r b 0 1 i cf u n c t b l l si nt 1 1 ei l l t r o d u c t i o t lp a r t i nt h ei i r s td l 印乞e rw ei n v 皤t i g a 托s o l n e b 嬲i cp r o p e r t yo fh y p e l b o l i cq 女s p 8 c 箦，i ti si l l t e r 篑t e dt h a tw eg e tar e l a t i o n s h i pb 争 t w e e i l1 1 y p e r b o l i cq ks p 锱锄dq ks p a c 锱，w e 毛l s os t u d yt i l er e k 此i o n s h i pb e t 恍l i h y p e r b o l i cq ks p 8 j c e s n do t h e rh y p e r b o l i ct y p es p a c 岱b yt h ec o r c e s o nm e a s u r ew e s t u d yt h eh y p e r b o l i cq s p a u c 签i i lt h es e c o n dc h a p 协i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d y t h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r sm h y p e r b o h cq 七s p a c 豁，o u rr 髑u b 咖dt h er e s l l l t so f p w ua n dh w u l a na n do b t a i l lae q u i v a l e l l tr e 址i o n s h i pb e t w e 匝c o m p o s i t i o no p e r a 舾r si i li 帅e r b o h cq 七s p a u c 铅a n dq is p a u c e s k e y w o r d s h y p e r b o k 吼s p a u c e 、c 口r 把s 伽m 凹s 1 1 r e ，h y p e r b o l i c 口一男z d 如 s p a u c e ，h y p e r b o l i c 历r i c ，l 把fs p a c e 、h y p e r b o l i cq ps p a c e 、q i s p a c e 、q b 2 d 如 s p a c e ，b o u n d e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r 8 d o c u m e n tc o d e 0 1 7 4 未经本论文作者的书面授权，依法收存和保管本论文书面版 本、电子版本的任何单位和个人，均不得对本论文的全部或部分 内容进行任何形式的复制、修改、发行、出租、改编等有碍作者 著作权的商业性使用( 但纯学术性使用不在此限) 否则，应承担 侵权的法律责任。 贵州师范大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担 学位做作者繇彦破 抄，月加日 贵州师范大学硕士学位论文使用授权声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 和汇编学位论文 论文作者签 月 日 引言 复变函数空间理论的研究有悠久的历史，得到了丰富而优美的结果下面简要 介绍下其发展历史。 1 9 3 0 年一1 9 7 0 年间，n 7 匆空间中的解析函数构成了b 明a c h 空间中最经典 的类，是诸如复分析、傅立叶分析、调和分析以及泛函分析等领域中最基础的研究 对象，同时也为分析领域的发展提供了十分重要的工具1 9 7 0 年d l l 咖出版了专著 日p 空间理论，该专著收录了日a r 匆空间的相关理论和其在相关领域的应用，对 日盯咖空间的发展做了系统总结 1 9 7 0 年一1 9 9 0 年间，对b c d c 7 l 空间和具有很强应用价值的b m 0 l a 空间的 研究1 9 7 4 年，j m a n d e n s o n ，j c l u n i c 和c p o i 砌e r e n k e 发表了题为o 虹b l o c h f l l n c t i o n sa n dn o r m a lf u i l c t i i l s 的论文，该文对b z d c 空问的研究具有重要意义，该 文阐述了有关b f o c 函数的很多性质，为以后的b f d c 空间研究指明了方向，b m o a 空间又称有界平均振动解析函数空间，它是在研究偏微分方程和物理振动方程中出 现的，它的很多重要成果都具有很强的应用价值 1 9 9 3 年在香港举行的国际复分析会议上，芬兰数学家r a u l 瞄l 龇i 和美国数学 家p l a p p 鲫在文章程c r i t 甜h 五d r 觚粕批i cf i l i l c t i o nt 0b eb l o c h 锄da h a r m o n i c o rm e m l o r p h i cf n l l c t i o nt ob en o m a l l 中首先提出了锦空间的概念，多年来q p 空间引起很多数学家的兴趣且得到了很多经典和漂亮的结果1 9 9 6 年赵如汉提出了 f 0 ，q ，5 ) 空间1 9 9 8 年伍鹏程在文章o ni i l c r e 笛吨f i m c t i 0 璐，b l o c hf l m c t i o n sa n d n o r m a lf l m c t i o i l s 中研究了b 2 0 c 函数和n d t _ m n 2 函数的判别准则时引入了个增函 数，2 0 0 1 年伍鹏程和乌兰哈斯在此文的基础上于文c h a r a c t e r i z a t i o n so fq i8 p a c e s 中提出了钒空间的概念至今q k 空间仍然是复函数几何理论研究的热点，有很多 问题尚未解决r a u l 8 s k 盯i ，p l a p p 锄，m e 5 酣n ，伍鹏程、乌兰哈斯、肖杰、赵如汉 等在q t 空间上得到了很多成果作为一个有力的工具，q 空间刻画了其他函数空 间中很多经典的结果这使得复函数空间理论研究的范围进一步扩大，所获得的结 果更加广泛，这无论对该方向的发展还是对一些相关领域的研究都有很大的推动作 用 本文欲进行双曲函数空间的研究我们知道，对一般的解析函数，我们考虑一般 导数就足够了而对于亚纯函数，为了处理极点问题，我们用球面导数代替一般导 数但是当我们考虑有界解析函数时，发现一般导数越来越不满足需要。于是我们考 虑用双曲导数来代替一般导数，这样将双曲导数与经典函数空间相结合就得到了一 系列新的函数空间 1 9 7 9 年s n a s h i t a 在文章h y p e r b o l i ch a r d yc l a s sh 1 中提出了双曲珥空间 的概念，又于1 9 8 1 年在文h y p e r b o l i ch a r d yc l 妇圆a n db y p e r b o h c a yd i l i c h l e t 血i t e f 叽c t i o n 中提出了双曲d i r i c h l e t 空间的概念我国学者姚壁芸、胡璋剑就上述两空 间作出了很多成果后又提出了双曲b m o a 空间和双曲v m o a 空间2 0 0 3 年李晓 南在其硕士论文中提出了双曲q p 空间并就其初等性质进行了初探 本文欲将双曲导数与q 七空间相结合，提出双曲q t 空间的概念并研究其相关性 质本文的工作将较大的推动双曲空间的发展，因为很多双曲空间将是双曲q 七空间 的特殊情况在引言部分我们先介绍了函数空间的发展历史和双曲函数空间的概念 及其发展，第一章我们系统的讨论了双曲q 空间的基本性质，有趣的是我们得到了 双曲q 七空间与q 空间之间的一个关系，同时还讨论了双曲q 女空间与其它双曲函 数空间的关系在第二章我们用c 吖f e s 帆测度刻画了双曲q k 空间的性质在第三 章中我们讨论了双曲q * 空间上的复合算子理论，推广了伍鹏程和乌兰哈斯的结果， 得到了一个双曲q k 空间上复合算子与q 知空间上复合算子的等价关系 预备知识 我们用d 表示复平面上的单位圆盘d = z ：h 1 ) ，用a d 表示单位圆周 加= ：h = 1 ) 设，y 为单位圆盘上的曲线z ( t ) ：k ，6 1 一d ，定义它的双曲长度 为 撕) = z 必= f 瑞 果更加广泛，这无论对该方向的发展还是对一些相关领域的研究都有很大的推动作 用 本文欲进行双曲函数空间的研究我们知道，对一般的解析函数，我们考虑一般 导数就足够了而对于亚纯函数，为了处理极点问题，我们用球面导数代替一般导 数但是当我们考虑有界解析函数时，发现一般导数越来越不满足需要。于是我们考 虑用双曲导数来代替一般导数，这样将双曲导数与经典函数空间相结合就得到了一 系列新的函数空间 1 9 7 9 年s n a s h i t a 在文章h y p e r b o l i ch a r d yc l a s sh 1 中提出了双曲珥空间 的概念，又于1 9 8 1 年在文h y p e r b o l i ch a r d yc l 妇圆a n db y p e r b o h c a yd i l i c h l e t 血i t e f 叽c t i o n 中提出了双曲d i r i c h l e t 空间的概念我国学者姚壁芸、胡璋剑就上述两空 间作出了很多成果后又提出了双曲b m o a 空间和双曲v m o a 空间2 0 0 3 年李晓 南在其硕士论文中提出了双曲q p 空间并就其初等性质进行了初探 本文欲将双曲导数与q 七空间相结合，提出双曲q t 空间的概念并研究其相关性 质本文的工作将较大的推动双曲空间的发展，因为很多双曲空间将是双曲q 七空间 的特殊情况在引言部分我们先介绍了函数空间的发展历史和双曲函数空间的概念 及其发展，第一章我们系统的讨论了双曲q 空间的基本性质，有趣的是我们得到了 双曲q 七空间与q 空间之间的一个关系，同时还讨论了双曲q 女空间与其它双曲函 数空间的关系在第二章我们用c 吖f e s 帆测度刻画了双曲q k 空间的性质在第三 章中我们讨论了双曲q * 空间上的复合算子理论，推广了伍鹏程和乌兰哈斯的结果， 得到了一个双曲q k 空间上复合算子与q 知空间上复合算子的等价关系 预备知识 我们用d 表示复平面上的单位圆盘d = z ： 1 ) ，用a d 表示单位圆周 加= ：h = 1 ) 设，y 为单位圆盘上的曲线z ( t ) ：k ，6 1 一d ，定义它的双曲长度 为 撕) = z 必= f 瑞 i i i 设t l ，= 咖( 2 ) 是单位圆盘到自身的一保形变换，则有 厂 i 砒l 厂i 出i 厶7 ) 而2 研 即是保长的于是我们就把这种长度定义为两点之间的双曲度量，得到双曲度量是 m 6 撕t 1 3 不变的在此基础上我们定义d _ d 上的解析函数的双曲导数 八牡尚器 在本文中我们用h ( d ) 表示复平面上单位圆内的解析函数的全体，以b ( d ) 表示h ( d ) 的一个子集，即b ( d ) = ，日( d ) ：i ，( z ) i 1 用广( z ) = 凼筢牾表示双曲导 数令k ( r ) 是一个实的菲递减函数k ( r ) ：【o ，) _ 【o ，) ，则k ( r ) 的对数级定义 如下【3 0 】： 川呀掣， 其中l o g + ( z ) = l q z f o 夕z ，o ) 对o p o o ，k ( r ) 的对数型定义为。 盯：l i m s u p 蝴 对于口d ，我们用妒：d _ d 表示 艏兢t | s 变换，其中妒。( z ) = 篙，( z d ) 对o 口 o o ，双曲q b 2 0 c 7 i 函数空间丘既定义如下【4 8 】。 绒= ，b ( d ) ：s u p ( 1 一l z l 2 ) 。，( z ) 2 o o ) 小双曲q b 2 d c 函数空间线o 定义如下【4 8 卜 绒。2 ，b ( d ) ：i ! 离( 1 一m 。，( ：) 2 = o ，z d ) 双曲b m o a 函数空间定义如下1 4 6 】， j e 7 ，。a 。= ，b ( 。) ：酱，( z ) 2 9 0 ，。) d a ( 孑) ，z 。) 其中夕( z ，n ) = z 叼i 鲁i ，( z ，4 d ) 为单位圆d 内的g r e 印函数( 以下相同) 双曲y m o a 函数空间定义如下【4 6 】- y m o = ( ，b ( d ) ：鹄，( z ) 2 夕( 舭) 以( z = o ，z d 双曲d i n c 胁函数空间定义如下 4 4 】s 勿+ = ，b ( d ) ：厂( z ) 2 d a ( z ) o 。，z d d 对于o p o o ，双曲锦函数空间定义如下【4 8 】 i v 锑= ( ，叫d ) ：酱“妒夕p ( 础) 啡) 邮叫 双曲q p ，o 函数空间定义如下【6 2 】： - ，叫计l 鹄以扩拌a ) 啡) - o 2 叫 双曲 知函数空间定义如下： 晖叫叫趴：酱妒( 1 也| 2 ) m 娜叫 双曲i 红。函数空间定义如下： 蝓卸叫趴l 将，( 扩( 1 也| 2 ) 州扣吣叫 上述定义的双曲函数空问，人们对其一些基本性质进行了探讨，如m 66 j ；u s 不变 性、包含关系、判别准则和一些复合算子理论等，得到了一些结果但是还有很多问 题没有解决，而且新的问题又不断出现 在本文中，我们将双曲导数与q k 空间相结合，得到一个新的函数空间定义如 下：设k ( r ) 是一个实的非减函数k ( r ) ：【0 ，) 一【o ，o o ) ，则双曲q 七空间定义如 下： q = ，b ( 。) ：￥g ，+ ( ：) 2 k ( 夕( z ，“) ) ( f a ( z ) o o ，z 。) 相应的双曲q 七o 空间定义如下。 = ，b ( d ) ：i 鹄j j ，( ：) 2 ( g ( 邵) ) d a ( ：) = o ，z d ) d 双曲慨空间定义如下： 螈刈叫趴嬲八扩础咄永) 1 2 ) 州牝邮d ) v 相应的双曲地o 空间定义如下。 峨，。= ，b ( d ) ：i 鹎，( z ) 2 k ( 1 一i ( z ) 1 2 ) 以o ) = o ，名d 双曲b l 空间定义如下， 耻胙即) ：黜。乏) 九妒啡) 一艇。) 其中d ( n ，- ) = z d ：i ( z ) l o 因为是连续的，我们能找到正数o 2 则q z 空间是平凡的 证明：由【3 0 】的结果我们知道在推论假设的条件下有积分学k ( b gj ) p 咖发散， 于是由定理1 1 2 即可证明 鉴于定理1 1 2 的结果，以后凡是提到q ：空间，都假定积分詹k ( 1 0 9j ) 砌收 敛 在进行下一个定理之前，我们需要下述s c t t j 盯z 一厕哦引理 引理1 1 1 【2 0 1 如果，b ( d ) ，则 黜i 嚣k 1 1 一，( 知) ，( z ) i 一。1 一丽z ” ” 且 尚糯南1 一j ，( z ) 1 2 二1 一2 等号成立当且仅当，( 2 ) 是一个 ，6 抚u 5 变换 定理1 1 3 设k ( 1 ) o ，定义k l ( r ) = i n f ( r ) ，k ( 1 ) ) ，则有瓴= q ：。 证明，因为蜀sk ，且髓是非减函数，必有嚷cq z 。所以我们只要证明 q ：cq ：就足够了注意到 夕( 吣) 1 - z d ( c ，孝) ， 9 ( 口，z ) l ，z d d ( 口，孝) 因为当z d d ( 口，) 时，k ( 夕( 口，z ) ) = k 1 ( g ( 口，2 ) ) ，即可推出q ：= q ：，因此我们 仅需考虑z d ( 口 ) 的情形由引理1 1 1 ，有 ，= ，( z ) 2 k ( 夕( z ，口) ) 扰( 。) d ( o ， ) s u p ( 1 一l z l 2 ) 2 广( z ) 2 ( 1 一2 ) - 2 k 白( z ，口) ) d 月( z ) z d d ( n 。) ( 1 1 3 ) n ( 1 一衅) q k ( 1 0 9 南) d a ( 凹) i 圳 言 = 2 7 r 麝r ( 1 一r 2 ) - 2 k ( 1 0 9 ) d r o o 所以 s u p ，+ ( 名) 2 k ( 夕( z ，n ) ) d a ( z ) o o a djj d ( o ，吉) 即，q ：，定理证毕 下面这个定理将给出双曲q k 空间与q 空间的关系我们先给出两个函数空间 的定义对o 口 o o ，o j e 7 2 d c 函数空间j 艮定义如下【7 l ： 玩= ，日( d ) ：s u p ( 1 一2 ) 。l ，k ) 1 2 o o ) 设( r ) 是一个实的非减函数k ( r ) ：【0 ，o o ) 一【o ，。o ) ，则q k 空间定义如下【3 9 】： q ，( = ( ，h ( d ) ：s u p ，l ，7 0 ) r k ( g ( z ，( e ) ) d a ( z ) o 。，：d ) 口dj 二 相应的q 女- ( ) 空间定义如下： q k 0 = ，日( d ) ：i 譬m 1 i ，( z ) 1 2 k ( 夕( - z ，n ) ) d a ( ：) = o ，z d ) 定理1 1 4 k ( r ) 是一个实的非递减函数k ( r ) ：【0 ，o o ) _ 【o ，) ，设，b ( d ) ， 则，q ：当且仅当对任意的函数 留，有 lo ，钒 证明：设，q ：，对于 留，存在一个常数m ，对所有的z d ，满足 ( 1 一2 ) 旧( 2 ) 1 2 m 特别地，当l ，( z ) i 1 时，( 1 一i ，( 2 ) 1 2 ) l i l ( ，( z ) ) 1 2 m o o 于是 j = s u p j j i ( i lo ，) ( z ) 1 2a ，( 9 ( z ，口) ) d a ( 2 ) = s u p 厂j _ l ( ，( 2 ) ) 1 2 i ，7 ( 2 ) 1 2 k ( 9 ( z ，a ) ) d a ( z ) 笳s 妄，；( 龋d ) ) 蜊 ( l 1 4 ) m 2 黜，j 5 尚踟k ( 9 ( 删d ( z ) 卜一1 7 m 2 s u p ，j _ 广( z ) 2 k ( 夕( 2 ，口) ) d a ( z ) o o 反过来，由f 4 1 】知，存在两个函数，l ，9 留，使得对所有的z d 有 ) i + 肌) i 赤 于是对，b ( d ) ，我们有 蹁2 i ( j i 。，) 7 ( z ) 1 2 + 2 i ( 夕。，) ( 2 ) 1 2 因此对所有的口，2 d ，由条件 o ，q 和9o ，q 我们得到 j 舅黥麓慧：删邵黼m ，( 2 i ( o ，) 7 ( z ) 1 2 + 2 i ( 夕o ，) 7 ( z ) 1 2 ) k ( 9 ( 2 ，) ) d a ( z ) o o 、 7 也即是，供，定理证毕 1 2双曲仇空间与双曲。一b 0 c 空间 对于双曲n b f o c 空间，当8 1 时我们有下面结论 定理1 2 1 当q 1 时，玩= b ( d ) 证明：由班的定义，我们知道留二cb ( d ) ，故仅需证明b ( d ) c 绒如果 ，b ( d ) ，由引理1 1 1 ，对z d 我们有1 叭：) l 1 f 丽! 雨 即 黜( 1 制) 尚器 1 2 d j l jl z j i 。 因此 黜( 制) 口省器 1 z e dj i 7l z j l 也即日( d ) c 织，定理证毕 鉴于上述定理，我们在考虑双曲口一b z d c 空间时，仅考虑0 q 1 的情形 对于0 口 ，我们给出一个加权双曲q 空间的定义： q k ，a = ，b ( 。) ：￥g ，( z ) 2 ( 1 一i z l 2 ) 2 口一2 j ( ，( 夕( z ，n ) ) d a ( z ) 。，z 。) 相应的双曲q ，n ，o 空间定义如下： q a 。= ，b ( d ) ：l 鹎r ，+ ( z ) 2 ( 1 一2 ) 2 。一2 k o ( z ，口) ) 以( z ) = o ，z d 】 定理1 2 2 若0 a 1 ，我们有 ( i ) q 口c 量呢， ( i i ) q ，。，oc 班，o 证明：设，q 川令z = ( u ，) ，记f ( ，) = ，( ( 加) ) = ，( ：) ，则对任意的 0 7 _ l 我们得到 ，= ，厂+ ( z ) 2 ( 1 一2 ) 2 2 k ( 夕( z ，o ) ) d a ( ：) = _ f 厂f ( 训) 2 ( 1 一i ( 叫) 1 2 ) 2 。- 2 k ( 1 0 9 志) d 4 ( “r ) 厂7f ( 叫) 2 ( 1 一i 。& ( 叫) 1 2 ) 2 n 一2 k ( 1 。g 由) d a ( 诅，) ( 1 2 1 ) ( 1 0 9 ) i 厂，f ( 叫) 2 ( 1 一l 妒口( 山) f 2 ) 2 。一2 d a ( 叫) 由叫d ( d ，r ) 我们有 1 一献酬2 ( 1 卟1 2 ) 鲁 所以，当0 q 1 时， ，( z ) 2 ( 1 一m 2 删k ( 夕( 邵) ) 以( ：) k ( 1 0 9 拟1 一2 棚( 鲁) 2 删j f l + ( 叫) 2 d a ( 叫) u d r j 因为，b ( d ) ，所以i f ( 钏) 1 2 是d 上的次调和函数，故由次平均性知 f + ( 叫) 2 d a ( 伽) 胛2 叭o ) 1 2 又因为f + ( o ) = 广( a ) ( 1 一i n l 2 ) ，我们得到 ，们2 k ( 1 。g 拟1 卟1 2 ) 2 口一2 ( 告) 2 州，( 口) 2 ( 1 斗1 2 ) 2 选取一伯，使得c = 1 竹2 k ( 1 0 9 去) ( ) 2 扣2 。就有 掣制) 2 。2 c ：器州2 ( 1 州严盹( 那脚( 牝o o 于是q k 口c 统o 用同样的方法可证明q 。oc 纹 0 定理证毕 定理1 2 3 如果詹k ( 1 0 9 ) ( 1 一r 2 ) 一2 r d r ，则q o = 。线 6 证明：由定理1 2 2 ，我们仅需证明班cq 口设，绒，由条件对任意口d ， 我们有 ，= _ r 占，( z ) 2 ( 1 一m 址2 k ( 夕( 那) ) 烈( z ) 绒( ，) 2j j i ( 1 一i ：1 2 ) 一2 k ( 夕( z ，口) ) d a ( z ) d 班( 舻，( 1 一q k ( 1 0 9 南) 以( 加) = 2 丌农( 厂) 2 ，( 1 一r 2 ) _ 2 k ( 1 0 9 ) 7 d r o o 0 因此百吃cq 口，定理证毕 ( 1 2 2 ) 推论1 2 l 如果o r o o 上的非减函数( r ) 满足! 觋掣= c o o ，我们用 j d 和盯分别表示k ( r ) 的对数级与对数型且满足下列条件之一； ( i )o p 1 ， ( i i ) p = l 且仃 2 则q k n = 统 推论1 2 一如果詹k ( 1 0 9 ) ( 1 一r 2 ) 一2 r d r o o ，则对n d 有 删2 ( 1 d 1 2 1 2 ) 2 8 2 k ( 孑，口) ) d a ( z ) g 线( ，) 2 l 这里c = 2 丌( 1 一r 2 ) _ 2 ( 1 。g ) r 由 定理1 2 4 如果詹k ( 1 0 9 ) ( 1 一r 2 ) 一2 r d r ，则q k ，q t 0 = 绒，o 证明：用【3 0 】一样的方法可证明定理证毕 对于o a ，若k ( r ) 是一个【o ，1 】上的非减函数，我们同样给出一个加权 双曲 靠空间的定义。 叫叫趴潞z ，( 扩( 1 制) 2 a 以础嘲门啡) 啡叫 相应的加权双曲。邮空间定义如下s ，0 = 胙即_ 鹎删2 ( 1 荆) 2 口即也j 2 ) 啡) _ o z 叫 定理1 2 5 若0 a 1 ，我们有 ( i ) m k 。cl 既， ( i i ) m a oc 绒 0 证明：设，峨。令z = ( t t ，) ，记f ) = ，( ( 叫) ) = ，( z ) ，则 ，= j r ，( z ) 2 ( 1 一h 2 ) 2 p 2 ( 1 一f ( z ) f 2 ) 以( z ) = 厂，f ( t l ，) 2 ( 1 一i t 如( 姐，) 1 2 ) 2 。一2 k ( 1 一l t u l 2 ) d a ( 叫) j _ 7f ( 叫) 2 ( 1 一i ( 酬2 ) 2 删k ( 1 一坩) d a ( 伽) ( 1 2 3 ) ( 1 一r 2 ) - 厂厂f + ( t 7 ) 2 ( 1 一i m ( 叫) 1 2 ) 2 。一2 d a ( 叫) 以下的证明与定理1 2 2 相同，定理证毕 定理1 2 6 如果o r 1 上的非减函数( r ) 满足她警= c o o ，则 螈。= 绒 证明：由定理1 2 5 知道 臻，口c 西既我们仅需证明留：c 峨设，j 咒， 由条件对任意d d ，我们有 ，= r 占，( 2 ) 2 ( 1 一2 p 2 k ( 1 一眦2 ) 1 2 ) 以( z ) 么| ：( ，) 2 ，厂( 1 一i z l 2 ) 一2 ( 1 一i ( z ) 1 2 ) d a ( 。) ：绒( ，) 2j r 7 ( 1 一i 卸1 2 ) 一2 ( 1 一i 鲫1 2 ) 以( 凹) ( 1 2 4 ) = 2 丌统( ，) 2 i f ( 1 一r 2 ) - 2 k ( 1 一r 2 ) r 以r o o 8 因此毁c 啡口，定理证毕 定理1 2 7 如果o r 1 上的非减函数k ( ，_ ) 满足烛掣= c ，则 咏，。t o = 统，o 证明：用【3 0 】一样的方法可证明 1 3 双曲q 空间与双曲郇空间 我们现在给出一些记号，当r _ r 0 时，记，( r ) 夕( r ) 表示在r 0 的某个邻域内， 存在正的常数c l 和c 2 使得 c 器鲰 在双曲q i 空间中，如果取函数k ( r ) = r p ，则我们得到双曲q 空间，一般的，我们 有下述定理 定理1 3 1 如果0 p o o ，且当r _ 0 时k ( 7 ) r p ，则q z = 饼 证明：由假设k ( r ) r p ，存在r l ( o ，1 ) ，当o r r 1 时有 c ，掣鲰 我们选取r o ( o ，1 ) ，使得当z d d ( 口，r 0 ) 时 夕( 口，z ) 乩g 南 h 首先假设，q ：，我们记 m 2 潞，( 妒州啡) 于是 ，= ，+ ( ：) 2 ( 夕( z ，口) ) p 以( z ) d = ( + ，) 广( z ) 2 ( 夕( z ，a ) ) p 以( z )( 1 3 1 ) d 扣，r 。) d d ( 8 r o ) = j l + 如 由引理1 1 1 ，我们有 ，1 = ，+ ( z ) 2 9 ( z ，动p d a ( z ) s u p ( 1 一i z l 2 ) 2 ，0 ) 2 ( 1 一i z l 2 ) 一2 夕( z ，口) p d a ( z ) 。d d ( a ，r o ) ( 1 3 2 ) ( 1 一i 叫1 2 ) 一2 ( 1 0 9 南) p d a ( 加) = 2 7 r 舻r ( 1 一r 2 ) - 2 ( 1 0 9 ；) p 办 另一方面 如= j - j ，( z ) 2 夕( z ，n ) p 以( z ) d d ( n ，o ) c f 媳，斜k ( 夕( z ，口) ) 以( z )( 1 3 3 )d d ( o ，)i1 3 3 ) c f l ，厂，( z ) 2 ( 9 ( z ，a ) ) d a ( z ) 丛 一 c l 因此 ：酱删2 湫硼矿啡) s u p ，1 + 如) o 。 即，q ；，所以q ：cq ； 相反的，要证锑cq ；，设厂锑，且记 肚：酱九扩似础胪m ) o o 于是 j = ，r 广( z ) 2 k ( 9 ( z ，n ) ) 以( z ) = ( + r ，) ，( ：) 2 ( 9 ( ：，n ) ) 扰( z ) = + 五 我们得到 以= ，厂，( 。) 2 ( 夕( z ，) d a ( z ) c 2 厂，+ ( z ) 2 夕( z ，a ) p d a ( z ) c 2 r 厂厂+ ( z ) 2 夕( z ，口) p d a ( z ) 翻m ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 由引理1 1 1 ，我们有 以= ，( z ) 2 k ( g ( z ，n ) ) d a ( z ) d ( 口r o ) 潞( 1 制) 2 ，( 名) 孤) ( 1 制) 。2 k ( 1 0 9 由) 烈( z ( 1 3 6 ) ：d d ( 4 ，r o ) ”。 n36 、 j = r ( 1 一i t i ，1 2 ) 一2 k ( 1 0 9 击) 以( 加) l 训 r 0 = 2 7 r 口，( 1 一r 2 ) _ 2 k ( 1 0 9 ) d r o o 因此厂q k ，即q ；cq z ，定理证毕 推论1 3 1 如果o r 上的非减函数k ( r ) 满足舰等= c ，我们用 j d 和盯分别表示k ( r ) 的对数级与对数型且满足下列条件之一： ( i )o p o ，我们记k l ( r ) = i n ， ( k ( r ) ，k ( 1 ) ) ，则存在正的常数g o 使得k ( o ) k 1 ( r ) c k ( o ) ，由定理1 1 3 ，我们得到q ：= q ：( o ) = 勿，定理证毕 引理1 4 1 9 c 昂 证明：如果，驴。我们设加= ( 名) ，得到 ，l = ，广( ：) 2 d a ( z ) = _ f 占，( ( z ) ) 2 i 纯( z ) 1 2 以( z ) ( 1 4 1 ) = ，( ( z ) ) 2 ( 描) 2 d a ( z ) d 。1 于是由f a t o u 引理 i 鹎，俐2 以( 伽) = o 由，+ ( 伽) 的次调和性知 i 鹎( 1w ) 2 ，洳) 2 器八计嘶) - 0 因此勿c 或，定理证毕 定理1 4 2 如果k ( r ) 右连续，则勿cq ：o 当且仅当k ( o ) = o 证明：若k ( o ) = o ，假设，矿，则对o 7 o ，存在o r 0 1 ，使得对口d 有 ，+ ( z ) 2 k ( 9 ( ：，n ) ) c m ( z ) 眇怯k ( 1 。g 去) s d 上j 【“，。o j 由引理1 4 1 我们有勿c 昂，故若，勿+ ，则，镅因此对任意的 0 o ，使得当l 一 占时，有 ( 1 一h 2 ) 厂( z ) e 当l n l _ 1 可知_ 1 ，我们得到 如= ，( z ) 2 k ( 9 ( z ，a ) ) d a ( z ) d ( d r o ) e 2 k ( 9 ( o ，z ) ) ( 1 一i z l 2 ) - 2 d a ( z ) 、 d ( d ，r o ) ( 1 4 3 ) e ? k ( 1 0 9 南) ) ( 1 一l ”1 2 ) 。以( t l i ) i 埘l o 且，驴c 嫉0 ，则当i 口i _ 1 时 ，( 妒嘶) 洲0 ) - 1 厂彬m 刊眦) 川dd 。 即，是常数，这是一个矛盾，故必有k ( o ) = o ，定理证毕 1 2 第二章双曲m 空间与c n r ? e 5 d n 测度 单位圆盘上的c 口r f e 5 d n 测度最早是由c 口r z e s d n 本人在研究有界解析函数的插 值问题时引进的【1 3 ，1 4 】，后来出现了各种形式的c 盯l e s m 测度，有大量的文章研究 了c 口r ! e 5 0 n 测度的特征和应用，c n 7 f e 5 d 几测度已成为研究函数空间的一个重要工 具本章将用c n r f e s 帆测度作为工具研究双曲仉空间 2 1c n r f e s d n 测度与引理 我们先给出c n r f e s 伽测度的定义，对单位圆周上的圆弧j ca d ，记集合 s ( ，) = r e d ：1 一l ，i r l ，( j ) ， 这里ij r i 表示，的长度，如果 ，i 之1 ，我们就假设s ( ，) = d 对o p 。o ，我们 说咖是p c 倒f e 5 0 n