（计算数学专业论文）对称正则长波方程的广义差分法及ldg方法.pdf

i il li fiil ll l fi ll lji 18 2 8 3 6 8 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 学位论文完成日期：2 0 1 0 年4 月 指导教师签字：姚筮 答辩委员会成员签字：l 毒容旺 锕司 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：罗酚字日期：矽，口年 - nf 广日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，并同意以下事 项： 1 、学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。 2 、学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权清华大学”中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社”用于出版和编入c n k i 中国知识资源总库，授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库。( 保密的学位论 文在解密后适用本授权书) 黜一躲弦新擗谢柑瓤 签字日期：沙，睥厂月i 咱 签字日期：加年箩月夕日 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 摘要 对称正则长波方程用于描述弱非线性作用下等离子声波和空间电荷波的传播，具 有许多优点，是一类重要的偏微分方程目前，对于对称正则长波方程定解问题的适 定性和数值方法的研究已引起越来越多的关注 本文主要工作如下： 第一章主要介绍了对称正则长波方程的物理背景与国内外研究现状，广义差分 法和l d gf 局部间断g a e r k i n ) 方法的基本原理思想及应用 第二章通过对原始方程的等价变分形式进行广义差分离散，提出了对称正则长 波方程的广义差分格式利用插值投影算子和椭圆投影算子，及在试探函数空间和检 验函数空间上满足的一些性质，对全离散差分格式进行了误差估计，得出了格式的收 敛阶估计，并证明了该格式保持原始方程所具有的守恒律，最后，通过数值实验，验证 了其收敛性和满足守恒律的特性 第三章利用l d g 方法求解带周期性边值条件的含非线性高阶微分的对称正则 长波方程初边值问题，提出了方程的l d g 格式，并证明了该格式的稳定性和收敛性 首先，将方程组化为一阶系统，选取适合方程的数值通量，构造l d g 格式，进而，证明 了格式满足熵不等式的性质，论证了该格式的l 2 一稳定性，最后，利用投影算子的性 质、逆估计不等式、y o u n g s 不等式等，给出了详细的误差估计，得出格式的收敛阶 为o ( h 七) 律 关键词：对称正则长波方程；广义差分法；局部间断g a l e r k i n 方法；收敛性；守恒 t h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o da n dl dg m e t h o df o rt h es y m m e t r i cr e g u l a r i z e d l o n gw a v ee q u a t i o n s ab s t r a c t s y m m e t r i cr e g u l a r i z e dl o n gw a v ee q u a t i o n si su s e dt od e s c r i b et h ep r o p a g a t i o no f p l a s m aa c o u s t i cw a v ea n ds p a c ec h a r g ew a v eu n d e rt h ew e a k l yn o n l i n e a re f f e c t i ti s o n es i g n i f i c a n tc l a s so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a n ya d v a n t a g e s ，w h i c hh a s a t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nt o w a r d so ft h er e s e a r c ho fw e l l - p o s e do fs o l u t i o n s a n dn u m e r i c a lm e t h o d s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，i ti sm a i n l yi n t r o d u c e dt h a tt h ep a y s i c sb a c k g r o u n da n d r e s e a r c hs t a t u sq u od o m e s t i ca n da b r o a d ，a n da l s ot h ea p p l i c a t i o na n db a s i ci d e o l o g i c a l p r i n c i p l e so fg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o da n dl d g m e t h o da b o u tt h es y m m e t r i c r e g u l a r i z e dl o n gw a v ee q u a t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c es c h e m eo ft h es y m m e t r i cr e g u l a r i z e dl o n gw a v ee q u a t i o n si sd e s i g n e db yd i s c r e t et h ee q u i v a l e n td i v i s i o n a lf o r m a to f o r i g i n a le q u a t i o n s t h e n ，b ya p p l y i n gt h en u m e r i c a li n t e r p o l a t i o na n de l l i p t i cp r o j e c t i o no p e r a t o r s ，t h ee r r o re s t i m a t eo fn u m e r i c a ls o l u t i o ni se s t i m a t e d m e a n w h i l e ，i t p r o v e st h a tt h ef o r m a th a sc o n s e r v a t i o nl a w so nm a i n t a i n i n gt h eo r i g i n a le q u a t i o n s f i n a d l y ，i tv a l i d a t e st h ef e a t u r eo fc o n v e r g e n c ea n dc o n s e r v a t i v el a w sb yn u m e r i c a l s i m u l a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r l d gm e t h o di sc o n s i d e r e df o rs o l v i n gt h ei n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fs y m m e t r i cr e g u l a r i z e dl o n gw a v ee q u a t i o n s ，w h i c hc o n t a i n sn o n l i n e a r h i g h o r d e rd e r i v a t i v e s i ti sp r o v e dt h a tt h el 2s t a b i l i t yf o rg e n e r a ls o l u t i o n sa n dg i v e ad e t a i l e de r r o re s t i m a t ef o rs m o o t hs o l u t i o n s f o rl d gs c h e m e 。w es e l e c tas u i t a b l e n u m e r i c a lf l u x t h e n ，t h es c h e m et om e e tt h ee n t r o p yi n e q u a l i t yv e r i f i e st h es t a b i l i t yo f t h em e t h o d b yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fp r o j e c t i o no p e r a t o r ，i n v e r s ee s t i m a t ei n e q u a l i t y ， y o u n g si n e q u a l i t y , e t c ，w eg e tt h eo r d e ro fc o n v e r g e n c ei so ( h 七) k e y w o r d s ：s y m m e t r i cr e g u l a r i z e dl o n gw a v ee q u a t i o n s ；g e n e r a l i z e d d i f f e r e n c em e t h o d ；l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ；c o n v e r g e n c e ； c o n s e r v a t i v el a w s 第1 章 1 1 1 2 1 3 第2 章 2 1 2 2 2 3 2 4 第3 章 3 1 3 2 3 3 目录 引言 对称正则长波方程的物理背景及国内外研究现状 广义差分法及l d g 方法的介绍 1 2 1 广义差分法 1 2 2l d g 方法 本文的结构 对称正则长波方程的广义差分法 广义差分格式 误差估计 差分格式的守恒律 数值实验 对称正则长波方程的l d g 方法 l d g 格式 稳定性分析 误差估计 附录a 引理及定理详细证明 附录b 程序源代码 致谢 个人简历 1 1 2 2 3 4 5 5 7 o o 3 3 4 6 9 5 9 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 第1 章引言 1 1 对称正则长波方程的物理背景及国内外研究现状 正则长波( r l w ) 方程最初由p e r e g r i n e 于1 9 6 6 年首次提出，在非线性色散介质 的长波研究中，被用于描述流体中长波单向传播的模型方程【1 1 ： 饥+ 口t + 卢让t 正z 一7 u u 武= 0 ， ( 1 1 ) 其中，u = u ( z ，t ) 表示波幅，z ，t 表示空间坐标和时间坐标，o l ，p ，7 为常系数，7 0 为色散系数 1 9 8 4 年，s e y l e r 等提出了正则长波方程的对称描述f 2 】= 仁尝，时毗， ( 1 2 ) ( 1 3 ) 用于描述弱非线性作用下等离子声波及空间电荷波的传播，由( 1 2 ) ，( 1 3 ) 消去p ，得 到对称正则长波s r l w 方程的另一种形式： u 托一让。z + ( 等) 武一u 2 霉托：o ，( 1 4 ) t 正托一让+ ( i ) 武一t 正删2 o ， ( 1 4 ) 此式中，关于z ，t 的导数明显对称 另外，【2 】还求出了方程组的s e c h 2 孤立波解： 其中，口为参数，表示速度并给出了四个守恒量： ，。， c 1 = p d x ，g = 乱出，g = ( 乱2 + t ；+ p 2 ) 出， 一一。 ，- - o o，- - o q q = 仁( 肚喈1 3 关于对称正则长波方程的定解问题适定性及数值方法已有了一些相应的研究其 中，1 9 8 7 年，【3 】用谱方法讨论了一类广义s r l w 的周期边值问题，证明了整体广义解 和古典解的存在唯一性，给出了近似解的收敛性和误差估计；1 9 8 9 年，【5 ，6 】提出了求 厚厚耋沪 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 解s 删方程及广义s r l w 方程的拟谱配点方法，给出了半离散和全离散格式的最 优误差估计；1 9 9 2 年，【7 1 研究了多维广义r l w 方程组整体解的存在性和爆破现象； 1 9 9 4 年，【8 研究了带有非齐次边值的s r l w 方程的初边值问题；1 9 9 5 年，f 9 1 考虑了 运用c h e b y s h e v 拟谱方法解决了s r l w 方程齐次初边值问题；1 9 9 9 年，f 1 0 1 用谱方法 分析了高维广义s r l w 方程组的周期边值问题；2 0 0 3 年，1 1 】考虑了广义s r l w 方 程及多维广义s r l w 方程齐次初边值问题的l e g e n d r e 和c h e b y s h e v 拟谱方法：另有 文献【1 2 ，1 3 】给出了s r l w 方程的显式精确解析解；【1 4 】研究了s r l w 方程孤立波的 轨道稳定性及不稳定性问题 1 2广义差分法及l d g 方法的介绍 1 2 1 广义差分法 广义差分法作为求解偏微分方程的新技术，自被提出以来日益受到重视1 9 7 8 年，李荣华教授利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广一局部t a y l o r 展式的 公项，将积分插值法改写成广义g a l e r k i n 法形式，从而将不规则网格差分法推广为广 义差分法( g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d ) 在近几十年里，李荣华教授和其他一些学 者对广义差分法的理论和应用作了广泛而深入的研究工作，已建立了相当系统完整的 理论这些研究，包括了对椭圆、抛物、双曲方程构造一次和高次元差分格式，建立 误差的s o b o l e v 模估计，以及广义差分法在地下流体、电磁场和其它方面的应用 该方法是利用在对偶剖分体积单元上积分原始方程，并将近似解限制在某一有限 元空间而得到的一种方程离散方法，由于它能够很好地在局部区域上保持原始方程的 物理守恒性和其它重要特性，从而被广泛地应用于求解数学物理方程，文献f 1 5 ，1 6 1 对该方法有较为详细的介绍由于其与有限差分法和有限元法相比，既有前者的计算 简单性，又兼顾后者的精度，从而可以在保证精度的情况下，有效的减少计算量，因此 受到国内外学者的高度重视 详细言之，广义差分法主要有以下特点1 17 】： ( 1 ) 网格剖分灵活( 包括三角剖分、四边形剖分) ，几何误差小，便于处理自然边值 条件 ( 2 ) 工作量比有限差分法大，比有限元法小，但精确度比有限差分法高，与有限元 法的收敛阶相同( 计算表明略低于有限元法) ( 3 ) 保持质量守恒 ( 4 ) 广义差分法的理论几乎和有限元法达到同样完善的程度，特别是由一次元广 义差分法的误差估计便可导出有限差分法和不规则网格差分法的一般理论 ( 5 ) 广义差分法的变分形式( 广义g a l e r k i n 形式) 有助于沟通有限元法和差分法 的理论和算法 2 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 广义差分的应用日益广泛，已成功应用于多类微分方程其中，文献【1 8 】从广义 g a l e r k i n 方法出发建立了广义差分法，并就两点边值问题估计了敛速；【1 9 ，2 0 在【1 8 】 的基础上将广义差分推广到平面域上二阶椭圆微分方程的边值问题，就二阶椭圆微 分方程三角网域和四边形域情形建立了收敛性、收敛阶的估计；【2 1 】讨论了一维二 阶椭圆和抛物方程的广义差分法，并得出了与普通有限元完全相同的最佳阶误差估 计；2 3 1 给出了三角网上二维非线性抛物方程广义差分法的一种基于残量估计的后 验误差估计，并在此基础上设计了自适应计算方案；【2 4 】给出了二阶椭圆方程广义差 分法的最佳日1 模误差估计，日1 模超收敛误差估计和p 模误差估计；【2 5 】就一维 半导体问题构造了全离散特征有限体积元格式，得到了次优阶l 2 模误差估计结果； f 2 6 1 对一维s o b o l e v 方程的广义差分法得到了最优阶的护模误差估计，以及超收敛 的w 1 ，p ( 2 p 0 0 ) 模误差估计，但应用该方法对s r l w 方程的研究尚不多见 1 2 2l d g 方法 间断g a l e r k i nf d g ) 方法是在1 9 7 3 年由r e e d 和h i l l 等人提出的，最初应用于 研究中子运输方程，经过几十年的发展，d g 方法已成为计算流体动力学领域相关t 闯题，如：可压缩流，不可压缩流，半导体器件模拟，多孔介质中污染物输运等的主 要研究方法，近些年来应用范围还在不断扩展新领域如：二阶椭圆问题，k d v 方 程，h a m i l t o n j a c o b i 方程【2 7 】等d g 方法是一种局部守恒的，稳定且具有高阶精度， 高度并行的有限元方法，适于复杂边界问题，易于实施自适应策略在d g 方法的 基础上发展起来的局部间断g a l e r k i n ( l d g ) 方法是由b a s s i 和r eb a y 在求解可压 n a v i e r s t o k e s 方程时提出的，该方法被提出以来日益受到重视，已经取得了很大的发 展，主要由c o c k b u r n 和s h u 等人对该方法进行了推广，文献f 2 8 3 0 】是将d g 方法喾 的分片线性空间离散与显式t v d 二阶r u n g e - k u t t a 时间离散相结合，同时引入斜率 限制器以改进精度，增强稳定性 l d g 方法具有高阶精度，能够灵活处理复杂区域，易于处理复杂边界的边值问题 的优点，同时，由于单元基函数在单元交界处允许出现间断，可以通过适当地选取基 函数使得质量矩阵是分块对角的，而且每一块的阶数和相应单元的自由度相同，单元 之间只需要相邻单元的自由度，从而处理器之间的信息传递量保持最小，有利于并行 算法的实现由于近似解的间断性假设，对网格正则性要求不高，无需考虑像一般有 限元方法中连续性的限制，便可以对网格进行加密或减疏处理，而且不同的剖分单元 可以采用不同形式，不同次数的逼近多项式，有利于自适应网格的形成，并且能够捕 获精确解的间断性或大梯度，从而避免产生虚假震荡，该方法在非线性守恒律方程及 方程组中有较好效果 l d g 方法发展以来，已经在各种不同的领域得到快速的发展和应用，例如：航空 声学、电磁学、气体动力学、粒子流、磁发电机一流体动力学、气象学( 如：可渗透 3 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 媒介污染物运输、湍流、黏性流和天气预报等模型) 等该方法在许多方面的应用上， 显示了前所未有的效能，在解决含有间断现象的问题中发挥着越来越大的作用，在解 决对流扩散方程、量子流体力学方程【3 1 】、k o r t e w e g - d e v r i s e ( k d v ) 方程【3 2 】及高阶非 线性类方程 a a - a s 等问题中都卓有成效 1 3 本文的结构 第二章讨论在空间区间，= 【a ，6 】和时间域【0 ，卅上s r l w 方程的初边值问题 f 让托一州参一仳删- 0 ， ( 1 6 ) ju ( n ) = “( 6 ) = 0 ， ( 1 7 ) i 钍( z ，0 ) = u o ( x ) ， ( 1 8 ) 【u t ( x ，0 ) = u l ( x ) ，忱i ( 1 9 ) 通过对空间区间做原始剖分和对偶剖分，并构造相应于原始剖分的分片线性有限 元空间为试探函数空间和相应于对偶剖分的分片常函数空间为检验函数空间，对原始 方程的等价变分形式进行全离散近似，从而得到方程的全离散广义差分格式然后， 定义了插值投影算子和椭圆投影算子，并导出误差方程，利用在试探函数空间和检验 函数空间上满足的一些性质，及积分型t a y l o r 展开式等，得到差分格式的误差估计， 证明了该格式的收敛性进而，证明了格式保持原始方程所具有的守恒性，并通过实 验验证了收敛性及守恒性 第三章讨论用l d g 方法求解带周期性边值条件的含非线性高阶微分的s r l w 方程初边值问题本方法的优越性在于避免了高阶微分方程数值解的震荡，给出了具 有非线性稳定性和高精度的格式 本部分，首先，将方程改写为一阶系统，选取适合方程的数值通量( 如：f 选取为 l a x f r i e d r i c h e s 通量，满足：局部l i p s c h i t z 连续性，相容性，单调性) ，构造l d g 格 式其次，证明了格式满足熵不等式的性质，得到l d g 格式的稳定性最后，利用投 影算子的性质、逆估计不等式、y o u n g s 不等式等，给出了详细的误差估计证明，并 得出格式的收敛阶为o ( h 七) 4 第2 章对称正则长波方程的广义差分法 2 1 广义差分格式 用日m 表示i = 【a ，6 】上的m 阶s o b e l e v 空间，( ，) 表示l 2 上的内积，”表 示日m 上相应范数，记”l i o = 1 1 i i ，u = h 2 n h o a ( ) ，并假定问题( 1 6 ) ( 1 9 ) 具有 唯一解 对区间i = a ，6 进行剖分，定义原始剖分为t h ，节点为 a = x o x l x j = b 记 厶= x i - - 1 ，x i ，吃= x i - - x i - - l ，k ；= 丢( 吃+ k 1 ) ，h = m a x h l c ；1 t n 并假定剖分是正则的 记 t h = ( 厶；五= x i 一1 ，甄】，l i ，) ， 定义相应的对偶剖分为写，节点为 其中， 对偶单元 记 口= x o z z ； 0 ， 使得 ( 乱 ，i u ，1 ) q i l u _ l | 1 2 ， v 乱 ( 2 1 0 ) 7 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 以下对差分格式进行误差估计，设u 和u h 分别为问题的精确解和近似解， u u h = ( “一r 缸) + ( r 缸一u h ) = 叼+ 0 ， 首先估计0 ，由( 2 1 ) 式易得u n 满足 于是，成立 ( u 嚣， ) + 。( u n ，v h ) + n ( 乱盈， ) 一三6 ( ( u 2 ) ? ，口j 1 ) = o ， ( 巩乱”，v h ) + a ( u 专，v h ) + a ( o u n ，v h ) = ( 侥t u n 一乱嚣，) + n ( 乱n ，；一u n ) + a ( o 亡t u n t 正嚣，) + 去6 ( ( u 2 ) , v h ) 将( 2 1 3 ) 与( 2 3 ) 作差，并利用r 的定义得误差方程 ( 如扩，) + 口( 酽1 ，v h ) + o ( 巩酽，v h ) = ( 砰，v h ) + n ( 冠，v h ) + o ( 冗；，v h ) + 言6 ( 磺，v h ) ， 其中， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 冗? = a t p h u n 一皖，磁= u n 专一u n ，冗；= 巩u ，l 一乱嚣，冗：= ( 乱2 ) ? 一a ( u 2 ) n 在( 2 1 4 ) 式中取v h = ：a 俨，其中左端项 2 丁 1 2 r l 2 = a 俨 a 扩 + 一a 铲一 ) ，i ( a 护n + 十a 铲一；) ) + i 1 ，：a 俨+ ) 一( o t o n 一，：a p n 一) ) ， + o - - ) ，i ( 口n + 一o n - ) ) ，t i * h o + ；) 一a ( o n 一，渺一饥 l 3 = 孬1 ( n ( 侥俨+ ，i i ：o t o n + ) 一。( 侥扩一，i 侥俨一 ) ) ， ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 将( 2 1 5 ) 一( 2 1 7 ) 代入到( 2 1 4 ) 中，两边乘以2 7 ，关于礼从1 到m 一1 ( n 一1 ) 求和，可得 ( a p m 一，i i * o t o m 一 ) + o ( 扩一；，：口m 一 ) + a ( 0 3 m 一，i i * h o t o m 一) ( a 目 ，：岛p ) + o ( p ；，i 口 ) + a ( a t 0 ，i a 伊 ) m 一1 + c 丁( 1 l n t i l 2 + i i 磁惦+ i | 冗；略+ i i r ：1 1 2 + l i 夙p 刑。 惦) n = o 8 ( 2 1 8 ) + + 俨 俨 ，f，j “ 1一打1一打 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 为了估计右端各项，首先给出有界性假设条件， ( 1 ) 假定精确解m a x f u ( z ，t ) l 纸，对于任意小的 ，丁，则存在k k ，使 得别。k ( 匮，k 为正常数) ( 2 ) 假定乱，饥l o o ( o ，r ；h 1 ( 删 于是，利用积分型t a y l o r 展开式，可得右端各项估计式 ( 2 1 9 ) 一1 憾n j l l 2 c 0 7 3 ， ( 2 2 0 ) n = 0 i i r ：1 1 2 c l r 一1 ( r 4 + 4 ) + 岛( 1 1 0 。o “1 1 2 + 杪1 1 2 ) ， ( 2 2 1 ) n = 0 n = 0 其中，c o 为与i l u t , l l l ，i t u 付1 1 2 ，i i 托l 地“1 1 1 相关的正常数，c 1 ，q 为与1 1 毗1 1 ，i 让托i l ， u 托。l i ，风，k + 相关的正常数 再由引理2 2 和引理2 4 ，可得 卢l | a p m 一1 1 2 + ，) 11 1 0 m 一1 1 ；+ 仇| i a 9 m 一；1 1 ； m - - 1 _ l l a , e 1 1 2 + i l e 1 1 ；+ i i a 口j 1 | | 1 2 + c 3 ( h 4 + r 4 ) + c 7 - ( i t a , e n + 婿 ( 2 2 2 ) n = o + l l 岛酽+ 1 1 2 + i i p n + 1 1 2 ) ， 从而，利用g r o n w a 1 不等式，可得 ，y 1i j 9 m 一 1 1 ；+ 7 2 l i 魏口m 一 1 1 ；ij 目孵+ i l a , 8 l l ；+ c 3 ( h 4 + 下4 ) ( 2 2 3 ) 此处，岛为与g ，c 1 ，q 相关的正常数 于是，结合引理2 1 ，可得结论： 定理2 5 设孔和让i l 为问题( 1 6 ) 一( 1 9 ) 的精确解和近似解，则有误差估计 m a x 【i l u ”一一让? 一i1 1 2 + i | a ( 让m 一一缸m h - t ) l l z ) l i r u 一u i 畸+ g ( 4 + t 4 ) ( 2 2 4 ) 注：15m n 其中r 缸一u 的精度由初始近似u ；1 的取法决定，此处假定 f i p _ l , d u 钏1 2 i l u o f l 2 另外，我们可将结论进行推广，当检验函数取为二次有限元空间和三次h e r m i t e 有限元时空间，相应的i i f f l 收敛阶为o ( h 七+ 1 + 7 - 2 ) ，k = 1 ，2 ，3 9 r+ 一 r 岛 一 仃1 r 脚 柚 岛 一 亿2 咒 m 删 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 2 3差分格式的守恒律 引理2 6 问题( 1 6 ) 一( 1 9 ) 具有能量守恒律 e l ( t ) = 恤| | 2 + j | u 。l | 2 + i i 札圳2 = c o n s t ( 2 2 5 ) 引理2 7 设u o 硪( j ) ，则初边值问题( 1 6 ) 一( 1 9 ) 的解满足 i | 饥i | c ，i i t 正霉| i c ，i | u 耐l i c ，i | | | o o c ( 2 2 6 ) 证明：由引理2 6 得| | 缸t | i c ，| | l | c ，j i 。| | c ，再由离散s o b o l e v 不等式有 i i 饥i l 。c 定理2 8 差分格式( 2 3 ) 关于离散能量满足守恒律 研：i l a 让：+ i1 1 2 + i i 以乱：+ | | 2 + i l 以。让：+ 0 2 ：c o n s t ( 2 2 7 ) 证明：在( 2 3 ) 中取v h = u ：+ 1 一u ：，由时间离散公式，推导可得 1 1 0 , u ：+ ji i ：+ i | 以乱：+ l 以。u il l z ：i i a 札：一i1 1 2 + i i 以让n h 一；1 1 2 + i i 以。u ：一il l ：， ( 2 2 8 ) 由e r 的定义，可知结论成立 定理2 9 设u o h o ( ，) ，关于差分格式( 2 3 ) 的解有估计式 l i a 孔：+ 壶j | c ，| i 以乱：+ 砉i l c ，l i 侥。u n h + l | c ，i i 侥u ：+ i c ( 2 2 9 ) 证明：由定理2 8 ，可知1 1 0 , u ：+ 钏c ，| i 如u 钿c ，l i 以。让1 1 c ，再由离散 s o b o l e v 不等式，可得：i l a u 韧o o c 注：推导过程中公式里的常数因子可能不同，但为简单起见，常统一写为c 2 4数值实验 数值实验的精确解取为【2 】中的s e c h 2 孤立波解： 出：掣s e c h 。互1 ，v 压u - 1 ( x - - v t ) ， 其中，u 为参数，表示速度在计算中取 = 3 2 ，初值为咖( z ) = ；s e c h 2 ( 譬z ) ，并取 i = 【- 5 0 ，5 0 i 0 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 图2 1 不同时刻孤立波剖面对比 图2 2 t = 1 时刻数值解误差曲线 图2 1 为不同时刻孤立波数值解剖面图2 2 中，左为h = 0 3 1 2 5 ，丁= 0 0 0 3 1 2 5 时的误差曲线，误差在一1x1 0 3 到2 1 0 3 之间震荡，右为h = 0 6 2 , 5 ，7 - = 0 0 0 6 2 5 时的数值解误差曲线，误差在一4 1 0 3 到8 1 0 3 之间震荡，由以上可看出数值解 的误差集中在波峰附近 1 1 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 图2 3 t = 1 时刻不同网格比下孤立波的近似 图2 3 中，左为在h = 0 1 ，r = 0 0 5 时孤立波的近似解，右为在h = 0 0 5 ，r = 0 0 1 2 5 时孤立波的近似解 表2 1 数值解在t 时刻的误差( l o o 一范数) 时间 步长 t = 0 4t = 0 8t = 1 2t = 1 6 t = 2 0 h = 0 1 ，t = 0 1 1 0 4 5 5 e 0 0 43 4 3 2 8 e 一0 0 47 5 2 7 4 e 一0 0 41 4 3 3 2 e 一0 0 3 3 3 1 2 5 e 0 0 3 h = 0 0 5 t = o 0 52 4 8 0 7 e 一0 0 57 7 2 3 1 e 0 0 51 8 5 6 3 e 一0 0 44 4 3 7 2 e 一0 0 47 9 1 0 3 e 一0 0 4 h = 0 0 2 5 7 _ = 0 0 2 56 0 9 7 1 e 0 0 6 1 6 4 7 6 e 一0 0 54 5 7 3 1 e _ 0 0 5 1 2 1 3 2 e 一0 0 41 8 7 9 4 e 0 0 4 表2 1 给出不同时刻、不同步长的误差，可以看出误差关于时间步长和空间步 长为二阶精度 表2 2 能量守恒律模拟 时间 步长 t = 0t = 2t = 4t = 6t = 8t = 1 0 h = 0 0 5 7 = 0 0 52 0 6 1 5 72 0 6 1 6 82 0 6 1 8 12 0 6 1 9 32 0 6 2 2 12 0 6 3 8 2 h = 0 1 7 = 0 12 0 3 6 6 0 2 0 3 6 6 12 0 3 6 6 1 2 0 3 6 7 12 0 3 6 8 32 0 3 6 8 7 表2 2 给出不同时刻的能量近似值，验证了离散能量守恒 数值实验结果表明本文的格式是有效的，且保持能量守恒律由于计算时只需要 解三对角方程组，所用时间也较少 1 2 第3 章对称正则长波方程的l d g 方法 本章考虑带有周期性边值条件的l 司趑： fu 矶x x + t - - u z l i ：t = 。，m + u u 三：； lu ( z ，0 ) = u o ( z ) ，p ( z ，0 ) = p o ( z ) ， ( 3 3 ) 【u ( x ，t ) = u ( z + l ) ，p ( x ，t ) = p o + l ，t ) ，l 为z 方向上的最小正周期 ( 3 4 ) 3 1l d g 格式 对区间j = 【0 ，l 】进行剖分，节点为 0 = z 丢 x 3 _ z + 吾= l ，22。2 记 五= 眩x i + 扎甄= 黾+ 一x i - ，孔2 壶( z i 一+ z 件) ，h = m a x a z t ；1 ) ， 并假定剖分满足正则性条件 定义u 。- i j 1 和让什- 互1 分别为单元厶+ 1 从右方趋向于u 件 和单元厶从左方趋向于 u 件罢的值，并记 【t 正 】= u 吉一“i ，面h = 言( u 吉+ u i ) 定义相应的间断有限元空间 y h ：v ：u l l p 七( 厶) ；1 i ) ， 其中，p k ( h ) 表示在单元五上所有次数不超过k 的多项式全体，且在间断有限元 空间中，函数u 在边界气上允许间断 将方程( 3 1 ) 和( 3 2 ) 改写为以下系统： 其中：，( 乱) = 让2 u u z z2q ， q t + ( ，( 让) + p ) z = 0 ， 仇+ 札z = 0 ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 对称正则长波方程的广义差分法及l d g 方法 为了改写为一阶系统，将( 3 5 ) 式改写为： 仁u - r x 刘= q , ， 于是，对于一阶系统： ( 3 8 ) ( 3 9 ) f q t + ( ，( 乱) + p ) z = 0 ， ( 3 1 0 ) iu 一= q ， ( 3 i i ) i7 一= 0 ， ( 3 1 2 ) ip t + u 工= 0 ( 3 1 3 ) 定义半离散l d g 格式：求q 7 l ，u ，p h ，使得对于任意检验函数叩，e ，妒，成立 z ( g ) t 叩d x - 上( m 卅州础+ ( ( ，刊叩1 旷( ( ，刊鸸5 。( 3 1 4 ) 上州z + 上九出一( 靠1 + + ( 如矿) t 一= 么出 上吣d 蚪z 噶d 一( 姒、+ 水舻k 扩。 五( 肌) t c p d x - u h 妒x d xq - ( 嘶飞+ 邓矿) q - 0 其中，以，九，饥，砒均为数值通量，取加= 万，如= r i ，饥= 缸去，饥= u 去 处于稳定性和守恒性的考虑，( u i ，乱去) 应满足： ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 1 ) 连续性：，( 乱i ，让吉) 关于u i 和u 去均满足局部l i p s c h i t z 连续性； ( 2 ) 相容性：，( u ，让) = ，( 乱) ； ( 3 ) 单调性：，( 让i ，u 去) 关于让i 是非递减的，关于礼去是非递增的，即，( 寸，、i ) 此处，取，为满足上述条件的l a x f r i e d r i c h e s 通量【3 6 】： m i ，札去) = 丢( m i ) + m 去) 一口( u 去一u i ) ) ，q = m 。z i ，7 ( u h ) 1 3 2 稳定性分析 本部分证明关于s r l w 方程的l d g 格式的l 2 一稳定性 引理3 1 半离散l d g 格式( 3 1 4 ) 一( 3 1 7 ) 满足熵不等式 丢未z ( 峨“+ 和蚪虬 咄一 0 ( 3 1 8 ) 1 4 证明：对( 3 1 5 ) 式关于时间t 求导，得 小眦+ 加划一( 两以矿( 两以扩z ( q h ) t c d x ， ( ( ) 。妒一) i + 丢+ ( ( ) 。矿) 一三= ( ， 对y h 中的任意检验函数，( 3 1 4 ) ，( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 2 曼( 3 1 9 ) 均成立，选取检验函数 矽= - - u h ，( = ( r h ) t ，叩= u h ，妒= p h 将( 3 1 4 ) ，( 3 1 6 ) 及( 3 1 9 ) 相；0 1 1 ，得： 加t r h d x + 加汕拼加) t p h d x - - z 弛以训血+ ( ( 两 锄m 旷( ( 硒f ( u h 柏m 矿工( ( r h ) t u h ) z d x z 。( p h u h ) z d x + 声 ) u i ) 件吾一() + 卢 ) u 去) i 一+ (一，f ( 一( 两。仳h + 饥( r i ) 。一砒万) 件+ ( 两。u 去+ 饥( 砖) t 一缸h j d 抛= 0 ， f u h 令f ( u h ) = f ( r ) d 7 ，可得 z ( ) t 出+ 上( u ) t u h d x + z ( 肌) t p h d + 皿i + 一皿卜+ e i 一2 。， 其中，熵通量 皿：一f ( 乱i ) + ，u i + ( r i ) 。u h 一( 孑菊。一b h ) u ；一色h ( r i ) t + 豇 j d i ， e 有以下表达式 e ：i f ( u ) 卜m h 卜 ( n ) 灿】+ ( 两。 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) + 声 ) 【u h 】一b o h a d h 】+ 西z h ( r h ) t 】+ 矗 【p h 】( 3 2 3 ) 由数值通量以= p - ；，死= r h ，如= 让去，诹= u 去，可知 一【( r 九) 让 】+ ( r ) t 【u 】+ 西z h ( r h ) t 】= 0 ， 于是， 一【p h u h 】+ 加_ l + 西t h p h 】= 0 ， e = 【f ( 让 ) 】一，【u 】= f ) d t 0 ， 因比 e t 一= ( 【f