（计算数学专业论文）大方坯连铸温度场数值模拟.pdf

摘要 大方坯连铸温度场数值模拟考虑的是采用数值方法模拟大方坯在连铸 过程中温度场的变化情况。论文通过收集大量相关资料，结合工程的实际情 况，进行大方坯连铸温度场数值模拟模型可行性研究，提出建立模型的假设 和条件，对于模型的功能和输入参数给出了合理的设计，建立大方坯连铸温 度场数学模型。 选择并设计离散算法对模型进行求解，我们采用了有限差分和有限元两 种数值方法求解。根据所建立的大方坯连铸温度场模型，有限差分法采用直 接从导热微分方程出发，将求解区域划分成网格，近似地用差分代替微分， 使问题得以转化。有限元法的重要归化途径是从微分方程所对应的泛函出 发，用变分原理结合区域剖分得到离散算式一代数方程组。 最终确定其表面及中心温度分布，实现了对凝固末端位置预报。 关键词：温度场数值模拟有限差分法有限元法 a b s t r a c t t oe s t a b l i s ht h em a t h e m a t i c sm o d e lo fs e m i f i n i s h e dg r e a ts q u a r es t e e lp r o d u c t ， s h o u l ds i m u l a t et h et e m p e r a t u r eo fm o d e lf o u n d i n g 。t h ed i s c o u r s ec o l l e c tm a s s c o r r e l a t i v ed a t u m s ，a n di n t e r g r a t et h ea c t u a l l yi n s t a n c eo ft h i sp r o j e c t ，t h e ns u p p o s et h e p r o c o n d i t i o na n dt e r mo fb u i l df e a s i b l em o d e l ，s i m u l t a n e i t y , e d u c er e a s o n a b l ed e s i g n o fm o d e lf u n c t i o na n dp a r a m e t e ri n p u t a tt h ec u r r e n t l yi n s t a n c e , t h e r ea r et h r e ek i n do fc u r r e n t l yb o u n d a r y c o n d i t i o n f a c ed i f f e r e n ti s s u e w es h o u l da c c o r d i n gt ot h ea c t u a l l yi n s t a n c et oc h o o s e t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n c h o o s ea n dd e s i g nt h ed i s c r e t ea r i t h m e t i ct of i n ds o l u t i o n a c c o r d i n gt ot h e s e m i f i n i s h e dg r e a ts q u a r es t e e lp r o d u c t 、t e m p e r a t u r e ，a n da d o p tf i n i t e - d i f f e r e n c e m e t h o d sa n dd i f i e r e n t i a le q u a t i o no ft h e r a lc o n d u c t i o n ，p l o to u tt h ea n a l y s i sr e g i o nt o r e s e a u u s et h ed i f f e f e n c er e p l a c et h ed i f i e r e n t i a lc o e 伍c i e n tt os o l v et h eq u e s t i o n t h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i n go fs t e e lf o u n d i n g 、ss u r f a c ea n dc o r e 。t h e t e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i n go fs t e e lf o u n d i n gm o s t l yb a s eo nt h er e s e a r c ho fs t e e l f o u n d i n gs l i c et e m p r a t u r e 、sc h a n g e a tt h es a m et i m e i t 、sp r e c i s i o nr e s tw i t ht h e p a r t i t o ns p a c eo f t h es l i c e f o r e c a s t t l l ep o s i t i o no f c o n c r e t i o nb o t t o m 。t oc o n f i r mt h e p o s i t i o no fc o n c r e t i o nb o t t o mm o s f l yb a s eo nt h et e m p e r a t u r eo fs t e e lf o u n d i n g w h e n t h et e m p e r a t u r eo ff o u n d i n gc o r er e a c ht h et e m p e r a t u r eo fs o l i dp h a s e1 i n e t h es l i c e h a sc u r d l e d i nt h ei n d u s t r i a lp r o d u c el i k en o n s t o df o u n d r y , t h et y p eo fs t e e la n dt e c h n i c a l p a r a m e t e ra r ea l w a y sc h a n g e b u tt h ep l a c eo fi n c i s i o ne q u i p m e n ti sh a r dt or e m o v e ，s o h o wt on i c e t yc o n f i r mt h ed i f f e r e n t f o u n d i n g s sc o n c r e t i o nb o t t o mi nd i f f e r e n t t e c h n i c sa n dh o wt oa d j u s tt e c h n i c a lp a r a m e t e r st om a k et h ef o u n d i n g 、sc o n c r e t i o n b o t t o mi ns p e c i f i c a l l yp o i n ta n df i xt h ei n c i s i o ne q u i p m e n ti st h ec o r eo f t h es u b j e c t k e y w o r d s ：t e m p e r a t u r e f i e l d ，n u m e r i c a l s i m u l a t i n g ，f i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d s f i n i t e e l e m e n tm e t h o d s 第l 章引言 1 1 研究课题的背景 第1 章引言 连续铸钢是把液态钢用连铸机浇注、冷凝、切割而直接得到铸坯的工艺，它 是当代钢铁工业大力发展的一项新技术。目前，几乎所有钢种都可用连铸生产。 连续铸钢的优越性主要体现在节省工序缩短周期、提高金属收得率、降低能量消 耗、生产过程机械化和自动化程度高等方面。 随着连铸技术在我国钢铁铸造业中的迅猛发展，连铸生产质量越来越受到重 视。近年来，我国在改造发展原有国产铸机的基础之上，先后从国外以多种形式 引进与建成各种连铸机。在此过程中，积极消化和移植国外连铸新技术，取得了 显著的成就。但是与国外一些国家相比，我国连铸技术还有很大的差距。对于国 外引进的新技术、新工艺，通常成本较高且可塑性不强。往往是一套设备的引进 对于不同型号的产品生产存在局限性。同时，对于国外新技术，没有开放的内核 算法，这给生产技术的改进和工艺优化增加了难度。因此，必须在充分发挥国外 技术与设备的基础之上，进行合理开发与应用，自行开发和研制适合我国连铸生 产新技术。这样，不仅可以掌握现代铸机控制系统的全套技术，充分发挥装备的 能力，而且对于后期铸机设备软件系统的维护具有重要的意义。 但是由于连铸生产的实际情况，采用现场试验的方法进行技术改造和工艺优 化不仅需要花费大量的人力、物力、财力，而且易受其他各种主客观因素的影响。 要提高连铸坯质量，可通过定性分析影响连铸坯质量的各种因素，并结合数值计 算方法进行模拟，实现对铸坯质量的控制。因此，建立连铸坯温度场数值模拟模 型以及凝固末端位置确定模型在控制和提高连铸坯质量方面是至关重要的。 连铸温度场数值模拟实现了实时计算出沿铸坯浇铸方向的温度场，计算断面 的温度分布，并将根据温度场的分布，预测凝固末端位置。同时也可实施反向控 制，为二冷区冷却提供决策依据。 1 2 国内外研究现状 金属连续铸造的概念早在1 9 世纪中期就已经提出，经过一百多年的发展， 连铸设备和生产工艺技术日益完善，极大地促进了连续铸造的发展。我国近年来， 连铸工艺发展也取得了很大的发展，连铸比逐年增长。 铸件凝固过程数值模拟开始于2 0 世纪6 0 年代，丹麦人f o r s u n d 最早使用有 限差分法进行铸件凝固过程的传热计算。而首次成功应用属于三年后美国专家对 汽轮机内缸体铸件进行的数值计算，其温度场的计算结果与实际值相当接近。他 成都理工人学硕士学位论文 们的成功使研究者意识到用计算机数值模拟技术研究铸件的凝固过程的巨大潜 力和广阔的前景，并由此开辟了铸件的凝固过程数值模拟的先河。 1 】- 4 1 1 。3 研究课题来源 本研究课题是与四川托日软件公司( 攀枝花钢铁集团下属公司) 委托进行横 向研究的大方坯连铸温度场数值模拟项目的研究成果。 攀枝花钢铁集团公司自2 0 0 3 年9 月大方坯连铸投产以来，攀钢积极消化、 应用大方坯连铸引进的关键技术和设备。根据实际情况制定了充分发挥设各能力 的冶金方案，开展了优化多个工艺参数的现场试验。在分析引进二冷制度对连铸 坯内部质量影响的基础之上，优化了大方坯连铸引进的二冷制度。在消化了引进 大方坯连铸轻压下工艺技术的基础之上，优化了轻压下工艺，突破了传统观念。 以上技术的改进，使得铸坯质量有了很大的提高。在2 号方坯的投产过程中，攀 枝花钢铁集团公司计划在现有工作基础上，开拓进取，进行技术创新，自行开发 和研制适合我国连铸生产新技术，生产2 号方坯。连铸技术，特别是连铸过程中 的温度场数值模拟是大方坯生产过程中的核心技术。大方坯的连铸温度场数值模 拟对于整个攀钢2 号大方坯生产线建设具有举足轻重的意义。 1 4 研究内容 连铸温度场过程数值模拟是采用计算机技术研究铸坯凝固过程中的各个阶 段和工艺因素进行数值模拟，并与经验模型和实验模型结合起来，迅速、准确地 找出影响连铸坯凝固过程的规律和工艺控制措施。 为达到预期研究成果，本毕业设计研究内容为： ( 1 ) 建立大方坯连铸温度场数学模型 模型建立可行性研究 收集大量相关论文进行研究，结合本项目的实际情况，提出建立可行性模型 的前提和条件假设。同时，对于模型的功能和参数输入等问题给出了合理的设计。 边界条件研究 一般情况下，常见边界条件可归纳为三类。而对于不同的问题，需要根据实 际情况选择使用边界条件。 ( 2 ) 选择并设计离散算法求解 根据所建立的大方坯连铸温度场模型，有限差分法采用直接从导热微分方 程出发，将求解区域划分成网格，近似地用差分代替微分，使问题得以转化。 ( 3 ) 铸坯表面及中心温度分布 沿铸坯方向温度场分布主要是以研究铸坯薄片温度变化为基础，同时其精 第1 章引言 度取决于薄片划分间距，通过合理调整参数，最终确定其表面及中心温度分布。 ( 4 ) 预测凝固末端位置 凝固末端位置的确定主要决定于铸坯中心温度。当铸坯中心温度达到固相 线温度时，该中心所在薄片位置处的金属已完全凝固。 ( 5 ) 凝固末端位置控制 对于连铸这类工业大生产过程，钢号与工艺参数都是在变化的，然而凝固 末端轻压下装置的位置是很难移动的。因此如何准确确定不同铸坯在不同工艺条 件下的凝固末端位置和如何调整工艺参数使铸坯凝固末端位置被基本控制在某 一特定点，并在此处安放轻压下装置就成为实施凝固末端轻压下技术的核心问 题。 1 5 完成情况及取得的主要成果 本毕业设计自2 0 0 5 年5 月项目立项至今，通过努力，较好地完成了各项目 标任务。研究过程中，完成了大量工作，为论文的完成打下了坚实的基础。主要 工作如下： ( 1 )实地考察连铸工艺流程 ( 2 ) 开展文献调研，收集算法及工程背景著作1o 余部 ( 3 ) 收集、整理连铸温度场数值模拟相关论文8 0 余篇 ( 4 )建立大方坯连铸温度场数学模型 ( 5 )开展算法研究 ( 6 )编写有限差分法c 语言程序 ( 7 )编写有限元法m a t l a b 语言程序 ( 8 )程序调试和测试，绘制连铸表面和中心温度曲线 ( 9 )开展凝固末端的反向控制研究 ( 1 0 )完成论文报告的编制 基于大量工作的完成，通过对大方坯连铸温度场数值模拟变化特点分析与研 究，取得了如下主要研究成果： ( 1 1 )建立大方坯连铸温度场模型，并提出边晃条件 ( 1 2 )编写大方坯连铸温度场求解有限差分程序 ( 1 3 )绘出温度场分布图 ( 1 4 )计算铸坯出结晶器时的坯壳厚度 ( 1 5 )绘制固液相区分布图 ( 1 6 )建立凝固末端位胃反向控制模型 成都理工大学硕士学位论文 第2 章模型设计 铸件的凝固过程温度场数值模拟首先要解决的问题是确定数学模型及相应 的数值计算方法。铸件凝固过程数值模拟计算依据的基本数学模型是不稳定导热 偏微分方程。导热微分方程的推导是通过考察处于导热过程中物质的微元体的能 量平衡来进行的。热传导进入微元体的净热流和微元体内产生的热量一起作用于 增大微元体的内能，微元体内能增大反映在微元体能量存储随时间的变化上。微 元体能量平衡，使能量存储的时间变化率与热传导引起的流入微元体净热流和微 元体内产生的热量之和相等，从而建立了凝固过程温度场分析的数学模型。对于 模型的求解，其基本思想就是解考虑了热传导以后能量守恒定律，需给出其定解 条件( 初始条件和边界条件) 。 下面先给出大方坯连铸温度场数值模拟模型功能设计和模型的假设。 2 1 模型功能设计 根据连续铸钢的实际工程条件，对其数学模型的功能设计如下： ( 1 ) 定义坐标系和铸坯内温度场函数 ( 2 ) 确定基本微分方程和定解条件，建立描述铸坯传热过程的解析形式的数学 模型 ( 3 ) 数学模型允许给定各项输入参数： 几何参数如铸坯断面形状和定性尺寸，结晶器有效长度等 工艺参数如浇铸温度，拉坯速度，钢种，二冷区冷却水温度等 钢的热物性参数如比热，密度，导热系数，液相线温度，固相线温度， 凝固潜热，等效比热容等 ( 4 ) 离散化求解算法和计算机实现 这是两个密切相关、相互制约的问题。为了所得到的数学模型能在工程中使 用，要求所使用的离散化算法和求解方法不仅具有良好的稳定性、收敛性和精度， 而且应能在微机上以合理的计算时间完成模拟计算。 ( 5 ) 模型应有下列输出功能旧 铸坯内各点在指定时刻的温度值 铸坯内两相区的形成、发展和消失的历史，以及固、液相线的形状等： 连铸工艺和质量的参数，如结晶器出i z 处的凝固壳厚度、液芯长度等 第2 章模型设计 表面温度线、中心温度线图 各工艺参数变化之间的变化关系 2 2 模型假设 影响铸件凝固过程的因素很多，在求解中若要把所有复杂的因素都考虑进去 是不现实的，同时也是不可能的，因此在铸件凝固过程复杂的实际条件下，需要 抓住主要因素，舍掉次要因素。 为了使问题简化，特作如下必要的假设： 认为液体金属在瞬时充满铸型后开始凝固。初始条件就是根据这个假设 来确定的。这个假设对大型铸件来说，由于其凝固时间相对浇铸时间要长得多， 不会引起大的误差嘲。 忽略拉坯方向的传热 凝固坯壳散热以传导传热为主，忽略液相穴的对流传热，以及与空气的 辐射传热【7 1 在计算区域内，钢液初始温度相同 铸坯断面为几何对称面，其传热条件相同 凝固从液相线温度开始，降至固相线温度结束 不考虑枝晶长大问题，认为在铸坯内部存在三个区域：固相区，液相区， 固液两相区 成都理工大学硕士学位论文 第3 章大方坯连铸温度场数学模型建立 铸坯从结晶器内钢水弯月面向下以一定的速度移动，热量从铸坯中心向表面 传递，所传递热量的多少取决于铸坯表面边界条件和金属的热物理性能，为导出 铸坯温度场分布的数学模型，可从结晶器的钢水弯月面处，沿铸坯中心，取一铸 坯薄片作为微元体，与铸坯一起向下运动，通过对铸坯薄片的研究，确定铸坯温 度分布变化。 3 1 大方坯连铸凝固热传导方程 取结晶器内弯月面几何中心为时空坐标系o x y z t 的原点，铸坯拉速方向为z ， 时间轴o t 与o z 相重合。取大于冶金长度k 的长度上为z 的上界，相应的有时间 上界0 。在此时空坐标系上定义了铸坯温度场函数7 _ ( x ，y ，z ，t ) ，3 t o x d i ( 铸 坯宽度的1 2 ) ，0 y d 2 ( 铸坯厚度的1 2 ) ，0 z ，0 - t t m 。如图1 所示： 图1 空间坐标系 以微元体( 出州i ) 为研究对象，导出热传导微分方程式。微元体内能量发 生变化是由沿坐标轴方向x ，y ，z 的输入热能q ，q 。，q 和输出热能 q m ，q 。西，q + 女构成圈。 对于x 方向的输入热量和输出热量分别为： a q ，= 中，- 咖d z d t ( 3 1 ) q x + 女= 巾。女砂d z d t 式中m ，为x 方向热流密度，m ，= 一 譬 出 在x 方向瞬时所积累的热能为： ( 3 2 ) ( 3 3 ) 第3 章大方坯连铸温度场数学模型建立 d g = q ，一a o = 一女= 一锄，t 咖d z d t 同理，在y 方向积累的热能为： 锡= 一d q j y d x d z d t ( 3 5 ) 在z 方向积累的热能为： 觋= 一揶：出- 砂出 ( 3 6 ) 微元体内积累的总能量为： d q = a q x + d q v + d q 2 = 一( 掷：a y d z d t + 枥，呔 毖函+ 抛：出方。办) ( 3 7 ) 而； d q b ，：孕d x ( 3 8 ) 枷。：孚咖 ( 3 9 ) 删 抛：竺d z ( 3 1 0 ) 将式( 3 8 ) ，( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 代入式( 3 7 ) 得； 坦= 一怯 一 罢 + 专( 一a 茜 + 鲁 _ 五詈 出，砂如础 ( 3 一1 1 ) 另一方面微元体实际积累的热能 = c p p d x d y d z d t ( 3 1 2 ) 由式( 3 1 1 ) 和式( 3 1 2 ) 得热传导微分方程为： 0 t 2旧82t芬+窘)(3-13)ot c p p 3 x ，十_ 十_ l l 2 砂2出2 铸件凝固过程的数学模型是根据该方程式建立的，但除此之外，还必须考虑 铸件凝固过程中的港热吼释放。因此在考虑了潜热释放后的连铸坯凝固传热为有 内热能的三维非稳态传热问题，其直角坐标系的导热微分方程为： p 詈= 杀c 丑罢，+ 专c 五茜，+ 芸c 五百o t ，+ 吼( 3 - - 1 4 ) 成都理工人学硕士学位论文 其中：p = p ( t ) c p = c p ( t ) 旯= 兄( r ) g 。 钢密度 钢比热 导热系数 温度 内热源 堙m 3 j 垤o c w m o c o c 考虑到此微分方程难以求解，而且浇铸方向的传热主要是浇注速度产生的热 传递，可以忽略浇铸方向上的热平衡的对流部分。薄片沿铸坯向下移动，按浇铸 方向沿铸机进行跟踪，则薄片的传热方程可简化为： p 勺i o t ：昙( 矗o t + i 0 ( i o t ) + g ，( 3 - - 1 5 ) p 勺百2 瓦犁+ 瓦面+ g v 3 2 钢的物- 性参数计算处理 32 1 物眭参数随温度变化的规律 一般来说，钢的导热系数、比热容和密度都和温度有关。 ( 1 ) 导热系数兄。对固相区的导热系数一般视为常数，或为温度的线形关系 五= a + b t 。对于低碳钢五= 0 0 3 3 + 0 ，2 6 5 1 0 t ( c a l c m s 。c ) ；对于液相区，流 动的钢液一般相当于静止钢液导热系数的4 7 倍：对于固液两相区，导热系数 相当于固相和液相之间，有如下的处理方法： 与温度呈线形关系： 锄一。+ 瓮( ，一五， 五。一两相区等效相导热系数 屯一液相导热系数a s 一固相导热系数 液体对流传热随固相分率增大而减小 锄= 2 s 1 + ( m 一1 ) ( 1 一z ) 2 】 z 一固相分率m = 丑以 第3 章大方坯连铸温度场数学模型建立 丑，取液相的一半 1 锄2 i 如 取固液相的平均值 锄= ( 半) 五 由上可见，对导热系数的处理方法多种多样，选取和计算时需具体分析，使 其更能反映实际的凝固过程。 ( 2 ) 比热容c 。钢的比热容c 与钢种和温度等因素有关系，一般来说，比热 容随温度升高而增大，但高温下比热容变化不大，故可把比热容当常数处理。也 可处理为与温度呈线形关系。 ( 3 ) 密度p 。铸坯在凝固冷却过程中体积会发生变化，其密度与钢种、温度 和相变有关，对低碳钢液相密度p = 7 0 9 c m 3 ，高温固相密度p = 7 4 9 c m 3 。在 定温度下，钢中碳增加时，密度仅有轻微变化。 3 ，2 2 液固相线温度计算 9 钢的液崮相温度取决于化学成分。根据钢中舍c 、s i 、m n 、p 、s 、e u 、n i 、 c r 、a l 量，用经验公式计算。液相线温度计算公式为： 正= 昂一a t - f 式中： z 一液相线温度 疋一纯铁熔点 丁一铁液中每加入1 元素i 使熔点降低值 f 一元素i 重量百分比 液相线温度的经验计算公式如下： 五= 1 5 3 8 一 5 5 【c 卜8 0 【c 【c + 1 3 陋f 】+ 4 8 【脚 + 1 5 【c ， + 4 3 n i l + 3 0 e + 3 0 s ( 3 1 7 ) 根据【c 的含量不同，采用不同的固相线温度的经验计算公式如下： 当【c 0 0 9 时， 成都理工大学硕士学位沦文 瓦= 1 5 3 8 一 4 7 8 c + 2 0 5 s i + 6 5 嘶 + 2 o c r + 1 1 5 【m 】+ 5 0 0 p 】+ 7 0 0 b 】十5 5 阻，丑( 3 - - 1 8 ) 当0 0 9 o 1 7 时 瓦= 1 5 2 7 一 1 8 7 5 c + 2 0 5 s i + 6 5 胁 + 2 o p + 1 1 5 n i l + 5 0 0 吲十7 0 0 p + 5 ，5 口z b 3 。2 。3 凝固潜热处理 采用等效比热法处理潜热项g 。“。在实际生产中，通常不产生平滑的凝固界 面，几乎所有铸件都是树枝状结晶，在结晶过程中，要不断释放结晶潜热。因此， 在铸件凝固过程中，在固液交接面放出的潜热用数学模型计算时，可把潜热化作 为固液两相区等效比热： c = c + 生一 ( 3 一l 6 ) 7 l 一? ； 其中，、疋分别为液相线温度和固相线温度。 根据以上分析，可得到大方坯连铸凝固传热模型为： 胪i o t ：昙( 允娶) 0 ( i o t ) ( 3 刊1 ) d c i 一) + ( 一) l j z ， a t 敏、敏。a v 、 3 3 定解条件 ( 1 )初始条件 以结晶器入口截面钢水温度分布作为时间t = 0 时的初始条件，即 疋，k = 瓦 ( 3 2 2 ) 式( 3 2 2 ) 中，f 为浇注温度，单位为。c ( 2 )边界条件 9 模型的准确性很大程度上依赖于边界条件。对于连铸机来说，结晶器和二冷 区的边界热流是控制凝固和坯壳生长最主要的外部因素。 笙! 主查立堑堡箜塑壁塑墼堂蔓型堡皇一 铸坯中心线两边为对称传热，断面温度成中心对称分布，采用绝热边界 条件： 乱孚= 。( 3 - - 2 3 ) 2 0 t d ：o ( 3 2 4 ) o y l j 式中，马和b 分别为铸坯断面宽度和厚度，单位为m 铸坯表面 一 娶b ：。 ( 3 2 5 ) 一五詈卜中 ( 3 q 6 式( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) 中，o 为铸坯表面热流密度，单位为形，m 2 表面热流密度。在结晶器与在二冷区的计算不同，在结晶器内，结晶器冷却 水传热可由应用较广的下式计算“： o ：( 6 4 0 8 0 4 7 ) x 4 t 8 4 w i r e 2 ( 3 2 7 ) 式( 3 - - 2 7 ) 中，f ：l 为铸坯在结晶器内停留的时间，单位为s ，y 为拉速， 单位为m s ；三为结晶器长度，单位为m 而在二冷区，其表面热流密度m 可表示为1 ： o = h ( t 一t 2 ) ( 3 呷2 8 ) 式( 3 2 8 ) 中， 为二冷区平均换热系数，单位为w m 2 - 6 c ；，为铸坯表 面温度，r ，为冷却水温度，单位为9 c ； 平均换热系数式与水流密度有关的量，选用的计算式( 适用气水喷嘴) 为： h ：0 3 5 w + o 1 3 ( 3 _ 2 9 ) 式( 3 2 9 ) 中， w 为水流密度，单位为l m 2 。s 。 3 4 大方坯连铸温度场数学模型 基于以上分析及定解条件，可得大方坯连铸完整的温度场模型如下：( 可看 一1 l 一 成都理工大学硕七学位论文 成无内热源平面不稳定温度场) 模型： 百a t = 南c 等+ 争 初始条件 边界条件 其中 五 尸 c r r = 0 时，t = r 为已知 以割，卸 啪l ， 导热系数 w m 。c 钢密度堙 等效比热容 ，培。c 边界 1 2 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 第4 章离散化算法 第4 章离散化算法 对连铸凝固传热的偏微分方程，可以用解析法或数值法求解。由于问题复杂， 用解析法难度大，而且计算结果与实际出入较大，所以最好用数值方法来处理。 数值方法主要有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，写为f d m ) 和有限元法 ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，写为f e m ) 。 有限差分法是将实际的物理过程( 导热过程) 在时间和空间上离散化，分成 有限数量的有限分量( 如z ，y ，a z ) ，近似地置换成一连串的阶跃过程，用函 数一些特定的有限差分、差商代替微分、微商，将无限问题转化为有限问题，建 立与原方程相应的差分方程，从而将微分方程转化为一组线性代数方程。有限差 分法是求解非稳态传热问题和连铸凝固传热问题普遍采用的方法，尤其在解决规 则边界问题上极为方便，且编程容易【1 。 有限元法是以变分原理为基础，通过对连续体本身进行离散化而进行数值 计算，其推导方法有：直接法、变分法和加权余量法。直接法的优点在于易于理 解，但能用于某些特殊的问题。变分法把微分方程转化为泛函的驻值问题，使有 限元法建立在坚实的数学基础之上，但寻找泛函非常困难，而且抽象，加权余量 法直接从基本微分方程出发，求得近似解，由于不在需要寻求泛函，使其数理分 析过程更为简单，适用范围更广。 4 1 有限差分法 考虑到攀钢在连铸过程中的实际情况，我们所面临的是大方坯连铸问题， 其边界条件比较规范，这里我们采用有限差分法实现对连续铸钢热传导过程进行 数值模拟。 4 ，1 1 算法思路 非稳态导热的特点是温度不仅随空间坐标变化，而且还随时间变化。对微分 方程作有限差分离散化处理必须同时把所研究的空间和时间范围各自剖分成许 多细小的间隔组成的网格。 首先把求解区域离散化，在结晶器钢液面处取一铸坯薄片作为微元体，并将 它分为许多网格。网格的剖分可以采用两组平行于z 轴和y 轴的直线形成的网格 覆盖区域q ，网线与网线的交点为节点，节点间的距离称为步长。x 方向上的步 长表示为z ，y 方向上的步长表示为y 。为便于计算机计算，需对节点逐个编 成都理工大学硕士学位论文 号，常用( f ，) 表示节点的位置，其中f ，是与网格节点对应的j 下整数。习惯上， 与x ，y 轴相一致，i 由左向右逐个增长，j 由下而上逐个增长。 缸和缈可以是不变的常量，即等步长，也可以是变量，即变步长。如果区 域内各点处温度梯度相差很大，则在温度变化剧烈处，网格布得密些，在温度变 化不剧烈处，网格布得疏些。网格的剖分要受到铸件几何形状以及计算要求达到 的精度的约束。一般来说，网格剖分的越细，数值计算的结果越接近实际温度值， 但是这样会增加计算机的信息存储和增加运算次数，延长计算时间导致计算费用 的增加。 从物理方面对区域离散化可作这样的理解，即认为区域离散的每个节点， 都集中着它周围区域( 尺度为步长) 的热容，或者说，区域内连续分布的热容都 被分别地集中到离散的节点上去了。这样节点温度代表着它周围区域的某些温 度。一系列离散的节点温度值代表着连续区域内的温度分布。节点( f ，) 处的温 度表示成i 。 差分方程的建立取矩形断面的四分之一，坐标原点取在液芯中心点处，平行 于z 轴方向直线均分为m 份，平行于y 轴方向直线均分为n 份，边界分别落在网 格线i = 月+ 1 ，= m + 1 上。出表示沿拉速方向的时间步长，a x ，a y 分别表示x ，y 方向上的步长且步长相等。因方坯断面为轴对称图形，其边界的冷却条件基本相 同，故断面上的温度场的分布也是轴对称的，只分析其四分之一断面上的温度分 布，就可以按轴对称推得整个断面的温度分布。 按上述方法将温度场离散化，建立起二维差分均匀网格，网格划分如图2 所示： ( j ，j _i ) ( ，j ： ( 卜1i ) + 1 ，j ( r j 一 ) 图2 有限差分法网格剖分图 说明：在直角坐标系a o c 中，原点o 点代表液芯位置，b 点为角部点； o a 边、o c 边分别为工轴( 横向第一行) 和y ( 轴纵向第一列) ；b c 边、a b 边分别代表平行于x 轴的边界和平行于y 轴的边界。 第4 章离散化算法 4 1 2 有限差分方程的建立 i 二= z ”k + 血) 雹+ 坐l ! f l 固a x j “, + 继2 ( 导 ：。 q 叫 翠= z “一a x ) 卅一坐v 俐t a x z 十譬f t 鲥a x j , 1 将式( 4 - - 1 ) 和式( 4 - - 2 ) 相加，省去高阶项得： 一阶项( 詈 j = 华( 4 - - 3 ) 二阶项= 等 c 4 叫， f 宴 ”：塾二翌：氇( 4 - - 5 ) l 矿j ，( 缈) 2 由于分子中的温度差是用时间上向前一个间隔值与考察点值之差确定的，所 以称为向鲋差分格式。温度的二次导数是用考察点值向前半个i n n - 与n 4 s 个间隔 的一次导数差得出的，为中心差分格式。 将以上两式代入所建立的温度场模型，得其二维显式差分方程为： l ，n ，+ l n + 面z ( 缸a t ) ( t 川懈，嘴，+ r d _ 1 4 咒) ( 4 m 6 ) 该方程是任意内部节点的有限差分方程，可以以此为基础，推导出铸坯断面 中间及边界点对应的差分方程，并在边界点的差分方程中引入边界条件，这样就 构成了求解差分方程“。 中间节点( f _ 2 ，n ；j = 2 ，搠) 彩n ，+ 者( 球隅，蠕，哪川j ) ( 4 7 ) 0 点f i ：1 ：1 ) 成都理工人学硕士学位论文 a 点( _ ”十l ，= 1 ) 2 咒+ 罢p c t a 冬x ) 2 1 0 ) 哪n 器( 巩嘲n ，一半) b 点( f = ”+ 1 ，j = + 1 ) 掣哦十籀( 瑙n 一半 c 点( = l ，j = 研+ 1 ) + 瓣( 磁：一竿) a o 上节点( f = 2 ，即，= 1 ) 即淼峨，q ：) a b 上节点( f ：竹+ 1 ；，= 2 ，m ) 掣+ 者旧t 峨一：， b ci - t l 点“= 2 ，n ；j = m + 1 ) 2 巾l k x ) j 掣锻n ，+ 者峨，一夺芋j o c 上节点( f = t ；j = 2 ，m ) 1 6 ( 4 9 ) ( 4 一1 2 ) ( 4 一1 3 ) ( 4 1 4 ) 第4 章离散化算法 w 哦+ 赫+ t t j + 2 强，叫：) ( 4 一1 5 ) 以上建立的九个差分方程均为显式差分方程，对于方程的求解是采取逐层迭 代的方法。根据方程结构特点及节点所在的位置的不同，要求第n 十1 层上任意节 点的温度值完全可以有第胛层上的相邻节点处的温度值决定。若为内部节点，则 需要第月层上相邻的四个节点共同决定；若为边界的节点，则需要第栉层上相邻 的三个节点共同决定；若为角部节点，则只需要第层上相邻的两个节点来决定。 采用这样的方法，从外向内推进，层层计算各节点温度值，并依次代入，求解下 一层节点温度值。 4 1 3 稳定性和收敛性判断 如果初始条件和边界条件有徽小的变化，解的最后变化是微小的，则该解是 稳定的，否则是不稳定的。用差分方程代替微分方程舍去泰勒级数展开项中高阶 导数项，会引起误差( 截断误差) 。如果时间步长和空间步长取得足够小，近似 代替是可行的，差分方程的稳定性和收敛性需满足条件为： 丝i _ 上+ 土i 三( 4 - - 1 6 ) i l 丽+ 丽j 互 在本问题中，空间步长缸= 缈，则差分方程的稳定性和收敛性条件为： 丝! 瓦，是，则进行下一步；若否，则结束计算。 ( 9 ) 时间t = t + a t ，返回( 4 ) ，计算薄片在下一时刻的温度； 512 程序设计流程图 该程序设计的流程图如下 第5 章程序设计及测试 5 1 3 程序测试 输出结果 上 结束 图3 有限差分法程序流程图 在差分法中，我们使用下面测试数据对程序进行检验： ( 1 ) 大方坯连铸机的几何参数陋1 结晶器有效长度 1 0 = 0 8 51 1 1 结晶器的宽度和厚度 冶金长度 ( 2 ) 工艺参数 初始温度 拉速 1 1 = 2 8 0n l m1 2 = 3 8 0n l l r l l = 2 0 9 m 瓦= 1 5 2 0 o c v = o 7 5聊r a i n 成都理工大学硕士学位论文 二冷段冷却水温度t = 3 0 o c 平均换热系数h = 0 3 5 w 十o 1 3 w m 2 o c 水流密度 w = 1 0l m 2 s ( 3 ) 钢的物性参数【2 3 】 比热 c = ( o 1 0 9 7 1 + 5 4 0 1 6 x 1 0 。f ) x 4 1 8 4j 姆t 。c 密度p = ( 7 8 1 3 7 3 3 4 8 1 1 0 。4 r ) 1 0 0 0 k g m 3 导热系数 兄= ( 0 4 5 0 4 1 1 7 0 5 7 x 1 0 - 4 t ) 1 0 0 w m o c 液相线温度t l = 1 4 9 0 。c 固相线温度r = 1 3 9 8 o c 14 程序运行结果 程序运行后，结果如下： 出结晶器坯壳厚度为2 5 81 t i i t i 凝固末端位置为 1 7 4 41 1 3 凝固末端位置温度值：对2 8 0 3 8 0 m m 大方坯，网格划分得到2 9 3 9 个网格 氧，其中( 1 ，1 ) 点为中心点。下面是对应网格点的温度。 1 9 】3 9 i3 2 013 9 07 2 i1 3 9 0 2 21 3 8 9 3 2 31 3 8 8 5 2 41 3 8 7 8 2 51 3 8 7 2 61 3 8 6 2 2 7 3 8 54 2 8l3 8 46 2 93 8 38 3 9 l3 3 9 06 3 8 9 q 3 8 92 3 8 8 5 3 8 77 3 8 7 3 8 6 二 3 8 5 4 3 8 4 6 3 8 37 3 0 1 2 3 9 05 3 8 98 3 8 9l 3 8 84 3 8 76 3 8 68 3 8 6 3 8 53 3 8 j 4 3 8 3 6 3 q l 13 q f l 3 13 8 9 6 13 8 89 13 8 8 2 l3 8 74 l3 8 6 7 l3 8 j 0 i j 8 51 3 8 43 3 8 3 4 3 ( ) f 18 3 q 01 3 8 04 3 8 8 7 】 3 8 7l ) i 3 8 72l j 8 64 l 3 8 5 6 1 4 8l 3 8 4l 3 8 3 二1 3 9 051 3 9 ( ) i 3 8 q 81 3 8 9 i 3 8 ql3 8 8 7 3 8 843 8 8 3 8 763 8 7 2 3 8 6913 8 “5 3 8 6 13 8 57 3 8 53i3 8 4q 3 8 451 3 8 4l 3 8 37 13 8 33 3 8 2 q1 3 8 1 5 3 8 9 6 i 3 8 8 q 1 3 8 8 2 1 3 8 7 5 1 3 8 6r 1 3 8 6 3 8 53i 3 8 45l 3 8 1 7 l 3 8 29 l 3 8 1 1 3 8 9l 3 8 84 3 8 7 7 3 8 7 3 8 63 3 8 55 3 8 4 8 3 8 4 3 8 3 ： 3 8 24 3 8 1 5 3 8 8 5l3 8 793 8 72 3 8 7913 8 7213 8 65 3 8 7 2 】3 8 6 51 3 8 5 8 3 8 6 4l3 8 5 _ 81 3 8 51 3 8 571 3 8 5 1l3 8 44 3 8 sl3 8 4 33 8 36 3 8 41 i3 8 36 13 8 29 3 8 3413 8 2 _ 8 】3 8 1 1 3 8 263 8 2l3 8 i 3 3 8 l813 8 1 二1 3 8 0 ) 3 8 i 1 3 8 0 1 3 7 97 3 8 65 3 8 5 8 3 8 51 3 8 4 4 3 8 3 7 3 8 29 3 8 2l 3 8 l4 3 8 06 3 7 9 8 3 7 8 9 1 j l13 ) ：1 2l3 9 22 3l3 9 2l 4l j q l 51 3 ) i9 63 9 i7 71 3 9 i 4 8l3 9 1 1 93 0 n8 1 0l3 叫l5 l | 13 9 1 ) j l ：13 8 96 i3 】3 8 9l 1 413 8 8 6 513 8 8l n 1 j 8 75 】7l j 8 9 18l3 8 6 3 】o13 8 57 2 0l3 8 5 2 li3 8 3 二二1 3 8 36 2 31 3 8 29 2 41 3 8 1 | 1 5 l3 8 1 4 ：63 8 ( 16 2 7l 7 98 2 83 7 9 2 9l j 7 8 1 51 67i8| 9 2 0 3 9 14 3 9 】j 3 9 i3 3 9 l2 3 u l 3 0 u 8 3 9 0 n 3 0 f ) 3 3 9 l j 3 8 96 3 8 9 2 3 8 88 3 8 83 3 8 78 3 8 73 3 8 67 3 8 6l 3 8 55 3 8 , 1 8 3 8j1 3 8 35 3 8 2 8 3 8 2 3 8 i3 3 8 0 5 3 7 9 7 3 7 9 j 7 8 37 73 3 9 05 3 9 05 3 9 04 3 9 0 3 3 9 0 3 8 9q 3 8 97 3 8 94 3 8 9 1 3 8 8 7 3 8 8 3 3 8 7q 3 8 7 4 3 8 69 3 8 64 3 8 58 8 51 3 8 j6 3 8 4 3 8 j j 8 二n 3 8 i9 3 8 l2 j 8 04 3 7 9 7 j 7 89 3 7 8 j 7 7 j 3 7 65 2 i2 22 32 4 2 52 6 3 8 56i3 8 j5l3 8 34l3 8 二41 3 8 i31 3 8 01 3 8 5 5i3 8 453 8 343 8 2 313 8 1 二i3 8 01 3 8 551 3 8 44l3 8 3313 8 2 3l3 8 1 二l3 8 0 1 3 8 541 3 8 43 】；