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广义系统的稳定性与分散控制 摘要 论文基于广义大系统的模型，较系统地研究了参数不确定广义 大系统的稳定性和分散镇定控制以及保性能控制问题应用线性矩 阵不等式( l m i ) 方法研究一类具有参数有界不确定的广义大系统 的鲁棒稳定性和分散鲁棒镇定问题设计一个状态反馈控制器，使 得对所有不确定项，闭环系统是正则的、因果的且稳定的得到了 其可分散状态反馈镇定的一组严格矩阵不等式( l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ) 的充分条件，提出了该类不确定广义大系统的分散鲁棒 控制器的参数化设计方法 对一类具有参数有界不确定的广义大系统和一个二次型性能指 标，研究了其保性能状态反馈控制器的设计问题基于不确定项的 表达形式，应用线性矩阵不等式( l m i ) 方法和l y a p u n o v 函数法，导 出了存在保性能分散控制器的l m i 条件 研究了由若干个相同的广义线性子系统以对称的内联方式构成 的广义拟对称组合大系统的性质通过系统变换，将原广义拟对称 组合大系统转换为n 个低阶的修正子系统，进而说明广义拟对称组 合大系统的稳定性、能控性、能观性、固定模的存在性、分散正常 化、l y a p u n o v 方程和鼬c c 甜i 方程的解等性质，均可由这行个低阶的 修正子系统的相应性质来描述 关键词：广义大系统；镇定；线性矩阵不等式；鲁棒控制；保性 能控制 t h es t a b i l i t ya n dd e c e n t r a l i z e ds t a b i l i z a t i o nc o n t r o lf o r g e n e r a l i z e ds y s t e m a b s t r a c t i nt h el i g h to ft h er e c e n tw o r ko ng e n e r a l i z e ds y s t e m sm o d e l s , t h e d i s s e r t a t i o np r o v i d e sas y s t e m a t i cs t u d yo nt h e 鼬a b i h 锣，d e c e n t r a l i z e d s t a b i l i z a t i o nc o n t r o lo fp a r a m e t r i cu n c e r t a i n t ya n dg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lo fg e n e r a l i z e ds y s t e m sm o d e l s t h i sp a p e ra d d r e s s e st h e p r o b l e n l s o fr o b u s ts t a b l ea n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i n g e n e r a l i z e ds y s t e m sw i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s v i al i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m dm e t h o d t h ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sa r ea s s t m a e dt o b et i m ei n v a r i a n t , b u tv a l u eb o u n d e d t h ep u r p o s eo ft h ef u n d a m e n t a l i s s u e sr o b u s ts t a b i l i z a t i o ni n t h i sp a p e ri st od e s i g ns t a t ef e e d b a c k c o n t r o l l e r s8 0t h a t , f o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s ，t h ec l o s e d - l o o p s y s t e mi sr e g u l a ra n ds t a b l ec a u s a l i t y i nt e r m so f s t r i c tl m i ，s u f t i e i e n t c o n d i t i o n sf o r t h es o l v a b i l i t yo fa b o v ep r o b l e m sa r ep r e s e n t e d , a n dt h e p a r a m e t e r i z a f i o n so ft h ed e s i r e ds t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r ea l s o g i v e n f o rac l a s so fg e n e r a l i z e ds y s t e m sw i t hv a l u eb o u n d e dp a r a m e t e r u n c e r t a i n t ya n daq u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei n d e x ，t h ep r o b l e mo f d e s i g n i n gag u a r a n t e e d c o s ts t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d b a s e do nt h ee x p r e s s i o no fu n c e r t a i n t yas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo ft h eg u a r a n t e e dc o s td e c e n t r a l i z e dc o n t r o l l e ri sd e f i v e db y l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c ha n dt h el y a p u n o vf u n c t i o n ac l a s so fs i n g u l a rs y s t e m sw i t hs y m m e t r i ci n t e r c o n n e c t e da n d i d e n t i c a ls h u c n 盯ew a si n v e s t i g a t e d t h eo r i g i n a ls i n g u l a rs y m m e t r i c c o m p o s i t es y s t e m s w e r et r a n s f o r m e dt onl o w e r - o r d e rm o d i f i e d s u b s y s t e m sv i as y s t e m st r a n s f o r m a t i o n t h e ni tw a sf o u n dt h a tt h e c h a r a c t e r i s t i c ss u c ha s s t a b i l i t y , e o n l r o l l a b i l i t y , o b s e r v a b i l i t y , t h e e x i s t e n c eo faf i x e dm o d e , d e c e n t r a l i z e dn o r m a l i z a t i o n , t h es o l u t i o no f t h el y a p u n o ve q u a t i o na n dr i c c a t ie q u a t i o n t h i sk i n do fs i n g u l a r s y s t e m sc a nb ed e t e r m i n e db yt h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e so ft h en l o w e r - o r d e rm o d i f i e ds u b s y s t e m s k e yw o ld s ：g e n e r a l i z e ds y s t e m s ；s t a b i l i z a t i o n ；l i 嘲m a t r i xi n e q u a l i t y ； i d b l 1 s tc o n t r o l ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r 0 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 签名：刘殖m 一7 年f 月膨 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 盔l 翻凇7 年f 月6 日 导师签名： 必堡丛么妒7 年l - 月形日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 第1 章绪论 本章简要叙述了线性广义大系统的实际背景，阐述了线性广义 大系统稳定性与分散控制问题的研究现状和存在的问题，然后介绍 了本文的研究内容和主要工作 1 1 大系统与广义系统 随着近代科学技术与高新技术的发展，大型工程技术的需要， 人们提出了大系统它最初面临的问题是要克服与其相关的数学模 型维数e l 益增大和复杂性带来的困难，例如电力系统、化工过程、 大型空间结构和计算机通讯网络等大规模系统。 最初对“大系统”概念的认识，是把一个系统分解为相互连接 的子系统，若能由子系统的性质组合得到整个系统的性质，就把这 个系统视为大系统大系统具有规模庞大、结构复杂、功能综合、 因素众多的特点。对于大系统，集中控制将会使得整个控制系统信 息交换异常复杂，通讯费用十分昂贵，因而使得集中控制在大系统 控制方面变得非常不切实际 有鉴于此，一种为克服集中控制的上述缺陷而采用分散化结构 的分散控制便在上世纪7 0 年代应运而生，并显示出十分光明的应用 前景而受到控制理论界和工程界的高度重视和广泛研究然而，由 于分散控制采用了不完全的信息交换模式，使得控制系统出现了在 正常的完全的信息交换模式下未曾产生的一些有趣而又不容忽视 的问题。因此，3 0 年来，大系统的分散控制的研究一直是很多学者 研究的热点并取得了一系列重要的研究成果 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 与此同时，随着现代控制理论与方法应用于工程系统的深入和 向其它学科领域的渗透，一类具有更广泛形式的系统被发现它与 我们通常讨论的正常系统相对应，被称之为“广义系统”自上世 纪7 0 年代h h r o s e n b r o k 1 】在讨论互联系统时提出广义系统概念以 来，人们又在电子网络【2 1 、机器人【3 】、经济管理嗍、生物工程和航 天技术等领域发现了很多广义系统的例子 4 - r 1 3 0 年来，广义系统的 研究工作取得了十分丰硕成果，尤其是对线性定常广义系统的研究 在理论上已渐臻完善 广义系统既可看作对一般控制系统的自然延伸，又可视为对大 系统的一种推广它既具有区别于正常系统的特征，又具有区别于 正常情况的大系统的特点，因而在研究工作上更增加了不少新特色 从上世纪8 0 年代中期广义系统分散控制的研究成果在国际上首次 公开发表后，2 0 年来，其研究工作一直成为国内外很多学者的一个 热点并取得了很多研究成果 1 ，2 广义大系统的背景 在工程技术中，作为研究与处理对象的物理系统，其数学模型 是描述系统内部物理量( 或变量) 之间关系的数学表达式，这种数学 表达式常常可以写成如下形式 ，以x ( o ，砸”= o 或者f c k ，x ( 七) ，x + 1 ) ) = 0 ( 1 1 ) 其中f 与工( ) 是向量值函数传统上，总假定系统可以表示为关于未 知函数的导数( 差分) 已经解出的形式 工( o = f ( t ，工( f ) ) 或者x ( k + 1 ) = 八_ j ，x ( 七) ) ( 1 2 ) 在数学中( 1 2 ) 也称为正规形常微分( 差分) 系统( 即正常系统) ，而在 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 工程中，( 1 2 ) 称为所考虑的物理系统的状态方程因此传统的理论 与技术都只是围绕系统( l2 ) 发展起来的从数学上看，只有在所考 虑的范围内，当系统( 1 1 ) 满足d e t 竽o 时，它才可以写成( 1 2 ) 的 a x 形式但是对大多数系统而言，这样的条件难以满足。如果在考虑的 范围内，对系统( 1 1 ) 有d e t 皇竺：0 ，就称此系统为广义系统 a x 随着现代控制理论与应用研究的深入，计算机的发展及其在工 程实际中的广泛应用，人们越来越多地认识到广义系统对系统理论 研究的重要性，并发现广义系统在化工系统、电力系统、经济系统、 复杂电路与人工神经网络、受限力学系统等中的广泛应用这导致 了对广义系统进行研究的工作的大量涌现1 0 ，n 】，以至系统理论的研 究出现了一个新的方向一广义系统理论这个方向的研究目前越来 越受到理论与实际工作者的重视，呈日益壮大的趋势其中研究比 较多且理论发展比较完善的是线性广义控制系统 e x ( t ) = ( 爿+ r 4 弦( ，) + ( 口+ b m ( r )( 1 3 ) 或者 e x ( k + 1 ) = ( 彳+ 4 ) x ( 的+ ( 曰+ b ) “( 七) ( 1 4 ) 这里e ，彳，4 ，b ，a b 均为常系数的相应维数的矩阵 由于大系统规模庞大，维数较高，很难采用经典的集中控制方 法，而通常采用分散控制方法将大系统分解成子系统的组合可使 得大系统简化和研究方便 然而，由于广义系统有较为实际的背景，它能更好地描述实际 生产过程，因而对组合广义大系统的控制问题研究的意义就更明显 特别是随着计算机的发展，人们在计算机网络控制、大型电力系统 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 在线控制等工程及经济活动中，大量存在如下形式的广义大系统 骂算t ( ，) = ( 4 ，+ 4 ) 而( ，) + ( 4 十4 ) o ) + ( 马+ 马) 约( d ( 1 5 ) j ；l ， 1 或者 骂薅 + 1 ) = 似+ m 埔+ 鸭+ m 玛( 七) + ( 骂+ 媚地 ( 1 6 ) ，司j 一 ( 其中；局，呜，骂，蚴，屿，g _ ，= 1 ，2 , - - , ，) 为常系数相应维 数的矩阵，r a n k e , = s 吩，= r r l ，te r 4 ，n t = 行) ，它亦 ， l i 耐 存在与正规大系统类似的综合问题，因此有必要对其进行仔细的研 究 1 3 广义大系统的研究现状 近些年来，广义大系统的研究还处在初始阶段，但是已越来越 受到理论和工程工作者的关注，正成为众多控制和数学工作者所关 注的热点课题之一，如文献【9 1 21 3 等 由于广义系统与线性正常系统相比，具有许多本质区别，如 ( 1 ) 解的结构中，广义系统的解除指数解外还会出现脉冲项， 正常系统的解只有指数解 ( 2 ) 正常系统的输入输出之间的传递函数为有理真分式，而广 义系统的输入输出之间的传递函数通常是非有理真分式，有无穷远 极点 ( 3 ) 正常系统一般满足初值问题解的存在唯一性，而广义系统 初值问题解的存在唯一性称为初值问题解的可处理性及初始函数 的相容性对解的初值问题，会出现有解、无解或者有无穷多解的 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 情形即使有解存在，其解也常常出现跳跃和脉冲 ( 4 ) 一般广义系统具有多层、多目标、规模庞大、结构复杂、 功能综合、维数较高的复杂大系统特点 ( 5 ) 正常系统具有因果性，而广义系统具有非因果性 ( 6 ) 正常系统在系统结构参数扰动下，可以有系统的结构稳定 性，而广义系统很难具有结构稳定性 ( 7 ) 正常系统可以有满, , 黾l y a p u n o v 意义下的稳定性、镇定性， 而广义系统不一定满足一般意义下的l y a p u n o v 稳定性与镇定性 在1 9 8 6 年美国控制与决策学术会议上( i e e ec d c ) ，加拿大多伦 多大学的c h a n g 和d a v i s o n 两人发表了关于广义系统分散控制内容 的首篇文章，提出了广义系统有穷分散固定模( g e n e r a l i z e d d e e e n b - a l i z e df i x e dm o d e s ) 和脉冲分散固定模( i m p u l s i v ed e c e n t r a l i z e d f i x e dm o d e s ) n 个重要概念【1 4 1 。继此以后，国内外的一些高校和科研 机构展开了深入系统的研究，并取得了一系列理论成果x i e 利用导 出系统概念研究了广义系统存在有穷分散固定模的判别问题【”j 王 朝珠等独立地从闭环正则大系统研究广义系统脉冲分散固定模，给 出了脉冲分散固定模的等价定义及有关计算【1 6 1 l i n 对广义系统存 在有穷分散固定模问题作了进一步研究，给出了广义系统存在有穷 固定模的递推特征【1 刀在此基础上，储德林等人还研究了广义分散 控制系统脉冲分散固定模问题，给出了进一步的结梨1 8 - 2 4 1 与分散固定模问题相对应，谢绪恺等人还研究了广义系统的分 散能控性问题，给出了广义系统r 分散能控性定义及判别条件 】y a h 等人对广义系统r 分散能控性问题又作了进一步研究，将 有关结构推广到带有反馈形式的广义系统，并对广义系统的稳定性 与分散镇定问题作了初步研究 2 6 1 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 任何一类系统都不同程度地存在着不确定性，它或者存在于系 统内部，或者存在于系统外部，广义系统也不例外因此，鲁棒控 制在广义系统的研究中，和正常系统一样，具有同样的重要性由 于广义系统特有的正则性与脉冲行为( 因果性) ，致使有关研究和结 论变得复杂而富于挑战性广义系统鲁棒控制研究方面，目前已取 得了一些结果伫7 删针对广义系统特有的正则性与脉冲行为( 因果 性) ，张庆灵等人建立了广义l y a p u n o v 方程，得到了一些判别广义 系统正则性、脉冲行为( 因果性) 且稳定的结果口5 闸 对于广义系统分散镇定问题，c h a n g 和d a v i s o n 、刘万泉、徐胜 元等人给出了广义系统存在分散动态反馈控制器使得对应闭环系 统稳定的条件【3 5 2 1 刘永清、徐胜元还讨论了广义系统的变结构控 制问题1 8 】和滞后广义系统的稳定、镇定与控制问题【1 9 , 2 0 广义( 分散控制) 大系统问题也可以说是广义大系统的分散控制 问题一方面是由实际问题产生的，许多实际模型的控制结构本身 具有分散性，因而适合于进行分散控制；另一方面，从信息结构上 讲，每个子系统的输出只能得到它对应的予系统的输出信息时，有 效的控制只能采取分散控制此外，按理论上讲，广义大系统的分 散控制，也是正常大系统分散控制的自然推广正因为如此，才使 得对广义大系统的研究正成为控制界关注的热点之一 然而，由于广义大系统的复杂性及分散控制本身的特点，使得 在广义大系统分散控制问题的研究进展不大，只在广义大系统的稳 定性及镇定得到一些很粗糙的初步结构既1 2 ，1 3 j 目前，广义大系统的 理论成果还很少，大量的基本问题尚未得到充分的研究例如不确 定广义大系统的鲁棒稳定性与分散鲁棒控制，不确定广义大系统的 保性能控制等等。 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 1 。4 本文的研究思路与主要工作 在对前人研究广义大系统稳定性与分散控制的基础上，本文深 入地分析了广义大系统及其相关系统的稳定性、镇定与控制问题， 得到了许多具有较为重要和实际意义的相关结论 目前的广义大系统稳定性与分散控制问题的主要进展与存在的 主要问题具体表现在以下方面： ( 1 ) 任何一类系统都不同程度地存在着不确定性，对不确定广义 系统的鲁棒稳定与镇定问题己有不少研究成果但是，由于不确定 广义大系统的复杂性，不确定广义大系统的鲁棒稳定与鲁棒镇定问 题的研究结果的文章很少见到 本文则在不确定广义大系统的不确定项具有范数有界且时不变 的条件下，基于不确定项的表达形式，采用线性矩阵不等式的方法， 研究参数不确定连续( 离散) 广义大系统的鲁棒稳定与鲁棒镇定问 题，得到了不确定广义大系统鲁棒稳定的条件获得了一个用线性 矩阵不等式描述的鲁棒分散控制器存在的条件，控制器求解简单， 应用方便 ( 2 ) 线性二次型最优控制理论揭示了一个适当的二次型性能指 标反应系统的许多性能要求，但是线性二次型最优控制理论是建立 在被控对象的一个精确数学模型上，其结果对参数不确定广义大系 统的鲁棒性很差为此，c h a n g 等人于1 9 7 2 年提出了不确定系统的保 性能控制( g u a r a n t e e dc o s tc o n 仃0 1 ) n 题其基本思想是对参数不确定 的系统，设计一个控制器，不仅使闭环系统鲁棒稳定，而且使得闭 环系统的性能指标具有一个确定的上界对不确定广义系统的保性 能控制问题的研究，目前才刚刚开始 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 本文应用l y a p u n o v 函数法和线性矩阵不等式( l m d 方法，研究参 数不确定广义大系统的保性能控制问题，该不确定项是范数有界且 时不变的对给定的二次型性能指标，基于不确定项的表达形式， 给出了控制器存在的一个充分条件和可保性能指标，控制器可由线 性矩阵不等式求解，应用方便最后对离散参数不确定广义大系统， 建立相应的优化问题，考虑了离散参数不确定广义大系统的最优保 性能控制问题 ( 3 ) 广义分散控制系统由于其随着系统维数的增大，系统的分析 与控制变得越来越复杂因此，能否及如何使大系统的分析与控制得 到简化，即能否通过维数比较低的系统来刻画整个大系统的性质是 个很有意义的问题， 本文研究了一类特殊的广义分散控制系统即广义拟对称组合系 统它的所有子系统内部结构相似，且子系统之间的基本关联矩阵也 一致，但相互之问存在一个影响因子通过系统变换，将原广义拟对 称组合大系统转换为一个低阶的修正子系统，进而说明广义拟对称 组合大系统的稳定性、能控性、能观性、固定模的存在性、分散正 常化、l y a p u n o v 方程和r i c c a t i 方程的解等性质，均可由这厅个低阶 的修正子系统的相应性质来描述 本文的具体内容安排如下： 第一章简要回顾了广义系统的相关内容；介绍了广义大系统及 其研究现状，提出了存在的相关问题；最后概述了本论文的研究内 容与主要工作， 。 ， 第二章研究了参数不确定连续广义大系统的鲁棒稳定性与鲁棒 分散镇定问题。 第三章研究了参数不确定离散广义大系统的鲁棒稳定性与鲁棒 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章绪论 分散镇定问题 第四章研究了参数不确定线广义大系统的保性能控制问题及保 性能控制器的设计问题然后在此基础上，进一步研究了离散参数 不确定广义大系统的最优保性能控制问题 第五章研究了广义拟对称组合系统的结构问题 第六章对全文工作进行了总结 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 坌墼鱼堡丝型 第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与分散鲁 棒控制 一般情况下，由于系统元件的老化，灵敏度不够等内外因素的 影响，使得系统在很多方面都存在不确定因素，这在大系统中表现 更为突出 本章应用线性矩阵不等式( l m i ) 方法研究了一类参数不确定性 连续广义大系统的稳定性与镇定问题，给出了完全利用子系统刻画 的线性矩阵不等式形式的稳定性与镇定条件，因而便于应用 2 1 参数不确定广义大系统的稳定性 2 1 1 准备知识 考虑不确定广义大系统 e x ( = 【4 + a a ) x ( t )佯1 j 其中e = b l o c k d i a g ( e l ，易，) ，爿= ( 呜) 。，d = w ， 罨震“，呜，e r l 码，= # ，磊) ，薯e r 4 ， 吩= 力以为第- ，个子系统对第f 个子系统的关联作用矩阵蚴 i = 1 为不确定项，它是时不变的且有如下的数值界 l 屿卜岛 ( 2 2 ) 其中岛为具有非负元素的实常数矩阵，分别与弛同维，这里 | j 五的含义是b l 刁，( f ，= l ，2 ，忉，吩，刁分别为矩阵， 分散鲁棒控制 a 的第i 行第_ ，列的元素如果4 满足式( 2 2 ) ，则称不确定性4 ， 是允许的。 定义2 1 如果对所有允许的不确定性4 ，系统( 2 1 ) 都是正则 的、脉冲自由且稳定的，则称系统( 2 1 ) 是鲁棒稳定的 对广义系统e 颤f ) = 血( f ) ，记中r 州”为满足条件肿= o 和 r a n k 西= 一一，的矩阵，则有： 引理2 1 i t l o 5 2 j 3 】以下四个命题等价： ( 1 ) 广义系统e x ( t ) = a x ( t ) 正则、脉冲自由且稳定； ( 2 ) 存在一个矩阵尸，使得e 矿= p 矿o 和a = p a 7 0 ，y 满足a ( e x + y m 7 ) 7 + ( e y + r 中7 ) 0 ，y 满足 ( 厨+ m ，) 一a + a ，( 尉+ m ，) 一 0( 2 3 ) 以下的讨论中，引进一个两值函数占( ) ，定义为 f 0k = 0 艿( 足) 2 lk o 引理2 1 2 5 4 若n x m 阶矩阵a d 满足j 驯一 d ，则 q ( d ) ( 4 ) 7 ( a a ) ，f f d ) ( a a ) 7 ( 鲋) 式中赋d ) _ 删肋加7 4 厶 嘲g ( 耐) ， in d i a g ( d d r ) ，其它 r f 伪：i l e a l , ， 8 d d r 8 i 0 和适当维数的矩阵日，f 有 1 h 7 f + f 7 s h 7 日+ 三f 7 f 占 记“吖) 。) 是一个玎以阵，将其分成块，分法与a = ( 4 ) 分 块对应，每一块为一个吩厅，阵，只在第f 行第，列上的块为m ( 是 一个啊甩，阵) ，其余各块均为对应纬栉，的零阵，即 “m ) # ) = o o ： oo o0 o 0 ： o ： o o o ： oo o 0o o 吖o o oo o 00 00 0 o j x i 9 2 = b t o c k - d i a g ( 4 1 ，4 ，4 。) ，= u ：4 q 歹，= 1 ，二，麓， 厶7 = - ，：a d o , j = l 2 ， ，为吩单位矩阵 于是有( ( 4 b ) = “以) f x ( ) 口) ，“a 岛) f ) = “鸣b ) ( ( ) f ) ， 彳+ 鲋= j + ( ( 4 ) f x ( b ) + ( ( 呜) x ( ) ，) 盎 ，i = - t l i j 通过直接计算可以得到 ( ( 4 ) x ( 鸣) ) ，= “4 彳) 。) ，“a 4 ) 口呜) p ) 7 = ( ( 鸲群) 。) ， “) 。) 2 ( ( 五) 。) = ( ( ) 。) ，o ，_ ，= l ，2 ，) ， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 分散鲁棒控制 ( ( 呜巧) 。) = ，1 v “钧衅x ) = 葛 “) 。) = 鹏 ( ( 协) = 鸭磁 j 耐 艿( 4 1 ) j 占( d f 】) 屿鹋 一 2 2 不确定连续广义大系统的稳定性 定理2 i 1 假设l 屿i o 使得下列条件 五彰= 骂矸2 0 ( 2 4 ) 侩) 。 4 。脚 萄锄 一 v双 同 圹烈 ， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 分散鲁棒控制 成立，其中4 = 五4 r + 4 ，砰+ 占( 4 + q ( 岛) ) ， 尸i户l 州 v f - - z 占( 以) + 占( 见) 】_ i ，( f = l ，2 ，) ，则系统( 2 1 ) 是鲁棒 ，i，l j 粕 稳定的 证明；o a ( 2 5 ) 式可知置可逆p = b l o c k - d i a g ( p l ，昱，昂) ， 其中c = x , - 7 为满足条件( 2 4 ) 、( 2 5 ) 的珥，矩阵由引理2 1 2 、 2 1 。3 和条件( 2 4 ) 、( 2 5 ) 可得 e p 7 = p e r 0 而 爿+ 4 r p + p r 【彳+ 4 】 nnnn = 口+ b b ) + 冰勺) 弦+ ，臼+ b ) + ( ( 够b ) ， 目d，耐 一 j * 4i di - t 轴ih i 1 【：p ，+ j p 7 刁+ 【占，“鸣) f x ( 鸣) f ) r p + 圭烈鸣( ) ) 7 “) ) 】 j l l o 卢i i i + e p 7 “屿b x ( 哟) f ) r p + 圭艿( 岛x ( ) 尸“) ) 】 户l 【：p ，+ p ，勿+ 兰【g p ，( ( 以一r p k ) p + 三啷x q ) 口) 】 罔 i t l + 陋p 7 “屿蟛b ) 7 p + 以岛獬) 口) j j 埘 b l o c k d i a g ( z ，五，瓦) 其中 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 分散鲁棒控制 z = f + 毕4 + s 矿( 4 4 7 ，+ q ( 岛) ) c + 圭( 万( 4 ) + 文岛) ) t ， ，；l，= lo，砒，ll 从而 彳7 霉矿= 龋+ 4 碍+ s ( 鸣，+ g q ) ) + ( 文4 ) + 文岛蛆珥 hh 、* n 留 用 。荔 一 若定理2 1 1 的条件成立，由s c h u r ：阳l 理，则有 卅+ ，4 r p + p 7 a + a a o( 2 7 ) 从而由引理2 1 1 知道系统( 2 1 ) 是正则的、脉冲自由且稳定的证毕。 考虑到万( ) 性质，可得到仅与子系统有关的结论： 定理2 1 2 假设j 屿i o 使得下列条件： x l 毯= e ? x 1 0q ( 未 。 ， 成立，其中4 = 五彳+ 4 ，砰+ 占( 4 巧+ q ( 岛) ) ， 舞 产1 丘= - 2 - - - ! = 一- 1 - g i ，( i = l ，2 ，) ，则系统( 2 1 ) 是鲁棒稳定的 记，r 州”为满足条件e 仑= 0 和加疵o ，= 啊一的矩阵 定理2 。1 3 对不确定关联广义大系统( 2 1 ) ，如果存在正定矩阵 墨r 1 “，矩阵r 和正数嘶，占使得下述线性矩阵不等式组( l m i s ) 互( 骂五+ 科) 一( 岛) 傅五+ z 吖) 一( 岛x 骂五+ r 吖厂 一0 幔。x i + y 蔺了0一f o ( 2 i o ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 坌墼量堡丝型 成立，则广义大系统( 2 1 ) 是鲁棒的其中 互= ( 互五+ r 噼) 群+ 4 ，( 鞘+ r 衅厂+ 占魄巧十q 岛) 】+ q 联岛) ， 舞 1 e = 【万( 以) + 艿( q ) m o1 = 1 证明：设面= b l o c k d i a g ( f d l ，2 ，中) 为块对角行( 捍一r ) 矩 阵，则有e 6 = 0 和r a n k 击= ，l r 记j = 搋晴一兹苫c 墨，五，一、耳) ，穸= 砌晴一反磬，写，k ) 都为块 对角矩阵，户= ( e 君+ y 西7 ) 4 = b l o c k - d i a g ( ，昱，露) ， 霉= ( e 置+ r 中；) 由引理2 1 2 、2 1 3 可推出 【户7 ( ( a 4 k ) + “a 毛) 。) 7 户“q 占( d o ) 霉7 霉+ 町1 r ( 或) ) 。) ( 2 1 1 ) 而【_ + ，生r 户+ 户r 【4 + a 一】 nn = j 7 户+ 户7 j + ( ( 呜) f ) 蚂b ) + “4 b x ( b ) 】+ “4 ，k ) 7 户 i越t越 耐 叫 + ， 【( ( 4 ) 口x q b ) + ( ( 屿b x ( ) ) 】+ ( ( 4 ) 。) ) 扛l，ll i s l t i 和+ ，j + 扩妻【( ( 4 k ) + “o 哆魄妒+ ；蔓) + 鹕) 】鸱b ) 埘6 i - - - - i h 州 h uf 叫 + ( q 烈见) 芦霉+ 町1 r ( 岛耽】 o 扭i _ 蟛珥巩 万 ” 岛 临 x + 笱鸟 ，r厶茹 瞳 一p 吖 + d + _ p ， 要 鬈 ， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 分散鲁棒控制 1n + 圭【万( 以) + 烈吃) m + 町1 r ( d f ) o ( 2 1 2 ) 6 = 1 由引理2 1 2 可知，r ( 见) 均为正定或半正定矩阵，可分解为 r ( 玩) = r - ( d i ) 一( d f f ) ，对( 2 1 2 ) 式左边分别左乘霉一7 和右乘年1 ， 得到 ( 互墨+ 鬈畔) 鬈+ a ( e 五+ r 吖) 7 + s 4 巧+ 赋岛) 】+ 艿( 岛 省- 1 + 町1 ( 互五十r 吖) 1 1 i ( 或) r j ( d f j ) ( 蜀置+ i o j 厂 + 圭【万( 以) + 万( 岛) 】( e 置+ 巧吖) ( e z + 鬈中? ) 7 0 ，矩阵r 和正数q ，占使得下述线性矩阵不等式组( l m i s ) 五( 互五十鬈吖) 一( 见) ( e 五+ z 孵) 一( 见x 互五+ r 吖) 7 珥0 噔l x j y 蜮弩0 一参_ 、 o ( 2 1 4 ) 成立，则广义大系统( 2 1 ) 是鲁棒稳定的其中 a = ( 骂五+ 孵) 衙+ 4 ( 互五+ 孵广+ 占名+ 职岛) 】+ q d ， 岩 1 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 分散鲁棒控制 丘：三( 一1 ) ，为相应维数的单位矩阵 占 注2 1 。1 定理2 1 4 给出了广义大系统( 2 1 ) 完全由予系统决定 的稳定的充分条件 注2 1 2 定理2 1 4 给出了判别不确定广义大系统( 2 1 ) 是鲁棒 稳定的方法，这个方法是归纳为一组严格线性矩阵不等式是否有解 问题，这可以很简便地用m a u a b 软件的l m u e 具箱求解 2 2 参数不确定连续广义大系统的分散鲁棒镇定 上一节讨论了参数不确定连续广义大系统的稳定性，本节主要 讨论参数不确定连续广义大系统的鲁棒镇定问题 考虑由如下个子系统组成的不确定广义大系统 e x ( t ) = ( 4 + a ，哇) x q ) + ( b + a e ) u ( o ( 2 t s ) 其中e = b l o c k - d i a g ( e a ，易，目) ，b = b l x k 一面暖墨，垦，) ， 爿= ( 4 k ，削= ( m k ，凹= 掀魄蝴，屿，_ 峰) ，互r ”1 ， 以，屿矿“，以_ ，= 1 ，2 ，) ，= ( ，巧) ，薯舻， n j = 栉，r a n k e ，= r j ，= ，尽，鸠具有适当的维数4 为第 ，i lt = 1 _ ，个子系统对第i 个子系统的关联作用矩阵4 ，马为不确定项， 它是时不变的且有如下的数值界 i 勺i 岛f a e f 刀：( ，= 1 ，2 ，叼 ( 2 1 6 ) 其中岛，为具有非负元素的实常数矩阵，分别与以，蓐同维 我们的目的是对每一个子系统设计一个局部无记忆状态反馈控 制器 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 分散鲁棒控制 ( f ) = k 玉( f )( 2 1 7 ) 其中k 为适当维数的局部反馈增益矩阵，使得出的闭环复合广义大 系统 e x ( t ) = 【( 4 + 日：p + ( 4 + b k ) 】x ( o( 2 1 8 ) 是正则的、脉冲自由且稳定的其中k = b l o c k a a g ( k , ，局，j ) 定义2 2 如果系统( 2 1 5 ) 存在反馈控制器( 2 1 7 ) 使得闭环系统 ( 2 1 8 ) 是正则、脉冲自由且稳定的，则称系统( 2 2 1 ) 可分散镇定的 反馈控制器( 2 1 7 ) 称为系统( 2 1 5 ) 的分散稳定化控制器 又记a = n z d ：一疵酸4 l ，如，i ，4 w ) ，厶= t ，：4 0 4 _ ，= 1 ，2 ，加， 写= ：b o j _ ，= 1 ，2 ，奶，为珥阶单位矩阵，盘= a + b k 于是有“4 ) 口) = “以) ) ( ( ) 口) ，“4 ) f ) = ( ( 4 ) ，x ( i ) j ) ， 口+ 6 p + ( 幽+ 6 叼= 峻+ 乏：k b ) + b ) 】+ ：帆x ) + ( ( 媚k ) j ) 】 暑 “ 柳 通过直接计算可以得到 “鸣) ，) ( ( 4 ) ) 7 = “4 巧h ) ，“鸪) 口x ( 屿) ，) 7 = ( ( m 蟛k ) ， “) ，) 1 ( ( ) p ) = ( ( t ) 。) ，o ，= l ，2 ，) 弘i,-1名五，+雕均山等bf彳+山钆山】 4 铂) + “钙蟛b ) 】= j l 卢i 时i 1 9 一3 = 1 + 鸭磁】j 融4 + 鸭磁】l l 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 分散鲁棒控制 id 鼠4 ) + 妈鸿 瓢m b ) + 旧码b ) = i 兰 是 l 【d 1 乏鹕) + 蚴肌】| 卢 j ( 2 2 0 ) 记m ，舻q ”为满足条件巨，= o 和，彻七q = n j - r j 的矩阵 定理2 2 1 对不确定关联广义大系统( 2 1 5 ) ，如果存在正定矩阵 矩阵置昱4 “，矩阵鬈，z ，和正数辑，届，g 使得下述线性矩阵 不等式组( l m i s ) f 再 泓+ 嘞一国) ( 辎+ 糊1 l ：d ( d , x 。f - + 耐 叫 oo l 0 ( 2 - 2 1 ) |r ( 耳片0嘏0f 互= ( 互五+ 鬈j ) 群+ 4 j ( 互置+ i 西j ) 7 + 置z f + 互彰 + 寥鬈+ q ( 岛) 】+ k 万( 或) + 局万( e m ， 鼻= 圭【艿( 以) + 烈2 。) e ，为相应维数的单位矩阵 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章参数不确定广义大系统的鲁棒稳定与 坌墼量堡鳖型 卑= ( e 置+ r j ) 由引理2 1 2 、2 1 3 可推出 【，( ( 如) 。) + ( ( 她k ) 7 角s “q 艿( d j ，炉霉+ 町1 r ( o d ) 。) ( 2 2 2 ) 【，亿竭k k ) + ( ( | 蝎k k ，局s ( 西q 澎毒+ 厅1 砰r ( e ) k k ) ( 2 2 3 ) 而 ( 彳+ b k ) + ( 4 + 最k ) r p + p r l ( a + b k ) + ( z k 4 + a b k ) = 争+ 妒 + 莹【( ( 鸣b x ( ) 口) + “以b x ( ) ) 】+ 兰【“4 i k ) + “4 墨k ) 旷户 诌 “ + ， ) 打)