（计算数学专业论文）抛物方程的hp间断时空有限元方法.pdf

抛物方程的h p 间断时空有限元方法 摘要 h p 间断时空有限元方法是通过加密网格的同时不断增加多项式的次数来 提高收敛阶的有限元方法，它具有高度的白适应性，更适合处理复杂的间断 问题本文首先利用h p 间断有限元方法和混合有限元方法相结合的思想处理 了四阶抛物型方程，利用混合有限元方法将高阶方程降阶，再利用空间连续 而时间允许间断的时空有限元方法离散方程，构造了四阶抛物方程的h p 混合 时间间断时空有限元格式，证明了离散解的稳定性，存在唯一性和指数型收 敛性质其次利用h p 间断有限元方法研究一类v o l t e r r a 偏积分微分方程，证明了 离散解的存在唯一性，并得到了时间l 2 、空间2 模的指数型误差估计 关键词：四阶抛物型方程；h p 混合时间间断时空有限元法；v o l t e r r a 积分微分 方程；误差估计；h p 时间问断时空有限元法 h pd i s c o n t i n u o u ss p a c e t i m ef i n i t ee l e m e n t e l e m e n tm e t h o d sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n s a b s t r a c t t h eh pv e r s i o nd i s c o n t i n u o u ss p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sc o m b i n e si u d i c i o u s l yh v e r s i o na n dp - r e f i n e m e n tt e c h n i q u e s t h i sk i n do fm e t h o d si sh i g h l ya d a p t i v e a n ds u i t a b l e f o rd e a l i n gw i t hc o m p l e xd i s c o n t i n u o u sp r o b l e m s t h ei d e ao fc o m b i n i n gt h eh pv e r s i o nd i s - c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sw i t hm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d si sc o n s i d e r e df o rf o u r t h o r d e rp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h i sp a p e r f o rf o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s t h e h pv e r s i o nm i x e dd i s c o n t i n u o u ss p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n ts c h e m ei sc o n s t r u c t e db yl o w e r i n g t h eo r d e ro ft h ee q u a t i o nb ym i x e df i n i t ee l e m e n t a n dt h el o w e r e de q u a t i o ni sd i s c r e t i z e d b y 忍pv e r s i o nd i s c o n t i n u o u ss p a c e t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，c o n t i n u o u si ns p a c eb u td i s - c o n t i n u o u si nt i m e t h es t a b i l i t y u n i q u e n e s sa n de x i s t e n c e e x p o n e n t i a le r r o re s t i m a t e so f t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na r ep r o v e df o rl i n e a rp r o b l e m s a n dt h e nh pv e r s i o nd i s c o n t i n u o u s s p a c c - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d si su s e df o rak i n do fv o l t c r r ai n t e g r o d i f f c r c n t i a lp a r a b o l i c e q u a t i o nw i t hw e a k l ys i n g u l a rk e r n e l t h eu n i q u e n e s so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no ft h e e q u a t i o na n dt h ee r r o re s t i m a t ef o rt i m ei nl 2n o r ma n ds p a c ei nl 2n o r mi so b t a i n e d k e y w o r d sf o u r t ho r d e rp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；h pm i x e dd i s c o n t i n u - o u ss p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；v o l t e r r ai n t e g r o d i f f e r e n t i a lp a r a b o l i ce q u a t i o n ；e r - r o re s t i m a t e s ；h pv e r s i o nd i s c o n t i n u o u ss p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s i i 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或。撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：监薄一 日期：2 佥仝! ( ( ： 指导教师签名： 日 期：砌仝： 乡 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同 意：若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：型避 日 期：埤压( 指导教师签名： 日 洲 内蒙古大学硕十学位论文 第一章绪论弟一早 z 百t 匕 1 1h p 型间断有限元方法的历史背景 许多实际物理问题都可以转化为相应的微分方程的形式进行研究为了更好的数值 模拟复杂的实际物理问题，解决好相应的数学模型，各种数值方程接连出现然而各种 数值方法针对不同的问题有着各自的优势如有限差分方法，理论体系完善，有限元方 法( 如：混合有限元、间断有限元、连续有限元、时空有限元等) 能够适应复杂区域问题， 常见的数值方法还有有限体积法等，现在更常见的还有各种方法的混合应用本文研究 将h p 有限元方法与间断有限元方法相结合的方法一- - h p 时间间断时空有限元方法，在此 基础上再结合混合有限元方法设计了一种高阶方程新的h p 混合间断时空有限元离散方 案 混合有限元方法是将问题中所求的未知函数，除了原来的未知量，还将原方程 未知量的导数作为补充的独立变量一起来求解通过混合有限元方法可以将高阶方 程进行降阶处理，化为低阶方程，从而有利于数值处理近年来，很多计算数学工 作者致力于混合有限元方法方面的研究，这个方法早期是于上个世纪六七十年代被 几位工程j ) $ ( f r a e i j sd ev e u b e k e ，1 9 6 5 ；h e l l a n ，1 9 6 7 ；h e r m a n n ，1 9 6 7 ) 用来解决s o l i dc o n t i n u a 问题 而引入的，从那时起，混合有限元方法被广泛应用到固体力学和流体力学等很多领 域【b ，门，r a v i a r t t h o m a s ，j i m d o u g l a s ，b r e z z i - f o r t i n ，z h a n g x i nc h e n ，罗振东等人在这方面作了 很大的贡献【2 2 ，2 3 ，4 ，5 ，8 ，9 ，3 ，3 2 1 随着混合有限元方法的研究和发展，z h a n g x i nc h e n 等 推广到扩展混合有限元方法【2 2 ，2 3 1 ，此方法不同于原始的混合元方法，它可以得到更高的 逼近精度，并同时高精度逼近三个变量：未知纯量函数，梯度和流量 时空有限元方法是解决时间依赖问题，特别是间断问题的一种重要的数值方法这 种方法将时间和空问变量统一考虑，该方法时空两个方向可以同时连续，也可以在某 一方向出现间断或时空同时允许间断，在时间和空问两个方向同时发挥有限元方法的 优势，提高数值解精度该类方法将网格推广到时空片& = qx ( t n ，t n + 1 ) 上，其中q 是基 本的空间区域，如是离散的时间层，每个时空片都可以有自己剖分问断有限元方法 是利用完全间断的分片多项式作为近似解和实验函数空间的一种有限元方法，该方法 是由r e e d 和h i l l 4 4 】于1 9 7 3 年为求解中子输运方程首先提出，但这种方法长期以来一直没有 得到很好的研究和应用直到2 0 世纪8 0 年代末，由c o c k b u r n 和s h u 等人结合r u n g e - k u t t a 方法，将间断有限元方法推广到一维和高维守恒律方程和方程组【4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 1 ，这一 方法才引起人们的足够重视近年来，出现了丰富多样的间断有限元方法，如流线扩 散方法【1 8 ，1 9 】，激波捕捉方、法【2 0 】和特征线流线扩散方法等，成为解决计算流体力学问 绪论 题的卓有成效的数值方法之一对于一般形式的间断时空有限元方法的讨论，主要是 c j o h s o n 等人的工作，在他一系列的文章中，研究了热传导方程的间断时空有限元方 法，并给出了线性问题和非线性问题的时空有限元解的误差估计 1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，5 0 v i d e r t h o m 6 e 在【1 7 】中利用时间间断而空间连续时空有限元方法讨论了形如u t + a u = ，的方程， 证明了解的唯一性，并给出解的几种收敛性证明方法随着该理论的完善和发展，为适应 各种方程形式的需要，后期出现椭圆和抛物型方程的空间间断混合有限元方法 4 8 ，4 9 ，5 1 和四阶抛物方程的时间间断混合有限元方法【2 1 】过去对高阶方程的有限元方法方面的 研究，主要集中在混合有限元方法，文 3 】中利用该方法对四阶的椭圆方程作了比较详尽 的分析进一步文【2 1 】中讨论了“。一u + 2 u = ，的混合间断时空有限元解的稳定性及其 收敛性 2 0 世纪8 0 年代，由b a b u 釜k a 、s z a b 6 等人提出了h 、p 和h p 有限元方法【27 2 8 p 有限元方 法，即在保持网格剖分不变，通过不断的增加分段多项式的次数提高收敛阶而h 方法是 不改变多项式次数通过加密网格得到更好的近似解，把h 有限元方法和p 有限元方法结合 后，得到t h p 方法，即加密网格的同时不断增加多项式的次数来提高收敛阶此时，h 或p 方 法是h p 有限元方法的特例 间断有限元方法和h 、p p _ f 及h p 有限元方法结合，产生了h 间断有限元方法、p f f i j 断有 限元方法，见文【2 4 ，2 5 ，26 1 接着出现h p 间断有限元方法起初将h p 间断有限元方法应用 在线性椭圆方程上，之后成功的应用在解决对流扩散方程上【1 1 1 对抛物问题解的结构进 行研究后，进一步把h p 时问间断有限元方法应用在其他抛物问题上【1 1 本文采用h p 时间间断而空间连续时空有限元方法和混合有限元方法相结合的方法 构造四阶抛物型方程的一类新的h p 混合间断时空有限元格式，并证明有限元解的稳定 性，存在唯一性和指数型收敛性同时构造了一类v o l t e r r a 偏积分微分方程的h p 时间间断 时空有限元格式并证明有限元解的稳定性，存在唯一性和指数型收敛性 1 2有限元空间及定义 给定时间区间j = ( 0 ，t 】，变量z j 令朋是( 0 ，t 】的拟一致剖分，设0 = t o t 1 o 与k m ，r m ；和s m ，t m 无关参见文献【1 】 引理3 令妒i ，。h p m + 1 ( k ) ，即p m o ，则 1 1 妒- n 妒l l 南 o 与，r m 和p m ，t m 无关参见文献【1 】 引理4 令逼近多项式的次数为常数r ，即7 m = r n o 且步长k h s o + 1 ( j ) ：s o n o 是，贝i j l l u 一巧u l 南c ；篓器i i u l i 备。+ 。( j ；q ) 其中c 与s o 有关与七和r 无关参见文献【l 】 = m a x ( k n ) ，令u ( 1 2 3 ) 引理5 令逼近多项式的次数为常数m ，即m n = m n on _ 步长k = m a x ( k n ) ，令u 日p o + 1 ( j ) ，p o n o ，贝i j 1 妒- 1 - t y 妒l i 为c 石k 历2 三( m 刁i n _ ( p 习。芦, m 石) i + l 可) i i 妒ii 备加+ 。( j ；q )( 1 2 4 ) 其中c 与册有关与m 和k 无关且册s o 一2 证明参见参考文献【1 】 引理6令( 朋，r ) 是( o ，t ) 的h p - 离散，r 为多项式的次数即r n = r ，令u 是原问题的解， 若令u h s + 1 ( o ，t ) ，s o ，则有 k ( m i n ( s ，) + 1 ) i iu 一r ui | q c 二二i 百矿0u i i 摹+ - ( ，；q ) ( 1 2 5 ) 其中c 与8 有关与k 和r 无关参见文献【2 1 注意在本文中主要应用了c a u c h y s c h w a r z 不等式，y o u n g 不等式，p o i n c a r d 不等式 并且作估计时所有的c 或k 都是与空间步长危和时间步长k 无关的常数 1 3 文章结构 本文的组织结构安排如下，在第1 章中给出了本文所涉及的预备知识在第2 章中讨 论四阶抛物方程的h p 混合间断时空有限元法，给出了离散解的存在唯一性，稳定性和 l 2 ( l 2 ) 模误差估计及指数型误差估计在第3 章中研究v o l t e r r a 偏积分微分方程的h p 时 间间断时空有限元方法，证明了离散解的存在唯一性，并证明了l 2 ( l 2 ) 模误差估计及指 数型误差估计在第4 章中给出论文的结论和需要进一步解决的问题 4 写为 内蒙古大学硕十学位论文 第二章四阶线性抛物方程的h p 混合间断时空有限元法 本章考虑如下的四阶抛物型方程 r 誉曼 q 【0 ，卅， 0 f z 【0 ，t i ，( 2 0 1 ) 其中q r 2 是有界域，函数，l 2 ( j , l 2 ( q ) ) 是有界的，u o ( x ) l 2 ( 1 2 ) 2 1 h p 混合间断时空有限元法弱形式 首先建立方程( 2 0 1 ) 的h p 混合间断时空有限元格式，为此设妒= u ，则原方程可改 我们记 b ：= a u + 妒= ，q z 矽一a u = 0 ，q z u ( x ，0 ) = u o ( x ) ， q f = ( u s u q - ) 0 + 三n 厶u 础， 建立相应的弱形式为 乱，砂) q 1 【乱】，u + ) n + ( u - k ，u 十) o 一 ( 2 1 2 ) f i ( v u , v v ) 出 ( 2 1 3 ) u 月吾( q ) ，t ，l 2 z。(u。，u)班+z。d+薹(u】，u+)n+(乱+，u+)。一o。(v妒,vw(vu,vw)o- ) 出= 上“z 三“乩h “+ ) o 一 (2 即在区间 ( t 正，u + ) o + 厂( 州1 2 1 0j o r t | u ，w ) d t l d o n ( v u ，v v ) d t = 0 ， 5 。9 1 ( q ) ， u l 2 一( v 妒，v u ) n2 ( ，叫) m ( 2 1 - 4 ) + ( v u ，v 口) n = 0 戥脚蓬瞄 + 虮 t h 瑚 “ 声 仇 似 厶 v 、二_ ，l v l =小蓬脚 l皿 + o 扣 v 、， m w m，厂九 ，厶，r、id乳壹脚 几h u 砂 、 ” u+vu 有巾 e h 一 + u 0 f【 = l 四阶线性抛物方程的h p 混合间断时空有限元法 从向原j 司趣的禺散l 司题司叙述为：求( u ，矿) 坛，n q ，n 满足 fu ，叫) n + ( v 乱。h jv u ) n + ( 【让h 1 ，u + ) n 一( v 砂 ，v ) n ：( f ，叫) n ， t( 妒咄+ ( v u h , v v ) 住- 0 ( 2 工5 ) 对于( 2 1 2 ) 的精确解u 也满足( 2 1 5 ) f 拘r g 式，因此v w v h ，n v v q ，n 有g a l e r k i n 正交性结 果 小川出十o ( v 卜，v 啪+ 蓦 卜胡m ) n + ”州+ ) 。 一z 2 ( v ( 妒一妒 ) ，v u ) 出+ o ( 妒一妒hy ) d + o 。( v ( u u ) ，v 秒) d t ：。 ( 2 1 6 ) 2 2离散解的稳定性及存在唯一性 定理2 1 设( u ，妒 ) v h ，n 虢，n 是方程( 2 1 5 ) 的解，则满足 ( 1 l u lj 为+ j i 妒 jj 弓) c ( 1 l u o l l 鑫+ i i ，i l 弓) 其中，c 表示不依赖于时间步长k 和空间步长h n 的常数 证明在( 2 1 5 ) 中对n 求和，并取u = t t h ( z ，) ，口= c h ( x ，t ) ，可以得到 p t n- t nn 一1 上( “争, u h 肌上( v u h , v u h 肌三( 帆乱阜) 扎 r t nn t n + ( u 阜，u 牟) o 一( r e ，v u ) d r = ( 乱 ，u 牟) o + ( ，t t h ) d t ， ，t np t n ( 矽 ，矽 ) d t + ( v t ，v 矽 ) 出= 0 将上述的方程两边相加有 一t n t n n 1 o ( u l l ，u h ) 疵+ o ( v u h , v u h ) 出+ 三( 帆u 晕) 几+ ( 钆) 。 ，t n + ( 妒h ，矽 ) d t = ( u ，u 阜) o + ( ，u h ) d t ， 将方程左端的第一项进行分步积分得到 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 丢( i 乱 i 知+ i 让 屠+ n - 1 】f 三) + 厂 v“h)dz+tn(砂h,ch)dtiuh(vuh, 扩i 知+ 矿1 3 + 三】f 三) + z v “h 胁。 n = 1 一uu ：( u 是，u 阜) 。+ o ( u h ) d t ， ( 2 2 9 ) 利用c a u c h y s c h w a r z 不等式，得 l l w h l l 南+ l i 妒h l l 南 i l u o l l 邑+ 瓦1i | ，i | 南+ 虿c o 荡 由p d i 几c o r 各不等式，经整理可得 6 ( 2 2 1 0 ) 内蒙古人学硕十学位论文 ( 1 i u l i 为+ i i 妒 i i 南) 5c ( i l u o i i 邑+ j f ：i i 南) 定理证毕。 定理2 2 问题( 2 1 5 ) 的解是存在唯一的 证明要证明问题( 2 1 5 ) 的解是存在唯一的，只需考虑其相应的齐次方程 f ( u ，“，) n + ( v u ，v u ) n + ( 【u 1 ，u + ) n 一( v 妒 ，v ) n = 0 ， i( 扩，u ) n + ( v 矿，v u ) n = 0 只有零解即可由稳定性的定理结论立即可得u h = o ，扩= 0 由于微分方程是有限维的， 故由唯一性必有存在性成立由此定理得证 2 3h p 混合间断时空有限元解的误差估计 定理2 3 对v vw v h ，n ，v 圣，皿虢，n 有 b ：= 厂( - v , w t ) d t + ，( v v , v w ) d t 一( 亿，【吲) n + ( 儿，w - ) n n = l 一n n = 1 1 nn = 1 n _ n _ n 三厶( v o , v w 膨+ n = 1 n ( 亚皿) 出+ 三厶( v v , v 皿( 2 3 1 1 ) i t 对( 2 1 3 ) 分部积分可得结论 定理2 4 设( u ，矽) 和( 仳_ f l ，c h ) 分别是( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) 的解，则存在不依赖于时间步长k 和逼近多项式次数r 的常数c ，使得 i i 乱一“ i i q + 1 1 妒一妒 i i q k ( m i n ( s o ，r ) + 1 )k ( m i n ( s o ，r ) + 1 ) c 赢瓦币而i f 乱1 h s o + 1 ( 埔) + c m a x ( 1 , r ) ( s o + i ) i i 乱i l m o + i ( 加) + c 寡差篙l i 妒i i h p o + l ( j ；q ) - - c 考兰器i l 砂i i ( ，； 2 3 1 2 h p o + l ( 2 3 1 2 ) + c 焘瓦莉忪圳焘而莉( 加) ) 成立 u i t h = t 正一f u + f u 一 i t = n + 叩1 ， 砂一妒h = 妒一妒+ t i c 一砂h = 白+ 7 7 2 ， 7 四阶线性抛物方程的h p 混合间断时空有限元法 由定理2 3 以及分部积分可得，v kw ，n v 圣，皿q h ，n 有 小y m y 卅出+ o ( v ( y 卅，v ( y 卅肼勤y 删( y 卅也 + ( ( y 一) + ，( y 一) + ：o ) o - - ( v ( 圣一皿) ，v ( y w ) ) d t + o 一。( 圣一皿，圣一9 2 ) d t + ( ( y 一) + ，( y 一) + ( v ( 圣一皿) ，v ( y 一 + ( 圣一皿，圣一 + z ( v ( y 一) ，v ( 圣一皿) ) d 亡：o ( 一( y 一) ，( y w ) 。) 出+ o ( v ( y 一) ，v ( y w ) ) 出 一篓( ( y 卅一，卅) 州( y 卅- i ( y 卅- ) 一o i v( v 陋叭v ( v w ) ) d t l 一芝二( ( y 一) 一， 一】) n + ( ( y 一) 一，( y w ) 一) 一 ( v ( 圣一皿) ， 一 礼= + z 。( 垂一皿，圣一皿) 出+ o ( v ( y 一) ，v ( 西一皿) ) 班( 2 3 1 3 ) 利用( 2 3 1 3 ) 对上面等式左侧进行变化整理可得 z ( ( v - w ) t , v - w 膨+ 上( v ( v - w 姆( v - w 眦+ 三( 川) 】( v - w ) + ) n + ( ( y 一) + ，( y 一) + ) 。一o ( v ( 圣一皿) ，v ( v w ) ) d t + 厂( 垂一皿，西一9 2 ) d t j 0 + ( ( y 一) + ，( y 一) + ) o 一( v ( 圣一皿) ， 一 + ( 垂一皿，西一 + z 。( v ( y 一) ，v ( 圣一皿) ) d 亡= 0 2 ( v ( y 一) ，v ( y 一) ) 以一o t ( v ( 西一皿) ，v ( y 一) ) 出 + 瓜西咄圣叫出+ o ( v ( y 一吼v ( 圣叫肼扣一吼1 1 3 + 三n 刭- 1 卜咄 + 石1l i ( y 一) 一i | 知 ( 2 3 1 4 ) 整理上式可得 翩m ) t , v - w 肼o ( v ( y 卅，v ( m 胂t + 勤y 删( y 卅+ ) n ( ( y 一彤) + ，( 一) + ) 。一厂( 一皿) ，一+ 九圣- - t i c ) - - 4 - v v ( ov ( vw ) ) d t 讧2)dtj0j 0 ( ( y 一彤) + ，( 一) + ) o 一(一皿) ， 一 + ( 圣 + z ( v ( y 一) ，v ( 圣一皿) ) 出 c ( 1 l v w l i 为+ i i 西一皿j j 邑) 8 ( 2 3 1 5 ) 内蒙古人学硕十学位论文 f t nf t n c ( 1 l u h - r u i i 南+ f i 砂h 一矽i i 为) o ( ( u h - r u ) t , u h - - r u ) d f + ( v ( u h - r u ) ，v ( u h - j 0 f “) ) d t + l 三- - 1 n + ( ( u r u ) 一，( u h - f u ) 一) 一z ( v ( 妒一砂) ，v ( u h - f u ) ) 出+ o ( 妒一妒，矽 一妒) 出 r t v + ( v ( u r u ) ，v ( 妒 一h 妒) ) d t l ( 2 3 1 6 ) 根据定义7 ，定义8 整理上式可得 p p t c ( 1 l u 一r “| i 为+ f | 妒 一妒l i 为) i ( v c l ，v r 1 ) d t l + i ( v ( 2 ，v r h ) d t j 0 j 0 ，t f t n + i ( 白，7 7 2 ) 出i + i ( v ( 1 ，v r i 2 ) d t l ( 2 3 1 7 ) 利用c a u c h y s c h w a r z 个等式及y 伽n 9 小等式司得 i l u 一r u l l 南+ 1 1 妒 一n ea t h i i ( 1 i i i i 叩l l i 出+ i i a 2 1 1 1 1 7 7 1 l l d t ，0，0 + z o 白i 啦忪+ o i i ( 。l 啦l l 班o l i ( 。旷出+ 丢z 物。| | 2 出 + z o 已俨出+ 丢z i i m 胪出+ o i i 白1 1 2 比+ 丢z | i 仡1 1 2 班+ o i i 臼i | 2 出 + 2 如( 2 3 1 8 ) 由上式可得 i l 叩。i | 为+ | | ? 7 2 i | 南z i i a e 。1 1 2 d + 丢。i l 叼l l l 2 d t + i i a ( 2 l l z 出i l 叩i | 为+ | | ? 7 2 喝上- 2 出+ 去z2 出+ 上 2 出 + 丢z 物- 胪班+ o i i ( 2 i f 2 班+ 丢z i i 啦i | 2 出+ o i i ( 。1 1 2 出 + 石1 厂) 1 啦! 1 。砒 ( 2 3 1 9 ) 整理可得 叩1 i | 南+ j 1 7 7 2 l 岛c ( 1 l a c , i i 南d t + 0 白| | 为+ | | ( 20 为) ( 2 3 2 0 ) 9 四阶线性抛物方程的h p f l 墓合间断时空有限元法 由引理4 可知 l l ( ，l l 南sc 寰兰揣l i 乱l 备。+ 。( ，；n ) 其o e c 与8 0 有关与k 和r 无关 同理 il(2li南c磊兰兰篙li砂ii备p。+。(，；n) 其中c 与p o 有关与k 和m 无关 代入( 2 3 2 0 ) 可得出结论 2 4 指数型收敛 ( 2 3 2 1 ) ( 2 3 2 2 ) 原问题的解有时间正则性，最p l l u 。1 1 2 j ：n ) c d 2 5 r ( 2 t + 3 ) t - 2 s + o , 可知l l 乱1 1 日埘t ( j ；q ) 是有界 的证明参见文献【1 】在t z 的时间正则性条件下，上述定理2 4 结论可以归纳为下面的指数 型令n = ( 7 - m + 1 ) 是时间离散的自由度 ( 1 ) 则当采用h 型方法时，即固定逼近多项式的次数r 时有 l l 锃一扩l l q + i l 矽一砂 i i q _ c ( f m 饥( r 加) 一1 + n i m i n ( m , p o ) - i ) ( 2 4 2 3 ) 此时( 。丢) ，其中1 ，n 2 分别是u 和妒的时间离散的自由度，c 与p o ，8 0 有关与k ，r 和m 无关 ( 2 ) 当采用p 型方法时，即固定网格的条件下可得 0u u | i q + | | 妒一矽 i i q c ( 3 0 一1 + i p 0 1 ) ( 2 4 2 4 ) 其中l ，2 分别是u 和妒的时间离散的自由度，此时( 一r ) 其中c 与p o ，8 0 有关与惫，r 和m 无 关 对初始值不相容而在t = o 处产生的奇异现象，有下面的收敛 对区间( d ，t ) 进行以下h p 离散，记为( m 叩，) ，先拟一致分化( d ，t ) 为 以) 冬l ，在t = o 附近即 第一个区间以上根据定义5 再采取几何分化 描，以上多项式次数采取定义6 的线性 增加方法，在以，2 k k 上次数取为r k = ( n + 1 ) j ， 定理5 1 考虑原抛物问题，初始值u o 凰，0 o 当p p o 有下面的 误差估计 其中c 和b 与1 ，2 无关 1 l i t u hi i q4 - l f 妒一妒是j i q c ( e z p ( 一6 1 f 1 ) + e x p ( 一6 2 芋1 ) ) ( 2 4 2 5 ) 1 0 内蒙古人学硕十学位论文 让明：t u 用引理2 ，弓i 理3 和式( 2 3 2 0 ) 司得估计 i f “一乱 i i q + l l 妒一妒 l i q n + t 2 ( 2 4 2 6 ) 其中 矸= c ( 每) 2 m + 2 丽1 而f ( r m 而+ 1 - t i n ) 删k ；q ) 乃刊譬尸秆2 丽1 恶等岩k 估计上面两式，分三个区间上估计乃首先估计区间 上的第一个区问 上估计，选择5 1 ： t l = 0 利用解的j 下则性有 噩( ) = c ( 譬) 2 t 1 + 2 诵1 鬻 磊i iu + l ( 加) 5c 七 = 护( 2 4 2 7 ) 利用解的时间正则性，区间以上的区问 k ) 描中k 进行估计 c ( 等) 2 钳2 碉i 而r ( r m 而+ i - t i n ) 备棚) c ( 会) 2 t m + 2 刍；s 制t m 2 t 竺 2i i 乱i i 备。+ 。( k ；n ) 蚓争d 2 刍器等高谨2 t 2 r ( 2 ( t i n + 1 ) + 3 ) z 亲r 。2 + 口 蚓争”刍恶* 高r ( 2 t i n + 1 ( 2 4 璐) 现令t m = a m r m 用s t i r l i n 9 7 5 公式【4 1 】 而f ( r m 了- i - 再1 - 丽t i n ) t m 2 t 2 2 喇+ 1 ) + 3 ) r 渺”【丽( i - - 而a m ) i - a 】r m ( 2 4 2 9 ) t m 一1 = o n - - m + 2 代入( 2 4 2 8 ) 式则区间以上的区间 tm j l m n + = 1 2 仕t h 计有 乃互n+l卜m+2牧(讲叫塔】)rm(2430ca )乃 铲m + 2 ) 口( ( ，y d ) 2 a m * 景型丢若】) r m ) m = 2 、”7 记，( a ) = ( ，y d ) 2 n 【踹】，厶i i l = ，( a 眺) 有 o 厶i n = ，( q m i n ) m a x ( 1 ，品黯) 时 兰兰 n + l m o ( 2 - m ) o f ：n i n 盯2 口( 等) ( 2 4 3 1 ) m = 2 m = 2 是有界的 则区间 上的区问 k ) 鹈估计 噩 c # a n o f 2 4 3 2 1 四阶线性抛物方稃的h p 混合间断时空有限元法 再利用1 c p n 2 可得 三 t 1 c ( e 印( 一b l f ) ( 2 4 3 3 ) 在区间在以，2sk k 上次数取为r k = 山( n + 1 ) j 因此在区间以，2 k5k 上 l 7 1 c e x p ( - b r ) c ( e z p ( 一6 f ) 综合三个区间上的估计可得整个时间区间上有 同理可得乃的估计，得出结论口 三 乃5c ( e 印( 一6 1 f ) 1 2 ( 2 4 3 4 ) ( 2 4 3 5 ) 第三章v o l t e r r a 积分微分方程的h p 时间间断时空有限元方法 本文考虑如下v o l t e r r a 积分微分方程 ut一乱一ot(t-s)-nua。zu。(s，)：ds让=。f。茁,， 其中q r 2 是有界域，函数，是l 2 可积 口( 0 1 ) ，q m ， ( 3 0 1 ) q 3 1h p 间断时空有限元法弱形式 首先建立方程( 3 0 1 ) 相应的弱形式为 上乱t ，u ) d 亡+ 无( v u , v w ) 出+ r t - - - - 1 ( 【u 】，u + ) n + ( u + ，u + ) 。 + 序- s ) 弋v 吣押州s 拈。+ o 吡u 矾( q ) ( 3 1 2 ) 即在区间厶= ( 扩，卅上，有 ( 撕，) + ( v “，v “，) n + ( t s ) n ( v “( s ) ，w u ) d s d t j t n - 1 。| 0 + ( mu + ) n = ( ，协) 几 ( 3 1 3 ) 从而原问题的离散问题可叙述为：求u m 满足 c t nt n n 1 上u ) 出+ j o ( v u , v w ) d t + ( 阢u + ) n + ( 弭，u + ) 。 + z 一。z 2 ( t s ) 一口( v u ( s ) ，v u ) d s 出= ( 阢u + ) 。+ z 。( ，u ) d ，u 一 ( 3 1 4 ) 3 2离散解的存在唯一性及收敛性 定理3 1 令( m ，) 是( o ，t ) i j 4 j h p 离散，设u y h ，n 是离散问题的解，则乱是原问题的 解，u 是存在唯一的 e t 川出+ 厶( v e ，v u ) 出+ ( 4 帆) 州 + 厶z ( t s ) 咄( v e ( s ) ，v u ) 如出= ( n ，u + ) n 一。 其中上式中令u = e 则有 互1o 旷+ 互1i i 壤1 1 1 2 + ：( r e ，v e ) d z = ( n ，耳) 一厶序叫咄( v 踯) ，v 酬5 出 1 3 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) v o l t e r r a 积分微分方程的h p 时间间断时空有限元方法 在上式两边取绝对值则可得 石1i i 簖1 1 2 + ( v e ，r e ) d r 丢i ie ；_ 。1 1 2 + l 0 2 ( 一s ) 一口i ( v e ( s ) ，v e ) l d s d 根据写= 0 ，上面的估计可改写为 百1i i 写1 1 24 - ( v e ，v e ) d t ( t s ) 一qi ( v e ( s ) ，v e ) id s d t = ：8 n 1 n n 利用c 口“c h y s c 危叫n 他不等式，y o u n g 不等式和引理1 ，估计s n 可得 s n5 ( z 俨( z ( t s ) 吨l lv e ( s ) i ld s ) 2 出) ( z 护i l v e 酽出) 去篙o 护叫弋加v 驯s 肌玎阳 结合( 3 2 8 ) 式可得 1 o ”j l v e | 1 2 d t 去1 t o _ a ) ，n n ：一。( z n t ) 一a d 亡) ( z 2 ”l l v e ( s ) 1 1 2d s ) 利用g 7 帆叫n f 冯l 理可得 1 1 v e i l 2 d t = 0 ，n = 1 ， 则由仳s o 及p 斫n c n 7 色不等式得e = 0 ，即u = 厅由离散问题是线性有限维的，因此解是 存在的口 定理3 2 设乱和u 分别是原问题和离散问题的解，则存在常数c ，有 厂i i u 驯班 c 翩u - h u l l 2 出 成立 证明设 “一u = u h u4 - i i u u = 叩+ 0 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) 由( 3 1 2 ) 式和( 3 1 4 ) 式有 厶( 珏c 一仉，u ) 出+ 厶( v ( u u ) ，v u ) 出+ ( ( 札一u ) 。，味) = ( ( u u ) 矗。，u 。) 一l o ( 一s ) 一口( v ( u ( s ) 一u ( s ) ) ，v u ) d s d t , w e ，n ( 3 2 1 4 ) 1 4 力 砷 吣 ” 互 互 互 n n 似 讹 弛 内蒙古大学硕十学位论文 利用【3 2 1 3 ) 瓦利茄值舁- f 阴任顾口j 得 。( 吼，u ) 出+ f ( v s , v w ) 出+ ( 味l 吐1 ) = o f f _ ，味) 一f z ,