（计算数学专业论文）基于广义es的投资组合优化.pdf

中文摘要 摘要：e s 风险度量方法是现代风险度量方法的一种，最早由a r t z n e r 等人提出的。 而广义的e s 是应用更为普遍的计算风险值的方法，它将损失函数连续、离散的情 况考虑在了一起，即在计算e s 值的时候，不必考察其损失函数的是否连续的情况。 本文的重点就是应用广义e s 来做证券组合的优化。由于广义e s 使用于更为一般 的情况，在本文中除一些特殊情况需要加以区别之外，将该方法统称为e s 。本文 的主要工作如下： 一介绍了投资组合研究概况，包括投资组合的研究意义，历史研究与发展； 二介绍e s 的研究概况，包括它的产生背景、具体定义、特点以及应用等； 三建立广义e s 组合优化模型，并做了实证分析，在给定收益的情况下得出 最优的投资组合； 本文的创新之处是：所用的e s 方法是更为广义的方法，它适用于更为一般的 情况，以此为基础建立规划模型。由于原公式比较复杂，本文在对公式做推导的 时候，进行了一些转换，使得公式更便于做规划处理。同时在作实证分析时，选 取四支基金一定时期的日收益率作为样本，在给定预期收益的情况下应用模型得 到最优的投资组合。 关键词：广义e s 优化模型投资组合 分类号：f 8 3 0 9 1 0 2 9 a bs t r a c t a b s t r a c t t h em e a t s u r eo fe si so n eo ft h em o d e mm e t h o do fr i s km e a s u r e i tf i r s t 胛o p o s e db y a r t z n e ，e t c 1 1 圮g e n e r a l i z e de si sm u c hm o r ee x t e n s i v e i tc o n s i d e rb o n lt h ec a s e so f c o n t i n u o u sa n d d i s c r e t eo ft h el o s sf u n c t i o n n a ti st os a y , w h e nc a l c u l a t i n ge s ，i t sn o tm u s tt oc o n s i d e ri ft h el o s s f u n c t i o ni sc o n t i n u o u so rn o t t h ef o c u so ft h i sa r t i c l ei st od op o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nb a s e do nt h e g e n e r a l i z e de s t h i n k i n ga b o u tt h ea p p l i c a t i o n so fg e n e r a l i z e de si sm o r ew i d e i ti sc a l l e de si n t h i sa r t i c l ee x c e p t e di tn e e dt ob ed i s t i n c t e di ns o m es p e c i a ls i t u a t i o n t h em a i nw o r ki nt h i sa r t i c l e a sf o l l o w s f i r s t ，w ei n t r o d u c e dt h er i s ko fp o r t f o l i o i ti n c l u d e dt h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n to ft h e p o r t f o l i o s e c o n d , w ei n 协d d u c e dt h er e s e a r c ho fe s ，i n c l u d i n gi t sb a c k g r o u n g ，d e f i n i t i o n ，t h e c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ea p p l i c a t i o n s t l h j r d ，w ee s t a b l i s h e dt h eo p t i m i z a t i o nm o d e lo fe sa n dd i de m p i r i c a la n a l y s i s ，r e c e i v i n gt h e o p t i m u mp o r t f o l i ow h e ng i v i n gt h ee a r n i n g s a tl a s t ，w ec o m p a r e dt h er e s u l t sc a l c u l a t e db ym e a n - g e s 、) l ，i t l lt h er e s u l t sc a l c u l a t e db y m e a n v a r i a n c e i nt h i sp a p e r , t h ei n n o v a t i o n sa r e ：t h eu s eo fe si sam o r eg e n e r a l i z e da p p r o a c h ，w h i c ha p p l i e s t om o r en o r m a lc i r c u m s t a n c e sa sab a s i sf o rt h ee s t a b l i s h m e n to ft h ep l a n n i n gm o d e l d u et ot h e c o m p l e x i t yo ft h eo r i g i n a lf o r m u l a ，w ed e r i v e dt h ef o r m u l a ，w h e nd o n ef o ran u m b e ro fc o n v e r s i o n ， m a k i n gt h ef o r m u l at od e a l 谢t hm o r eu s e r - f r i e n d l yp l a n n i n g w h e nd o i n ge m p i r i c a la n a l y s i s ， s e l e c t e df o u rf u n d so nac e r t a i np e r i o do ft i m ea st h es a m p l e u s i n gt h em e a n - g e sm o d e lt or e t u r n t h ep o r t f o l i oi nt h ec a s eo fg i v i n gt h ee x p e c t e de a r n i n g k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e de s ：o p t i m a z a t i o nm o d e l ；p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n c l a s s n o ：f 8 3 0 9 1 ：0 2 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除 了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权北京交 通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，提供阅览服务，并采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：、，刃刮b 导师签名： 签字日期：训弘 月j e l 亏辱坪趴 、 签字日期：川年7 月f 日 致谢 本论文的工作是在我的导师张作泉教授的悉心指导下完成的，张作泉教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来 张作泉老师对我的关心和指导。 张作泉教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向张作泉老师表示衷心的谢意。 张作泉教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷 心的感谢。 在实验室工作及撰写论文期间，贾旭辉、武小利等同学对我论文中的模型 规划研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 1引言 现今社会，随着金融市场的快速发展，人们在投资的时候往往喜欢以证券组 合投资的方式，以减少投资风险。现代投资组合管理往往是依靠模型化、数量化 的方法来以期找到最佳的组合方式。根据优化理论，结果投资者的期望收益率以 及风险等约束条件，通过建立优化模型，进行求解，给出投资组合各资产的比例。 利用模型化、数量化的方式来确定投资组合这一形式已经引起了越来越多研 究者的关注，而用什么方法来进行风险度量是其中一个很重要的因素。 金融和证券市场的复杂性决定了投资者面临着各种各样的风险，健全风险控 制机制，防范投资风险，是投资者永恒的主题。风险度量是最近金融界广泛提及 的话题，其研究方法也越来越得到人们的重视。 传统的度量风险的方法是方差法，然而用方差度量风险有很多不足的地方， 它既包含人们不愿面对的亏损，又包含努力追求的超额回报，而它依赖对投资收 益的严格假设，没有用货币明确表示出投资组合风险大小等等，这使得人们不断 的去探索新的度量风险的方法，如v a r ，e s 等。 v a r 方法最先是由j pm o r g a n 公司提出的。j pm o r g a n 的风险管理人员开发了 一个名为“风险度量”( r i s k m e t r i c s ) 的系统，在其中提出了v a r 的概念，即将所有 风险集成为一个数的风险度量方法。国外学者对v a r 的研究已经十分成熟，我国 理论界对v a r 的探讨始于1 9 9 7 年。牛昂首先对v a r 方法及其在国际银行业风险 管理中的应用进行了简介。此后郑文通、雷克、姚刚、黄智猛、王春峰等先后对 v a r 方法的模型技术问题进行了探讨，刘宇飞、李亚静、朱宏泉、何跃对v a r 的 计算方法做了改进。 v a r 方法是风险度量方法的开端，在其后发展起来的c v a r 、e s 等方法在v a r 的基础上对模型做了改进。本文应用的是e s 模型，而且是广义e s 模型，它克服 了v a r 不满足一致性的缺陷，广义e s 模型对于损失函数没有必须连续性的要求， 应用范围更为广泛。对于广义e s 模型的应用研究在国内还比较少。 本文是以广义e s 为基础，建立投资组合优化模型。以广义e s 度量风险，均 值度量收益，进行实证分析时，选取四种基金，在给定预期投资收益的情况下， 求出最优的投资组合。 2 1 投资组合的意义 2 投资组合的研究概况 由于证券投资的预期收入受到多种因素的影响而具有不确定性，人们在投资 过程中往往通过分散投资的方法来规避投资中的系统性风险和非系统性风险，实 现投资效用的最大化。 证券投资组合管理的主要内容就是研究风险与收益的关系。一般情况下风险 与收益呈现正相关关系。即收益越高，风险越大；反之，收益越小，风险越小。 一个理性的投资者总是一方面希望收益率高而另一方面也希望投资的风险尽可能 小。证券投资者构建证券组合的原因是为了降低风险。投资者通过组合投资可以 在投资收益和投资风险中找到一个平衡点，即在风险一定得条件下实现收益的最 大化或收益在一定条件下使风险尽可能的降低。资产组合理论证明，证券组合的 风险随着它所包含的证券数目的增加而降低。资产间关联性极低的多元化证券组 合可以有效地降低风险。当投资者将各种资产按不同比例进行组合时，其选择就 会有无限多种，这为投资者在给定风险水平的条件下获取更高收益提供了机会， 当投资者对证券组合风险和收益做出权衡时，他能够得到比投资单个资产更为满 意的收益与风险的平衡。 2 2 投资组合的历史研究与发展 一、5 0 年代以前的投资组合理论 在马柯威茨投资组合理论提出之前，分散投资的理念已经存在。h i c k s ( 1 9 3 5 ) 提出了“分离定理”，并解释了由于投资者有获得高收益低风险的期望，因而有 货币的需要；同时他认为和现存的价值理论一样，应构建起“货币理论”，并将 风险引入分析中，因为风险将影响投资的绩效，将影响期望净收入。k e n e s ( 1 9 3 6 ) 和h i c k s ( 1 9 3 9 ) 提出了风险补偿的概念，认为由于不确定性的存在，应该对不同金 融产品在利率之外附加一定的风险补偿，h i c k s 还提出资产选择问题，认为风险可 以分散。m a r s c h a k ( 1 9 3 8 ) 提出了不确定条件下的序数选择理论，同时也注意到了人 们往往倾向于高收益低风险等现象。w i l l i a m s ( 1 9 3 8 ) 提出了“分散折价模型” ( d i v i d e n dd i s - c o u n tm o d e l ) ，认为通过投资于足够多的证券，就可以消除风险，并 假设总存在一个满足收益最大化和风险最小化的组合，同时能通过法律保证使得 组合的事实收益和期望收益一致。l e a v e n s ( 1 9 4 5 ) 论证了分散化的好处。随后v o n 2 n e u m a n n ( 1 9 4 7 ) 应用预期效用的概念提出不确定性条件下的决策选择方法。 二、马柯威茨投资组合理论 美国经济学家m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 发表论文资产组合的选择，标志着先帝投 资组合理论的开端。他利用均值一方差模型分析得出通过投资组合可以有效降低 风险的结论。其主要内容是在投资者为追求高的投资预期收益，并希望尽可能躲 避风险的前提下，阐述了一整套框架，并运用一套复杂的数理统计方法，以解决 如何有效地分散组合证券风险，求得最大收益。马柯威茨均值方差理论依据以下 几个假设： 1 ) 投资者通过投资组合在某一时间内的预期收益率和标准差来评价这一投资 组合； 2 ) 投资者永不满足。因此，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择 具有较高回报率的那一种； 3 ) 投资者是厌恶风险的。因此，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将 选择具有较小标准的那一种； 4 ) 税收和交易成本均忽略不计。 马柯威茨均值一方差模型的核心思想是把资产组合的预期收益率作为投资收 益率，把资产组合收益率的反差作为收益风险。对于一个给定的预期收益率，一 个投资者可以通过最小化资产组合的方差得到最小风险；或者对于一个给定的投 资者能容忍的风险水平，可以通过最大化资产组合的预期收益率来得到最大收益 率。其模型为： 其中，s = i x i ，恐，】r 是投资组合中各个证券权重向量，是各个证券之 间的协方差矩阵，盯；和r p 2 e ( 名) 是投资组合的预期方差和收益率，仃p 2 用来度量 投资组合的风险，r = ( r l ，r - ，r n ) r ，其中足= e ( ) 是第f 个证券的预期收益率 o = 1 ，2 ，以) 。“是预先规定的最低收益。该模型为现代证券投资理论奠定了基础。 上式表明，在限制一定条件下求解投资比例薯，使组合风险盯；最小。 3 x + 哩” h 5：= x 工 i 删 “ 三、投资组合理论的新发展 长久以来，马柯威茨的均值一方差理论在指导人们投资中占有重要地位。尽管 它很受欢迎，但马柯威茨模型还存在很多缺点。比如，对风险的描述依赖于对投 资收益分布的严格假设，没有用货币明确表示出投资组合的风险大小，也没有考 虑投资者的不同风险偏好和投资组合可能的潜在风险等。因此，一些风险度量的 方法引入到了投资组合的研究中。 2 3 风险度量方法在投资组合中的应用 目前被研究者们讨论最多的风险度量方法包括v a r ，c v a r ，e s 等。v a r 是现代风 险度量方法的开端，该方法是在2 0 世纪5 0 年代才得到研究证券投资组合理论的 学者们的关注，它原先是被人么用来测度一些金融交易市场的风险的。v a r 方法的 引入在一定程度上弥补了原先投资组合理论对证券组合风险度量的不足。 在对风险度量方法进行研究的过程中，a r t z n e r 等提出了一致性风险度量的概 念，致性风险度量模型必须满足下面的约束条件： 单调性：x v ，x 0 毒p ( x ) 0 。若一个投资组合优于另一个投资组合， 即前者随机回报的各分量大于或等于后者随机回报所对应分量，则前者的风险至 少不大于后者。 次可加性：x v ，y v ，x + y vjp + 】，) p ( x ) + p ( 】，) 。次可加性 条件保证了组合的风险小于等于构成组合的每个部分风险的和，这一条件与我们 进行分散性投资可以降低非系统风险相一致，是一个风险度量模型应具有的重要 的属性，在实际中也具有重要的意义。 正齐次性：x v ，h - o ，h x vjp ( h x ) = h p ( j j l ) 。其中h 为常数，它反映 了没有分散风险的效应。 平移不变性：p ( x + b ( 1 + ，) ) = p 似) 一b ，其中，为无风险度量利率，b 0 表 示无风险资产。若增加无风险头寸到组合中，组合风险将随着无风险头寸的增加 而减少。 一致性风险度量概念提出后，也发现了v a r 本身存在的更明显的缺陷，主要有： ( 1 ) v a r 不满足一致性风险度量要求中的次可加性。这就是说在用v a r 来度量 风险时，各个证券组合的风险不一定小于各证券风险的组合； ( 2 ) v a r 不一定满足凸性，所以在基于v a r 对证券组合进行优化时，可能存在 多个局部极值，对整体优化，在数学上实现较难； ( 3 ) 计算v a r 有很多方法，但各种放大结果相差很大。 4 基于此，p f l u g ，r o c k a f e l l a r ，u r y a s e v ( 2 0 0 0 ，2 0 0 2 ) ：h c e r b i ，t a s c h e ( 2 0 0 2 ) 先 后提出了条件风险价值( c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ) 作为风险的度量来对v a r 进 行修正。目前，国内外也已经有很多专家学者对于c v a r 在投资组合中的应用做了 深入的研究，在对于v a r 的一些缺点的修正上起到了一定的作用，比如改善了v a r 在处理损失分布后尾现象时存在的问题。但也发现c v a r 存在的一些问题。即当证 券组合损失的密度函数是连续函数时，c v a r 满足一致性风险度量的概念。而当证 券组合损失的密度函数不是连续函数时，c v a r 不满足次可加性，不再是满足一致 性的风险度量方法。 于是研究者又提出了e s 度量方法，本文所应用的广义的e s 方法，它对于证 券损失的分布没有特殊的要求，即不管是否满足正态分布，是否连续，广义e s 都 是满足一致性风险度量概念的。 5 3 1e s 的产生背景 3e s 的研究概况 国际金融市场的日趋规范壮大，使得各金融机构之间的竞争也发生了很大的 变化，金融风险也随之加剧了。尤其是2 0 世纪9 0 年代以来，国际金融界经历了 一系列的金融风波，各大金融机构都在不断经受着考验，金融风险的研究越来越 引起人们的重视。 传统的资产负债管理过分依赖于金融机构的报表分析，缺乏时效性，资产定 价模型无法揉和新的金融衍生品种，而用方差和系数来度量风险只反映了市场 ( 或资产) 的波动幅度。这些传统方法很难准确定义和度量金融机构存在的金融 风险。由此也诞生了很多现代风险度量的方法，包括被大家所熟知的v a r 。1 9 9 3 年，g 3 0 集团在研究衍生品种基础上发表了衍生产品的实践与规则的报告，提 出了度量市场风险的v a r ( v a l u e a t r i s k ) 模型( “风险估价”模型) ： 对于v a r 的研究在国内外都有了很大的发展，但是v a r 的不足之处也是很明 显的。v a r 要求证券组合的损失符合正态分布，而在现实生活中很难保证组合的损 失一定符合正态分布，往往呈现多元化的分布状态。而且v a r 不是一致性风险度 量。因此，研究者也开始研究更为理想的风险指标。 e s ( e x p e c t e ds h o r t f a l i ) 就是在这种情况下应运而生的，它最早是由c a r l o a c e r b i 和d i r kt a s c h e 于2 0 0 1 年在文献e x p e c t e ds h o r t f a ll ：an a t u r a lc o h e r e n t a l t e m a t i v et ov a l u ea tr i s k 中提出的，它对于证券组合损失函数没有必须是正 态分布的要求，而且满足一致性。 3 2e s 的具体定义及参数选择 ( 1 ) e s 的定义 根据证券组合损益分布的情况，e s 有下面两个定义： 定义l ：( 连续损失分布) 损失l 满足工i ，阢( ，) v a r , ，) ( 6 ) a c e r b i 和t a s c h e 已经证明上述定义在离散情况下不满足次可加性。 6 他们给出更一般的定义： 定义2 ：( 广义e s ) 给定可积的l ，口( o ，1 ) ，则一般的e s 模型定义为： 嘁= 1 a x ( e ( l ；l 毗( 三) ) + g 口( 三) ( p ( l v a n a l ) ) 一口) ) ( 7 ) 其中吼= 一玩吃 上面的定义从形式上看似乎比较复杂，但它表达的思想是简单的。就是超过 v a r 那部分的期望损失。如：假设一天在置信度9 5 的情况下v a r 的值为1 1 ， 即投资的最大可能损失为1 1 ，则仍有5 的可能性会使损失超过1 1 ，e s 就是 用来描述损失超过这部分的期望值。 定义中的( 三) ( p 口- q 口( x ) ) 一口) 主要是针对离散随机变量的，对于连续型 随机变量来说公式( 7 ) 会递减到( 6 ) 。关于该项的证明a c e r b i 和t a s c h e 在o nt h e c o h e r e n c eo fe x p e c t e ds h o r t f a l1 中已经给出。 e s 对于损失x 的分布没有特殊的要求，在分布函数连续和不连续的情况下都 能保持一致性风险度量这一性质，使这模型不仅可以应用到任何的金融工具的风 险度量和风险控制，也可以处理具有任何分布形式的风险源，而且保证了在给定 风险度量的约束条件下最大化预期收益组合的唯一性。 ( 2 ) e s 的参数选择 e s 的定义中有三个重要参数：v a r ，持有期，口( 置信水平) 。对于任何一个 组合，在持有期和置信水平给定的情况下，其v a r 值是一定的。e s 只有在给定持 有期和置信水平这两个参数的情况下才有意义。 1 ) 置信水平的选择 置信水平的选择依赖对风险验证的需要、内部风险资本的需求、监管要求以 及在不同机构之间之间进行比较的需要。同时，正态分布或其他一些具有较好性 质分布特征的分布形式也会影响置信水平的选择。 有效性检验 如果非常关心计算就诶过的有效性，则置信水平不应该很高。因为置信水平 越高，则实际中潜在的损失超过e s 的可能性越小，但是为了验证e s 计算的结果， 所需要的数据就越多，因此，在实际中无法获得大量数据的约束就会压抑较高置 信水平的选择。 外部监管要求 金融监管当局为保持金融系统的稳定性，就会要求金融机构设置较高的置信 7 水平。例如巴塞尔委员会1 9 9 7 年年代生效的资本充足性条款中要求的置信水平为 9 9 。 不同的投资机构对计算组合的e s 时会选择不同的置信水平，如果存在标准 的转化方法，将不同置信水平下的e s 转换成同一置信水平下的e s 进行比较，则 置信水平就无关紧要了。在正态分布假定下可以选择任意水平的置信度，不会影 响不同金融机构或不同组合之间的比较，如果不服从正态分布或一些具有类似性 质的分布，则一种置信水平下的e s 数值将无法说明另一种置信水平下的情况了。 不同置信水平适应于不同目的：当考虑e s 的有效性时，需要选择较低的置信 水平；而内部风险需求和外部风险监管要求则需要选择较高的置信水平：此外， 对于统计和比较的目的需要选择中等或较高的置信水平。 2 ) 持有期的选择 持有期是计算e s 的时间范围。由于波动性与时间长度呈正相关，所以e s 随 持有期的增加而增加。一般来讲，金融机构使用的最短持有期是一天，但理论上 可以使用小于一天的持有期。考虑持有期时，往往需要考虑以下四种因素：流动 性、头寸调整、数据约束。 流动性 影响持有期的第一个因素是金融机构所处的金融市场的流动性。在不考虑其 他因素的情况下，理想的持有期是由市场流动性决定的。如果交易头寸可以快速 流动，则可以选择较短的持有期；但流动性较差，由于交易时寻找交易对手的时 间较长，则选择较长的持有期更加合适。 在实际中，金融机构大多在多个市场上持有头寸，而在不同市场达成交易的 时间差别很大，这样，金融机构很难选择一个很好的反应交易时间的持有期。因 此，金融机构通常根据其组合中比重较大的头寸的流动性选择持有期。 头寸调整 在实际交易中，投资经理人会根据市场状况不断调整其头寸或组合。如果一 种头寸不断发生损失，则投资经理人会把这种头寸变为其他的头寸，持有期越长， 投资经理人改变组合头寸的可能性越大，而在计算e s 时，往往假定在持有期下组 合的头寸是相等的，因此，持有期越短就越容易满足组合保持不变的假定。 数据约束 往往在计算过程中需要大量的历史样本数据，持有期越长，说需要的历史事 件跨度越长。这样长时间的数据不仅在实际中很难得到，而且时间过早的数据起 到的意义也不是很大，金融市场的不断变化，几年前的市场与现在的市场相比就 会有很大的差距。因此，持有期越短，数据的可靠性越好。 综上所述，后两个要素要求持有期不宜过长，因此在本文中样本数据的选择 上也没有牵扯太长的时间段。 3 3e s 的特点 e s 作为有效地现代风险度量方法，主要体现在以下几方面： ( 1 ) e s 被称为损失期望值，是对证券组合损益分布( 1 一口) 上最坏情况的期望值。 该模型的数学假定与v a r 模型相同，另设厂( y ) 使证券收益率y 的分布密度。根据 证券组合损益分布的情况，还分为离散和连续两种情况，本文所应用的广义e s 把 连续、离散的情况考虑在了一起，即在应用广义e s 做风险度量时，不必单独考虑 所选取证券的损失函数是否符合连续性； ( 2 ) e s 是满足a r t z n e r 等提出的一致性风险度量方法。这对于v a r 以及c v a r 来 说都是一项很大的改进。 ( 3 ) 在应用e s 进行风险度量时，不必考虑证券的损益函数是否服从正态分布， 这很适合我国的证券市场研究。由于我国金融市场发展较晚，有很多地方还不规 范，还不是一个成熟的金融市场，很容易受很多外在内在因素的影响，证券的各 项指标，比如价格、收益率等很难服从正态分布，存在较为明显的尖峰后尾的特 征，此时应用对指标有明确要求的风险度量方法就显得不够适合了，此时e s 方法 就更适合我国证券市场风险的度量。 3 4e s 的应用 e s 是损失的期望值，反映潜在损失的平均水平。e s 更能体现潜在风险，而且 将其进行规划以后，计算上比v a r 的计算更简便，因此其应用的前途与空间应该 比v a r 更大，更广阔。从应用的范围来看，主要有以下几类： ( 1 ) 投资组合的优化。投资者从事证券投资的实质就是要在承受特定风险的条 件下实现预期收益组合模型的核心思想所在。经典投资组合模型是以最小反差为 基准目标的，以此构成了马柯威茨的有效边界，在这条有效边界与投资者效用函 数或投资者的无差异曲线的相切点上建立起来的投资组合时最佳的，此点的风险 是用组合收益的标准差表示的，但标准差并不能告诉投资者投资组合的潜在损失 到底是多大。因此，在此加入e s 对投资组合进行约束，即在传统的均值一方差模 型的约束条件中，再加入一个e s 约束，通过头寸的调整来预先限定组合的潜在风 险，这样就通过对组合的优化起到规避风险的作用。 ( 2 ) 确定内部风险资本需要和设定风险限额。利用e s 可以确定金融机构在整体上 为抵御市场风险所需求的内部风险资本，并为交易员或业务部门设置风险限额， 9 防止过度投机行为。金融机构为防止某一交易员或业务部门的风险过度承担，通 常对交易进行限制。 ( 3 ) 资本配置。在经典的投资组合模型中以最小方差为规划目标，引入e s 来 代替方差，以最小e s 为规划目标，即构成最优均值一e s 模型，这一模型的优点在 于它与机构的e s 风险测量及e s 风险限额保持了一致性。 3 5 计算e s 的方法 在查阅了许多文献以后，发现目前人们计算e s 的方法主要有以下几种： ( 1 ) 历史模拟法。历史模拟法是非参数方法。它不需要对收益率的统计分布做 任何限制，它从历史的收益率序列中取样。其核心在于根据市场因子的历史样本 变化模拟资产组合的未来损益分布，利用分位数给出一定置信度下的风险估计。 它是一种非参数方法，不需要假定市场因子的统计分布，可以较好地处理非正态 分布；历史模拟法无需估计波动性、相关性等各种参数，也就没有参数估计的风 险，它不需市场动态性模型，因此避免了模型风险；同时，该方法也是一种全值 估计，可有效地处理非线性、市场大幅度波动的情况，捕捉各种风险。 但是，历史模拟法也遭到了很多批评。首先，它的基本假设是过去，只能反 映不远的将来。但是e n g l e 已经指出，波动率有着显著而且可以预测的时变性。 当波动率在短期内变化较大时，历史模拟法将估计不难。其次，这个方法给 与所有的观测值相当的权重，这与现实不符。一般来说，离现实越近的观测值对 未来的影响越大。通常当去掉一个旧的观测值后，用该方法算出的v a r 值变化很 大。最后，该方法结果的准确性依赖于样本区间的长度。如果样本容量太小，v a r 将估计不准。当置信水平很大时，样本容量必须足够大才能算出v a r ，这样的效率 就比较低了，特别是涉及到结构很复杂的投资组合时，计算量就更大了。 ( 2 ) 蒙特卡罗模拟方法 蒙特卡罗模拟也称随机模拟方法，其基本思想是，为了求解科学、工程技术 和经济金融等方面的问题，首先简历一个概率模型或随机过程，使它的参数等于 问题的解；然后通过对模型或过程的观察计算所求参数的统计特征；最后给出所 求问题的近似解，解得精度可用估计值的标准误差表示。蒙特卡罗模拟的计算与 历史模拟方法类似，不同之处在于市场因子的变化不是来自于历史观察值，而是 通过随机数模拟得到。基本思想是重复模拟金融变量的随机过程，使模拟值包括 大部分可能情况，这样通过模拟就可以得到组合价值的整体分布情况。 蒙特卡罗法的最大缺陷是计算量太大。蒙特卡罗模拟法可以较好的处理非线 1 0 性、非正态问题。其主要思路是反复模拟决定金融工具价格的随机过程，每次模 拟都可以得到组合在持有期末的一个可能值，如果进行大量模拟，那么组合价值 的模拟分布将收敛于组合的真实分布。 ( 3 ) a r c h 模型。 a r c h 模型被译为自回归条件异方差模型。该模型将当前一切可利用信息作为 条件，并采用某种自回归形式来刻画方差的变异。对于一个时间序列而言，在不 同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用a r c h 模型，可以刻画 出随时间而变异的条件方差。 a r c h 模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生时服从正态 分布。该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量( 即条件异方差) 。并 且这个随时间变化的反差是过去有效项噪声值平方的线性组合( 即自回归) 。这样 就构成了自回归条件异方差模型。 此外，研究者们在对e s 做计算时也不断的尝试新的方法，试图将在金融领域 里有广泛应用的模型及方法应用到计算e s 值上。 本文在对广义e s 定义公式做推导时，发现它可以和c v a r 取得联系，于是采 用了r o c k a f e l l a rrt ，u r y a s e vs 在o p t i m i z a t i o no fc o n d i t i o n a lv a l u e - a t r i s k j 中提到的一种优化模型的算法。具体推导过程在后文中给出。 4 基于广义e s 的优化模型 e s 的提出克服了v a r 的一些缺陷，是符合一致性的风险度量模型，本文应用 的就是广义的e s 方法。它对于损失函数的连续性没有限制，应用更加广泛。 本章参照r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 提出的一种算法，同时根据证券市场的实 际情况，给出一些约束条件，建立广义e s 优化模型，记为：m e a n g e s 模型。 4 1 广义e s 优化模型的建立 广义e s 的定义在前面第三章已经给出，其表现形式如( 7 ) 式，即 g e s , 。= 1 a x ( e ( ；玩心( ) ) + g 口( 三) ( p ( 帆( ) ) 一口) ) 对上面的公式进行整理，将上式左右两端都除以以三玩吃( 三) ) ，得到下式： g e s 。, = g e s 。, p ( l v a r 。( l ) ) = i i 口x e ( l ；l v a r o c l ) ) e ( z 佩( 乙) ) + g 口( 尸帆( ) 一a ) p ( l v a r y ( l ) ) = l c t xe + g 口p ( l 忱( 三) ) 一g 口 ( 8 ) 可以看到上式中含有连续损失分布的e s ，而当损失是连续的时候e s 与c v a r 是相同的，所以在这里对上式运算的时候参照c v a r 的运算方式。在这里参考的是 r o c k a f e l l a e 和u r y a s e v 提出的一种算法，将上式转化为优化模型，以简便运算。 首先对e s 。进行规划整理，从e s 。的表达式中可以看出，e s 口是对v a r 这一分 位数刻画处的尾部风险的期望。用f ( x ，y ) 表示损失函数，x r “，随机变量y r 肼， 密度函数为p ( y ) ，投资损失f ( x ，y ) 的概率不超过最低限度，定义如下： 沙( x ，口) = f p ( y ) d y ( j ，) 5 缸 1 2 作为x ，口的函数，y 是递增的分布函数，完全取决于随机变量，假设概率分布 是连续的，定义下式： 办g ) = ( 1 一) 一少( z ，y ) p ( y ) d y 这个算法的关键是用易来刻画办，乃x x r 易( z ，a ) = a + ( 1 - f 1 ) 。1 缈( 石，y ) - a r p ( y ) d y y e r ( 1 0 ) 为了简化计算，用( 1 一) 易( x ，口) 代替f p ( x ，口) ，这样做可以避免由1 一造成 的整数分离，而且l 一越小，结果越好。在这里，对易( 石，口) 计算时，应用取样得 到相近值的方法，方法如下： i 汉t f j f - y i ，y 2 ，y q ，得到f p ( x ，口) 的近似式： f a 五口) ：口+ 1 g ( 1 一) 圭 厂( x ，y 。) 一口】+ k = l ( 1 2 ) 在对证券进行组合应用时，用x = ( 而，而，) 表示一种证券组合，五代表第f 种 证券，有 而= 1 薯o ，i = 1 2 ，行 l f f i l y s 表示组合的中各种证券的权重，独立于石，密度为p ( j ，) ，则损失如下： f ( x ，y ) = 一i x , y , + + x n y 。】= 一x 7 y 则对应的 易( x ，口) = 口+ ( 1 一) 一1 ，- x t y a 】+ p ( y ) d y y e r ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 令( 功，c r ( x ) 分别代表损失的期望和方差 似值 ( z ) = 一x r m 仃2 ( 功= x t v x 线性约束条件： ( x ) r ( 1 6 ) ( 1 7 ) 且满足证券组合的可行域 z = x ：x 满足( 1 3 ) ，( 1 7 ) ) x 是凸的，在x 尺上的最小值问题因此也是一个凸函数，考虑( 1 3 ) 式的近 f p ( x ，口) ：口+ 1 g ( 1 一f 1 ) - x r y k - a + k f f i l 它等价于下列线性表达式的最小值 口+ 1 g ( 1 一) 圭 k f f i l 满足约束( 1 1 ) ，( 1 5 ) 和 “女0 且x r y t + o t + u 女0 则将广义e s 转化成求最小值的规划问题，得到下列表达式 子：1 ( 1 一口) 口+ 1 g ( 1 一f 1 ) 羔“。】+ f l ( 1 一口) g p k = l 1 4 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 则 q 邓柏幽二卜胡弓舡卜c l 柏妒胛柏 ：口f z + l g 口羔一1 a + ( 1 一口) ( 一：) g 一+ ： k * l ：1 + 1 g 口羔+ ( 1 一口g ) 2 + ( 口g 一1 口一1 ) 8 k = l ( 2 2 ) 结合前面的约束条件，即不允许卖空，投资预算限制以及期望收益，可以得 到关于广义e s 的规划模型，它用均值来代表收益，e s 值代表风险，所以下列模型 也称为广义的均值- e s 模型。 ( 2 3 ) 在这里取口= 0 9 9 ，则目标函数为 g l ：i 0 0 1 9 妻+ ( 1 0 0 1 g ) 2 + ( o 0 1 g 1 0 1 ) f l ( 2 4 ) k = l 4 2 实证分析 为了验证此模型的可用性，从酷基金网上选取了博时平衡、大成优选、宝盈、 富国天成四种基金的日收益率，进行组合风险度量。选取的时间段为2 0 0 8 年1 0 月6 日到2 0 0 9 年3 月1 7 日( 工作日1 1 0 天) ，即样本数为1 1 0 。数据如下： 淤 博时平衡大成优选宝盈资源富国天成 时间 2 0 0 8 - 1 0 - 6- 1 9 24 6 44 3 72 5 2 2 0 0 8 - 1 0 - 70 0 0一o 3 71 1 3一o 2 6 2 0 0 8 1 0 - 8- 1 1 32 6 3 - 1 0 1- 1 3 6 2 0 0 8 1 0 90 5 2 一o 7 7- 1 0 40 6 0 2 0 0 8 1 0 1 0 1 3 62 7 23 7 82 6 8 2 0 0 8 1 0 一1 31 5 93 0 01 5 00 8 7 2 0 0 8 1 0 1 40 9 4- 1 1 71 8 7- 1 3 0 2 0 0 8 1 0 一1 50 0 0o 0 0o 3 9- 一1 0 4 2 0 0 8 1 0 一1 61 2 62 7 54 1 02 6 9 2 0 0 8 1 0 1 70 2 10 4 00 3 30 1 3 2 0 0 8 - 1 0 2 01 2 81 2 12 0 21 2 9 2 0 0 8 1 0 2 1一o 4 20 2 00 1 20 0 8 2 0 0 8 1 0 2 2- 1 3 7- 1 7 90 8 00 9 6 2 0 0 8 1 0 2 3o 2 1- 1 0 l一0 11 0 2 8 2 0 0 8 一1 0 2 4 - 1 2 8- 2 4 60 8 4- 1 6 8 2 0 0 8 一1 0 2 7 2 6 0一4 2 05 2 0一4 9 7 2 0 0 8 1 0 2 8 0 7 82 4 11 6 61 0 0 2 0 0 8 1 0 2 90 7 70 4 32 5 6- 1 2 4 2 0 0 8 一1 0 3 00 6 72 1 50 6 61 3 3 2 0 0 8 - 1 0 - 3 10 5 50 8 40 1 51 2 0 2 0 0 8 - 11 - 3一o 2 20 2 1o 5 50 2 7 2 0 0 8 1l 一40 5 6一1 0 60 1 8- 0 6 4 2 0 0 8 - 11 - 51 2 32 5 72 0 32 1 7 2 0 0 8 - 11 - 60 5 51 8 82 0 50 9 3 2 0 0 8 - 11 - 7