（计算数学专业论文）数值积分的若干问题的研究.pdf

数值积分的若干问题的研究 摘要 积分的数值计算是数值分析的一个重要分支。本文从数值近似积分问题的 产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。 在一维情形下，主要介绍了n e w t o n c o t e s 公式，g a u s s 型求积法则，急速 振荡函数的数值积分法则，抽样法求数值积分的法则等。应用g a u s s 型求积法 则和p e rk a i 多项式的正交性质，本文作者推导出了一种新型的求积公式一 g a u s s p e rk a i 积分公式。由于求积节点的简捷性，也注定了积分法则的简便 性。 在高维情形下，主要介绍了一些标准区域上的多重积分公式，用抽样法来 求多重积分，具有代数精度的降维展开式和边界型求积公式，以及用数论网格 的方法来计算高维积分等。本文作者从高维矩形区域的优良性质出发，将c o t e s 公式推广到了n 维空间上，并给出了较为简单的截断误差估计。 关键词：数值积分，区域，g a u s s 型求积法则，代数精度，高维积分，降维展 开，边界型求积公式，误差估计。 3 r e s e a r c ho ns e v e r a lp r o b l e m so ft h en u m e r i c a l i n t e g r a t i o n a b s t r a c t t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o no f i n t e g r a t i o ni sa ni m p o r t a n tb r a n c ho f n u m e r i c a la n a l y s i s i t i sd e r i v e db yt h eo r i g i n so fn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o ni n t e g r a t i o na n di n t r o d u c e ss o m e i m p o r t a n tm e t h o d so f n u m e r i c a li n t e g r a t i o ni nd e t a i li nt h ed i s s e r t a t i o n u n d e rt h eo n e - d i m e n s i o n a ls i t u a t i o n , i ti l n r o d u c e sm a i n l yt h en e w t o n - c o t e sf o r m u l a , t h eg a u s s i a nq u a d r a t u r ef o r m u l a , t h en u m e r i c a li n t e g r a t i o nr u l eo fs h a r po s c i l l a t o r y f u n c t i o n , t h en u m e r i c a li n t e g r a t i o nr u l eb yt h em e t h o d so fs a m p l i n ga n ds o0 1 1 n 伦a u t h o r o ft h i st e x th a sp u to u tak i n do fn e w - t y p eq u a d r a t u r ef o r m u l ab yu s i n gt h eg a u a s i a n q u a d r a t u r ef o r m u l aa n dt h eo r t h o g o n a l i t yo fp e rk a ip o l y n o m i a l t h ei n t e g r a t i o nr u l ei s s i m p l eb e c a u s eo f t h ec o n v e n i e n c eo f t h ei n t e g r a ln o d e s u n d e rt h eh i g h e r - d i m e n s i o n a ls i t u a t i o n , i ti n t r o d u c e sm a i n l yt h em u l t i p l ei n t e g r a l s f o r m u l a so ns o m es t a n d a r da r e a s ，t h em u l t i p l ei n t e g r a l sf o r m u l ab yt h em e t h o d so f s a m p l i n g t h er e d u c t i o no fd i m e n s i o n sa n dt h eb o u n d a r yt y p ec u b a t u r e v i t l lac e r t a i n a l g c b r a i cp r e c i s i o n , a n dc a l c u l a t em u l t i p l ei n t e g r a l sw i t ht h em e t h o d so fn u m b e rt h e o r e t i c a l n e ta n ds oo i l n ea u t h o ro ft h i st e x tm a k et h ec o t e sf o r m u l ae x t e n df o rn d i m e n s i o n a l s p a c et h r o u g l lf i n en a t u r eo fh i g h e r - d i m e n s i o n a lr e c t a n g u l a rr e g i o r la n dt h em o r ee o n v i e n t l r u n c a t i o ne l l o re s t i m a t i o ni sm a d e k e yw o r d s ：n u m e r i c a li n t e g r a t i o i ，r e g i o n , g a u s s i a nq m d r a t u r ef o r m u l a , a l g e b r a i c p r e c i s i o n ，m u l t i p l ei n t e g r a l s ，r e d u c t i o no fd i m e n s i o n s ，b o u n d a r yt y p ec u b a t u r e ， e s t i m a t i o no f t h ee r r o r 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得盒目b 王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文储签字求磊签字日期。7 年f 月? 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒b b 王些盘堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金目b 兰些太 ! l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址； 导师繇莒虮 导师签名；趴、“l 1 。- 签字盹1 年g 巧日， 2 电话： 邮编： 日 磊甲 尔加 ： 年 鹕 明 者 ： 文 期 沦 日 位 字 学 签 致谢 岁月如歌，光阴似箭，转眼又是栀子花开时，三年的研究生生活即将结束。 回想过去的一年，跟随着毕业论文的脚步，一路走来，经历了找寻工作的喧嚣 与坎坷，也让我深深的体会到了写作论文时带来的那份宁静与思考。除却生活 与人性的浮躁，学会宁静与思考，品味一段过程，一种人生，这份论文所带给 我的启示，值得永远的珍惜，而引导我、帮助我、激励我获得这份启示的人们。 也值得永远的铭谢在心。 首先要感谢我的导师苏化明教授，从论文的开题报告开始，到论文的主题 确立到写作到定稿，倾注了苏老师大量的心血。他严谨细致、一丝不苟的作风 一直是我工作、学习中的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无 尽的启迪。 其次要感谢院里的其他老师们，朱功勤教授、檀结庆教授、黄有度教授、 邬弘毅教授、林京教授、朱晓l 临教授、唐烁教授等，是你们的教导让我学到了 丰富的专业知识，更让我懂得了许多做人的道理。 还要感谢我的同学们，他们一同陪我度过了这求学的三年。同时感谢今天 在座的所有出席答辩的老师们，你们在百忙之中对我的论文进行指导，你们的 建议将为我今后的研究工作指明方向。 最后要感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报， 你们永远健康快乐是我最大的心愿。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利 完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚 挚的谢意l 作者：朱磊 2 0 0 7 年4 月 第一章绪论 数值积分及其应用是数学上重要的课题之一，是数值逼近的重要内容，也 是函数插值的最直接应用。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积 分就成了数值分析的一个基本问题。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常 常是一个基本组成部分。 在微积分理论中，我们知道了牛顿莱布尼茨( n e w t o n - l e i b n i z ) 公式 i 厂( x ) d x = f ( 6 ) 一f ( 口) ， 其中f ( x ) 是被积函数f i x ) 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个 问题：对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为： 1 、被积函数f i x ) 的原函数理论存在，但无法用简单函数表示出来，也就无 法用于上式计算，例如：p 一，s m x 等初等g l； 耳 2 、被积函数f ( x ) 本身都无法详尽描述，即没有可用于计算的表达式，而代 之以表格的形式给出一些离散点上的函数值，或者定义为某个无法用显式表示 的微分方程的解； 3 、被积函数f i x ) 的原函数表达式相当复杂，求值困难。 在上述情况下，我们就要采用不同于经典积分理论中的积分公式，即采用 后面所述的方法。 几百年来，如g a u s s ，s t r o u d ，d a v i s ，华罗庚等世界上著名的数学大师都对积 分的逼近进行了深入的研究。随着计算机的出现，它又开始被系统的研究。现 在在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相 当重要的应用。 第二章一维数值积分方法 2 1 引言 对于一维数值积分法的思想来源于定积分的定义，即 f ，= l i m 萋x f ( x , ) a x , ， 其中五= m a x a x j ) ，一般的提法是：对给定的权函数p ( x ) 0 ，工e a ，6 】，用“x ) 在点口= x 0 而 = 6 处的函数值f ( x ，) o = o ，l ，- 栉) 的线性组合 1 c f ) = a o f ( x o ) + a 1 f ( x 1 ) + + 4 八矗) = a , f ( x i ) 作为积分，= r 厦并) 八x 的近似值，即 ，= r p ( x ) m ) * 4 八一) ， ( 2 1 ) ，2 p ( x ) m ) * 善4 八一) ， ( 2 1 ) 并称此为求积公式，称 r t n = i 一i ， 为求积公式( 2 1 ) 的余项或误差，葺及4 ( 1 = o ，1 ，功分别称为求积公式( 2 1 ) 的求 积节点及求积系数。这里求积系数4 ( 1 = o 1 ，功只与权函数p ( 力及积分区间【a ，b 】 有关，而与f i x ) 无关。 定义2 1 1 如果当， ) = = o ，l ，m ) 时，求积公式( 2 1 ) 精确成立，而当 j r ( x ) = x ”时，求积公式( 2 1 ) 不精确成立，那么称求积公式( 2 1 ) 具有i n 次代数 精度。 定理2 1 1 任意给定n + 1 个节点，而，x n ，如果f f x ) 是次数不超过1 1 的 多项式，那么一定存在常数4 ( 扣0 , i ，疗) ，使求积公式( 2 1 ) 精确成立，即 fp ( x ) f ( x ) d x = 善一，似t ) 。 证明：设儿( x ) 是f ( x ) 关于节点x o ，而，i n ，的n 次l a g r a n g e 插值多项式， 即 八石) = p 。( x ) + ，：，( x ) = ( x ) 厂( 一) + ( x ) ， 其中 。) 2 石= 筹暑丽o = o ，l ，川) 是l a g r a n g e 基函数， 国( 功= 兀 一_ ) ，；l ) 是l a g r a n g e 插值余项 于是 f p ( x ) ，( x ) 出= f p ( 力娄t ( 力，( ) 出+ f 户( 曲( 曲凼， 不妨令 2 4 2i p ( x ) l , ( x ) d r ，f = 0 , 1 ，行， ( 2 2 ) 则有 f 以工) 厂( 工) 出= 娄4 厂( 而) + f p ( 功( 石) 出。 因为f ( x ) 是次数不超过n 的多项式，所以弛) = p 。( x ) 。这意味着( x ) s 0 ，于 是f p o ) ) d x = 0 ，从而 f p ( x ) f ( x ) d x = 窆4 ( 一) 。 这个定理告诉我们具有一定代数精度的求积公式是存在的。 定理2 1 2 形如( 2 1 ) 的求积公式的代数精度d 的充要条件是：它是插 值型求积公式。 证明：充分性其实已证，现在来看必要性。 设求积公式 r 以x ) ， ) d r * n4 ，“) ( 2 3 ) 的代数精度d 丹。因为l a g r a n g e 基函数t j ( x ) 只，= 0 , 1 9 0 9 拧，所以 f p ( 鹕 ) d x = 窆4 ，( 而) = a j ，= o ，h 一， 故求积公式( 2 3 ) 是插值型求积公式。 定义2 1 2 如果， ，x 。属于区间 a , b 1 ，那么称 f p ( 力( x ) 出莲4 ( _ ) 为内插型求积公式，其中求积系数4 ( f = 0 , 1 ，疗) 由式( 2 2 ) 决定。 2 2n e w t o n - c o t e s 公式 将区间【a ，b 】n 等分，步长h = ( b - a ) n ，求积节点为t = a + i h , i = 0 , 1 ，2 ，一，玎。 令x = a + t h ，则l a g r a n g e 插值基函数为 铲鹿嚣电嚣小吡，z ，抑， 求积系数4 可表示为 4 = f 出= 器r ，史( ，一蝴：o ，1 ，2 ，打 令 q = 击= 嵩岛f 。毋q 毋， 称e 为c o t e s 系数，则求积公式可化为 凼咿口) 姜叫+ 错r 冉( h m 玎e ( 口，6 ) 若令，( 工) z 1 ，可得出nq ；1 。又称 毛( ) = 专等f 杂( m m ) e c “【口6 】( 2 4 ) 为n e w t o n c o t e s 公式的截断误差。 定理2 2 12 n 阶n e w t o n c o t e s 公式具有2 n + 1 次代数精度。 证明：设p 2 。i ( 功= q 一为2 n + 1 次多项式，e i e t ( 2 4 ) 有 姒驯= r 黜垂( 渺 = i j f 馥( j 训威。 在2 n 阶n e w t o n c o t e s 公式中，【a b 】是分成2 n 等分的，所以c = + 6 ) ，2 必是分 点。令h = 一a ) 2 n ，于是 是( 昱。) = 吃。f 一c ) n 一c 一腩) n ( x - - c + i h ) c & 令= x 一半则有 r ：。( 如+ - ) = 压“兀( “2 一f m h ) a u 。 = a 2 n + lf ( x - - c ) n ( x - c ) 2 一饼h ) 出。 此积分的被积函数为奇函数，积套区间关于原点对称，故其值为零，即 r h ( 足) = 0 。定理得证。 让我们来看一些常见的n e w t o n c o t e s 公式。 1 、令n = l ，即得梯形公式 c 0 = 一- 1 ) a t = 专，c 。= f 腑= 丢， f m ) 出“等脚) + 胛) 1 当八苫) c ：【吼6 】时，r c , o _ - f ， ( ，r ) h 3 ，叩( a ，6 ) 。 2 、令n ：2 ，即得s i m p s 。n 公式 “ f 彻弧铷( 力+ v ( 书+ ， 当，( x ) c 4 口，6 】时，r ( 力= 一螽h ( 叩) ，7 o ，6 ) 3 、令n = 4 ，l l p 得c o t e s 公式 f f ( x ) 凼“百b - a 【7 厂( ) + 3 2 f ( 一) + 1 2 f ( x ：) + 3 2 f ( x ，) + 7 f ( x , ) 1 ， 当，( 功c 6 ，纠时，r ( 门= 一素 7 厂“0 7 ) ，r ，6 ) 为了减小误差，受分段插值的启示，先将区间 a ，b 】等分为n 个小区间，在 每个小区间上再利用n e w t o n - c o t e s 公式作数值积分，最后在相加求出积分值， 这就是复化求积公式。下面简单写出上面一些常见n e w t o n c o t e s 公式的复化形 式。 1 、复化梯形公式 f ，o ) 出* 1 b - 丁a l 厂( + 邝) + 2 善n - i 厂o 。) 】， 蝴一等( h 一 2 、复化s i m p s o n 公式( | i l ：b - a ) f ，( x ) 凼* 罢l 厂( 口) + 4 喜，o 。 ) + 2 姜j r ( 墨) + 厂( 6 ) 】， m 一蒜矿，( 4 。 3 、复化c o t e s 公式( ：b - a ) r ( x ) 出z 嘉 7 厂( 口) + 3 2 喜，+ 1 2 善n ，( t ) + 3 2 ， ，) + 1 4 ，) + 7 ，( 6 ) 】， 置一等( 扣 2 3g a u s s 型求积法则 前面我们已经介绍了构造已知n + 1 个等距节点的插值型求积公式，但由于 节点是等距的，所以它们的代数精度受到了限制。这里我们通过选择一些非等 距的节点及相应的求积系数来提高代数精度。一般设n 个节点的求积公式为： f p o ) ， ) c 如“a f t ( x , ) = l 。 ( 2 5 ) 。t-i 定理2 3 1 插值型求积公式( 2 5 ) 具有2 n - 1 次代数精度，必须且只须插值 节点，而， 是【a b 1 上以以x ) 为权的n 次正交多项式的零点。 证明：设插值型求积公式( 2 5 ) 具有2 n - 1 次代数精度，记n 次多项式 国( 力= 0 一而) 一x n ) ，对任意给定的多项式g ( 只一。因为( 2 5 ) 具有2 n - 1 次 代数精度，由于( 工) g ( 曲是2 n 1 次多项式，所以 f p ( x ) ( x ) q ( x ) a x = 4 珊( 而) g ( 而) = o ， 1 即国( 功与g ( x ) 关于权p ( x ) 正交。 反之，设国( 力与任意次数撑一1 的多项式关于权p ( x ) 正交，任意给定 f ( x ) 最。恒可表示为厂( x ) = 国( x ) q ( x ) + ，( x ) ，其中q ( x ) 与r ( x ) 均属于只_ i 且 一一一 j ：p ( x ) f ( x ) d x 。j ：p ( x ) q ( x ) m ( x ) d r + j ：p ( x ) r ( x ) d x = f p ( x ) r o ) d r = 窆4 ，瓴) - - y 4 g ( 五) 珊( 而) + ，( 而) 】= 4 厂( 而) ， 这表明定理得证。 定义2 3 1 具有最高代数精度为2 n - 1 的插值型求积公式称为g a u s s 型求 积公式，求积节点粕，而，矗称为g a u s s 点。 定理2 3 2 求积公式( 2 1 ) 是g a u s s 型的，当且仅当g a u s s 点 a 毛 0 ，于是得 4 2 而1 面r p ( x ) m ) 出 o ( _ j = l ，刀) 。 再将f i x ) 的表达式带入上式，便可得到公式( 2 6 ) 。 定理2 3 4 如果f ( x ) ec a ，b 】，则g a u s s 型求积公式收敛，即 熙厶2 i ：p ( x ) f ( x ) d x 。 定理2 3 。5g a u s s 型求积公式是数值稳定的。且对( 有限区间上的) 连续 函数，g a u s s 求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积分值。 定理2 3 6 若八j ) c 2 ”2 【口6 】，则g a u s s 型求积公式( 2 1 ) 的余项为 屯。i f = 笔等等f p ( 力一一而) 电一) 】2 妣孝 6 ) 。 ( 2 7 ) 证明：取“x ) 的h e r m i t e 插值多项式日2 。l ( x ) ，满足插值条件 日2 “ i ) = f ( x ) ，日厶“o ) = 厂 i ) ，k = o ，0 、罪。 由 f 以x ) 日：“( x ) d x = 荟n4 日( 以) = 荟n 4 b t ) ， 得 咒。【力= 矿o ) 【厂( d 一日。( x ) l d x = r 兰；鲁c c 善一，c x 一而， 一毛刀2 出， 利用 ( x - - x 。一x 1 ) o x 。) 】2 o 及积分中值定理即得式( 2 7 ) 。 由于存在许多应用很广泛的正交多项式，例如l e g e n d r e 多项式，c h e b y s h e v 多项式，l a g u e r r e 多项式和h e r m i t e 多项式等。因此下面来介绍一些常用的g a u s s 型求积公式。 1 、g a u s s - l e g e n d r e 型求积公式 令p ( 功= l ，【口，b 】_ 【一1 ，1 】，p a x ) 为l e g e n d r e 多项式，有 i 。，( 工) d x = 4 八) + r ( 力，其中 4 2 i i ：i i 而2 ，r ( 门i 淼h ( ) ，一t s - 2 、g a u s s c h e b y s h e v 型求积公式 令p ( 功。了主了，【口卅= 卜l ，l 】，有 f 。万与，( x ) 凼= 喜4 八) + 胄，其中 4 = 吾，r ( d = 南严协- 1 善s l o 3 、g a u s s l a g u e r r e 型求积公式 令p ( x ) = p 一，陋，6 1 = o ，斗1 ，l ) 为l a g u e r r e 多项式，有 g f = 塞4 ，瓴) + r u ) ，其中 4 = 茬囊_ l ，2 m 烈伊溉( 2 n ，2 气n 吣枷。 【厶( 以) 】2 j 5 4 、g a u s s h e r m i t e 型求积公式 令p ( x ) = e - x 【口，b 】- 【，+ 】，风( 工) 为h e r m i t e 多项式，有 c p 一，( r ) 斑= 芝4 ，魄) + r ，其中 小篙扣l ，2 ，玑坝力2 焉严k ) ，一弘 下面再介绍一种g a u s s 型求积公式，即g a u s s p e r k a i 型求积公式。p e r k a i 多项式是l e g e n d r e 多项式的一种变形，但使用它所构造的g a u s s p e rk a i 公式 在误差方面与g a u s s - l e g e n d r e 公式相差无几，精度也为2 n - 1 次。但其节点非常 简单，1 永远都是其两个节点，其余节点也是在等节点时l e g e n d r e 多项式的 二阶导数的零点。另外，若在区间 - l ，l 】上需取两端点为节点时，g a u s s p e r k a i 公式则克服了g a u s s l e g e n d r e 公式不能取端点为节点的缺陷。 p e rk a i 多项式q ( 力是定义在【一1 ，l 】上，以1 为权函数的正交多项式。若 只( x ) 为l e g e n d r e 多项式，则q ) 可表示如下( 可参阅文【4 2 】) ： 当n o 时，有 q ( 并) = o k - 1 2 1 c ( 2 k - 1 ) p 2 i ( x ) - 2 y , ( 4 i + 1 ) p 2 ，( 功， t = o k - i 2 k ( 2 k + 1 ) p 2 州( 功一2 ( 4 i - i ) p 2 ， 厅= 0 ，l ； 阼= 2 k ，( _ j 2 1 ) ； 刀= 2 k + l ，( _ j 1 ) ； 现在对f 厂( 石) 凼作积分近似计算，取q ) 的零点( k = l ，2 ，撑) 为节点， 由带权g a u s s 型积分近似公式知： 厂( x ) d x = n4 ，魄) + 心( 力， ( 2 8 ) 则有( 可参阅文献 3 6 】) ： 4 2 雨1f 。等， 其中c o ( x ) = 一x i ) 一) 。 若取 删2 高舭， 则 以。雨1f 。警 令 ( x ) ：望盟，则知h ( x ) 为一多项式，即 工一工 ( 曲= a t x ”q + 口，“- 2 + +珥，n x a l x 8 再令g ( x ) ：l h o , d x ：盐h n + ! 号工“+ + 冬x 2 - i - t 2 0 x + c ( c 为任意常数) ， n刀一lz 则 j g ( d g ( 一1 ) d 一一， 级瓴) 此时求积公式( 2 8 ) 为： f 。八工逑2 喜訾厂魄) + 心( 力， 此即为所要构造的g a u s s p e rk a i 积分公式。 显然 e 2 f i f ( x ) d 弘善以，( 也) ， 注意到 f 。哦( 列2 斑= 2 n ( n - 1 万) ( n r + 1 ) ( n + 2 ) ， 则有 心( 力= 帮扣例2 出 = 篙f l r l 蒜1 2 出( 2 玎) ! 工( 2 ) ! 行( 打一1 ) 。 =素ii警；!(糕2n1 ) n ( n ，伫哪c 乒，一- s f s t 。【( 2 ) ! 】+一1 ) 。 由于 l i i n 尘! 丛垄：l ， 故g a u s s p e r k a i 公式的误差与g a u s s - l e g e n d r e 公式的误差随着节点的增多而相 差无几。 我们看一个简单的例子： 例“ 求积分i - f 。静。 解：其实际解为；。+ 2 ，( 3 x + - 声l * t s z 9 4 ； 用g a u s s - l e g e n d r e 公式，取n = 3 ，有孔。2 i - 0 7 7 4 6 ，a i 。2 0 5 5 6 ；而= 0 ， 4 “o 8 8 9 ， 则i 。：! 兰! ：! ! ! ! 。0 5 5 6 + ；! 三! ；! 丝 。0 5 5 6 + l 0 8 8 9 。1 4 3 6 0 。 3 4 3 0 7 7 4 6 + 1 “3 ( o 7 7 4 6 ) + 1 用g a u s s - p e rk a i 公式，i 玟n = 3 ，有而，2 ：1 a i 2 ：； 而：o ， 4 ：i 4 ， 9 则x 2 刁；南x ；+ 习亏乏i 而- i x + x 了4 * - ，s s s 。 由此可以看到，当误差要求不大，节点不多时，该方法的整个计算过程很 简便。 对一般情形的积分f ， ) 凼也可以用g a u s s - p e l k a i 公式来做，即有： f m ) 出= f 。，年，+ t a + b ) t b - a 出 = t b - qf 。，宇r + 半弦 = 下b - of 。g ( t ) d t = b - - a n 以g ( 以) + e ( g ) ， 其中g ( t ) = 厂( 字h 半) ， 而r 。c g ，= 兰；差：砉j 专i 詈群厂h c 善，s 善s t 2 3 急速振荡函数的积分 我们常说的急速振荡被积函数是指在积分区域上有多个局部极大值与极 小值点的函数。含有急速振荡的被积函数的主要例子常见于各种变换中，如 f o u r i e r 变换 f ，( 功c o s 眦如，r 厂( x ) s i i l 胤扛， 或其复数形式 f ( x ) e “出 又如有f o u r i e r - b e s s e l 变换 【( 并) 工厶( x ) 出， 其中0 7 1 ，2 是b e s s e l 函数以( x ) 的根a 通常要计算的并非单个积分的值，而是振荡增强的这类的整个积分族。我 们可取一般形式为 j ( ，) = r ，( 工) k ( 墨f ) 出，s 口 6 s + 。o ， 式中k ( x ，t ) 是一振荡核而“x ) 为“非振荡”部分。 定理2 4 1 若f ( x ) c o ，2 万】，同时 铲f 。， ) c o s n x d x ，= f 。，o ) s i n n x d x ， 则 k i ，i o iso j ( ，r n ) ，疗= 1 , 2 ， 1 0 这里口( d 是f i x ) 在【0 , 2 石】上的连续模。 由于n 一佃时f o u r i e r 系数和既趋于零，故对它们做数值计算时不光是 要求采用绝对误差小的方法，而且要求用相对误差小的方法。 定理2 4 。2 令f ( x ) c ”【口，b 】，则 ，( j ) = i 口“厂 ) 出 = p 融广- 1 f ( 6 ) s - 七一一e 柚i 扣1 ，”( 口) s 吐_ 1 + ( - 括) 一”r 扩，”( 功出。( 2 9 ) 证明：作n 次分部积分便可得证。 推论上述定理在a = 或b = 佃( 或两者同时) 时仍然成立，只要随 x - , 0 0 ( 或工j + 0 0 ) 时，对每个k = 0 , 1 ，胛一1 ，厂q ( x ) 斗0 ，同时只要 r 伊o ) l a x 佃。 可以推广到f ( x ) 在x = a 或x = b 处呈奇异性的情形。 定理2 4 3 令厂( x ) c a ，剀，0 旯s 1 , 0 o ，便有： 。l i mp r o b a b i l i o , ( 1 一s 圭化) s ，+ g ) = 1 。月” 甩百 这就告诉我们：只要取足够多的样本，就可使样本均值趋近于i 平均值的概率 任意逼近于1 。 在m o n t ec a r l o 法中，我们并不想取太多的大小相近的样本值，而是取无 穷长度的一个单式抽样。因此，强大数定律特别切合： m 6 动脚( 热吉莓地) = d _ 1 0 如果用统计的观点看问题，那么可以通过中心极限定理得出误差估计值。 与前相同，令i = r ，( 王) ) 出是f 的平均值( 或期望值) ，再设 仃2 = e 抓工) 一4 x ) 出= e ，2 ( x ) u ( x ) d x - 1 2 表示f ( x ) 的方差，则中心极限定理告诉我们： 叫丢喜m 一巾= 去p ”出+ 。由” 对于一种固定的置信水平( 即丑= 埘) ，误差界a x r 一是与盯成正比而 与一”成反比的。着就是著名的“拧。1 ”定律”。而这种快速收敛的特性正是典型的 m o n t ec a r l o 法的特性。当收敛速率较低时，m o n t ec a r l o 法的好处就在于它不 依赖于维数，除非盯可能随维数的增大而变大。 在实用中，我们需要盯的估算值以便能算出一个误差估计值。但标准偏差 仃是未知的。当然，我们可以利用样本方差 一2 吉善2 ) 一( 吉善八t ) ) 2 来估计o r 2 值。用叫( n 一1 ) 】v i 估算方差或许更好。例如，若从n 个总体原型值中 抽样，抽出容量为n 的所有f 1 个样值，若矿是所有样本方差的平均值，且v l 拧 为整个总体方差，则可证明： 矿：n - i v ( 1 + l 、。 nn 一1 因此，在m o n t ec a r l o 法的计算中，n 本来就较大，以致n l ( n 一1 ) * l ，修正项就 可忽略不计。 2 6 本章小结 本章主要讨论了最简单的情形一维数值积分。在第二节中，当n 的取 值再次发生变化时，我们还能获得r o m b e r g 公式，d 公式和e 公式等。另外， 对于等距积分，我们还能应用自动变步长法来重新获得公式，这里就不再叙述 了。由于高阶的n e w t o n c o t e s 公式是数值不稳定的。并且我们可以证明，存在 【a ，b 】上的连续函数f i x ) ，对n e w t o n - c o t e s 公式来说，不成立 规剐，】= 0 。 即n e w t o n - c o t e s 公式当”专佃时，对连续函数的数值积分不能保证收敛。因 此，在实际计算中，我们一般采用g a u s s 型求积公式或复化求积公式来提高数 值积分的精度。在复化求积公式中，为了能够加速收敛，我们可以采用r i c h a r s o n 外推法。除此之外，在【a ，b 】上对代数多项式f ( x ) = z 2 ， l ，( 工) 西c l o ，厅= 1 , 2 ，。 因此复化求积公式不能用代数精度来决定其优劣，而应用收敛阶来刻划其 收敛性。 定义2 5 1 设l 是将【a ，b i n 等分，h = ( 6 一a ) n ，用某一基本求积公式生成 的复化求积公式，我们称该复化求积公式具有收敛阶p ，若对充分光滑的被积 函数f i x ) ，有 f f ( x 而) d x - i , 一c p ，4 q i 嗍且不是一个负整数，则 卜r ，。、。卉 一善n ( - 1 ) 1 ( ，n ( ( 玎一f ) 6 + 硼”l ，c 耖如如鬻嘉 7 、设d 。表示n 维矩形区域。下面把c o t e s 公式推广到n 维空问上。首先 来看一下二维c o t e s 公式的推导。 在矩形区域d ( a x b ，c y d ) 上二重积分 i - l j s ( x ，y ) d x d y ( 3 1 ) 石 当f ( x ，y ) 分别对x , y 具有六阶连续偏导数时，将区i g j a ，b 】分划为4 m 等分，【e , d 】 分划为4 n 等分，其中分点为： a = x o 五 x 4 _ = b o c 2 y o m 儿h = d 则复化c o t e s 数值计算公式为( 可由文【3 8 】类似得出) i * q = 嚎) 2 蜀骂易( 五，乃) ， f o 1 0 其中啊，g 。分别为区间【a ，b 】，【c ，d 】的等分步长，即 1 5 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 丘：塑， 4 m d c g l2 i 且 而= 口+ i 啊， y j = c + j g 且 b l = b j = 7 ， 3 2 1 2 3 2 1 4 , ， 7 ， 3 2 1 2 3 2 1 4 ， i = 0 , 4 m ； f = 1 , 5 ，9 ，4 m 一3 ； i = 2 ，6 ，1 0 ，一4 肌一2 ； f = 3 , 7 ，1 1 , - ，4 埘一1 ； f = 4 ，8 ，1 2 ，、4 州一4 ； j = 0 ，4 n ； _ ，= 1 , 5 , 9 ，4 n 一3 ； - ，= 2 ，6 ，1 0 ，, 4 n 一2 ； ，= 3 , 7 ，1 1 ，, 4 nl ； _ ，= 4 , 8 , 1 2 ，4 疗一4 ； 公式( 3 3 ) 的绝对误差f 1 - c , l 与砰+ 薪的六次方同阶。采用( 3 3 ) 式的右端值q 作 为i 的近似值，若精确度不够时，在原分划的基础上，再分细作计算，也就是 把每个小区间【t ，薯。】与【”，m + 。1 分别5 等分，这时步长为 1 。l 坞2 i q ， 9 22 i 岛。 如此下去，直至c t 作为i 的近似值。满足精确度要求为止。其中 b a d c 怫2 而毋2 而。 此时，二维c o t e s 公式变形为 s r i _ 5 l “ ，“c = ( 去) 2 h ，g ，b , b j ( x 。，_ ) ， ( 3 4 ) j j = o - 0 其中 b j = 目= f = 0 , 5 ”1 4 m , i = 1 , 5 ，9 - _ 5 1 4 m - 3 ； i = 2 , 6 ，1 0 ，5 r - i 4 m 一2 ； i = 3 , 7 ，1 1 ， 5 , - i 4 m l ； ，= 4 , 8 ，1 2 , ，5 1 4 m 一4 ； j = 0 , 5 7 一4 n ； _ ，= l ，5 ，9 ，5 “4 n 一3 ； j = 2 , 6 ，1 0 ，5 1 4 n 一2 ： j = 3 , 7 ，1 1 ，5 1 4 n l ； j = 4 , 8 , 1 2 ，一，5 一4 n 一4 ； 1 6 t珐垃坛mz珐珐珐m 现在再把它推广到n 维矩形域上。 对于n 维立方域d n = 【a t , b 。】【4 2 ，6 2 】【口。，既】上的n 重积分 i = ii ( 五，而，) 凼如也， 玎 当厂( ，x ：，x 。) 分别对而，而，矗具有六阶连续偏导数时，将区间【q ，b , f f f 翅j 为 4 以等分( i = l 二，2 ，n ) 。其中分点类似于( 3 2 ) 式。 类似二维的构造方法，可构造出n 维c o t e s 公式，即 1 n 5 卜4 帆r 44 啦s r - 1 4 r a 。 j z c ，= ( 素) ”丌b & & 厂( ，吒， ) ，( 3 5 ) - r j t - i t o1 0一0 其中忽为x j 的步长。 b | l2 7 ， 3 2 ， 1 2 3 2 ， 1 4 = o ，5 1 4 m 。； i j = 1 , 5 9 ，- - ，5 4 m i - 3 ； = 2 ，6 ，1 0 , - 5 1 - 4 m f - 2 ； ( _ ，= l ，2 ，露) i j = 3 ，7 ，l l ，5 一4 m j - 1 ； i j = 4 , 8 ，1 2 ，5 “4 m 。- 4 ； 类似的有公式( 3 5 ) 的绝对误差，一c , l - 与磋+ 厅：+ + 磋的六次方同阶。 下面来讨论n 维c o t e s 公式的截断误差。首先先看一些预备知识： 设厶( 伊( f ) ；o ，1 ) = 只烈盏) * q , ( t ) d t ( 3 6 ) f i o 为给定的求积公式，其中，o s 磊 卣 厶1 ，石= “，x 2 ，t ) ，( q x j 届， 滓1 ，2 ，s ) 为s 维的立方域。因此，令 三 ，：t ，( ，( 工l ，x 2 ，工，) ；口，届) = 兀( 屈一口。) 只只：丘厂( 口。+ ( 届一口。) 气，j 口，+ ( 屈一q ) 鼠) ，( 3 7 ) f ；l l i = 0 2 = ol o 其中u = 【q ，b l l x a 2 ，b 2 】【a ，以】为s 维的立方域，f = f ( x 1 ，而，i s ) 为u 上的s 元函数。再把区间 a t ，6 f 】分划为等分： n f = 矗o o x ： x ：l 碟s 岛， 则把u 划分为l q 吩个小立方域 ( 而，恐，t ) i 薯二l ，i = 1 ，2 ，j ( k = o ，l ， j - i 一1 ；i = 1 ，2 ，j ) 。在每个这样的区域上用式( 3 7 ) 后可得： 三( 厂，u ) =