（应用数学专业论文）故障部件不可修复如新的线形相邻n中连续k系统的可靠性分析.pdf

摘要 ”中取连续k 系统是广泛存在于工程实践中的一类系统，诸如街灯系统、微 波塔系统等均可以用n 中取连续系统来概括。前人对该类系统的可靠性进行了 不少研究，但他们侧重于研究不可修复的”中取连续k 系统以及故障部件可虬修 复如新的n 中取连续k 系统。 本文对于n 中取连续”一1 好系统分别在下述假设下进行可靠性研究： 1 ：系统中的故障部件不可以修复如新，部件的寿命分布和维修时间分布均 为指数分布，关键部件优先维修。通过引入部件i ( f = 1 , 2 ，”) 在时刻t 所处的周 期数，( f ) ，构造了一个广义马尔可夫过程 j v ( f ) ，1 。( ，) ，i 。o ) ，r 0 ) 进行可靠性分 析，得到了系统的瞬时可用度、可靠度以及首次故障前的平均时间等可靠性指标 的l 表达式。 2 ：系统中的故障部件不可以修复如新，部件的寿命分布为指数分布而维修 时怕_ 5 分布为一般分布，故障部件先坏先修。通过引入部件i ( i = 1 , 2 ， ) 在时刻f 所处的周期数( r ) 以及正在修理的部件在第，( f ) 周期己用去的维修时间誓( t ) ， 构造了一个广义马尔可夫过程 ( r ) ，“f ) ，i 。( f ) ，k ( ，) ，e ( ，) ，0 进行可靠 性分析，得到了系统的瞬时可用度、可靠度以及首次故障前的平均时间等可靠性 指标的l 表达式，并且得出结论：若部件的寿命分布和维修时间分布均为指数 分布，则，2 中取连续月1 好系统的可靠度以及首次故障前的平均时间不受维修规 则的影响。 接着，给出实例说明上述研究结果的应用。 最后，对于n 中取2 坏系统，在故障部件不可以修复如新的假设下进行了可 靠性分析，得到了系统的可靠度等可靠性指标。 关键词：一中取连续k 系统：关键部件； 广义马尔可夫过程； 瞬时可用度： 马氏相依；补充变量法； 首次故障前的平均时间；可靠度。 a b s t r a c t c o n s e c u t i v e - k o u t - o f - n s y s t e mi sw i d e l ya p p l i e di ne n g i n e e r i n g f o r e x a m p l e ，s t r e e t l a m ps y s t e ma n dm i c r o w a v es y s t e mm a yb eg e n e r a l i z e d b y i t t h e d e p e n d a b i l i t y o fc o n s e c u t i v e k o u t o f - n s y s t e m h a sb e e n i n v e s t i g a t e db ym a n y r e s e a r c h e r ss of a r ，b u tt h e ys u p p o s et h a tt h es y s t e m i sn o t r e p a i r a b l eo rt h ef a i l u r eu n i t sc a n b e r e p a i r e da sg o o d a sn e w i nt h i s p a p e r ，w es h a l ls t u d yt h ed e p e n d a b i l i t yo fc o n s e c u t i v e n 一1 一 o u t o f - n ：g r e p a i r a b l es y s t e m u n d e rt h e f o l l o w i n gr e s p e c t i v e a s s u m p t i o n s f i r s t l y , i t i sa s s u m e dt h a tt h el i f e d i s t r i b u t i o na n dt h e r e p a i r d i s t r i b u t i o no fe a c hc o m p o n e n ta r ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n s u n d e rt h i s a s s u m p t i o n ，t h ef a il u r eu n i t sc a l ln o tb er e p a i r e da sg o o da sn e wa n d k e y c o m p o n e n t s h a v e h i g h e rp r i o r i t yf o rr e p a i r b yi n t r o d u c i n gs u p p l e m e n t a r y v a r i a b l e ，( f ) w h i c h i st h e p e r i o d o ft h e c o m p o n e n t ia tt i m et w e c o n s t r u c tag e n e r a l i z e dm a r k o v p r o c e s s ，。( r ) ，r 0 a n dg i v e lt r a n s f o r m so fs o m er e l i a b i l i t yi n d i c e s s u c ha s a v a i l a b i l i t y , r e l i a b i l i t y a n dm t t f f s e c o n d l y , p r o p o s e t h a tt h el i f e d i s t r i b u t i o no fe a c h c o m p o n e n t i s e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n dt h er e p a i rd i s t r i b u t i o no fe a c h c o m p o n e n ti s g e n e r a ld i s t r i b u t i o n u n d e rt h i s a s s u m p t i o n ，t h ef a i l u r eu n i t sc a nn o tb e r e p a i r e da sg o o d a sn e wa n da r et ob e r e p a i r e db y “f i r s ti nf i r s to u t ，r u l e b yi n d u c t i n gs u p p l e m e n t a r yv a r i a b l e ，( f ) w h i c h i st h ep e r i o do ft h e c o m p o n e n t ia tt i m eta n dt h er e p a i rt i m e ( t ) t h a th a sb e e n s p e n to n t h e b e i n gr e p a i r e dc o m p o n e n t ii n t h e ，( ，) t hp e r i o d ，w ec o n s t r u c t a g e n e r a l i z e d m a r k o v p r o c e s s n ( t ) ，i ( r ) ，一，。( 吐k ( r ) ，l ( f ) ，0 ) a n d d e r i v elt r a n s f o r m so fs o m e r e l i a b i l i t y i n d i c e ss u c ha s a v a i l a b i l i t y r e l i a b i l i t ya n d m t t f f w h a t sm o r e w ed r a wac o n c l u s i o nt h a ti ft h el i f e d i s t r i b u t i o na n dt h er e p a i rd i s t r i b u t i o no fe a c h c o m p o n e n t a r ee x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n s ，t h er e p a i rr u l e sh a v en oe f f e c to n r e l i a b i l i t ya n d m t t f f t h i r d l y , w eg i v ea ne x a m p l e t oi l l u s t r a t ea p p l i c a t i o n so f c o n c l u s i o n s o b t a i n e da b o v e f i n a l l y , s u p p o s et h a tf a i l u r eu n i t so f2 - o u t o f - n ：fs y s t e mc a nn o tb e r e p a i r e da sg o o da sn e w , l t r a n s f o r m so fs o m er e l i a b i l i t yi n d i c e so f t h i s s y s t e m a r ea t t a i n e d k e vw o r d s ： c o n s e c u t i v e - k - o u t o f - n ； k e yc o m p o n e n t ； g e n e r a l i z e dm a r k o v p r o c e s s ；a v a i l a b i l i t y ； m a r k o v d e p e n d e n c e ； m e t h o do f s u p p l e m e n t a r yv a r i a b l e ； m t t f f r e l i a b i l i t y 堕j ! 王些盔堂! 世：丛 第一章绪论 1 1。中取连续k 系统可靠性的研究背景及现状 h 中取连续k 系统是一种冗余系统 新模型。诸如街灯系统，输油泵站系统 是八十年代初从工程实践中抽象出来的 长途通讯系统，卫星中继通讯系统，微 波塔系统等均可以用该模型来概括。n 中驳连续k 系统可以分为n 中取连续k 坏 系统和h 中取连续k 好系统，相应的英文名称分别为c o ns c c u t i v e k o u t o f 一月：fs y s t e m 和c o ns e c u t i v e k o u t o f i 1 ：gs y s t e m 。前者简记为连续，t k f n 系统，它是指系统的n 个( 按直线或环形) 顺序排列的部件中只有当k 个或k 个以上顺序相连的部件失效时系统才故障：后者简记为连续n t ( g ) 系统，它是 指系统的”个( 按直线或环形) 顺序排列的部件中只有当k 个或k 个以上顺序相连 的部件工作时系统才正常工作。 线形连续k t t f f ) 系统首先由k o n t o l e o n 于1 9 8 0 年提出。然后c h i a n g 和 n i u 给出了该系统的两个实际例子：一是电信系统，该系统由n 个顺序排列的通 讯站组成，这月个站被连续命名为1 到, ，若讯号自第一站发出，可由第二及第 三站接受。类似的，若前一个站发出的讯号，可由紧接的次两个站接收，此时只 要没有两个或两个以上顺序相连的通讯站失效，讯号就能从第一站传至第h 站。 比如当中继站l 、3 、5 、7 等同时故障时，系统仍会丁f = ：常工作。但是当中继 站5 和6 同时故障时，由中继站4 发出的信号则无法到中继站7 ，则系统就不能 正常工作。这就是一个连续n 一2 ( f ) 系统：二是输油泵站系统，设输油泵站系统 由 个串连的泵站组成，每隔l o 公里设置一泵站，每泵站加压后可输送2 0 公里 油程。在相邻泵站都正常的情况下，泵是半负荷工作：当所有中间泵站相间地出 现故障时，剩_ f 的泵站转为满负荷1 作，这时整个输油系统仍可正常工作。当任 何相邻两泵站发生故障时，系统失效，输油停止。这也是一个连续h 一2 ( f ) 系统。 一般地有n 中取连续k 系统。 西北下业犬学颂卜论文 由 一一中取连续女系统在系统工程中有着如此广泛的应用背景，因而陔系统 的可靠性问题受到了国内外广大学者的关注。二十多年来，对n 中取连续t 系统 的可靠性研究取得了丰硕的成果，主要有用最小割集法对不可修h 中取连续 系 统的可靠性的研究，以及利用齐次马尔可夫过程对故障部件可以修复如新的”中 取连续k 系统的可靠性的研究。如沈元隆等人利用最小割集法以及不交和法研究 了线形不可修n 中取连续k 系统；y e hl a i n 张元林等人利用马尔可夫过程的相关 理论研究了故障部件可以修复如新的。中取连续t 系统，但是对于更符合实际情 况的故障部件不可以修复如新的一中取连续i 系统的研究，还未曾见到。就是对 于故障部件不可以修复如新的系统的研究，前人所做的工作也不多见。张元林等 在文 2 9 1 中对故障部件不可以修复如新的两个不同部件并联可修系统的可靠性 进行了探索：吴少敏等在文 2 6 中对故障部件不可以修复如新的两相依部件的并 联系统的可靠性进行了探索。前人所做的工作仅仅局限于系统的状态是明确的具 体的，组成系统的部件个数是已知的。对于故障部件不可以修复如新的n 中取连 续k 系统可靠性的研究，方面，n 中取连续七系统的状态空间本来就复杂，再 加之h 不是具体的值，因此该系统的状态空间就更复杂了：另一方面，故障部件 不可以修复如新，那么一维齐次马尔可夫过程的理论在此无能为力，我们就必须 寻求别的途径来解决孩问题，即使我们寻求到解决该问题的途径，但是由于h 待 定，我们在具体解决该问题时仍比较费力。因而研究故障部件不可以修复如新一 中取连续尼系统不仅具有广泛的应用前景，而且具有重要的理论意义，特别是对 于故障部件的维修时间服从一般分布的研究更具有重大的实际价值和理沦意义。 由于n 中耿连续女系统的广泛应用以及故障部件不可以修复如新更接近实际，对 该系统的研究更应该受到足够的重视。总之，与故障部件可以修复如新的n 中取 连续k 系统的可靠性的研究相比，故障部件不可以修复如新的月中取连续t 系统 的可靠性研究还只是初露端倪，许多棘手的问题有待研究。 与故障部件可以修复如新的系统相比，故障部件不可以修复如新系统的模型 分析更复杂，而且理论上也有很大的差异：与系统的部件数n 给定的系统相比， 系统的部件数”未定时，系统的状态空问以及其表达式不能够用具体的数值来表 示，我们必须采用通式来表示，因而又增加了难度。 堕：坚! 些盔兰堕土丝兰一 1 2 基础知识 1 马尔可夫过程及齐次马尔可夫过程 设 x ( f ) ，o 是取值在占= 鼢l ，) 或e = o ，l ，奶上的一个随机过程。若 对任意自然数n ，及任意 个时刻点0 r r 2 1 ， 则 x 。，n = 1 , 2 ， 为随机递减的；若0 o ) 巧( ，) = p 。f i 部件i l 在故障 _ 1 一e x p - a “ f )o o ，i = 2 ，矗 o ) g 女( ，) = p 巧， = l e x p 一b “ o o ，f _ 1 ，2 ，n ；t 0 ) 当i ：1 时，舰定： e ( ，) = p ， 2 l e x p 一口“丑，f ) p o ，厶 o ) 两北工业大学硕 论文 显然，每个部件的寿命为随机递减的而维修时间为随机递增的。 ( z ) 系统中的部件按照关键部件具有优先维修权的规则进行维修； ( 3 ) 砭”( 女= 1 , 2 ，：i = 1 , 2 ，n ) 相互独立，且i ”( k = 1 , 2 ，；i = 1 , 2 ，h ) 和 砭”( k = l ，2 ，：i = 1 , 2 ，n ) 相互独立： ( 4 ) 发，= 0 时， 个部件均为新的，且同时丌始工作； ( 5 ) 系统故障后，未故障的部件不再发生故障。 2 1 2 模型描述 设n ( t ) 为时刻f 系统所处的状态，则： ( ，) = o 1 2 搿一l 门 n + 2 ，7 十胛 一甩+ l 时刻f ，h 个部件均在工作，系统工作 时刻，部件l 故障，系统工作； 时刻，部件2 故障，系统故障： 时刻f ，部件n 一1 故障，系统故障 时刻，部件h 故障，系统工作： 时刻f ，部件1 ，2 故障，系统故障： 时刻，部件1 ，n 故障，系统故障 时刻f ，部件n ，1 故障，系统故障 时刻f ，部件n ，”一1 故障，系统故障 则( ( 晚f o 为一随机过程，其状态空间为e = o 1 ，h ，n + 2 ，”+ n ，一n + 1 ， 一h + 2 ，。，一n + ( 一1 ) ) ，系统的工作状态集为= ( o ，1 ，月) ，系统的故障状态集为 f = e w - 由系统的假设知： ( f ) ，0 不是姚砌v 过程，现引进补充变量： ，( ，) 为部件f 在时刻f 所处的周期数，i = l ，2 ， 则 ( r ) ，州n ，2 ( ，) ，。( r ) ， f o ) 构成一个广义胁睹d v 过程，其所有状态的概率定义如下： 最 ，( ，) = ，f ( ，) = f ，l ( ，) = 女l ，2 ( r ) = k 一，l ( ，) = 女。) ， f e 其中k j ，k 2 ，k 。= 1 , 2 ，； 两北t 业人学硕十论文 2 2模型的分析以及瞬时可用度、可靠度 等可靠性指标的计算 2 2 1 模型分析i 对于晶t 也“( f ) r 考虑咒m 。( f + 血) ，它可以分别由昂i ：k ( r ) 只i nd i ( t 山t 。k ( ，) ，( f _ l ，2 , - - - , 月) 转化而来。当它是由e o i 南k ( ，) 转化而来时，则 在f 时间内盯个部件均未发生故障，其概率为： e x p ( 一订。叫五。，) 】 e x p ( 一日。 一1 五。，) 】= ( 1 一( ? k j - 1 2 0 a t ) - ( 1 6 1 k - l 五。r ) + o ( r ) 当它是由f k ，( 卜眦。k ( f ) ，( k l ，2 ，n ) 转化而来时，则在出时j 内部件i 修理 完成，其概率为： 1 - e x p ( 一b 。l 。，) = bk , 一2 ，丛h o ( a t ) 所以有下式： 咒。 ：k o + ，) = 晶女。 ：。( ，) 【1 一a k ：l 五o a t ) t ( 1 一( 2 k n - i 旯o a t ) 十& “舭，叫k 。“( t ) c u b 卜2 m ) + o ( ，) 坤i 化筒上式： r 舭：“o + f ) 一晶舭! h ( t ) a t = 一厶d 卜1 只舭 当a t 哼0 且k 一，k ，2 时，得到微分方程式( 2 21 ) 昙o t + 厶窆, _ f c 1 k i - 1 k ( ，) = ，f 扩2 巳。 ( 2 2 1 ) 后面各式可类似分析得： 喙+ 弧也“) = a k , - i k “，) ( f _ 2 ，3 ，州) ( 2 2 2 ) 五l + 磊口卜2 + 加铲1 口“_ 以 ! “卅矿2 mk 。叫( f ) + 耖。2 。k 舭，叫k 。“( f ) 西北工业大学顺 一论文 ；埘一 云 昙+ 胪一 昙卜l 詈删k 一 瑕m “( f ) = c t k , i 九鼻k ( r ) 鼻叫“( r ) = 口1 五。鼻女虹“( f ) 鼻。+ 2 ) 也 o ) = 口也一- 鼻也“( f ) 最m k ( f ) = 甜k i - l 凡只举：k ( ，) ( f = 2 , 3 ，一- ，门一1 ) 鼻w ：k ( r ) = f f l k l - i 如如“( r ) 詈+ 九善a “+ 肋 “】匕虹“r ) = a , “- 1 矗异吼“( ，) + 加2 眦 k t - k 。( 卅扩2 鼻州- k 舭 ( 2 29 ) 初始条件为： 昂i 卜i ( 0 ) = 1 ；p 盼t ( o ) = 0 ，i 0 ；只 “( o ) = o ，k it 2 ，k 。不全为1 。 边值条件为k t ，k 2 ，k 。中任意几个为1 时，关于也“( f ) ( f e ) 的表 达式。我们只需要在以上各式中令某些，为1 ，取6 或者d 的指数小于0 的项的 值为0 即可。因此，在后面的工作中涉及到边值条件时，我们也写明由以上相应 的式子得到，即序号同以上各式的序号一样。 己h k k “( z ) = s 十五d 1 对式( 2 2 2 ) 取l a p l a c e 变换： 陋+ 肪卜 眨b 乜o ) = a k , - i 凡砭 吒o ) 可得： “沪蔷磁 扣) ( 2 2 固， 对式( 2 2 4 ) 取l a p l a c e 变换： i s + b 1 心也“( ) = a k , - i ：k ( 一) 锄 硐 狮 奶 渊 q 仁 口 0 王 b 西北t 业大学顾。j 二论文 可得 舭：“d = 羞豢只：i k z k ( s ) ( 2 2 4 ) 7 对式( 2 2 5 ) 取l a p l a c e 变换 可得 j + 肋”1 只h ( j ) = d 对式( 2 2 6 ) 取l a p l a c e 变换 可得 兰兰筹“s ， ( 2 z s ) 7 j + 肋“。】鼻：埘h ( j ) 舭! “班孟杀“s ) ( 2 2 6 ) 7 对式( 2 27 ) 取l a p l a c e 变换 可得 i s + 肋卜1 】鼻：。虹h ( s ) = d m 。“班三貉和) ( 2 z 7 ) ， 对式( 2 2 8 ) 取l a p l a c e 变换： 卜+ 脚。1 u - 。心“( s ) = 口”如眨b “( j ) 可得 对式( 2 2 9 ) 取l a p l a c e 变换 ( s )( 2 2 8 ) 7 s + t t b 。1 + 丑。d 1 峨 k ( j ) 。“e ，“厶磁 “c s ，+ 旦；_ ；! ：! ； 生鼻：。一。c s ， 懿 参 a e , - 2 b k , - 2 气 s + 肋r 一2 + 掣竺：鲨：玉兰 j 鲁s + “b i 。 a k - t b 1 2 九，z s + “6 。一2 对式( 2 2 3 ) 取l a p l a c e 变换 卜+ t b 午l + d 峥1 五，+ 口呻：h ( _ ) “卜1 碱也“班等羔警圳 。， l ；! ! _ ；：乎鼻k 。一，。+ ，。c s ，。- ! ；， ；：i ；：；! ! 鼻：。：一。，。，。c s ， 可得： 磁kh ( s ) + d 如。 + 九“ a t , - z b 2 f 一2 2 0 i j + 肪，一2 对式( 22 1 ) 取l a p l a c e 变换 d - 1 b “。厶p 二，k m 。 芝瓮磬：卅b 私) ) ( 2 ：州 j + 肪也一2 1 1 ”2 一呐“l 6 j ， 恤2 3 j 【s + 矗a k j - i 屯t ( s ) = ，坼k 刖m 。 ( s ) 咖篓簧筹，舭，叫“k - o 地“小矿心州 可得： 只0 南k ( s ) 一一 西北t 业犬学硕| 睑文 。五矗鼬缶n - 1 妒d l k , - 2 b k , - 2 k 鼬，哪一必h 赡呲z “s ) ( 22 1 ) 7 由式( 22 1 ) 7 ，式( 22 3 ) ，式( 2 ，2 ，9 ) 7 即可得壤。i h ( s ) ，p ：止。，( ，) ，鼻：，也k ( j ) 的 关系式。由上，我们需要得到当k i 屯，七。中任一个为1 时磁 k ( s ) ，或t k 2 - & ( 5 ) ， 以及只：mb ( j ) 的表达式。 由式( 2 2 1 ) 7 有： 心，= 羔弘。) 凡脚* , - 2 b “。2 h k 1l ( 也) j + ，z 6 一2 + + ( 月一2 ) a o 即得到了磁卜( s ) 的递推式，而磁。( s ) = 了去瓦。，从而可以得到磁一心) 的表 达式。 心，= ：鱼丝! 生： 。 ，( 南) ( s + 一2 ) 1 “1 。1 ( s ) i ( s ) 即得到了岛叫t ( s ) 的递推式，从而可得瓦砂( j ) 的表达式，同理焉。( s ) ( f _ 3 ，”) 的表达式也可得到。 由式( 2 2 3 ) 7 有： 心) 2 而羔面心) 从而可以得到鼻：。( s ) 的表达式。 鼻：。( s ) +刍竺k 尘2 一 ，( s ) 【s + ! z b 。2 2 ) 5 + + e k 2 - i 1 十( n 一2 ) 2 0 两北r 业人学硕士论文 即得到了只：。；( s ) 的递推式，而 玮l 小卜而i 知) = 石万丽毛丽 从而可以得到只：。，( s ) 的表达式。 同理可以得到鼻：。，( s ) ( i = 3 ， 一1 ) 的表达式。 蝶女( s ) 一 五。焉( “ ，五。，f 弘。赡舭。_ ( j ) s + i t + z l + ( “。月一+ n 一3 ) 。 ( j + 方n 一2 ) s + + 五i + ( n 一1 + h 一3 ) a 。 五。焉l n ( j ) s + i t + 五1 + ( “2 7 _ + n 一3 ) 五 + a 0 1 - 胛b ”。- u ( s ) ( s + ，f 6 k 一2 ) s 十p b “一2 + ( 门一1 ) 2 。占+ 声f + 五l + ( 口k 一+ 门一3 ) 。j 从而可以得到鼻。( s ) 的表达式。 由式( 2 29 ) 7 有： 或。，( s ) 从而可以得到p ：。( s ) 的表达式。 焉蜘。( j ) 矗瑶。( s ) 即得到了或。，( j ) 的递推式，而 + + ( 5 + 6 2 。一2 ) j + + ( d - 一l + 一2 ) 2 0 矗，m 护2 瑶山l 】( s ) ( s + p b 乜。) p + + ( d ：。+ ”一2 ) 石j 踪心) 2 五靠心) j + “+ i 一1 ) 儿 从而可以得到巧蚓l ( s ) 的表达式。 同理可以得到尸 ，( s ) ，( f 3 ，? 一1 ) 的表达式。 k ( s ) = i 刀1 0 而l k - - i k ( 一) 堕! ! 二些叁兰堡! ：堡兰一一 也司以得到。 综上，我们得到了当k ，。，女。中的任意厅一1 个为l 时联 l 0 ) ， ( 扛0 , i ，h ) 的表达式。再据式( 2 21 ) 7 ，式( 2 2 9 ) ，以及式( 2 23 ) 7 ，我们可逐步得到 瑶。hk ( s ) ，吃、bt ，( s ) 以及p ： h ( s ) 的表达式。 注：先推得毛，b ，k 。中任两 个为1 时也k ( s ) ，批也( j ) 以及瑶打k ( s ) 的表达式，再推得i ，k 2 ，k 。中 任三个为1 时瑶舡k ( s ) ，。bk ( s ) 以及或，“t ，( f ) 的表达式，一直到任意 的毛，k ：，k 。时磁e t 2 - k ( j ) ，戎t k 2 - k ，, ( s ) 以及或, k 2 - * n ( s ) 的表达式。】 再由式( 2 22 ) 7 ，式( 2 2 4 ) 7 ，式( 2 2 5 ) 7 ，式( 2 2 6 ) 7 ，式( 2 27 ) 7 ，式( 2 2 8 ) 7 可以得 至u 壤。女：女。0 ) 0 = 2 3 ，卵一1 ) ，最：+ ，碡i t ：靠( s )( f = 2 , 3 ，m ) 以及置：。+ ，) i ，n “p ) ( i ：1 , 2 ，n 一1 ) 的表达式。 2 2 2 主要结论 系统的瞬时可用度爿( f ) 的l 变换式4 + ( j ) 4 ( j ) = 磁 ( i ) + ：k ( s ) + ：“( j ) 系统的稳态可用度a 为 a 2 一i m a ( t ) = 脚s a ( j ) 系统的瞬时故障频度，( f ) 的l 变换式j ( j ) ： = d 。磁bh ( s ) + ( d 兄。+ 如d 卜1 ) ：k ( s ) + 厶d 其中： 只： 。( j ) = 南暮塑萼芦1 蠢圳虹“s ， + 砂。p ：。叱- ( j ) ) 两北工业人学f 唤一论文 + 呈尝气虹肚 i = 。3 s 。l a b 2 一2“。8 1 n 一1 s + c t b r 。+ 也口 i = l - _ ：“蚰苎篆净趔 m 。和) + 繁： “卅警pllkl-ik2k。pllkl-ik2k。h ( 5 j + i ( 5 ) + 萋i a k , - 2 b 历e , - f 2 2 0 1 饥k 舭山“和) 焉心) = 志。 玮小卜再万丽生丽 焉加卜再鬲者赢p + 十t n 1 ) j 拈+ 托九) 2 2 3 模型分析i i 及可靠度的计算 在求系统的可靠度时，令基本模型的故障状态集中的状态为过程 ( ，) ，) ，z ( ，) ，。0 ) ，f o 的吸收状态，这样就定义了一个新的随机过程 西( ) ， ( f x 五( f ) ，z ( 嘎，o ) ，令 q ：h ( ，) = 尸 面( ，) = j ，z ( ，) = k l , 瓦( r ) = 2 ，瓦( f ) ：以) f e 我们可以得到系统的可靠度r ( ，) 的l 变换式r + ( s ) 以及系统首次故障前的平均时 问胛卿= r 。r ( t ) d t = 足+ ( o ) 。 定理 该系统的可靠度r ( f ) 的l 变换式尺( j ) 为： 尺+ ( s ) + = 醢 女l ，k 。= l 其中： 瓯川。( s ) 厶i l “( 2 0 ) 瓯l k ( j ) q o l ( s ) = 仃k l - i 气 4 - 。+ ：! ，一 ) 厶s + 6 n 一。+ ( 以一2 + 口k l - i ) 摹+ 膨1 一+ 丑+ ( 胛一3 + a h 5 + c t b 。一2 + + ( 门一3 + a k , , - i ) 五。 丑。脚扩2 鲸呲山( ) j + 弘6 一2 + ( h 一1 ) 2 0 k 11 n ( 五。) 2 0 , u a 卜2 b ”2 或( 】( s ) 卜+ 肋”2 + 3 q + ( p 2 ) 2 0 h k 。，瓦) 酥1 ( s ) ：士 s + ” 证明 由概率分析，可以得到 t 言+ 厶 + a 0 ，比较式( # 1 ) 和式( 撑2 ) 可以知道：部件马氏相依时系统的可靠度矗( f ) 和 首次故障前的平均时间朋丁玎f ，不大于部件相互独立时系统的可靠度尺( f ) 和首 次故障前的平均时间 卯7 f f 。 两北工业大学硕士论文 第三章故障部件不可修复如新的线形相邻 ( n 1 ) n ( g ) 系统的可靠性分析：部件 的维修时间服从一般分布 在第二章，假设部件的寿命和维修时问均服从指数分布，故障部件按照关键 部件优先维修的规则进行维修。本章对n 中取连续”一1 好系统，在部件的寿命服 从指数分布而维修时间服从一般分布，故障部件按照先坏先修的规则进行维修的 假设下进行可靠性研究，得到了系统的瞬时可用度，可靠度等可靠性指标的 l a p l a c e 变换表达式，进一步得到系统的稳态可用度以及首次故障前的平均时间 等可靠性指标。并且得到了如下结论：对于”中取连续1 1 一l 好系统，若部件的寿 命和维修时间均服从指数分布，则浚系统在故障部件先坏先修和关键部件优先维 修的维修规则下，具有相同的可靠度和首次故障前的平均时问。 3 1 模型的建立 3 1 1 模型的基本假设 ( 1 ) 部件马氏相依的线形相邻( h 一1 ) n ( g ) 系统由排成直线的n 个同型部件 和一个维修工构成，且每次故障后，部件不能修复如新，部件i 在第k 个周期( 从 工作到故障，再从故障到修复为一周期) 中的寿命剧和维修时间砭1 ( f = l ，2 ， ，n ) 的分布函数分别为： 女( ，) = 尸 x p ，1 部件i l 在工作) _ 1 一e x p 一口“1 凡f )o o ，i = 2 ，n ；厶 o ) 女( f ) = 尸 x 。s ，f 部件f 一1 在故障) = 1 一e x p - a “1 a t o o ，i = 2 ，n ；丑五 o ) g ( f ) = 尸 砭。f ) = l - - e x p 一j 6 一( 6 y ) 咖) o o , i = 1 ，2 , - - , n ；p ( j ，) o ) 两北工业人学顺i j 论文 当i = l 时，规定： 0 ) = | p ! i r = l e x p 一日_ 1 五o r o o ，丑。 o ) 订 l ，0 b 1 ： 显然，每个部件的寿命为随机递减的而维修时间为随机递增的。 ( 2 ) 系统中的部件按照先坏先修的规则进行维修： ( 3 ) 砭”( 尼= 1 , 2 ，；i = 1 ，2 ，h ) 相互独立，且；。( = 1 , 2 ，；i = 1 , 2 ，”) 和巧”( = 1 , 2 ，；i = 1 , 2 ，”) 相互独立： ( 4 ) 设f = 0 时，h 个部件均为新的，且同时开始工作： ( 5 ) 设系统故障后，未故障的部件不再发生故障： 3 1 2 模型描述 设( r ) 为时刻，系统所处的状态，则 r n o l 门一l 门 疗+ 2 门+ 盯 一肝+ j 时刻f ，月个部件均在工作，系统工作 时刻，部件1 故障，系统工作； 时刻，部件2 故障，系统故障； 时刻r ，部件n l 故障，系统故障 时刻f ，部件n 故障，系统工作； 时刻，部件1 ，2 故障，系统故障； 时刻f ，部件1 ，胛故障，系统故障 时刻f ，部件n ，i 故障，系统故障 时刻，部件 ，h l 故障，系统故障 则( ( f ) ，f o 为一随机过程，其状态空间为e = o 1 ，月，n + 2 ，h + n ，一n 十1 一”+ 2 ，一”+ ( 一1 ) ，系统的工作状态集为w = o ，1 ，n ，系统的故障状态集为 ，= e w 由系统的假设知： ( f ) ，t o ) 不是胁，幻v 过程，现引进补充变量： ，( f ) 为部件z 在时刻，所处的周期数，l ( f ) 为部件f 在时刻f 已用去的维修时间( 在 堕!王些查堂堡：!：丝兰一 第，：( f ) 周期) f = 1 ，2 ， 。则( ( ，) ，州r ) ，一，。( ，) ，j ，( f ) ，k ( ，) ，o 构成一个广 义m a r k o v 过程。其所有状态的概率定义如下： r 匕( 0 = p ( f ) = 0 ，i i ( ，) = t l ：，2 ( f ) = k 2 ，。( r ) = k o ) p q ：t 。( f ，y ) d y = j 口 ( f ) = f ，f 1 ( f ) = 七l ，