（计算数学专业论文）对流扩散问题的p1非协调元流线扩散法.pdf

内容摘要 本文用流线扩散方法研究了对流扩散问题的墨一非协调有 限元逼近，在放松对其中参数疋要求的前提下( 此时瓦的选择 与摄动参数s 及有限元空间反估计系数参数无关) ，利用单元 的特殊性，并通过引入一些新的技巧，得到了相应的最优误差估 计，改善文献的相关结果从而拓宽了非协调有限元应用范围 关键词：对流扩散问题，非协调元，流线扩散法，最优误差估计 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , 日- - n o n c o m f o r m i n gf m i t ee l e m e n ta p p r o x i n - a t i o nt ot h ec o n v e c t i o n d i f f u s i o n p r o b l e m s a r es t u d i e dw i t h s t r e a m l i n e - d i f f u s i o nm e t h o d b yi n t r o d u c i n gs o m en o v e lt e c h n i q u e sa n du s i n gt y p i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h ee l e m e n ti t s e l f , t h e c o r r e s p o n d i n go p t i m a l e r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e du n d e r w e a k e rc o n d i t i o n s ( t h ec h o i c eo ft h ep a r a m e t e r 最h a sn o t h i n g t od ow i t ht h ep e r t u r b m i o np a r a m e t e r ea n dt h ei n v e r s ee s t i m a t e c o e f f i c i e n t p a r a m e t e r i nf i n i t ee l e m e n t s p a c e s ) ， w h i c h i m p r o v e st h er e s u l t so fi np r e v i o u sl i t e r a t u r e t h u sa p p l i c a b l e s c o p eo f n o n c o m f o r i n ge l e m e n tm e t h o d si se n l a r g e d k e yw o r d s ：c o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m s ，n o n c o m f o r m i n g e l e m e n t ，s t r e a m l i n e d i f f u s i o nm e t h o d ，o p t i m a le r r o re s t i m a t e 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学 位论文没有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行 为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 晏特此郑重声明 学位论文作者( 签名) ：徭缸匆 二零零六年九月十日 引言 自上世纪6 0 年代有限元发展以来，该方法已经成为解决物理工程和科学计 算的重要工具我园著名计算数学家冯康先生首先独立于西方发明了这种方法 f 3 3 ，3 4 至今，用此方法解决的目题里多样化，比如二阶椭圆目题、双曲闯题、 流体中的s t o k e s 问题及对流扩散闯愿等等 1 6 ，3 5 ，l l 1 3 】目前，该领域的研究 相当活跃，并随着该学科的发展，渐渐产生了许多分支有限元方法实施的前提 需要一定的理论基础，诸如需要有限元空间的构造、s o b o l e v 空间插值逼近的估 计 1 5 1 、微分方程正则性理论【3 6 】等等在有限元离散求解过程中，涉及到线性 方程组求解，随之推动了线性方程组求解技术的发展及有限元软件的研究 【3 7 为了提高求解效率和精度，产生了如多重网格方法【1 7 ，1 8 】、区域分解方法 【3 8 、高精度方法 3 9 ，4 0 等新兴的研究方向，求解问题的不同需求、计算量设法 减少以及变分形式的多样性相应产生了如协调元、非协调元和杂交混合元【4 l 】 等方法 有限元方法通常主要分为协调元与非协调元两种对二阶问题来说，如果 有限元空问圪属于解空问矿，这种方法称为协调有限元但由于有限元空间k 包 含于解空间v 有时会造成其总自由度大于是人们为了突破此限髑，筑提出 用砭矿的非协调元求解微分方程目题随着非协调元理论的发展，如e s t u m m e l 提出非协调元收敛性的广义分片检验f 2 0 】和石钟慈院士提出f - e - m - t e s t 1 9 ，非 协调元得蓟广泛的认可秘应用理论分析和数值实验都说明非协调元有较好的 计算效果 近些年，流线扩散法已广泛应用于协调有限元空间的对流扩散问题( 见 1 5 ) ，而且其解的稳定性和收敛性都已经得到了很好的描述( 见【2 】，【6 一l o 】) 1 9 9 7 年j o h n 等【l l 】对非协调三角形或四面体单元进行了误差分析。但它的 前提条件要求在非协调有限元空间一定要包含个协调的子空问1 9 9 8 年j o h n 等【1 2 】在考察【2 6 】提出的旋转g “元时，通过在所定义范数中加上一个新的跳跃 项，去掉了上述这一前提条件2 0 0 1 年m a r t i ns t y n e s 等 1 3 】在去掉了_ b 3 t 跳跃项的情况下达到了与【1 2 】相同的收敛阶d ( 驴) ，但此时对范数定义中常数 壤却增加了如下要求t 。 三酬乏，争， c 叭， 这里是在有限元空间里的反估计系数；c o ，& 和c 一意义与 1 2 相同( 亦可分 别见本文条件( 2 2 ) ，( 2 4 ) 和( 2 6 ) ) 本文将用流线扩散法来研究曰一非协调元【1 4 1 对下面对漉扩散问题【1 1 一1 3 】： r + 乞一，二拿： 的应用在解的光滑往与 1 3 1 相同的假设下，通过引入新的估计技巧和方法，在 放松了对& 的要求( 见文中( 2 6 ) 式) 的条件下，得到了相应的与参数和无 关的最优误差估计，这是 1 2 ，1 3 无法达到的收敛效果 本文的写作安捧如下， 第章：简单介绍本文用到的定理和记号 2 第二章：用流线扩散法研究了对流扩散问题的只一非协调有限元逼近的最 优误差估计 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及嵌入定理 仅就本文用到的基本知识作一列举，符号与 1 5 1 1 2 1 4 2 所采用的符号基本一 r ”表示实，维欧式空问，x - - - - “，屯，) 表示r ”中的点 如果向量口= 心，啦，嚷) 的每个分量都是非负整数，则称t l 为刀重指数， 用l a l = 喁+ 啦+ + 表示口的长度 记 设q 为中的区域，定义 c ”( q ) = t f i d 4 厂在琏续，v i 盯阵坍 ， c ”( _ ) = 仃i 脏甜一致连续，v i a l s ：m ， q = 毒， d = ( 日，d 2 ，见) ， 矿= 卵礞d 2 = 面高兰万 设q 为掣中的可酒集合，厂( 力为定义在q 上的可测函数，0 p - - 空婀 口( r 的定义为 其范数定义为 l p ( q ) = l r l 上l 厂( 力i 斑 畸， i i r b 。印= ( l m i 新 4 l - ( f i ) 表示在q 中除去一个零测集是有界的可测函数全体设，( 曲f ， 那么存在常数m ，使得 i ，厂阵m 几乎处处成立，这样的m 显然有无穷个，其下确界记作 e s s s u p i f ( x ) i ， 艇。 称为八力在q 上的实质上界空间r ( q ) 的范数定义为 ，如。o ) 2 e s s 罂p i f ( x ) i h o l d e r 不等式：设l p 。，仍g 为对共轭指数，印三+ 1 ：1 ，且 pq f e p tg e 替鳓髭 厂( 工) g ( x ) 反阵( l i ，( 圳d x ) ；( l i g ( 工) 1 9 西垆 若有界开集d 的闭包石c q 对记作g c 亡q q 上局部可积函数空间定义为 如( ( 蛩= t 厂i 脏q 上可测，i ；i v g c e l l ，f e 掣m ) ， 假设，g el 2 ( q ) ，口为刀重指数，若对任妒g ) ，有下面等式成立 归4 触= ( - 1 尸g 触， 财称g 是的口阶广义弱导数，记作g = d 7 广义弱导数是通常导数的推广，显然，若厂c ”( q ) ，由g r e e n 公式，可推 得t 式成立 s o b o l e v 空问定义为 5 【i 刁= 上，( 1 砂l z 广_ ，( s 2 ) ，i 口厍r a ， v f 矽“，( c o 范数定义为 棚。( k 。a r a l d 疆。) - f “ 当p = 一时， 柚2 一。i d v h i 当p = 2 时，倚记日”( q ) = w 帕( q ) ， w ( q ) = ，h ”( 踢l d 4 f i 祀= 0 ，i 口阵m - 1 ) s o b o l e v 空间嵌入定理；设q c 彤为具有上枷曲f 拓边界的区域，l p n 则矿”( q ) jc o ( _ ) 即存在常数c ，v u e 矿”( q ) ，存在五上的 一个连续函数与“等价，仍记为却，使得 * 岵。s c 肛l 。，o 迹定理：设q 为具有三枷幽娩边界的区域，l 0 ，使 c l h 2 ，v v e 日， 财对任意f e 何。，存在唯一的l , i e h ，使 a ( u ，v ) = f ( v ) ，v v e h 且有估计 m s f 。 b r a m b l e - l t i l b e r t 引理：设qc 震2 为有界区域，a q 分段光滑，f e ( 矿m 一( 坳 其中k 0 ，p e ( 1 ，+ 叫，具有性质 f ( u ) - - 0v u e 只回) ， 则存在常数c ( q ) ，使v v e 矿l + l p ( q ) 有 i ，( d 吕c ( q ) 8 厂k 胡i v h ，皿， 其中 柚洲s u p 。跞i f ( v = ) i 双线性引理：设q c r 2 为有界区域，a q 分段光滑，u 和y 为定义在q 上的 h i l b e r i t 空阅，丸) 为u x v _ e 的连续双线性型，弘譬 1 ) 为对共轭指数， 如果 ( 1 ) 出，v ) = ov u 最( 固，1 ，y ( 2 ) a ( u ，v ) = 0v e 卑( 锄，u 财存在常数c ( 锄，使v u e 矽k + l , p ( q ) c u 及v v e 矿“4 ( 固c y ，有 i 却，v ) 阵c ( q ) 0 口| | 乩帅，o i 相 7 1 3有限元方法中的一些定理 求解微分方程数值解的有限元方法是将微分方程转化为与其等价的变分形 式，并在有限元空问圪上求解对应的离散变分问题，用离散解近似作为精确 解这种近似的精确程度与构造有关 如d i r i c h l e t 边值问题转化为，求群e 成 。 有限元拟不等式：设截分以是拟一致的。h 是以上分片多项式函数r l r , q 一，m ，则存在常数c = c ( 西以，小，r ，g ) ，使得 ( 呲m 声c h 一咧嘣_ j i ，一( j ) - i ， x e 凡 “ 特别当r = q = 2 时有 ( i 已户 o ( 2 2 ) 同愿( 2 1 ) 的弱形式是 i 求u e 砩( 回，使得v v 磁( q ) ， 【e ( v u ，v 帕+ p v u + c u ，v ) = l ，v ) ， ( 2 3 ) 缮叻 + + k 淼 = = 工y ，j 这里( ) 表示r ( q ) 意义下的内积 ( 2 3 ) 的逼近形式是 这里 a ( u h ，) = ( e ( v u h ，v ) + p v “ h + e f t h ，) r + 最( - e a u + 6 v u h + c ，b v ) r ) ， t h ( v d = ( f ，v d + 6 v ) 。， 量e 其中疋在每一k 上是一常数 i 定义i l l v l l l = ( e l v k + c oi ivi i g 。+ & 怕v vl l ：。) _ k t i 这里磙满足 。 ；- i i i v | 1 1 2 v y 圪， _ 其中，q 是满足正则性条件乡名s q 中的常数 i i e 明, v v 圪，因为 a h ( v ，v ) = e ( v v , v v ) + p v v + c v , v ) f + 磊凼+ 矗t 乳+ 仍6 v v ) k = 引v 艮+ ( 6 v v ，v ) 。+ ( c ，伊) 。 + 8 x ( - m v + b r v v + c v , b v v ) x e 瓦 = e l v l , 2 , 。+ ( c - 吉v 6 ，1 ，2 ) 。+ 五l i b w l l 0 2 蔗 + 荟三l 6 v 2 西+ 磊露v + 以6 v 叭， 其中是a k 上单位外法向向量 利用条件( 2 2 ) ，( 2 5 ) 可得 砒删旷嘎丢p 凼+ 荟壤( 础+ 砂v 魄 o ) 再利用条件( 2 6 ) 有 & y + 6 v 仇日疋( 6 v 叭 xe矗“ 那么( 2 1 0 ) 式可写成 i b - w l l , 皿 露c 0 2 艮+ & 眵珊盔j j “n 五 s 去( c o 艮峨慷乳i 艮) r e 】r , s 扣圳f 1 5 ：露 葺k y ，露 吣 v i 由于 吼似v ) 1 1 1 v i i l 2 + r 。r , 2 l 6 ，2 凼 善三p ，2 如e l l ( 6 制掣2 函+ 荟互1 脉b t 掣2 凼 且对异一非协调单元成立下箍不等式 l v 2 豳s 嘉【伊幼 财( 2 1 2 ) 式右边第一式可估计为 i 荟三丘( 6 嘲一西蜂扣，丕k l 伊施 纠，荟争【v 2 蚴 a 2 q1 6 l ，眇眩， 其中1 6 l ，爿岛i ，- + 1 i 。 下面对( 2 1 2 ) 式右边第二项估计 注意到在平行于y 轴的边，2 和厶上， 荟三( ) ( 一工) v 2 西= 荟圭陬i ) i ，2i 心一嵋】 设k 。与k 是左右相邻单元剐 i 争k ，) 【哇一呓】爿 畋，一。】i 厶l 幢i 盖气舶矗 知- ，磊( + k 圳，i 吒 1 6 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 2 i 1 - 丕( k + k m l ( 击1 4 工埘 e 五il 4 i b , i , 荟魄十k ) 船(216)-4 兀 设噼= m 戤 h t ，喀l a i n 利用( 2 1 3 ) ，( 2 1 5 ) 希1 ( 2 1 6 ) 可得 f 磊三瓴- x l 一，渤吼。磊气手l v 2 劬 2 c ii 岛1 ，i b ，( 2 1 7 ) 同理，对单元置的平行于x 轴及，3 边，有类似结果 i 丕三( x l i ) ，2 砸烽2 c l i i l ，- l b ( 2 1 8 ) 由( 2 1 7 ) 及( 2 1 8 ) i 磊i ll k 觑匿2 叫v l 岳 ( 2 1 9 ) 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 署f l ( 2 1 9 ) 得 i 磊三p 凼蓐崛j 6 i l 一b 再利用( 2 1 1 ) 并注意到假设条件c o22 4 c i 吼- 有， 吼瓴咖圳f 盔吾p n x v 2 d s 咖啡 引理得证 利用上面引理可得本文的主要结果如下 定理设甜硪( 回n 日3 ( q ) 是方程q 3 ) 的解，是方程( 2 4 ) 的解则在 i f 删网格捌分下右估计 1 7 三 i l l u - u hi l i a c ( ( 五i i u i i ；。+ 瑶i i u i i k ) ) 2 ， “矗 这里友= 噬+ 磉+ 炙，+ & 琏2 t 靠4 证明：由三角不等式 i i l u 一甜。n 怪如一l i i + l l l u 一u 川 令埘= “一u ，w = u 一，显然( 2 2 2 ) 式第二项可估计 ( 2 2 0 ) ( 2 2 d 三 舭一u i i h l l o j l l l = ( e ( e k a l 0 + c o 酬艮+ 最l i b v c o g 。* ) ) 2 x e 2 , 三 c ( e 坛2l 5 t 2 + s d i l u l e ) 2 ( 2 2 3 ) x e l 另一方面，由引理2 2 可得 言川2 a 。( 1 u 一，) + 嘞似一，) = ( i u - u , w ) + 丕l - - w d s 容易证明 l k e t tl 堕a n x 凼l c 丕魄i 甜b i 1 r 另方面令 l s c ( 瑗峨；姗刚i x e 毛 嘞( 知一甜，) = ( 锡w ) = e 印蛾v ) x + ( 6 v r a , w d + e ( c o j , w d x e 瓦 置e 毛x e 五 十五( - 丛m + 6 v m + c w , b k 毛 1 8 = i l + j 2 + j j + j 4 ， 其中= e ( w o v w d 。，厶= ( 6 v c o w d 。， “xgrh 毛= ) ，= 最( 砸国+ 6 v c a + c c o , b ，v k n矗xe毛 ( 2 2 6 ) f 面分鼬估诗i t ，i t ，l j ，1 4 l l 刊( v 织v ) 。i = o ， ( 2 2 7 ) 2 = ( 6 v d o w d 。 2 磊f c b v 如圳蚴 2 丕【( 6 一k ) v 一妇) 出砂+ 丕【w 站一西) 动 兰彳+ b 。 1 22 8 、 其中 彳2 荟【( 6 枷预圳嘞蚴， 丑2 荟。瞰柳撕 利用1 6 一匿c h x 可得 l a w c h l l u h j s c ( h t 毒) i 而“毛 口= 工v ( u x u ) w a x d y n 死一 = 丕c 芸一等+ k ：c 茅一妫 = 丕毫一南l 芸蚓+ k ：当一高【考蚓，妫 兰口+ 8 1 9 ( 2 2 9 ) 其中 由于 口= 丕脚芸一高罢妫，螂， 声= 丕【艮。c 雾一高【雾捌蚴， 盯= 磊h c 罢一高【罢妫一莆知一莆嚣蚴，幼 + 磊【( x - - x g 【和+ 锗挚，蚴 = q + 啦， 这里 q = 丕丘以c 罢一南上罢蚴一箭上荽劫一苇半挚，动， 呸= 磊上k 肾x - x r 秘十锗挚，幼 利用b r a m b l e - h i l b e r t 弓 理可得 嘶肾c 砖i 甜i ，雀i k a 碟i 甜艮) j m 艋气g e t , 锡h 丕【( 酉x - x r 上帆峨锗【岛撕) 蚴 s 嗡c 上扣+ 上挚川k l s c 瑶i l ：j o ks a 瑶i 甜艮) i 呲i | i e q“毛 即 同理有 所以 a t a c ( 椒4i ”i ：2 + l “l k ) ) i1 1 1 w , 1 p l a c ( ( i ”b ，。+ l u l l 。) ) - 1 1 1 w , | | j i 矗阵a 瑶( 1 甜i l , + l 群爱；) ) ju l w , h 利用( 2 2 8 卜( 2 3 0 ) 可得 l 1 2 降c ( h ：( 1 u 艮+ i l k ) ) i 厶阵c o 酬k 1 1 w , i k c ( 碟l 艮) i i l l w , m ， 厶h 叶6 v m + c c o , 磊b 乳) 。 s c p l i 酬k + l l v a , l l o j + l l c o l l o ，) l i b v w , i k il c p + 噍+ 磙) i k 露l i b v w k 恤 n 毛 c ( 露2 + 磊蜒2 十农钕4 j 2 j ) j l l l m “五 放利用( 2 2 4 ) 一( 2 3 3 ) 可得 ( 2 3 0 ) i i i x u - u k t l f = l l l w 。i i 阵c ( ( 磙4 t 吹f 十仇2 t 4 t 2 j l “h 2 i 甜艮) i ，( 2 3 4 ) 2 1 利用( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 3 4 ) 即得 甜一甜。1 1 i c ( e ( 五i b j + 磋l 甜i k ) ) - ， 这里五= 哦+ + 蟊2 + 最+ 露碟定理证毕 注3 ： 1 2 ，1 3 中得到 厶= + 砖+ 疋+ 磊- 1 暖 当 ，时 ( 2 3 5 ) 与( 2 3 6 ) 均可估计为 三 “一u s i l i n c h 2 瞻 郾此时这里我们得到与【1 乏1 3 】相同的结论 佗3 s ) 注4 i 由( 2 3 5 ) 可得，当五嘭时，i t j - - u , | i i 达到最优阶o ( h 2 ) 此时e - h 2 ， 最| j 1 2 。是满足壤要求的最优选择可见我们这里不仅放松了对& 的限制，又 三 得到了比 1 2 ，1 3 高o ( h 2 ) 阶的最优估计因此可以说，这是刭目前为止最好的 结论 参考文献 【l 】j o h n s o n , c & s a r a n e n , j ，s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d sf o r t h ei n c o m p r e s s i b l e e u l e ra n dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s j m a t h c o m p ，4 7 ( 1 9 8 6 ) , l 1 8 【2 】r o o s , h 一g ，s t y n e s ，m ，t o b m k a , l ，n u m e r i c a lm e t h o d sf o rs i n g u l a r l yp e r t - u r b e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c o n v e c t i o n - d i f f u s i o na n df l o wp r o b l e m s m b e r l i n ：s p r i n g e r , 1 9 9 6 【3 】e r i k s s o n , i c & j o h n s o n , c ，a d a f f i v es t r e a m l i n e - d i f f n s i o nf i n i t ee l e m e n t m e t h o d sf o rs t a t i o n a r yc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m s j m a t h c o m p 6 0 ( 1 9 9 3 ) , 1 6 7 - 1 8 8 【4 】j o h n s o n , c ，s c h a t z , a h ，w a h l b i n , l b ，c r o s s w i n ds m e a ra n dp o i n t w i s e r e r r o r si nt h es t r e a m l i n ed i f f u s i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s j m a t h c o m p ，4 9 ( 1 9 8 7 ) , 2 5 - 3 8 【5 】n a v e r t ，u ，af i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rc o n v e c t i n n - d i f f u s i o np r o b l e m s m p h dt h e s i s ，c h a l m e r su n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g yg o t c b o r t 。1 9 8 2 【6 】n i i j i m a , i c ，p o i n t w i s ee r r o re s t i m a t e sf o ras t r e a m l i n ed i f f u s i o nf i n i t ee l e m e n t s c h e m e u n u m e r m a t h ，5 6 ( 1 9 9 0 ) , 7 0 7 - 7 1 9 【刀t o b i s k a , l ，s t a b i l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h en a v i e r - s t o k e sp r o b l e m a p p l i c a t i o n so fa d v a n c e dc o m p u t a t i o n a lm e t h o d sf o rt h ea o n n d a r ya n di n t e r i o r l a y e r s ( j j h m i l l e re d ) 【m 】d u b l i n ：b o n l e , 1 9 9 3 ：1 7 3 1 9 1 【8 】t o b i s k a , l & v e r f u r t h ，l l ，a n a l y s i so fas t r e a m l i n ed i f f u s i o nf i n i t ee l e m e n t m e t h o df o rt h es t o k e sa n dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s j s i a m j n u m e r a n a l ， 3 3 ( 1 9 9 6 ) ，1 0 7 - 1 2 7 【9 】z h o u , g ，h o wa c c u r a t ei sas t r e a m l i n ed i f f u s i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ? 阴 m a t h c o m p 。6 6 ( 1 9 9 7 ) , 3 l 嘲 【l o 】 s t y n e s ，m & t o b i s k a , l ，a n a l y s i so ft h es t r e a m l i n e - d i f f u s i o nf i n i t ee l e m e n t m e t h o do n as h i s h k i nm e s hf o rac o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m sw i t he x p o n e n t t - i a lh y e r s r t e c h n i c a lr e p o r t1 7 ，o t t o - v o n - g u e r i c k eu n i v e r s i t y , m a g d e b u r g , 1 9 9 8 1qj o h n , v ，m a n b a c h , j ，& t o b i s k a , l ，n o n c o n f m m i n gs t r e a m l i n e - d i f f u s i o n - f i n i t e - e l e m e n t - m e t h o d sf o rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m s j n u m e r m a t h ，7 8 ( 1 9 9 7 ) ，1 6 5 1 8 8 【1 2 】j o h n , v ，m a t t h i e s ，g ，s c h i e w e c k , e ，& t o b i s k a , l ，as t r e a m l i n e - d i f f u s i o n1 1 t b e t - h o df o rn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o n sa p p l i e dt oc o n v e c t i o n - d i f f u s i o n p r o b l e m s j c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g ，1 6 6 ( 1 9 9 8 ) ，8 5 9 7 【1 3 】m a r t i n s t y n e sa n d l u t z t o b i s k a ，t h es t r e a m l i n e - d i f f u s i o n m e t h o d f o r n o n c o n - f o r m i n g 鳄e l e m e n t so l lr e c t a n g u l a rt e n s o r - p r o d u c tm e s h e s j i m a 1 n u m e r a n a l ，2 1 ( 2 0 0 1 ) 1 2 3 1 4 2 【1 4 c h u n j a ep a r ka n dd o n g w o os h e e n , 日- n o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a lf i n i t e e l e m e n tm e t h o d sf o rs e c o n d - o r d e re l l i p t i cp r o b l e m s j s i a m j n u m e r a n a l ， 4 1 ( 2 ) ( 2 0 0 3 ) ，6 2 4 - 6 4 0 【1 5 pgc i a r l e t , t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l t i i a i cp r o b l e m s m n o r t h - h o l l a n d , a m s t e r d a m , 1 9 7 8 【1 6 】f r a n c ob r e z z i ，m i c h e lf o r t i n , m i x e da n dh y b r i df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s m s p r i n g - v e r l a g , b e r l m , 1 9 9 1 【1 7 h a c k b u s c h w ，m u l t i 一鲥dm e t h o d sa n da p p l i c a t i o n s m s p r i n g - v e r l a g , b e r l i n , 1 9 8 5 【1 8 】b r a m b l e j h ，m u l t i 粤r i dm e t h o d s ，p i t a m 蛆r e s e a r c hn o t e si nm a t h e m a t i c s ，v 2 9 4 ，j o h nw i l e ya n ds o n s ，1 9 9 3 【1 9 】 s h i z c ，t h ef - e - m - t e s tf o rc o n v e r g e n c eo f n o n c o n f o r m i n gf m t ee l e m e n t 【j 】m a t h c o m p ，4 9 ( 1 9 8 7 ) , 3 9 1 - 4 0 5 【2 0 】es t u m m e l ，t h eg e n e r a l i z e dp a t c ht e s t j s i a mj n u m e r , a n a l ，1 60 9 7 9 ) ， 4 4 9 - 4 7 1 【2 l 】r a a d a m a s ，s o b o l e vs p a c e m a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k , 1 9 7 5 f 2 2 】s m a n n ec b r e n n e r , l r i d g w a ys 伽鸭t h em a t l u n e t c a lt h o e t yo ff i n i t e e l e m e n t m e t h e d s m s p r i n g - v e r l a g , 世界图书出版公司，北京，1 9 9 8 2 3 】 i - l a nh o u d e , n o n c o n f o r m i n ge l e m e n t si nt h em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d j j c o m p u tm a t h ，2 0 ) ( 1 9 8 4 ) ，2 2 3 - 2 3 3 【2 4 】l i nq u n , l u t zt o b i s k aa n d a i h u iz h o u , s u p e r c o n v e r g e n c ea n de x t r a p o l a t i o no f n o n c o n f o r m i n gl o w o r d e re l e m e n t sa p p l i e dt ot h ep o i s s o ne q u a t i o n p i m aj n u m e r a n a l ，2 5 ( 2 0 0 5 ) ，1 6 0 - 1 8 1 【2 5 1u w e r i s c h , s u p e r c o n v e r g e n c eo fn o n c o n f o r m i n gl o wo r d e rf i n i t ee l e m e n t j a p p l n u m e r m a t h ，5 4 ( 2 0 0 5 ) ，3 2