（计算数学专业论文）延时微分代数方程数值解及稳定性分析.pdf

上海师范大学硕士学位论文中文摘要 摘要 延时微分代数方程( d d a e s ) 是具有时滞影响和代数约束的微分系统，广泛地应用于电 路分析，计算机辅助设计，多体力学系统的实时仿真，化学反应模拟，最优控制等科学 领域。然而，由于延迟微分代数方程的复杂性，很难得到理论解的表达形式，因此研究 延时微分代数方程的数值解法显得十分必要。 在过去的一段时间里，微分代数方程( d a e s ) 的数值处理是一个非常活跃的研究领 域，在数值算法的分析，有效的求解微分代数方程的数学软件的设计等方面都取得了 很大的进展。同一时期，有很多研究工作是关于延迟微分方程( d d e s ) 的数值处理的，求 解d d e s 的数值方法的稳定性和收敛性已经被深入的研究。然而，目前直接用于求解延时 代数微分方程的数值算法仅有很少量的研究。 本文首先讨论了d r a z i n 逆在奇异差分方程中的一些应用，然后将所得到的结果运用 到p 方法，b d f 方法，线性多步法和龙格库塔等数值方法去求解延迟微分代数方程，最后 给出了一些数值实验并对误差进行了估计，结果表明这些数值方法能够达到我们的精度 要求。最后我们分析了延时微分代数方程的渐近稳定性和连续型龙格库塔方法用来求 解d d a e s 的渐近稳定性。 关键词：延时微分代数方程，渐近稳定性，指标，d r a z i n 逆，差分方程，连续型龙格库塔 方法 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e l a yd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d d a e s ) ，w h i c hh a v eb o t hd e l a ya n da l g e b r a i cc o n - s t r a i n t s ，a r i s ei naw i d ev a r i e t yo fs c i e n t i f i ca n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，i n c l u d i n gc i r c u i ta n a l y - s i s ，c o m p u t e r - a i d e dd e s i g na n d r e a l t i m es i m u l a t i o no fm e c h a n i c a l ( m u l t i b o d y ) s y s t e m s ，c h e m i c a l p r o c e s ss i m u l a t i o na n do p t i m a lc o n t r 0 1 h o w e v e r , b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo f t h ed d 娥i t b e c o m e sq u i t ed i f f i c u l tt oo b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o n s t h e r e f o r e 。i ti sn e c e s s a r yt oi n v e s t i g a t e t h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rd d 珧 硼 1 en u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e s ) h a sb c e nt h es u b j e c to f i n t e n s er e s e a r c ha c t i v i t yi nt h ep a s tf e w y e a r s ag r e a td e a lo fp r o g r e s sh a sb e e nm a d e i nt h e a n a l y s i so fn u m e r i c a lm e t h o d s ，t h ed e v e l o p m e n to fe f f i c i e n tm a t h e m a t i c a ls o f t w a r ei m p l e m e n t i n g t h en u m e r i c a lm e t h o d s d u r i n gt h es a m ep e r i o do ft i m e ，m u c hw o r kh a sa l s ob e e nd o n ei nt h e f i e l do fn u m e r i c a ls o l u t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) n es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c e o ft h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rd d e sh a sb e e nv e r yi n t e n s i v e l ys t u d i e d f o rt h em o m e n t , t h e r ea r e o n l yf e wr e s e a r c h e so nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd d a e s i nt h i sp a p e r , w ef i r s td e v e l o pt h ea p p l i c a t i o n so ft h ed r a z i ni n v e r s et ot h es i n g u l a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n s t h e nw ea p p l yt h er e s u l t st on u m e r i c a lm e t h o d ss u c ha s0 ，b d f , l i n e 甜m u l t i s t e p a n dr u n g e - k u t t am e t h o d sa n ds o l v et h ed e l a yd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s 硼惦n u m e r i c a l e x p e r i m e n t sa r es h o w n 丽me r r o re s t i m a t i o n s 。t h eg r e a ta c c u r a c yw h i c hi st ob ee x p e c t e d f i n a l l y , t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ed e l a yd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n sa n dt h ec o n t i n u o u sr u n g e - k u t t am e t h o d sw h i c hi su s e dt os o l v et h e ma r es t u d i e d k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , i n d e xo fam a t r i x ， d r a z i ni n v e r s e ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c o n t i n u o u sr u n g e k u t t am e t h o d s n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：左熟日期：垒刍：曼：圣2 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：左复导师签名：烨隐牡 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d s d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e s ) a r i s ei naw i d ev a r i e t yo fs c i e n t i f i ca n de n g i n e e f i n g a p p l i c a t i o n s ，i n c l u d i n gc f f c m ta n a l y s i s ，c o m p u t e r - a i d e dd e s i g na n dr e a l - t i m es i m u l a t i o no fm e - c h a n i c a l ( m u l t i b o d y ) s y s t e m s ，c h e m i c a lp r o c e s ss i m u l a t i o na n do p t i m a lc o n t r 0 1 t h e yh a v et h e f o r m o f f ( t ，x c t ) ，z 他) ) = 0 ( 1 1 1 ) h o w e v e r , i ns o m ea p p l i c a t i o n si n v o l v i n gl i n e a rp r o g r e s s ，t h e r ea r ed e l a ye f f e c t s t h a ti st h e w a yt h ep r o c e s sc h a n g e sn o to n l ya f f e c t e db yt h ec u r r e n ts t a t eo ft h es y s t e mb u ta l s ot h es t a t ea t p r i o rt i m e s s o ( 1 1 1 ) b ei nt h ef o r mo f f ( t ，x ( t r ) ，z 他) ) = 0 ( 1 1 2 ) i sc a l l e dd e l a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d d a e s ) o n ) ： ( 1 1 2 ) s o m ee x a m p l e sa r el i s t e di nt h ef o l l o w i n g ( m o r e e x a m p l e sc a ns e e 【7 】，【4 4 ，【4 5 ，【4 6 】a n ds o e x a m p l e1 1 11 4 1 1t h ep a r t i a le l e m e n te q u i v a l e n tc i r c u i t ( p e e c ) m o d e li nc i r c u i ts i m u l a t i o n , i t i sad e l a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s , i f e a c h 瓯，m = 0 ，k ，m = l m m 3 e x 他) + 瓯，m z 他一南) = - a z ( t ) 一色j z 一噶) + 亩让( 亡) ， ( 1 1 3 ) k ，m = li , j = l h e r et h es t a t ev a r i a b l e sza r et h en o d a lv o l t a g e , t h ec o e f f i c i e n tei ss i n g u l a r e x a m p l e1 1 2 4 2 1 ac o n t i n u o u st i m e - i n v a r i a n t ( 1 u m p e d ) m u l t i - i n p u tm u l t i o u t p u tl i n e a rd y n a m 一 可fie，(t：)+ltg。x。(。t，-7-)=日u) ( 1 1 4 ) c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n上海师范大学硕士学位论文 w i t hi n i t i a lc o n d i t i o nx ( o ) = x o ，w h e r ef 括as i n g u l a rm a t r i c e s a n d ( 1 1 4 ) st h ed e t a r d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s e x a m p l e1 1 3 4 4 1s u p p o s eo n ee n t e r p r i s e rh a st w ok i n d so f p r o d u c t s x lc t ) ，x 2 ( t ) d e n o t et h e i r s t o c kr e s p e c t i v e l ya tt h et i m e 乞l e tz ) = ( z 1 ) ，z 2 ( t ) ) 一td e n o t e sf 船t r a n s p o s e s u p p o s e u ( t ) = ( u l ( t ) ，牡2 ( t ) ) t 括t h e p r o d u c t i v i t y , 8 ( t ) = ( a l ( t ) ，8 2 ( 0 ) t 括t h es a l e sr a t e , t h e n ( t ) = - 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a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d d a e s ) i n 【13 ，c a m p b e l lh a ss t u d i e dt h ef o l l o w i n gd d a e s n a 圣( 亡) + b x ( t ) = 岛z 一几) + ，( 亡) i = 0 a n dg e ts o m eu s e f u lt h e o r i e s i n 【2 】，z h ui n v e s t i g a t e dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn e u t r a ld e 1 a yd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( n d d a e s ) v i at h ec o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no b t a i n e db yi t se x p o n e n t i a ls o l u t i o n sw i t h0 - m e t h o d s ，r u n g e k u t t am e t h o d s ，b d fm e t h o d sa n d 3 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 上海师范大学硕士学位论文 l i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d s i n2 0 0 4a n d2 0 0 5 ，l i ue t c s t u d i e dn d d a e sw i t ht h ei m p l i c i tb l o c k 0 - m e t h o d s ( 3 ) a n dr o s e n b r o e km e t h o d s ( 4 ) i n2 0 0 6 ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fs i n g u l a rc o n f i n u - o u st i m ed e l a y e ds y s t e mw a ss t u d i e db yd r a g u t i n 巧d e b e l j k o v i 6 ( 【5 】) f o rt h em o m e n t ，t h e r ea r e o n l yf e w r e s e a r c h e so nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fd d a e s 1 3m a i nw o r ko fn l i st h e s i s i nt h i st h e s i s ，w ea p p l y0 ，b d f , l i n e a rm u l t i s t e pa n dr u n g e - 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k u t t am e t h o d sf o rd d a e s i s i n v e s t i g a t e d an u m e r i c a le x p e r i m e n ti sa l s og i v e n 4 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r2n u m e r i c a lt r e a t m e n tf o rd d a e s c h a p t e r2 n u m e r i c a lt r e a t m e n tf o rd d a e s 2 1p r e l i m i n a r i e s w bf i r s ti n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dt h e o r i e so ft h ed r a z i ni n v e r s eo fam a r x d e f i n i t i o n2 1 1l e tm c n n t h es m a l l e s tn o n n e g a t i v ei n t e g e rks u c ht h a t r a n k ( m 知) = r a n k ( m 蚪1 ) i sc a l l e dt h ei n d e xo f m ，a n dd e n o 纪db yk = i n d ( m ) d e f i n i t i o n2 1 2l e tm c n na n dk = i n d ( m ) t h e nt h em a t r i xx 煳s a t i s f y i n g 1 詹m 七) ( 万= m 七 2x m x = x 。 3m x = x m i sc a l l e dt h ed r a z i ni n v e r s eo fm ，a n di sd e n o 地db yx = m d l e m m a2 1 1m 矿m c 似ni ss u c ht h a ti n d ( m ) = 矗t h e nt h e r ee x i s t san o n s i n g u l a rm a t r i x t s u c ht h a t m = t ( ：二) t 一1 w h e r ep i sn o n s i n g u l a ra n dni sn i l p o t e n to fi n d e xk 2 2n u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rd d a e s i nt h i ss e c t i o n ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gl i n e a rs y s t e mo fd e l a yd i f f e r e n t i a l - 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4 x 住+ 1 = a t n + o h ( - b x n + 1 + c z 竹一m + 1 ) + ( 1 一p ) 危( 一励n + c 一m ) w h i c hi se q u a lt o ( 4 + o h b ) x n + 1 = ( 4 一( 1 一o ) h b ) x n + o h c x n m + 1 + ( 1 一o ) h c x n m ( 2 2 3 ) c o n s i d e ra 七一s t e pb d fm e t h o da p p l i e dt o ( 2 2 1 ) a si n 【11 】，w eg e t w h e r e p - 争= 云善k 札， 4 孕+ b x n ：c z n m 凡 上海师范大学硕士学位论文 c h a p t e r2n u m e r i c a lt r e a t m e n tf o rd d a e s n 圮g e a rr u l e z n + = 普一万9 一- + 2 + 。， z 12 五一万一l + z n 一2 + i 上 + 1 ， a p p l i e dt o ( 2 2 1 ) ，w eh a v e ( 4 + 击 召) + - 二普一杀一。+ 吾一2 + 6 h c z n m + ， ( 2 2 4 ) g e n e r a lm u l t i s t e pm e t h o d c o n s i d e rag e n e r a lm u l t i s t e pm e t h o d 七 k o t j x n + j = 九a j f n + j j = 0j = o w h e n ( 2 2 5 ) i sa p p l i e dt o ( 2 2 1 ) ，w eh a v e ( 2 2 5 ) 知 ( 止n 钾+ 蚂召 一h p j c z , , + j - m ) = 0 ( 2 2 6 ) j = 0 w ec h o o s et h es t a n d a r dt w o - s t e pa d a m s b a s h f o r t hm e t h o di nt h ef o r mo f s o w ec a n g e t + 1 一：h ( 3 f o 一厶一1 ) ，+ 1 一2一厶一1 ) ， 出n + l = ( 4 一罢z n + l h l 3 x n l + 云3 配一m 一互1 配m - 1 ( 2 2 7 ) r u n g e k u t t am e t h o d s i m i l a r l y , a p p l y i n gt h er u n g e - k u t t am e t h o dt o ( 2 2 1 ) ，w eh a v e 4 ，t + 召( z n + j ) = c ( z n m + 一m j ) ， i = 1 ， j = l j = l ? 一、 z 1 = + h ：b i k 埔 t h ec l a s s i c a lr u n g e - k u t t am e t h o da p p l i e dt o ( 2 2 1 ) h a v et h ef o l l o w i n gf o r m z n 1 = z n + 否h 【k ，1 + 2 k ，2 + 2 ，3 + ，4 】 ，s ( 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) 7 c h a p t e r2n u m e r i c a lt r e a t m e n tf o rd d a e s 上海师范大学硕士学位论文 w h e r e a k 1 + 召z 竹= c z n m 4 k ，2 + b ( x + l h k n t l ) = c ( 一m + 三九k m 1 ) 4 k 3 + 召( + 寺危k ，2 ) = c ( 一m + 石i t 九k - - r l r l , 2 ) 1 1 4 k ，4 + b ( x n + k ，3 ) = c ( x n m + 危k - - r n , 3 ) n o