（计算数学专业论文）处理图像阶梯效应与过度平滑的pde方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 在现实生活中，图像往往因各种因素被加入大量噪声，不仅严重影响了图像的视觉 效果，同时也给以后的图像分析和理解带来一定的困难，因此在图像预处理中图像平滑 是非常重要的环节，平滑质量的好坏直接影响到后续处理。 传统的图像平滑算法如均值滤波、中值滤波和高斯滤波等，由于不考虑图像的形状 特征，其平滑结果等价于传导系数为常量的热扩散方程，属于各向同性扩散，所以在去 噪的同时也模糊甚至破坏了图像的边缘。而基于偏微分方程的图像平滑技术恰好能解决 这一问题。在平滑过程中，同时检测图像特征强弱及其方向，其平滑结果较好兼顾了噪 声消除和特征保持，是一种较好的图像平滑技术。与热扩散模型相比较，各向异性扩散 模型实际是一个非线性抛物型的偏微分方程，由图像梯度决定其扩散速度，能够兼顾噪 声消除和特征保持两方面。以p e r o n a m a l i k 模型为代表的这类方法已经在边缘检测、 图像增强、图像分割以及目标识别等领域得到了广泛的应用。但是随着研究的深入，人 们发现在利用二阶扩散方程进行图像平滑处理时，会产生“阶梯效应”。针对此问题， 前人主要通过高阶的方法来处理，如传统的四阶方法和基于方向曲率的四阶方法以及复 数域非线性滤波模型：另外，在用偏微分方程进行图像平滑处理时，“过度平滑”现象 也是一个非常普遍的问题。为了避免此现象，可以从选取合适的迭代时间和改进扩散系 数来实现。 本文针对图像的过度平滑，通过改进扩散系数来避免此现象，然后将改进后的扩散 系数与复数域非线性滤波模型相结合，提出一种改进的图像平滑模型。此模型能够综合 处理图像的阶梯效应和过度平滑现象，通过实验表明，本文提出的去噪模型有较好的图 像平滑效果。 关键词：图像平滑；阶梯效应；过度平滑；扩散系数；复数域扩散 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 am e t h o df o ri m a g es t a i r c a s i n ge f f e c ta n do v e r - s m o o t h i n gb a s e do l l p d e s a b s t r a c t n o w a d a y s i m a g e sa r eo f t e nm i x e dw i t hal o to fn o i s e i m a g en o i s en o to n l ys e r i o u s l y a f f e c t st h ei m a g eo fv i s u a le f f e c t s ，b u ta l s ob r i n g sc e r t a i nd i f f i c u l t i e st ot h es u b s e q u e n ti m a g e a n a l y s i sa n du n d e r s t a n d i n gi nt h ei m a g ep r o c e s s i n g s oi m a g es m o o t h i n gi sav e r yi m p o r t a n t s t e pf o rt h ef o l l o w - u pt r e a t m e n t t r a d i t i o n a li m a g es m o o t h i n ga l g o r i t h m ss u c ha sm e a nf i l t e r ，m e d i a nf i l t e ra n dg a u s s f i l t e rb e l o n gt ot h ei s o t r o p i cd i f f u s i o n t h e yr e m o v et h en o i s eo ft h ei m a g ew h i l eu n d e r m i n e t h ec h a r a c t e ro ft h ei m a g e t h ei m a g es m o o t h i n gt e c h n o l o g yb a s e do np a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sc a l ls o l v et h i sp r o b l e m 1 1 1 e yr e l n o v et h en o i s ew h i l ee n h a n c et h ee d g eo fi m a g e s m o o t h i n gi m a g e s h o u l db a l a n c et h er e m o v i n gn o i s e sa n dp r e s e r v i n gf e a t u r e s i m a g e s m o o t h i n gt e c h n o l o g yb a s e do np d e i sa na d a p t i v es m o o t h i n gm e t h o d d u r i n gt h ec o u r s eo f s m o o t h i n g ，i m a g ef e a t u r e sa n dt h e i rd i r e c t i o n sa r ee x t r a c t e d t h e r ea r el e s ss m o o t h e si nt h e l o c a t i o n sw i t hs t r o n gi m a g ef e a t u r e s ，m o r es m o o t h e si nt h el o c a t i o n sw i t hw e a ki m a g ef e a t u r e ； t h e r ea r em i n i m a ls m o o t h e si nt h ed i r e c t i o n sa c r o s st h ei m a g ef e a t u r e s ，a n dm a x i m a l s m o o t h e si nt h ed i r e c t i o n sa l o n gt h ei m a g ef e a t u r e s t h es m o o t h i n gc a nm a k en o i s e sr e m o v e d w h i l ep r e s e r v ee d g ew e l l a n di ti saq u i t ew e l ls m o o t h i n gm e t h o d p e r o n a - m a l i km o d e l s r e p r e s e n t e db ys u c hm o d e l s a r ea l r e a d yw i d e l ya p p l i e di nm a r g i n a ld e t e c t i o n ，i m a g e e n h a n c e m e n ta n ds oo n h o w e v e r ，w h e nr e s e a r c h e sa r eg o i n gd e e p l y ，p e o p l ef i n dt h a tt h e r e a r es t a i r e a s i n ge f f e c t sa si m a g es m o o t h i n gu s i n g2 - o r d e rd i f f u s i o ne q u a t i o n f o rd e a l i n gw i t h t h ep r o b l e m ，p e o p l em a i n l yu s eh i g h e ro r d e rm e t h o d ，f o re x a m p l e4 - o r d e rm e t h o d ，d i r e c t i o n c u r v a t u r em e t h o da n dc o m p l e xd i f f u s i o nm e t h o d ；i na d d i t i o n ，w h e ni m a g ed e n o s i n gu s e db y p d e ，o v e r s m o o t h i n gi sa l s oac o m n l o np r o b l e m f o ra v o i d i n gt h i sp r o b l e m ，w ec a nc h o o s e t h ea p p r o p r i a t ei t e r a t i v et i m ea n di m p r o v et h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n t i nt h i sp a p e r ，w ei m p r o v et h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n tt oa v o i dt h eo v e r s m o o t h i n ge f f e c t ， t h e nc o m b i n et h ei m p r o v e dd i f f u s i o nc o e f f i c i e n tw i t hc o m p l e xd i f f u s i o nm o d e l ，b r i n go u ta n e wi m a g es m o o t h i n gm e t h o d t h i sm e t h o dc a ni n t e g r a t i v l yd e a lw i t hs t a i r c a s i n ge f f e c ta n d o v e r - s m o o t h i n g ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v ep e r f o r m a n c eo ft h ei n t e g r a t i v e m e t h o d k e yw o r d s ：i m a g es m o o t h i n g ；s t a i r c a s i n ge f f e c t ；o v e r - s m o o t h i n g ；d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t ；c o m p l e xd i f f u s i o n ； 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： h 卵 o ，则能量泛函 e ( 甜) = p 0 ) m 存在唯一的全局最小值。证明： v 2 , e ( 0 ，1 ) 苇s l v 2 ( a u ，+ ( 卜a ) 甜：) 怿五i v 2 i + ( 卜五) j v 2 ：i ，i ：1 ：1 - 于f ( s ) o ，厂( ) 是增 函数，有j r ( 1 v 2 ( 加。+ ( 1 一a ) ) 1 ) 厂( p ( v 2 材，) l + i ( 1 - x ) v 1 ) ，x f ”( s ) z o ，有： ，( i v 2 ( 加，+ ( 1 一a ) “：) 1 ) ( i ( v 2 ) | ) + ( 1 一砷( 1 v 2 屹1 ) 两边取积分，有 厂( 1 v 2 ( 加。+ ( 1 一a ) 如) i ) 擒sf 五州( v 2 枷+ ( 1 一五) 州v 2 “：i ) 加，& 9 e ( ；t u l + ( 1 一a ) ) 五e ( u 1 ) + ( 1 一五) e 沁) 。能量泛函e ( u ) 是凹函数，存在全局最小值。 着，( ) 不是凹函数，泛函e ( u ) 不一定是凹函数，可能陷入局部最小值，从而在滤波的 过程中，图像的光滑区域会出现局部的斑点。 式( 2 5 ) 的八) 为删= 譬螂+ 台，肌= 南，厂( s ) = 等， 厂”( s ) = 百k 2 f ( k 再2 - $ 2 ) ，( s ) 不是凹函数，在椒盐噪声处，s ；l v 2 u i 很关，又船厂( s ) = 。， 可以认为，( s ) 在椒盐噪声点值不变，故不能去除椒盐噪声，同时对方差破大的噪声滤 波效果欠佳。 针对四阶偏微分方程图像去噪模型对椒盐噪声去噪效果不佳的问题【1 9 1 ，下面提出两 种改进的滤波模型： ( 1 ) 基于四阶偏微分方程的改进滤波模型1 考虑如下能量函数e ( 却) = 2 u i ) d f 2 + , z f ( u - u o ) ( 2 6 ) 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 ；g ( | v 2 u i 矽q 是图像去噪过程中的光滑算子，五f 一) 是迭代过程中图像数据“与原含 噪声图像相离程度的罚函数，取f ( j ) = = 1 ，。取g ( j ) = 4 k 4 + 七2 j 2 - k 2 ，则 g b ) = 了孝子尹，g b ) = 乒譬7 ，有c ( s ) = 了春每尹，可知g ( s ) 是凹函数，能量泛函 e ) = 9 4 v 2 u l x 舰是凹函数，存在全局最小值a 所以采用如下的去噪模型： _ i 。( 。) 2 丽 害= 司2 ( g 2 “) ) 禺一a ( “一蚶= 司2 ( 卅v 2 圳2 “) - 名( “一) = 唧2 ( k v 2 u 旷+ 4 v 2 u 1 ) 2 ) - 五( u - u o ) 孚= ou ( x ，y ，o ) = u o ( 2 ) 基于四阶偏微分方程的改进滤波模型2 用高斯滤波器g 去除图像噪声，等价于各向同性的热传导方程甜，= v 2 ( 物理意 义是热量从高温区域向低温区域自发传递) ，在迭代的过程中，图像的i v 2 甜l 幅度逐渐减 少，使得一些边缘会变得模糊；而若采用算子“= - v 2 “，图像的边缘会得到锐化，但这 个方程是违背物理意义的( 热量从低温区域向高温区域自发传递) ，且解是不稳定的 在设计非线性方程滤波器时，希望滤波器在去除噪声的同时，使边缘得到锐化增强， 具有如下一些特性：1 ) i v 2 甜i 幅度大的边缘不进行锐化，而应在迭代的过程中逐渐被平 滑，以免信号幅度剧增；2 ) l v 2 甜l 幅度中等的边缘进行反向扩散锐化；3 ) i v 2 甜l 幅度小 的区域视为图像的平坦区域，不进行锐化，以免使噪声的幅度被放大。则能量函数 似) = j g q v 2 u l v q + a f - u o ) e e 的g ( ) 应该满足如下条件：g ( o ) = o ； g ( s ) = g ( 噌) ：( 9 9 ( 占) o ，v s r ：虫已g ( j ) o ；| o a 6 a o ，s 【口，6 】，9 1 ( s ) o ； 选取g ( j ) 为如下形式： g ( s ) = 撕两一群一d 譬衄1 + 言) ( 。 0 。 由于方向曲率可以描述局部图像曲面的粗糙度，所以，图像曲面i 的粗糙度( 噪声德大， 式( 2 8 ) 的泛函值越大。最小化e ( ，) 就相当于图像平滑。 式( 2 8 ) 是泛函( 2 9 ) 的特殊形式， 刚，= l 肌班，尝，考，筹，筹，器胂 ， 式( 2 9 ) 对应的欧拉方程为： 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 筹一丢c 静一号c 争+ 导c 砭a f ，+ 南c 瓦o f ，+ 矿a 2t 瓦a f ，= 。 由此可得式( 2 8 ) 的欧拉方程如下 昙掣”2 茜掣”参掣护。 式( 2 11 ) 的欧拉方程可用如下的梯度下降法求解 尝= 一专掣驴2 茜掣”矿a 2f f m ( m ) 训 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中，型是扩散系数。 式( 2 1 2 ) 即为提出的基于高阶偏微分方程的各向异性扩散方法。 有趣的是p - m 方法也和泛函最小化相联系，式( 2 1 2 ) 对应的描述图像平滑度的泛函 如下： e ( ，) = l s ( i v s l ) d n 其中，q 是图像区域，f ( ) 。是递增函数，且扩散系数c k 。d 别) = f 罚0 w 广1 ) 。 可以看出，式( 2 1 2 ) q b 的扩散系数与泛函的联系和p - m 方法扩散系数与泛函的联系 是完全一致的，这一点对于利用现有文献中的各种扩散系数及理论分析是十分重要的。 前面提到，p - m 方法的处理结果是分段恒定的，导致结果图像“阶梯”状分布，视 觉效果不理想。下面将证明基于方向曲率的四阶方法处理结果是分段线性的，在视觉感 知上要明显优于p m 方法。 称满足平面方程的图像i 为线性图像( p l a n a r i m a g e ) ，则i 必满足 v i ( x , y ) f f i c o n s t a n t ，v 2 i ( ) 【，y ) = o ，m ( b y ) = o 及 i 。伍y ) = l 。( x ，y f l 。y 户0 式中( x ，y ) e q 。 定义 k l：k i：玉i ：o m i l 。- m - o m o ”o 所i k 。_ - o 将( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 代入欧拉方程( 2 11 ) 等号左端得 导( 挈- 。) + 2 茜( 挈- 。) + 参( 挈t 。) f 2 - 1 3 ) f 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 劬，隆( 告) + 2 茜卧番 = 0 可见，线性图像满足欧拉方程( 2 - 1 1 ) 。 由于函数，( ) 是非负的，泛函e ( ，) 满足： e ( d 0 且f ( ) 又是递增函数，因此，当m = o 线性图像时泛函( 2 8 ) 取得全局最小。 泛函( 2 8 ) 还可能存在其他极小值，下面将证明分段线性图像同样满足欧拉方程泛函 ( 2 1 1 ) 。 、 设q ，i = 1 聍，是区域q 的划分，定义分段线性图像，如下， ， y ) = 4 ( x ，) ，) ( 2 一1 6 ) 其中 。 讹力艺= 而小q j r , c 4 ( q ) ，且合成图像l ( x ，y ) 是连续的。 式( 2 - 1 6 ) 中的任意两个相邻图像，必定满足不同的平面方程，否则，二者可以 合并a 设a q 是区域q 的边界，q 一犯是q 的内部，很明显当( z ，y ) 一砌) ， 锄= u 崛时，有 v l ( x , y ) = c o n s t a a t ，v 2 i ( x ，y 户0 ，m ( k y 户0 及 i 。( 】【，y ) i q ( 】y ) 2 i ( x ，y ) 2 0 成立，且必定满足欧拉方程( 2 11 ) 。 由于任意两个相邻的和l 在不同的平面上，所以，在边界a q 上梯度是不连续的， 即 i v s , 则必有 v 2 s ( x ，y ) = a 。 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 = 2 i ( x ，y ) ) 2 = 最+ 毫+ 2 l 易2 ( 毫+ 砖) 成立，式中( x ，y ) a q 。 因为只o ，所以算子m 满足 m ( x ，y ) = o 5 ( 层+ 易) + 砖= 。 设 ， ) = 0 欧拉方程( 2 1 1 ) 等号左端第一项中的型l ，y ) a q 等于 麴l ：， ) m ( 2 1 8 ) 式( 2 - l g ) 中的o 5 ( 1 + 静+ 生1 2 o ，所以，必有 盟i ，：0 m 。 成立，式中o ，) ，) a q 。 上述证哽同样适用于式( 2 1 1 ) 等号左端第二，三项。所以，对所有的瓴力q ，有 导掣驴z 去牮”嘉卑妒 成立，即分段线性图像同样满足欧拉方程( 2 1 1 ) 。 p m 方法处理结果是分段恒定的，“阶梯”明显，而基于方向曲率的方法结果是分 段线性的，故在视觉感知上要明显优于p m 方法。 2 4 复数域非线性方程滤波模型 2 4 1 相关研究溉述 复数扩散方程在量子力学和电子光学领域得到普遍应用。如时变薛定谔方程f s e 方 程) 和c o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n 2 2 j ( c g l 方程) 。当粒子在外力场作用下，s e 方程 的表达式弘3 】： 旃鲁一芸岍咐舻 ( 2 - 1 9 ) 伊= 伊( f ) 是粒子的波函数，m 是粒子的质量，壳是普朗克常量，v ( x ) 是p f 力场势能函数， 大连理工大学硕士学位论文 f = j ，初始条件9 b = ( x ) ，方程的解为：伊以) = e x p ( _ 圭田) 其中 日；一罢+ 矿( 功。 ， 考虑一种简单情形：矿( 功= o ，式( 2 - 1 9 ) 变为： 廊鲤：一旦口(2-20)ot2 m 采用分离变量方法，令矿( 善，y ，力= o 垂瓴y ) ，式( 2 2 0 ) 可得： 臻生：一旦竺：e 妒2 m 由于对所有为乃f 均成立，e 显然是常数。故= e x p ( 一鲁f ) ，。= e x p ( ! 警生 + y ) ) 而复数域线性扩散滤波方程为： = c i = t o ，l ( x ，0 ) = 厶e r ，c c ，c ( 2 - 2 1 ) 比较( 2 2 1 ) 和式( 2 2 0 ) 可知，复数域线性扩散滤波方程与简单情形的s e 方程在形式上是 类似的。 针对m r i ( 核磁共振医学图像) 这类非平稳信号，文1 ( t g 2 4 通过f f t 将图像变换到复 数域，设变换后的数据为，f ，) ，g f ) c ，将经典的p e r o n a - m a l i k 非线性方程滤波模型 扩展到复数域： 1 0 l ( f 厂, t ) = 审( g d w f ，f ) b v ，旷，f ) ) g d w t 7 ，o i ) = , x p e r i 仃，f ) 1 2 k 2 ) 由于复数域的数据可以分为实部和虚部，对于这类多通道数据，采用如下的耦合计算方 法： r d 譬1 ) = r t ) + f v r e ( ) g i 匕1 ) 埘掣) = h ( 已) 杼vh ( ) g ( v 刚) 其中v k i = 一k i ，v r e ( 匕) = r e ( c ) 一r e ( e ) ，v i m ( 匕) = t i n ( g ) - i m ( 1 ) ， r ( m 1 是m 的四邻域。 g u yg i l b o a 在复数域滤波领域做了开创性的工作瞄1 1 2 6 1 ；在文献【2 5 】中提出一个滤波 模型为： ， 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 2 一寺8 r c t 姐 h n 咕) ) ，| + 五+ 幻二 其中i e c ，厶足，且= r e 4 ，a r ，r e ( i ) 是滤波后的数据，i m ( ，) 是滤除的噪声，在 文献 2 6 q b 提出的滤波模型为： 毋( c o m ( i ) ) v ) ，c 0 m ( i ) ) l + 学) 2 ( 2 - 2 2 ) 2 4 2 复数域扩散方程 由于一维各向同性复数域的扩散方程具有解析解，而在多维各向异性情形下的解没 有解析形式，所以利用一维各向同性复数域扩散方程可以清晰地分析复数扩散方程的一 些性质，而多维各向异性的复数域扩散方程同样具有这些性质。故本节先介绍一维各向 同性复数域扩散方程，在下一节介绍复数域非线性滤波模型。 ( 1 ) 复数扩散方程的基本解 考虑如下方程： = 以， o ，c c ，l ( x , o ) = 厶r ，c ( 2 - 2 3 ) 当c r 时，是实数域线性扩散方程，c 0 是正向稳定扩散方程，c 0 是反向不稳 定扩散过程。通常情况下l 是复数，在图像处理中厶代表原图像数据，r 。 这个方程的基本解的形式可以写为： i ( x ，0 = 厶+ o 令c = 腊4 ，为确保方程解有界，约束伊( 要，- 万4 ) 。将实数域的t 用复数域的r = 口代替， 式( 2 - 2 3 ) a - 写为：= ll ( x ，0 ) = 厶 可得： f ) = 习b 荔e 嘶一石x 2 ) b c ，是与初始状态厶相关的常数。 2 志时务赤时嘉， = 丽b e2 e 醑等) c x p o 警)2 j 丽吨x l 卜1 爵_ ) c x p u l 石叫 大连理工大学硕士学位论文 以丽1 ，击晰南细( ，掣一罢) ) 如8 口历恁“圳螂“、钳2 ” = b a g ，0 ，r ) e x p ( i a ( x ，f ) ) 其中 4 2 志，如力= 赢晰南，盯o ，= 岳叫彬，= i x 2s i n 8 一罢。 为了满足初始条件，( x ，o ) = i o ，要求! 缈( x , t ) d x = 1 ，即： l 辫r e ( h ( 工，t ) ) d x 2 1 ，j 二蛳h ( 厅 ，f ) ) 出= 0 k 粤i 办( x , t ) l d x = 0 ，占= 占( r ) ，磐8 ( 0 = 0 由上述两个条件可得：b = 1 。则复数扩散方程( 2 2 3 ) 的解为： ( 2 ) _ 0 町夏致刁散刀程明逝似) 详 不失一般性，c = r e 一简化为c = ，= l 当护专o 时，有 l i m r e ( o = 岛厶l i r ai r a 臼( 1 ) = 峨+ 厶 ( 2 2 5 ) 其中矛= l i m a = 2 f ，证明： o 嬲联d 2 溉厶。南。丽1 石。时嘉) c o s ( 警一扩 = 去晰争，o 妒等删= 丽1 等晰刍 硒单幽：壶：壶：! 壶! 兰竖：垒 q 9 ” 一 = 觋州丽1 + 时羞辱一如 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 = 瓣州丽1 唧( 吾) ( 等) ) = 嬲州丽1 c x p ( _ 蔷) 等) ) = 瓴厶 这说明，目一0 时，i 的实部等价于高斯滤波器与厶的卷积。j 的虚部对时间t 的导数与 厶的二阶导数有紧密联系。令，= i r + i 6 ，c = e o s s + i s i n o ，= 以可写为： 鲁口等确口争m 。= 厶 警= s l n u 铲。3 x 丘2 口等m o - o 曰一o 时，式( 2 2 6 ) 近似为 鲁= 等一目鲁m 国出2 缸 詈= 9 等+ 争扎= o身苏2鼠” ( 2 2 6 ) 佗2 7 ) 这说明，实部数据和虚部数据相互耦合影响，虚部数据将本身的信息负反馈给实部数据。 而实部数据将本身的信息正反馈给虚部数据。就图像而言，实部数据是滤波后的结果， 虚部数据用于检测图像的细节信息。 ( 3 ) 复数扩散方程的特性分析 令 = + 以，= a 岛( x ，f ) e o s ( a ( x ，f ) ) ，鸭= a g o ( x ，f ) 。s i n ( a ( x ，r ) ) ，则 1 = 厶+ 珥= 厶j l l ( 而f ) = 厶+ + a o 啊，厶= s o ，2 厶+ 啊。 实部滤波器峨= a - 岛( x ，f ) e o s ( a ( x ，f ) ) 具有如下一些特性： 1 ) 可积性： ( x ) 出= 1 ( 2 - 2 8 ) 2 ) 信号极值特性：竺坚j 辱掣a ( 2 - 2 9 ) m a x ，p o i 证明： l k k l l h r i l = i ( x ) i 出= 1 4 o ，f ) c o s ( 口似r ) ) l 出4 i 岛( 工，t ) l d x = 彳皓唧卜引出= 么昙c f 晰争r 时和) 1 ，2 大连理工大学硕士学位论文 = 4 店( 乒f 唧卜争砌棚) l ，2 = 一层呼f c x p ( _ z 边) l ，2 = = l + 6 4 2 + 0 ( 0 ) ，( 口一o ) 一 虚部滤波器啊= a 岛( x ，0 s 域口( x ，) ) 具有如下一些特性： 1 ) 可积性：砖o ) 出= 1 ( 2 - 3 0 ) 2 ) 信号极值特性：竺掣s 彳( 2 - 3 1 ) m a x ，1 1 0 l 以一维信号为例，取目2 孟，图2 2 分别给出了式( 2 - 2 6 ) 复数扩散方程迭代计算的结果， 分别迭代计算0 ，l o ，1 0 0 ，1 0 0 0 次，时间步长o 2 0 ，空间步长为1 ，左边是实部数据， 右边是虚部数据。 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 l ti fl 图2 2 一维信号的复数扩散方程迭代过程 f i g 2 2 t h e i t e r a t i v e p r o c e s so f o n e - d i m e n s i o ns i g n a l sc o m p l e x d i f f u s i o ne q u a t i o n 譬= v ( c o i n ( 站) ) v 站) ( 2 3 2 ) 其中，c ( h n ) ) = l + ( 兰! 掣) ：，k 是门限参数，相角口很小p 0 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 但在实际处理中，如果不加限制的使用后向扩散会导致扩散过程发散，信号完全丢 失。所以，g i l b o a 提出对图像的不同区域需要区别对待。他们同样使用梯度作为特征的 检测算子，并假设图像中梯度较大的位置对应强特征，噪声对其影响并不明显，同时为 防止后向扩散造成的发散，这样的区域不进行任何处理；中等梯度区域视为图像特征， 利用后向扩散对其进行巩固和加强，并禁止前向扩散，避免降低图像的可视性；梯度较 低的部分对应噪声和同质区域，利用前向扩散进行平滑。 g i l b o a 提出的双向扩散系数为： ) = 再丽1 一百石丢丽 ( 3 - 4 ) q 8 ) 2 鬲而万一百面丽 3 f 1 一( ，k f ) p os s 。 乞( j ) = 础- - k b ) m ) ”一1 l 一。，+ 一( 3 5 ) 【。，一 其中，指数 ，g ) 建j c z y 女( 4 ，2 ) ，对c 2 取( 4 ，1 ) ，且_ j ， 亭 s h i f ti n v a x i a n tg a u s s i a a 函数为： 乓 仍( 曲= 卵2 p( 3 7 ) 下面以t u k e y s b i w e i g h t 函数为例，说明本文提出的改进的扩散系数类型的优越性。 图3 3 是t u k e y s b i w e i g h t 函数的示意图，其中，z l 代表同质区域，z 2 代表噪声区域，z 3 代表高梯度特征区域；f 是式( 3 6 ) 中的参数：箭头代表特征迁移方向；4 和马分别是特 征点和噪声点的起始位置，4 和及是迭代结束时对应点的标识。图中大于善的区域代 表更强的特征区，由式( 3 6 ) 控制的扩散将其完整地保留了下来，不作处理。 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 厂 彳r i z 2 l f b 2a 2b a i 参 - 图3 3 本文扩散系数示意图 f i g 3 3 i l l u s t r a t i o nt of e a t u r et r a n s f e ro f m yn e wd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t 开始的时候，彳的特征迁移和图3 1 中的过程一样，但当迭代进入后期，彳进入图 左半部分之后，扩散系数开始迅速下降直至趋于零，对特征的损耗也急速降低，称为特 征保护阶段，这一点和图3 1 是完全不同的。问题是既然对特征能够进行保护，对噪声 同样也可以。从示意图可以看到，特征迁移的距离要大于噪声迁移的距离，只要合理地 控制迭代时间，当特征开始保护时，噪声已经全部或大部分进入同质区域内，得到有效 平滑了。 本文提出的扩散系数的另一个特点是大大降低了对同质区域的扩散，虽然同质区域 理论上不在乎多少扩散，但对同质区域过量平滑会使结果变得很不自然，而且，既然同 质区域不需要扩散，也就不必多此一举地对其进行大量处理。 结合上述内容，本文提出两个改进的扩散系数g 和c 4 ： c 3 0 ) ：触；中二口e 一( 譬严( 3 8 ) l 屉( 卜o i k ，) 9 ) 2 ，o s s l ， c 4 ( s ) 2 a 【“s t a ) ，m ) 2 q l 】，k b ms s5k +m(3-9) 【0 o t h e r w i s e 其中，口和口是协调前向和后向扩散之间比例的权重。 协 惦 。 “ 建u 大连理工大学硕士学位论文 荸 n 一。 ( a ) 扩散系数q 扩散系数c 4 ( a ) d i f f u s i o nc o e f f i c i e n tc 3c o ) d i f f u s i o nc o e f f i c i e n tc 4 图3 4 扩散系数c 3 和c 4 f i g 3 4d i f f u s i o nc o e f f i c i e n tc 3a n d c 4 图3 4 是扩散系数g 和e 的示意图。改进的扩散系数避免了p m 方法中单阈值k 选取的矛盾，利用双向扩散的思想，将图像不同区域分别处理，将图像低梯度区域作了 特殊的处理，这样以来减少了对同质区域不必要的平滑，使扩散过程更易控制，同时可 以避免“过度平滑”现象的产生，得到更理想的结果。 3 3 最优停止时间的选取 在用偏微分方程进行图像平滑处理时，如果扩散时间t ( 由于扩散时间最终通过迭 代次数表现出来，故本文对扩散时间和迭代次数不加区别) 太小，难以获得满意的结果： 如果太大，则会出现“过度平滑”反而错过了最佳的滤波效果。因此，对迭代时间的选 取是一个关键的问题。 3 3 1 传统的处理方法 s o b o 在文献 2 8 1 种针对p - m 模型提出，用二次方程评价滤波质量，在扩散时间r ( 迭 代次数k1 处定义风险函数为： 码= e 卜厂8 2 = ej ：( 厂一厂) d x ( 3 1 0 ) 那么使得辟最小的置即为所求的最优迭代次数。但是由于厂事先无法知道，所以墨 只能通过经验估计器进行估计，不仅计算代价大，可靠性也不高。 处理图像阶梯效应与过度平滑的p d e 方法 c a t t e 等在提出模型 詈2 d i v ( g o v 甜j ) v “) 时狺出，既然原始图像力与g a u s s hi ，o = 0 ( x ，力 核g ( 墨y ) 作卷积的结果等效于标准热传导方程在时间f _ 盯2 2 的解，考虑到它们的一 致性，就把迭代停止时间设定为t = 口2 2 。但是，由于非线性扩散比线性扩散慢得多， 所以t