（计算数学专业论文）复数域上约束矩阵方程axb的迭代法的研究.pdf

iflir ti fi lli ll l l li ll y 18 8 4 4 6 4 s o m er e s e a r c h e so ni t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gt h ec o n s t r a i n e dm a t r i x e q u a t i o na x = b i nt h ef i e l do fc o m p l e xn u m b e r s y a n gb i n b s ( j i a n g x is c i e n c e & t e c h n o l o g yn o r m a lc o l l e g e ) 2 0 0 7 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s i n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e & t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rz h o uf u z h a o a p r i l2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 寸移占试 日期：加t 、年f 月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所将本论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社 会公众提供信息服务。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 彳专斌 日期：洲1 年f 月地日 导师签名： 期：如c 1 年j ，月以日 摘要 约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程( 组) 的解不 同的约束条件，或不同的矩阵方程( 组) ，都会产生不同的约束矩阵方程问题约束矩阵方 程问题一直以来都是数值代数领域中研究和探讨最丰富的课题之一，它在结构设计、参数 分析、生物学、自动控制理论、有限元等领域有着非常广泛的应用，同时也取得了很多科 研成果 本篇硕士论文主要研究以下几个问题： 问题1 给定彳，b c ，求x s c 麒“，使得 4 x = b 问题2 给定x o s ，求启& ，使得 忙一划= 嫩憾一列 其中| 1 1 | 为f r o b e n i u s 范数，s e 为问题1 的解集合，s 包括广义( 反) h 锄i l t o n 矩阵、h e r m i t e - 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵、反h e r m i t e 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵 首先利用正交投影思想和双结构矩阵的特征性质构造了迭代算法其次利用矩阵f 范数 的正交不变性、奇异值分解、正交投影原理等证明了算法的收敛性，给出了算法收敛速度 的估计式当矩阵方程相容时，该算法收敛于问题的极小范数解；当矩阵方程不相容时，该算 法收敛于方程的最小二乘的极小范数解；并且对算法稍加修改可得到相应的最佳逼近解； 最后通过数值实例验证了算法的有效性 关键词：约束矩阵方程；正交投影；双结构矩阵；极小范数解；复数域 a b s t r a c t t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e mi st of m ds o l u t i o n so fam a t r i xe q u a t i o no ras y s t e m o fm a t r i xe q u a t i o n si nas e to fm a t r i c e sw h i c hs a t i s f i e ss o m ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n s w h e nt h e m a t r i xe q u a t i o n sa r ed i f f e r e n t ，o rt h ec o n s t r a i n e dc o n d i t i o n sa r ed i f f e r e n t ，w ec a no b t a i na d i f f e r e n tc o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e mh a sb e e n o n eo ft h em o s ta b u n d a n tt o p i c si nt h ef i e l do fn u m e r i c a la l g e b r a i th a sav e r yw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n si nt h es t r u c t u r a ld e s i g n ，p a r a m e t e ra n a l y s i s ，b i o l o g i c a l ，a u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r y ， f i n i t ee l e m e n ta n ds oo n ，b u ta l s om a d eal o to fs c i e n t i f i cr e s e a r c h t h em a s t e r st h e s i sm a i n l yr e s e a r c h e st h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s ： p r o b l e mi g i v e n a ，b c “”，f i n d x s 互c 棚，s u c h t h a t a x = b p r o b l e m2 g i v e n x 0 s ，f i n d x 品，s u c ht h a t 忙一列= 熙怯一到 w h e r e l | 1 i i sf r o b e n i u sn o r m ，& i st h es o l u t i o ns e to fp r o b l e m1 ；si n c l u d e st h e g e n e r a l i z e d ( a n t i h a m i l t o n ) h a m i l t o nm a t r i c e s ，t h eh e r m i t e g e n e r a l i z e d ( a n t i - h a m i l t o n ) 一 h a m i l t o nm a t r i x ，a n t i - h e r m i t e - g e n e r a l i z e d ( a n t i h a m i l t o n ) h a m i l t o nm a t r i x f i r s t l y , w eu s et h et h e o r yo f t h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o na n dt h en a t u r eo ft h ec h a r a c t e r i s t i c so f d o u b l e s t r u c t u r em a t r i xt oc o n s t r u c tt h ei t e r a t i v em e t h o d s e c o n d l y , b yu s eo ft h eo r t h o g o n a l i n v a r i a n c eo ft h ef - n o r mo ft h em a t r i x ，s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o na n dt h eo r t h o g o n a l p r o j e c t i o np r i n c i p l e ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o di sp r o v e da n dt h em e t h o d s e s t i m a t i o ni s a c q u k e d i ft h ee q u a t i o n sa r ec o n s i s t e n t ，t h em e t h o dw i l lc o n v e r g et ot h el e a s t - n o r ms o l u t i o n ，a n d i ft h ee q u a t i o n sa r en o tc o n s i s t e n t ，t h em e t h o dw i l lc o n v e r g et ot h el e a s t - s q u a r e sl e a s t - n o r m s o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s ，t h er e l a t e do p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nc a na l s ob eo b t a i n e dw i t h t h em e t h o dw h i c ho n l yn e e dt ob em a d es l i g h tc h a n g e s f i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt o v e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o d k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e dm a t r i x ；o r t h o g o n a lp r o j e c t i o ni t e r a t i v em e t h o d ；d o u b l e s t r u c t u r e m a t r i x ；l e a s t n o r ms o l u t i o n ；t h ef i e l do ft h ec o m p l e xn u m b e r s 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第1 章绪论 1 1 约束矩阵方程a x = b 的研究概述。1 1 2 本文的主要工作2 1 3 本文所用的记号2 第2 章求a x = b 的广义h a m i l t o n 解的迭代解法及其收敛性分析 2 1 引言4 2 2 当s 是广义h a m i l t o n 矩阵的迭代解法4 2 3 当s 是广义反h a m i l t o n 矩阵的迭代解法10 第3 章求a x = b 的h e r m i t e 广义h a m i l t o n 解的迭代解法及其收敛性分析 3 1 引言1 6 3 2 当s 是h e r m i t e 广义h a m i l t o n 矩阵的迭代解法1 6 3 3 当s 是h e r m i t e 广义反h a m i l t o n 矩阵的迭代解法2 2 3 4 当s 是反h e r m i t e 广义h a m i l t o n 矩阵的迭代解法2 2 3 5 当s 是反h e r m i t e 反广义h a m i l t o n 矩阵的迭代解法3 3 结论3 9 参考文献。4 0 致 射4 4 附录a攻读学位硕士期间所发表的学术论文目录4 5 第1 章绪论 1 1 约束矩阵方程a x = b 的研究概述 约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件情况下的矩阵集合中求矩阵方程( 组) 的 解不同的约束条件或者不同的矩阵方程( 组) 都会产生不同的约束矩阵方程问题它在结构 设计，参数分析，生物学，自动控制理论，有限元等领域有着重要的应用正是这些领域所 涉及的许多不同问题刺激了约束矩阵方程理论的迅速发展，使得约束矩阵方程问题成为当 今数值代数领域的热门研究课题之一 一般来说，约束矩阵方程问题主要涉及到以下二大类：一是直接算法，即利用矩阵的 结构性质和奇异值分解等方法得到问题的解的直接表达式；二是迭代解法，即由约束矩阵 方程的结构性质构造某种迭代格式，利用迭代格式收敛到问题的解 迄今为止，经过国内外专家和学者的不断讨论和研究，约束矩阵方程问题已经获得了 一系列成就所涉及的约束矩阵不但有实数域上也有复数域上的，如实数域上的对称( 反) 矩 阵，中心( 反) 对称矩阵，自反矩阵，正交矩阵，双对称矩阵等复数域上的有h e r m i t e ( 反) 矩阵、自反矩阵、h e r m i t e 自反矩阵等使用的方法主要有奇异值分解( s v d ) 【2 】，广义奇异 值分解( g s v d ) 1 1 】_ 【1 2 1 ，标准相关分解( c c d ) 1 3 】，c h o l e s k y 【1 】- 【2 1 分解，s c h u r 分解等等 关于矩阵方程问题，矩阵丘y = b 问题是研究最多的一类1 9 5 1 年b j i e r h a m m a r 【1 z j 利用 广义逆得到了矩阵方程a x = b 有一般解的充要条件和通解表达式；1 9 8 4 年张磊【l o 】在对称正 定矩阵集合类中研究和讨论了矩阵方程a x = b 的反问题，求出了该问题可解的充要条件和 通解表达式；1 9 8 7 年h e n k d o n 儿】利用拉直算子求出了矩阵方程问题a x _ b 具有对称解的 充要条件和通解表达式；1 9 9 4 年张磊【2 1 1 ，胡锡炎讨论了矩阵反问题a x = b 在子空间上对称 半正定矩阵集合类中的可解条件和解的表达式；1 9 9 6 年w o o d g a t e 1 4 】给出了两种特殊情况 的对称半正定矩阵反问题的解表达式；2 0 0 0 2 0 0 2 年胡锡炎，张磊和周富照【3 】【6 】在中心( 反) 对称矩阵，对称正交( 反) 矩阵，反对称正交( 反) 对称矩阵中研究了逆特征值和最小二 乘问题；2 0 0 2 年胡锡炎，张磊和张忠志【1 6 】- 【1 明在双结构h e r m i t e 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵、 反h e r m i t e 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵中讨论了逆特征值和最小二乘问题；2 0 0 4 年彭亚新【7 j 利用共轭梯度法系统地研究和探讨了矩阵方程a x - - b 的一般解、对称解、中心对称解、自 反与反自对称解以及双对称解；2 0 0 7 年郭孔华【8 】利用正交投影迭代法，系统研究和讨论了 在实数域内a x = b 的一般解、对称解、中心对称解、自反与反自对称解以及双对称解；2 0 1 0 年牛炜 9 1 用正交投影迭代法研究了a x = b 在复数域内( 反) h e r m i t e 矩阵、自反矩阵、h e r m i t e 自反矩阵解及最佳逼近问题 当然关于矩阵方程a x = b 问题以及其它的矩阵方程( 组) 问题，已经取得了很多成果 2 2 】。【4 3 1 ，在此就不再累述了最近，彭亚新，郭孔华等人在实数域上提出了构造正交投影迭代 算法，不管方程是否相容，都能在有限步收敛到约束矩阵方程a x = b 问题的一个解，并能 得到算法收敛速率的估计式2 0 1 0 年，牛炜同样利用正交投影法在复数域内系统研究了 a x = b 的h e r m i t e 矩阵、反h e r m i t e 矩阵、自反矩阵、h e r m i t e 自反矩阵解等；但是对于复 数域内，广义( 反) h a m i l t o n 矩阵和双结构矩阵h e r m i t e 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵、反h e r m i t e 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵解等并未涉及 1 2 本文的主要工作 本篇论文主要研究以下几个问题： 问题1 给定彳，b c 删”，求x s s c 脓一，使得 a x = b 问题2 给定x 0 s ，求x & ，使得 0 f k l i = 娥忪一k 0 其中| | i i 为f r o b e n i u s 范数，& 为问题1 的解集合 本文在复数域上研究和讨论了广义( 反) h a m i l t o n 矩阵、h e r m i t e 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵、反h e r m i t e 广义( 反) h a m i l t o n 矩阵解的迭代解法，并给出了收敛速度的估计式 1 3 本文所用的记号 c 全体复数构成的集合 例复数的模 c ”全体n 为复向量构成的集合 c 雕肺全体n m 阶复矩阵构成的集合 册c 脚全体，l 玎阶广义h a m i l t o n 矩阵集合 2 a h t c 雕”全体玎刀阶广义反h a m i l t o n 矩阵集合 艘职”全体甩刀阶h e r m i t e 广义h a m i l t o n 矩阵集合 h a h c 雕”全体刀疗阶h e r m i t e 广义反h a m i l t o n 矩阵集合 a h h c 删”全体n t 7 阶反h e r m i t e 广义h a m i l t o n 矩阵集合 a h a h c “全体i t 玎阶反h e r m i t e 广义反h a m i l t o n 矩阵集合 l n 阶单位矩阵 彳矩阵a 的共轭转置 矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆 iaf 矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 r a n k ( a ) 矩阵a 的秩 t r ( a ) 。矩阵a 的迹 r ( a ) 矩阵a 的列空间 彳固b 矩阵a ，b 的k r o n e c k e r 积 仃( 彳) 矩阵a 的所有特征值的集合 还有些特殊的符号将在文中具体用到时再说明 第2 章求似= b 的广义h a m i l t o n 解的迭代解法 及其收敛性分析 2 1 引言 2 0 0 7 年，郭孔华1 8 提出了正交投影迭代法并利用此方法，研究了在实数域内a x = b 的 一般解，对称解，中心对称解，自反解，双对称解等，且能收敛到问题的解及其最佳逼近 解并给出了其收敛速率的估计式，但对于复数域上的情况并没有涉及，2 0 1 0 年，牛炜【明同 样利用正交投影迭代法继续研究了在复数域内似= b 的h e r m i t e 矩阵、自反矩阵、h e r m i t e 自反矩阵解等，且能收敛到问题的解及其最佳逼近解并给出了其收敛速率的估计式但是对 于复数域内的广义h a m i l t o n 矩阵和广义反h a m i l t o n 矩阵并未讨论，而本章主要的研究内容 是对矩阵方程从= b 在广义h a m i l t o n 矩阵和广义反h a m i l t o n 矩阵约束条件下的迭代解法 及其最佳逼近问题 定义2 1 1 设j 为正交反对称矩阵( ，日，= 刀耳= 厶，= - j 日) 若剧，= a 胃，则称a 为广 义h a m i l t o n 矩阵，r l 阶广义h a m i l t o n 的全体矩阵记为h t c 脚；若j m = 一a 日，则称a 为 广义反h a m i l t o n 矩阵，1 1 阶广义反h a m i l t o n 的全体矩阵记为a h t c 删” 定义2 1 2 设矩阵彳，b c 觥”，则称t r ( a 日b ) 为矩阵彳，b 的内积，记作( 彳，b ) 本文讨论的问题如下： 问题2 1 1 给定4 ，b c 删”，s 冬c 脓”求x s ，使得 a x = b 问题2 1 2 给定x o c 脚，求x + & ，使得 i i x * - 圳f = 懋怙一蚓f 其中| i | i f 为f r o b e n i u s 范数，& 是问题2 1 1 的解集合，s 包括曰陀脚和彳册c 脚 2 2 当s 是广义h a m i l t o n 矩阵的迭代解法 2 2 1 求问题2 1 1 的迭代算法及其收敛性证明 当s 是月形脚，下面给出问题2 1 1 的算法： 4 ( 1 ) 令b o = b ，x o = 0 ； 酣孙譬鬻舻叫名， ( 3 ) 似t = ( 彳h 反+ 以日) ， = o ，1 2 ) ( 4 ) 如果嘁= 0 ，那么迭代终止；否则令五+ l = 五+ a x k ( 后= 0 , 1 ，2 ，) ( 5 ) 令最+ 。= 最一么皈= 岛一峨+ l ，( 七= 0 ，1 ，2 ，) 转步骤( 2 ) 记集合c y 行：p 专马锻c 删刀) ，c 2 n i x 刀= 墨笋，锻e c m x n ) 易证口期，c 7 期是c 册期的子空 间 记w ，b ，最( 兰c m x p i 都可分解4 = 4 + 4 ，b = 蜀+ 岛反= 磁1 + 磁孙， 州= 华冉华降半坶半b k l ) = 掣， 磁2 ) ：b k i - i b k j ，( | i ：o ，1 ，2 ，) ( 2 2 1 ) 引理2 2 1 【1 6 1 对于w c m 一，a ：4 + 4 ，4 c ：，l ”，4 c 孑x n 9 有以下结论成立： ( 1 ) c 删”= 吖期。凹” ( 2 ) 4 ，= 一鸪，出日= 叫日；4 ，= 鸪，必日= 鹃日；并且4 管= o 引理2 2 2 在迭代算法2 2 1 里，选择实数使得0 最+ 。畦极小并使得色+ 。和彳蝇相互 正交；并且0 b m 幢= i l 玩旺一忙麟七旺 证明：由算法2 2 1 ，有 l b 洲：= ( b k a m ( i ，b k 一么似七) = 0 反l 层一( 彳e ，反) 一( 最，么瓦) + i i 么a 瓦i 巴 ( 反，最) = 1 1 反1 1 ； ( 色，彳战) = ( 反，州胃最+ a 磺) = 0 p 幛：尉b 0 七a 秒：a j b ：舢、 = 忙日反旺+ 护( 彰彳群) ( 批，反) = ( 以圩反+ a 群，最) = 动( 彰以h 最) + 劢( j 日彳日最j 日彳最) 5 = 训彳嘶+ 动( 彰删4 ，) ( 彳峨，a z k ) = ( a k a a 日最+ a k a j b f f a j ，吼似片色+ a k a j b a j ) = 谲( 州反+ a j b ：a j ，州日反+ 么磁) = 1 | 2 | 州日b + 删幢 所以使0 b + 。0 达到最小的充分必要条件是 = 锚鬻汜2 由( b 小彳诚) = 0 ，可以得到( 2 2 2 ) 因而，在算法2 2 1 中，选1 r ( 2 2 2 ) 可使得反+ 。和 彳呱正交由算法2 2 1 ( 5 ) ，易证：0 色+ 。旺= b k ；一忙皈旺 定义2 2 ，设矩阵s ，丁c “n ，若乡满足c 。s 矽= 拶若若芒，c 。口詈，则称秒为矩阵 s 和t 的夹角 引理2 2 3 矩阵方程a x = b 有广义h a m i l t o n 矩阵解的充要条件是矩阵方程组 4 x = s l( 2 2 3 ) 【4 义2 岛 相容即r ( 置) 尺( 4 ) ，天( 岛) 天( 4 ) 其中4 ，4 ，马，垦如( 2 2 1 ) 由算法2 2 1 可以得到下面定理 定理2 2 1 如果方程删= b 有广义h a m i l t o n 矩阵解，那么迭代算法必定收敛， 设q 吒q 是矩阵4 的所有奇异值，五如以是矩阵4 的所有奇异值其中 4 ，4 如( 2 2 1 ) ，记r = m 弧 q ，q ，a ，以) ，= i 血 q ，q ，a ，以) ，那么算法的收 。2 敛速率不低于- o 5 h l ( 1 一与) r 证明：4 = u m 巧胃为矩阵4 的奇异值分解，u ，k 是正交矩阵，m = ( 吾3 ， = d i a g ( o 。，吒，q ) ；4 = 鸠哆为矩阵4 的奇异值分解，k 是正交矩阵， a j = = ( 。：三) ，人= = d i a g ( , ，a 2 ，a 。， 6 由引理2 2 3 ，如果设n l = u 夕口 1 ，n ：= 【厂，曰：2 巧，则曰 1 = u ：n 。哆，磷2 = u 。n ：k ， 知算法2 2 1 一定收敛，且收敛速率不小于一o 5 1 n ( 1 一万r - ) 引理2 2 4 方程从= b 有广义h a m i l t o n 矩阵解的充要条件是矩阵方程组 a x = b l j x j a 日= b 日 相容 定理2 2 2 如果问题2 1 1 相容，那么算法2 2 1 必定收敛到问题2 1 1 的极小范数解 证明：由定理2 2 1 和算法2 2 1 ，可求出问题2 1 1 的一个解x + ，x + = a h q + 坦日彳， 下面证明z 。也是问题2 1 1 的唯一极小范数解令v e c ( x ) = x ，v e c ( x 。) = 工，v e c ( q ) = 吼， v e c ( q ) = q 2 ，v e c ( b ) = b l ，v e c ( b 胃) = 6 2 则方程a x = b 等价于 篇ja j h 朗 i ol6 i 同时 x + = v e c ( x ) = v e c ( a 圩q + j q 日a j ) = a n 。i , j n 固c 训： = 篇m r ( ( 篇们 所以，x 是相容线性方程组的唯一极小范数解，由拉直映射是同构的，可得x 是问 题2 1 1 的唯一的极小范数广义h a m i l t o n 矩阵解 2 2 2 求问题2 1 2 的解 如果问题2 1 1 相容，则品是一个非空闭凸集，因而对于给定的矩阵凰c 脚，如果& 非空并且x o h t c 脚，对于坛& ，都有 a x = b 营a ( x x o ) = b 一似。 令牙= x - 五，百= b 一弛，j g z , 问题2 1 2 等价于矩阵方程衍= 画的极小范数解，若 j 是它的极小范数解，则问题2 1 2 的最佳逼近解为f = 贾+ x o 如果s e 非空但x o 仨h t c 舢，那么有 忙一x o l l ；= 卜一x o + j x o 日j + 一x o - j x o n j ) l l ：= 卜半l i ：+ 因而，对于v x & ，都有 以r：召营么(xxo+jxog)=b-a x o + j x h j 记 牙：x 一x o + s x o j ，百：召一彳x o + j x o h j 2 2 那么问题2 1 2 就转化为求解相容矩阵方程衍= b 一的极小范数广义h a m i l t o n 解牙，利用算 法2 2 - 1 ，计算可得问题2 1 2 的解为f = j + x o + 广j x j 2 2 3 数值实例 设矩阵彳，尻- 厂分别如下 a = b = 5 4 8 8 3 + 4 6 4 8 0 i0 5 8 9 9 + 1 0 6 7 6 i 5 4 0 8 3 + 1 2 2 5 3 i8 3 1 8 2 3 6 5 1 7 i 4 9 4 6 6 7 4 5 1 1 i7 8 0 1 3 + 3 8 5 7 2 i l o 8 1 9 3 + 0 7 1 9 8 il1 7 9 5 9 + 2 7 6 3 9 i 0 0 6 7 0 + 4 3 5 7 9 i 3 5 6 8 9 2 2 1 7 6 i o 7 1 1 7 + 8 6 9 1 0 i 3 1 4 2 8 2 9 6 5 8 i 6 0 8 3 8 + 5 2 7 7 6 i 1 7 5 0 2 - 3 7 2 3 3 i 6 2 1 0 3 + 7 5 7 8 8 i 2 4 5 9 6 + 2 3 0 9 5 i 6 6 3 2 1 + 5 5 4 4 1 i 4 8 0 0 9 + 2 4 6 5 4 i 5 8 7 3 6 7 8 2 8 8 i 5 0 6 0 5 + 1 0 5 1 1 i 4 6 4 7 8 3 6 8 0 8 i 5 4 1 4 2 + 6 1 6 5 4 i 9 4 2 3 3 + 5 0 3 8 8 i 3 4 1 7 6 + 2 2 6 5 1 i - ，= ( 1 ) 求问题2 1 1 的极小范数解 ( 2 ) 求问题2 1 2 的最佳逼近解，令 五= 0 4 5 7 4 0 2 7 0 6 i 0 4 5 0 7 + 0 31 0 4 i 0 4 1 2 2 - 0 2 2 5 0 i 0 9 0 1 6 + o 4 l1 5 i 0 0 0 5 6 - 0 4 3 0 1 i 0 2 9 7 4 + o 3 6 4 1 i 2 3 8 5 5 4 8 9 4 8 i9 0 4 4 0 - 3 3 6 1l i 7 5 0 2 4 - 2 9 2 7 7 i 9 5 2 6 5 - 3 0 9 9 l i 8 8 0 0 4 + 1 3 6 9 5 il1 0 3 9 5 + 0 9 6 0 2 i 4 5 1 0 6 - 2 8 8 0 7 il o 1 3 6 7 + 0 3 7 2 2 i o 11 8 5 + 4 3 6 9 9 i4 4 1 3 0 + 1 9 9 9 5 i 5 0 3 8 3 - 1 1 2 2 4 i7 4 4 9 6 + 5 4 7 4 9 i 4 0 1 8 0 4 8 7 7 9 i7 2 1 9 8 + 4 6 8 9 9 i 3 0 7 6 9 + 0 2 4 6 2 i3 0 6 2 1 + 2 7 7 0 0 i 4 11 5 7 + 1 7 9 2 7 i1 1 2 1 6 - 4 0 0 0 5 i 2 8 5 9 4 - 6 3 3 2 3 i4 4 3 2 9 - 7 5 2 3 2 i 3 9 4 1 3 + 0 9 0 5 5 i4 6 6 7 6 - 0 6 9 9 5 i 5 0 3 0 1 + 3 5 3 4 3 i0 1 4 6 7 + 6 8 5 2 6 i f0oo0 oqooo o0一foo oo0一fo o 00 of 0 0 4 9 1 2 0 0 5 4 6 i 0 6 9 3 2 0 2 6 2 5 i 0 6 5 0 1 + 0 1 9 9 6 i 0 9 8 3 0 + 0 0 5 3 1 i 0 5 5 2 7 + 0 2 3 2 6 i 0 4 0 0 1 0 2 8 7 9 i 0 1 9 8 8 + 0 2 4 1 9 i 0 6 2 5 2 0 0 4 1 9 i 0