（计算数学专业论文）时滞微分方程hopf分歧分析、周期解的计算及其数值动力系统.pdf

对滞徽分方程h o p 汾蛙势薪、周期解的计算及箕数值动力系统 捧要 本文主要磺究会参数匏时游微分方程懿h o p f 分歧分褥，冀月鬏瓣戆诗算方 法以及求解时滞微分方程的数值方法的一些幼力学性质我们选取酱名的时 滞l o g i s t i c 方程佟为主要职究模型，该方程形式麟单焉且分歧现臻较为丰富，是一 个理想的检验模型 由于现有分析方法的局限性，数值计算成为研究周期解性态的重要方法之 一，而且对滞微分方程周期解的计算已经大量成用于时滞反馈控制等领域本文 从分歧分析的角度来考虑周期解问题，因此在常微分方稷中就与周期解联系紧密 静h o p 盼歧在时滞微分系统中自然也戒了重要研究对象，对它的研究更有助于周 期解的计算 在数傻计算方箍舅一个令入感兴趣豹随蘧就是我们伎霜韵数值方法是否能缀 好地体现原方程的动力学性质，戏者在什么条件下数值解很好地逼近原问题的解 瑟魏解翡萋秀究在鬻徽分方程串已有较多簸莱，毽出于霹滞项g i 熬的解静某些不逐 续性，这给我们分析时滞微分系统的数值格式对原问题的逼近穰度带来了较大豳 嬷 就这样一些问题，我们在本文中做了如下工作： 营先，我粕农对滞徽分系统巾雩| 入l y a p u n o v - s c h m i d t 约毒乏方法，褥弱荜对滞 微分方程的h o p f j o 歧方稷及其附j 疆的周期解我们详细分析了时滞l o g i s t i c 方程， 剩臻l s 约纯方法缎过复杂豹雄导缮出了窕静h o p f ：分歧熹瓣透璃麓惩潋及分壤方稔 的解析近似表达戏我们将部分结果与k a p l a n - y o r k e 方法得到的结论比较，发现 楚完全摆德鳇。 然后，我们重点研究了求时滞微分系统周期解的配点法( 拟谱方法) ，利用分 段三次h e r m i t e 多项式暹：i 瑟解函数，适当等玲变澎君将爨烬也番成未躲爨，加上 合适的相条件，离散化箭得到一个非线性方程组，可以使用n e w t o n 迭代法求解 为了解决n e w t o n 迭代法的初始值选取闯题，我们攀| 用兹部分h o p f 分歧分叛的缝 论，将解空问进行分解，很好地懈决t h o p f ：分歧点附近计算周期解的初贻值选取 问题将数值例子的计算结果与前一部分褥到的解摄解比较发现，诗箕误差很小。 我们进而利用延鞴的方法求得周期解枝上其它参数值处的周期解，即使j 鼹到诸如 折嶷点，分枝点这样的奇爨点该方法也能顺利通：i 童该方法与利用l a g r a n g e 插值懿 方法眈较，它更适合徽分方程模黧，算法蔑简单并且同榉有很好的收敛性，在 则周期解处还能发现超收敛性 2 0 0 3 年上海大学博士学位论文 最磊，我们磷究求解对滞徽分方耩豹数值格式的动力学性质分掰分轿 了8 一方法、提骞的线性多步法，把数篷格式羧写必一个一验方程组，分振不凌杰 以及2 。周期解的稳定性尤其是时滞动力系统的2 周期解因受时滞项的影响，稳定 性与常微情形犬有不同对0 一方法、线性多步法我们进步得到了避免伪2 周期 解豹条件 关键试；孵浅微分方程，l o g i s t i c 方獠，h o p f 费 竣，醚点法，掇弧长延据，凄力 系统，伪解。 时滞徽务方程h o p f ：9 鳆分析、周期解鼬计箅及其数值动力系统 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n c e n t r a t eo nh o p fb i f u r c a t i o na n a l y s i s c o m p u t a t i o no f p e r i o d i cs o l u t i o n sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o nb y0 m e t h o da n dl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d f o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) w ec h o o s ef a m o u s l o g i s t i ce q u a t i o na sm a i n r e s e a r c hm o d e l ，b e c a u s eo fi t sa b u n d a n tb i f u r c a t i o np h e n o m e n o na n d s i m p l ee x p r e s s i o n b e c a u s eo ft h el i m i t a t i o no fa n a l y t i c a lm e t h o d n o w ，n u m e r i c a la n a l y s i sb e c o m e s o n eo fi m p o r t a n tm e t h o d sf o rs t u d y i n gp e r i o d i cs o l u t i o n s c o m p u t a t i o no f p e r i o d i c s o l u t i o n so fd d e sh a v eb e e na p p l i e dt os o m ef i e l d si nal a r g ea m o u n t ，s u c ha s f e e d b a c kc o n t r o l ，e t c w ew i l ls t u d yt h ep r o b l e m so fp e r i o d i cs o l u t i o n sb yh o p f b i f u r c a t i o na n a l y s i s ，w h i c hi sa l s ov e r yh e l p f u lt oc o m p u t a t i o no fp e r i o d i cs o l u t i o n ， t h ea n o t h e ri n t e r e s t i n gp r o b l e mi st h er e l a t i o n s h i po ft h en u m e r i c a ls c h e m e sf o r s o l v i n g d d e sa n dt h et r u es o l u t i o n i t s e l f ，n a m e l yw h e t h e rt h e y h a v es a m e a s y m p t o t i c b e h a v i o r b u ti ti sd i f f i c u l tt og e tt h er e s u l tb e c a u s eo ft h ed i s c o n t i n u i t yo ft h e s o l u t i o no fd d e s f i r s t l y ，w i t hh o p f b i f u r c a t i o nt h e o r e m ，w ei n t r o d u c el y a p u n o v s c h m i d tr e d u c ， t i o nm e t h o dt oa n a l y z et h eh o p fb i f u r c a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ho n el a g ， a n dw ec a ng e tt h ea n a l y t i cp e r i o d i cs o l u t i o n sn e a ri t w ed e a lw i t hl o g i s t i ce q u a - t i o n sw i t hl a gi nd e t a i l ，a f t e rc o m p l i c a t e dc a l c u l a t i n gw i t hl s r e d u c t i o n ，w eh a v e t h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i ce x p r e s s i o no f p e r i o d i cs o l u t i o n sn e a rt h eh o p f b i f u r c a t i o n p o i n t s i ti si na c c o r dw i t ht h er e s u l to fk a p l a na n dy o r k e s m e t h o df o rp e r i o d i c s o l u t i o n so fac l a s so fd d e s s e c o n d l y , w ei n v e s t i g a t ec o l l o c a t i o nm e t h o d sf o rt h ec o m p u t a t i o no fp e r i o d i c s o l u t i o n so fa u t o n o m o u sd d e s p e r i o d i cs o l u t i o n sa r ef o u n d e db y s o l v i n gap e r i o d i ct w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，w h i c hi sa ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a lp r o b l e m f o rd d e s w e i n v e s t i g a t et h ec o l l o c a t i o nm e t h o db a s e do np i e c e w i s eh e r m i t e p o l y ， n o m i a l t h ea p p r o x i m a t ee x p r e s s i o no fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dl y a p u n o v s c h m i d t m e t h o da r eu s e df o rs o l v i n gt h ed i s c r e t en o n l i n e a re q u a t i o n s a n dc o n t i n u a t i o n m e t h o di su s e dt og e tt h eo t h e rs o l u t i o n si nt h eb r a n c ho fp e r i o d i cs o l u t i o n s ，i t s h o w ss u p e r c o n v e r g e n c ei nt h en u m e r i c a l e x a m p l e s ， f i n a l l y , w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fan u m e r - u l 2 0 0 3 年土海大学媾士学位论文 i c a ls i m u l a t i o nb yl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o da n d0 - m e t h o d t h en u m e r i c a lm e t h o d s i sv i e w e da sa d y n a m i c a ls y s t e mi nw h i c h t h e s t e ps i z ea c ta sap a r a m e t e r n u m e r i c a l s t a b i l i t yo ft h e m f o rn o n l i n e a rd d e si si n v e s t i g a t e da n dw e p r o v et h a ta ，s t a b l el i n e a rm u l t i p l em e t h o d sa r en p - s t a b e t h ee x i s t e n c eo f s p u r i o u s2 - p e r i o ds o l u t i o ni n t h et i m e s t e pa r ea l s os t u d i e dw e g i v et w os i m p l ee x a m p l e st oi l l u s t r a t ei n s t a b i l i t y o ft h es p u r i o u s2 - p e r i o ds o l u t i o n s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，l o g i s t i cs y s t e m ，h o p fb i f u r c a t i o n ， c o l l o c a t i o nm e t h o d ，p s e u d o a r cc o n t i n u a t i o n ，d y n a m i c s y s t e m s ，s p u r i o u ss o l u t i o n 对滞徽势方程h o p f 分蛙势斩、周期解翡计算及其数值动力系统 第一章雩l 亩 1 1背景 二十键纪以来，自然科学与社会科学的许多学科中提豳了丈量对滞动力学问题， 如电路信号系统【86 9 2 1 、电动力学【2 2 】、光学f 7 3 】、建筑结构【1 1 5 1 、神经网络 3 4 ，1 3 】、生态系 统【8 3 ，2 0 l 、遗抟闻趣圈、流行病学 6 3 ，竭、动物与植物的循环系统【2 霉社会辩学方面主蘩 怒各种经济现象时滞的描述，如商业销售问题、财富分布理论、资本主义经济周期性髋 瓿 1 2 l 、运输潺麦秘题、工馥生产警疆等 系统的演化越蚺不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于系统过去某段时间或若干时 刻豹状态我嚣j 夔途类蘑力系统转终露游动力系统t 2 9 ，铽7 8 t8 ，1 0 ，2 2 ，产糖来漭，在动力擎 系统中时滞通常魁不可避免的，即使以光速传递的信息系统也不例外。另外，和常微分 方程酝描述懿动力系统不瓣，瓣涝麓力系统豹菸空鲻是无疆绒嚣，其蘧论分掇经往穰潮 难。因此，研究时滞微分方程是一个很富有挑战性的方向 时爨紫导致系统鲢运动失稳，双蔫产生舞秘形式靛分岔，在这些分筮中讨论最多豹 怒h o p f 分织，h o p f 分歧点是定常状态通向动力学的门槛，随着参数的变化，会有一族闵 期瓣在h o p f 分歧点处默平辚勰分岔燃来，它提供了逡族周辩瓣的勰戆壤售息，颡藏一般 研究周期解离不开h o p f q 歧点的研究周期解是时滞动力系统中的重疆部分，周期现象 农自然界怒普遍存在的，逐年来青荚时滞徽分方程周期解鲍硬究大擞应用于瓣浅反馈 控制1 3 3 ，7 0 ，7 1 , 7 7 ，9 2 一0 7 内于计算机和计算技术的迅速发展，人们的研究思路髓发生改 变，数值计算已成为研究周期解性态的一个麓耍方法，往往宠计算詹分板+ 人们更感兴 趣的往往怒周期解的位置、大小、澎状，尤箕最近几十年问迅速发展的非线性现象的研 究，由于理论分析的不足，与h o p f 分歧，闵期解、混沌现象以及耗散系统等寄关的阔 题对数值计算依赖健很强，但相关的数值计算成果并不多见，研究时滞微分系统h o p f ：分歧 点、周期解及其分歧的数值计算方法是一个有着很强应用背景的课题 1 2文献综述 有关辩滞徽分方程静一般瑾论瑟经毒臻在不少文献孛f 觅浮8 ，4 0 ，4 5 ，4 6 ，4 4 ，6 l ， 8 2 ) ，时滞微分方程的一般彤式为 f ) = f ( t ，a 1 口( ) ) ，a k ( t ，) ，t t o ， 这里# 积，是维是爨函数，瓣滞亟数啦 ，挈) 满是 a z ( t ，( t ) ) ；t 一九( ，( t ) ) t ， 2 0 0 3 年上海大学博士学位论文 1 f k ，非负函数1 ( ，( t ) ) 为( 可能) 与时间和状态有关的滞量 时滞微分方程h 0 p 盼歧的已有研究成果大部分只是停留在理论分析阶段，并且大都 是针对一维系统或单自由度系统来进行的，一般采用的是h o p 盼歧定理、中心流形分析 方法 b e l a i r 和c a m p b e l l 在【2 9 】中研究了一维双时滞微分方程 z 7 0 ) = - a 1t a n h ( z ( t t 0 ) 一a 2t a n h ( x ( t 一码) ) 其中a ( i = l ，2 ) 是正常数该方程有一个平衡点z = 0 ，利用中心流形分析法，通过分析 其在平衡点处的线性化方程的特征方程 a = 一a 1 e 一帆一a 2 e 一加b 得到了一些有关h o p 盼歧的结论 刘正荣与李继彬在 9 】中运用定理2 1 研究7 w r i g h t 方程 z ( t ) = 一a x ( t 一1 ) ( 1 + z ( t ) ) ，( 1 2 ) 其中，口 0 ，其线性化方程的特征方程为 a e = 一。 研究结论表明方程( 1 2 ) 在a = 7 r 2 发生h o p 盼歧，并且当a 7 r 2 时( 1 2 ) 存在非零周期解 在研究机床颤振的非线性振动理论中，伍炯字( 1 8 ，1 9 1 与c m p b e l l 等人【33 1 研究了方程 象+ 。鲁+ 唧) ( t 叫= 聊州t 叫) ， ( 1 3 ) 其中，a 0 ，b c 0 ( 1 3 ) 在z = 0 对应的线性化系统有特征方程 a 2 + a a + b c e 一 7 = 0 他们通过分析该特征方程得到了一些关于简单h o p f 分歧参数、超临界h o p f 分歧参数以及 次临界h o p f y ，歧参数应满足的关系式 另外，c a m p b e l l 等人讨论了具时滞非线性恢复力的机械系统，运用中心流形定理和 数值方法证实了系统存在极限环、2 环面以及多个稳定态【鲫傅卫平等人对机床动力学 中种典型的非线性完全再生颤振系统给出t h o p f 分岔的存在条件和分岔周期解的表 达式，还指出了产生分岔的参数范围【1 j 唐风军等讨论了广义l i e n a r d 方程的h o p f ：5 ，- 岔问 2 堕堂堂坌查里里! 蔓坌堕坌堑：璺塑坚塑盐兰墨茎塑堡垫塑墨堕 题，以时滞为分岔参数，得到分岔值，分岔方向及从h o p 盼岔点得到的周期解的近似表 达式( 1 4 】l a d e r i a t a n a k a 对一类周期为时滞量有理数倍的时滞微分方程周期解的存在 性进行了研究，并给出了相应周期解的解析表达式【蚓 1 9 7 3 年n u s s b a u m 运用不动点定理研究了一类非线性自治时滞微分方程周期解的存在 性【94 1 1 9 7 4 年，k l k a p l a n 与j a y j r k e 对一类具有1 个或2 个时滞的微分差分方程，利用 具有某种对称性的常微分方程的周期解来产生时滞微分方程的周期解1 7 8 1 他们考虑了这 z ( t ) = 一，( z ( 亡一1 ) ) ， ( 1 4 ) 其中，：r - r 连续，x f ( x ) o 当z o 同时考虑与( 1 4 ) 相应的常微分方程组( 伴随系统) 僦淳恐l s ， 1 ( t ) = ，( $ ) 卜u 7 引理1 1 设，是连续的奇函数并满足当z o i t d - x f ( x ) 0 又设 ( i ) 。= 蚴乌乎( 卢可为。或无穷) ( i i ) 当$ 叶0 0 时，f ( ) = 厅f ( s ) d s _ 。； ( i i i ) a 吾 卢或卢 蓦 o 及定理1 的条件( i ) ，( 毗又设 ( i i i ) a 焘 o f f ：得当0 b ，w 能的周期 为高 同样，对双时滞方程也有一些推广结论，考虑 z ( t ) 一一，( 。0 一r 1 ) ，x ( t r 2 ) ) ， 箕律随系统可写舞广义h a m i l t o n 系统酶形式： 菱；亨- 1 f d ( z ) ， 谯平面一y + z 。o 上约化为两维经典h a m i l t o n 系统 托 = o - 1 ； f ( 卅x ) - 舳f ( y 叫- - x ) ( i 1 2 ) ( 1 1 3 ) 时滞微分方程h o p f ：分歧分析、周期解的计算及其数值动力系统 若满足以f 条件： ( s 1 ) ，c 1 ：r o r ，( 一。) = 一，( z ) ，f ( 0 ) = o ； ( s 2 ) 存在两个整数m ，与m 2 使得m 耆知= 两专高= p ； ( s 3 ) 存在a o k 得当o 0 ，可微，且铷，( 。) 一k ，k 0 若( 1 1 4 ) 有周期解，将方程的 周期解问题转化为求z u ( 1 p ) 一妒= 0 的不动点，其中u 为周期，i p a 卜1 ，o 】为( 11 4 ) i 彻 值函数，且z u ( 妒) = z ( u + s ，妒) ，一l 8s 0 ， 考虑采用n e w t o n 迭代方法求解非线性系统 ( 崭妒) = ( ：) 其中，锚妒= v ( o ) = o 为相条件而迭代过程中所需( 1 1 5 ) 的j a c o b i 矩阵为 f ，鸭产噜、 掣掣 ( 1 _ 1 5 ) 在离散+ t 青n - g ，铅可用周期解处的单值矩阵m + 近似，铬则可用一。， ( 一1 ) ) 在一 1 ) u 上的取值近似在他给出的算例中取，( 茁( t 一1 ) ) = 。o 一1 ) 黜，结果显示迭 代时只要给出合适的初始值( 妒o ，u o ) ( 见 6 l 】) ，该方法是有效的 、。 5 ! ! ! ! 篓圭童查堂擅主兰垡照兰 一一一 近年来，为了节省计算工作量，d r o o s e ，t l u z y a n i n a ，k e n g e l b o r g h s ，k l u s t 等 入褒貔基璐上萼 n w l 一p i c d 方法【4 9 t 2 ，5 3 ，8 5 ，8 8 , 1 。3 ，1 。嘲求簿 l ，1 5 ) ，每步n e w t o n 迭 脉解( 莓7 嚣：一( i 掣掣八删厂蜘厂 汹i 汹2 - t - 脚 p ；p p + l ；l p 著虽令硌r x p 是彤熬特征毽终，转= l ，2 ，爹) 对应麴蟪堑起攫张或的子空翅秘麴一 组基，k r 。( 呻) 是“1 的组基构造正交投影算予 p ：= 珏铲，q ：= f p = j 一谬， = 南十如，讳= 耳而= p c ，= 啊而= q 氟v r 将每次n e w t 瓣迭役分藏嚣步，其毒攀避程如下： 第。一步，由f 次p i c 射d 迭代求得， 毋= 0 ，硝1 】= q 酵殍+ q n 嘞= 蜉； 第二步，辔n e w t o n 迭饯法墩瓣毋。翻? m ， 一m - 。? 嚣h ? 搿) 犯 其中，r = g u 妫一妒，s 为相条件媸妒，尊= 掣，c r = 赛，d = 舞， 嫩后得到咖h ；诈l p 十驴，令毋【”+ 1 】= 庐m + 毋，t i ”+ 畸= ? + t e ”1 ， 第二，f o u r i e r 展开逼i 臌法 a 。mc a s t e l f r a n c o 每羟，w s t e c h 在婆4 1 中考虑, t p l a n t 模型 ，“) 兰 ( t ) 一芝笋一 ( ) + j ， 叫0 ) = p 洳秘) + 。一6 蜘0 ) l - 6 ( 1 1 7 ) 时滞微分方程h o p 盼歧分析、周期解的计算及其数值动力系统 的周期解这里，0 b 1 ，l 一警 。1，0p1 ，= pp ( t r ) 一v o ，( v o ，”o ) 为( 1 1 7 ) 的定常解利用常数变易公式消去( 1 1 7 ) 的 ( t ) 得到 。咏) ：。( t ) 一掣+ 卢忡一，) 一u 。卜p ，。e 岫p ( hs ) + a d s ( 1 1 8 ) ” j o 。 假设口( f ) 是( 1 1 8 ) e 薹j 一个f ( 2 ”加) 周期解，通过变量代换t = ( r 加) t ，z ( t ) = z ( t ) ，z 是方程 z 咏) = 三，( 即一t 刊弓严砌+ s ) 如) ( 1 1 9 ) 的2 ”周期解，这里a = p b t l w 采用有限项f o u r i e r 级数逼近z ： z ( t ) o o + 0 1 c o s ( t ) + 6 1 8 打l ( t ) + 0 2 c d 8 ( 2 t ) + 幻s 打( 2 t ) + + o 厅c d s ( t ) + 6 霄s 打 ( t ) 兰2 ( ) ( t ) 并且取相条件为6 1 = 0 令在区间 0 ，2 ”) 的离散格点缸= 2 ”“一1 ) ( m 一1 ) ，i = 1 ，2 ，m 一1 上取值，令 f i = - i ：( n ) 他) 一三小) 他k ( m ) 弓e a s z ( n ) 他刊d s ) 最后，求出( 卢，u ，a o ，a l ，a 2 ，b 2 ，。霄，晴) r ，n = 2 + 2 ，使得鉴i 1 坪最小 第三，分段多项式配点法 k e n g e l b o r g h s 等人在 4 8 中研究自治含单( 常数) 滞量的时滞微分方程 峦( t ) = ，( z ( t ) ，。p r ) ) ，( 1 2 0 ) 周期解的数值解法时，转而考虑两点边值问题 f 圣( t ) = ，( z ( t ) ，。0 一r ) ) ，t 【0 ，卅， z d 2 x t ， ( 1 2 1 ) 【p ( $ ，t ) = 0 ， 这里t 表示未知周期，p ( z ，t ) = 0 表示相条件 将求解区间 o ，邪分成l 个小区间，在每一个小区间件1 】上用相应的l a g r a n g e 多项 式逼近z ： z ( t ) = 。( t 件击) b ，肭 其中， 县删= f i 刊唾t - t i + - 景，j = 。，m ， 7 2 0 0 3 年土姆大学博士学证论文 且t ；+ 妻。t i + 袅趣，j 。1 ，+ 一，m 一1 t 在每一个小隧间如+ 1 上求解的数值格式为： 壹( 龟t ) = ， ( 盘，f ) ，g ( 酶一f ) ) 其中，c 、f ：= t i + c f 坛 一1 ，m ，矗 一t 讳l 一镌，盘为配曩参数藏0 e l 兰1 求解这魃方程联立形成的方程组可得z ( t ) 笥t 的近似值。前提是要有好的初始值 现存的有关时滞微矜方程的程序饿有a r c h i ，d k l a g 6 ，x p p a u t ，d d v e r k 和d d f ，b i f t o o l ，参见【5 4 ，5 l ，5 5 ，9 8 其中只有e n g e l b o r g h s 等a 的d d e b i f t o o l 重 点涉及时滞微分方程周期解的数馕计算，采用的是髓蕊第三荦孛方法 下蕊将介绍些有关时滞方程数值算汝动力系统方面已有的工作 在有限区闻上收敛的数值方法不一定与原方程有同样的濒退性质数值方法可以瓣成 是步长为参数的离散动力系统动力系统的渐近状悫包括平衡点、周期轨、拟周期解、奇 异吸引子等等实用的数值格式皮当使这贱渐近状态与原方程的渐迥性态相致于怒我 们有必瑟研究数德方法伪解产生的原因，弗设法避免伪解鹩产生 r u n g e k u t t a 方法、口一方法以及线性多步法等常被用于求解常微分方程和时滞微分 方程，r u n g e - k u t t a 方法和8 一方法求解常徽分方程的数值渤力系统已经有了很多丰寓韵 研究结槊 2 6 ，6 2 ，7 2 ，7 4 ，7 5 ，1 0 8 ，1 0 9 但是对时滞微分方程数值动力系统的研究由于时滞带来 的困难，相应静工作并不多觅辫：? 龟8 3 j h o u r 等人在 6 9 】中研究了z ，( t ) = ，( 。( t ) ，。( t r ) ) ，t o 的渐进稳定周期解- 骄j r u n g e - k u t t a 法近钕得到的蠲麓解之间静关系，缔果显示时滞微分方程的r u n g e - k u t t a 方法产生 近似原周期解的吸引不变周期轨 j a c k i e w i c z 等入在 粥1 中研究t r u n g e 。k u t t a 方法伪平衡点的情凝，绝稍考虑解聍滞徽 分方程初值问题 雠；三嬲珞。 。黎1 】( l 2 2 t t o t o ) i ( t ) = 妒( 茚， 一r ，】 的r u n g e k u t t a 方法 f甲+ 1 = 撕( k ) + ；：1 叼9 ( 垮 ，可- m + 1 ) ， 窿篡篇至幂z j n - m + t ，) 娃稠 茎堂壁垒查堡蔓! ! 坠堕坌篓：堡塑鳖塑造兰墨茎墼望量兰! i 您 1 “a ) = r 。) = 勖 簸中，e 。为第p 个单位列向量，勺( a ) 表示一的第一行，d = ( d l ，d 2 ，以) t ， a = ( 耋i 量i ；j ! 兰) ，嚣= ( 登；塞l ；妻；) ， = 一o e 一1 ，( 12 5 ) 2 0 0 3 年皇海夫学游士学短论文 运用 差o p 盼歧定理得到a = 。一+ 2 n # 是( 2 4 ) 的鞋o p 纷歧点 为了便于分析，先作变换s 一雠4，令o = 十p ，方程( 2 4 ) 变为 跏，舻) = l r ) 石d u + 4 ( ；+ 加一鼢( s 一半) = 。 l ，2 6 ) 于是将( 2 4 ) 的r 一番i - 周期解问题转化为求上述方程的l 一周期解 令 四 o ，l 】= f u c o ( 一。，o o ) 1 “( 8 ) = “0 + 1 ) ) ， 四【o ，1 】= “c 1 ( 一。，o o ) i “( 3 ) = “( s + 1 ) ) 方程1 2 6 ) 关于平凡解的线性他方稷鸯 l o v = r ( o ，o ，o ) = 五d v + 2 ( s 夏1 ) = o ， ( 1 2 r ) 它的共轭方程为 跏= 一警牛2 州i 1 ) 地 ( 1 2 8 ) 显然 n ( l o ) = s p a n s i n2 霄s ，c o s2 筇s ， ( 端) = s p a n s i n 2 r s ，c o s 2 ”s ) t 这里( ) 和( 塌) 分剐褒示算予l o l l ；的零空阀。由燕胃觅o 是糖檬为o 酌融d h o l m 算 子，于是可以进行如下的空间分解 四 o ，1 】m n ( l o ) o m ， c g o ，l 】= 骂) 蛰r ( l o ) ， 萁中m 一四 o ，1 】n n ( l o ) 1 定义投影算予 p ：锶o ，l 】一r ( 三o ) ，q ：四f o ，l 】一淄) 如下： 孕哲= 2 s i n 2 z r s + 2 c 0 8 2 r s ， p = 一q ，这里内积 = 詹v l ( s ) v 2 ( s ) d s 令 乱( 8 ) = 嚣s i n 2 u s + y c o s 2 7 r 3 + 叫b ) ，叫( 8 ) m 1 n 时滞微分方程h o p f 分歧分析、周期解的计算及其数值动力系统 将方程( 1 2 6 ) 在r ( l o ) 和( 工；) 上分别进行投影可得 p f ( xs i n 2 7 r s + y c o s2 7 r s + w ( 5 ) ，p ，r ) = 0 q f 0s i n 2 1 r s + y c o s2 7 r s + ( 8 ) ，肛，r ) = 0 ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) 从方程( 1 2 9 ) e ? 解出 ( s ) = ( 5 ；，y ，p ，r ) ，它满足 ( s ；0 ，0 ，0 ，0 ) =0 将( s ；，。，y ，p ，r ) 代入方程( 1 3 0 ) 可得等价的分歧方程 g ( x ，y ，肛，下) = = 0 h ( x ，y ，p ，t ) = = 0 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 通过复杂的计算，我们得到了p = l ，2 时的分析结果( 见定理2 2 与定理2 3 ) 并且在推 导过程中我们发现当p 为偶数时，总有一枝周期恒为4 的周期解在h 0 p 盼歧点处从平凡解 枝分歧出来，这样的结论与k a p l a n ，y o r k e 给出的引理1 1 是完全吻合的 在第二部分中我们将求( 3 1 ) 的周期解看成求解时滞微分方程边值问题 f 警= ( x ( t ) ，。( t r ) ) ，t f o ，明， 1 x o= x t ， 【p ( x ，t ) = 0 ， 这里t 表示未知周期，p ( z ，t ) = o 表示合适的相条件 作变量代换i = t t ，然后去掉一号得到 f 密= t f ( y ( t ) ，y ( t - - t t ) ) ，t m 】， 1y o= 蚍， 【p ( y ，1 ) = 0 这样，把t 也当成。个未知量进行计算，周期变成1 使用分段三次h e r m i t e 多项式 其中 l h o ) = 鼽 ( t ) + f ：肌( t ) i = 0 f 产( 3 2 t - ) ，0 与 s 1 ， o ) = ( 1 一习2 ( 1 + 2 t - ) ，0 冬生鲁盐s1 l0 ，其它， f h 产( 1 一砷，0s 气j s1 ， 肌o ) = h t ( 1 一刁2 ， os 1 2 邑l ， l0 ，其它 2 0 0 3 华上海火举博士学能论文 作为( t ) 的近似，采用配点法求解得到以下配箴方程 丁d h i ( c i , 1 ) 一t f ( h i ( 毪，f ) ，璐( 西，f ) ) ( 1 3 3 ) 其中，0 = 粕 t l t 2 0 ，所有其它特征值 ，a l 。2 ，m 两任何整数； ( a 2 ) r e ( o ) o 刘存在孝数8 0 0 ，矗。 0 ，南 0 ，d ( 8 ) 瓢w ( 8 ) 疑，当嘲 o , m ( 2 9 ) 式推出 h l 0 ，疆巍( 2 t 8 ) 式推出h 0 ，褥到矛霆- o 从仁述证明中可知，当foi 暑时，( 2 6 ) 的所肖特征根的实部小于零 为了方便越见，f 蕊讨论在啪= 量掰寸近，方骥( 2 4 ) 的周期解竣怒如何从乎凡解分歧 出来的 作变换。= 学，令。= 量+ 弘，方程( 2 。4 ) 变为 ( 1 刊掣= 叫( ；州卅) 一半) ( 2 1 0 ) 这里i ( s ) 一n ( r 辫) 为了记号的方便，把矗上面的一去掉，( 2 1 0 ) 可敬写为 脚舶扣( 1 ，) 塞+ 4 ( ；确一婚 ) 婚一半) = g ( 2 1 1 ) 于是方程( 2 。1 1 ) 的l 一周期解与方程( 2 ，4 ) 的r 舞一周期解对应 下黼对方程f 2 1 1 ) 进行l i a p u n o v - s c h m i d t 约仡 令 四l o ，l 】= “c o ( 一，。) l “( s ) = “和+ 1 ) ) ， 磷 o ，1 3 = n c 1 ( 一。吼。) s ) = 8 + i 于是f 悬四 o ，1 1 豫瓞- - - 4 四 0 ，l l 的一个映照方程( 2 1 i ) 关于平凡解的线性化方程为 l o v = 民( 0 1 0 ，o ) 目一五d v + 2 w u ( s i 1 ) = o ， ( 2 1 2 ) 7 ， 2 0 0 3 年上海大学博士学位论文 它的共轭方程为 显然 冰= 一塞+ 2 州蚪i 1 ) = o ( 三o ) = s p a n s i n2 s ，c o s2 r s ( 瑞) = s p a n s i n2 7 r s ，c o s2 r s ( 2 1 3 ) 这里( l o ) 和( l ；) 分别表示算子三。和l 5 的零空间由此可见l o 是指标为0 的f h d h o l m 算 子，于是可以进行如下的空间分解 其中m = 铹 o ，1 】n a f ( l o ) 上 定义投影算子 晓 o ，l 】_ a f ( l o ) o m ， 四【o ，1 - a f c l ；) or ( l o ) p ：c ； o ，1 】一r ( l o ) ，q ：四 o ，1 _ ( 三；) 如f ： q ”= 2 s i n 2 丌s + 2 c o s2 7 r s p v = 一0 u r i 这里内积 = v l ( s ) v 2 ( s ) d s j 0 令 t t ( s ) = zs i n 2 _ ，r s + y c o s2 z s + ( s ) ，w ( s ) m 将方程( 21 1 ) 在月( 三o ) 和( 瑞) 上分别进行投影可得 p f ( x s i n 2 7 r s + c o s2 r s + ( s ) ，p ，t ) = 0 ( 2 1 4 ) q f ( xs i n 2 7 r s + yc o s 2 1 r s + ”( 5 ) ，p ，r ) = 0 ( 2 1 5 ) 将与。程( 2 1 4 ) 具体写出来就是 户( w ；z ，“，r ) = p ( 1 + r ) ( 警+ 2 ”z c 。s2 ”s 一2 ”g s i n 2 ”s ) + 4 ( ( ；川呻s i n 2 * - s + y c o s 2 肼吣) ) p ) (