（计算数学专业论文）多孔及变形介质中混溶及非混溶驱动问题的数值方法.pdf

原创性声明 本旭罐匡声明：所壁蛐鸲维! 舣，是本蛔踌师白勺j ：旨导下，独茁指匍磷：所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任伺其他个 或集体已经发 表或葵马锄孵牺诚果。列本如物豌作出：重骑确i 曲g 个人和集嫩均已舀玟牛以明 确厉煳。本声明盼崮茕雕酣癖1 人承担 ：j 垃日舰上尘，扩 本贴翟叮懈山东大擎躬屎留、使甩学崮宅瑚锰觇定，同薛粒鹅陶或向国家 有关部f 碱邯构送交逾嫩印仁m 电子版，允许沧蜗龌鄞骄借阅；本 掀山东 大学可眺盼栏新 留晴拴湖或部分内容编九躬镂蹴裤进行检索，可以采用影印、 缩印或射嵫魏拥玛治葫说汶和汇虢栏戳撇。 饴氇说文在解密同蓟罄辛j ：盈导! 币签名：煎竖日规- 三尘附 山东大学博士学位论文 n u m e r i c a lm e t h o d sf o rm i s o i b i ea n dj m m l s c i b i e dis pia c e m e n tind e f o r m e da n dp o r o u sr e s e r v oir l iz h i t a o ( s c h o o lo fm a t h a n ds y s t e ms c i s h a n d o n gu n i v e r s i t y ，j i n a n 2 5 0 10 0 ，s h a n d o n g ，c h i n a ) a b s t r a c t t h es o l i dm e d i u mc o n s i s t e do fag r e a td e a lo fh o l e sc o n n e c t e d e a c ho t h e ra n dl o c a t e dr a n d o m l yw i t hd i f f e r e n ts h a p ea n ds i z ei s c a l l e dp o r o u sm e d i a 【1 a c c o r d i n gt od i f f e r e n ts t a n d a r d ，t h e r ea r em a n yc l a s s i f i e d m e t h o d sf o rp o r o u sm e d i a t h en o r m a lp o r o u sm e d i ao b s e r v e di nm o s t l y 1i t e r a t u r ei s i n t h e r a n g e o f c o m m o no i1r e s e r v o i rw h i c h c h a r a c t e r i z e db yn o n e x c e p t i o n a lh i g hp r e s s u r ea n dl o w s e a t e d 胃i t ht h ee v o l u t i o no fo i ld e v e l o p m e n tt e c h n o l o g y m o r ea n dm o r e d e e p s e a t e do i lr e s e r v o i r sw e r ed e v e l o p e d d u r i n gt h ed e v e l o p m e n t ， d u et ot h ev e r yh i g hp r e s s u r ea n dt e m p e r a t u r et h ed e e p s t r a t u mo i1 r e s e r v o i re n d u r e d ，t h ed e p o s i t e dl a y e rt e n d st oc h a n g ei ns h a p e c o m p l e t e l ya n dp a r t i a l l y s ot h ep o r o u sm e d i ah a st h ep r o p e r t yo f d e f o r m a t i o n w en a m et h i sk i n do fm e d i ad e f o r m a b l ep o r o u sm e d i a u s u a l l y ，t h e r ea r et w ok i n d so fm o d e l st od e s c r i b et h e i n c o m p r e s s i b l ef l u i dd i s p l a c e m e n t p r o b l e m si np o r o u sm e d i a l 2 ：i n o n em o d e lt h ef l u i d sa r ea s s u m e dt ob e c o m p l e t e l ym i s c i b l e ：o n e e x a m p l ei sg i y e nb y0 i1a n dad e t e r g e n ts o l u ti o n ，i nt h eo t h e rm o d e l t h ef l u i d ，s u c ha sw a t e ra n do i l ，a r ec o n s i d e r e dt ob ec o m p l e t e l y 山东大学博士学位论文 i m m i s c i b l e t h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sf o rt h et w om o d e l sc a nb e p u t i n t oq u i t es i m i l a rf o r m s i ti su s u a l l ym o d e l e db yan o n l i n e a rc o u p l e d s y s t e mo ft w op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o n eo fe l l i p t i cf o r m f o rt h ep r e s s u r ea n dt h eo t h e ro fp a r a b o l i cf o r mf o rt h ec o n c e n t r a t i o n o fo n eo ft h ef l u i d s i ft h ed e f o r m a t i o nh a p p e n e d ，t h i sw i l l a f f e c tt h ed y n a m i c c h a r a c t e ro fr e s e r v o i rs e r i o u s l y a d d i n gi n a p p r o p r i a t ed e v e l o p m e n t ， v e r yb a dr e s u l t w i i ib eo b t a i n e da n dt h ep r o d u c t i o no fo i lr e d u c e d s h a r p l ya n db e y o n dr e c o v e r y f o rt h es i n g u l a r l yh i g h p r e s s u r ea n d d e e p s e a t e dr e s e r v o i rw h i c hm e d i ah a st h ep r o p e r t yo fd e f o r m a t i o n ， t h em e t h o d so fd e s i g na r ed i f f e r e n tf r o mn o r m a lr e s e r v o i r s e s p e c i a l l yf o ri t sn o n 一1 i n e a rr u l eo fp e r m e a t i o n ，t h ec o m m o nt h e o r y o fp e r m e a t i o na n dr e s e r v o i rd e v e l o p m e n tf a i l e x p e r i m e n t sa n dr e s e a r c h e s 3 ，6 3 s h o wt h a t 。t h ec h a n g i n gr a t i o o fp e r m e a t i o nt op r e s s u r eo fl a y e ri nd e f o r m a t i o nr e s e r v o i ri sf i v e t of i f t e e nf o l dt h a nt h ep o r o s i t y s o ，u n d e rh i g hp r e s s u r e ，t h ec h a n g e o fp e r m e a t i o ni sh u g e i ti se r r o rt on e g l e c tt h ec h a n g eo fp o r o s i t y i nm i n ef i e l dc o m p u t a t i o n b u t ，n o w a d a y s ，i ti sc o m m o nt oa s s u m et h e p e r m e a t i o ni sac o n s t a n ti nm o s tc o m p u t a t i o no fm i n ef i e l d t h a ti s a ne v i d e n td e p a r t u r ef r o ma c t u a ls i t u a t i o n ，a l w a y sm a k i n gh u g ee r r o r ， e v e nl e a d i n gt ow h o l ef a i l u r e w es h o u l dr e v i s et h ec o m m o nm o d e lo f m i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i at od e s c r i b et h ed i s p l a c e m e n t p r o b l e mi nd e f o r m a b l ep o r o u sm e d i a 3 】p r o p o s e ds o m em e t h o d st o d e s c r i b ep e r m e a t i o ne q u a t i o na n dd e v e l o p m e n tm e t h o d si nd e f o r m a b l e p o r o u sm e d i a i n 3 ，4 ，5 ，a u t h o rh a s m a d es o m er e s e a r c ha b o u t n o n i i n e a re l a s t i cp e r m e a t i o nt h e o r yi nd e f o r m a b l ep o r o u sm e d i a ，a n d d i s c u s s e dt h ec h a r a c t e r i s t i co fd e f o r m a t i o nr e s e r v o i rd e v e l o p m e n t i nt h i sp a p e r ，w er e c k o no nt h el a y e rp o r o s i t ya n dp e r m e a t i o no f d i s p l a c e m e n tm o d e li nd e f o r m a t i o nr e s e r v e i ra sf u n c t i o no fp r e s s u r e 2 山东大学博士学位论文 i nf r o n tp a r to ft h i sp a p e r ，w em a k et h eu s eo ft h ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d st or e s e a r c ho n e d i m e n s i o n a la n dt w o - d i m e n s i o n a lm i s c i b l ea n d i m m is c i b l ed is p l a c e m e n tp r o b l e m si nd e f o r m a b l ep o r o u sm e d i a t h ec o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e mi so f t e ni n v o l v e di n f l u i dd i s p l a c e m e n tp r o b l e mi np o r o u sm e d i a f o rt r e a t i n gt h i sp r o b l e m ， t h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s 6 - 7 ，2 ，9 - 1 9 h a sp r o v e de f f e c t i v e e r r o re s t i m a t e sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sh a v es h o w nt h a tt h i s m e t h o dp e r m i t st h eu s eo fl a r g et i m es t e p ，a n da v o i d so rs h a r p l y r e d u c e dt h eu s u a ln u m e r i c a ld i f f i c u l t i e s t h em e t h o do f c h a r a c t e r i s t i c sh a sb e e nc o m b i n e dw i t hf i n i t e e l e m e n tp r o c e d u r ei n 6 ，9 s i n c ec o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o n p r o b l e m i n v o l v e t i m e c h a n g i n g l o c a l i z e d p h e n o m e n o ns u c h a s f r o n t s i ti s a d v a n t a g e o u st oa p p l yt h ed y n a m i cf i n i t em e t h o d 2 0 t h i sm e t h o d h a st h ec a p a b i l i t yf o rd y n a m i c a l l ym a k i n gl o c a lg r i dr e f i n e m e n t so r u n r e f i n e m e n t sa n db a s i cf u n c t i o na d j u s t m e n t s n u m e r i c a lr e s u l t sh a v e p r o v e dt h ev a l i d i t yo f t h i sm e t h o d 2 1 3 1 m i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o dh a sb e e n r e p o r t e d i n m a n y l i t e r a t u r e s v i at h i sm e t h o dw ec a l lo b t a i n8 p p r o x i m a t i o no ft h e s o l u t i o na n di t sg r a d i e n ts i m u l t a n e o u s l y c o n s i d e r i n gt h ea d v a n t a g e so ft h em i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ， a n dt h ea d v a n t a g e so fd y n a m i cf i n i t e m e t h o da n dc h a r a c t e r i s t i c s f i n i t e 。e l e m e n tm e t h o di nt r e a t i n gc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f l u s i o n p r o b l e m ，w ec o m b i n et h e s et h r e em e t h o d st r e a tc o n v e c t i o n d o m i n a t e d d i f f u s i o nm i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a o v e rt h ep a s tf e wy e a r s ，as e r i e so fr e s e a r c hp a p e r sh a v eb e e n p u b l i s hc o n c e r n i n gt h el e a s t s q u a r e sf i n i t ee l e m e n t m e t h o d sf o r i n c o m p r e s s i b l ef l o w 3 2 3 4 t h ism e t h o di ss a m et om i x e df i n i t e e l e m e n t sm e t h o d ，w h ic hc a no b t a ina p p r o x i m a t i o nf o rf u n c t i o ni t s e lf 3 山东大学博士学位论文 a n df l u xw i t ht h es a m ec o n d i t i o nn u m b e ra tt h es a m et i m e ，r a t h e rt h a n b yp o s tp r o c e s s i n gi nt h es t a n d a r df o r m u l a t i o n b u tt h e r ea r et w o p r o b l e m s ：f i r s t l y ，a l g e b r a i cq u e s t i o nd e r i v e df r o mt h i sm e t h o di s n o ns y m m e t r yp o s i t i v e d e f i n i t eu s u a l l y s e c o n d l y ，t h em i x e df i n i t e e l e m e n ts p a c eh a v et o ，s a t i s f yl a d y z h e n s k a y ab a b u s k ab r e z z i ( l b b ) 3 5 r e q u i r e m e n t s t h i sh a sr e s t r i c t e dt h es e l e c t i o no fs p a c e s i n 3 6 ， a u t h o rh a d p o i n t e d o u tt h el s mc a no v e r c o m et h e s eo b s t a c l e l a d y z h e n s k a y ab a b u s k ab r e z z i ( l b b ) i sn o tn e c e s s a r yf o rt h i sm e t h o d ， s o ，i ti s pe a s yt o s e l e c ta p p r o x i m a t es p a c e s ，e v e np o l y n o m i a lo f d i f f e r e n tr a n kf o rf u n c t i o n a n di t sf l u x t h ea l g e b r a i ce q u a t i o n o b t a i n e di ss y m m e t r yp o s i t i r e d e f i n i t ee a s yt od e a lw i t h i nt h eb e h i n dp a r to ft h i sp a p e r ，w eu s ed y n a m i cf i n i t e m e t h o d 。 c h a r a c t e r i s t i c sf i n i t e 。e l e m e n tm e t h o da n dl e a s t s q u a r e sf i n i t e e l e m e n tm e t h o ds e p a r a t e l yt od i s c u s so n ek i n do fd i s p l a c e m e n tp r o b l e m i np o r o u sm e d i a a u t h o rh a ss o m ei n t e r e s ti nf i n a n c i a lm a t ha n dd o n ea1 i t t l e r e s e a r c h i n gw o r kd u r i n gt h ep h dp e r i o di ns h a n d o n gu n i v e r s i t y i n t h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yo n ek i n do fs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l p r o b l e mr i s i n gf r o mo n eo p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e m t h ew h o l ed i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nt h e c h a p t e r1 ， w ed i s c u s s e dt h ed i s p l a c e m e n to fo n e i n c o m p r e s s i b l ef l u i db ya n o t h e ri nd e f o r m a bl ep o r o u sm e d i a t h e s e c t i o n1d i s c u s s e d t h ef i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d sf o r o n e d i m e n s i o n a lm i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti nd e f o r m a b l ep o r o u sm e d i a ac o n v e r g e n c ea n a l y s i si sg i v e nf o rt h em e t h o d i ns e c t i o n2 ，w e e x t e n dt h eo n e d i m e n s i o n a lt ot w o d i m e n s i o n a lp r o b l e m ，f o rt h e s i m i l a r i t y 。w eg i v eab r i e fa n a l y s i s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s s e d t w o p h a s ei n c o m p r e s s i b l e f l o w i m m i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti nd e f o r m a b l e p o r o u sm e d i a w eg i v e t h e 4 山东大学博士学位论文 a p p r o x i m a t i o ns c h e m ea n dc o n v e r g e n c ea n a l y s i s t h e s er e s u l t sh a v e b e e ns u b m it t e d i nt h ec h a p t e r3 ，w ec o m b i n ed y n a m i cf i n i t e m e t h o d ，c h a r a c t e r i s t i c s f i n i t e e l e m e n tm e t h o de t c t ot r e a tc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o n m i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti n p o r o u sm e d i a w eg i v et h ea p p r o x i m a t i o n s c h e m ea n dc o n v e r g e n c ea n a l y s i s t h e s er e s u l t sh a v eb e e np u b l i s h e d i nt h ej o u r n a lo fs h a n d o n gu n i v e r s i t y ( n a t u r a ls c i e n c e ) i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s s e df u l l yd i s c r e t el e a s t s q u a r e sm i x e d f i n i t ee l e m e n t sm e t h o df o r t h em i s c i b l e d i s p l a c e m e n to fo n e i n c o m p r e s s i b l ef l u i db ya n o t h e ri nap o r o u sm e d i a w eu s el s mt o a p p r o x i m a t ep r e s s u r e ，f u l l yd i s c r e t e s t a n d a r dg a l e r k i nm e t h o df o r c o n c e n t r a t i o n ，b yi n t r o d u c i n gt h ee 1 1 i p t i cp r o j e c t i o n ，e r r o r e s t i m a t e sw i t ho p t i m a lr a t eo fc o n v e r g e n c ea r ed e r i v e d t h e s er e s u l t s h a v eb e e ns u b m i t t e d i nc h a p t e rs u p p l e m e n t ，w es t u d yo n ek i n do fs t o c h a s t i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mr i s i n gf r o mo n eo p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e m u s i n gt h ec l a s s i c a lc o n v e xv a r i a t i o n a lt e c h n i q u ew ed e r i v et h el o c a l n e c e s s a r yc o n d i t i o n c o m b i n i n gt h en e c e s s a r yc o n d i t i o nw i t had i r e c t c o n s t r u c t i o nm e t h o dw ed e t e r m i n et h ep o r t f o l i op r o b l e m t h e s er e s u l t h a v eb e e np u b l i s h e di nt h ej o u r n a lo fs h a n d o n gu n i v e r s i t y ( n a t u r a l s c i e n c e ) k e yw o r d s ：d e f o r m a b l ep o r o u sm e d i a ：d i f f e r e n c es c h e m e ；d y n a m i c f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ：m e t h o do f c h a r a c t e r i s t i c ：f u l l yd i s c r e t e 1 e a s t s q u a r e sf i n i t ee l e m e n t 5 山东大学博士学位论文 多孔及变形介质中混溶及非混溶驱动问题的数值方法 李志涛 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，山东，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 含有大量任意分布的彼此连通且形状各异、大小不一的孔隙的固体介质叫做多孔 介质 1 。按照不同的分类标准，多孔介质有多种分类方法。目前文献中常见的多孔介 质一般指针对于常规( 非异常高压浅层) 油藏。这类多孔介质孔隙度及渗透率一般视为 常数。 随着油田开发技术的提高，越来越多的深层油藏被开簏由于深层油气要承受很 高的压力和温度，在开发这些油田的过程中，储层要发生部分或全部的不可逆形变。 多孔介质具有了变形性质。我们称这类介质为变形介质。 对于般多孔介质中不可压缩流体驱动问题通常使用两种模型来描述 2 ：类认 为流体是完全混溶的，比如石油和混溶剂的流动模型。另一类认为流体是完全不混溶 的。比如石油和水的流动模型。描述这两类模型的微分方程有着非常类似地形式。通 常表现为耦合的非线性偏微分方程组，个是压力方程，形式为椭圆型，另一个为饱 和度方程，形式为抛物型。 若地层形变，会明显地影响这些油田动态的特征，若开发不当，会酿成极其不良 的结果，油井产能急剧地下降且无法恢复。对于介质具有变形性质的异常高压深层油 藏，其开发设计方法也不同于常规油藏特别是由于其渗流规律的非线性，使得不能 应用现行的液气渗流理论和油田开发理论来分析地层压力的动态。 实验研究表明 3 ，6 3 】，变形介质的渗透率随地层压力的变化程度是孔隙度的 5 1 5 倍，因此在高压作用下，渗透率的变化是非常大的，在矿场计算中不能忽略 渗透率的变化，而目前，多数矿场计算中，都假定渗透率是一个常数，地层参数中只 有孔隙度随压力呈线性变化，这显然与实际情况不符，往往会造成大的误差，甚至得 到面目全非的结果。吾甜门需要将一般的多空介质模型进行修正来描述变形介质中不可 压缩流体驱动问题。在文献 3 中，提出了描述变形介质油藏的渗流方程及开发的某 些方法。文献 3 ，4 ，5 1 对变形介质中非线性一弹性渗流理论进行了研究讨论了变形 6 山东大学博士学位论文 介质油藏开发的特征进行。在本文，我们把变形介质中流体驱动模型的岩石孔隙度及 渗透率视为压力的函数进行处理。在论文的前部分采用有限差分方法研究了变形介质 中的一维、= 维混溶及非混溶驱替问题。 多孔介质中流体驱动问题通常涉及到对流占优的扩散问题。对于解决对流占优的 扩散问题特征线法被证明是行之有效的 6 - 7 ，2 ，9 - 1 9 。误差估计以及数值实验显示 这种方法可以应用大时间划分，避免或减少通常的数值难题。特征线法结合有限元法 参见文献 6 ，9 】。 由于对流占优的扩散问题涉及到随时间变化的如水驱前沿的的局部激烈变化现象。所 以可以进步结合变网格有限元方法来处理e 2 0 。这种方法可以动态的加密或稀疏网 格调整基函数。数值结果证明这种方法对于解决这类闯题是有效的 2 1 - 3 1 。 混合有限元法已在许多文献中有报道。这种方法可以同时得到解及其梯度。考虑 到混合有限元方法的优势，以及特征有限元和变网格有限元方法在解决对流扩散问题 优势。我f 啊以结合这h 确叻弦来讨论多空介质对流占优的混流驱动问题。 在近来的几年里，陆续出现了一系列的文章来研究用最小二乘方法分析不可压缩 流体驱替问题 3 2 3 4 。这种方法与混合有限元方法样，能同时得到函数本身与通量 的相同阶的逼近，而不需要通过后处理计算函数迢近解梯度，然而，混合元方法所导 致的代数问题是一般不对称正定的，这增加了代数求解的难度，另方面混合元空间 还必须满足l a d y z h e n s k a y ab a b u s k ab r e z z i ( l 髓) 3 5 相容性条件，这给逼近空间的 选取带来了一定的限制性。在文 3 6 】中，作者已经明确指出，最小二乘混合元方法可 以克服这些不足，它不需要满足l b b 条件，因此可以灵活地选取逼近空间，甚至可以 分别取不同阶多项式逼近函数及其通量，而且最后得到的代数方程是对称正定的，便 于进行预条件迭代处理。 本文后部分将分别采用最小二乘有限元、特征有限元、变网格有限元方法讨论了 多孔介质的一类驱替问题。 作者在山大期间，对金融数学产生了兴趣，从事了一点金融数学领域的研究。在 本文最后章，作者讨论了一类在投资选择问题中产生的随机最优控制问题 全文共分五章。 第一章讨论了变形介质中不可压缩流体的混溶驱动问题。第一节针对维问题， 提出了变形介质中混溶驱动问题的有限差分格式，并给出了收敛性分析。第二节在第 山东大学博士学位论文 一节基础上推广到二维问题，给出了简要的分析。 第二章讨论了变形介质中两相不可压缩流体一维非混溶驱动问题，提出了变形介 质中两相不可压缩流体一维非混溶驱动问题的离散格式，并给出了误差估计。这些研 究结果已投稿。 第三章结合变网格和特征有限元方法来处理多孔介质中可混溶流体驱动模型问 题。提出了动态网格特征混合有限元格式，并给出了收敛性分析。这些研究结果己发 表在核心期刊山大学报( 理学版) 。 第四章研究了不可压缩混流驱动问题的全离散最小二乘混合元方法。该章利用最 小二乘混合元方法逼近压力方程，而用全离散标准g a l a k i n 方法逼近浓度方程，通过 引进椭圆投影进行误差分析，最后得到最优误差估计。这些研究结果已投稿。 附章作为独立的一章研究了一类在投资选择问题中产生的随机最优控 制问题，应用经典的凸变分技术得到了局部必要条件，结合必要条件和直 接构造的方法，解决了该最优投资选择问题。这些研究结果已发表在核心 期刊山大学报( 理学版) 。 离散 关键词：变形介质；差分格式；变网格；特征有限元方法；最小二乘混合元；全 8 山东大学博士学位论文 c h a p t e r1 f i n i r ed i f f e r e n c em e t h o d sf o rm i s g i b l e d i s p i a c e m e n ti nd e f o r m e dr e s e r v o ir 1 1i n t r o d u c t j o n t h ed e v e l o p m e n to fl o wp e r m e a b i l i t yr e s e r v o i rh a sb e c o m et h ei m p o r t a n t m e a s u r et oi n c r e a s eo i lp r o d u c t i o nh e n c e f o r t h d u r i n gt h ep r o c e s so f p r o d u c t i o n ，t h ed e e p - s e a t e dr e s e r v o i rb e a r sh i g hp r e s s u r ea n dh i g h t e m p e r a t u r e ，ap a r t i a lo rc o m p l e t ei r r e v e r s i b l ed e f o r m e di sg e n e r a t e d s o i th a sg r e a ts i g n i f i c a n c et os t u d yt h em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti n d e f o r m e dr e s e r v o i r t h em i s c i b l ed i s p l a c e m e n to fo n ei n c o m p r e s s i b l ef l u i db ya n o t h e ri n d e f o r m e dr e s e r v o i ri sm o d e l e db yan o n l i n e a rc o u p l e ds y s t e mo ft w op a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o n eo fe l l i p t i cf o r mf o rt h ep r e s s u r ea n dt h e o t h e ro fp a r a b o l i cf o r mf o rt h ec o n c e n t r a t i o no fo n eo ft h ef l u i d s m a n y p a p e r sh a v ed i s c u s s e dt h eo i1a n dg a sf l o wi nd e f o r m e dr e s e r v o i r 3 7 5 8 t h em o d e lo fd i s p l a c e m e n ti nd e f o r m e dr e s e r v o i rh a sb e e ng i v e ni n 6 4 i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v e nt h em o d e lo fm i s c i b l ed i s p l a c e m e n to fo n e i n c o m p r e s s i b l ef l u i db ya n o t h e ri nd e f o r m e dr e s e r v o i r a tt h es a m et i m e ， w ed i s c r e t i z e 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