（计算数学专业论文）平板弯曲问题的瀑布型多重网格算法.pdf

摘要 ， f 本文的主要讨论了平板弯曲问题的瀑布型多重网格方法。 瀑布型多重网格方法是最近发展起来的偏微分方程数值方法。跟一般的多重 网格相比，瀑布型多重网格方法，不需要粗网格矫正。一个显著的特征是，瀑布 型多重网格算法在粗网格迭代更多次数，而在细网格迭代较少的次数，以此来减 少工作量。在文章【l 】中，b o n t e m a n n 和d e u f l h a r d 已经对二维情形的二阶问题 给出了瀑布型的多重网格方法，并证明了采用共轭梯度法作为光滑算子时，方法 具有有限元精度且具有最优的计算复杂度。对于其他的光滑算子例如，j a c o b i ， g a u s s s e i d e l 及r i c h a r d s o n ，此方法虽然具有有限元精度，但不具备最优计算复 杂度。对二维情形的四阶问题的，石钟慈和许学军在文章f 1 3 1 对于m o r l e y 元讨 论了瀑布型的多重网格方法。户一一7 一 ， ，一。 本文的主要正作是，讨论了平板弯曲问题( 四阶问题) 的瀑布型多重网格方 法。9 戈们在第1 层( f = 1 ，2 ，三一1 ) 上采用了p o w e n s a b i n 元，在第z 层上采用 t r u n c 元j 本文证明当迭代方法采用了共轭梯度法时，方法具有有限元精度， 且有近似最优的计算的复杂度。对于其他的光滑算子( 例如j a c c ，b i ，g a u s s s e i d e l 及r i c h a r d s o n ，) 此方法虽然是精确的，但不具备最优计算复杂度。并且给出数值 算例验证了理论的正确性。 关键词：平板弯曲问题，有限元方法，瀑布型多重网格方法。 中图法分类号：0 2 4 1 8 2 a b s t r a c t w ed i s c u s st h ec a s c a d i cm u l t i f i dm e t h o df o rp l a t eb e n d i n gp r o b l e m t h ec a s c a c d i cn m l t i g r i dm e t h o di sa r e c e n t l ye m e r g e dp d e n m n e r i c a lm e t h o d i n c o n t r a s tt ot h et r a d i t i o n a lm u l t i g r i dm e t h o d ，c a s c a d i cm l l l t i g r i dm e t h o dd on o tu s et h e c o a r s eg r i dc o r r e c t i o n i nf 1 ，b o r n e m a i ma n dd e u f l h a r d l a v ep r o v e dt h a tt h ec a s c a d i c m u l t i g r i dm e t h o df o rt h es e c o n d - o r d e rp r o b l e m f o rt h et w o d i m e n s i o n a lc a s e ，w h i c hi s a c c u r a t ea n dh a st h eo p t i m a lc o m p l e x i t yo ft h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o da ss m o o t h e r a n dt h en e a r o p t i m a lc o m p l e x i t yo f o t h e rc o n v e n t i o n a lo n es t e pi t e r a t i v es m o o t h e r s ，v i z ， t h e a c o b i ，g a u s s - s e i d e l ，a n dr i c h d s o nm e t h o d s a st of o u r o r d e rp r o b l e mf o rt h et w o d i m e n s i o n a lc a s e ，z s i f ta n dx j x uh a v ee x t e n d e dt h ec a s c a d i em e t h o di n f 8 1 ，w h i c h u s e st l l em o r l e ye l e m e n ta n dt h ec o n j u g a t eg r a d i e n ta st h eb a s i cs m o o t h e r i nt h i sp a p e r ，w eg i v eac a s c a d i cm e t h o df o rap l a t eb e n d i n gp r o b l e m ，w h i c hu s e s t h ep o w e l l - s a b i ne l e m e n to i ll e v e lf ，f = l ，2 ，l 一1 ，a n dt h et r u n ce l e m e n to nl e v e l 三w ep r o v et h a to u rc a s c a d i cm e t h o dl e a d st oo n l yn e a r o p t i m a lc o m p l e x i t y ，w h e r e a s a l lt h eo t h e rc o n v e n t i o n a ls m o o t h e r sc a n n o tb eu s e da ta 1 1 k e yw o r d s ：c a s c a d i cn m l t i g r i d ，f i n i t ee l e m e n t ，p l a t eb e n d i n gp r o h l e m 2 、 l 引言 1 1 综述 在工程中有广泛应用的板壳结构，由于它在几何上由一个方向的尺度比其他 方向小得多的特点，在结构力学中引入了一定的假设，使之简化为二维问题这 种简化不仅是为了便于用解析方法求解，而且从数值求解角度考虑也是必要的， 它可以使计算费用得到很大的缩减，同时也可以避免因求解系数矩阵的元素间相 差过大而造成的困难 通过数学方法，可以建立板问题的偏微分方程该方程为一四阶椭圆形方 程有限元方法方法是求解这一方程的强有力方法由于由有限元方法形成的刚 度阵的条件数为o ( h “) ( h 为有限元网格直径) ，因此必须应用预处理技术在本文 中，我们考虑瀑布型多重网格方法这种方法是一种多水平的计算方法，利用它 可以得到与有限元解同样精度的迭代解与一般的多重网格方法相比瀑布型多 重网格方法，不需要粗网格矫正，为一单向的多重网格方法。瀑布型多重网格算 法在粗网格迭代更多次数。而在细网格迭代较少的次数以此来减少工作量。在 文章【1 】中b o r n e m a l m 和d e u f l h a r d 已经对二维情形的二阶问题给出了瀑布型的 多重网格方法，并证明了采用共轭梯度法作为光滑算子时，方法具有有限元精度 且具有最优的计算复杂度。对于其他的光滑算子，例如j a c o b i ，g a u s s s e i d e l 及 r i c h a r d s o n 此方法虽然具有有限元精度，但不具备最优计算复杂度。对二维情 形的四阶问题的，石钟慈和许学军在文章【1 3 对于m o r l e y 元讨论了瀑布型的多 重网格方法并且证明了采用共轭梯度法作为光滑算子时，方法具有有限元精度 且具有近似最优的计算复杂度。对于其他的光滑算子，例如，j a c o b i ，g a u s s s e i d e l 及r i c h a r d s o n ，此方法虽然具有有限元精度，但不具备近似最优计算复杂度 本文讨论了平板弯曲问题( 四阶问题) 的瀑布型多重网格方法。我们在第f 层 ( f 1 ，2 ，三一1 ) 上采用了p o w e u s a b i n 元，在第三层上采用t r u n c 元。在第一 章我们给出了四阶问题，t r u n c 元及p o w e m s a b i n 元的定义在第二章给出了 瀑布型多重网格方法，并证明当迭代方法采用了共轭梯度法时，方法具有有限元 精度，且有近似最优的计算的复杂度。对于其他的光滑算子，例如，j a c o b i ，g a u s s s e i d e l 及r i c h a r d s o n ，此方法虽然具有有限元精度，但不具备最优计算复杂度。 最后，给出数值算例验证了理论的正确性 3 1 2 函数空间 这一节我们定义一些函数空间。如果s 且，那么r ( 5 ) 表示在s 上次数最多不 超过n 的多项式函数的集合。吩( q ) 为三r ( q ) 且直到女阶导数也属于l j , ( n ) 的函数全体。在啡( n ) 上的范数定义为 陋蚪，= 乳屹咖，r o 。 t 1 1 , l l w l ( n ) 2 熙咿“i j 州 】) ， 这里_ 1 1 表示标准的l v 范数， l f “j | c 。n ，= zf “f r a x ) 1 7 ”，p o 。， i p ( n ) = e s ss u pi ，( ) l o j 在w 蛮( n ) 上的半范定义为 h 州= 胁训。r “ 和 删曼( n ) 2 罱到泸“怯( 1 1 ) 对于p = 2 ，记h ( n ) = 孵( n ) 。 1 3 共轭梯度方法 共轭梯度法( 简称c g 方法) 是五十年代初由h e s t e n e s 与s t i e f e l 提出的解线性方 程组的新迭代法。当不计舍入误差时，该法在有限次迭代后得到精确解。故c g 方法刚出现时，颇受关注。但是由于实际计算中舍入误差难于避免，此法消声匿 迹多年，直到七十年代由于预处理技术的提出才广为使用。至今，预处理共轭梯 度方法已成为解大型稀疏方程组的记为有效的方法。 下面给出经典共轭梯度方法： ( a ) 任意给定初始z o ，g o = a z o 一6 ，d o ：一口0 ，i ：0 ( b ) 计算 ( g k , 扩) ( a d ，d ) z k + v k d b g + r k a 驴 ( g k + l , g 1 ) ( g k , 扩) 一g + 1 + 凤 ( c ) 置k = k + 1 ，返回( b ) 经过k 步迭代后，其误差在能量范数下递减 1 1 z - x k i | 一2 ( 黼) “l i z z 川l 。 这里k ( a ) 是a 的条件数。 5 = = = = = k 1 1 1 r + + p + b g d 2 板问题，t r u n c 元及p o w e l l s a b i n 元 2 1 板问题简介 设n 是r 2 上的一个凸多角型区域，板问题方程为如下四阶椭圆方程： - - a 奏鬈砷i n n 皿， 1 “：嘉：o ，砷n 掣l u 上述方程的等价变分形式为：给定l 2 ( n ) 上的，找“瑶( n ) 满足 a ( u ，”) = ( ， 口) v v 瑶( n )( 2 12 ) 其中 n ( u ，”) = f n ( a u a v + ( ， r ( ， v ) = f v d x j n 这里0 口 1 2 是泊松比。 对变分形式a ( u ，v ) ，我们有性质【6 ： 瓦0 2 u 两o - v ) 1 0 捌y俨z ：2 2 1 i ( 2 13 ) ( 2 1 4 ) 口( “， ) c1 t 1 2 2v u ，口硪( n )( 2 1 5 ) v v h o ：( n )( 2 1 6 ) 问题( 2 1 2 ) 有唯一解u 瑶( n ) 。表示日2 ( n ) 空间上的半范数。 我们对问题( 2 1 2 ) 作如下正则性假设： 训1 3 c i l l l l 一。 ( 2 1 7 ) 当n 为一多角型区域时，文献【2 】中证明。对任意的，h “( n ) = ( 础( n ) ) ， 变分问题存在唯一解 u 日3 ( n ) n 瑶( n )( 2 1 8 ) 6 2 2 区域剖分 为对变分问题进行有限元离散，我们先对区域进行剖分。 圈一 我们对n 区域进行拟一致剖分，共分为n 。个三角形区域，满足 n = u k ( 2 2 9 ) 网格直径h 。是所有三角形中网格直径的最大值。如果我们用r 。来标识第1 层上的剖分的话，通过连接r 上三角形的中点，我们可以得到下一层上的剖分 r 2 ，其也是n 区域上的拟一致剖分。类似地可得第工层( l l l 1 ) 上的剖 分r f 。其网格大小满足h l = h 1 2 1 - 2 。在第上层上的剖分n ，并不在加细，所以 其与r l 一1 时一样的。 在每一层上f = 1 ，2 ，上，我们定义变分形式： 州叩，= 磊，厶 a u a v + c - 叫c z 鑫焘一筹崧一是啬，) 如 ( 2 2 1 0 ) 及 啡l _ 呱k ，i = l ，2 ( 2 21 1 ) 在本文中，c ，c 是独立于乜和层数z ( 1 = i ，2 ，三一1 ) 的正常数。 7 2 3 t r u n c 有限元 t r u n c 元为一非协调元，其函数形式和广为大家熟悉的z i e n k i e w i c z 元相 同。由于z i e n k i e w i c z 元只有在其三条边平行与同三个给定方向时，其才会收敛到 真解( 详见参考文献【8 ，1 4 ) 。t r u n c 元通过修改变分形式，取消了这种冈格 上的限制。其计算复杂性也要比很多板元要好。下面我们给出其数学表达：任意 给定三角形k ，其顶点记为p i = ( z i ，歌) ，在三角形上我们使用面积坐标凡，定义 f 1 2z 2 一0 3 】 q 1 2y 2 一蜘， f 22x 3 2 i 啦= y 3 一y l ， f 3 = 0 1 2 2 叼3 = y l 一掣2 圈二 使用结点函数值和导数值( t ) i ，。( ) ，”，( t ) ，i = 1 ，2 ，3 ) 我们可以构造多项式 “= 订+ t 这里 面 = a l , x l + 8 2 a 2 + a 3 ) l 3 + 。4 a l a 2 + a 5 2 a 3 + 0 6 a 1 a 3 ， u 7 = 口7 ( a a 2 一a l ；) + 口8 ( a ；a 3 一a 2 a j ) + n 。( a ；a 1 一a 3 a ；) a i = w i ，i = 1 ，2 ，3 ， 锄 = 一； ( t ( 1 ) 一”。( 2 ) ) 如+ ( ”。( 1 ) 一。( 2 ) ) ，7 3 8 a 5 = n c = a 7 = a 8 = a 8 = 一； ( ( 2 ) 一( 3 ) 海+ ( 蛳( 2 ) 一w d 3 ) ) 训 一；【( 删。( 3 ) 一”。( 1 ) ) f 2 + ( w 。( 1 ) 一叫。( 2 ) ) 叮2 3 ”，( 2 ) ) 啦】 叫”( 3 ) ) 叼l 】 w 。( 1 ) ) 珊】 我们用圪cc o ( n ) 来表示剖分r l 上的函数空间 在参考文献【1 1 中，我们注意到，在第五层上对方程( 2 1 2 ) 的t r u n c 元 逼近为，找n v l 满足 b l ( u l ，l l ) = ( ，v t ) ，v v l 比 ( 2 3 1 2 ) 这里 b l ( u ，u ) = a l ( u ，i ) - 1 - a l ( u 7 ， ) 参考文献 1 1 中证明方程2 3 1 2 存在唯一解毗圪。我们定义算子a l 圪一v l ： ( a l u ， ) = b l ( t t ， ) v u ，v 圪 则( 2 3 1 2 ) 可以记作a l u l = 丸，这里丸v l ，( f t ，v ) = ，( u ) ，”圪。 在参考文献【1 1 】中，石钟慈教授，已经证明，t r u n c 元的h 2 半范和l 2 范 数的误差估计。在本文中，由于证明瀑布型多重网格方法的需要，我们引入了日 半范的误差估计。 定理2 3 1 假设求解区域为一多角型区域及有限元逆不等式成立，再设u l 是 方程( 2 3 1 2 ) 在t r u n c 元空间圪上的解，则有如下结论成立： u u l | 1 l g _ i l zi u l 3( 2 3 1 3 ) 证明：类似与参考文献 1 1 】中引理3 1 1 的证明。 使用对偶论证法，由定义： i u u l i l ，l = 8 磐l ( u 一“l ，g ) l 川圳一1 ( 2 3 1 4 ) 0 6 h _ 1 ( n ) 这里g 日一1 ( n ) = ( 凰1 ) 7 。 9 1 2 3 ，； ” 埘 w 似 ，； + + + 3 l 1 f f f、；、； 2 3 1 ，； z z 埘 研 一 一 一 、； 1 2 3 ，； z o z 叫 叫 w ，； 121212 一 一 一 1 毗 虮 一 一 一 1 2 3 计 毗 设t ，是如下问题的解： i 一2 ”= 9 ，i n n 【 = 嘉= 0 ，o n 8 f 2 由正则性假设，n 为一多角型区域，我们有 1 3 c i i g i i 。 使用g a u s s i a n 公式得到， ( “l ，g ) = ( “一 u l ，2 ) = o l ( t l u l ， ) 一e l ( v ，t t t l l ) 这里 e l ( “，w ) e 2 ( u ，w ) e 3 ( u ，) ( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) e 2 ( v ，u 一l ) 一e 3 ( v ，“一o k 3 1 8 ) 萎上k m _ ( 1 ) o 。1 uo 。w 如 莓加叫袅挚 善z 。等础 考虑到”在所有的单元上是连续的，我们有 ( u 一“厶，g ) = a l ( u 一“l ， ) 一e 1 ( ”，“一“l ) 再次使用g a u s s i a n 公式， a l ( u - l ，”：) = e l ( 瓦， ：) + e 2 ( 可- ，u ：) 注意到”：在单元顶点上为零，我们得到 e 2 ( f f i , v ：) = 0 ，n l ( 瓦，”：) = e 1 ( 豇r ，口：) 对任意的v l 圪， a l ( u ，v l ) = a l ( u ，v l ) 一口l ( “l ，v l ) = a l ( u ， l ) 一( ，札) 一n l ( 瓦， ：) 一a l ( u ：，瓦) = e 1 ( u ，t j l ) 一e t ( 矸l l ，口：) 一e 1 ( 可r ，u ：) = e l ( u ，”l 一 ) 一日( 瓦，”：) 一e 。( 瓦，u ：) 1 0 ( 2 3 1 9 ) ( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) ( 2 3 2 2 ) 所以 a l ( u u l ， 一v l ) + e l ( u ，v l + 曰l ( ”，u l u ) 一e 1 ( 瓦，u ：) a l ( u u l ， 一v l ) + e l ( u ，瓦 + z i ( v ，瓦一u ) + e l ( v 一瓦，“l ) 参考文献 1 3 中的定理3 1 2 中已经证明 l a l ( u u l ， 一v h 】 i e l ( u ，瓦一 ) e 1 ( u u c ，u ：) 1 e i ( v ，瓦一“) l e l ( ”一面，u ：) 注意到( 2 3 1 6 ) ，我们得到 i a l ( u u l ，口一”l ) l f e l ( u ，瓦一。) e l ( u ，瓦一v ) i i e l ( u u 圳：) l i e ，( ”一瓦，u 圳 ) 一e i ( 豇l ，吧)( 2 32 3 ) c h 2 m 3 l 川3l( 2 3 2 4 ) c h 2 1 u 1 3 l m 3 l c h 2 j “j 3 l 川3 l c h 2 i u l 3 l m 3 l c h 2 3 l 川3l c h 2 i “1 3l1 1 9 1 1 一。( 2 3 2 5 ) c h 2 3 l m l - 1 c h 2 l i l g l l 一1 墨c h 2 l i i g l 一1 c h 2 正i l g l l l 将不等式( 2 3 2 3 ) 和( 2 3 2 5 ) 带入( 2 3 1 4 ) ，定理得证。 2 4p o w e l l s a b i n 元 协调型p o w e u - s a b i n 元为一c 1 型分片二次多项式。为构造c 1 型插值，我们 将三角单元分为多个小三角形( 见参考文献【1 0 】) 。如果三角单元的所有内角的 角度小于7 5 度，我们可以将三角形的外心与三角单元顶点和各边中点相连接， 这样分为6 个小三角形。如图三所示。 如取消上述单元角度上的限制，我们可以将其细分为十二个三角形，如图四 所示我们将三角形的顶点和各边中点相互连接。运用b e r n s t e i n b e z i e r 曲面来构 造插值函数，具体构造方法见参考文献 4 ，7 1 。 设cc 1 ( q ) 是剖分r f ，( f _ l ，2 ，l 一1 ) 上的p o w e u s a b i n 有限元空间。 多迨 圈三 夕 众锶 一 l 1 圈四 我们注意到m 一1cm f o rf = 2 ，工一l 。 对f i 1 ，2 ，三一1 ，我们有如下结论( 见参考文献1 6 】) ( 1 ) 口l ( u ，v ) c i u l 2 2v u ， m ( 2 ) 口l ( u ，v ) c m 2v v v 不难验证，f 是上的范数。 方程( 2 1 ，2 ) 的有限元逼近为，求u m 满足 ( 2 4 2 6 ) ( 2 4 2 7 ) a f ( ，q ) = ( ，) ，v ( 24 2 8 ) 1 2 不难验证存在唯一解u f 。 我们定义算子a l ：一m ： ( a t u ，口) = a l ( u ，口) v t ， e ( 2 4 2 9 ) 则( 24 2 8 ) 能够表述为 a t u t = 这里，f ，满足( ，l ，口) = ，( ”) ，v “i ( 2 43 0 ) 定理2 4 1 p o w e l l s a b i n 元空间一= l ，2 ，l 一1 j 上方程( j 1 1 ) 解设为i t i 我们有如下结论成立 u q 1 1 f c h i “1 3 证明：第一个结论可在参考文献 6 中得到。由第一个不等式a u l ) i n l n i t c l 、e 技 巧，第二个不等式得证。 使用标准逼近性质 6 】我们得到 定理2 4 2 设”是剖分r l 上的有限元空间m 插值算子，对任意的”打。( q ) 2 ( 1 ) h m r l v “c h m 。 i = 0 1 ( 2 ) h m r l v 汹，sc h i = o 这里呲刮2 黼1 w l t 。耳v ”。 1 3 扎 弛 4 4 犯 但 3 瀑布型多重网格方法 3 1 算法与收敛性分析 现在我们对利用p o w e l l - s a b i n 元和t r u n c 元对板问题建立瀑布型多重网格 方法 注意到，一ic ，f o r ，= 2 ，3 ，1 3 现在，我们定义恒等算子 局：v t 一1h p f “= u ，t m 一1 o rf = 2 ，3 ，一1 由于圪，圪，我们必须选择合适的算子 ：v c 。l 一圪 ( 3 1 3 3 ) 对任意的”圪一1 ，我们定义如下网格转移算子，：屹一，i ，r l ， ( 1 ) 在剖分r l 中拥上的顶点p ，j ( p ) = 1 5 掣= 0 ，= 1 2 。 ( 2 ) h , ( a 1 ) = 口( n ，) ( 3 ) 瓣( q ) = 舞( 啦) ，女= 1 ，2 这里q ，ls i s 3 ，为k 如的壤点。 引理3 1 1 对任意的v m 和k r f ，f = 1 ，工 ( 1 ) 1 1 畦耳兰h 2 查”2 ( + 屹舌2 善3 ( 棼( 叫) 2 ( 2 ) 呲p ；至。( ”( q ) 一”( q ) ) 2 + 2 量善( 爱( 埘 ( 3 1 3 4 ) t j = l = 1 = 1 o ( 3 ) 呲k 兰喜妻( 爱( 叫一筹( 叫) 2 证明： 使用s c a l i n g 技巧f 6 容易验证( 1 ) 成立对于( 2 ) ，由( 1 ) 和逆不等式，我们 有 = l 一u ( 口1 ) i ：耳 c h ；2f f 一v ( a 1 ) f f ：k r3 c h 2 2j 屹( ”( 啦) li = 1 1 4 1引j n 盟 。： 砭 + 炉 n 再使用t a y l o r 公式和逆不等式 小川2 埘善2 蚤3 ( 老h ) ) 2 墨啦川：烈蚓嗽( 3 1 3 5 ) 我们得到( 2 ) 。 现在证明( 3 ) 。设”为”的线性插值，则使用( 1 ) 及逆不等式 = h 鲫二4 卜刊：e 喜塞t 象， 再使用插值误差估计和逆不等式，我们得到 喜辩o v 。( 引一私， - _ c h l 4 忡 式子( 3 ) 得证。一 引理3 1 2对阚格转移算子f 有如下结论成立 ( 3 13 6 ) ( 3 13 7 ) i v ；l 茎c l l 咖v l 一1 i = 0 ，1 ，2 ( 3 13 8 ) 证明： 由引理3 1 1 中的( 1 ) ，( 2 ) 和j 的定义，容易验证对i = 0 ，1 时 等式成立。现证明当i = 2 时不等式也成立。 我们定义妒ii v 一( j ”) 7 ，则由引理3 1 1 中的( 3 ) ， h 叫已= 熹( 差( n 1 ) ) 2 + ( 芒( 嘞n ( 罄( 瞄) 2 这里( j ”) 。是r l 上的线性插值i v 。 由，的定义以及 ( h ) 7 = u 。v l 一1 我们有 1 5 我们有如上不 ( 3 1 3 9 ) ( 3 1 4 0 ) 。姐 则 一 且 同样的 = | 筹汹卜掣， = i 等卜筹 g ：2 卜”刈。 c 川2 耳 苦) f s 呲， 差) | 呲k ，口2 k c 1 2 k 设 壁。a n d 仍) 兰，是山的特征值和相应的单位特征向量 这里如是k r o n e c k e r 积。 令 对任意的q ( 3 1 4 1 ) a t _ ，o j = a g l i p j ，j = 1 ，2 ，n l( 3 1 4 2 ) ( 雠，仍) = 6 “ m a ；7 2 ”= a ；7 2 c j l ，o j 现在我们定义空间m 上的范数 “：= ( a ；7 2 v ，”) 1 2 注意到”，为v k 上的连续线性插值。 使用【1 3 中同样的方法，我们有如下的引理： 1 6 ( 3 1 4 3 ) ( 3 1 4 4 ) ( 3 1 4 5 ) ( 3 1 4 6 ) 引理3 1 3 对任意的”e ，我们有 i i v l l l , l gi v l l f ( 31 4 7 ) 我们使用e l ：一来表示f 水平上的迭代过程。g ；”表示l 水平上的迭 代算子m 步迭代，则瀑布型多重网格方法可以表述为： 瀑布型多重网格方法 ( 1 ) 我们令“3 = “；= 。设 u = p l u lf o r l = 2 ，3 ，上一1 “y = 五“己1 f o rl = 五， ( 2 ) 对l = 1 ，2 ，上 u = q ”u ? ( 3 ) 我们令 u 卜“p 正如【lj 中所述，我们称瀑布型多重网格方法在l 层上是景优的 能够同时得到类似与有限元精度的迭代精度 如果我们 和多重网格的计算复杂度 工作量= o ( n z ) 假设迭代过程q “满足条件： ( h ) 存在算子丑：k m 满足 及 这里7 唯一正常数 u l 一卵u i 万”( u ru 魄。 忖咄，。sc 声h - 1 俐1 v v ei ，j ( 3 1 5 1 ) i l 可”口1 1 v 1 1 2 j v v ( 3 - 1 5 4 ) 1 7 诣 的 l l 3 3 弛 船 l 1 p 0 引理3 1 4 设“f 是方程2 ；2 8 在空间中的解，这里1 = 1 ，2 ，l 一1 ，则 一 嘶一p i n t 一1h c h fi i f l l o ( 3 1 s s ) 证明：i r “是真解，由定理2 4 1 和正则性假设 “j p l u l 一1 1 1 i i “一 1 1 1 f + i u p z u l 一1 l l f c h | | ，i l o + i p z ( u 一一1 ) i l f s c h i | ，i l o + l “一u ? 一1 1 f _ 1 c h | u 1 3 c h 孙刑( ， 引理3 1 5 对任意的”3 ( n ) n 瑶( n ) ， 2 屹 d r l 一1 一r r l v i “兰e 2i v l 3 ( 3 1 5 6 ) i = n 证明：对任意的k r l ，由引理3 1 1 g h 羔( 1 p 2 ( a 1 ) + l p 2 ( a 2 ) + 妒2 ( n 3 ) ) + 观k 壹= l 等( 刚) + ( 老( n ( 磬( n 这里妒三i r e l 一1 一7 f l y 。 由j 的定义， 类似的 _ ，o ( a a ) =， r l l l ( a 1 ) 一”l ”( a 1 ) = ”l l l j ( a 1 ) 一 ( a 1 ) = v ( a a ) 一v ( a 1 ) = 0 _ p ( n 2 ) = 0 1 8 ( 3 15 7 ) 一 而且 类似 综合上述不等式，我们有 妒( 口3 ) = 0 l 等h ) - 等h ) 等h 卜老h i ，r l 一1 u 一 1 。o k s 1 ”l 一1 v 一 1 1 yk s 1 7 r l 一1 u 一 1 1 。 r s 1 7 r l 一1 一 1 1 、k i t l 一1 v 一 1 1 。k l r l 一1 一 1 1 a r ( 3 1 5 8 ) 霄l 一1 一丌l v | | o o 。耳e 磕i 口一f l y 1 。k ( 3 1 5 9 ) 对每一个k ，我们有 j 7 r l 一1 一，f l u i l o k c h li u 一九uj 1 xk( 3 1 6 0 ) 综合所有的k 耽一。并使用定理2 4 2 我们得到 应用逆不等式 l j f l 一1 一r l v 1 l c h l 3 l i r l 一1 一r l v 2 l c h l 川3 1 9 m 韶 却一慨如丽却|c喜如一却瓦 k*1 u l l 霄一 3 ” 2 l 3 l 危 c e 一 一 c0 口 l 霄一 l l 丌f 引理3 1 6 设“l 是方程2 3 1 2 在空间圪上的解，我们有 l u l l u l 一1 1 1 l e 2i l f l o( 3 1 6 1 ) 证明：实际上由定理2 3 1 及2 4 1 ， u l i u l 一1 1 1 ，l l “l u f l ，l + l “一7 f l u l ll + i 丌l t 一i u l 一1 1 1l s e 2 ( i j 3 l + g 三i 札1 3 + 1 7 r l “一“l 一1 1 1 工 g 磕l u l 3 ，l + 1 7 r l “一i u l 一1 1 1l s e l l ，l l o + l f l “一l u l 一1 i ll 再由引理3 1 2 及引理3 1 5 l 7 r l u i t r l 一1 u | 1 l + l ( 7 r l 一1 u u l 一1 ) 1 1l e 砣i u l 3 + c1 丌l 一1 “札l 一1 1 1 l 一1 s ( ? 2 i u l 3 + c l f l 一1 “一u l ll 一1 + ( ? i “一i z l - l j l ，l l o 2 1 1 1 1 1 。 综合上述不等式，我们完成证明。 一 定理3 1 1 对使用t r u n c 元和p o w e u s a b i n 元的瀑布型多重网格算法，有 i “l - - u ：1 2 , l 1 6 时有最优精度但是由定理 242 我们在此种情况下并不能得到最优或近似最优的计算复杂度。最优或近似 景优的计算复杂度要求卢 4 或者卢= 4 ，而此时正如定理24 2 ，我们的精度不 能保证了。 所以我们有如下定理： 定理3 2 1 使用t r u n c 元及p o w e l l s a b i n 元的解板问题的瀑布型多重网格方法 不能使用r i c h a r d s o n ，j a c o b i ，及对称g s 迭代方法。 3 3 共轭梯度法 假设u r 是第f 层上共轭梯度法的初值，e p “p 是共轭梯度法的m f 步迭代。共轭 梯度法的的误差可以表示成： 卜一铲“2 ，。嘎。) 。m 沁，魄： ( s s t z ) 这里尸矗，表示多项式集合p ，其次数为p m f ( s e e 3 】) 类似于【1 】中的定理2 2 的证明，我们有引理 引理3 3 1 存在线性算子丑p t 。，= m ( a ) ，满足 ( 1 ) 渺叱。e 羔忡0 铷e m ( 2 ) | 甲。m l 俐：，f v ”m 这里咖a 。p 矗，以。( o ) = 1 由参考文献 1 3 1 ，我们有 引理3 3 2 如果我们使用共轭梯度法作为光滑算子，则条件阻，当7 = 1 2 满 足。 定理3 3 1 如果我们使用共轭梯度法作为光滑算子，则第上层上的迭代数为 ( 33 7 3 ) 瀑布型多重网格方法的误差为 i u i 一“弛! se 岛【】( 3 鱼7 4 ) m 。 算法复杂度为 ( 3 3 7 5 ) 结论：使用t r u n c 元及p o w e l l s a b i n 元解板问题的瀑布型多重网格方法 具有有限元计算精度及近似最优的计算复杂度。 2 4 3 l 札 g b l “ n mc nm 。h 4 数值试验 在本章中，我们用算例来说明我们的结果 我们的算法是利用p e t s c s2 0 2 8 软件包在s g i5 4 0 上用a n s ic 实现的计 算过程中我们采用了e b e 1 s 】技术 设n 为矩形区域【0 ，1 】+ 【0 ，1 】，我们将此区域进行米字型剖分，如图所示； 。 图五 然后，可根据需要通过连接三角形各边中点来得到我们的初始剖分 设连续问题的真解为： 我们在粗网格上使用的是1 2 片p o w e u s a b i n 元 设u 7 为u 的t r u n c 元插值，我们用真解和迭代解的日：半范计算误差 当m ，= 1o , l = 5 ，计算结果如下表： 最细一层网格自由度数目日2 半范 1 6 1 68 6 700 0 2 0 9 0 4 6 9 5 8 8 2 3 7 | 3 2 3 23 2 6 70 0 0 1 2 8 1 4 2 9 3 2 2 9 0 3 6 4 十6 41 2 6 7 500 0 0 7 4 8 11 4 1 5 5 1 9 0 1 2 8 女1 2 84 9 9 2 30 0 0 0 4 6 3 2 5 8 0 9 0 2 6 2 当= 2 0 ，l = 5 ，计算结果如下表 最细一层网格自由度数目日2 半范 1 6 1 68 6 70 0 0 18 17 5 9 6 6 8 6 0 6 0 3 2 3 23 2 6 70 0 0 0 8 6 8 3 5 7 6 5 1 1 0 2 6 4 6 41 2 6 7 50 0 0 0 6 0 0 3 8 7 3 8 3 3 3 8 5 1 2 8 + 1 2 84 9 9 2 30 0 0 0 3 6 8 8 3 7 6 3 7 5 6 1 当m ，= 4 0 ，三= 5 ，计算结果如下表 最细一层网格自由度数目日2 半范 1 6 十1 68 6 70 0 0 1 6 8 2 5 8 9 3 8 1 4 7 2 3 2 3 23 2 6 70 0 0 0 7 3 7 3 4 1 2 5 3 5 3 7 6 4 6 41 2 6 7 500 0 0 3 8 5 3 3 9 4 7 9 8 8 1 1 2 8 1 2 84 9 9 2 30 0 0 0 2 7 6 0 1 7 3 1 9 1 3 6 当m ，= 6 0 ，工= 5 ，计算结果如下表 最细一层网格自由度数日口2 半范 1 6 1 68 6 70 0 0 1 6 4 7 8 2 7 5 3 4 0 9 8 3 2 3 23 2 6 70 0 0 0 7 2 4 7 9 4 4 2 3 5 9 4 6 4 6 41 2 6