（计算数学专业论文）梁模型反问题研究.pdf

上海交通大学硕士学位论文 梁模型反问题研究 摘要 梁是工程弹性结构的基本要件，对它在外力作用下的弯曲行为高 _ - 一 效数值模拟( 正问题) ，以及根据变形确定外力( 反问题) 是计算数学、弹 性力学及工程领域中有理论意义和实用价值的问题。其中正问题有比 较成熟的理论结果和求解算法。本论文拟对梁弯曲的一个反问题进行 深入的理论分析和研究、设计适当的算法进行数值模拟并进行数值分 析。 i 对于所研究的反问题我们提供了两类有效的数值求解方法，其关 键之处都是正规化方法。第一类方法是基于有限元的正规化方法，正 规化项包含函数的r 范数或其一阶导数的p 范数，或两者兼而有之。 另一种方法是基于解的积分表示的正规化方法。我们对这两类方法都 进行了严格的数值理论分析。最后本文通过一系列的数值实验验证 ， 了两种算法的有效性和可靠性。) 关键词反问题、正规化方法、有限元法 上海交通大学硕士学位论文 i n v e r s ep r o b l e mf o rb e a mb e n d i n g a b s t r a c t e l a s t i cb e a m sa r et h eb a s i cc o m p o n e n t so ft h ee l a s t i cm u l t i s t r u c t u r e si n e n g i n e e r i n g i ti s o ft h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a li m p o r t a n c ei nt h ef i e l d so fn u m e r i c a l a n a l y s i s ，e l a s t i cm e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n gt op r o v i d et h ee f f i c i e n ta l g o r i t h m st o c o m p u t et h eb e a m sd e f o r m a t i o nu n d e rt h ea p p l i e df o r c e ( d i r e c tp r o b l e m ) a n dt o c o m p u t e t h e a p p l i e d f o r c e a c c o r d i n g t ot h ed e f o r m a t i o nd a t a t h e r ea r er i c h t h e o r e t i c a lr e s u l t sa n dn u m e r i c a la l g o r i t h m sf o rt h ed i r e c tp r o b l e mu pt on o w i nt h i s t h e s i s ，a na t t e m p ti sm a d et oe s t a b l i s har e l a t i v e l yd e e pa n dc o m p l e t et h e o r yf o rt h e i n v e r s ep r o b l e ma n dt h e np r o p o s es o m ee f f e c t i v en u m e r i c a l a l g o r i t h m s ( i n c l u d i n gt h e r e l a t e dn u m e r i c a la n a l y s i s ) t os o l v es u c ha p r o b l e m f o rt h ei n v e r s ep r o b l e mi n v o l v e d ，w ew i l l p r o v i d et w oc l a s s e so fn u m e r i c a l a l g o r i t h m st os o l v ei t t h ek e yp o i n to ft h e mi st h eu s eo fr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d t h ef i r s tc l a s so fm e t h o d si st h er e g u l a r i z a t i o nm e t h o db a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n t d i s c r e t i z a t i o n 。t h e r e g u l a r i z a t i o n t e r m i n c l u d i n g t h e 三2n o r mo ft h ef u n c t i o n c o n s i d e r e d ，o rt h ern o r mo f i t sd e r i v a t i v ef u n c t i o n ，o rb o t ho ft h et w ot e r m s t h e s e c o n dc l a s so fm e t h o d si st h e r e g u l a r i z a t i o n m e t h o db a s e do nt h e i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o no f t h ed i s c r e t es o l u t i o no ft h ed i r e c tp r o b l e m w eo b t a i nt h er i g o r o u s t h e o r ya n da n a l y s i sf o rt h e s em e t h o d s f i n a l l y , al o to fn u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e nt o c o n f l r mt h ee f f e c t i v e n e s sa n dr o b u s t n e s so f t h em e t h o d s k e y w o r d s i n v e r s ep r o b l e m 、r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d 、f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 上海交通大学硕士学位论文 第一章梁模型简介 为了后文的需要，在本章中对经典的弹性力学梁模型作一介绍， 详见文 1 1 梁的变形模式 作为弹性体的细长杆件( 梁) 在弯矩或者横向载荷作用下产生弯曲，这是平 面内，z 轴由纸里垂直指r 句纸t , b ( 图中未画出) 。设4 点坐标为( a , o ) ，b 点坐一 种特殊的变形。如图1 1 所示建立坐标系，设梁的纵长在x 轴向，弯曲发生在x o y 标为( b , o ) ，记j = ( n ，b ) 。 图1 1 柒的丐曲不慈圜 梁在y 方向受到横向( y 方向) 载荷厂= 厂( x ) 的作用后发生弯曲，并产生横 向位移( 挠度) “= “( x ) ，最终梁将在某一位置上达到受力平衡，为简化起见， 将梁自身的重力一并归入载荷厂中。在小挠度小变形的情况下，梁的变形是线性 的，即符合虎克定律：正应力与正应变成正比。 盯。= e s 。= 一e k ：y 其中盯。表示正交于x 轴的断面s 上正方作用于负方的单位面积力，e 为材料的 弹性模量，置：为中位线变形曲率，疋 0 。在杆件弯曲变形时，可以认为应变 第1 页共4 9 页 幽 上海交通大学硕士学位论文 由曲率k ：来刻划，应力由弯矩来刻划，在此形式下的虎克定律为 其中d 称为抗弯刚度。 m ：= f g ：k ：= d k ：，d = e ： 1 2 变分原理与平衡方程 从能量角厦上看，梁平衡时再总位能取最小僵。由弹性力字知识知遁，梁嗣 总位能由梁的应变能和外力做功势能两部分组成，其中应变能是梁变形时抵抗外 力所做的功以能量的形式储存在梁这种弹性体内的量。在小挠度的情形下，应变 能的计算公式为 吣圭f 。( 窘舳 载荷f ( x ) 在变形中做功： u = f 厂( x ) “( x ) 出 为方便起见，假设梁的两端是固支的，所以总的位能为 。也= 睁c 2 一矗卜 梁平衡时应该满足极值条件 础= 0 根据变分定义，有 硼，= f d 碧警一觑卜 。 = 临c 。争，) 鼬 由赢的任意性知 参= ， 此即粱的平衡方稃。 第2 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 1 3 梁弯曲的边界条件 抗弯粱的平衡问题的边界条件有三种类型。 1 规定几何约束，即第一类边界条件。 固定位移 u ( a ) = u ( 6 ) = 0 固定转角 如果在左端点x = a 固定转角 x = a ：“：= 瓦 ( 1 3 4 ) 此时相应的虚位移v 满足化零约束v ：= 0 。当几何约束条件( 包括位移和转角) 施于右端点时的情况也完全类似。 2 规定载荷，即第二类边界条件。 规定点载荷力( 集中力) ，位移自由。 规定点载荷矩( 集中弯矩) ，位移自由。 3 弹性支撑，即第三类边界条件。 该情形描述较复杂，为省篇幅在此从略，详见 1 。 在每个端点可从上述六种边界条件中任选两个作为梁弯曲平衡问题的定解 条件。但规定位移与位移自由的条件不能并立，规定转角与转角自由的条件不能 并立。在变分原理中，仅第一类即几何边界条件作为定解条件列出，是强加的边 界条件。第二、三类即力学边界条件则是自然边界条件，在变分问题中不必明白 列出。 第3 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 2 1 问题的提出 第二章正问题分析 所谓梁弯曲的正问题是指：一段梁的抗弯刚度e 1 ( x ) 和横向载荷f ( x ) 均已 知，求粱的横向位移u ( x ) 。为简化起见，我们考虑长度为1 的梁并且满足第一类 边界条件，由第一章的分析知，其平衡方程为 脚，掣h 虬0 x l池， iu ( 0 ) = “( o ) = u ( 1 ) = 甜7 ( 1 ) = 0 下面给出给方程的变分形式并形成相应的有限元空间以求解之。 2 2 变分与有限元空间的形成 根据变分原理，定解方程( 2 1 1 ) 等价于下列变分问题 或者 其中 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) a ( 训) = f e i u 。d x ，f ( v ) = f 触 先对e 0 ，1 空间进行剖分。为了简单起见，我们采用均匀剖分。设 x o = 0 x l x 2 x 一l 0 ) ，求得了以和下降方向p 女。记= 8 一血。采用下面的迭代公式 旷r w p k ta p k x k + l 2 x k + 口i + t p 女 r k “2r k 一口“l a p 女 耻一刃爿却。 p l + 1 = + 1 + 成“p k 以上是共轭梯度法( c g ，c o n j u g a t eg r a d i e n t ) 的算法。根据数值分析的理 论 6 ， 1 2 ，当矩阵4 的特征值较均匀地分布于一个很长的区间上时，共轭梯 度法的收敛速度可能会变得很慢。实际应用中如果遇上这种情况，一种普遍采用 第8 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 的办法是预处理共轭梯度法( p c g ，p r e c o n d i t i o n e dc o n j u g a t eg r a d i e n t ) 。 预处理共轭梯度法的思想是，如果能够选取一个非奇异矩阵c ，使 j = c 。1 a ( c _ 1 ) 7 的特征值分布在一个较小的区间内，或分布较为“集中”的话， 那么应用共轭梯度法于方程组 彳聋：b 将会有较快的收敛速度。其中z = c 7 x ，i = c b 。 实际计算中，我们并不需要计算j = c 一1 a ( c 一1 ) 7 和i = c b 。作变换 以= ( c _ 1 ) 7 瓦，= 呒，p 女= ( c “) 7 藏 代入原共轭梯度公式中，并记m = c c ，我们可得到如下算法： 输入4 ，m ，b ，。 ：= b a x o ，z 0 ：2 m r o ，p l ：2z o p o 车村z o ， | j 譬1a w 一瓴， 即形y x ：2 “一l + g k p k r k _ r k i 一口” 缸_ m r k ，p ：= 0 气 尻：= 钐。， 豫：= 气+ 风仇 如果p 。 印。，则输出，结束：否则k ：= k + 1 ，转。 第9 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 3 1 问题介绍 第三章反问题分析 梁弯曲的反问题是工程领域中一个常见的问越，其中源问越( s o u r c ep r o b l e m ) 的提法是：一段受横向载荷的梁的抗弯刚度e s ( x ) 及横向位移u ( x ) 已知，求横向 载荷厂( x ) 。为了简化起见，我们仅考虑满足第一类边界条件的解，此时，方程 的解“w = 瑶( ，) ，f v = 三2 ( ，) 。 设1 , 1 5 ( x ) 是u ( x ) 的测量值，并且满足 ”一“忙占 ( 3 1 1 ) 其中5 为测量误差，| | 为某一范数，例如r 范数。 很自然，我们可以将源问题转化为如下极小化泛函问题 j o ( f ) = 愀厂) _ 6 k ( 3 1 2 ) 其中u ( f ) 是变分问题 “矽= 哪( ，( 3 1 3 ) i a ( u ，w ) = ( 厂，w ) ，v v w 方解。 3 2 有限元求解 首先，对，作拟一致的有限元划分：0 = x 。 。 算法3 ( 基于有限元的i e 规化方法2 ) 1 取定参数n 和惩罚因子口。，口：，并设“( x ) 的测量值为石，抗弯刚度为d 2 计算d ( 卉，j ) ，i ，= 1 , 2 ，2 n 一2 ，并组装刚度矩阵4 ； 3 计算( 驴f ，妒a i ；1 , 2 ，2 n 一2 ，= 0 , 1 ，n ，并组装成矩阵b ； 4 计算( 识，妒，) ，i ，= 1 , 2 ，2 n - 2 ，并组装成矩阵c l ； 5 计算( 皱，妒) ，i ，= 0 , 1 ，n ，并组装成矩阵c 2 ； 6 计算( 妒；，妒j ) ，i ，= 1 ，2 ，2 一2 ，并组装成矩阵c 3 ； 7 计算矩阵d 2 = ( 4 1 b ) 7 ( c l + a 2 c 3 ) 似_ 1 b ) + a l c 2 。 8 计算g = ( 4 1 b ) 7 c i ( m 一1 “5 ) ； 9 计算歹：d i l - 9 9 。 算法4 ( 基于解的积分表示的正规化方法) 1 取定参数和正规化参数，并设“( x ) 的测量值为孑，抗弯刚度为d 2 计算口( 妒f ，a i ，j = 1 , 2 ，2 n 一2 ，并组装刚度矩阵4 ； 3 计算常值矩阵甲； 4 计算k = 、壬，7 爿。1 v ，并构造r ； 5 计算f = h ( n 2 r 2 + ) 。1 r 百。 第2 2 页共4 9 页 圭塑銮望查兰壁主堂垡笙奎一一 第五章反问题的理论分析 5 1 变分解的存在唯一性 考虑反问题 f ( d u ”) ”= ，口 x b l “( 口) = “( 6 ) = “+ ( d ) = “( 6 ) = 0 其相应的变分问题是： f “w = 月：( ，) ，= ( 口，6 ) l 口( “，w ) = ( 厂，w ) ，v w w 设 。( 厂) = i b ( ，) 一“5 k + 口0 ，惦 则源问题成为： 圳i n f ，a ( n 定理1 问题( 5 1 4 ) 之解是存在唯一的。 证明：由厶( 厂) 的严格凸性，立知唯性成立。 存在性：设 ，+ ，却i n f 以( 厂)r e 工r ，) 由下确界得定义知，对任意自然数n ，存在 l 2 ( ，) 使得 以( ) ，+ 土 从而 蚓i c + o 。 由“z d 。g l “一b 。“r b a 船定理 8 知，存在子列抚。 使 。一o 。i nl 2 ( i ) 愀 。) 一“5 i l ： c m ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) ( 5 1 3 ) ( 5 1 4 ) ( 5 1 5 ) ( 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) ( 5 1 8 ) ( 5 1 9 ) 第2 3 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 因此 枞：l 。) l l 。 c o 。 u ( l 。) b “+ i n l 2 ( i ) 由微分方程的正则性 9 ， 1 1 知 l i ( i ) l l ，c l l s l l 一。 ( 5 1 1 0 ) 故由紧嵌入定理r ( ，) c 日“( ，) 知存在子列 。) ( 为方便仍记本身) 使得 l i m i + 。“( ：i 。) = “( 厂) e l 2 ( ，) 故得 再由凸分析基本定理： j 是凸泛函，j “jl i m i n j ( u 。) ，0 ) t ，一 可知 但是 从而 l i m i n f j 。( 厶) 愀厂+ ) - u 5 l l ：+ , z l l i i i ：= j ( f ) h 呻 - i m i n f 以列+ 去“畸i k j + = j 。( ，+ ) 5 2 有限元勰的存在唯一性 证毕。 设有限元剖分为：a = x l x 2 x _ i h = b ，同前设有限元空间为 ，呢。则对任意f 吒，定义= 。“( 厂) 为以下问题之解 则问题( 5 1 2 ) 相应的有限元问题为 ( 5 2 1 ) 第2 4 页共4 9 页 v u 一一 ) h ( 一 上海交通大学硕士学位论文 z m i n 。j 4 h , ( f ) 舯刚钏：+ 口i l s ll ： 慨z z ， k 。( 厂) = ，) 飞“5 e ： 其中死是h 3 ( i ) 到呒上的正交投影算子。 可以证明，以。( ，) 是凸泛函a 定理2 ( 5 2 2 ) 之解是存在唯一的。 证法如定理1 类似，此处省略。 5 3 有限元解收敛到变分解 定理3 设 是( 5 2 2 ) 的解，f 为( 5 1 4 ) 的解，则 、与 ，h 斗0 证明：设，一是到( ，) 到上的正交投影算子。 ( 1 ) 先证l | 】i 。的有界性。 ，。( ) s 以，。( i h f ) = 恤。( i h f ) 一l r h t l 6 e + 刮j 厶卅i 由正交投影算子的误差估计 9 ， 1 1 有 i l u h ( i 。厂) 一即5 峪 s ) l l 。+ i i - h “ k ( 1 i “。( ，。厂) - - u h ( n i l 。+ 1 1 “。( n i l 。) + ( 1 i ( ，石) “50 。+ i i “50 。) s ( m l 厂) - - u h ( n i l 。+ 1 1 “。( n u 。) + ( 2 蚓。) ( 慨( i h f ) - - 。l h ( n i l 。+ 帆( n i l 。) + c 蚓i ： 注意到 a ( u ，w h ) = ( ，w ) ，v w ， 如取w 。= “。( ， ) ，有 即 a ( u ，u h ) = ( 厂，蜥) 第2 5 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 由于cs - s 3 ( s ) ，利用p o i n c a r e f r i e d r i c h s 不等式即知 故有 i l u h ( 刊i c 1 ( 刊：- - - il ：i i 。i l u 。( f ) l l 。 慨( s ) l l ： - e l u 。( 刊：- cc l l s l l 。 ( 5 3 1 ) 因此由上及投影算予估计1 9j ，l l l j 知， 慨( i h f ) 一死“5 慨( s f - f ) l l 。+ 慨( s ) l l 。+ c l l u 8 ： - c l l s 。f s l l 。+ 1 1 ( s ) l l 。+ o l i n 0 ： 2 c l l f l l 。+ c 所以 以，。( 以) = 肛。( ) 一死“5 e + 4 1 s 。l l ： c o 。 从而 ) 一删5 c o 。 i s 1 l 。 c 。 ( 5 3 2 ) ( 2 ) 证明j h 。( 厂) s j h ( ，) 。 由( 1 ) 的结论、( 5 i 1 0 ) 和s o b o l e v 紧嵌入定理可知，存在子列扳和 讧 ( 厶) 使得 厶与厂+ i n l x ( i ) ( 5 3 3 ) ? , h i ( 厶) 专甜( + ) 加l 2 ( i ) ( 5 3 4 ) 事实上，由有限元误差估计 1 ， 2 知 l l u h k ( 丘) 一“c 厂肛0 h i ( 丘) - - u h t ( ，) i i + k ( 厂) 一“( ) i i ( 。一厂) 一“( 一厂) 她( 厶- f ) 0 。+ 叫忙( ，) 。 第2 6 页共4 9 页 厂 “ 厂 一肚厂 “ 6rj口 = 出 厂 “d 6 r j d 上海交通大学硕士学位论文 c h k 4 帆丘一厂+ ) 1 i 。+ 1 1 “( 。一厂) ”叫愀厂+ ) n c h 。4 f i 。一厂f | 。十c 。一厂忆+ ：恤( 厂) nj o ，当七一。时 另方面，可以证明： 事实上 而显然 并且 烛j h ，。( ，一厂) = ，。( 厂) ( 5 3 - 5 ) j h ( l ，) = m l ，) 一 5 n 口慨s l l ： j 。( 厂) = ，) 一“5 n 4 s l l ： l u h ( ，。厂) ，r 。“5 “( ，) + u 60 - 1 1 “。( ，。厂) - “( 厂) 1 i 。+ 1 1 6 ，r “5 i i 。 ( m ， 厂) - u h ( s ) l l 。+ 1 1 ( 厂) 一“( s ) l l 。) + 妒一刚。n - c l l & f s l l 。+ c h 4 i l s l l 。+ 2 驯i ：斗。 所以 但 所以 蚓k 厶厂) 一刚5 | l o = 收厂) 一“5 k l i r a i a f j h ，。( 厶) 厶( 厂) j 。( 厂) 以( ，) 由优化问题( 5 1 4 ) 最优解的唯一性，最终知 。= 。 5 4 基于解的积分表示的正规化方法的误差估计 记 r 鼬= ( 巧+ ，) “k ： ( 5 3 6 ) 证毕。 第2 7 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 引理i 正规化算子r 口，。满足估计 i r e , h l l 丽1 证明：设算子k ：的奇异值分解 1 5 为( “，工，y ，) ，满足 由此可知r 口。可以表示如下 k x j = u y k * h y ，= “j x j 咖2 二。南心 忙肼圳2 = e 南卜以圹s 专批幽圹= 枷1 2 所以慨一忙丽1 。 ( 5 4 1 ) 现在来估计恢r 肼“5 一r “69 。 注意到“日；( ，) ，所以：m 。，从而 “5 一“i i + l l “忙占+ m 所以 l l i a r ，。“5 一r ，。“5 1 i i l i - i 牝肿5 忙万f i + m 卜州_ 。当 一。时( 5 4 2 ) 记 为( 5 2 1 ) 的解，现在估计忙肿“5 一 定理4 当怯5 一“i i 万时，由公式( 4 3 1 ) 得到的解与有限元问题( 5 2 2 ) 的 解 满足 敝“6 一 l l - o 使得当0 h 时有 i u 。- u t l 万 于讯5 一 忙专玳小 i 当 = 足：z 时， 忙 姒埘剐南一卜幽圹 卫4 水，坩= 锄4 2 。一j 2 i i 。j 。i ” 酬。 一小垣2e ，代入上式，得证。 在定理4 中，若取= ( 占) 满足 专= 半蹦= 等 则有怯。h u 8 一 l l 5 - k - - g 一0 ，当万一。时。 第2 9 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 第六章数值模拟结果及分析 6 1 原始数据的获取 考虑满足第一类边界条件的梁平衡方程 旧脚，挈一虬0 x l眠， i “( o ) = “( o ) = u ( 1 ) = “( 1 ) = 0 u ( x ) = x 2 ( 1 一x ) 2 e 1 = 1 + z 直接求导，可以计算出，的精确解为 f ( x ) = 7 2 x ( 6 1 2 ) ( 6 1 3 ) 作划分a ：0 = x i x x = 1 ，其中是划分数。为简单起见 我们取均匀划分，即x ，= i h ，h = 1 n ，i = 1 , 2 ，n 。 通过离散化并附加一定的噪声可以获得数值模拟的初始数据 “6 ( 。) = “( x ) + 万( 0 ，1 ) ，j = o ，l ，1 一， 其中占是反映测量误差的比例系数。 若取= 2 0 ，占= 1 0 ，调用程序c r t d a t a m t 可计算出“( x ) 、“6 ( x ) 和，( x ) 的 离散值( 见表6 1 ) 本章中所有的程序都用m a t l a b 编写程序代码在附录中列出，请参阅 第3 0 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 表6 1 划分和“( z ) ，f ( x ) 的离散值 x fu ( x 。)“5 ( x 。)f ( x ，) o 0o 0 0 0 0 0 0 6 2 4 5 8 4 1 7o 0 0 0 0 50 0 0 2 2 5 6 2 50 0 0 2 2 5 7 4 1 6 2 1 1 3 03 6 0 o 1 00 0 0 8 1 0 0 0 00 0 0 8 0 9 6 1 3 3 3 9 9 8 l7 2 0 o 1 50 0 1 6 2 5 6 2 5o 0 1 6 2 6 0 2 3 2 5 1 7 4 ll o 8 0 o 2 00 0 2 5 6 0 0 0 00 0 2 5 6 0 2 5 4 5 5 1 3 7 51 4 4 0 o 2 50 0 3 5 1 5 6 2 50 0 3 5 1 5 9 1 6 1 2 3 1 9 61 8 0 0 o 3 00 0 4 4 1 0 0 0 00 0 4 4 1 0 3 1 4 9 5 2 0 6 82 i 6 0 o 3 5o 0 5 1 7 5 6 2 50 0 5 1 7 5 7 9 5 0 0 3 8 6 52 5 2 0 0 4 00 0 5 7 6 0 0 0 00 0 5 7 5 9 7 0 0 8 7 6 4 1 22 8 8 0 o 4 50 0 6 1 2 5 6 2 5o 0 6 1 2 5 3 9 8 0 8 8 1 6 23 2 4 0 o 5 00 0 6 2 5 0 0 0 00 0 6 2 5 0 1 2 6 2 3 4 6 3 93 6 0 0 o 5 5o 0 6 1 2 5 6 2 5o 0 6 1 2 5 6 6 1 8 5 1 6 9 53 9 6 0 o 6 00 0 5 7 6 0 0 0 0o 0 5 7 5 9 5 5 9 5 0 4 0 5 l4 3 2 0 o 6 50 0 5 1 7 5 6 2 50 0 5 1 7 5 2 1 3 9 6 1 7 5 94 6 8 0 o 7 00 0 4 4 1 0 0 0 00 0 4 4 0 9 7 7 1 3 0 8 1 7 45 0 4 1 o 7 50 0 3 5 1 5 6 2 50 0 3 5 1 5 5 3 4 0 7 2 3 1 65 4 0 0 o 8 00 0 2 5 6 0 0 0 0o 0 2 5 5 9 9 7 4 0 4 1 4 5 05 7 6 0 0 8 5o 0 1 6 2 5 6 2 50 0 1 6 2 6 0 3 3 9 8 9 3 4 96 1 2 0 o 9 00 0 0 8 1 0 0 0 00 0 0 8 1 0 0 9 6 2 4 7 1 3 86 4 8 0 o 9 50 0 0 2 2 5 6 2 50 0 0 2 2 5 4 5 3 9 5 5 3 0 26 8 4 l 1 o oo一0 0 0 0 0 0 0 2 1 8 0 5 5 7 47 2 o o 用图表表示即为 第3 i 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 图6 1 原始数据图：“和 5 这里要注意的是，在梁问题的计算中，由于解的奇异性，初始数据的误差不 能太大，否则，在计算中必然导致解无法很好的近似精确解。在本文的数值模拟 中，初始数据的绝对误差如图6 2 所示。 第3 2 页共4 9 页 图6 2 初始数据误差卜一“5 i 的分布图 图6 3 初始数据相对误差i u - u 5 l “分布图 很显然，我们要计算的精确解，如图6 4 所示 卜f f f f f f f。 、 1 、 ，f，f， 上海交通大学硕士学位论文 图6 4 精确解， 6 2 基于有限元的正规化方法的解 前面我们已经看到用无约束优化方法的解相差太大，为清楚起见，我们先研 究带f j i l l 。项的基于有限元的正规化方法在不同参数时的解的情况。分别取 = l o 。6 ，i o 。1 4 ，l o 。2 ，得到 第3 4 页共4 9 页 上海交通大学硕士学位论文 图6 5 带m i 。项的基于有限元的正规化方法在不同参数下的解 从图中可以看出，在不同的正规化参数a 。下，解的效果也有所不同，并且在 某一口? 处，解的效果达到最佳。另外，值得注意的是解在区间端点处相差太大， 称之为“端点效应”，如图6 6 所示。究其原因，梁的变形在边界处为0 ，而在 中间处达到最大，我们的测量误差在不同的位置相差不