（计算数学专业论文）若干基于libor及shibor理财产品的数学模型及定价分析.pdf

摘要 摘要 利率作为金融学重要指标之一，其数学模型自然成为金融数学的重点研究 对象。随着各国银行间同业拆借利率的出现，尤其2 0 0 7 年诞生在我国的上海银 行间同业拆借利率，极大地推动了利率衍生产品市场的发展，并为规避利率风 险提供了对冲工具。在这种情形下，本文首先简要介绍多种利率模型，进而较 系统地介绍了伦敦银行间同业拆借利率市场模型( l f m ) 和相关参数确定方法， 即本文第一、二章，为前人所做工作的总结。 本文第三章，主要研究了当前国内市场发行的两种远期利率衍生物，建立 数学模型，并根据模型的特点，列出计算流程。在第四章分别应用蒙特卡罗方 法中的e u l e r 方法和改进e u l e r 方法对模型进行求解，再利用图表对计算结果进 行详细比较，数值结果显示后一种方法得到的结果确实收敛速度较快。最后对 不同初值的计算结果进行比较。 关键词：伦敦银行间同业拆借利率蒙特卡罗方法i t o 公式欧拉方法 a b s t r a c t a b s t r a c t a st h ei n t e r e s ti sam o s ti m p o r t a n ti n d i c a t o ri nf m a n c e ，i t sm a t h m e t i c a lm o d e l n o r m a l l yb e c o m e st h em a i nr e s e a r c h i n go b j e c ti nf i n a n c i a lm a t h s a n dt h el i b o ra l s o s h i b o ri n0 1 1 1 c o u n t r y , f u r t h e rd e v e l o pt h em a r k e to ff o r w a r di n t e r e s td e r i v e r t i v e sa n d p r o v i d ea ne f f e c t i v eh e d g i n gi n s t r u m e n tt oa v o i di n t e r e s tr a t er i s k i nt h i ss i t u a t i o n ， t h et h e s i sf i r s tc o m e st ov a r i o u si n t e r e s tm o d e l sf r o mr e s e a r c h i n gh i s t o r y t h e ni t i n t r o d u c e st h el i b o rm a r k e tm o d e ls y s t e m a t i c a l l y , a l s oi td e a l sw i t ht h ep a r a m e t e r s f o rt h em o d e l 1 1 1 ep a r ta b o v ei si nt h ef i r s ta n ds e c o n dc h a p t e r , a n dm o s to ft h e ma r e t h es u m m a r yo fo t h e r s w o r k s i n c et h et h i r dc h a p t e r , t h et h e s i si sm a i n l yo nt h ee s t a b l i s h m e n to ft w ok i n d so f f o r w a r di n t e r e s tr a t ed e r i v e r t i v e si nn a t i o n a lm a r k e t a c c o r d i n gt ol f m ，w eg e tt h e m o d e l sf o rb o t l lp r o d u c t s ，a n di n t r o d u c et h ep r o c e s so fc o m p u t a t i o nm e t h o df o rt h e m i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w et e s tb o t he u l e rm e t h o da n di m p r o v e de u l e rm e t h o dt os o l v e t h em a t h sm o d e la n dt e s tm o r es i t u a t i o n sa b o u ti n i t i a lp a r a m e t e r s t h e nw eg e tt a b l e s a n df i g u r e sf o rb o t ht e s t e dp r o d u c t s 1 1 1 er e s u l t ss h o wt l l a tt h ei m p r o v e de u l e rm e t h o d i sb e t t e r k e yw o r d s ：l i b o r m o n t e c a r l om e t h o di t of o r m u l ae u l e rm e t h o d 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人仓i j 作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名： 年月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月 日年 月日 第1 章引言 1 1 利率模型的研究意义 第1 章引言 在华尔街，曾经有一群人每天观察格林斯潘的公文包，以了解他是否要动用 联储的货币政策来调控经济。他的公文包里承载着美国经济的未来，而这种货 币政策就是调息。他曾经多次采用这种策略来刺激美国经济的发展，到了伯南 克时代，这位学者型联储主席同样采用这种策略，来度过次级债危机，人们评 价他是打开潘多拉魔盒的那个始作俑者。可以看到，利率政策的变化不仅影响 了美联储，同时影响了整个华尔街。在国内，一年内几次升息，直接间接地影 响着股市、楼市甚至老百姓家里的柴米油盐。 可以说，利率是金融甚至整个世界经济发展的重要衡量指标，它不仅支配了， 整个国家的宏观经济，同时支配了我们个人的钱包。利率是指金钱的时间价值， 目前很多人有房屋或其他贷款，利率上升时，如果收入没有增加，支出就要增 加。而消费需求下降及借款成本上升，又会使企业盈利下降，进而可能裁减人 员并导致失业率上升。所以中央银行的紧缩或宽松政策，都会对经济景气造成 影响。最极端的例子是美国央行在过去两年多连续升息1 7 次，联邦基本利率由 1 上升到8 月初的5 2 5 ，堪称货币政策的经典之作。 利率对投资估值也很关键。无风险利率( 如国债利率) 可评估价格是否合理。 例如现在l o 年期国债利率约3 ，而有1 家公司股价为3 3 元，每股每年获利1 0 元，哪种投资更合算? 让我们算一笔账：假使该公司以后每年稳赚1 0 元，则买 股票的年盈利收益率为1 0 元以3 元- 3 ，盈利收益率与国债利率相同，那么有 什么必要买股票，还要承担股票价格波动的风险呢? 所以利率水平高低会决定 股市的市盈率水平。例如当国债利率为3 时，加上2 的风险补偿，股市应该 有5 的盈利收益率，即2 0 倍( 1 5 * , = 2 0 ) 的市盈率才算合理。而当国债利率上 升到5 时，加上2 的风险补偿，股市需要有7 的盈利收益率，这时股市的市 盈率应该大致下跌到1 4 倍( 1 7 = 1 4 3 ) 左右才值得投资，否则就比较贵了。反 之如果利率下跌，市盈率应该提高。 到了2 0 世纪7 0 年代，利率的不确定性开始逐渐加剧，以致越来越多的金融 第l 章引言 机构不愿对长期利率作出固定承诺。到了8 0 年代，浮动利率已经被广泛应用于 借贷领域，其结果使得贷方更能控制其利率风险，并将其转嫁给借方。 这样利率模型自然成为金融学、金融工程、金融数学研究的主要课题之一。 利率理论有着十分悠久的历史，它早于货币经济理论，甚至早于纯粹货币理论 的产生。古典利率理论，由亚当斯密开始，而这种研究多为经济分析，不涉及 复杂的数学模型。到了近代，学者们利用数学中的利器随机分析揭开了利 率尤其是浮动利率的神秘面纱。利率模型的研究也重点转向对常见的浮动利率 叫，i b o r ( 伦敦银行间同业拆借利率) 上来，下一节将具体介绍这种模型的发 展及种类。 研究l i b o r 模型的另一层意义在于，2 0 0 7 年诞生于上海的s h i b o r ( 上海银行 间拆借利率) 。作为国内首个基准利率，它的产生代表着我国金融体系的趋于完 善。市场基准利率是指一国的利率体系中能够真实反映资金成本和供求状况， 且其变动必然引起利率体系中其他利率相应变动的利率。它是货币政策价格调 控的基础，是货币政策传导和连接中央银行、金融市场、金融机构和企业居民 的纽带，是金融产品的参照系，是存贷款利率实现全面市场化的先决条件。例 如：欧元同业市场的e u r i b o r 以及亚洲货币市场发挥定价参考作用的香港h i b o r 、 新加坡s i b o r 与台湾t a i b o r 等。我们的s h i b o r 和这些基准利率一样具有以下几个 特点： ( 1 ) 通过报价制形成的； ( 2 ) 交易量不是选择基准利率的主要依据； ( 3 ) 都是由隔夜至1 年期的各档次利率组成的利率体系，而非交易量最大 的某一档利率； ( 4 ) 拆出利率报价应用比较广泛； ( 5 ) 报价银行团由信用等级高、交易规模较大、定价能力较强的一流银行 组成； ( 6 ) 在各行报价基础上，剔除一定比例最高、最低的报价部分，对剩余的 报价进行简单算术平均； ( 7 ) 由央行或银行业协会委托指定机构计算并按时对外公布。 我国基准利率的产生是商业银行内外定价的需要、是推动利率市场化改革的 需要、是货币政策调控的需要。而就其上述几个特点可以看到，基准利率的产 生具备一定的随机性，没有严密的数学背景作为支撑。国内对浮动利率数学模 2 第1 章引言 型的研究几乎就是空白，国外的研究进行了很多年，但可以找到的资料少之又 少。 我们可以借鉴的是国际上研究l i b o r 及其衍生产品的方法，将其应用于s h i b o r 的研究上去，为其建立严密的数学基础，以推进其更快更好的发展。各个银行 对s h i b o r 的报价，应该基于s h i b o r 模型而不仅仅是简单的统计。这样，才能使 基准利率在我国有良好的发展前景，使得s h i b o r 及其衍生产品迅速走入金融人 士的视线，稳定国内利率市场。文章的后面将会详细介绍l i b o r 模型的发展以及 成果，并将其应用于对s h i b o r 衍生产品的定价中去，希望可以为基准利率的深 远研究起到一定的推动作用。 1 2 利率模型的种类及发展 利率模型发展了很多年，由于利率对于各种金融产品的研究定价具有基础作 用，对利率研究不断进步，则历史上利率模型也多种多样。其中远期利率的定 义为：令今天的时间f 0 = 0 ，f ( o ，f ) 表示站在今天角度观测的f 时刻( r 0 ) 的利 率，则f ( o ，r ) 称为远期利率。而当f 趋近于0 时，即得到短期利率。 目前市场上比较流行的利率模型主要有下面几类： 1 2 1 均衡模型 均衡模型是在真实世界测度下建立的模型，考虑了市场参与者的风险偏好、 投资机会、风险价格等因素，假设瞬时利率遵循的随机过程，由市场出清的条 件推导出均衡的利率期限结构。此类模型依状态变量的多寡分为单因子模型以 及多因子模型。 1 2 1 1 单因子模型( s i n g l e f a c t o rm o d e l s ) ( 1 ) m e r t o n ( 1 9 7 3 ) d r ( t ) = d t + 仃d z 其中”和盯为常数。其缺陷为：假设利率的随机过程与股价的随机过程相同 并不合理，因为利率的波动具有明显的均值回归的特征，即长期而言，利率会 趋向长期利率的平均值，但股价没有这种趋势。此外在上述模型中，利率可能 3 第1 章引言 出现负值，与实际情况不符。( 详见参考文献【1 】) ( 2 ) v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) d r = 口( 6 一，) d f + o rd z 这个模型体现了利率的均值回归性质。假设瞬时利率于风险中性概率测度 下，a 为均值回归调整速度，b 为瞬时利率的平均值，o r 为瞬时利率的标准差。 上述三值都为正常数。该模型采用o m s t e i n - u h l e n b e c k 过程，也称为弹性的随机 游走。其为稳态分布，瞬时趋势项a ( b r ) 表示瞬时利率将以a 的调整速度趋向 长期平均值，此性质使短期利率动态过程表现出均值回归。然而，由于这里厂( f ) 服从正态分布，利率可能出现负值。( 详见参考文献 2 】) ( 3 ) c o x 、i n g e r s o l l 和r o s s ( 19 8 5 ) d r = a ( b 一，) 衍+ o r r d z 假设风险价格为常数来实现无套利机会，该假设隐含了利率模型本身与个 人偏好无关。c i r 舍弃了部分均衡的观念，从一般均衡的角度，把消费者偏好、 生产过程、个人投资以及消费行为等当作模型的输入变量，消除了不完全市场 的套利机会。同时解决了v a s i c e k 设定的瞬时利率的随机过程服从正态分布，从 而可能导致利率呈现负值的问题。其经济含义为，利率增长时其波动率也随之 增长。( 详见参考文献【3 】) 1 2 1 2 多因子模型 ( 1 ) b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 19 7 9 ) d r = 届( ，1 ) d t + ( 1 ( r ，) 奶 d l = 压( ，1 ) d t + 岛( ，) 奶 此模型假设期初的长期利率隐含了对未来即期利率的预期，因此模型中的状 态变量为瞬时利率，与长期利率，。其中，血也= 触，p 为长期利率与瞬时利 率的相关系数，模型通过有限差分方法可以求解。另外，该模型也具有利率不 4 第1 章引言 为负以及瞬时利率向长期利率回归的特性。( 详见参考文献【4 】) ( 2 ) l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 认为衍生证券的价值应同时反映期初利率与波动率水准。承袭了c i r 模型， 将产出报酬和产出的变异转换成可以观测的因子，也即瞬时利率和瞬时利率的 波动率。( 详见参考文献【5 】) 1 2 2 无套利模型 无套利模型强调在风险中性概率测度下进行模型的建构。均衡模型是通过 假设瞬时利率的随机过程，并且在无套利机会的条件下来确定零息债券的价格， 无套利模型则不需要估计或假设瞬时利率的风险价格。此类模型容许模型内的 部分参数随时间而改变，并且将市场所观察到的利率期限结构当作输入变量， 模型中相关参数或变量的设定不得使利率期限结构的动态变化过程出现套利机 会。 1 h o l e e 模型( 1 9 8 6 ) d r = u ( o d t + t r d z 该模型视期初的利率期限结构为输入变量，以二项分布结构推导出利率期限 结构的动态变化，其均值与时间相关。确保模型与期初利率期限结构一致。( 详 见参考文献【6 】) 2 o r i g i n a ls a l m o nb r o t h e r s 模型( k o p p r a s c he ta 1 ，19 8 7 ) d l n r = u ( t ) d t + a d z 上一模型假设瞬时利率的概率分布为正态分布，则利率可能会变为负值，与 实际利率经验不符；而且模型假设利率的波动率为常数也与经验不符，为了避 免上述缺点，s a l m o n 模型假设瞬时利率的概率分布为对数正态分布，得到此模 型。( 详见参考文献【7 】) 3 b d t 模型( b l a c k 、d e r m a n 和t o y ，1 9 9 0 ) d l n r = ( o ( t ) - # ( t ) i n r ) d t + o ( t ) d z 假设瞬时利率的概率分布为对数正态分布，这样利率。模型中除了包含期初 利率期限结构的信息，也将波动率利率期限结构视为输入变量。此时利率的动 5 第1 章引言 态变化具有均值回归性，其中均值调整速度一o r ( t ) o c r ( t ) o t ，而( r ) 为均数 ( f ) ：矽( ，) 回归的平均水平。( 详见参考文献【8 】) 4 b l a c k 和k a r a s i n k a i 模型( 1 9 9 1 ) d l n r = 事5 l ( t ) ( 1 n u ( t ) - i n r ) d t + a ( t ) d z b d t 模型通过纳入波动率期限结构使得利率的动态变化具有均值回归的特 征。但会造成不当的拟合均值回归与未来短期利率的波动率，以致定价时的偏 差。因此，本模型纳入利率上限曲线，并允许时间间隔长度为时间的函数。其 中( ，) 为均值调整速度，“o ) 为瞬时利率的平均值。( 详见参考文献【9 】) 5 h u l l 和w h i t e 模型( 1 9 9 0 ，1 9 9 4 a ) d r = ( o ( t ) - a ( t ) ( b - r ) ) d t + c r ( t ) r ，d z 本模型是对v a s i c e k 模型和c i r 模型的延展，参数设定由市场数据确定，几 乎可以涵盖所有无套利单因子模型。( 详见参考文献汐p 6 h j m 模型( h e a t h 、j a r r o w 和m o r t o n ，1 9 9 0 ，1 9 9 2 ) d f ( t ，丁) = 口o ，t ) d t + o - , ( t ，丁) 也 h j m 模型是一种n 因子连续模型，以外生方式指定远期利率的波动，而利 率的期限结构是远期利率的函数。输入变量不容易得到，而且计算量较大。( 详 见参考文献【1 0 】和参考文献【1 1 】) 1 2 3l f m 模型 l i b o r 作为一种特别的远期利率，产生于伦敦。根据银监会对l i b o r 的定义： l i b o r ( l o n d o ni n t e r b a n ko f f e r e dr a t e ) ，即伦敦同业拆借利率，是指伦敦的第一 流银行之间短期资金借贷的利率，是国际金融市场中大多数浮动利率的基础利 率。作为银行从市场上筹集资金进行转贷的融资成本，贷款协议中议定的l i b o r 通常是由几家指定的参考银行，在规定的时间( 一般是伦敦时间上午1 1 ：0 0 ) 报价的平均利率。最经常使用的是3 个月和6 个月的l i b o r 。 下面公式中，最o ) 代表和气+ ，之间的l i b o r ，瓯代表气和气+ 。之间的时间间 6 第l 章引言 隔，成。f 代表相关系数，i l i ic r , ( t ) 代表最( ，) 的波动率。 “ r 利率期货：以固定收益工具或利率为基础资产的期货； 利率互换( s w a p ) ：双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样 的名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算出来，而 另一方的现金流根据固定利率计算。( 不交换本金) ； 利率上限( c a p ) ：交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利率 7 第1 章引言 上限的卖方向买方承诺，在规定的期限内，如果市场参考利率高于协定 利率上限，则卖方向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分； 如果市场利率低于或等于协定利率上限，卖方无任何支付义务。作为补 偿，买方支付一定数额手续费； 利率下限( f l o o r ) ：交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利 率上限的卖方向买方承诺，在规定的期限内，如果市场参考利率低于协 定利率下限，则卖方向买方支付市场利率低于协定利率下限的差额部 分；如果市场利率高于或等于协定利率下限，则卖方无任何支付义务。 作为补偿，买方支付一定数额手续费； 利率双限( c o l l a r ) ：将利率上限和利率下限两种金融工具结合使用； 互换期权( s w a p t i o n s ) ：是基于利率互换的期权，给予持有者一个在未 来某个确定时间进行某个确定的利率互换的权利。 1 3 2 主要利率衍生产品的研究方法 目前，对于利率衍生产品除了第二章将介绍的l f m ( l i b o rm a r k e tm o d e l ) 和l s m ( s w a pm a r k e tm o d e l ) ，其研究方法主要是利用等价鞅测度定理并套用 b s 公式得到衍生产品的价格。市场上交易最活跃的利率衍生产品即为，利率上 限( 下限) 和欧式互换期权。下面其给出简要的计算方法以及相应的结果，详 细推导过程见参考文献 1 2 】。 1 利翠上限( f 限) 期权 利率上限( 下限) 期权是l i b o r 远期利率的看涨( 看跌) 期权，考虑面值为 m ，敲定价为k 的n 期远期期权，作为利率上限，其价格记为c ( 乙，k ) ，期权 的到期支付额为m 暖( 厶( 7 ：1 ) 一k ) + ，则其价值计算如下： 黑划“( 譬袋) ：m 矿( m a x l 。( t n ) 一k ，o ) ) + 。( o )、只+ 。( 乙+ ，) 7 7 “ 假设厶服从对数正态分布，则可以套用b s 公式，得到如下结果： ( j ( o ) = 彳瓯厶。( o ) ( 厶( o ) ( 盔) 一k ( 攻) ) 第1 章引言 4 = 半 畋：竖鳖竽盟：羁一盯厄 盯瓦 1 其中，4 = 巧+ 。一互，厶( ) 为远期利率，( ) 零息票债券在掌时刻价值。 同理可得利率下限的表达式： 撇( o ) = 膨瓯只+ l ( 0 ) ( k n ( - a 0 - l ( 0 ) n ( - d , ) ) 碣= 警1 7 ，“。 畋：堑鳖笋盟：盔一仃厄 o - 、” 2 互换( s w a p ) 考虑一个远期利率互换，本金为1 ，两方同意在日期 乙小柑，埘) 以浮 动利率 厶( f ) ，厶+ ，( f ) ，厶+ m - 1 ( f ) ) 换得固定利率最，。( f ) ，则此固定利率可以由下式 表示： s ( ，n ：薹兰：! 兰：! ：! 兰：! ! ：墨! 垒二墨翌! 尘 最朋o ) = 卫_ r 一= 寺型二业 瓯+ 一只+ ，( r ) 瓯+ 川+ ，( f ) 3 互换期权( s w a p t i o n ) 互换期权是互换利率的看涨期权，考虑面值为m ，敲定价为k 的互换期权， 其价格记为s w a p ，。( 乙，k ) ，期权的到期支付额为m 瓯( 最，。( 乙) 一k ) + ，则其价值 计算如下： ：聿型 曩川+ j ( 厶) j - 1 ) = m e 斛1 ( m a x s , 。( 乙) 一k ，0 ) 假设厶服从对数正态分布，则可以套用b s 公式，得到如下结果： 9 ，一 一 生只 墼 州 尝弘 第1 章引言 跏叼( o ) = m ( 善瓦州只+ j ( o ) ) ( 最，m ( o ) ( 4 ) 一删( 畋) ) 西：垫! 竺掣 a 4 t d：-w“。zo塑：呸一盯厩,7- v v 打 其中，最= t 。一t ，鼠( 幸) 为互换利率，e ( 枣) 零息票债券在宰时刻价值。 1 4 本文的主要研究内容与章节构架 第一章为引言部分，论文简单阐述了利率模型的发展历史，并对利率衍生 产品进行简单的叙述。具体介绍国际上比较流行的十二种利率模型，并对其各 自的优缺点进行比较。为下文详细介绍伦敦银行同业拆借利率市场模型( l f m ) 做出必要的铺垫。 第二章详细介绍了伦敦银行同业拆借利率市场模型( l f m ) ，包括模型的具 体推导过程，根据随机分析原理和i t o 公式，得到最终的模型。接下来，对模型 涉及的参数的计算方法，由于本文不是实证研究，没有对其进行数理统计的研 究，在下文的介绍中也直接把参数作为已知条件来引用。 第三章介绍两个具体的模型，一个是上海银行在去年推出的有关上海银行 间同业拆借利率的衍生产品，另外一个是工商银行汇财通b 款( 区间型l i b o r 衍生产品) 。主要采用伦敦银行间同业拆借利率市场模型模拟远期利率，并最后 采用蒙特卡罗模拟来求解。 第四章首先介绍蒙特卡罗方法，接下来对模型一( s h i b o r 模型) 进行e u l e r 方法和改进e u l e r 方法的数值模拟，并对两种方法得到的结果进行比较。对于模 型二( l i b o r 区间型产品) 进行e u l e r 方法的蒙特卡罗模拟，并对不同初值得到 的结果进行比较。 1 0 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) 简介 2 1l f m 的由来 自从1 9 8 1 年第一个利率互换交易以来，利率衍生品市场发展得极为迅速， 产品交易的数量和复杂程度都在增长。因此，利率衍生物建模和定价领域成为 研究者以及实际交易者争先进入的一个领域。 而利率衍生品的定价离不开对利率模型的研究，尤其远期浮动利率模型。因 为无论是利率上限( 下限) 还是互换的定价，都离不开对其基础资产利率 的分布以及市场数据拟合的研究。最近利率模型的突破性发展产生了现今广为 使用的利率模型i ，f m ( l i b o r 市场模型) ，此模型由b r a c e ，g a t a r e k ，m u s i e l a ( 1 9 9 7 ) 以及m i l t e r s e n ，s a n d m a n n ，s o n d e r m a n n ( 1 9 9 7 ) 建立。与其他传统模 型相比，l i b o r 市场模型具有几个优点：第一，它与b l a c k 公式匹配的很好，这 样隐含波动率可以很容易得到，避免了其他模型必须数值拟合过程；第二，市 场模型基于观察到的市场利率，例如l i b o r 和互换利率，因此不需要用瞬时利率 或远期利率来对利率上限( 下限) 以及互换进行定价或者对冲。 就像h j m 模型一样，l i b o r 市场模型基本上是应用蒙特卡罗模拟来求解。值 得庆幸的是，随着l i b o r 市场模型的发展，一些新的蒙特卡罗方法中的数值解法 的产生，推动了模型的发展。 2 2l f m 的推导过程 2 2 1 符号说明 1 t o = 0 ， ，t 2 ，：为市场上交易的利率上限的重置日期( 以年为单位时间) ， 在美国最流行的利率上限为每季重置； 2 瓯= t k “- t k ：为时间间隔，一般为一常数； 3 m ( t ) ：表示f 时刻后的第一个重置时间，即r e ( t ) 为最小的正整数使得 1 1 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) | l 乙( t ) ； 4 e ( f ) ：在时间和气间的l i b o r 远期利率，f 为观察时点； 5 e ( t ，气) ：t k 为到期日的零息票债券在f 时刻的价值，根据远期利率定义可 以得到下式1 + a t f a t ) = 瓦e ( t 丽, t d ； 6 吼( f ) ：e ( ，) 在r 时刻的波动率； 7 屹( f ) ：尸o ，t k ) 在，时刻的波动率； 8 互o ) ：标准布朗运动符号。 2 2 2l f m 模型 1 f k ( t ) 的基本模型，利用等价鞅测度定理证明( 定理的具体推理过程详见 附录a ，下面对l i b o r 市场模型的证明直接引用此定理) 等价鞅测度定理：f ，g 为基于同一不确定因素的可交换债券的价格，令 秒：，则口可以看作相对于g 的价格，也就是说不以货币作为计价单位 g ( n u m e r a i r e ) ，而以g 作为计价单位。则口是一个鞅。 基本模型：以p ( t ，+ 。) 作为计价单位可以得到最o ) 为鞅。即丘o ) 满足下式： a s ( t ) = 吒( ，) e ( t ) d z k ( t ) ( 2 1 ) 其证明过程如下： 应用等价鞅测度定理，由尸o ，气) 和e ( f ) 的关系可以得到 啪，= 瓦1 鼍畿产 眨2 ) 令定理中f = ( 尸( f ，t k ) - - p ( t ，气+ 。”，g = 尸( ，& + 1 ) ，由( 2 2 ) 式可以得出定 哝 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) ，( 尸( ，。) 一p ( t ，0 1 ) ) 理中p 2 舌。鱼瓦矿2 e ，应用等价鞅测度定理可知最o ) 以 g = p ( t ，气+ 。) 计价单位计算为鞅，也就是说( 2 1 ) 式成立。 t g o pe ( t ) = 最( o ) e x p 一告f 吒( s ) 2 凼+ f 吼o 乙( s ) ) 2 e o ) 的一般模型，利用鞅测度变换定理( 定理的具体推理过程详见附录 a ，下面对l i b o r 市场模型的证明直接引用此定理) 滚动远期风险中性世界( r o l l i n gf o r w a r dr i s k - n e u t r a lw o r l d ) ：对于任一在 下一重置时刻到期债券，一直具有远期风险中性的特征。 鞅测度变换定理：在滚动远期风险中性世界里，假设厂，g ，h 为基于同一不确 定因素的符合对数正态分布的金融产品的价格，则厂相对于计价单位g 的价格变 到厂相对于计价单位h 的价格，变化的期望增长为( 一) 町，即 e ( f h f g ) = ( o h 一) 町。 一般模型：以p ( t ，+ 。) 作为计价单位可以得到e ( f ) 的表达式女n - f - 鬻= ，妾，锴1 扒啪胤d 旺3 ) e ( ，) ，筑)+ 4 鼻( f ) “7 “7 证明过程如下： 在本模型中令定理中咧垆瓦1 等蒙笋，贝u 吁嘶 令g = 尸o ，气+ ) ， = p ( l 乙( 。) 下面用技巧化简一，对1 + 瓯e ( ，) = 瓦p 瓦( t , 五t i ) 两边同时推对数得 l n ( p ( t ，气) ) 一l n ( p ( t ，“) ) = h l ( 1 + 瓯e o ) ) 利用i t o 引理，使d z ( t ) 项前面系数相等，得到 删飞- 护篙鬻 将k 累加则可以得到 1 3 第2 章l i b o r 市场模型( l f 】i f ) 吒一旷，妾，篙搿 j = 册i rj j 4f ， 带入厂= e 在计价单位g = p ( t ，t k + 。) 下的公式即上文( 2 1 ) 式，得到最终的 l i b o r 市场模型 鬻= 。妾，篙d t 州崛e ( ，) t 舄)1 + 4 e ( f ) ”7 ”7 3 带相关系数的远期利率模型 不同远期利率的唯一扰动就是相关系数：b ，。d t = d z e ( t ) d z k ( t ) = d ( z i ，互) ， 这样，远期利率模型另外一种写法为 a f t ( 沪o k ( 蝴) 圭f f i a + l 哗东挚删眦胤f ) ( 2 4 ) r ，v ， 下面对这个方程进行简单的证明 考虑远期利率e ( f ) = e ( f ，瓦，瓦) ，期望得到q 测度下的方程，根据基本模 型可知e ( r ) 在纱测度下的方程的漂移项为0 ，应用定理，类似鞅测度变换定理 这里不再详细证明( x 在不同测度s ，u 下的漂移项之差满足下面的公式： 朋y d t = m s d t 一( d i n ( 置) ) ( d i n ( s u ，) ) ) 。 令x = e ( f ) = 疋( f ，瓦- ，瓦) ，s = p ( t ，瓦) ，u = p ( t ，z ) ，根据定理可以得到 耐d t = m k d t - ( d l n ( x ) ) ( d 坂p ( t ，t k ) p ( t ，z ) ) ) ，由于在测度s = p ( t ，瓦) 下， x = e ( f ) 是一个鞅，则有砖= 0 ，化简上式得到 2 3l f m 的参数研究 2 3 1l f m 中的即时波动率 1 4 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) 1 特殊的l i b o r 即时波动率： 下面将按顺序给出一般结论，基本上采用统计的方法求解。首先假设远期 利率e ( f ) 的即时波动率是分段常数。特别地，e ( f ) 的即时波动率在每个到期日 时间间隔中是常数。在这个假设下，可以把即时波动率写成如下矩阵形式。( 其 中，“i n s t a n t v o l s 和“f w d ”分别为即时波动率和远期利率的缩写： 表2 1 不同到期日和观察日的波动率矩阵 t i m e - i n s t a n t v r o l s ( 毛，互】( 五，互】( 彩一】 t e ( o ，瓦】 f w dr a t e ： 巧( f )q - l d e a dd e a dd e a d e ( r ) 0 - 2 ，1 吒2 d e a dd e a d ( ，)o m 、 o m ，2 o m 3g m m 根据上表的矩阵格式，可以做出不同的假设，以简化统计计算量，降低波 动率参数的个数。 第一个假设为波动率只与远期利率的距到期日时间有关即瓦一乙，而不是 与到期日五和时刻f 分别相关。在这种情形下，可以得到下面的式子和表格，并 记为模型一： o r k ( t ) = c k j ，l ( | 卜l = ：仇m o 卜1 ) 表2 2 在第一个假设下的波动率矩阵 i n s t a n t 、，o l s t u n e ：f ( o , t o 】( 瓦，五】( 五，互】 r 丁丁1 、上 ，一2 ，上 f l j f w d r a t e ：e o ) 吼 d e a dd e a dd e a d e ( f )仍 仇 d e a dd e a d 毛( f )锄锄一1一2 编 1 5 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) 第二个降低参数的假设令波动率与时刻r 无关，即得到下面的式子和表格， 并记为模型二： 吼( ，) = ，。( f ) = ：s k 表2 3 在第二个假设下的波动率矩阵 i n s t a n t v r o l s t i m e ：f ( o ，t o 】( t o ，r l 】( t l ，互】 ( 巾一。】 f w dr a t e 正( f ) & d e a dd e a dd e a d e ( ，)屯屯 d e a dd e a d ( f )s us ms m s m 第三个降低参数的假设为把波动率分解成两个函数，这两个函数分别与到 期日和现在的时刻相关，则得到下列式子和表格，并记为模型三： c r , ( t ) = o - k ，( f ) = ：苁驴0 ( r ) 表2 4 在第三个假设下的波动率矩阵 i n s t a n t 、，b l s t i m e ：f ( 0 , t o 】( t o ，互】( 五，互】( 彩一。】 f w d r a t e ：互( f )j i i d e a dd e a dd e a d 互( f )办唬 d e a dd e a d 毛( f )九九九币镰v m 最后一个基于分解分段常数波动率的假设为把波动率分解成两个函数，这 两个函数分别与到期日和距到期日的时间相关，则得到下列式子和表格，并记 为模型四 1 6 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) a k ( t ) = 吒，( f ) = ：苁一( 朋( f 卜1 ) 表2 5 在第四个假设下的波动率矩阵 i n s t a n t v ，o l s t u n e ：f ( o ，t o 】( r o ，五】( 五，互】( 咖一。】 f w dr a t e ：f 1 ( t ) 锄 d e a dd e a dd e a d e ( ，)欢欢 d e a dd e a d 昂( f )咖m v m九一l九一：九 下面再给出市场上常用的两种统计得到即时波动率吼的多参数公式，并 分别记为模型五和模型六： 口r k ( t ) = g ( t j _ l t ；a ，b ，c ，d ) = ：【口( 互一l t ) + d e - b ( r , - , 一+ c 这个公式给出的波动率的图形相对于距到期日时间是一个驼峰形，但是它 的灵活性不足难以实现基于利率上限、互换等利率衍生产品市场中现实数据的 拟合，波动率依赖距到期日时间而不是分别依赖于时间f 和到期日。于是有 下面一个公式，引入了到期日的函数作为一个参数。 a k ( t ) = 谚y ( t l - t ；a ，b ，c ，d ) = ：谚( 口( t l - t ) + d e 旬五_ l 。+ c ) 这种变化改进了参数形式的灵活性，可以让模型更好的与利率上限、互换 等利率衍生产品市场中现实数据一致。 2 用利率互换报价反演远期利率的波动率 市场上一般对利率互换的报价为其波动率，所以l f m 模型中的吼【r ) 可以用 利率互换的波动率7 口，来得到。下面给出互换利率的公式： & 垆r e ( t , t 口) - p ( t , t p ) ：车塑 4 p ( t ，z )4 f p ( t ；t 。，互) f p ( 饵= 嚣男= 廖。心，哆= 丽1 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) &，声。，：；摔p 1 ：兰国，。，# 。，兰彩。，e 。， 。萎。4 熙。1 + s j l f j ( t ) 信叶1 信叶1 “性4 旦可1 丽 j ( f ) = 1 竺 型半一1 k = o t + l 暖兀= a + l 丽1 丽 t u i l ji j ( 谬) 2 = ，叁。型笔筹逝f g 西 。：甜1 ，7 ( 2 5 羔业鼍篓笋堕a 轧一 f 篇鼻l 瓯，口( o ) 2 - h = o ”m t , h + l j , h + l 乃是，( 0 ) 2 ( 唠) 2 = 彩；( o ) r o ( o ) z ( o ) 巧( o ) 尼瓯一。j l q 川乃m j = 口+ l h = o 占- 1庸 + 2 缈声( o ) r oj ( o ) 易( o ) 乞( o ) 助，氏m 州q m j = a + l 。o ( 2 6 ) i 叠一l + 2 窆c o p ( o ) r o ( o ) g ( o ) f j ( o ) p p ，吒却乃川匠习 j = o t + l 。1 。 f r l 一+ f o p ( o ) 2 易( o ) 2 瓯蝴唧州2 + 国，( o ) 2 易( o ) 2 屯一，乒l 斛。2i 上式可以化作关于，口+ 。的一元二次方程，令其系数分别为么，b ，c ，上面的 方程可以记作 以盯2 户肿l + 吃，口+ l + q ，声= o ( 2 7 ) 按照从左向右，从上到下的顺序，可以利用已知的互换波动率解出远期利 率的波动率，下表给出了互换波动率依赖的远期波动率 1 8 第2 章l i b o r 市场模型( l f m ) 表2 6 互换波动率和远期利率波动率推导关系 互换 长度 l y2 y3 y 到期日 毛= l yk ，。k 。2巧，3 q 1 q ，1 ，1q ，1 ，吒，1 ，吗。1 互= 2 y匕。l哆。z c r 2 l ，吒，2 ，1 吒，2 吒。l ，吧2 互= 3 y 巧1 码1 ，吒，2 ，q ，3 根据上式可以得出c c a 方法( c a s c a d ec a l i b r a t i o na l g o r i t h m ) ( b r i g oa n d m e r c u r i o ( 2 0 0 1c ，2 0 0 2 ，a ) ) ( 1 ) 在互换矩阵中选择行数s 作为要拟合的远期利率数； ( 2 ) 设定口= o ； ( 3 ) 设定= 口+ l ； ( 4 ) 解出方程( 2 7 ) 中的甜。，由于只要如果我们假设相关系数为正， 那么a 口，卢和b 口，都是严格为正。那么当且仅当巳， o 的时候， ( 2 7 ) 至多