（计算数学专业论文）关于指数权的积分和估计及lagrange插值的加权平均收敛性.pdf

差三塑塾壑竺墼坌塑笪生墨兰婴竺竖塑篁丝垫壑王望鉴墼堡 摘要 在无穷区间上的正交多项式及l a g r a a g e 插值的平均收敛性的研究都 是当前函数逼近理论研究的重点与热点本论文有三个有意义的结果 第一个结果是给出了无穷区间上的任意权函数的积分和的下界估计， 它在无穷区间上的正交多项式及l a g r a n g e 插值的平均收敛性的研究中起 基本的作用 定理a 令如，d v 是i 上的测度，0 f 0 0 又令a c i 且n = 【c ，明c ，一o o c 0 ， 则 恻 等互划c 圳i m i p ( z ) j p d v ( x ) 。 第二个结果是对指数权的各种积分和给出了精确估计，这是指数权 的正交多项式及基于其零点的插值的收敛性的研究的基础，因而有理论 的意义 令o p 2 情形a 表示当p = 2 且c = 口或d = b ，情形b 表示出此 之外的其他情形 硕士学位论文 定理b 令w ，( 1 咖+ ) 且一n = 6 ，q 为偶函数假设ac i 为一区 间，0 p 2 ，则有 xpke a 协黧 i1 ， i 一，pd 定理c 令w ，( z i p s + ) 且一n = b ，q 为偶函数假设c i 为一区 间，0 p 2 ，则有 。p 酬训一b 麓：o b i “， l 胃儿7d 定理d 令w ，( z i p s + ) 且一n = b ，q 为偶函数假设a = ( c ，d ) ci 为一区间，0 p 2 ，则有 ，乏藤1 而“叫2 。幺j 只( 如n ) i 第三个结果给出了基于指数权的正交多项式的零点的l a g r a n g e 插值 的平均收敛性的一个新的必要条件 定理e 令毗，d v 是i 上的测度，a = ( c ，d ) ，一o o c d o 。且 0 p c ( 酬眇篇k 堑塑里权的积分和估计及l a g r a a g e 插值的加权平均收敛性 定理f 令w ，( 2 鹕+ ) 且一d = b ，再令q 为偶函数，0 p o 。 0 假若且t e ( i ) 则 s u pz l 甜2 r ( 甸i p “( z ) 如2c f w ( z ) 一，“( 动出 定理g 令w 芦( 1 印+ ) 且一a = b , q 为偶函数令aci 为有限区 间且0 p 假设“0 ，t c ( i ) 有 2 m 。f l l ( w 2 ，；2 ) 一，( 2 ) j ，u ( 卫) d z ：。 对于每个函数，c o ( a ) 都成立则 【( 1 + h ) ( 硎- p 缸( z ) 血 关键词，积分和，收敛，1 a g r a n g e 插值，指数权 i i i 关于措数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 a b s t r a c t t h es t u d yo ft h eo r t h o g o n a p o l y n o m i a l so ni n f i n i t ei n t e r v a la n dm e a nc o n - v e r g n e c el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nh a sb e e n8m a j o ra n dh o tp o i n ti na p p r o x i m a t i o n t h e o r ya tp r e s e n t t h e r e 黜t h r e ei n t e r e s t i n gr e s u l t si nt h i sp a p e r t h ef i r s tr e s u l tp r o v i d e se s t i m a t i o n sf o rl o w e rb o u n df o rt h eq u a d r a t u r e8 a m 8 o fg e n e r a lw e i g h t so ni n f i n i t ei n t e r v a l i tp l a y saf u n d a m e n t a lr o l ei no r t h o g o n a l p o l y n o m i a l so i li n f i n i t ei n t e r v a la n dm e a l lc o n v e r g e n c ef o rl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n t h e o r e ma l e t 缸a n dd ub em e a s l l r e $ o nia n d0 p 0 0 l e t ci a n dl e tn ：k d lc ，一o 。 c 0 ， 榭 等量划m 俐阳喇 。 t h es e c o n dr e s u l tp r o v i d e sp r e c i s ee s t i m a t i o n sf o rq u a d r a t u r e8 n n lo fg x p o n e n - t i a l 鲥g h t s w h i c ha r et h eb a s i so ft h er e s e a r c ho fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sa s s o c i a t e d w i t he x p o n e n t i a lw 画g h t sa n dt h ec o n v e r g e n c ef o ri n t e r p o l a t i o no ni t sz 咖i tj 8o f t h e o r e t i c a ls i 零l i f i c a n c e 堡主兰竺丝查 f o rs i m p l i c i t y f o r0 p 2 ，c a s e a m e a n s t h a tp = 2a n dc = a o rd = b a n d c a s ebo t h e r w i s e ， t h e o r e mb l e tw ，( 1 i p + ) w i t h n = ba n dl e tqb ee v e n a s s u m e t h a t a c i i sa l l i n t e r v a la n d0 p 2 t h e n 。量k w c 卜a n 一c a s e & a , 1 ohca8e廿 t h e o r e mc l e tw ，( z 咖 + ) w i t h d = ba n dl e tqb ee v e n a s s u m e t h a t a c i i s a n i n t e r v a l a n d0 p 2 t h e n a h i p - i ( x k ) f b c a s ea ,zk,zea i ，c a 辩b ， t h e o r e md l e tw ，( ：i 砖+ ) w i t h d = ba n dl e tqb ee v e n a s s u m e t h a tac i i s a n i n t e r v a l t h e n ，邑土i p c ) i “叫2 ，乏五 t h et h i r dr e s u l tg i v e san e wn e c e s s a r yc o n d i t i o no fm e a nc o n v e r g e n c eo fl a - g r a n g ei n t e r p o l a t i o no nz e r o so ft h eo r t h o g o n a lp o l y n o m i a la s s o c i a t e dw i t he x p o n e n t i a lw e i g h t s t h e o r e me l e td pa n dd ub em e a s u r e so ni l e t = ( c ，d ) ，一 c d ，a n d0 p o o t h e n 忙n c 驯舭魂2 c c i 南。三一c 训l i 如 硎吨列幻，互面南f f 端b n e n 。 o ” 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 m o r e o v e r ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n so ft h e o r e ma w eh a v e i i l ( d p ) l i 删。喀e ( d v , a , 功m 灿( 茁州端k t h e o r e mf l e tw ，( “p ；+ ) w i t h 一口= ba n dl e tqb ee 咖l e t 0 p o o s u p p o s e t h a tn 2 0a n d “c ( i ) ，t h e n 唧f l 2 r ( 圳“( 功如2c - p u 扛) d x ”j ij i t h e o r e mg l e tw ，( z i 畦+ ) w i t h n = ba n d l e t qb ee c e n l e t c i b eaf i n i t ei n t e r v a la n dl e t0 ， a s s u m et h a tt 0a n d ed ( i ) ，s u p p o s e t h a t 慨z 瞰酽_ 功训硎吣) 出= 。 h o l d sf o re v e r y ，岛( ) t h e n r ! ( 】+ 埘) 彬扛) j - v “扛) d z k e y w o r d s ：q u a d r a t u r em ，c o n v e r g e n c e ，l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，e x p o n e i l - t i mw e i g h t 8 i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：络一格如7 年，月a 7 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密d ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名：络一椐 新繇。娩勿 日其妙夕年厂月9 日 日期：砷年罗月0 日 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 第一章引言 1 1 记号以及后面的论文安排 为了方便阐述本文，我们给出下面一些常用的记号一 r ：全体实数集 n ：全体自然数集 p 。：最高阶不超过n 的全体多项式集 ，c ( i ) ：表示函数，在区问i 上连续 s u p p ( d p ) ：表示如的支集，即p ( z ) 的所有递增点的集合 令a c i 为一区问，舡为支集a 上的一测度 ，乙i a ) ：表示对于0 p 0 时。我们用记号 a n = o ( k ) ，a n = 口( k ) 硕士学位论文 分别表示o 。k 是有界的和趋于0 的 本论文由四章组成，主要讨论了l a g r a n g e 插值加权平均收敛性，获得了一系 列的结果其中部分的推广或改进了已有文献中的相关结论第一章主要介绍了问 题研究的历史背景第二章我们给出了一些重要的辅助引理，其后对权函数的积分 和以及一些重要的量进行了估计第三章我们给出了l a g - r a n g e 插值加权平均收敛 的一个必要条件第四章介绍该领域存在的问题以及以后的研究方向 1 2 正交多项式 正交多项式作为一门与分析学的许多重要分支密切相关的研究领域，近几十年 来已经取得了一系列的重要成果正交多项式不仅与三角函数、超几何函数、贝塞 尔函数以及椭圆函数有密切的联系而且与连分式理论、插值理论和机械求积中的一 些重要问题相关正交多项式还出现在一些微分和整数方程中近年来。某些正交 多项式在量子力学和数理统计中具有重要意义( 参见s z e 9 6 【2 7 ) 令p ( 功为定义在i 上的非减函数，其中i = ( a ，一o o n 0 满足 z p m ( 舡湖r ( 毗。m ( z ) = 4 m ， 称之为关于测度d p 的n 次标准正交多项式如果d p 是绝对连续的，则p 7 = w 为 权函数此时，我们分别用r ( t t i ；功和( 伽) 代替 定义任意一个三角节点组x ：= z m ，1s i n ) 满足 d x l n 而m 1 ) 一d 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 在【一a n ，a n l 上的正交多项式r ( 酽，z ) 被证明为与在【- 1 ，1 】上带s z e 9 5 权的 正交多项式类似，而实际上这种类似相当于我们以前学过的从卜n ，i 。】线形映射 蓟【一1 ，l j r ( 酽，z ) 的零点在 一d ，i ，a n j 内或者接近于士，并且具有特殊的渐近 分布m h a s k e r 和s a f f 建立了如下重要的性质 h r # l 。( 衄】= h r 彬h 。【- m 1 1 其中r 是最大阶为n 的多项式此外，他们还证明了是满足上式成立的渐近 最小数 读者可以参阅s a f f 和t o t i k 的专著【2 l 】，其中对相关的权函数的位势论进行了 透彻的分析。以及m h a s k a r 所写的专著f l o 】，其中强调了在调和分析中带权的逼近 与应用。 下面，我幻主要介绍六大类指数权以及其中的三个子类， 假设a 0 0 ，使得函数 g ：( c ，回一( 0 ，o o ) 满足 ，( z ) ( 或者) v l ( y ) ，c 1 ，t i 0 ( e ) 存在a 0 满足 揣g 错，a - e 川 0 ， 则我们称w ，( 俨) 如果同样在开区间i 上存在一紧支集j 和q 0 满足 揣q 错一i j 则此时我们称w ，( 俨+ ) 定义1 3 2 ( 【6 ，定义1 2 ，p 1 0 1 ) 令w = e - q ，其中q ：i 一【0 ，o o ) 满足以下性 质； ( a ) q ，c ( i ) 且q ( o ) = 0 ( b ) 矿在i 上非减 ( c ) 我们有 。骧q ( t ) 2 燥q ( ) 2 * ( d ) 函数 t ( t ) 一帮，t o 在( a ，0 ) 上是拟减函数，在( 0 ，b ) 上是拟增函数，且 t ( t ) a 1 ，t i o ( e ) 存在e o ( 0 ，1 ) 满足对于p i o 有， t 一t ( ， 一南 ) 则我们称w ， 一6 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 定义1 3 3 ( 【6 ，定义1 3 ，p 1 i d 令w ， ( 8 ) 假设存在c ，e 1 0 满足对于所有的茁i o 有 厂+ 翌掣, i s 0 存在6 0 满足对于所有的z i 0 有 震掣d s 0 满足对于所有的i 0 有 厶背d s 0 存在6 0 满足对于所有的z i o 有 露瞥一 我们称w ，( z 咖 ) 。 定义1 3 5 ( 【6 ，定义1 5 ，p 1 2 】) 令w ，蟊致妒：f o ，o o ) 一【0 ，o 。) 是连续的严 格增函数且妒( o ) = 0 假设1 1 ，t i 0 且同时满足对于所有的z i o 有妒( r ) r a 4 在 0 ，0 0 ) 上是q i 墙面减函数假 设存在g l 0 有 篙等掣南, p ( i s 鲴删 ，一 槲 5 一。 一z i ! 并) 硕士学位论文 则我们称w ，( 妒) 足义1 3 6 ( 1 6 ，定义1 6 ，p 1 4 1 ) 如罘w 于狮p ) 且对于每个致l 1 ，存在 亡0 0 和g 1 满足对于t t o 有 错2 e 9 恤) 一。 则我们称w 尹( f 啦 + ) ，这里数8 一t 0 0 被下面的等式所定义； t = 扳萨器血扛；上一。西i 豸蔷三驴血 和 。= ；仁矿血 l e v h a 和l u b i n s k y 在2 0 0 1 年所写的书【6 】中对以下这几类指数权 只曩。绷) ，( 击嘲，( l 印；) ，芦( 却；) ，只俨) ，只+ ) ， 进行了总结并给出了它们之问的关系 ，2 ，( 。m ) 2 ，( 击n i ) 2 ，( l 印；) ，( f 咖；) ，( 俨) ，( 俨+ ) 和 ，( z 咖；) ，( 却互1 + ) 及 1 4 积分和的估计 在研究正交的f o u r i e r 级数或者是正交多项式零点的l a g r a n g e 插值的收敛性 等问题上的时候。无一啻| f 外地都会碰上需要用到些正交化区间上的正交多项式的 界和不等式 史应光在f 2 2 】e e x t 有限区间【- 1 ，1 l 上的正交多项式的界的估计提出了一种有 效的方法 一8 关于指数权的积分和估计及l a g - r a n g e 插值的加权平均收敛性 首先，我t r i v i a 下面一些记号和定义1 2 5 1 z ( u ) ：= 。i ：( z ) = o m ：= 在i 上所有l e b e s g u e 可测集的集族 i e l ：= e 的测度，其中e m ； 仃( q ；占) ：= 盯( 如，n ；6 ) q m ，0 d i n i ；( 1 4 1 ) 定义1 4 1 ( 【2 2 ，定义，p 3 1 0 1 ) 如果存在个数6 0 则我们记_ i l e 定理1 4 1 ( 2 2 ，定理2 ，p 3 1 1 ) 令批是【- 1 ，1 】上的任意测度，则对于所有的 0 o 史应光在【2 5 一文中又对此进行了推广他提出了一种在无限区间上的正交多 项式界的估计的方法 9 顽士学位论文 定理1 4 3 ( 2 5 定理3 ，p 5 7 1 ) 令毗是r 上的任意测度，则必存在一个数j ：= 6 ( d p ) 0 ，有 加圳州z ) 等p n 州训f 掣 0 一怎 定理l 。4 4 ( 【2 5 ，定理5 ，p ，5 9 1 ) 令d 弘是r 上的任意泓度，acr 是有穷多个 不相交的有限区间的并，且p g ( ) 假设r ( 础；z ) 的零点的最大模是d ( n ) 如 果 d p ( x ) 0 ， 则 蚴等上俐m 。量训( i 。 ( 1 4 _ 2 ) 这里，( 1 4 2 ) 中的系数2 警可以省略 在这篇文章中，我们将定理1 4 4 进行了进一步的推广，并对积分和的估计给 出了个更为普遍的结果 定理1 4 5 令如，d v 是i 上的测度，0 p 0 0 又令aci 且n = 【c d 1c ，一 c 。 一1 0 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 1 5l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 在研究k ( x ，) ，xc 卜1 ，1 】的平均收敛性的过程中1 、1 r 缸【2 8 1 提出了下面的 问题。 问题x i ：假设p 1 ，对于一切f c - 1 ，1 】，满足 ，l l i m l ，( z ) 一厶( x ，；z ) l ，d z = 0 ( 1 5 1 ) n 一j l 的充分必要条件是什么? 史应光f 2 3 】以及m a s t r o i a n n i 和v 6 r t e s i 9 】讨论了这个问题并得到了在节点组 x 上的l a g r a n g e 插值的加权平均收敛的某些必要条件之后，史应光【2 4 i 证明了 面这个定理他给出了l a g ：r a n g e 插值的加权平均收敛的个必要条件，并发现 了l e b e s g u e 函数型求和 a ( x ；动= i ( x z h ) f h ( z ) i 七= l 在l a g r a n g e 插值的加权平均收敛中的基本作用 定理1 5 1 ( f 2 6 ，引理1 1 3 1 ，p 2 6 2 】) 令蛳是【- 1 ，1 】上的一个测度，节点组 xc 【- 1 ，l 】且0 p o 。，则对于一切n n ，有 川一+ 聊峥酬峙 其中 f i l ( x ) l h p 口= s u p8 k ( x ，) f f d ，c 卜1 ，l 】 如果令缸，d v 是i 上的测度，是一区间，c o ( ) 是i 上具有支集的连 续函数的全体，即f c o ( ) 表示为，e ( i ) 且，扛) = 0 ，z i 下面。我们 记，c o ( ) 且0 p 0 1 0 ， 1 1 - ( 驯l 岛( ) 也2 雌s u p l i ik ( x ，) l l 幻( 1 删 硕士学位论文 这里 定理1 5 1 即可表述如下 l i f l i = s u pi f ( x ) l ，f c ( i ) x e i 定理1 5 2 令d 乒是f - 1 ，1 1 上的个测度，节点组xc 【- 1 ，1 】且0 p ， 则对于一切n n ，有 忙删l 即嘲，揖加峥z 刮k 忆 其中 il l ( x ) 1 1 吼q l ：= 。s u ：p 。i i k ( x ，f ) l l 蜥fec - 1 , 1 在这篇文章中，我们对定理1 5 2 进行了推广，给出了关于l a g r a n g e 插值算子 的新的不等式 冠理1 5 3 令d p ，d v 是i 上的阋厦，= 【c ，d ) ，一o o c d o o 且0 p c o ， 则有 雌x ) i i c o ( ) - 吼潍们| l 南量州忆m ， 和 郴川一啦c ( l p ) 三瓜南| | 端k ( 1 弘) “n ” 。， 此外，在定理1 4 5 假设下，我们有 i i l ( d * ) h 忡啦c ( d u , a , p ) p n ( 圳叫z ) r | i 器b ( 1 5 5 ) 如果i 是有限区间，则( 1 5 3 ) 一( 1 5 5 ) 中的因子i 干1 两可以省略 e r d 6 s 和t u r 氲u 在文献f 2 】中证明了一个著名的结论 美于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 定理1 5 4 ( 2 2 ，定理a ，p 3 2 2 0 对于每一个函数f g 【一1 ，1 1 ，有 熙i 1 1 i f ( x ) 一厶( 如，；圳z d p ( z ) = 。 成立 随之而来的疑问就是什么样的条件能满足对于所有的，c - 1 ，1 】且0 2 ，都有，c - 1 ，1 】。使得公式( 1 5 6 ) 成立? a s k e y i ，p 7 7 】推测用p o l l a c z e k 权【1 3 ，p 8 0 】可以解决 i b r 5 n 问题v i i i 和问 题i x n e v a i 在1 1 3 ，引理l o 1 8 ，p 1 8 1 j 和【1 5 ，定理，p i 9 0 1 中证明了它， 且 接下来，我们先介绍两个类；s 是s z e r 筘类即p s 表示s u p p ( 如) = f - 1 ，l 】 等笺甜卜1 i l 】 饥= 。i ”叫 - 1 3 硕士学位论文 以及j s ( 恰s z e 9 6 ) 表示肛集合满足p s 且对于所有的e 0 都有 哗霉l i 【1 ，1 _ 、1 一护。 4 。 成立 n e v a i 证明的结论如下； 定理1 5 5 ( 2 2 ，定理b ，p 3 2 3 d 令p j s 或令p 是个p o l l a c z e k 权或令p 被 定义如下； p 7 ( z ) = 妒( 甸e x p 一( 1 一舻) 1 2 ) ， 其中妒( 0 ) l i p l ，则对于所有的p 2 存在一个函数，c - - i ，i 】使得( 1 5 6 ) 成立 定理1 5 6 ( 2 2 ，定理c ，p 3 2 3 0 令p s ，1 p o p o ，都有 ( 州l 一矿) 】刮2 札( z m = o o 则存在一个函数，c - i ，1 】满足对于所有的p p o ，有 h 恕p j ( 毗加妒u ( z m = o o一1 成立 史应光在【2 2 】中将定理1 5 5 和定理1 5 6 在条件2 p o c o 下推广到测度 p 上( 芑的定义见定义1 4 1 ) 定理1 5 7 ( 2 2 ，定理1 2 ，p p 3 2 4 - 3 2 5 ) 令p ，如果t ( 0 ) l 1 i - i ，1 】且 0 0 ) l 1 i - i ，1 】，如果0 p o o ， l i r a s u pl i 厶( 如) l l p 卅 ( 1 5 7 ) 则有 l i m s u pi i p ( 蛳) l l 。，ps ( 3 0 此外，如果p 2 且( 1 5 7 ) 成立则有 瞅州l 一州胆1 钟心 定理1 5 8 推广了【1 3 ，p 1 8 1 l 中的定理1 0 1 6 以及【1 3 ，p ，t s o 中的定理1 0 1 5 对于条件p 2 的结论分别令1 1 , = 和t = 1 ，由定理1 5 8 和一致有界定理，又 可以得到下面两个重要的结论 定理1 5 9 ( 2 2 ，推论1 2 ，p p 3 2 s - 3 2 6 ) 令_ 【l 是绝对连续的且2 p o 有 m 。s 。u p 1 l 。( 舡，加) m z ) 出= m 成立 定理1 5 1 1 对 1 6 ，p 4 4 1 中的定理4 8 2 进行了总结并对【2 8 ，p p 3 2 3 3 1 中的 t u r h n 问题v i i i 和问题给出了一个新的否定的回答 n e v a i 在【1 4 1 中研究了在h e r m i t e 多项式的零点处的l a g r a n g e 插值的加权平 均驴收敛性他得出了一个结论t 如果连续函数具有某种增长性，只要恰当地选 择权函数则相应的l a g r a n g e 插值加权平均驴收敛 定理1 5 1 2 ( 【1 4 ，定理2 ，p 2 6 a ) 令( z ) = e - z 2 1 2 ，“( o ) l 1 ( i ”且0 p 0 ，有 。鲻z ，( 错) 鲰z 狐 对于每个e 0 ，又有 s ( z ) ：0 ( 0 ( z ) ) ， z - 一 则我们称易 定义1 5 2 ( 【8 定义1 1 ，p 1 2 7 4 1 ) 令w = e ，其中q ：( 1 ，1 ) 一r 为偶函效 且在( 一1 ，1 ) 上二次连续可徼此外，假设对于z ( 0 ，1 ) ，q ( j ( z ) 0 ，j = 1 ，2 函数 = 1 + 丽t q c t ) ，t ( - 1 , 1 ) 。 在( 0 ，1 ) 内为增函数，且 s ( o + ) = 。望舜s ( ) 1 对于足够接近1 ，有 一黜， 而对于某些a 2 和足够接近1 的t ，又有 s ( t ) 禹 则我们称w w 硕士学位论文 对于e r d 5 s 权( 即w 晶) ，d a m e l i n 和l u b i n s k y 4 ，5 】以及对于w w ， l u b i n s k y 8 】同样给出了类似的l a g r a n g e 插值加权平均收敛的必要条件他们的结 论如下。 定理1 5 1 3 ( 【4 ，定理1 - 4 ，p n 3 d 令w = e - q 矗且p 4 假设可测函数 u ：r r 满足 l i m i n fu ( 咖一( 料) q ( z ) ；( 舛) 0 ， 则存在连续函数f ：r r 满足在【- 2 ，2 】外等于零，且 l i r as u pi i l 。( 酽，；) w u i i l , ( a ) = o o 定理1 5 1 4 ( 1 5 ，定理1 5 ，p 7 4 0 d 令w = e - q 矗假设可测函数u ：r r 满足 l i r au ( z ) z s 4 ( 1 0 9q ( x ) ) 1 肛= o o 则存在一个连续函数，：r r 满足在【一2 ，2 】外等于零，且 l i m s u p l i l 。( 2 ，；) u 0 “( r ) = o 。 定理1 5 1 5 ( i s ，定理1 6 ，p 1 2 7 7 1 ) 令w w 且p 4 令u ：( 一1 ，i ) 一r 可 测且满足 l i r a 【，( z ) 【1 + q 2 3 ) s 扛) 】 一；1 = o o 0 + 一 则存在连续函数f ：( 一1 ，1 ) 一r 满足在【一 ，封外等于零，且 f l m s u p i i l n ( w 2 , ，；) w u u l ， 一i ，1 】= o o 在本文中，我们将定理1 5 1 5 中的权函数改进为一类指数权，w ，( f 咖；+ ) 并填补了定理1 5 1 3 _ 定理1 5 1 5 中的某些缺失 1 r 一 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 定理1 5 1 6 令w 尹( 1 l p + ) 且一口= 6 ，再令q 为偶函数，0 p o 。假设 0 且c ( i ) 则 8 u p 上 2 r ( 圳n ( z ) 出c j ( ( 王) - p “( z ) 血 ( 1 5 9 ) j ii 如果i 为有限区间，财( 1 5 9 ) 中的因子。护可以省略，因为此时d n 6 定理1 5 1 t 令w ，( ! 咖 + ) 且一口= b , q 为偶函数令c i 为有限区间且 0 p 假设“0 ，“c ( i ) 若 l i m i 厶；( 酽，；z ) 一，( z ) p u ( z ) d = 0 n _ 。o j i 对于每个函数，岛( ) 都成立则 ，【( 1 + ) w ( 圳- pu ( ) 血 ( 1 5 1 0 ) j i 比较定理1 5 ，1 争定理1 5 1 5 ，定理1 5 1 7 还给出了在w ( 矗u w ) n ，( f 咖 + ) 和o p 4 以及w ，( f 咖；+ ) ( 矗u w ) 和0 p 1 时， 当如= 1 时 当矗 0 2 l 一 硕士学位论文 引理2 1 3 ( 2 5 ，引理2 ，p 5 7 】) 令毗是i 上的测度且a m 如果有厶d p ( z ) 0 则存在一个数j 且o 0 ，使口( 毗，i ；6 ) 0 引理2 1 4 ( 【2 6 ，定理5 3 2 ，p 9 3 】) 令a ，b ，p 0 且a b + p 0 则有 其中 ( a + b ) p c ( a 9 + b 9 ) ，( 2 1 2 ) f 1 ，0 p 1 ， 。i 牡p - 此外，我们还需要引入一些记号： 对于权函数w ，( z 咖；+ ) ，我们定义 也：；( m + i n t i ) ， o 一卜。，( 钭2 r ，3 ，川 嘶卜 尹蒜 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 和 我们有 ：t k n = 。( w 2 ) ，r ( z ) = r ( 2 ；。) ，k ( 功= k ( 2 ；z ) k 。= a h ( 2 ) ，= ( 2 ) 引理2 1 5 ( 【6 ，p p 缸2 6 1 ) 令w ，( 1 i p + ) 且n n 则 ( a ) 对于l 0 和n n o ，一致地有 k 扛) “p ) o ) 2 ， n “1 + 却一) s 卫( 1 + l ) ， ( 2 1 - 3 ) ik ( z ) c ( z ) i 矿( z ) 2 ， 土i ( b ) 对于n 1 ，一致地有 s u p1 只( l 忙) ( ) 一1 ( c ) 对于z 扛k 一1 m 瓢。】，n 2 和2 sk s ，一致地有 i p 。( x ) i w ( x ) 一m i n i x 一孤一l 。i ，i x 一；1 ) 协。( 。h ) 一1 讥( 巩。) 一1 ( 2 1 4 ) ( d ) 对于t l i 和i n ，一致地有 i r ( z h ) l ( ，) 一( z h ) _ 1 怯( 。) _ 和 r l ( 蕊。) f w ( ) 一茑1 ( ) ( 2 1 5 ) ( e ) 对于n 2 和2 七一致地有 z h 一矾一l m 一( z h ) ( 2 1 6 ) 2 3 项士学位论文 和对于n n o ，一致地有 1 一。r l - 。，1 一警。伽 ( 2 1 7 ) 0 一” ( f ) 对于扎n ，一致地有 丝。矗 2 2 任意权函数的积分和的估计 ( 2 i 8 ) 定理2 , 2 1 令d 1 ，d v 是i 上的测度，0 p 0 0 又令ci 且n = 【c ，d lc ，一o 。 c 。， l i 。m ，i 。n ff 。7 n - i 。墨a h i r t c z h ，i ) 9 上i r c 圳m v c z ， 。 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 证明应用( 1 2 1 ) 得 等三刈c 酬m 酬叫z ， 等三训c 叫加阻巾， = z 三飞拖i 卜n 仁z 栅 2 4 关于指数权的积分和估计及l a g r a n g e 插值的加权平均收敛性 为了估计( 2 2 4 ) 的右边部分，我们选择一个足够小的数d 0 满足 蔗叫啦；加以 显然有 广扫d p ( 。) o ， ，4d p ( z ) o j d 一5 得 根据假定知r ( 毗) 的零点的最大模为d ( n ) ，由引理2 1 1 ，存在个数使得对于 每个”n ，r ( 础；z ) 在【c ，c + , ，1 3 1 和【d 一6 3 ，司中分别存在零点，各记为五。一 和则当“n 时。有c 毛。一c + 6 3 ，d 一6 3 一d 和 z ：d 一( z ) ；z d 一( z ) 其中= 陋，一应用引理2 1 2 ，取5 = 1 和h = 6 1 3 我们可以得到k ，满 足l k l j 3 和 凡：妻i ( - - x 。, , n ) k ( 训老 ( 2 2 6 ) 凡= i ( ) k ( z ) i 卺 ( 2 2 对于所有的z 厶和n = 1 ，2 ，成立对( 2 2 6 ) 关于d v 在、k 上积分然 后应用( 1 4 1 ) ，得 。z 驴刊删卜g ， 芝厶詹h 眦，i 卜z ， 江ki 薹l ( x 刮j 卜功2 厶、k一训龇j 咖 ( 矗) 地嘣3 ) 厶 ( 2 。7 ) 2 5 硕士学位论文 又由( 1 4 1 ) 得 a ( d v ，n 06 3 ) = ( z ：d ”c z ，) 一1 占。：。! 爰，i e i ；