（计算数学专业论文）解schrodinger方程和burgers方程的紧差分格式.pdf

解s e h r s d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 摘要 s c h r s d i n g e r 方程( n l s ) 是现代科学中具有普遍意义的重要方程之一，它在非 线性光学、量子力学，等离子物理流体力学中有着广泛的应用b u r g e r s 方程也是 流体力学中一个很重要的方程，它在非线性波、气体动力学，激波及连续随机过程 等众多领域都有着广泛的应用目前，很多作者都研究了这两类方程的数值解和精 确解本文研究了非线性及线性s c h r 6 d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 首先，第一章分析了非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的紧差分格式 在这一章中，首先介绍了非线性s e h r 6 d i n g e r 方程数值解法的研究现状，回顾了 前人的研究成果第三节构造了紧差分格式，证明了该格式可以保证离散电荷和离 散能守恒用能量方法证明了差分格式的收敛性和稳定性，其收敛阶为d ( 一十酽) 然后给出了数值算例，通过在每一个时间层上迭代求解非线性方程组，得到了数值 解通过数值算例与已有的差分格式进行比较，结果表明，本章所提出的格式，相 比以前的差分格式，计算精度有了较大的提高，并且紧格式可以保证离散电荷和离 散能守恒 其次，第二章分析了线性s c h r s d i n g e r 方程的差分格式 本章利用待定系数法，构造了三种两层隐式差分格式，其截断误差分别为o ( r 2 + 舻) 及0 ( r 2 + 胪) ，其中一种格式为紧差分格式最后的数值算例表明本文构造的差 分格式是有效的，但是相对而言，紧格式计算简单，且具有相对较高的精度 最后，第三章分析了b u r g e r s 方程的紧差分格式 在这一章中，前两节介绍了b u r g e r s 方程数值解法的研究现状及本章主要研究 内容通过h o p e - c o l e 变换，可以把b u r g e r s 方程转化为线性热传导方程然后对 热传导方程构造了紧格式，截断误差为o ( r 2 + h 4 ) 通过数值实验与已有的差分格 式进行比较，结果表明，本章所提出的格式，相比以往的格式，计算精度也提高了 许多这说明计算结果与理论分析相符合，本章的格式是有效的 关键词： 非线性s c h r s d i n g e r 方程，线性s c h r 6 d i n g e r 方程，b u r g e r s 方 程，紧格式 an e wc o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rt h e n u m e r i c a ls o l u t i o no fn o n l i n e a ra n dl i n e a rs c h r 5 d i n g e r e q u a t i o na n db u r j g e r s e q u a t i o n a b s t r a c t s c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm o d e l so fm a t h e m a t i c a l p h y s i c s ，w i t ha p p l i c a t i o n st od i f f e r e n tf i e l d ss u c ha sp l a s m ap h y s i c s ，n o n l i n e a ro p t i c s ， w a t e rw a v e s ，b i o m o l e c u l ed y n a m i c sa n dm a n yo t h e rf i e l d s b u r g e r se q u a t i o np l a y s am a j o rr o l ei nt h es t u d yo fn o n l i n e a rw a v e s ，g a sd y n a m i c s ，s h o c kw a v e 8 ，a n di n c o n t i n u o u ss t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，m a n ys c i e n t i s t sa r ed e v o t e dt os t u d y i n gt h ee x a c t a n dn u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h et w oe q u a t i o n st h i st h e s i sm a i n t yc o a s i d e r st h e c o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rt h en o n l i n e a ra n dh n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ， a n db u r g e r se q u a t i o n ， f i r s t l y , t h ec o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rt l l en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a - t i o ni sd i s c u s s e di nc h a p t e ro n e ， i nt h i sc h a p t e r ，w er e v i e wt h ep r e v i o u sr e s u l t sa n dt h ew e r kw eh a v ed o n e t h ec o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o na r e c o n s t r u c t e di ns e c t i o n3 t h es c h e m ec a b c o n s e r v et h ee n e r g ya n dc h a r g eo fs y s t e m s a n di t sc o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t ya r ep r o v e db yu s i n gt h ee n e r g ym e t h o d ，t h ep r e c i - s i o no ft h i ss c h e m ei sd ( 产+ h 4 ) t h e nn u m e r i c a le x a m p l e sa r es i r e na n dan o n l i n e a r i t e r a t i v ea l g o d t h m ah a st ob eu s e dt os o r et h es y s t e mo ft h en o n l i n e a ra l g e b r a i c e q u a t i o na te a c hd i s c r e t et i m es t e p t h ec o n s e r v a t i o no ft h ee n e r g ya n dc h a r g ec a n a l s ob ep r o v e d w es h o wr i g o r o u s l yt h a to u rs c h e m ei ss t a b l ea n dc o n v e r g e n ta n d t h a ti tw i l ln o ty i e l d “b l o w - u p 。，t h ep r e c i s i o no ft h i ss c h e m ei sa l s oo ( t 2 + 4 ) t h en u m e r i c 8 lt e s t ss h o wt h a tt h en e ws c h e m ei sf a s t e ra n dm o r ea c c u r a t et h a nt h e o t h e rc o n s e r v a t i v es c h e m e s s e c o n d l y , i nc h a p t e rt w o ，w em a k eas t u d vo ft h r e e n u m e r i c a lm e t h o d sf o rl i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o z l t h r e et w o - l a y e ri m p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e sf o rs o l v i n gs c h r s d i n g e re q u a - t i o na r ep r o p o s e db yt h em e t h o do fu n d e t e r m i n e dc o e 伍c i e n ta n dp r o v e dt ob ec o i l - v e r g e n ta n ds t a b l e f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei l l u s t r a t i n gt h ea c c u r a c yi ss h o w n i ti ss h o w nt h a tt h ec o m p a c t 血u i t ed i f f e r e n c em e t h o di sab e t t e ro n e f i n a l l y , i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h ec o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d w i t hh i g ha c c u r a c yf o rs o l v i n go n e - d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o n t h ef i r s tt w os e c t i o n sr e v i e wt h ep r e v i o u sr e s u l t sa n dt h ew e r k w eh a v ed o n e b y i t h eh o p f - c o l et r a n s f o r m a t i o n ，t h eb u r g e r s e q u a t i o nt r a n s f o r m st ot h el i n e a rh e a t e q u a t i o n n u m e r i c a lr e s u l t so b t a i n e dh a v ec o m p a r e dw i t ht h ee x a c t ( f o u r i e r ) o n e i ti ss h o w nt h a tt h e ya r ei ng o o da g r e e m e n tw i t he a c ho t h e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs c h r 5 d i n g e re q u a t i o n ，l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a - t i o n ，b u r g e se q u a t i o n ，c o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d i i 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以耪；注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含其他教育机构的学位或证书使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意 学位论文作者签名趔葑浆签字日期：御年，月秽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权 学校可以将学位沧文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授 权书) 学位论文作者签名 导师签字 黼拄 签字日畔如坍签字啉1 年 月移日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 第一章解非线陛s c h r s d i n g e r 方程的紧差分格式 众所周知，非线性s c h r s d i n g e r 方程( n l s ) 是现代科学中具有普遍意义的重要 方程之一，在非线性光学，量子力学、等离子物理，流体力学中有着广泛的应用 1 - s 文献【6 1 0 】研究了下面的广义非线性s c h r s d i n g e r 方程( g n l s ) 的初值问题 豢+ 岳( a ( z ) 爱) + i 蛐+ b ( 硎“ p - l u = 0 ，产_ l ，p 1 ， ( 1 1 ) t ( z ，0 ) = 咖( z )( 1 2 ) 其中t l ( z ，t ) 是复值函数，曲( z ) 为已知函数，为实常数，a ( 。) ，b ( x ) 均为实函 数，且a ( z ) 0 当p = 0 时，方程( 1 1 ) 为一般的非线性s e h r s d i n g e r 方程( n l s ) ； 当y 0 时，方程( 1 1 ) 为带有耗散项的非线性s c h r s d i n g e r 方程由于非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程是非线性偏微分方程，可以用逆散射方法得到其精确解 1 1 - 1 2 1 但 是直到目前，这些分析解还只能对少量的有孤立子解的情形得出，对于大量具有实 际意义的物理问题，数值计算的方法越来越广泛地得到应用 1 1 问题的研究现状 方程( 1 1 ) 中p = 0 ，同时令a ( z ) = 1 ，b ( x ) = 口，p = 3 即可得三次非线性 s c h r s d i n g e r 方程( c n l s ) ： i 祟+ 耄+ 肌i qj ：o 2 瓦十丽十“2 ” ( 1 3 ) 近几十年来，许多作者对上述非线性s c h r 6 d i n g e r 方程在理论和数值方法上进 行了广泛的研究 1 3 - 1 4 ，提出了多种数值方法，主要有三类：有限差分法( t h ef i n i t e d i f f e r e n c e ) ( 1 5 一矧，有限元法( t h ef i n i t ee l e m e n t ) 2 4 2 6 】，谱方法( s p e c t r a lm e t h o d s ) 2 7 3 叫 有限差分方法因其简单、直观而得到广泛应用在d e l f o f i r 等人【6 | 1 9 8 1 年提出的有 限差分格式的基础之上，t a h a 等人【1 q 总结和提出了五种有限差分格式， s a n z - s e r n a 1 提出了“蛙跳格式”和修改的c r a n k - n i c o l s o n 格式，常谦顺1 1 q 在1 9 8 1 年 提出了个守恒c r a n k - n i c o l s o n 格式，并于1 9 9 9 年总结了广义非线性s c h r s d i n g e r 方程的各种有限差分解法 1 9 1 z h a n g f e i 等人口0 1 在1 9 9 5 年提出了一种三层七点差 分格式，张鲁明等人在z h a n g f e i 等人的基础上提出了几个新的带参数的守恒差分 格式 2 1 - “在文f 2 3 1 中张鲁明首先对线性方程构造了个高精度的差分格式，从 而获得了耗散项，并在此基础上构造了个精度较高的两层守恒差分格式，但用此 格式进行数值求解时，需要迭代对非线性s c h r 6 d i n g e r 方程已构造的差分格式中 解s c h r 6 d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 s - 2 s ，无论是两层格式还是三层格式，无论是非线性显格式还是非线性隐格式，其 精度都不高，截断误差的阶均为o ( r 2 + 舻) 文【3 9 】提出了个具有四阶精度的两 层高精度守恒差分格式，尽管截断误差为四阶，但是用到两层十个点 问题( 1 3 ) 有着如下的电荷与能量守恒关系： q ：j 2 ：”l u ( z t ) 1 2 d x ：”i u ( 。，o ) 陋：仉， j 一 j - - o o e = 上：( i 塞1 2 一；i u l 4 ) 如= f = 三。( i 丝笔旦1 2 一；m z ，0 ) 1 4 ) 如= 岛 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中q o ，岛为常数，并且称公式( 1 4 ) ，( 1 5 ) 分别为电荷和能量守恒大量的数值 实验表明，满足电荷与能量守恒的差分格式可以避免“数值爆炸”( b l o w - u p ) “一“ 方程( 1 1 ) 中 0 ，即可得带有耗散项的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程对于这种 方程，有许多作者在原有差分格式的基础上提出了各种形式差分格式 e - s 2 0 但是 需要注意的是，电荷与能量不再满足守恒关系i s ，但是可以类似于能量守恒的思 想来构造差分格式 本章在区域n = 陋，x r 】x 【o ，刀上考虑方程( 1 3 ) 的初边值问题 u ( z ，0 ) = 毋( z ) ，瓤。s 岛 ( 1 6 ) u ( x t ，t ) = u ( x r ，t ) = 0 ，0 s t t ( 1 7 ) 对上述问题提出了四阶的紧差分格式，证明了在线性情形下该格式保证离散 电荷和离散能守恒，并用能量方法证明了差分格式的收敛性和稳定性，其收敛阶为 o ( r 2 + 酽) 通过数值实验与已有的差分格式进行比较，结果表明，本章所提出的 格式，相比以往的格式 z s - 2 z l ，计算精度提高了一个数量级与文【3 9 l 中的数值结 果相比，误差也是小了些 1 2 本章所用主要引理 引理1 1 ：f l q 方程( 1 3 ) ，( 1 6 ) ，( 1 7 ) 的解u ( x ，t ) 在0 t t 内是x 的有界连续 函数，并且存在正常数c 有 陋8 l 。d( 1 8 ) 引理1 2 ：p a l ( 差分算子的s o b o l e v 不等式) 对任意的网格函数巩= i j = 0 ，1 ，j ) ，若v o = 巩= 0 ，则有 u i i 。e i l 以0 + c ( e ) l l v i i ， ( 1 9 ) 其中e 为某小正数，e ( ) 为与有关的正常数 2 解s c h r s d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 引理1 3 ：阻i ( g r o n w a l l 不等式) 设u ( n ) ，p ( n ) 为非负网格函数，若函数u ( n ) 满 n 一1 足如下不等式z u ( n ) p ( n ) + 盯舌u ( ) ，其中c 为正常数，p ( n ) 单调递增，则有 u ( n ) p ( n ) e “7 ( 1 1 0 ) 引理1 4 ：设 j os j ) ， y j l o j j ) 为上的网格函数，若满足边 界条件( 1 7 ) ，即g o = 以= 0 ，y o = v j = 0 ，则有下面式子成立： j lj l h ( 巧) m 巧= - h ( ) 。( 巧) 。； ( 1 1 1 ) j = l= o 1 3 差分格式的构造 对求解区域q = ，坼】x 【0 ，刃作网格剖分，取空间步长h ；( x r 一却) j ，时间 方向步长为7 - = 叫n ，巧= 幻+ j h ，t n = 耵记= t 巧i o j ，) ，n ，= “l o n ，q r = q x q r ，设 叼i o s j z 0 n s 为n h 上的个网格函数 首先，引进如下记号： ( 叼k ：竿，( 叼b ：华，( 叼) t ：华 离散内积与范数定义如下： 令 则由( 1 3 ) ，有 定义网格函数 ，一l ( 扩，v “) = h 叼可， j = l 0 叼0 2 = ( 叼，叼) j 一1 ( 叼，曙) = h ( 叼) 。丽： j = o 刚。= s u pi 叼 l g j 一1 。 j l i u ”旧= l 哆1 4 j = l 护u 1 ”丽 。：一i 祟一q l u l ：。 ”21 瓦一q 龟 t 哆= u ( x j ，t n ) ，哆= v ( x j ，t n ) ，0 j z0 n n 3 ( 1 1 2 ) 解s c h r s d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 ( 吼。= 丽净2 , t l ( 巧川+ 篙豢“) + 嘉象( k ) = 如 ) + 笔骞( 圳。) + 丽h 4 砸。邵u ( “) = 哆+ 西h 2 n 叶n ) 口一西5 2 否0 4 y 【仍。，k ) 】+ 丽h 4 石否伊u ( 6 。，“) = 壶( 崞+ 1 叼+ 孕。) + 【志雾( 一壶象( j 舻 兵甲白n ，协n 【巧一1 ，x + 1 ) 糈上式上你为n 干口n + 1 日可网个，岢式彳h 日开眯以2 ，日j 得 扣矿1 ) 。+ ( 哼) 。1 。 = 壶( 搿+ l 。矿5 + 糟) + 【击器( 弓矗) 一面1 丽0 6 u ( 刎1 4 = 击扣( x j - 1 , i n + ) - t - 1 0 “巧，k + j ) + 口( 巧十1 ，t 。+ ) j + 菩壶【象( 巧“蚴+ 1 。丽c 9 2 u 【巧勘) + 鲁( 轴勘) 】 + 击耄( 瓢k ) 一面1 丽o ”u 训 4 ( 1 1 4 ) 利用( 1 1 2 ) ，得到 ( 矿1 k + ( 嵋) n 】 = 一丧【( 咏- ) t + 1 0 ( 哆) t + ( 孕- ) t 】_ 五q 8 。f ( 1 u n + a 1 2 + l 孕- 1 2 ) ( u n + l n ) + l o ( 1 u ；+ 1 1 2 + i 叼1 2 ) ( 哼+ 1 + 嵋) + ( i t o n + + - 1 1 2 + i 嵋l 。1 2 ) ( t 曩嚣+ q 【+ - ) 1 + 菩去【患( 冉) + 1 0 淼( 巧，+ 鑫( 轴，1 + 翕西i 【嘉( ，易。) + 1 。雾( 巧，岛。) + 嘉( 帅，岛。) 】 + _ r 2 墨【“( 巧一- ，。+ ) ( 瓦。叼一- ，。+ j j 21 - iu j n 一+ - 1 1 2 ，器( 巧一- ，毛n ) + 1 0 “( 巧，。+ 州警( z j ， ) ) 2 + 2 0 1 2 - 柏- 万( x j ，易。) + u ( 帅，。+ 州o u t 一* v - 2 l2 1 u n + l f 2 嚣( 帅，鳓 + 【而1 孤o ”u ( - t ) 一壶象( 驯_ 1 4 ( 1 1 5 ) 4 蟹s c h r s d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 其中，白n ，毋n ( 巧一1 ，x j + i ) ，“，岛n ，b n ，岛n ( 如，如+ 1 ) 记 巧n = ；1 丽0 4 u ( 勘) + 1 。鑫( 巧，+ 赫( 帅勘) 】 + 甄1 老【嘉( ，岛。) + 。嘉( q ，易。) + 等( 帅，岛n ) 】 + 告f “( ，叫( 窑( 舶，) ) 2 删唰n + l 。等( 蚋，醐 + 1 0 u ( 州。+ ( 害( 巧纠2 + 2 0 l 矿i 等( ，易。) f + ( 巧+ t ，气+ ) - ( 害( 巧+ t ，气+ ；) ) 2 + 2 f 搿1 2 否o , 2 万l t ( 巧+ ，易。) 】，产 + 【击象( 弓f l ，矗) 一壶象( 刎 t 2 叫；卷，i 0 芦i + 面1 嚣，i 雾i 十口；o 膦s ) ；t ，( i u 裳n 删小i 象h 面7 ；麟t ；z 0 ，由上式可得 i l e + l l l 2 圳e 。m 打喜州2 ) + 苦喜1 2 ， 由引理1 2 ，即g r o n w a l l 不等式。立即得 o e “+ 1 h 2s 去( j i e oj j 2 + 3 r 曼o r ”j j 2 ) e x p ( ! i ! i 竽) ， 由于e o = o ，3 r 壹j i r ”0 2 = o ( r 2 + h 4 ) 2 ，所以i | e n + 10 = o ( r 2 + 酽) ，即证 与证明定理1 2 类似，可以得到差分格式( 1 1 7 ) 一( 1 1 9 ) 的稳定性定理 定理l ，3 ：差分格式( 1 1 7 ) 一( 1 1 9 ) 的解对初值依平方模稳定 1 5 数值实验分析 先考虑如下算例，取q = 2 ，= 一幻= 2 0 ，得： i 鲁+ 砸0 2 u 删u 2 峥o ，一2 0 x 2 0 ，o 2 c 2 上述问 题的孤波解为t 1 0 解s 。h r 6 d i n g e r 立堡塑坠竖竺复垦笪鉴薹坌鱼茎一- 二= 一一 对( 1 2 8 ) 进行差分， 代方程组为： 其中， p n + 1 ( i ) = 南于u ( 其x , 特t ) 殊= 边s e 界c 1 1 条( z 件- ，4 娄蓄蒜主薹垒求解，可以得三对角迭 由于其特殊边界条件，采用迭代法逐层求解，廿j 以碍二州用惩 p “+ 1 ( 5 ) u “十1 ( 5 + 1 ) = q “+ 1 【暑) u n 钟+ 1 p ) 饼+ 1 ( 。) 0 e p l o ) 鬈+ 1 砑+ 1 而 0 e r l ( 。0 d r l ( 。) r 神 q n + 1 ( 。) = i i ： l 0 矿“町 在这里， 硝+ 1 l i ) 明+ 1 。 磅+ 1 。 0 0 蹬+ 1 ( 。) 聪+ 1 ( o p 、i 一 0 0 b u d - t ( ) 0 e ? j + k b r l ( 。 0 肖l f 冲，扣= 一紊十百1 0 + 夏1 0 r g ( 叼州# 1 2 + i 叼1 2 ) 碰时t 扣= 雨t + 石i + 面1r q ( 1 嘴1 2 + i 呼，1 2 ) ，= 币t + ；+ 西1r q ( 蛹n + l 扣嗡- 门 。y l h = 百2 t + 百1 0 i 一瓦1 0 佃( i 哆+ 1 5 1 2 + 1 呀1 2 ) 一e 。( n + 1 ) s - - 萨t 十；一西1r q ( 1 嘴川曝，1 2 ) l l 十 四 订时 o “ 四鬈 o + 十 四 曲 + 0：0件h， 矿。；。矿够 曩计l 抽= 一矗+ ；一去明i h rr n + + ，l 5 1 2 + l 嗡。1 2 ) j = 1 ，2 ，一1 ，s 表示迭代次数，取迭代初值叼“l o ) = 叼当l i u 计1 ( ”1 ) 一 u ”1 叫i 。 e ( 这里取= 1 0 “) ，迭代结束 分别取h = 0 2 ，丁= 0 0 4 ；h = 0 1 ，下= 0 o l 计算它们在= 1 时的误 差，图1 ，l 和1 2 给出了取以上不同步长所得数值解的误差曲线图图1 3 给出 了1 i 在【o ，4 】时间段上图形，表明了孤立波的振幅随着时间增加保持不变按范 数e o 。( ，7 - ) = m a xi 叼一u ( x j ，。) i 度量误差，并与文 3 9 】中四阶高精度差分格 逡n 一 n 4 。 式 3 9 1 ，t h i a br t a h a 等人提出的c r a n k - n i c o l s o n 格式【1 6 l ( 称之为c - n 格式1 ) ；常 谦顺提出的c r a n k - n i c o l s o n 格式( 称之为c - n 格式2 ) t l s l 以及张鲁明等人提出的守 恒差分格式【2 3 l 的计算结果进行比较，结果列为表1 1 从表1 1 可以发现，本文方 法与已有的格式相比，在精度上有了很大的提高与文【3 9 】中四阶高精度差分格式 相比，也是同阶的，但是误差要小一些，因此紧格式是一个很好的差分格式 图1 1 ：t = l 时数值解的误差曲线 表1 2 给出了取不同步长比时，t = 1 6 时刻，所得数值解的最大误差从表1 2 中可以看到，当空间步长缩小到原来的1 2 ，时间步长缩小到原来的t 4 时，最大 误差约缩小到原来的1 1 6 ，从而验证了本文差分格式具有o ( r 2 + h 4 ) 精度 最重要的是，图1 4 表明紧格式能够保持电荷和能量守恒 解s c h r 5 d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 图1 2 ：t = l 时数值解的误差曲线 图1 3 ：i l 在 o , 4 1 时间段上图形 1 3 解s c h r 6 d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 表1 1 ：五种差分格式的精度比较 表1 2 ：取不同步长时数值解的最大误差 囹1 4 ：【o ，4 时间段上电荷和能量 1 4 解s c h r s d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 若方程( 1 2 8 ) 初值为 u 忙，0 ) = t 幻( z ) = s e c h ( x ) e x p ( 2 i x ) + s e c h ( x 一1 0 ) 唧【o 0 1 i ( x 一1 0 ) 】 ( 1 3 2 ) 其中- - 1 0 $ s3 0 根据孤波理论 4 0 】，这表示两个相隔1 0 个单位的孤波随着时间的流逝，后边 的快波最终赶上前面的慢波在区间 - l o ，3 0 】上研究这两个孤波在计算过程中， 取h = 0 2 ，r = 0 0 4 图1 5 给出了计算结果两个波发生碰撞，随后恢复了原来的 形状，但是碰撞是一个非线性过程( 图1 6 ) 图1 7 给出了【0 , 4 】时间段上的电荷和 能量 图1 5 ：j u s i 在【o ，4 1 时间段图形 1 5 堡曼些堕! ! 堡竺丝塑堡! 堡! 望立堡盟鉴薹坌整茎 图1 6 ：1 l 在| 2 ，2 ，2 s l 时间段图形 图1 7 ：! o , 4 j 时间段上电荷和能量 1 6 第二章解线性s c h r s d i n g e r 方程的差分格式 方程( 1 1 ) 中，令= 0 ，a ( x ) = 1 ，b ( $ ) = 0 即可得线性s c h r s d i n g e r 方程线 性s c h r 5 d i n g e r 方程描述了许多物理现象，在物理学( 如等离子体、非线性光学、流 体力学等) 上有着广泛的应用近些年来，许多作者对该方程在理论和数值方法上 进行了广泛的研究在数值求解方面，有限差分方法同样以其简单，直观的优点而 得到广泛应用 2 1 问题的研究现状 本章考虑如下s c h r s d i n g e r 方程的周期初值问题 謇= i 象，。 z 妫， ( 2 t ) u ( x ，0 ) = 毋( z ) t ( z + 2 1 r ，t ) = u ( ，t ) 0 z 2 1 r 0 嚣2 r ，0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 求解此问题的c - n 格式【4 l 】，虽然绝对稳定，但是精度不高，截断误差仅为 d ( 一+ h 2 ) r i c h a r d s o i l 格式截断误差也为o ( r 2 + 舻) ，但是稳定性条件为r = 吾 1 茅( 其中0 1 ，为任意给定的常数) 比较苛刻文【3 5 】通过在四点显格式中引 进耗散项，建立了高稳定性的显格式，但是它的截断误差也只有o ( r + h 2 ) 本章利用待定系数法，构造了三种两层隐式差分格式，其截断误差分别为o ( t 2 + h 4 ) 及o ( t 2 + h 6 ) ，其中一种格式为紧差分格式最后的数值算例表明本文构造的差 分格式是有效的，但是紧格式因其计算简单，且具有相对较高的精度 2 2 差分格式的构造 在区域 0 ，2 7 r lx 【0 ，t i 上考虑方程( 21 ) 的解取空间步长为h = 豢，时间 步长为r = 斋，其中m ，n 都是自然数定义网格比为r = 素，用两族平行直线 。= 巧= j h ( j = 0 ，1 ，2 ， ，) ，t = “= n r ( n = 0 ，1 ，2 ，) 将矩形区域分割成 矩形网格，网格节点为( x j ，k ) 用如下含参数l ，2 ，旬，缸的差分方程逼近微分方程( 2 1 ) ， 。，疆n+ln + 。( 盟盥+ 墼n + 1 二l 坠n ) + 旬( u 盐n + = l 丝n+ 竺n 7 二+ 呈_ l 二兰n 二兰) + 4 ( u n 坚+ = _ l 王n 壁+ 兰n 生+ 三l 二塑n) 刮缒竽丝+ 磐笋) ( 2 。) 1 7 解s c h r s d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 其中u ? 表示在节点0 ，n r ) 处的差分近似值，适当选取这些参数，使差分方程( 2 4 ) 逼近微分方程( 2 1 ) ，且具有尽可能高的截断误差当微分方程( 2 1 ) 的解充分光滑 时，此下关系式成立 器卅垡c g x 州- 2 q ( 2 5 ) 百万丽。r 瞄w 其中p ，q 为正整数 将( 2 4 ) 式在节点( j h ，( n + ) f ) 处t a y l o r 展开，并利用关系式( 2 5 ) ，可得 ( 2 4 ) 式左端为 他：他。他。) 窑一扣+ 拈2 + 2 s s + 2 e 4 ) r 2 嚣 锥：+ 4 s 。+ 9 酬h z 2 z 两0 。4 u 一去( e 。+ 4 s 。+ 9 曲r 2 肫象 + 壶( e 。+ e s 。+ s - 叫嚣+ 志( s 。+ 6 4 针7 2 9 嘲 6 ；丽o “s u + 芎币1 丽( e 2 + 2 5 6 e s + 6 5 6 1 5 4 ) h s i 丽a 1 0 1 i 1 t 4 + i o + + 2 5 6 + 0 ( 7 4 h * o r 2 h 4 )( 26 ) + 互万而(i 否扣 + ( 26 ) ( 2 4 ) 式右端为 i 象一；以象+ - f l i h “z i 豢一壶r 2 胞象+ 嘉肫嘉。面一扩砸+丽一丽r 2 孬+ 丽旷2 砸 + 赤砒蠹+ 志如象+ o ( 一+ 危l o + 删) 解方程组( 2 8 ) ，得 将( 2 g ) 代入( 2 4 ) 式， 旬：6 4 ：0 ，5 l + 2 s 2 ：l ，e 2 2 丽1 ( 2 ” ( 2 8 ) ( 2 9 ) 0 0 + 1 2 i r ) 哼+ 1 + ( 1 6 z r ) ( 掌 + t 薛 ) = ( 1 0 一l 曩r ) 哼+ ( 1 + 6 i ；) ( 叼二1 + 略1 ) ( 2 ，1 0 ) 其截断误差为 r 寺纛+ 扣鑫+ 淼n t 急+ o c 注意到 4 2 】o ( 一h 2 ) m a x o ( r 3 ) ，o ( h 6 ) ) ，所以格式( 2 1 0 ) 的截断误差为o ( r 2 + 4 1 实际上，差分格式( 2 1 0 ) 为文【4 3 l 中提出的高精度恒稳的紧差分格式 = “ = 旬 西 = 龟垆 酚整 解s c h r 5 d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 同理，若 铲器，铲击，铲一去一o 8 1 2 面，5 2 。而，5 3 。一云面，岛2 ” 将( 2 1 1 ) 代入( 2 4 ) 式，整理得 一( 吩n 一+ 2 l + 2 n + + 2 1 ) + ( 2 4 1 2 0 r 0 ( u y t ：+ 2 0 n + + 1 1 ) + ( 1 9 4 + 2 4 0 r ) 嵋+ 1 = 一( t 2 + 吩n + 2 ) + ( 2 4 + 1 2 ，n l + q n + 1 ) + ( 1 9 4 2 4 0 r i ) 嵋 ( 2 1 2 ) 其截断误差为 r?=壶一蒜+去2翥+志6急+o(r4tz 坩+ 删) r ? = 西否丽+ i 西一 百丽+ 百瓦面 。丽+ + 。+ 一 4 ) = ( f 2 + h 6 ) 4 8 2 6 8 5 1 。石蕊 6 5 1 34 3 83 1 6 。2 百i 互丽，旬2 一百i 面，6 t2 一面面 将( 2 1 3 ) 代入( 2 4 ) 式，整理得 其截断误差为 ( 2 ：1 3 ) 而3 面1l 码n 一+ 3 l ，n + + 3 1 ) 一面4 面3 8 - 吁n 一+ 2 l1 一，n + + 2 1 ) + ( 怒一拶1 n + l t 帅n + 1 ) + 【丽4 8 2 6 8 州) 矿1 = 丽3 丽1l n 一3 + 心n + 3 ) 一面4 河3 8 丽、n 一2 + q n + 2 ) + ( 。6 u 5 4 1 6 3 u + j l n ) ( 呼l + 嘶n + 1 ) + ( 石4 茁8 2 丽6 8 一n ) 哼 ( 2 1 4 ) r ；去r 2 黑+ 击“黑+ d ( r 4 + h s t 2 h 4 (2，15)tzhzh 4 ) r = 西r 否丽+ t 西否丽+ d ( r + 【2 可以看出差分格式( 2 1 4 ) 的截断误差实际上也为( r 2 + h 6 ) 2 3 稳定性与收敛性 为讨论差分格式( 2l o ) ，( 2 1 2 ) 及( 2 1 4 ) 的稳定性，下面先介绍一个引理： 引理2 1 ：对于仅具有个因变量的两层差分格式，v o nn e u m a r m 条件是稳定 的充分而且必要的条件 下面用f o u r i e r 分析法研究差分格式( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) 及( 2 1 4 ) 的稳定性 解$ c h r s d i n g e r 方程和b u r g e r s 方程的紧差分格式 令嵋= e i i 8 ，代入差分格式( 2l o ) ，得到其传播因子为 叩，= 蓦籍蔫鬻 显然，对于任意r 】i g ( 口) i = 1 由引理2 1 知，它是绝对稳定的又差分格式( 21 0 ) 满足相容条件，由l a x 等价性定理可知差分格式是收敛的 同理，可以得到差分格式( 2 1 2 ) 及( 2 1 4 ) 也是绝对稳定且收敛的 综上所述可得 定理2 1 ：对任意网格比r ，当微分方程( 2 1 ) 的解充分光滑时，差分格式( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) 及( 2 1 4 1 绝对稳定且收敛 2 4 数值实验分析 取问题( 2 1 ) 的精确解为 1 ( z ，) = e t s i a ( z ) 并且取初值咖( 七) = s i n x 分别利用c - n 格式与本章差分格式( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) 及( 2 1 4 ) 求其数值解，并记三种格式分别为s 1 ，s 2 ，s 3 同时考虑方程( 2 , 1 ) 的边界条件z 嵋= ( 巧) ，1 j m 一1 计算时，取h = 磊，r = r h 2 ，计算到第5 0 0 层定义误差为叼= u ( x j ，k ) 一嵋 ，其中u ( q ，k ) 为方程( 2 1 ) 的精确解，叼为格式解下面先给出差分格式的数值 误差比较表21 表2 2 给出了取不同步长时数值解的最大误差 ( ，7 ) 。m a “xl u ( q ，“) 一嵋 l j s 从表2 1 中可以看出本文的格式很好地逼近精确解，且比c - n 格式计算精度 都高从表2 2 中可以看出，当空间步长缩小到原来的1 2 ，时闻步长也缩小到原来 的1 2 时，c - n 格式