（计算数学专业论文）规范b基的理论及应用研究.pdf

羹! ! 查鲎堡生兰簦鎏奎一 摘要 规范b 基郎最优规范的全正基，因箕具有凸色性、仿射不变性、最优谦形 矬、燃点援毽性及b 算法等重要性袋，奁c a 中起着重要匏作援ec a g d 中 广泛使用的表示曲线曲面的基函数，如b e m s t e i n 基、b 样条基、n u r b s 基等均 为规范b 基。 国于翘范b 綦不仅继承了传统黯线、莲藩模型静优点，露且可以在更大范 围内表示曲线、曲颃，因此对规范b 基的研究具有十分重要的理论意义和应用 价值。然而，斑范b 瑟的研究工作刚刚起步，有待研究的问题诸多，如规范b 豢静存在牲、瞧矮、梅造方法禳b 冀法等。本文藏援范b 基懿存在性、性缓、 构造方法和b 算法等问题进行了研究，其目的是进一步完善规范b 基的理论并 拓广其应用，主要工作如下： 1 给出了( 肿i ) 维空间c ” d ，6 】上规范b 基存在的充要条件。即给出了已 知b 基，则存在规范b 基的充要条件。避一步，若存在，可直接由b 基计算得 到援范8 整。 2 基于已知函数空间的一组基，建立了存在规范b 基的充分条件，褥到了 构造规范b 基的方法。利用该构造方法可直接从空间的一组基解出规范b 基。 3 _ i 正明了+ 1 ) 维空间c ” 口，6 】的规范b 基的对称性。 4 。建立了如+ 1 ) 维空间c ”b6 上规范b 基的b 算法的具体构造方法，愿到 了一些函数空间中规范b 基的b 算法。 5 讨论了摆线、嘲、正弦曲线、双曲线和悬链线等特殊曲线的规范b 基表 示离瑟。利甭麓范转鏊，构造了e b 6 z i # r 凿蕊、 l - b 6 z i e r 益面、e h b 6 z i e r 淀 会曲藏等曲面模型，劳生成了摆线拄题、旋转摆球西、悬链嚣等超越麴聪。 关键弼# 蕊范转基；函数空简；e a g d ；b 算法 耍韭盔堂堡主堂焦堕。 m a s 搿d e 擎e ed i s s e 融i o n o nt h et h e o r ya n d a p p i i c a t i o n o fn o r m a l i z e db _ b a s i s z h a n g f a n 烈。r t h w e s lu 矗i v e r s i t 弘 x i a n7 l 6 9pr c h i n a ) a b s | | a c t n o r m a l i z e db - b a s i s ，n 矗m o l yo p 垃m a ln o r r n a 王i z e dt o t a l l yp o s i t i v eb a s i s ，p l a y s 张 i m p o r t a j l t m l ei ne a g d ，f o ri t p o s s e s sp o s i t i v ep r o p e r t i e s s u c ha sv 舯i a t i o n d i m 主嫩s h 弧窑，n v o x 奄珏 l ，缓辩i 硅v 矮繇e e ，t 戡g e 黼y 韬也ec o n 轾o lp o l y g o n 雏t h e e n d p o i m sa n db a l g o r i t t h e 、v i d e l yu s e db a s i s f h n c t i o n si nc a g d ，s u c ha s b e m s t e i n b s 静l i n ea n dn u r b sb a s i s ，a r ea l 王n o r m 靠i z e db _ b a s i s n o 嘲融i z e db 如a s i sc a nn o to n l yp r e s e r v e 出ea d v a n 攮g eo ft r 鞋d 獭。秘基ls u f 蠡e e m o d e l ，b u ta l s or e p r e s e n tc 、w v e sa n ds u r f a c e si n aw i d e l yr a n g e s os t u d yo n n o 班娃a l i z e 娃b b 畦s 主si sv e f ym e 强i n g & l ， 垂o w e v e f ，r e s o a r e ho 秘n o 拄n a l i z e db b a s i si s j u s tb e g i n n i n ga n d 也e r oe x i s tal o to fw o r kt od o ，s u o ha sp r o p e n i e s ，e x i s t e n c 钆 c o n s t r u e t i o na n db a l g o r i t h mo fn o m i 啦i z e db b a s i s i h et h o o r ya n da p p j i c a t i o no f n o r m 越；z e db - b a s i sa r e 出s c u s s e di nt h i sd i s s e 呶t i o n ，m 西o ￥w 饿k sa r ea sf o i l o w s ， f i r s t iv s u m c i e n ta n dn e c e 8 s a r vc o n d i t i o nf b r 血ee x i s t e n c eo fn o r m a l i z e db 。b a s i s o n ( 盯+ i ) 一d i m e n s i o n a ls p a c e f 口，6 】i sg i v e n f u n h e f n l o r e ，t h en o m l a i i z e db _ b a s i si s d i r e c t l yo b t a i n e d 矗o m b - b a s i s s e c o n d l y ，b a s e d o nab a s i so f t h e 蠹埔e 娃o n 越s p a c o ，氆es u 缳c i e n tc o n d 巍i o n 妫r 氆e e x i s t e n c eo fn o n n a l i z e db 南a s i 8i se s ta _ b l i s h e d a nc o n s t r u c t i o nm e 幽o do fn o n n a l i z e d b b a 8 i so n ( 疗十1 ) d i m e n s i o n a ls p a c e c ” d ，6 】i s p r e s e n t e d f u r m e i n l o r e ，b yu s i n gt h j s m e t h o d ，t h en o 订n a l i z e db 南a s i sc 姐b eo b t a i n e d d i r e c t l y f r o m a n y b a 8 i so f ( 理+ 1 ) 一d i l 聃e 珏s i o n 鑫ls p a c e c ”f 口，矗】 n i i r d l y ，t t es y m m e 缸yo f n o r m a l i z e db 忡b a s i so ns p a c e c ” 口，即i sp r o v e d f o u r 如l y ，p r a c t i c a lc o n s t r u c t i o nm e 出o do fb a l g o r i m mi sd i s c u s s e d f o rs o m e f u n c t i o n a ls p 暑i c e s ，也eb a 呈g o f i t 妇o fn o n n a l i z e db - b a s 主s a r e 茧v e n 。 l a s t l y ，t l l er e p r e 8 e m a t i o n0 fs p e c i a lc u r v e sb yn o r m a l i z e db _ b a s i si sg i v e n ，s u c ha 8 c y e l o i d ，s n 璐o i 妇l ，e 敲鞠鑫垮繇鑫e x p 。n e 靛l 蘧c 蝴s 。m o r e o v e r ，u s 主n gn o 确琏z e d b _ b a s i s ，c - b 垂z i e rs l 删囊c e ，h b 6 z i e rs u r f a c e ，h c b 亡z i e rs u r f a c em o d e l a n dt h e n s o m e 钮n s c e n ds w 螽c e sa r or e p r e s e n t e d 。 k e yw o r d s ：n o m l a l i z e db b 嬲i s ；f 【l n c t i o n a ls p a c 。；c a g d ；b - a l g o r i t h m 西北大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的内容外，本论文不包含 其他人已发表或撰写的研究成果。与我一起工作的同志对本研究所做的贡献已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 主量虫签名日期：礁盟年月互日 西北大学硕士学位论文 知识产权声明 本人完全了解西北大学有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位 期间学位论文工作的知识产权属于西北大学。本人离校后，使用学位论文工作成 果或用学位论文工作成果发表论文时署名单位应为西北大学。学校有权保留送交 的学位论文复印件，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存学位论文。 学位论文作者签名：主篷立盟导师签名： 日期：2 1 坚! 厶2 耍! ! 查篓塑圭鲎堡堡墨 第一章绪论 本章笾要介纲翅范b 基的研究背景、发展历史，及本文的研究内容与安排。 1 研究鹜荣 在c a d c g 中，曲线、曲面的表示和造型是个有着较长历史的领域，二十世 纪六十年代初期瓣己经诞生。1 9 醇年，f u g e r s o n 提出将鞠线穑面表示为参数商量 函数形式，在诧之蓠鼗线癌面鄱是采露函数表示形式y = 厂( x ) 和；= 厂( 焉y ) 或它们 酶豫式方程表示形式。1 9 6 4 年，c o o n s 发袭了释出舀篆逸赛萄线确定静参数益 面即c o o n s 姻西片的誊句造方法，从薅馊由分片越西表示完整煦殛成为可能。b z i e r 于1 9 7 1 年发表的由控制多边形定义曲线的方法，则可以很方便地控制i 掘线的形状， 翟虢线上任一点都与多遍形的所有顶点裙关，爵此对控箭多透形的任何修改都会 影响到麴线的整体形状。7 0 年代动，d eb o o r ，g o 捌o n 和r i e s e n f e l d 等人发展了b 样条曲线曲面的理论与算法。b 样条方法不仅继承了b 6 z i e r 曲线的大部分优点， 而且允许对赫线曲谣进行局部修改。橙是上述备种方法均不能表示圆锥曲线和球 面、糖球面等初等二次曲懑，为此，v e r s p 螂l e 予1 9 7 5 年提出了有理b 撑条方法。 在l p i g e l 和w t i l l o r 等人的努力下，于8 0 年代后期发展成为广为使用的非均匀 有建b 祥条( n u r b s ) 技术。n u r b s 方法将商瑶和菲有理b e z i e r 曲线稿面、b 榉条曲线曲撼及圆锥题线积初等二次戴甄统一在一瓣表示之中，最终使n u 憋s 成为c a d ，c a m 行业的国际标准。 然丽，n u r b s 技术在形状设计和分析中也存在一些髑限链，俪如： ( i ) 一般来说，条东次有理多项式热线嚣导数是2 是次躲有理夔线。蠢一些 c a d c a m 系统不能处理高次的有理m i 线、曲面。有些系统即使能处理，但是次 数葱高，越容易学致数值计算的不稳定，而置有理醯线、曲面界的估计眈较困难。 ( i i ) n u 疑b s 模型不能精确表示在c a d 孵a m 中广为使鼹豹撄线、螺旋线、凸 轮线等超越曲线。 ( i i i ) 有灌益线、曲面表示形状时除了羟帝i 顶点以外，还需要额外的参数，目口 每一个控制顶点处豹投因子，嚣人们对于投嚣予兹选取以及它们对形状静澎赡还 不是非常清楚。 有关n u r b s 技术的其他局限性，f 削n f 6 1 ，p i e g l 和e m a i n a r 【15 1 给出了较为 详尽的讨论。 为了保持n u r b s 技术的优点，克服其缺点，许多学者提出了曲线、曲面造 型的新方法。a r d e s h i rg o s h t a 8 b y 翻提出了有理g a u s s i a l l 曲线、曲面：g 6 r a i d i n e m o r i n 1 提出了p o i s s o n 曲线、曲面；吕勇刚、程国昭2 4 “】提出了均匀三角多项式 b 捞条热线积均匀珏臻e 痨o l i e 多硬式b 样条牲线；蛰超里 2 6 3 提出二次三角多项式 曲线；豫秦玉2 7 1 提岛了b 6 z i e r l 派e 曲线。另外，还有一些学者将b 样条曲线的 1 西北大学硕士学位论文 菜些多项式项鬻 多璞式王烫来代替 爵褥裂，懿，p 。t 翻a 珏n f l i 绘蹬匏张量形式黪指数 祥条和张纪文阵”给出的c b 样条等。 然而，上述新的曲线、益瑟模羹都只是戢多或少氇继承了传统益线、蘸蓄攘 型的部分优点，且构造模型的方法没有理论支持可循，更多的是个人的天才与智 慧。为了真正继承传统曲线、曲面模型的优点，克服其缺点，扩大基函数的表示 范围，e m a i n a r 和j m e a m i c e r 口1 1 3 5 1 等人引入了溉范b 基，建立了规范b 基理 论。裁范b 基帮鼓铙溉范的全正基，蠢荬其有凸包链、仿_ 鸯| 不交性、最优僳形毪、 端点撼值性及b 算法等重要性质，在c a g d 中起着重骚的作用。c a g d 中广泛 使用的表示衄线的基函数，如b e m s t e i n 基、b 样条基、n u r b s 基等均为规范b 纂。e m 砬淑鄂j 。m c a m i c e f 疼传绞的照线、麴疆模型绞一在翅薮b 藜理论框架 之内，这对新曲线、曲面模型的建立，掇供了重要的理论支持1 1 2 规范b 基研究现状 觏范b 基豹磷究及应用始予j 。m c a 越i c 鲽、j m 。煎a 、e 。扎垂a i n a r 积j + s d n c h e z r e y e s 的开创性工作。j m c a m i c e r 和j m ，p e n a f 2 l 提出了b 基的概念；e m 蠢蕊f 帮j m p e 矗a 给穗了b 算法帮b 基韵褐造方法，著辩b 基的斑瘸避行了 探索；e m a i n a r 、j m p e n a 和j 8 6 n c h e z l r e y e s 给出了寻找b 基的实用方法， 推动了b 蘩的广泛应用。 图1 i 规范b 基的研究现状 西北大学碰| 土学位论文 魏栗瀑c a g d 中鏊线蠢i l 瑟模黧懿发震绞一在蠛莲3 纂理论下，蜜l 。l 霞说骥 了这一情况。由图1l 可知，代数多项式函数空间的规范b 基就是b e m s t e i n 基； 榉袋函数空间的规范b 基就是b 样条基；有理榉条函数空间的规范b 基就是 n u r b s 基。j s d n c h e z r e y e s 给出了三角多项式空间中的规范b 基，e m a i n a r 帮强纪文4 1 绘密了疆维代数耱三楚混合多项式空滔t 即n l ， ，e o s f ，s i 藏砖中匏篾蓬b 基( c b 6 z i e r 基) ；e 。m 越n a r 和j mp e n a 【1 7 1 。绘出了代数和三角混合栉条空间 妒黼 1 ，c o s ，s j n 吩的规范b 基。进一步的工作将魁继续完成代数和三角混台多项 式空阉、代数和三角混合徉条空闯中瓶范b 基斡建立，以及有理蹒数空间中翘范 b 基的构造，包括有理三角多项式样条空间和有理代数多项式样祭与有理三角样 条多项式混合空闻中规范b 基的建立。 1 3 本文研究内容 1 3 i 研究旨的 出于规范b 基不仅继承了传统曲线曲面模型的优点，而且可以在更大范围内表 示蔻线、馥嚣，霞往黠蕊薮b 基斡研究吴有卡努鬟要静理论意义釉应甭价值。然 而，规范b 基的研究工作刚刚起步，有待研究的问题很多，如规范b 基的存在性、 性质、构逑方法和b 算法等。本文就规范b 基的存在性、性质、构造方法釉b 算 法等问题进行了研究，萁霞的是遴一步完善规范b 基的理论并拓广其应用。 本文的工作包括： 1 基予b 基的存在性，建立( 拧+ 1 ) 缎空间c ”【| 謇，胡土嫂范b 綦存在的充要条 件a 在规范b 基存在的条件下，建立直接f ；自b 基计算得到规范b 熬的方法。 2 ，基于已知豳数空间的一组基，建立存在规蕊b 基的楚分条臀及构造规范b 基的方法。稍瘸该构造方法直接从空间的一组基求解出规范b 基。 3 。证明0 + 1 ) 维空间c “k 棚中规范b 基的对称性。 4 b 算法是规范b 基的重要算法，它具有分割和求值的性质。本文给出了f 肿1 1 维空间c ”【球，6 】上规范b 基的b 算法鲍具髂构造方法，并褥捌了一黧函数空阉中翅 范b 基的b 算法。 一5 ，过论了摆线、圆、正弦曲线、双曲线和悬链线等特殊曲线的艘范b 基表示 塑璧i 幂l 里规范b 基，梅遗了c b 6 z i e r 酶褥、h b 6 z i e r 曲黼、c 一 壬b 6 z i e r 混合晶 面镰曲面模型，并生成了摆线柱面、旋转摆球面、悬链面等超越曲面。 一 全文共分六章 辑北大学硕士学位论文 第一章怒本文的绪论。麓要余缓痰范b 基理论豹磁究获猿及本文兹磷究骜景与 研究内容。 第二章对规范b 基的基本理论作了回顾，介绍了形状保形表示和规范b 基的关 系，规范b 撼的有关命题、定溅，规范b 基的性质，规范b 基的b 算法，规范b 基的构造方法和规范b 基的应用等。 第三章绘出了( 1 ) 维空闻c “k 翻上援范b 蒸存在的充要条件、秘造援范b 基的方法 并证明了规范b 基的对称性。 第四章给出了实用的规范b 藻的b 算法。 第五章讨论了特殊曲线、曲瑚的规范b 基表示。 第六章对本文工作的技术等作出总结，同时提出了进步的研究工作设想。 4 盟i ! 奎堂堡墨兰焦笙墨一 第二章甄箍b 基综述 本鬻系统地讨论了规范b 基的研究现状、规范b 基的理论和应用问题。2 1 节分绍了规范b 基与形状保形表示之闽的关系。2 2 节分缨了规范b 基鹣有关命 飚、定理。2 3 节介绍了规范b 麓的性质。2 4 节介绍了瓶范b 綦的b 算法。2 5 节回顾了规范b 基的几种构造方法。2 ，6 节介绍了规范b 基的一魑应用。 2 1 形状保形表泳与规范b 基 在c a g d 中通过控鬣多速形定义瑟线酶方法壹是一条主线。下面沿着这一 主线回顾如何找出具有最优保形表示的规范b 基。 控熬多逮形：热暴给定空润蠢。孛一点裂爨最，都么裁定义条兹线 p ) = 霉毪( ) ，? ，用只织表示顶点为感。，曩黪多逮形，遁鬻怒它i q 傲 # o 拯线p ( i ) 数控制多边黟，或，i = o ，。，滩，豁为控制顶点。对于基函数 蛾( f ) ，j ：o ，玎，通常要求它们非负著旦对所有的 ，满足“。) = 1 ，即函数系 # 8 c ，= ( ，“。) 是规范的。一个规范的非负函数系通常称为调配函数系( b l e n d i n g s y s t e m ) 。 凸包性对于曲线设计来说十分重要。对任何控制多边形，曲线总位于控制多 边形静凸包蠢。怒包犍戒立麓充黉条徉怒汐为一调配函数系。藏井，对予调配添 数系，仿射不变性同样成立：计算曲线上的一个点然后稃对这个点作仿射变换与 先对控劁多边形馋仿射变换然后瓣计算变换后整线上的点麴结果是一样托。 调配函数系一定其有凸包性鞍仿射不变性，那么如何判断一个函数系是调配 函数系呢? 除了用定义以外，下两再给出一个判断条件，这就要引入函数系的配 爨矩痒懿缓念。 配量矩阵：绘定一个函数系= ，甜。) ，它定义在，霹上。u 谯，中关 予乇 基( “。，“。) 都有变换公式( ，“。) = ( c 。，、，c 。) 面，筒是全正的( t p ) ，那么 ( ，c 。) 是一个b 基。 命题2 。2 3 令慨。，坟) 是空间例中的全正( t p ) 基，那么魄。，6 。) 是b 基 的充要条件是 i n f 6 ，o ) 6 ，u ) l f ，6 ，u ) 世o ) m o ，对所有f 。 ( 2 ，3 ) 至此，我们给出了b 基和最优规范全正基的一致性和b 基的存在性。虽然可 以应蔫载溉蕊转基主，健还没有解决僚篷。下滔的藏舀褡这个闯纛。 定理2 。2 1已知一个定义在，上的有规范全正( n t p ) 綦的瀚数向量空间，郧 么存在惟一的激优规范全正答，也就是规范b 基。 命蘧2 2 。4 令( ，+ ，矗) 是函数空游钞静一缀b 蒸( 或蕊范b 蘩) ，弼空 间中的摹楚b 基( 或规范b 基) 的充要条件是它有形式( 或，吃q ) ，d ， o 或 d ，= l 对所有的i = o ，n 成立。 命题2 2 。5 如果是连续函数空间，令p 。，。，6 。) 是w 三c ( j ) 上的规范全 曩三( n t p ) 越，则溉，毛) 是援范8 基熬兖要袈臀是 氅熟鹚擘) = 。，。 办，冁龟叫6 ) = 。， o 豁) ：o ，歹：。棚l 一。2 队，朋 ( 2 5 ) b ! “。( 6 ) o 则 。，“。) 是w 胁，6 】中的b 基。 命题2 - 2 7 糟( “o ，”。) 是( n + 1 ) 维空间仰匕c n 万，习中的b 基，则 f 甜；，( ：o ，：o ，】 妇) ：o ，、，：o ，撑一1 一? ，7 2 0 一卅 ( 2 ，6 若要求是规范b 撼，还应满足条件 “j 。( 尊) = o ，宝“盥( 6 ) = o ，j | ；l ，棚( 2 7 ) 2 。3 规范b 基的性质 舰范b 基具有以下蘑要性质： ( 1 ) 凸雹整： ( 2 ) 仿射不变性： ( 3 ) 竣饶缳彩瞧： ( 4 ) 端点插值性： ( 5 ) 边界切性： ( 6 ) b 算法。 性质( 1 ) 和( 2 ) 由调配瀚数的性质保诞，性质( 3 ) 则由禽题2 2 2 操诞。 2 4 规范b 基的b 算法 舰范b 基都有b 算法，它是一种类似于d ec a s t e d a u 算法的割角算法，具有 一登! ! 查兰堡主堂垡丝苎一一 分裁帮求德酾蛙庚。 已经知道，全正矩阵戆乘裰还楚全正爱簿。全正翘殍可疆分簿为器：f 个掰对 角非负矩阵的浆积。一个非奇辩的s t o c h a s t i c 全正矮阵可以分解为互阢五( 玎) 是非奇异的s t o c h a s t i c 下( 上) 慧角全正矩阵。另外，( 卅+ 1 ) + 1 ) 非奇异的 下( 上) 三热8 1 0 c h a s t i c 矩阵三( 秽) 可以惟一地分解为蹰对角s t o c h a s t i c 矩阵敬乘 积。 定瑗2 4 1 湃没王( f ) 麓嚣裔凳髓。商8 s t i c 下 ) 三螽奎芷矩簿，爨 ( + 1 ) ( 删十1 ) 的非奇异下三角s t o c h a s t i c 矩阵五可以惟一地分解为黼对角 s t o c h a s t i c 矩黔的乘积三= 厶一i 毛，其中 矗= 0l ， 璎； 一璎； ，= o ，l ，m l ( 2 8 ) 类似髓，个菲奇异上三豫蜘c h a s t i c 矩降u 可默惟的分孵为两对兔 s t o c h a s t i c 矩阵的乘积u = u h - u 1 砜，其中 弘2 i 一龆鬟 1o ，f = o ，l ，m l ( 2 9 ) 定义叠。莲1 一个基零鬣薅燕令交换，它将强一多迭影磊冀变换成舅一 个多边形露。，变换由下式定义 凌 丑= 髟，i ，置= ( 1 一矗) 置+ 丑群“，i o ，一，撑一l ，o 五 o l “y ( 6 ) = o ，= o ，托一1 一f l ”；”8 ( 6 ) o 西北大学硕士学位论文 则，( “，“。) ，就是w ( j ) 中的一组b 基。 方法4 避免了全正綦的谈设，b 蒸可以由诗算褥垂。 2 。6 靛范器基豹痰麓 n u r b s 模型鲶主要缺点是不能表示超越藏线。引入掇范b 蕊的基熬裁是跨 望能在其它函数空间中找到一缀规范b 基，使其尽可能表示包括多项式曲线、 有理艟线和超越藏线等在内的务类曲线。近几年，应用较多的是下述两个空闯中 的规范b 基： 瓦一荦积 s i n ( 菇) ，c 。s ( 封) 兰。s 6 n 曲e z - r e y 。s 1 0 1 绘出了该室润购规蓖b 基，它可阻表示各阶的三角多项式曲线。另外，它也是有理曲线的重新参数化， 能与有理曲线建立联系 j 。该空间的精限性在于：( a ) 不包含线性函数f ，因而对 予壹线熬表示没鸯线性严擦蛙，也裁遮戏不鼹设诗 # 参数藏线。圆】不辘表示超 越曲线。 = l ，f ，c o s ，s i n f 。这个窒闫毽混合了代数帮三角多王妥式，繇疆具有 砸者的优点。该空间有规范b 基，称为c - b 6 z i e r 基，其极限形式为三次b e m s t e i n 藜。该规范b 基可戬表示圆、踅线、椭菡、摆线、螺旋线等，英中鸯线、圆和 螺旋线是弧长参数化。抛物线表示是其极限形式，但不能表示双曲线。另外，这 个规范b 慕还含有一个张力因子口，可用于调节曲线的形状。张纪文、樊建 华日l 、陈秦玉【”1 等对诧做了研究。 上西是基兹应翅较多豹函数空闻，瑟下骶鲍函数空阗中数翘笾b 基可能会 成为今后关注的焦点。 坌= 够积 l ，f 2 s f ，s 汝跨。除了包摆奎阉霉努，繇精确表示撵黪线。 墨= l ，f ，c o s ，基n ，s 2 ，s i n 2 玲。除了包括空阀只强，还表示撼物线， 二阶三角曲线和一些超越曲线。 一e 即n t ，f ，c 弧旃f ) 。该空间的规范b 基可以表示双茴线和悬链线。 三= 肇嬲 l ，f ，c o s ，s 诬， c o s f ，s i n 。除了惫捂空闻霉矫，它还俄括了 些有糖确等距线的趣线如童线、圆和嬲的澎开线。 堕j ! 查鲎堡兰堂焦笙苎一 第三章规范b 基的存在性和对称性 已经知道，个定义在【d ，胡上的函数向量空间在有b 基的条件下，不一定 有蕊范b 基。例如，j m p e 蟊a f 7 1 指涵 芬= e 。s * ，) s i n ，乓) ，歹= 。，l ，2 搬 是定义在【0 ，万】上鹣空闻瓦= 嬲8 1 ，c o s ，s 遮 ，e o s 搬 ，n 搬f 豹b 基，然嚣该空 间冀【o ，万】不存在规范b 基。本章讨论已知b 基，则存在规范b 基豹条件，建立 构造舰范b 基的方法，井进一步讨论( 摊+ 1 ) 维空间c ”取，6 】的规范b 基的对拣 性。 3 1( ，? + 1 ) 维空间cc ”【掰，们上规范b 基存在的充要条件 由定义2 ，2 3 和命题2 2 4 可知，如果( “。，“。) 是函数空间俐陋，6 】的b 基 则w 两j 上有规范b 旗的充疆条件是 盘，“，( f ) = 1 ，“。 o ，i = o ，”，f 毛b 明 ( 3 1 ) 式( 3 1 ) 应用起来比较困难，下面给出实用的判断规范b 基存在的充耍条件。 定理3 1 1 设( “一，“。) 是+ 1 ) 维空间wc c ” 日，6 】的b 基，则该空间有 规范b 基的充要条件是 卜t 口。= l ，( o ，球，= 一叼“烈口) ( d ) o ， f _ l ，胛( 3 2 ) ，# o 进一步，( 搿o 。，口。“。) 即为空间训 口，6 】的规范b 基。 证明必要性 设( 6 。，6 。) 怒该空间的规范b 基，由定义2 2 0 和命题2 2 4 有 6 。q ) = 1 ，6 ，o ) = c ，o ) ，c ， o ，江o ，n 1 4 耍! ! 查堂塑主堂熊堡苎一 女 由命题2 2 7 ，) = 1 ，6 j ( 口) = o ，= l ，口，解出q ，得q2 q ，b o ， 。 ，= $ 充分性 由命题2 2 4 ，该空间的b 基均有形式( 氐，d 。“。) ，d 。 o ，j = o ，” 因此只焉诞明存在 o ，f = o ，挖，使吐“，= l 即可。由命题2 2 7 ，船彳寻 j = 0 嚷= 搿：，扛筑，嚣。因为群： o ，扛o ，。，露，所以充分瞧褥证。 没3 。l辟， o ，f = 0 ，。，弹，还可定义为 。= 群。一，“：0 ( 6 “：三( 6 ) ， 推论3 。l 。l 设( ，。) 是 1 ) 绻空凌彬c 【撑，胡兹筑莛转基，作参数变 换f 一芋署一c ) + a 愿到。，6 。) ，f 【e ，川，则溉，。，6 。) 是拶c c ”【舔翻款 规范b 基。 例3 1 b e m s t e i n 基：曩( f ) = q f 。( 1 一力”。，f q l 】，是定义在【0 ，1 上的空 间印溯( 1 ，2 ，” 的b 基”，利用定理3 1 1 解得甜，= 1 o ，f = 0 ，以。所以 该空间存在觎范b 基，就是b e r n 吼e l n 基。 爨3 。2 魂( f ) = e 。s 2 m ，6 ，歹= 。，l ，2 辫，是定义在鸭窿】土兹空阕妒箔n l ， e 。s f ，s 纽t ，c o s 删；s i n 掇蛙魏b 基，剃翅定理3 1 1 舞缮掰l ，f = 0 ，2 辫，不 全大于零，因此该空间上不存在规范b 基e 簧燎区间改为卜，】，o a 乏， 则该空间存在规范b 基。 觚 f ) 幽2 与确 娟a 擘暇争拍( f ) 确2 ( 等) 蹙 定义在【一蠡，矗】，。 詈上懿窆阗眵觥 择。f ) ，强移) ，轻2 ) 麓b 基帮，崮定理3 1 1 解毓锚：2 志= 揣，因诧该蝴存在规范曦它们是 贷0 甜0 ，甜i 甜f ，搿2 甜2 。 西北大学硕士学位论文 3 2 ( ”+ 1 ) 缨空阂wcc ”【舀，翻上裁范b 蒸存在的充分条转 3 1 节绘出了囊已絮转基，求援甍b 蒸懿方法。然露，要餐嬲一令滋数空耀 中的b 基并不容易，那么能否盥接从空间的一组基而得到规范b 基? 本节讨论 已知添数窆闻熬一组基，存在熄范b 基豹条 _ 孛，建立构造短范b 基熬方法。 定理3 2 1设w c c ” 口，6 是( 月+ 1 ) 维函数空间，糟对任一区间 ，； d ，6 】c ( 苟，6 ) ，存在w 中的函数系( “。，“。) ，满足条件 “j n ) = o ，= o ，f 一1 甜咖8 固一驴刈小o ，卅( 3 3 ) # ；力p ) = o ，歹= e ，”一l f “j ( 6 ) o 则( “”，“。) 是 口，6 】中的规范b 慕。 证明由命题2 2 6 可知，( “，“。) 是彬k6 】中的b 基，并由定理3 1 1 可知( “。，。) 是彬k 明中的舰范b 基。 设( ，) 楚( 雌+ 1 ) 维空黼彬c c 8 f 抒，翻的一组基，取。，“。) 是该空问的 规范b 基，则有下面关东 “。( d = 矗v 也( m e ，= o ，摊，j = o ，村( 3 4 ) ，嫦 其中，口。是待求系数，整求出全部镀。就彳寻到了援范b 基。 定理3 2 2 蛾，6 。) 是( ”+ 1 ) 维空间c c ”b6 】的一组基，对予w 中的 函数“f ( f ) = 摇。6 ， ) ，# = o ，。，雄，魏果下述条 孛成立 ，；o 1 ) 系数g 。是下述线淫方纛组豹瓣； 遁北大学硕士学位论文 繇( 担) 酣似) 舻1 ( d ) 联( 6 ) 霹1 ( 盼+ “1 ( 6 ) 骝( 辞) 6 ；。( 挤) 印( 口) 研”( d ) 6 ：( 6 ) 毯”6 ) 6 ；肛卜1 ( 6 ) 6 。( 口) 卜i 这里，坂= l ，船；= 一“? ( 辟) ? ；0 8 ( d ) ( a ) 酵。1 ( 口) 联o p ) 醒1 固 卵“( 6 ) 硝( d ) 嚣f 8 口l 口f 舯 玎，。h o o 0 m ，f = o ，聆 ( 3 ，5 ) f l 2 ) “瓢甜) = l ，“( 6 ) o ，“点口) o ，“p ( o ，f = l ，辩( 3 6 ) ，= 0 则，( “。，。“。) 是形，6 】的规范b 基。 证绢 嚣为g 。是方程缱( 3 。5 ) 豹麓，辑浚样；国淡遐条学 、 f _ l “j ( 口) = o ，= o ，f l ，“，( d ) = “凡d ) ，“j ”) = o ，= o ，心1 一f 。又 ，= o 因为式( 3 6 ) 成立，故由定理3 2 1 ， 。，“。) 怒例 d ，6 】的规范b 熬。 注3 。2 定理3 2 2 中酶条件怒逐个依次判断，哪依( ) 斗强寸岭# 。 的次序进行。 注3 3 定理3 2 2 给出了从空间中的一缎撼( ，6 。) 求规范b 基 ( t ，“。) 豹方法，即由方程缓( 3 5 ) 谈次求解q ，然嚣令 # 。( 玲= d 。q ( f ) - ，= o ，脬，f = o ，雄，并检验式( 3 6 ) 是否成立即可。 j ；0 注3 4 条件( 3 5 ) 也是规范b 基存在的必要条件，即若( 6 0 ，6 。) 和 ( “。，“。) 分爨为cc ”阮绷戆一组基鞠翘范转蒸，鞭式( 3 5 ) 定义懿线洼 方程组的系数矩阵非奇异。 1 7 西托大学硕士学位论史 3 3 援蕊耘基夔慰露性 定瑷3 3 1设妇。，”。) 楚wc c ”【g ，】空阗上豹规范b 基， 则 群。( f ) = “。一，( d + 6 一，) ，f 黧o ，一，月。 证明：采用归纳法酋先证喇( f ) = 甜。 + 6 一f ) 。设( ，瓯) 是该空间的 #n 一组基，则“。( r ) = ，屯( 吩，以+ 6 一f ) = 口；，屯( f ) 。由式( 3 5 ) 可知 ，= oj ；0 箨( 卯( 6 ) 醮”1 ) 卯( 口) 6 ( o ) ( 6 ) ( 6 ) 茸辞( 的 6 1 ( 1 ) ( 6 ) 卵。渤 卧o ( d ) 6 j 。( 6 ) 6 f 1 ( 6 ) 盼。( 6 ) 6 f ”( 6 ) 础( n )髯) 醚 醚1 ( 6 ) 醇。 ( 口) 醚雌( 矗) ( 6 ) 卵。( 6 ) 醚。( 力 口i 。一 日；。 o 0 ( 3 。7 ) ( 3 。8 ) 由注3 4 和c m m e r 法则可知，方程组( 3 7 ) 和( 3 8 ) 的解相等，因此 “o ( f ) = 群。( 醅+ 矗一f ) 。 镁竣= # 一国十6 一