（计算数学专业论文）有限三角函数和的经典分析方法.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文利用c a u c h y 留数定理、部分分式、形式幂级数和超几何级数等经典分析 方法，研究含自由参数的三角函数恒等式、有限三角和的封闭公式以及其它类型的 三角和恒等式等组合计算问题其具体内容如下： 第一章概要介绍三角函数恒等式的发展历史并给出本文章中必需的预备性公 式 第二章利用c a u c h y 留数定理，通过设计积分围道和被积函数，建立两个含有双 自由参量的三角函数恒等式，在此基础上得到了一系列三角和公式利用这些公式 得到了阶数为奇数的有限三角和的封闭性求和公式，它们可以表示成含自由参数的 二项式系数多重和形式 1 9 9 9 年c h u 和m a r i n i 利用部分分式方法获得了许多重要的三角函数和的计算 公式在第三章，作者将这种方法进一步发展成含参变量形式，由此建立阶数为偶数 并含有自由参数的三角函数和公式 2 0 0 2 年b e r n d t 和y e a p 给出了分拆和形式的有限三角和的封闭性求和公式在 第四章，作者利用割圆多项式方法及组合计算技巧，推导出含有两个自由参数、阶数 为4 之倍数的有限三角和的封闭性求和公式，它们可以表示成包含自由参数的二项 式系数多重和形式 第五章给出部分分式方法和c a u c h y 留数定理对三角函数恒等式的进一步的 应用首先讨论含不规则参数的三角函数分式的分解方法，然后利用这个方法以及 c a u c h y 留数定理得到了若干三角和恒等式，它们的分母包含正弦函数的二次因式 和不规则参数 关键词；三角函数和；组合恒等式；形式幂级数；超几何级数；留数定理；部分 分式；割圆多项式 i 有限三角函数和的经典分析方法 c l a s s i c a la n a l y t i cm e t h o d so ff i n i t et r i g o n o m e t r i cs u m s a b s t r a c t b ym e a 3 2 $ o fc l a s s i c a la n a l y t i cm e t h o d s ，s u c ha sc a u c h yr e s i d u et h e o r e m ，p a r t i a lf r a c - t i o n ，f o r m a lp o w e rs e r i e sa n db a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ，t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h e p r o b l e m so nc o m b i n a t o r i a lc o m p u t a t i o n so ft r i g o n o m e t r i ci d e n t i t i e sw i t hf r e ep a r a m e t e r s ， c l o s e df o r m u l a eo ff i n i t et r i g o n o m e t r i cs u ma sw e l la ss o m eo t h e rk i n d so ft r i g o n o m e t r i c s u mi d e n t i t i e s t h eo 。n t e d ti nd e t a ni sa sf o l l o w s ： t h ef i r s tc h a p t e rc o n t a i n sas i m p l es u r v e yo nt h eh i s t o r yo ft r i g o n o m e t r i ci d e n t i t i e s ， a sw e l la sn o t a t i o n s ，t e r m i n o l o g ya n df o r m u l a ep r e p a r a t o r yt ob eu s e dl a t e r ， i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b ym e a n so fc a u c h yr e s i d u et h e o r e m ，a u t h o rd e v i s e sc o i l - t o u ri n t e g r a t i o na n di n t e g r a n df u n c t i o nt oe s t a b l i s ht w ot r i g o n o m e t r i ci d e n t i t i e si n v o l v i n g d o u b l ef r e ep a r a m e t e r s ，w h i c hy i e l d sas e r i e so ft r i g o n o m e t r i cs u mf o r m u l a e a u t h o rc o n - s e q u e n t l ye s t a b l i s h e sc l o s e df o r m u l a eo f f i n i t et r i g o n o m e t r i cs u m so fo d do r d e r ，w h i c hc a n b ee x p r e s s e da sm u l t i p l ec o n v o l u t i o no fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sw i t ha ne x t r af r e ep a r a m e t e r i n1 9 9 9 ，c h ua n dm a r i n id e r i v e dn u m e r o u si m p o r t a n tf o r m l l l a ef o re v a l u a t i n gt r i g o n o - m e t r i cs u m st h r o u g hp a r t i a lf r a c t i o nd e c o m p o s i t i o n s a sc o n t i n u a t i o na n de x t e n s i o no f t h i sa p p r o a c h ，i nt h et h i r dc h a p t e r ，a u t h o rd e v e l o p sp a r a m e t r i cd e c o m p o s i t i o n so fp a r t i a l f r a c t i o n s ，w h i c hl e a dt os e v e r a lt r i g o n o m e t r i cs k t mf o r m u l a eo fe v e i lo r d e ra n di n v o l v i n g e x t r af r e ep a r a m e t e r s i n2 0 0 2 ，b e r n d ta n dy e a pg a v es e v e r a lc l o s e df o r m u l o ff i n i t et r i g o n o m e t r i cs u i u s i nw h i c ht h es u m m a t i o nd o m a ma r et a k e na ss o m ep a r t i t i o n so fa ni n t e g e r 。i nt h ef o u r t h c h a p t e r ，b ym e a n so fc y c l o t o m i cp o l y n o m i a lm e t h o da n dc o m b i n a t o r i a lc o m p u t a t i o nt e c h - n i q u e ，a u t h o rd e d u c e ss o m ec l o s e df o r m u l a eo ff i n i t et r i g o n o m e t r i cs u m sw i t hd o u b l ef r e e p a r a m e t e r sa n do fo r d e r4 n t h ef i f t hc h a p t e rc o n t r i b u t e st of u r t h e ra p p l i c a t i o n so fp a r t i a lf r a c t i o nm e t h o da n d c a u c h yr e s i d u et h e o r e mt oi d e n t i t i e si n v o l v i n gt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o nf r a c t i o n a u t h o r f i r s td i s c u s s e st h ed e c o m p o s i t i o n so ft r i g o n o m e t r i cf u n c t i o nf r a c t i o n sw i t hi r r e g u l a rf a c - t o t s ，b yw h i c ha n dc a u c h yr e s i d u et h e o r e mt h ea u t h o ro b t a i n ss e v e r a lt r i g o n o m e t r i cs u m i d e n t i t i e si nw h i c ht h ed e n o m i n a t o r sa r ep r o d u c to fl i n e a ra n dq u a d r a t i cs i n - f u n c t i o n sw i t h i r r e g u l a r l yd i s t r i b u t e dv a r i a b l e s k e y w o r d s ：t r i g o n o m e t r i cs u m s ；c o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s ；f o r m a lp o w e rs e r i e s ；h y - p e r g e o m e t r i cs e r i e s ；r e s i d u et h e o r e m ；p a r t i a lf r a c t i o n ；c y c l o t o m i ep o l y n o m i a l i i 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：量匠堡日期：丝z ：矽 有限三角函数和的经典分析方法 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权 使用规定。，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以 寄本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编学位论文 作者签名：皇 玉叁 导师签名； 乏耄 上幽年上月笪日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 1 1 前言 三角函数求和问题有着悠久的历史有限三角和的显式求值是研究数值逼近、 积分变换、f o u r i e r 级数和数学物理方程解等问题的有效工具，在理论物理及工程计 算等领域也具有广泛的应用价值 本文结合经典分析方法( c u a c h y 留数定理及超几何级数等) 及典型的组合计算 技巧( 发生函数及形式幂级数等) 发现和证明了一些新的有关三角函数求和的恒等 式 三角函数求和问题有着多种多样的形式借助于e u l e r 指数函数 e 缸= c o s x + t s i n o 可以解决许多有关三角函数的问题，譬如下面的和式： 掌础塑 高 n 和警钟塑 台 “ 其中p 为自然数但是当p 为负整数时，上述和式实质上是以c o s 或s i n 为分母，即 关于s e a 和c s c 的和式，这时此类求和将遇到本质性的困难，在过去的文献中很少见 到有合适的方法来解决这类问题为了应用的需要，人们或者去寻找渐近公式( 见 s e l f e f t 【6 8 】，w i l l i a m s 7 7 等) ，或者利用三角和的互补定理( 见b e c k 【4 一【6 】，b e r n d t 和y e a p 1 2 ，d i e t e r 【2 9 及g e s s e l 4 0 】等) 更一般地，我们叙述这样一类三角函数求和问题：对于一个基本三角函数t ( 口) ， 求如下形式的和式的封闭形式 ( 土1 ) p ( 钆) k 1 有限三角函数和的经典分析方法 其中靠表示均分半平面的第k 个角这一类型问题常常在数论和离散傅立叶级数中 出现( 见【5 5 】等) ， 迄今为止，我们所知道的最早的这一类型的求和公式是由s t e r n 【7 2 】于1 8 6 1 年 所证明的；对任何正奇数，有下面的和式成立； 薹a n 2 ( 咎m _ 1 ) 这一公式可以在众多的标准级数表中可以找到，例如h a n s e n 4 5 】和p r u d n i k o ve ta l 【6 6 】等所编撰的这类表格寻找这一三角和的渐近公式最初曾作为曾作为m o n t h l y 问题出现( p r o b l e m6 3 3 2 ( 1 9 8 1 ) ) 前面所述类型和式中最为常见的一个漂亮的例子是 k - l 群( 警) ：坠学型群( 等) = 坚掣 j = i 这个和式也可以在我们前面所叙述的标准级数表中找到不仅如此，在很多教科书 中它是作为一个问题出现的，例如；b r o m w i c h 1 5 ，n i v e ne ta l 6 4 】，s i d d o n s 和h u g h e s 6 9 ，s t r o m b e r g 7 3 ，y a g l o m 和y a g l o m 【7 8 等的课本中均曾描述它的证明也曾由 b e n c z e 7 1 等人在各自的文章中叙述当n = l ，2 ，3 时，将上述公式中c o t 用c s c 来代 替所得和式以及其它一些三角和，曾作为h e n k e l 文章1 4 8 0 中的一个问题发表我们 无从知道是谁最早证明了上述和式，但它的几种证明方法非常明确如果它的左边 和式中的幂”2 ”用一个任意的正偶数来替换，那么这一三角和的显式求值就会变得 非常困难 有关三角和求值的文献零星而琐碎正因为如此，历史上常常出现这样的情况； 作者发表的是已有的结果，而他们并不知道这些结果曾经在其它地方刊登过这里 我们只是简单的提及一些结果b y r n e 和s i m t h 1 6 在1 9 9 7 年曾经系统地研究了 c o t a n g e n 和c o s e c e n t 两大类求和； 壹( 叫扣1c o t 2 1 监竽， k = l塞( 1 广1 护竽k = 1 ( 或者将其中的c o t 替换为c s c ) 他们是受这样一个事实启发而得到：每一类的每 一个和式值均为整数其中最简单的一个例子为 妻c o t 2 掣观2 _ * 大连理工大学博士学位论文 b e r n d t 和y e a p 1 2 】，c h u 和m a r i n i 2 1 ，c v i j o v i c 和k l i n o w s k i 2 8 营给出关于 e c o t 2 ”( 等) 的不同类型的封闭性求和公式w i n i a m s 【7 7 等曾给出渐近公式 耋舻( 争( 妒l ( 2 垆南， 其中马，j 0 ，表示第j 个b e r n o u l l i 数，e i s e n s t e i n 3 2 】在1 8 4 4 年提出的恒等式 基s 洫( 孚) c o t ( 孚) ：。 最早由s t e r n 7 2 】进行了证咀在其他一些文献里，如c a l o g e r o 和p e r e l o m o v 的文章 【1 8 】，中也曾证明它这个公式的一种推广曾经由w i u i a m s 和z h a n g 【7 7 】给出 萎s 证( 罕弦( 警) 和 霎c o s ( 筝础( 移 其中，n 和a 是正整数，并且a 另一种形式的推广由w a n g 给出 7 5 】，w a n g 的 结果的进一步证明是由o k a d a 6 5 1 和i s h i b a s h i 【5 1 得到还有许多此类的结果我们 不一一描述 有关三角和求值最全面的文章无疑是c h u 和m a r i n i 的 2 5 】i p a r t i a lf r a c t i o n sa n d t r i g o n o m e t r i ci d e n t i t i e s ”他们用部分分式和形式幂级数方法系统地描述了2 4 种不同 类别的三角和的封闭形式假设p ( o ) 关于c o s o 是一个次数为n4 - 1 的多项式，利用 部分分式方法、经过某些线性运算并取p ( o ) 为某些特殊函数得到三组共六个三角 函数恒等式通过这些式子，c h u 和m a r i n i 得到了2 4 种具有代表性的三角函数的和 在此之前，寻找这些三角和的显式公式被公认是困难的从中我们也可以看到，经典 的组合方法对于一些困难问题的解决仍然发挥着不可代替的作用 许多有限三角和没有明显的封闭形式尽管如此，它们可以有漂亮的互补定理， 其中的很多等价于d e d e k i n d8 u 1 2 1 s 互补定理b e r n d t 【1 0 】曾广泛地使用围道积分 以得到d e d e k i n d8 1 1 1 1 1 s 的各种推广和模拟的互补公式，并且描述了某些渐进公式 b e r n d t 和y e a p 1 2 】利用这一方法研究了有限三角和的互补定理和显式求值，得到了 以b e r n o u l l i 数的和来表示的封闭性求和公式 超几何级数方法是发现和证明新的组合恒等式的强有力的工具由于超几何级 数包括较多的自由变量、具有高度的概括性，因此大多数二项式恒等式可以表示成 3 有限三角函数和的经典分析方法 超几何级数的形式，关于变量z 的幂级数 t 坤b p 瓤：荆：= n 妻= 0 涨等 ( 1 r ) 称为超几何级数，其中a o ，a l ，唧和b l ，b 2 ，分别为分子和分母参数，( n h ：= n ( n + 1 ) 扣- i - n 一1 ) 称为a 的n 次升阶乘c h u 【2 1 】在研究某些三角函数求和公 式时，已经应用了下面两个三角函数的超几何级数展开式； 2 毋 2 毋 警芎=掣，2 j 山。 卵帮 = 嘶a r c s i n 巩 ( 1 1 2 a ) ( 1 1 2 b ) 其中。和z 是两个变量且i z l 1 从类似的展开式出发，利用经典分析技巧，本文得 到了更多的三角函数求和公式从中不难看到：在计算正割和余割两大类函数的求 和公式中，利用超几何级数方法对简化公式有着惊奇的功效 1 2 预备性公式 已知e u l e r 公式： 血日：e i o 矿_ e - - i o 和 c o s 一：! 竿 设z = t a n o ，即e l o = ( 1q - 矗) 、再l ，则 扩) = 篆( 州护( 厕4 ， 妒) = 乏( 州。- 芦i - 。护篮( 硐4 g a u s s 超几何级数 。晰刊：啪 0 o b l = ：= 薹觜矿 4 ( 1 2 1 a ) ( 1 2 1 b ) 大连理工大学博士学位论文 利用微分算子，对( 11 2 a ) 和( 1 1 2 b ) 的两端分别求导，整理后我们可以更进一 步得到下面的超几何级数公式 。乃f1 + ， l 。f 1 半， l s i n ( xa r c s i nz ) z o 1 一z 2 c o s ( xa r c s i nz ) 4 f z 2 若。表示一个变量，由二项展开式 c 刊。2 忑( 班 = 磊c 抄 可得v a n d e r m o n d e 卷积公式 ( 。j ：c ) r o + c 4 - m + 1 、 k m = 斟m 0 a ( 。三。) = 薹( 。：? ( 。+ 一m - - k 、i 上述公式是在论文中将经常用到的基本公式 5 ( 1 2 2 a ) ( 1 2 2 b ) ( 1 2 4 a ) ( 1 2 4 b ) 乒 。 学，宁， 瓿 踮 2 z q q 大连理工大学博士学位论文 2 留数定理与有限三角和的计算 留数定理又叫c a u c h y 残数定理，在复变函数中具有极其重要的地位，同样在某 些组合恒等式的发现和证明中常常会有意外的惊喜它和计算围线积分( 或归结为 考察围线积分) 的问题有密切关系，这方面可以参考 1 2 】等下面简单地介绍一下留 数定理 定义：设f ( z ) 在有限点a 的某去心领域0 i z a i r 内解析，a 为，( z ) 的极 点，则称积分 壶7 i 化) d z ( r ：l z 一。1 2 “o 尸 r ) 为，( ；) 在点。的留数，记为晕璺，( z ) 留数定理：f ( z ) 在围线或复围线c 所围的区域d 内，除a l ，a 2 ，a n 外解析，在 闭区域西= d + c 上除a 1 ，a 2 ，a n 外连续，则 豪杰化) 出= k = l 盟m ) ( 2 肌) 在此基础上，针对被积函数的特殊情形将留数定理叙述为； 推论2 1 ：假设q ( o ) 是关于8 的m + 1 次多项式，且q ( o ) = 0 的根 e q 廷。均为单 根；c 是复平面内包含所有 o k r = o 的任意一正向封闭曲线；p 妒) 在c 所围区域上 解析，则我们有 刍杰器一薹艘器 蚴曲 下面考察留数定理在三角函数恒等式中的应用，首先利用留数定理来证明含两 个自由参量的三角恒等式 7 有限三角函数和的经典分析方法 2 1留数定理和含双自由参量的三角恒等式 定理2 1 ：若r i o ) 表示c o s o 的次数 2 n 的多项式，y 是一个实参数，则有下面的三 角恒等式成立： f ! ! 兰鱼篓! ! 堕篓! ：塾! 堡! ! 型! 翌2 乏；c o s 国+ 鲁) 一c o s 0 e o s 2 n y e o s 2 n o 证明：首先假设0 y i ，0 0 2 z r 用c = c k 表示复平面上以( 士 r ) 和( 2 丌士t r ) 为顶点的长方形，方向为逆时针取 弛；9 ，p ) = 面历i 2 n i s i n 五2 r i b 可s i n 丽a p i ( a ) 司 考虑，( o ) 沿c = c k 的积分 刍五弛冲 ( 2 1 1 ) 显然在c 的内部，( n ) 有极点：p ，2 1 r p 及佰+ 簪，2 丌一y 一簪) ，其中k 取从0 到 2 n 一1 的所有整数这些极点均为单极点，下面分别计算留数 首先，在扣= 口) 和 n = 打一日) 处，有 黯他) = 岛而( a 五- o 丽) 篱絮慧嚣= 蕊2 n s i 两n 2 n y p ( o ) 。骠川= 一l i m 删面( a - 石2 n 磊+ 两o ) 篙案竺兰搿 2 r ts i n2 n y p ( 2 1 r 一口)2 ns i n2 n y p ( o ) 一cos 2 n y - c o s2 n ( 2 7 r - o ) c 。o s 2 。n y - c o s 2 n o 其次，对k 从0 到2 n 一1 ，计算，( n ) 在其余极点处的留数 。熟他卜。紫鲁高禹苇鬻 s i n ( y + 等) p ( + 警) c o s ( y + 等) 一c o s 0 nfr 、o t 一2 7 r + 暑，+ k 石t r 2 n s i n 2 n 可s i n q p ( n ) l 嘲粤鲁弛) _ 哪i r a s , ，- 。( c o s2 n a - c o s 2 l n y ) 1 忑羞耐二 8 大连理工大学博士学位论文 s i n 2 n ys i n ( 2 1 r y 一簪) p ( 2 f y 一鲁) 2 一五菰万i 飘面面= 乒覃丽 s i n ( y + 譬) p ( + 譬) 一 c o s ( v + 警) 一c o s o 下面直接计算曲线积分( 2 1 2 ) 由于( a ) 是以2 ”为周期的函数，因此沿g 的两个垂直边的积分值相互抵消 因此只需要考虑，( a ) 沿g 的两个水平边的积分 因为p ( a ) 是关于c o s a 的次数 2 n 的多项式，由已知的欧拉公式 “一e ；8e 缸+ e - - 缸 s i n 8 2 矿，。8 5 r ， 我们可以更进一步地将s i n a p ( a ) 看作一般项为( e 妇) ”，l m i 2 n 的洛朗多项式；类 似地，由于( c o s 2 h a c o s 2 n y ) ( c o s o t c o s o ) 是关于c o s o r 的2 n + 1 次多项式，故 ( c o s 2 n o r c o s 2 n y ) ( c o s 口一c o s o ) 也可以看作一般项为( 沙) ”，t m l _ 2 n + 1 的洛朗多 项式，且( e a ) 1 2 n + l l 的系数不为零因而f ( a ；y ，2 ) 是关于( e “) 的真分式设n = a + i p ， a ，p 是实数易见 。里，( 。；玑8 ) = o 所以有 磊l ；，r g f ( a ) 如= 刍z 舸0 d + 丽1 厶0 0 d a = 。 由留数定理，上述积分等于，( a ；y ，p ) 在嘞内的所有极点留数之和简单整理之后，得 到定理2 1 虽然在上述证明中我们假定条件0 y 凳，0 口 妨，不难验证定理结论对满 足公式的任何y ，口均成立， 应用留数定理也可以证明下面的三角函数恒等式； 定理2 2 ：若p ( o ) 表示c o s t 7 的次数 2 n 的多项式，y 是一个实参数，则有下面的三 角恒等式成立； 警堂箨黼2 n 丽s i n2 n 厕y p ( o ) c o s ( y c o so c o s2 n yc o s2 乏磊+ 卫蒙堕) 一 + ” 有限三角函数和的经典分析方法 证明：首先假设0 y ：，0 日 2 1 r 用c = c k 表示与定理2 1 中相同的积分曲线取 弘p ) = 雨函石2 n s 丽i n2 磊n ys 讥i no 忑t p ( 厕c 2 ) ， 考虑危( o ) 沿g = c r 的积分； 去五 ( 2 1 2 ) 显然在c 的内部， ( a ) 有极点。p ，2 7 r 一口) 及妇+ ! 2 n 丝几2 丌一y 一1 斧 r ，其中k 取 从0 到2 n 一1 的所有整数这些极点均为单极点，下面分别计算留数 首先，在扣= p ) 和 口= 2 1 r 一目) 处，有 ：1 i 。一! 竺二旦：；! ! 垫! 兰! 塑! ! f 型；! 竺! ! 呈! 竺! ! 翌2 ： 8 8 ( c o s a c o s 引 c o s 2 n o - 4 - c o s 2 n y )c 0 $ 2 n y + c o s 2 n 0 ： ；f竺二塾墅一2nsin2nysinap(a)：2nsin2nyp(o)lim 2 一：。一日矗i i 面高再i 瓦i 瓦；互元万5 c o s2 n y - c o s2 n o 其次，对从0 到轨一1 ，计算丸( a ) 在其余极点处的留数： r 案，。h ( a ) = o + 2 “ 。；加挈攀。矗( 。) = d = 加一一2 菪w l i m ，竺二堑二鐾!；一2nsin2nysinap(a) a 一+ 1 菪( c o s 2 h a - 4 - c o s 2 n y )( c o s a + c o s 0 ) 一s i n ( y + 1 2 - 斧k t r ) p ( y - 4 - 1 + 2 k 型 c o s ( + 1 垃2 n 口) 一c o s o 1 i 。拿二! ! ! 璧：! ! ；垫! 竺! ! 垫! 娶1 2 n 一2 ，r v 一1 磬f ( c o s 2 n a c o s2 n y ) ( c o s o e + c o s t ，) ：一坐! 型! ! 兰坠二! 二璧1 2 璺! ! 二! 二璧1 2 s i n 2 n ( 2 ，l 一y 一量鬟2 7 r ) c o s ( 2 | 7 r y 一量麦挚7 r ) 一c o s o ) = 一氅耩糟 下面直接计算曲线积分( 2 1 2 ) ， 与定理1 的证明过程相类似，由于，( o ) 是以2 丌为周期的函数，因此沿g 的两 个垂直边的积分值相互抵消；而h ( c t ；y ，口) 是关于( e l 。) 的真分式，故沿c 两个水平 边积分和也为零由留数定理易推得定理2 2 结论成立 1 0 大连理工大学博士学位论文 虽然在上述证明中我们假定条件0 y ：，0 o v “j ，p 这个级数的一般项的内部和可以看作是关于j 的一个印次的多项式的第2 m 阶差 分运算由差分的性质，当m p 时，其值为0 因此，我们可以将上面式子的求和上 限改写为p ，于是得到( 2 2 9 ) _ 2 3 余割函数的有限和 这一节将饼冗两类关于s e c a n t 函数的有限和首先考虑第一类和： 定义 ( 刚) = c s c 印o + 等) ， ( 2 3 1 ) * = u 发生函数 薹o o 锡( 伽) 妒= 丽n z 丽两s i n 忑( 2 na 而r c s i n 碉z ) ， ( 2 3 2 ) 显式公式 劬棚趔n 薹( 半) 2 m + 2 哥妻。( _ 1 ) p + i ( 。州2 m ) ( 铲1 助) n 一+ ，p 。1 ) ( 2 s 3 ) 公式( 2 3 3 ) 的前四个例证： 铝( n ，y ) = , 2 c s c 2 ( n f ) ， ( 寥) = 譬c s c z ( n 功 2 一孰2 + 3 n 2 c s c 2 ( 聊) ) ， 1 7 妻一 + 严 产 苎 础 | | 有限三角函数和的经典分析方法 c 跏，沪警c s c z ( n ) 8 - 1 0 舻+ 材 + 1 5 n 2 c s c 2 ( n y ) 一1 5 n 4 c s c 2 ( n 可) + 1 5 n 4 c s c 4 ( n 剪) ) ， 诺( n ，! ，) = 去n 2 c s c 2 ( 聊) 1 4 4 1 9 6 n 2 + 5 6 n 4 - - 4 n 6 + 2 9 4 n 2 c s c 2 ( n ) 一4 2 0 n 4 c s c 2 ( n ! ，) + 1 2 6 n 6 c s c 2 ( 扎暑，) + 4 2 0 n 4 c s c 4 ( 礼) 一4 2 0 n s c 4 ( n ”) + 3 1 5 n 6 c s c 6 ( n 暑，) ) 证明：对于特定的y 值，公式( 2 1 3 b ) 是关于c o s 0 的恒等式，等式的两端同时乘以 面s i n 万20 ，并将左端有限和内部函数展为s i n o 的幂级数，交换求和次序，可以得到 r l , s i n 0s i n 2 n 8 c。o。s。0。(。c。o。s。2。n。o。-。c。o。s。2。1。n。y) 在上述公式中作变量替换s i n 8 一z ，代入前面的公式并整理可以得到( 2 3 ，2 ) 假设z = s i n o ，将发生函数( 2 3 2 ) 进行重新改写 n z s i n ( 2 na r c s i n 。) 历= 雾 c o s ( 2 narcsinz)-cos2 n y 2 焉砌z ( c s c n y ) 槲2 ( s i 删) 2 m + 1 c o s 加 ( 2 3 4 a ) ( 2 3 4 b ) 可以看到，( 2 2 5 b ) 与( 2 3 4 b ) 中级数的一般项只相差一个常数因子因此，由( 2 , 2 3 ) 可以直接得到( 2 3 3 ) - 下面研究另一类由下式定义的交错和式： 定义 ( 删) ：董( - 1 ) t ( + 等) c s c 2 p ( y + c o sc 8 c 2 p 等)( 删) = ( 一1 ) ( + 等)等) k = o 发生函数 ( 刚) 妒= p = l 显式公式 2nzcosnysin(na。rcsinz) c o s ( 2 na r c , s i nz ) 一c o s2 n y 口撕们= 2 印n 嘶们丕p - 1 ( 半) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 a ) 器 i 州脚 一 南端 脚 大连理工大学博士学位论文 x ，m + l r ( 刹) 篙鲁2 p 旷- 1 孚、 协s 公式( 2 3 7 a ) 一( 2 3 7 b ) 的前四个例证 z 劈( n ，y ) = n 2 c o t ( n y ) c s c ( n y ) ， 域沁影) = 警c o t ( 剐c s c ( 聊) 1 一扩+ 饥2 c s c 2 ( 刚) ， 瑶( n ，3 ，) = 函r t 2 俨( 聊s c ( n y ) 9 - 1 0 n 2 - - b n a + 6 0 n 2 c s c 2 ( n ) 一6 0 n c 2 ( n 可) - + 1 2 0 n 4 c s c a ( n 可) ) ， 磁( n ，) = 而n 2 而喊( n ) c 8 c ( 聊) 2 2 5 - 2 5 轨2 + 3 5 n 4 - n 6 + 1 5 5 4 n c 2 ( ) - - 2 1 0 0 n c 2 i ( n y ) + 5 4 6 n 6 c s c 2 ( ”) + 4 2 0 0 n 4 c 8 c 4 ( n 羔，) 一4 2 0 0 n 6 c s c 4 ( n y ) + 5 0 4 0 n 6 圆c 6 ( n ) ) 证明：对于特定的y 值，公式( 2 1 3 a ) 是关于c o s 8 的恒等式，等式的两端同时乘以 s i n 2p ，并将左端有限和内部函数展为s i n 0 的幂级数，交换求和次序，可以得到 i 2 ns i n 面o s i n 丽n o c 万o s n y = n 篆- i ( - 1 ) 研s i n 2 两8cos和(y+kvrn)sins i n c 0 8 2 礼一c 0 8 2 n 口乏；、叫 2 白+ 七丌n ) 一 2 口 = 薹o os印pn薹-1(-1)丽cos(y再+k丽rcn)in = s 印p ( 一1 ) 霜而五而 p = 1 = 0 、5 77 在上述公式中作变量替换s i n 8 一。，代入前面的公式并整理可以得到( 2 3 6 ) 假设z = s i n 0 ，将发生函数( 2 3 6 ) 进行重新改写 2nzcosnysin(narcsinz) c 0 8 ( 2 na r c s i n z ) 一c o s 2 n y = n z c o s n yf ( c s c n g ) 2 m + 2 ( s i n n t ，) 2 m + 1 磊面 ：n z c o s 一( c s c n y ) ( i 菩) m 0 一n ，薹0 ( 竿) 2 m + 2 j = o ( _ 1 p ，( 2 7 1 ) 舻一口， m 2 、。 重置上面的和式的求和游标j m + j ，得到发生函数 2nzcos。ny，sin(narcsinz) c o s ( 2 na r c s i nz ) 一c o s2 n y 1 9 ( 2 3 s a ) 有限三角函数和的经典分析方法 =谢cos娜(竽)2m+2兰八2m+1，、lmo 。 j = 一m 、。7 2 z e ( 巧一1 ) n 坩 ( 2 3 ，8 b ) ( 2 3 8 c ) 对于任意给定的z ，由发生函数( 2 3 6 ) 的性质，( 2 3 8 c ) 必须取虚部应用( 1 1 2 a ) 和 g a u s s 超几何级数求和公式，它的虚部为 2 zs i n ( 2 j 一1 ) n a r c s i n z = z ( 2 j - 1 ) ：f 1r 孚，学 ) = 1 m z 扩赢坠2 芋盟夕 。 p 0 l p p = 驴) p ( 如吐气巍笋盟z 扣+ 1 ) p 0 “ 、2 憎，。 = 未( - 1 ) 丽j n - - - 2 c “+ 2 p p _ n - l 尸、妒 重置求和游标p p 一1 ，可以将上述虚部展开成关于z 的形式幂级数 萎广1 斋毒c ”# 产) ，印 用其替换( 2 3 8 c ) ，整理得 2 n z c o s n y s i n a r c s i n 。) c o s ( 2 na r c s i n 2 1 一c o s 2 n y =ncosn”(半)2，m+l(妒12mm圳+11mo 。 j = 一m 、o7 善( - 1 ) 而j p - 一号半u 2 p 一- i 犁、 ( 2 z ) 印- 交换右端求和次序并将其看作关于z 的恒等式，比较两边同次幂项系数，能够得到 ( 2 2 1 ) 的一个级数形式的显式公式 。印ncos(训(丁cscny)槲2m+l(叫，卅(翟嚣)石篙箍c2pp-i孚、j m 0 。 = - m 、。o7j 2 、 2 0 大连理工大学博士学位论文 这个级数的一般项的内部和可以看作是关于j 的一个2 p 1 次的多项式的第2 m 阶 差分运算由差分的性质，当m p 时，其值为0 因此，我们可以将上面式子的求和 上限改写为p 一1 ，于是得到( 2 3 7 a ) 一( 2 ，3 7 5 ) ， 一 2 4 正切函数的有限和 这一节将研究两类关于t a n g e n t 函数的有限和首先考虑第一类和： 定义 岛( 啪) = t a n 印( 鲈+ 等) ， 发生函数 薹a o 锡( 刚) 户= 南 1 + z 磊瓦s i n + ( 2 栅na ( r 2 c 。t a n 。z c t ) 。圳i , ， 显式公式 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) e 萎p ( n , v ，叫叫，+ 轨量( 半) 2 州 江a s a ， 。曼p 3 ( 捌耋( 2 二( 。一薯扩。) 川4