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摘要 生物学、生态学、生物化学和物理学等应用科学领域中的许多问题的解具有时 间周期性,且这些现象常常归结为非线性抛物型方程组。对这样的方程组给出相应 的数值分析具有一定的实际意义。本文针对一类一维非线性抛物型方程组时间周期 解建立一个具有较高精度的有限差分方法,该方法在时间方向上具有二阶精度,在空 间方向上具有四阶精度。对所建立的非线性差分格式给出解的存在唯一性,收敛性 等定性性质。为了求解非线性差分格式,本文建立了一种有效的单调迭代算法,迭 代序列单调收敛于非线性差分格式的唯一解,且初始迭代可以显式的构造而不依赖 予解的性质。数值结果显示了该方法的优越性,包括迭代序列的单调收敛性及有限 差分解的高精度。 关键词:非线性抛物型方程组,时间周期解,有限差分方法,高精度,单调迭 代,上下解方法。 1 l a b s t r a c t t i m e p e r i o d i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sa r i s e sf r o mm a n yp r o b l e m si nv a r i o u sf i e l d o f a p p l i e ds c i e n c e s ,s u c ha sb i o l o g y ,e c o l o g y , b i o c h e m i s t r ya n dp h y s i c s ,a n dm a n y o ft h e s e p h e n o m e n a a r eu s u a l l yd e s c r i b e db yac o u p l e ds y s t e mo fn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s i ti so fc e r t a i np r a c t i c a li n t e r e s t st og i v ea ne f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o df o rs u c hs y s t e m s i nt h i sp a p e r ,af i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dw i t hh i g ha c c u r a c yi se s t a b l i s h e df o rs o l v i n g t i m e - p e r i o d i cs o l u t i o n so fac l a s so fn o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m si n o n e d i m e n s i o n a ld o m a i n t h i sm e t h o dh a ss e c o n do r d e ra c c u r a c yi nt i m ea n df o u r t ho r d e ra c c u r a c yi ns p a c e s o m eq u a l i t a t i v ea n a l y s e sa r eg i v e nf o r t h en o n l i n e a rf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e t h i s i n c l u d e st h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s so ff i n i t ed i f f e r e n c es o l u t i o na n dt h ec o n v e r g e n c eo f t h ef i n i t ed i f i e r e n c es o l u t i o nt ot h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n t os o l v et h en o n l i n e a rf i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e ,a ne f f i c i e n tm o n o t o n ei t e r a t i v ea l g o r i t h mi sd e v e l o p e d t h es e q u e n c e s o fi t e r a t i o n sc o n v e r g em o n o t o n i c a l l yt oa nu n i q u es o l u t i o no fn o n l i n e a rf i n i t ed i f f e r e n c e s y s t e m ,a n dt h ei n i t i a li t e r a t i o nc a nb ee x p l i c i t l yc o n s t r u c t e dw i t h o u ta n yk n o w l e d g e o f t h es o l u t i o nt h en u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t e t h ea d v a n t a g e so ft h em e t h o d ,i n c l u d i n g t h em o n o t o n ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo fi t e r a t i v es e q u e n c e sa n dt h eh i g ha c c u r a c yo ft h e m e t h o d k e y w o r d s :n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ,t i m e p e r i o d i cs o l u t i o n s ,f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ,h i g ha e c u r a c y 1m o n o t o n ei t e r a t i o n ,m e t h o do fu p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n s i l l 熟南页士学位论文答辩委员会成员名单 舻r 月7 日 j 姓名职称单位备注 虐z 孜敖救牟存、7 即池大喾痃k 萝奔 主席 酹、录良敖授华东抑魉大凇素 熟节敬毅爱辟釉7 f ) 毙欠霉挺舌 触以讲卿砟糸卿翘大学揪禾揪书 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知,除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均己在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名 日期:塑盟:立 ,一 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定,学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内窖编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名:魂和 7 日期:趔,! f 1 导师签名:上毛胡 日期:巡t ! 兰0 第一章引言 生物学、生态学、生物化学和物理学等应用科学领域中的许多问题的解具有时 间周期性,且这些现象常常归结为非线性抛物型方程组( 见 1 ,4 ,8 ,9 ,1 3 ,1 4 ,1 5 ,2 4 】) 。一 些简单而实际的模型问题如下: ( a ) b e l o u s o v z h a b o t i n s k i i 方程组 在化学反应中,一个关于化学浓度u , 的b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 反应扩散方程 组可描述为( 见 1 8 ,2 5 】) : 塑o t l l u = u ( n 一 警山”= - - c i u v b l u = h i ( t ,z ) , u ( o ,z ) = u ( t ,z ) , 其中q r p ( p = l ,2 ,) 为一个 边界算子最具有形式: b u c ) ,( t 0 ,x n ) ( t o ,z n ) , ) b 2 v = 2 0 ,z ) ,( t 0 ,z a q ) , v ( o ,茁) = v ( t ,z ) ,( z q ) 有界区域,a ,b ,c 是一些正常数,微分算子l 。及 这里,表示边界a q 上的外法向导数。显然( 1 1 ) 为一个以时间t 为周期的非线 性抛物型方程组。 ( b ) v o l t e r r a l o t k a 竞争模型 在生态学中,两个竞争种类耻, 在一定的环境条件下满足以下的方程组( 见 l 8 , 9 ,1 5 ,2 2 1 ) : 窑- l i u = u ( a l - b t u - 再c l 州v ) 窑也”刮一羔咱们 b 1 u = h 1 ( t ,z ) ,b 2 v :h 2 ( t ,z ) ( o ,z ) = “( r ,z ) ,u ( 0 ,z ) = v ( t ,3 2 ) ( t 0 ,o n ) ( t o ,z q ) t f 1 3 ) ( t 0 ,z a q ) , ( z q ) 尝 叫 风 譬咿 玩 邑 其中q r p ( p = 1 ,2 ,) 为一个有晃区域,a i ,6 ,岛为一些正常数,微分算子厶及 边界算子b :具有形式( 1 2 ) 。方程组( 1 3 ) 为一个以t 为周期的非线性抛物型方程 组,它被称为v o l t e r r a - l o t k a 竞争模型,一个基本的闯题是两个竞争种类缸,”是否 或什么时候共存。显然,这样的共存问题等价于( 1 3 ) 是否或什么时候存在个正的 时间周期解。 ( c ) v o l t e r r a l o t k a 互助模型 在生态学中,三个竞争种类让, ,硼在一定的条件下满足如下的反应扩散方程组 ( 见 6 ,2 3 ,2 9 ,3 0 1 ) : 警山u 叫a l - b l u 一而c l v ) , 裳也”= ”a - 。2 t t - - c 2 v ) , o w 一 , c 3 w 、 o t l 1 w2 叫 n 3 一r 丽) , b l u = h l ( t ,z ) ,b 2 v = h 2 ( t ,嚣) ,b a w = h 3 ( t ,z ) , u ( o ,x ) = u ( z z ) ,v ( o ,x ) = v ( t ,z ) ,叫( o ,z ) = 叫( e z ) ( t 0 ,z n ) ( t 0 ,x n ) ( t 0 ,z q ) , ( t 0 ,x a q ) , 扛q ) ( 14 ) 其中a :,玩,c i ,吼为一些正常数,微分算子厶及边界算子鼠具有形式( 1 2 ) 。这类方 程组在应用上常常称为v o l t e r r a - l o t k a 互助模型。它也是一个以t 为周期的非线性 抛物型方程组。 非线性抛物型边值问题的时间周期解在理论上已有很广泛的研究,大部分的工作 都致力于用不同的方法研究周期解的存在性和稳定性等定性分析( 见 2 ,3 ,7 ,9 ,n ,1 2 ,1 7 】) 。例如,a m m a n 2 1 利用s c h a u d e r s 不动点理论对一类抛物型方程讨论了极大和极小 时间周期解的存在性,p a of 1 9 禾u 用上下解方法对一类非线性抛物型方程组讨论了时 间周期解的存在性和稳定性。 另一方面,也有少量的工作致力于非线性抛物型边值问题的时间周期解的数值 计算( 见 5 ,i 0 ,1 6 ,2 1 ,2 6 ,2 8 ) 。在 1 0 】中,周期抛物型问题被表达成一个积分方程,在 假设周期解存在的条件下,给出了一个迭代计算算法用于求解相应的非线性的离散 方程。在 1 6 】中,作者针对一个常微分方程组的周期解给出了一个迭代格式。在 2 1 中,作者用半群理论和不动点定理讨论了时间周期解的存在性,然后_ h n e w t o n 方法 对一个热传导问题给出了一些数值计算。文2 6 1 对线性抛物型方程给出了些迭代 算法。最近,p a o 2 0 1 用传统的有限差分方法,对一类非线性抛物型方程的时间周期 2 解给出了一些数值分析,对相应的非线性差分方程组,运用上下解方法获德了极大 周期解和极小周期解的存在性,并发展了一个单调迭代方法用于数值求解。然而在 文f 2 0 1 中所建立的有限差分方法在时间和空间精度上分别只具有一阶和二阶精度, 这一缺陷在某种程度上限制了该方法的应用,给实际计算和处理带来了不便。本文 的目的主要是对一类一维非线性抛物型方程组时间周期解建立一个具有较高精度的 有限差分方法,从精度上改进已有的方法。即将时间和空间方向上的精度分别提高 到二阶和四阶,并给出所建立方法的一些定性分析,包括解的存在唯一性以及格式 的收敛性等。同时发展一种有效的单调迭代算法用于数值求解。 本文主要内容分为四个部分。 在第二章,我们建立有限差分格式,并给出几个相关引理。 在第三章,我们讨论非线性差分格式时间周期解的存在唯一性,并给出一种有 效的单调迭代算法。 在第四章,我们讨论非线性差分格式的收敛性。理论分析表明,所建立的方法 在时间和空间上分别具有二阶和四阶精度。 在第五章,我们给出一些数值结果,数值结果显示了该方法的优越性,包括迭 代序列的单调性和有限差分格式的高精度。 3 第二章有限差分方法的建立 考虑如f 非线性抛物型万程组: f p ( f ) 幻百o u ( 1 ) 一瓦0 ( q ( f k 警) 纠2 ) ( 州,u o , ( 2 1 ) lu ( 。( 。,0 ) = u ( ”( 。,t ) ,0 z 1 , 【 f _ 1 ,m 其中“= ( “( ”,一,札( m ) ,且p ( 。扛,句,q ( 2 ( 。,t ) ,( 2 ( 。,t ,t 上) ,“( ) ,u f ( ) 均为以t 为周期的周期函数,t 为一给定正值。假设存在正常数a g ,。l “,威“,卢满足0 o g 口“( z ,t ) so ,0 属2 p ( ( z ,f ) 硝n 。 本章构造求方程组( 2 1 ) 时间周期解的一种新的有限差分方法,并给出一些相关 的日f 理。 第一节有限差分格式的构造 为了数值求解( 2 1 ) ,我们对区域进行网格剖分,令h = 1 l 为空i n 步长,k = t n 为时间步长,并且 x i = i h ,i = 0 ,1 ,2 ,一,l , t 。= n k ,n = 0 ,1 ,2 ,一一 为了简便起见,我们定义 以州) = ,( f 协,u ) 州) 警, 其中u 为( 2 1 ) 的解。假设函数g ( ) ( z ,t ) 在。方向上充分光滑,对( 21 ) 的第一个等 式做从款到z 的积分,然后两边同时除以g ( ( g ,t ) 后再做从& 到。州的积分,得 到 圳她f ) + b “州b “) 警,噶“志如 = ,志b ,伽池 4 删m ) = ( 志d z ) 删上式可写为 一黝k 州,”蜘小川b “) 警汹,甜 f 2 1 1 1 , = 黜t ) 志。j ! x = g q ) 州s 扛一 同理,可以得到 一聊f ) ( 批1 ) ( 耻b “) 警瑚 f 2 1 2 1 卅k ) 志b ,蚺池- 一 结合( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 可得 一z 掣。g ) 让( ( 。l ,t ) + ( z 宰,( f ) + z 。( ) ) “( 1 ( 盈,f ) 一可。( ) u 。( z ;一,t ) = 母1 2 ( ,( 2 1 3 ) 其中 ( c ) = 必噶“志b ,t ) d s d x - 志b ,棚s 扛 令捌( 茁,t ) 为函数g ( 。( 茁,t ) 在区间i x , 一1 ,z f + 1 上满足如下插值条件的h e r m i t e 插值函数: 趔( x j ,t ) = ( x j ,地 j = i 一1 ,z ,i + 1 , 型o x ( t ) = 百a g ( 0 ( t ) 则我们有 h j 。( z ,t 1 :西52 ( z ) 口( f ( 茁i 一1 ,+ 咖! 。j ( z ) 9 ( f ( z 。t ) + 咖1 2 ( 。) 9 ( 2 ( 。:+ l ,t ) + r ;( 石,t ) , 其中 黜加一百2 c - - x i + 簪删( 垆1 1 t - - r x i ) 2 ,躲) = 百x - - 2 :i + 譬 且 州州) = 一嘉筹( 圳( z 咱一。( x - - x i ) ( x - - z i + 1 ) + 赤( 以x i + i , t ) 一出一,啪( z m 1 ) ( z 一( z 一一) 5 而且对所有的。 x i 一1 ,x i 4 - 1 和0 t t , 朋z ,t ) :掣( z ,t ) + 夏1 两0 4 9 ( 0 ( 以帅一z ;一。) ( x - - x i ) 2 ( x - - x i + 1 ) 其中彰k _ l j 孔+ 1 另一方面,由中心差商可得 瓦o g q ) ( t ) = 去( g ( i ) ( x i + l ,t ) 一趴z i - 1 , t ) ) 一h 。20 皑3 9 ( o ( q ) , 其中k “。州】,将上面的表达式代入r ;( z ,t ) 中,则对于任意z x i _ 1 ) z t + 1 和0 1 0 i o l 2 ,f = 1 m a x ( 一( z ,t ) ) , o b 1 i + l j t e t 。一i ,z n l ,m a x ,( p ( 1 ( z ,t 。一) ) o 【z 1o ”lj m ,显然1 e 2 ) 引理 2 1存在o h + 1 ,0 k + l ,当0 h + ,0 妒时,有下 列关系式成立: 娶刈帕 o i _ 1 i l 一1 引理2 2 ,舻由引理9 1 给出,则当o h ”,0 k 时,有下列不 等式成立: ( 篙筹) n ( 辨) 2 4 ( 叩( c ) ) 。 o ,堡( 2 ) o ,舒) 0 ,并且堡 。! 髅,t f盯( 4 ( m 。) ) ,0 h h + 时,口( 。( h 一1 ) 为非负矩阵,4 “i ( t 。) 为单调矩阵。 上述引理证明见参考文献 3 1 争 去 等爿 第三节差分方法的推广 格式( 2 1 1 9 ) 可应用于如下的一般非线性抛物型方程组 。( 州) 警一百0 2 u ( 0 硝( 州) 警- ,( f ) ( 州,咄。 o , f 2 3 1 1 u ( 。( z ,0 ) = o i ( x ,t ) 0 0 ,( j ( 。,珏) ,让g ( ) ,让乳) 满足( 2 1 ) 中所要求的条 c ( ( s ,t ) d s e 一2 c ( o ( s t ) d s 、。,。,o a u 。( o 一未( e z 。c “( s ) d 3 0 a u 。( t ) i = e z 。c ( f ) ( s 1 。) d 5 ,c f ,c 。t u , 、。 f 232 1 显然,上式具有和方程( 21 ) 同样的形式,因而格式( 211 9 ) 也可应用于( 2 3 2 ) 。 第三章周期解的存在唯一性及求解算法 本章使用上下解方法讨论非线性差分格式的时间周期解的存在唯性,并给出 求解的有效的单调迭代算法。 设玩) = ( 吸1 ( t 。) ,- - ,畎盯( k ) ) t ,v h ( t 。) = ( 以1 ( t 。) ,一,以圳( k ) ) r , 且u h ( t 。) 曼k ( t 。) ,定义: ( 【, ( 靠) ,( ) ) = ( i ( 如) ;矗( 如) w h ( 如) k ( “) , ( 蠼( 地碟( t 。) ) = ( 呱。( t 。) ;蠼( t 。) s 叫2 ( k ) s 瞪( “) ) 首先引入上、下解的概念。 定义3 1 若玩( 。) = ( 联1 ) ,磁m ( 如) ) t ,玩) = ( 磁1 ( 奴) ,磁m 1 ) ) r 满足晚( t 。) 玩( 如) ,并且 ( 州+ 矬k 一) ) 谢沁控( r 2 b :( 1 ) ( 。 ) f ) ( 。t ) ) 谢沁。) + b h 如) f ( ( 略1 ( ) ,畦卜1 ) ,磁( 如) ,以( k ) ,以圳( k ) ) + 8 1 ( 一1 ) f f2 ( k ( t 。1 ) ) + 硝( 。) + q ( 如1 ) , ( 州+ 矬沁一) ) 霹m 胚( 2 b :( f ) ( k ;) f ) ( 址- ) ) 硝k 一) + b 1 ) ( ) f ( ( 1 ( k ) ,嘭卜1 ( k ) ,( t 。) ,以h 1 ( 如) ,以m ( t 。) ) + _ b f ( k 1 ) f ( 2 ( k ( “叫) ) + 磁( 。) + q 2 ( 如。) , v ) = ( 1 ( k ) ,v :l - 1 ) ( t 。) ,碟气t ,。) ,“h 1 ( 如) ,皤”( 。) ) ( 玩( f ,:) 晚( 。) ) 以( 如) 玩( t ) ,硝( 如) 群( t ) , ( 3 1 ) 则称厂 ( k ) ,l k ( “) 为( 2 1 1 9 ) 的一对联立上下解。 假设l 矗( f 。) ,( ( t 。) 为( 2 11 9 ) 的一对联赢上下解 取非负实数 1 盟 i i a x 卜筹( u 咖“川,引) 州) 曼酬) ) 1 4 r “ 日+ 、, l j 一,_ jl,l 7 m o 。,b 2 一角 ,” + i i ) h hg 、 a “ 二弓 , = = 一硝 令 构造迭代格式如下 4 9 ( 可2 ( n ) ) m 2 ( 女2 b g ( t 。一;) 一j 。1 ( n t ) ) ( 可:( t 。一- ) ) m 1 ) + b ”( t 。) 黑8 x 一,。,、 ( r g 残( “) + f ( o ( v a ( t 。) ) ) 、 h ( h ) ( 一u 。( m 一1 ( t 。) ,仃扩一1 ( 。) ) 、。“7 “ + b p ( t n 一1 、m 母a x 、一,m , f ( 2 1 ( 1 名( 亡n 。) ) + e ( h ) + q 2 ( 。一1 ) v h ( t ) 世护- 1 ) ( h 一1 ) ,口l m “( ) ) 、 “、“7” 4 驴嗖陬) ) ( “) 2 ( ;醪- j 划沁州) ) ( 鳟。p ) + b p ( h ) ,佃m i n 一,m ( 1 1 9 驴譬( “) + f ( 2 ( 碥( 如) ) ) v h ( t 。) 堑- x ) ( “) ,口护- ij ( t 。) ) 、 。 、“一 + 日i ”( k l j 、,。,攀i n 一,、 f ( ( 1 厶( k 1 ) ) + 磷( 亡n ) + 0 2 ( t 。一。) k 一i ) ( 笪i m “( ) ,升。( h i ) 、一“ ”。”“ ( 32 ) 其中:k ( ) = ( 嘭1 ( 如) ,碟( k ) ,以m 1 ( k ) ) 下面的引理表明上述迭代是良定的。 引理3 1 设巩( t 。) ,巩( 如) 为( 2 1 1 9 ) 的对联立上下解,假设当m :0 及 m = 州时,引理2 3 的条件成立,则由式( 32 ) 产生的序列 卯( “) ) , 酚( t 。) ) 满足: _ u b ( t 。) s 仃妒( k ) ,m :0 ,1 ( 3 3 ) 证明: 因为玩( t 。) 玩( 如) ,并且( 一4 9 ) 一t 存在,所以型g ( 如) ,罐( t 。) 都是唯 一存在的。 令( 以。) 1 ) = ( 驴:( k ) ) ( 1 ) 一( 鲤( “) ) 1 4 妒) ( 】2 ( ;掣( 屯圳f ) ( 址t ) ) ( 残k 1 ) ) + b i ”( t n ) m a x 一。 ( r ! 矿:( t 。) + f ( 。( 碥( 如) ) ) h ( 。) e ( 鲥【h ) ,钟( t 。 “4 、“、 删( 川,趔m k a x ,融址。) ) f q ) ( 眦) ) + 跏n ) + 帆一)k 汹一,j 世妒( “一1 ) ,可( k 1 ) ) 。 、 “。 叫一“ - i ( ;b g ( t n - - ) f ) ( 址。) ) ( 醚k 。_ 1 ) ) ( 0 ) + b ( f ) ( t n ) 焉i n 一。 ( r ! 矿:( t 。) + f ( ( v z ( t 。) ) ) ( 型? 。) ,_ i o ( 。) ) “ ”、“、“ + b ( 如一u ( 。一。j ( 型l o 】r a ( i 。n 一儿驴( 。一i f ( i ) ( t t w t ( k 一- ) ) + e o ( “) + q 2 1 ( 如一1 ) u ( 。一lj ( 型( 。一l 】,驴( 。一一 。 ” 4 f 因为当m = o 时9 1 粤23 的条件成立,即有;咸。( t 。一 ) 一j ( o ( “一1 ) o ,所以有 ( 叭”) 1 0 ,即( 可:( h ) ) ( 1 ( 盟2 ( h ) ) ( ,f = 1 ,m 假设u f ) ( t 。) s 域”( 如) 成立。 令( 州) ( m + 1 ) = ( 碟( k ) ) 1 ) 一( 鲻( t 。) ) ( m + 1 ) 4 妒( 卯) ”1 = ( ;b l f ) ( 如一) 一j q ) ( 如一,) ) ( 醒( 如驯“ + 口( 如) ,璺8 x ( r g 矿:( t 。) + f ( 2 ( k ( k ) ) ) u ) ( 型扩( t 。) ,口矿( h ) ) + b p ( 亡n 1 ) ,霉8 x 一,。 f ( v h ( t 。一1 ) ) + 硝( 如) + o ( 如一1 ) v h ( t n 一1 ) ( 型r ( h 1 ) ,可r ( t 。一1 ) ) - t ( i 2 b 乳一) f ) ( 址。) ) ( 鲤k ) ) ( m ) + 8 1 ( 如) ,璺i n 。、( r ( o i t ( 1 ( k ) + f ( 2 ( k ( t 。) ) ) v h ( t 。) ( 堑l “( h ) ,可r ( h ) ) 4 + b p ( 如一“h ( k 一。) 。( 竖i m m k i n :) 口护k 。一) ) f q ) ( v h ( t n - 1 ) ) + e :f ( t n ) + q 2 ( k 。) h ( n 1 ) ( 竖r ( t 一1 ) 口p ( c 。一1 ) ) 。 l 2 ( ;b ( t 。一 ) 一j ( 2 ( 屯一1 ) ) ( ( 矿2 ( 一。) ) ( m ) 一( 型妒( 如一,) ) ( m ) 由归纳假设( 酬( 如一z ) ) ( ”( 盟2 ( 如一i ) ) 一,所以有( 耐2 ) ( 0 ,即( 秒:( 如) ) m ( 望( t 。) ) ( m + ”。由数学归纳法,( 3 3 ) 式成立。定理证毕。 注记:迭代格式( 32 ) 不同于一般初始值问题的迭代格式,不同点在于:初始值 ( 皑( 如) ) ( ”) 由( 氓( t ) ) ( 竹1 ) 来给定( 用( 皑( k ) ) m ) 表示( 可:( k ) ) m 或( 鲻( t 。) ) ( m ) 。因为( 吸。( 如) ) ( “在周期问题中是未知的,所以这一点是必需的。迭代( 32 ) 计算 过程如下:给定迭代初始值( 以( 如) ) ( 叭,由格式解出( 畎。( “) ) ( ”,n = 1 、2 ,包括 ( 碟。( ) ) “。然后用( 畎( ,v ) ) 作为下一步迭代的初始值,由格式算出( “( t 。) ) 2 1 , n = 1 、2 ,包括( 哦( ) ) “。继续这过程,得到序列 ( 以( t 。) ) m ) 其中n ,m : i ,2 、。 下面引理表明序列 型,( f t i ) 和 可,) ) 分别单调收敛干 u ( t 。) = 1 ( ,。) ,丛( 。) ) 盯 ( f 。) = ( 碟( t 。) 1 6 i 了( t 。) ) 且极限型。( 如) 和玩( 如) 满足: ( j “) ( 。) + ;b g ( t 。一 ) ) 可2 ( t 。) = ( 云2 b g ( t 。一;) 一| ,( c ( t 。一。) ) 可2 ( t 。一。) + b l ”( 亡n ) ,。黑i 1 一。 f ( 矿( 1 ( t 。) ,一,皤“1 ( 亡n ) ,秒:( k ) ,谨2 + 1 ( 如) 吲”世:1 ) ( h ) ,碟) 一 4 一 7 + b f ) ( h l j m 3 x 、。, 、f ( ( ( t 。一1 ) ) + 磁( t 。) + q 2 ( 。一1 ) ,v 。h ( t n ,1 ) ( 野( k 1 ) ,矾( t ) ) 、“7 。” ( ) + ;b 一 ) ) 鲤) = ( ;b ! j k 。一 ) 一( 如- 1 ) ) 鲤( 址,) + 占i ”( k ) 。、孵p 、。,f ( y ( 1 ( t 。) ,- ,w 卜1 ( t 。) ,鲻( t 。) ,w 2 + 1 1 ( k ) 。( 。) e ( 鳞( h ) ,碟1 ( t 。) ) 、“ 7“”“”“ + b ( k 一“ 、。r a ,i n 、。, 、f ( ”( k ( 。一1 ) ) + 硝( t 。) + q 2 ( t 。一1 ) ,vh ( t n 1 ) 型 ( h 1 ) ,口 ( 。一】) ) 、川n 、”7 叫。、” ( 3 4 ) 引理3 2 设引理3 ,1 的条件满足,则由迭代格式( 3 2 ) 产生的序列 可,( 如) ) , 垡:m ( f n ) 分别单调收敛予g ( t 。) 和堑 ( 靠) ,它们满足方程组f 3 4 ) ,及 g ( t n ) s 型护( “) 丛铲+ 1 ( 如) 互厶( 。) ! g t , j 刁妒+ 1 ( k ) d 妒( 。) 玩( 如) ( 3 5 ) 且对每一个m ,虿( 如) 和堑:m 1 ) 仍为( 2 1 1 9 ) 的一对联立上下解 证明: 对m 用数学归纳法 令 ( 碟) ( 。) = ( 程( 如) ) ( o ) 一( 碟( t 。) ) ( 1 ) 磷= ( ( 碟) ( 0 ) ,( 群) ) 秽( f 。) ) w m ( “) ) 卅) ( 碟严) 2 ( 却沁叫) j ) ( 札。) ) 巩_ 1 ) + 日p ( 如) 黑8 x 一、 ( r ) 碟( 。) + f ( f ( k ( ) ) ) “( h ) ( 鳏( “) ,可( h “、。 、“ + b l ”o 叫h 础m a x _ 1 ) 珊) ) f ( t ) t n -( 哪一) ) 砌) 十q - 1 ) h ( 1 ) ( 型f ( h 1 ) ,口( t 。一1 ) ) ”、 叫l 一 ( ;b g ( t 。一 ) 一j “( t 。一。) ) ( 型2 ( 。一。) ) ( 。) + b l ”( k ) 黑8 x 、 ( 1 1 1 ) 碟( 。) + f ( f ( 1 名( t 。) ) ) h ( 。) ( 型黜 。) ,仃黔h ) ) 。“、 一 + b 咻1 ) ( 啪m a 。x 劂- 1 ) ) f ( 0 ( 眦一) ) + 跏旬+ 批一t ) h ( n 1 ) ( 型( 。一1 ) ,盯沁。一1 ) ) “。 1 。f = 0 因为当m :r 辨时引理2 3 的条件成立,即有( 硝) 一1 0 ,所以有( 碟) 。0 ,即 ( 可2 ( “) ) 固( 移2 ( t 。) ) u , l :i ,m 同理可证( 鳏( t 。) ) 。( 型2 ( t 。) ) ( ”, f = l ,m ,且由引理3 ,l 知( 碟( 。) ) ( 1 世( k ) ) ”, f = 1 ,m 成立,所以 晚( t 。) :鲻( t 。) 鳞( k ) s 爵( 。) s 嚣( t 。) = 玩( t 。) 1 反驳 砑( ) 酵栅( t 。) 礤+ 1 ( k ) s 卯( t 。) 令( 而翟1 ) ( m + 1 ) :( 可:( 如) ) m + 1 ) 一( 碟( k ) ) ( m + 2 ) 硝1 ( 形;:) ) ( 州) = ( i 2 b 一 ) 】( k - ) ) ( 碟驯”) + b i f ) ( “) h ) 型$ 高,仃妒,( ) ( r 攀( 可2 ( 。n ) ) + f 。( k ( “) ) ) + 吼眦。御m k a x ,删( f ( 0 ( 嗽一t ) ) + 妣n ) + q ;:) ( 圳 一 ( 矽( 铀) 卅( 钆) ) ( 吼州) ) 【卅 + 玳洲i n a ( 咿xm 唧吼n ) ) 嘲圳 + 础洲。越删m ( 札a x 。彬。k 。) ) f q ) ( 啪一t ) ) + 珊n ) + 帆n 一 由归纳假设:( 至磐( t 。) ,乏分( k ) ) c ( 型( 靠) ,可( 如) ) ,所以 卅( 而5 :) ) ( ”州( ;硝( 一 ) 一) - 1 ) ) ( ( 铡( 如- 1 ) ) ( m ) 一( 碟- 1 ) ) m ) , 再由归纳假设,4 9 ( 可矿! ) 【m + ) 0 ,所以( 雨:) m “0 ,即( 可2 1 ( “一。) ) ( m ( 驴! ( t 。) ) m + 甜同理可证:( 竣( k 。) ) ( m + z s ( 鲻( “一。) ) ( m + ”最后我们有:型妒+ 1 ( t n ) 冬 ! 磐+ 2 ( 如) 仃妒+ 2 ( k ) se 咿+ 1 ( t 。) 成立。由数学归纳法可知, 酵( k ) 酵+ 1 ( t 。) 卯+ 1 ( k ) s 筇( t 。) m = o ,1 ,2 由上式可知: e 咿( “) ) 和 堑( “) 都是单调有界序列,因此它们的极限 存在设: 点矿( n ) = 玩( 如) ,l 骢型:m ( 如) = u n ( 靠)7 n _ 十o 。t 1 8 则e 1 | j 满足l 0 a j 瓦。 在迭代格式( 3 2 ) 中,令m - 。,则易知玩( k ) ,翌 ( “) 满足方程组( 3 4 ) 。 以下证对每一个m ,可妒( k ) 及翌1 ( 。) 仍为( 2 ,1 1 9 ) 的一对联立上下解。 对任意的( k ) = ( 谨1 ( t 。) ,w m ( t 。) ) t ( 酚( t 。) ,卯( “) ) ,由( 3 2 ) 的第 一式有: ( 州t 。) + ;趔( t 。一j ) ) ( 群) ( m ) = 一b 阢。) r 妒簖( 。) ) m ) + ( 绺( 。 ) o ( t - d ) ( 礤( 址) ) m _ 1 ) + b 1 1 州m & x 卯叫( 删咖n ) 伊嘲圳 删( 。触m k a x 。) 卵叫( 札。) ) f q ) ( 一- ) ) + 靴n ) + 批州) = ( ;b g ( t 。一;) 一j “) ( t n z ) ) ( 可! ( t n 一,) ) ( r n ) + 口f ( “) f ( z ( 谨1 ( 亡n ) ,碟卜1 ( “) ,( - - u ( 1 ( t 。) ) ( m ) ,讼。+ 1 ( “) ,一,w m ( “) ) + b i ( 厶一1 ) f ( f ) ( k ( 如一1 ) ) + 硝( 如) + q ( k 一1 ) + ( 矬2 ( k ) 一川址t ) ) ( ( 礤( 铀) ) 一) 一( 帮( 钆) ) m ) 删k ) ( 妒m 1 ) ( a x k 埘( 哗帆扑f 。( 啡川) 一f ( 垤1 ( t 。) ,蛾h ( t 。) ,( 碟( “) ) ( ,瞻( t 。) ,碛m ( t 。) ) + r ( 仃:( t 。) ) ) 卵( f ) ( 。- k ) 妨叫m a x - 1 ) 矿1 ) ( “,) ) f ( 0 m 。”邯“1 ( 吲h 。 ) 因为( 鲮“( t 。) ,域”( t 。) ) c ( 蛾“叫( t 。) ,磅_ 1 ( t 。) ) ,所以 喇。( m a x , ( 凹咖n ) 删嘲圳 2 ,m 、a x 。、( r 垤( t 。) + f ( 。( 1 名( 。) ) ) h ( t 。) ( 坚,( k ) 。可r ( t 。) ) 同理 m a x ,、 f ( f ) ( k ( n 1 ) ) ,m ,a x , h ( 。一1 ) ( 型p - z ) ( t 。一1 ) ,砚m 叫( h 一1 ) )“( t 。一1 ) ( 丛护( t - i 】,盯护( 。一1 f ( ( k ( t 。一1 ) ) 1 9 又因为b f ) ( t 。) o , ;b ( 如一 ) 一j q ) ( k 一1 ) o ,所以 ( ) + ;硝( 靠一 ) ) ( 残( 如) ) ( ”) ( ;趔t n - j ) 一沁州) ) ( 残( 址1 ) ) ( m ) + b i ( t 。) f ( ( 瞻1 ( 亡n ) ,略卜1 ( k ) ,( 碟( k ) ) m ) ,v h ( 1 - f 1 ) ( “) ,w m l ( 亡n ) ) + b i ( t 。一1 ) f ( 1 ( ( t 。一1 ) ) + 碟( t 。) + q 2 ( t 。一1 ) 同理可证 ( 弘谗。) + 秘( 钆) ) 凹) ) ( m ) 。琶甄( m - m “) ( 3 ) 玩( 如) = 瓯( t 。) 或对某一m ,刁铲( 。) = v _ i ( 亡0 ) 。 ( 4 ) 引理3 i 条件成立 则由迭代格式( 3 2 ) 产生的序列 可扩( 如) ) 及 至搿( t 。) ) 收敛于( 21 1 9 ) 在区间

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