（计算数学专业论文）高维抛物型方程的高精度差分格式的构造与研究.pdf

摘要 在研究熬传导方程，气体扩散现象和电磁场的传播等同题时，常常遇到弛物氆偏微分 方程，用差分方法求解此类问题，需构造出高精度、高稳定，存储星与计算量都要小的差 分格式本文对常见高维抛物型偏微分方程进行了数值方法的研究，以及方法在抛物型偏 微分方程的具体应用和实现数值实验表明了理论分析的正确性和所建立差分格式的有效 性 本文重点对高维问题用两种差分方法进行理论研究与分析在第一章绪论中，主要介 绍了本文所研究问题的实际背景，回顾了抛物型偏微分方程问题发展历史及发展现状，简 单介绍了有关差分方法与本文所构造的差分格式在第二章中，用待定系数法对高维抛物 型偏微分方程构造出了高精度，稳定性较好的显式差分格式在第三章中，对高维抛物型 偏微分方程构造出了高精度且绝对稳定的交替方向隐式差分格式( a d i 格式) 及相关格式 ( l o d 格式) ，并对a d i 格式的算法进行了外推，从而进一步提高了精度后两章分别对 格式的截断误差阶和稳定性进行了分析，每章结尾的数值例子对前面的分析给出了验证 关键词；待定系数法，高精度，截断误差，显式差分格式，交替方向隐式差分格式，l o d 格式 a b s t r a c t w eo f t e nm e e tp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h e nw es t u d yt h ep r o b l e m s o fh e a t - c o n d u c t i o np r o c e s s ，g a sd i f f u s i o na n dd i s s e m i n a t i o no fe l e c t r o m a g n e t i c ，s o l v i n g s u c hp r o b l e m sb yu s i n gd i f f e r e n c em e t h o d ，t h ed i f f e r e n c es c h e m eo fh i g h - o r d e ra c c u r a c y h i g hs t a b i l i t y 、l 铅ss t o r a g ea n dc a l c u l a t ea m o u n t sn e e dt ob ec o n s t r u c t e d t h en u m e r i c a l m e t h o df o rh i g h - d i m e n s i o n a lp a r a b o l mp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ss t u d i e di nt h i sp a p e r ， a sw e l la st h ec o n c r e t ea p p l i e sa n dr e a l i z a t i o no f t h i sm e t h o di np a r a b o l mp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h en u m e r i c a le x p e r i m e n ts h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d t h ec o r r e c t n e 嬲o ft h eg i v i n gd i f f e r e n c es c h e m e t h et h e o r yr e s e a r c ha n da n a l y s i si sc o n d u c t e di nt h i sp a p e r ，m a i n l yf o rh i g h - d i m e n s i o n a l p r o b l e m sb yu s i n gt w od i f f e r e n c em e t h o d s i nt h ec o n d u c t i o n o fc h a p t e r1 ，t h ea c t u a l b a c k g r o u n do ft h i sp a p e rs t u d i e di sm a i n l yi n t r o d u c e d ，a n dt h ed e v e l o p m e n th i s t o r ya n d t h ep r e s e n ts i t u a t i o ni sr e c o l l e c t e d ，t h e nt h er e l e v a n td i f f e r e n c em e t h o da n dt h ed i f i e r - e n c es c h e m ec o n s t r u c t e di nt h i sp a p e ri 8s i m p l yi n t r o d u c e d 。i nc h a p t e r2 t h es c h e m eo f h i g h - o r d e ra c c u r a c y ，f a i f l yg o o ds t a b i l i t ye x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ef o rh i g h - d i m e n s i o n a l p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n s t r u c t e db yu s i n gu n d e t e r m i n e dp a r a m e t e r s m e t h o d i nc h a p t e r3 ，t h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ( a d is c h e m e ) a n dt h er e l a t e ds c h e m e ( l o ds c h e m e ) f o rh i g h d i m e n s i o n a lp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sc o n s t r u c t e d ，a n dt h ee x t r a p o l a t i o nt ot h ea l g o r i t h mo fa d is c h e m ei sc a r r i e d o n t h u st h ea c c u r a c yi sf u r t h e ri n c r e a s e d t h et r u n c a t i o ne r r o ra n ds t a b i l i t yi sa n a l i z e d r e s p e c t i v e l yi nt h el a t t e rt w oc h a p t e r s ，a n da tt h ee n do fe a c hc h a p t e r ，t h ef r o n ta n a l y s i s i sc o n f o r m e db yu s i n gn u m e r i c a le x a m p l e k e yw o r d s ：u n d e t e r m i n e dp a r a m e t e r sm e t h o d ，h i g h - o r d e ra c c u r a c y , t r u n c a t i o n e r r o r ，e x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e l o d s c h e m e i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 关于论文使用授权的说明 己、l9 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：笸塑鱼重导师签名：璺亟曼、日期： 3 1 毛、 1 1 引言 第一章绪论 偏微分方程的研究已有悠久的历史，由于它与各种技术科学及多种理论分析的紧密联 系，从十九世纪以来它一直是数学科学的中心支柱之一。但由于它的复杂性和困难性，它 很少形成全面的，一般的理论体系许多领域中的数学模型都可用偏微分方程来描述，许 多重要的物理，力学学科的基本方程本身就是偏微分方程，但绝大多数此类偏微分方程定 解问题的解不能以实用的解析形式来表示，这就产生了理论与应用的矛盾为解决上述矛 盾许多研究人员进行数值解研究，近半个世纪来，微分方程的数值方法成为不仅是数学学 科，而且是很多学科领域的一种重要研究手段和方法【l 】时至今日，微分方程的数值方法 现主要有有限差分方法和有限元法，另外还出现了边界元，混合有限元、谱方法，有限体 积方法等，其中有限差分方法仍然是求解微分方程数值解中比较有效的方法之一 抛物型方程的差分方法是数值求解偏微分方程的个经典问题早在1 9 1 0 年r i c h a r d - s o n 就构造了一个求解抛物型方程的差分格式，并在当时没有高速电子计算机的条件下用 人工进行了一些计算，不过在有了电子计算机以后，特别是5 0 年代建立了偏微分方程 差分格式的理论以后，得出r i c h a r d s o n 格式【2 l 是一个绝对不稳定的格式1 9 2 8 年， c o u r a n t ，f r i e d r i c h s 与l a x 对这种方法作了完整的论述【3 】此后，随着其他学科和工程技 术发展的需要，电子计算机的诞生与发展为差分方法提供了强有力的工具，目前对于线性 偏微分方程定解问题，此方法已形成了较成熟的算法格式与软件，并能对其进行较完善的 理论分析，对于非线性问题，有效的算法及理论分析正在迅速发展中1 4 】 1 2 差分方法概述 用差分方法求解微分方程定解问题，主要思想是利用t a y l o r 展开式把方程z 和t 方 向离散，求解离散点的近似解来逼近原问题的真解重点解决以下几个问题。首先是差分 格式的构造，即解决方程和定解条件的差分逼近问题其次是差分格式的理论分析，即讨 论差分格式的相容性，稳定性及收敛性问题最后是数值实验，即通过数值例子验证理论 分析的正确性和格式的有效性要构造出好的差分格式，需较好解决上述几个问题 第一章绪论 1 3 本文差分格式构造简介 1 待定系数法该方法是构造差分格式的常用方法，使用该方法时，先给出含参数的 差分格式或差分算子，然后适当选取参数，使差分方程或差分算子逼近所论的微分方程或 微分算子的逼近阶尽可能的高，且有较好的稳定性 2 交替方向法该方法通过将高维问题化为一系列一维问题进行求解，然后求解一 系列三对角方程组就可以得到数值解，该方法稳定性很好，且计算量较小 目前已知的大量文献都是关于一维问题的研究，本文重点对高维问题用以上两种差分 方法进行理论研究与分析，构造出了精度高、计算量小、稳定性尚好的差分格式，数值实 验证明了理论分析的正确性和格式的有效性 2 第二章用待定系数法构造高精度差分格式 对二维和二维以上的抛物型方程，文【5 6 】构造出了精度高且绝对稳定的差分格 式，其截断误差阶达到o f f 24 - h 4 ) ，但却是三层隐式格式，常因计算量和存储量都很大而 难以使用，文【7 1 3 给出了三层高精度显式格式，但稳定性条件都比较苛刻，都长期徘 徊在网比r 1 8 或1 4 由此看来，对于高维的抛物型方程，构造能显式计算，稳定性能良好且精度较高的差 分格式，便具有十分明显的理论意义和使用价值文【1 4 】构造出了一类对如下的任何p 维空间变量的热传导方程。 i 警= 妻鬻2 枷。，班则娜t j j = 。 iu p l ，z 2 ，和，0 ) = ，( z 1 ，x 2 ，唧) ，( x l ，x 2 ，酃) r iu ( x l ，x 2 ，铷，t ) = g ( x l ，勋，却，t ) ，( x l ，勋，勖) 勰0 s t t 都适用的、分支绝对稳定的显式差分格式其中r = 0 x j 1 ，j = 1 ，2 ，p ，o r 为区域 r 的边界这样避免了解线性代数方程组，大大减少了计算工作量，且格式绝对稳定但 其不足的是格式的精度不高，截断误差仅为d ( r 2 + 舻) ，为了提高格式的精度而保持格式 的显式计算和较好的稳定性，文【1 5 1 9 构造出了较好符合上述要求的格式，这些格式 在文【1 6 】的基础上用增加节点和改变节点上网格函数值的组合系数来提高格式的精度 对四维情形，用待定系数法构造高精度的差分格式，此时文中格式所用节点为0 ，k ，f ，p ， n ) 和菱形节点r u ，k ，f p ，n ) ，其中r = 霸y ，z ，埘，。0 ，k ，z ，p ，n ) = 0 ，k 4 - 1 ，f ，p ，n ) ，u ，七，z 士 1 ，p ，n ) ( j ，k ，z ，p 士1 ，仃) ) ，余者类推矩形节点。口o ，k ，z ，n ) ，其中t 口= x y ，茹# ，茹伽，y z ，y w ，刎， 硝口红后，l 弘彩= f k ，z 士1 ，p - 4 - 1 ，妨l 余者类推，立方块节点。口k ，z ，a n ) ，其中 让= 马l ，z ，t l ，。口= u ，k 士1 ，z - 4 - 1 ，p 4 - 1 ，n ) ) ，余者类推 对五维情形，用待定系数法构造高精度的差分格式，此时文中格式所用节点为( 蟊j ，k ，f p n ) 和菱形节点r ( 1 ，j ，k ，z ，p ，n ) ，其中冗= z ，y ，z ，伽，g ，。( 蟊j ，k ，z ，p ，n ) = ( i j 士l ，k ，z ，p ，礼) ( t ，j ，k + l ，z ，p ，n ) ，( ，j ，k ，l - 4 - 1 ，p ，仃) ( t ，j ，k ，f ，p 4 - 1 ，n ) ) ，余者类推矩形节点。d ( i ，j ，k ，z ，p ，n ) ， 其中让口= x y ，茹z ，x w ，x g ，y z ，y w ，y g ，z , w ，z g ，w g ，u d ( j ，k ，z ，p ，n ) = ( i 4 - 1 ，j + 1 ，k ，：，p ，n ) ) ，余 者类推立方块节点。n ( i ，j ，k ，z ，p ，n ) ，其中t = x y ，z 彳，x w ，x g ，y z ，y w ，y g ，z 叫，z g ，w g ，鲫口= 3 第二章用待定系数法构造高精度差分格式 ( ，j ，k + l ，1 + 1 ，p 士l ，n ) 余者类推在这些节点的基础上，增加立方体节点。o ( t ，j ，后，z ，p ，n ) ， 其中钍= 茹，! ，名，伽，g ，。o ( i ，j ，z ，p ，n ) = ( ，j4 - 1 ，七4 - 1 ，z4 - 1 ，p 4 - 1 ，n ) ) ，余者类推 2 1 四维问题格式的构造 考虑区域d ： o z ，y ，z ，钮1 ，0 t t ) 上的四维抛物型方程的第一边值问题。 抛 a 2 ua 2 0 2 u a 2 u 瓦2 丽+ 酽+ 砑- i 一一o w 2 训。：o = 白，g ，伽，t ) ，t i ；l = 五白，z ，硼，t ) u l f ；o = ，3 ( z ，z ，w ，t ) ，“i 口：1 = ，4 ( 。，z ，1 1 3 ，t ) “i ；= 0 = ( 石，y ，t u ，t ) ，珏l ：= 1 = ( z ，! ， t o ，t ) t i ：0 = 厂7 ( z ，y ，z ，t ) ，u i 。：1 = 凡( z ，y ，z ，t ) u j t ：o = y o ( 卫，y ，z ，t 口) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 解上述问题的古典显格式f 2 0 】精度不高，截断误差仅为o ( r + h 2 ) ，文 1 4 中的显格式精 度较高，截断误差为o ( t 2 + 2 ) ，文【1 3 】构造了高精度显格式，截断误差阶达到0 0 - 2 + 4 ) ， 但稳定性条件r 1 6 较为苛刻，本文构造的显格式保持了文【1 3 】格式的高精度性，但将 稳定性条件改善为r 3 s ，计算工作量可以减少很多 用时间步长下，空间步长h 剖分d 节点( ，y k ，忍，w p ，如) 记为u ，毛f ，p ，扎) ，用如下的 含参数差分方程逼近微分方程( 2 1 ) ： 1 t 【咏净+ ( 吼+ 啦( ；) + r a ll + 钒口) q n - f p l 】= ( 鹾+ 露+ 磅+ 皖) ( 啦咄l p + 啦叼屈) + 蛭( 2 。+ 印口+ 。口+ 。，口) + 瑶( 2 口+ 列口+ 舻口+ u t o 口) + q ( 2 ：+ 。：口+ f ；口 + ；”口) + 皖( 2 ”+ 一口+ 删口+ 。”口) j ( 聊t 像l p + 伽2 0 n 脚- 1 ) ( 2 7 ) 其中咏l p = g + f + 。+ ”) t 岱l p 口蟛n 细= g 口+ f 口+ z 口+ ”口) 叼 口咏细= ( z f 口+ z ；口+ 一口+ f z 口+ 胖口+ 一口) 叼如 $ q k 助= 彤n + 1 j 护+ 乱一1 护+ t 唆七j + 1 护+ 孙j 一1 炉+ 屯哆七j 护+ l + 哆孙，j 护一1 铆口咏l p = 嘶，k , + l p + i + 屹一1 扩h + t 孙j + l 矿。l + 譬孙j 一1 p 一1 $ 口味扣= 吆+ l h l 卅1 + 皑i 一1 ，l + l 升l + 吃一1 j 一1 卅l + 吆k + l l 一1 ，舛1 4 第二章用待定系数法构造高精度差分格式 t 是关于t 的一阶向前差商，绣，霹，砖，皖，是关于。，名， 二阶中心差商m 一) 8 为 待定参数，将( 2 7 ) 中各节点让在u ，k ，f ，p ，n ) 处展开，可得 ( 1 + ，7 1 + 8 7 2 + 2 4 仍+ 3 2 班) 雾+ ；( 1 一，7 l 一8 ，7 2 2 4 ，7 3 3 2 m ) 下筹+ ( 啦+ 6 啦 锄彬c 筹+ 象+ 筹：筹删岛+ 鑫+ 簇+ 赫 + 赫+ 淼) ) = ( 橘+ 舶+ 2 4 研+ 2 4 伽) 筹一( 珊+ 2 4 咖豢+ 壶 + 懦+ z 4 研+ 。a 啦妒( 豢+ 券+ 骞+ 翥) + 。旧+ 啦艄畚+ 淼 +旦o+旦+急+蒜)+dp埘删x20w2 o y 2 0 2 2 。却2 a 2 a z 2 ，伽2 。、。7 当懦= 0 ，7 l = - 1 + 2 4 铂+ 6 4 伽+ 2 4 价+ 2 4 z s ，啦= 一铆3 1 2 t _ 4 + 6 聊+ 6 伽，啦= l + 1 2 r t r + 3 6 ，伽= - 1 + 3 6 研+ 1 2 啦时令a = 仉+ 3 r s r ，b = 聊+ 啦，可得含参数a 和 其中 咐n + l p l = l 仳孙扣+ z 哟n 七- 如1 ( 2 8 ) 2 2 差分格式( 2 8 ) 的稳定性 与( 2 8 ) 等价的两层方程组为， 缸j n 坳+ l = l 乱孙细+ z 咏扫，y 裂譬= t 像咖 令咏细= 铲e 印【l + 如+ 劬+ 必) 】，嚷l p = 矿e 印【i + 却+ 坤+ 必) 】，i = 厂l 得， = 怯地m 1 2 刊钆鳓 篙 撕钟 十咕 州劬 的 孰 挖 +“阶 阶 叶 一 咖 誊| 以 一 曲 纵 + 阻 阻 + = = 嗡锚 第二章用待定系数法构造高精度差分格式 垆8 i n ：半+ s i n 2 掣+ 8 i n 2 竽+ s i n 2 掣耐华+ s i n 2 半 + 8 i n 2 旦三卫+ 8 i n 2 生；兰+ 8 i n 2 + s i n 2 竺三兰+ 8 i n 2 竺；+ s i n 2 竺；f 0 1 2 1 222222 - ：三军笨：篁：摹二：筝+ s i n 2 毕+ s i n 2 竺掣+ 8 i n 2 生掣+ s i n 2 掣+ 8 i n 2 掣 州n 2 半抽2 半+ s i n 2 半+ 8 i n 2 掣+ s i n 2 学 定理当网比r 0 a 一且+ c = 1 + m 1 1 一m 1 2 = 4 0 + 1 2 b 一6 4 a + 9 6 b r 一8 r 1 0 由引理1 知( 2 9 ) 根i a l ，2 f 1 ，引理2 的( i ) 成立，引理2 的( i i ) 成立的充要条件是使 1 一；瑶= 峨+ 4 晒2 = o 成立的8 1 , 8 2 ，8 3 或者不存在，或者不属于【o ，4 】【o ，1 2 【o ，1 6 6 第二章用待定系数法构造高精度差分格式 由1 一；碥= o 与螈+ 4 1 1 4 1 2 = o ，得尬2 = 一l ，但实际尬2 = 一1 + 7 2 b 一 4 s l ( - 1 2 a + 6 b + 3 6 b r r ) 一4 a s 3 - 1 ，即使m , 2 = - 1 的s l ，8 2 ，s 3 并不存在 综上所述，可知当定理条件满足时，差分格式( 2 8 ) 稳定 2 3 五维问题格式的构造 考虑区域d ： o z ，y ，z ，硼，g 1 ，0 t t 上的五维抛物型方程的初边值问题， a ua 2 a 2 沪牡伊“伊t 瓦2 丽+ 万+ 丽+ 丽+ 万 让i 删= 只( 暑，名，t 正，g ，t ) ，u i 。= 1 = j ( 暑，z ，伽，g ，t ) t i l ，= o = 玛( 为z ，伽，g ，t ) ，t l 护l = f 4 ( 为z ，w ，g ，t ) “i 。= 0 = 晶( 。，y ，t 正，g ，t ) ，乱i 。= 1 = f 8 ( z ，y ，叫，g ，t ) 缸k - - - - 0 = f 7 p ，y ，五g ，力，乱j 。：1 = 玛p ，y ，z ，玑力 牡1 9 ：0 = 局0 ，y ，z ，埘，t ) ，让1 9 ；1 = f l o c x ，y ，z 9 伽，t ) 仳l k 0 = f o p ，y ，z ，w ，g ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) 用时间步长r ，空间步长h 剖分d 节点( 以，珊，z k ，叫l ，卯，t 。) 记为( i ，j ，七，z ，p ，n ) ，用如 下的含参数差分方程逼近微分方程( 2 1 0 ) ： 。【咏l p + ( 叩1 + 7 2 ( ；) + 7 3 口+ 铂口+ 啦。) 心n k - l p l 】 = ( 鹾+ 霹+ 磅+ 咒+ 露) ( 伽咏肇+ 研巧n 脚- i ) + 【醒( 1 2 z + 3 ( 妒口+ 妒口+ 坩口+ 卵口+ 一口+ 哪口) + 4 ( 。f 口+ 。口+ 。口+ 卵口) ) + 霹( 1 2 + 3 ( z = 口+ 一口+ 卯口+ 卵口+ 口+ 螂r 口) + 4 ( 鲫口+ ，。口+ 舭口+ 卯口) ) + 霹( 1 2 ：+ 3 ( 。，口+ 。埘口+ z g 口+ 掣9 口+ 舯。口+ 钟9 口) + 4 ( $ ：口+ 掣。口+ 伽：口+ 卵口) ) + 磅( 1 2 ”+ 3 ( 卸口+ 影口+ 卵i - 1 + 妒口+ 坩口- t - 。g 口) + 4 ( $ 埘口+ p 埘口+ 伽。1 ：3 + 叫叠口) ) + 霹( 1 2 t ，+ 3 ( 删口+ 口+ z ”口+ 妒口+ f ”口+ ：”口) + 4 ( z 9 口+ 卯口+ 卵口+ 螂口) ) 】( 啦+ 伪q n k - 加1 ) ( 2 1 7 ) 7 第二章用待定系数法构造高精度差分橙式 ( 1 + 吼+ 1 0 ，7 2 + 4 0 v r 3 + 8 0 啦+ 8 0 儒) 雾+ ；( 1 一叩l 一1 0 啦一4 0 铂一8 0 , 4 二悠筝0 2 u 篡1 舞妻滗：掣垂 + 铷1 4 4 ( m 妒( 岛+ 淼+ 丽a uv 十w 瓣a , + 赫 + 嘉+ 薪+ 淼o z 2 + 赫o z 2 + 黑o wo g ) + o p 州。勘2 抛21 曲2 却2 。 a 叫2 曲2 。 22 。 7 u 巧n + 脚l = l 仳3 七咖+ z 札玎n - - 七细1 8 ( 2 一1 8 ) 整三童旦鲎室墨墼鳖塑丝壹整鏖叁坌堑塞 其中 l 缸孚坳= 【2 2 4 0 口一1 4 4 6 1 4 4 0 b r 一1 0 r + ( 3 2 。一7 2 6 + 4 8 打+ r ) ( ；) + ( 一口+ 1 2 打) 。】蟛坳 z n - 女i p i = 【一1 + 2 4 0 。+ 1 4 4 6 4 3 2 0 b r + 1 0 r + ( 一3 2 口+ 7 2 6 + 4 3 2 6 r r ) ( ：) + n 。】札苏五 2 4 差分格式( 2 1 8 ) 的稳定性 与( 2 1 8 ) 式等价的两层方程组为。 u u 巧n + 坳l = l 哟坳+ z 唱脚，n + 脚l = 喝脚 令吗脚= 铲e 印口( 徊+ 如+ 枷+ k + 胛) 】，喝i p = 矿e 印【砸p + j 妒+ 脚+ k + 钟) 】，j = ，可，得； 舻 尬。尬。1 【秒j2 【。拖j ； = g 扣t ，眈，船，以， ： m n = 2 2 4 0 a 一1 4 4 b 一1 4 4 0 b r 一1 0 r + ( 3 2 a 一7 2 b + 4 8 b r + r ) 0 0 一4 s 1 ) + ( 一a + 1 2 b r ) ( 8 0 4 8 4 ) ，m 2 1 = 1 m 1 2 = 一1 + 2 4 0 a + 1 4 4 b 一4 3 2 0 b r + l o r + ( - 3 2 a + 7 2 b + 4 3 2 b r r ) ( 1 0 一4 s 1 ) + a ( 8 0 4 s 4 ) ，m s = 0 ：三：荦：象举蹿怒牛缸。半+ 耋n 。学耐年+ 玉牛 + 8 i i l 2 牢掣+ s i n 2 掣锄z 牛+ 删宰+ 甜华+ b i n 。掌耐啐+ + s i n 2 鼍+ s i n 2 旱 ：主i n ：髫s + i n 笨：i n 答 + s2 竺掣+2 竺掣+ 82 竺掣+ 9 + s i n 2 生# s t n 2 坚声+ 十l兰生。澎五。 8 f 产 “ 口 咖 妒一 + 十 +一2妒一 7 一 妒一 二2 二2澎五。 筝 g 2 + 昌 第二章用待定系数法构造高精度差分格式 是 + s i n 2 掣+ s i n 2 掣生+ 群掣! + 甜毕一l - s i n 23 型阜 + 甜坐箬+ s i n 2 掣+ s i n 2 下0 + 芳- 7 + s i n 2 毕+ s i n 2 下7 + i o - 0 + s i n 2 j 噶坐+ s i n 2 盟擎+ 8 i n 2 - + - 乳，- - - - 妒+ 甜盟挲+ 甜生掣 佃n 2 掣+ 。舒生弛州n 2 牢+ 。舻掣+ 6 i n 2 单 + s i n z 中! + 咖z 丛+ 。酽丛掣+ s i n 2 单! + s i n 2 坚竽 + s i n 。! 噬生+ 8 i n 2 生掣+ s i n 2 堕拿+ s i n 2 - ”- - - t 卢- - 堇- 1 - s i n 2 韭每 舻b i n 2 生掣+ 。玉生等坚鼻s i n 2 生掣+ s i n 2 生掣 “n 。堕掣t - s i n 2 生哆+ s i n 2 生学+ s i n 2 生掣 “n 2 生哮业+ s i n 2 生! 哮幽+ s i n 2 业毒业+ s i n 。业辱幽 “n 2 坐掣+ s i n 2 生粤+ 。i n 。生粤+ s i n 2 生尝 + 咖z 生嘻业+ s i n 。生哗幽+ s i n 2 生峨+ 。i n z 生学纽 + 咖z 丛掣+ s i n 2 生粤+ 8 i n 2 生粤+ 8 i n 2 生尝 + 咖z 丛靼+ s i n 。生尝+ 8 i n 2 生尝“n 2 生警 “n 。生唼型+ s i n 2 生啐型+ s i n 2 业辛盟一fs i n 2 生哮也 + 。舒坚掣+ s i n 2 生学+ s i n 2 坚尝+ s i n 2 盟粤 + s i n 2 生掣+ 。舻止粤+ 咖。坚单_ i - s i q 生粤 易知8 1 o ，5 】，8 2 【o ，2 0 ，8 3 【o ，4 0 1 ，8 4 【0 ，4 0 】 其特征方程为ta 2 一尬l a 一尬2 = 0( 2 1 9 ) 引理1 【2 1 】实系数二次方程a a 2 + b a + c = 0 ( a 0 ) 的两根按模小于1 的充要条件 a c 0 ，a + b + c 0 ，a b + c 0 引理2 嘲差分格式( 2 1 8 ) 稳定，l z p 矩p $ 族m s ( s l ，8 2 ，8 3 ，8 4 ) 一致有界的充要条件 是( i ) i a l ，2 l 1 ，( a 1 ，2 为传播矩阵特征根) ， ( i i ) n o ( ( 1 一；i 尬l + 尬2 1 2 ) ) n o ( i ( 尬l 一舰2 ) 2 + 4 尬2 尬1 1 ) c _ n o ( ( m i l 一舰2 ) 2 ) n n o ( 啦) nn o ( m 刍) 其中n o ( e ( s z ，8 2 ，8 3 ，乳) ) 表示多项式e ( 8 1 ，8 2 ，s 3 ，8 4 ) 在区域 0 ，5 】 【0 ，2 0 】【0 ，4 0 0 ，4 0 】上所有实根的集合 一筮三耋星鲎室墨墼鳖塑造壹塑鏖董坌堡塞 定理当网比r 2 5 ，且参数n _ 4 ( 1 + 2 8 8 b 一2 4 0 a 4 - 1 4 4 0 b r 一1 0 r ) 0 由引理1 知( 2 1 9 ) 式根i a l ，2 i 1 ，引理2 的( i ) 成立，引理2 的( i i ) 成立的充要条件是 使1 扣蠊= m 2 1 + 4 矗2 = 0 成立的8 1 ，8 2 ，8 3 或者不存在，或者不属于f o ，5 】【o ，2 0 【o ，4 0 】【0 ，4 0 1 由1 一言碥= 0 与哪+ 4 m 1 2 = 0 ，得尬2 = 一1 ，但实际m 1 2 = 一1 + 8 6 4 b 一 4 s l ( 一3 2 a + 7 2 b + 4 3 2 b r r ) 一4 a s 4 - - 1 ，即使尬2 = 一1 的8 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 并不存在 综上所述，可知当定理条件满足时，差分格式( 2 1 8 ) 稳定 2 5 数值例子 例1 考虑区域d ： o z ，y ，z ，ws1 ，0 t 研的初边值问题； a t 俨“ 伊钍a 2 钍沪钍 瓦2 丽十丽+ 丽+ 一o w 2 u i 忙o = s i n ( x + 暑，+ z + 伽) t 正 x = o = e - 4 t s i n ( y + z + 伽) ，t z = l - - - - e - 4 ts i n ( 1 + ! ，+ z + 叫) ( 2 - 2 0 1 训f ：0 = e - 4 t s i n ( z + z + 伽) ，乱i p ：l = e - 4 t s i n ( x - i - 1 + z + 伽) u l ；：o = e - - 4 t s i n ( x4 - 秽+ 加) ，u l = ：l = e 一础s i n ( x + y + 1 + 伽) u l ：o = e 一础s i n ( x 4 - 暑，4 - z ) ，札l ：1 = e - 4 t s i n ( x + y + z 4 - 1 ) 在格式( 2 8 ) 中，取r = i 1 ，h = 面1 ，下= 而1 ，口= 一丽1 ，6 = 面1 ，满足稳定条件，计 算到礼= 2 0 0 时与精确值和文【1 4 】格式比较结果如下 1 1 第二章用待定系数法构造高精度差分格式 r = 1 4 0 ，詹，f ，p ) 精确解( 2 - 8 ) 格式文【1 4 】格式 ( 1 , 1 ，1 ，1 ) o 0 5 2 7 0 2 0 3 0 0 5 2 7 0 2 0 20 0 5 2 6 8 8 2 9 ( 5 , 5 ，5 ，5 ) 0 1 2 3 0 6 0 0 10 1 2 3 0 5 9 6 80 1 2 2 7 7 6 2 1 ( 7 ，7 ，7 ，7 ) 0 0 4 5 3 3 5 7 0 0 0 4 5 3 3 5 5 80 0 4 5 2 3 0 9 3 从上表可见本文格式较文【1 4 】格式精度提高= 位以上有效数字 例2 考虑区域d ： o $ ，! ，。，伽，g 1 ，0 t ? 的初边值问题 a 缸0 2 ua 2 ua 2 札a 2 ua 2 u 瓦2 孬十丽十弘十丽十丽 u i t ：0 = s i n ( x + y + 2 + 埘+ g ) u 1 2 ：0 = e 一5 。s i n ( y + z + 埘+ 夕) ，牡i # l = e 一5 s i n ( 1 + ! ，+ z + 钾+ g ) “i f = o = e - 5 ts i n ( x + z + w + g ) ，u i 掣= l = e - 5 t s i n ( x + 1 + 名+ 伽+ 夕) ( 2 2 1 ) u i ：o = e 一乳s i n ( x + 暑+ 伽+ 9 ) ，i ；：l = e - s t s i n ( x + y + 1 + 伽+ g ) i ：0 = e 一5 。s i n ( x + 童，+ z + 9 ) ，训 ：1 = e 一研s i n ( x + 暑+ z + 1 + g ) t l i 雪= 0 = e 一乳s i n ( x + 暑+ 名+ 叫) ，u 1 9 = 1 = e - s t s i n ( x + y + 名+ w + 1 ) 在格式( 2 1 8 ) 中，取r = ；， = 而1 ，丁= 而1 ，。= 一而1 ，6 = 未_ ，满足稳定条件，计算 到n = 2 0 0 时与精确值比较结果如下， r = 1 4 ( i ，j ，k ，j 力 精确解( 2 1 8 ) 格式 ( 1 , 1 ，1 ，1 ，1 ) 0 3 9 3 5 3 6 4 2 2 8 e - 0 10 3 9 3 5 3 5 7 8 4 5 b 0 1 ( 5 , 5 ，5 ，5 ，5 ) 0 4 9 1 2 5 5 7 9 0 2 8 0 10 4 9 1 2 4 6 8 9 4 8 8 0 1 ( 7 ，7 ，7 ，7 ，7 ) 0 2 8 7 9 4 0 4 2 6 3 e - 0 1 0 2 8 7 9 3 9 3 4 0 3 e - 0 1 由上表看出本文格式解与精确解有较好的吻合，这表明理论分析是正确的 第三章交替方向隐格式及相关格式 在三维情况下，其模型问题为 豢：曩+ 耄+ 黧， ( o 墨y ，z 1 ，0 一tst ) ( 3 1 ) 瓦2 否十丽芦十否万， 【u z ，2 0 而b 0 ，于是b a 0 显然成立 又由于 2 a + 暑= 2 一；( s 。+ 勋+ s a ) + ( 8 产+ ；) ( 8 1 3 2 - i - 8 1 韶+ s 2 s s ) + 1 6 ( 尹一i l r 2 + 1 r 一去) s s z s 。 = ；( 3 确咄咄) + 弘即z ( 3 - s 3 ) - 8 1 s 3 ( 3 吨) + s 2 s s ( 3 咄) ) + 刍郴。( 3 咱) + ；s s ( 8 1 + 8 2 ) + 1 6 r ( r 2 + 壶) 饷s s o 则一2 b a 也成立，注意到格式( 3 9 ) 与( 3 1 0 ) 的等价性，可得解方程( 3 1 ) 的a d i 格式( 3 一i 0 ) 绝对稳定观察格式( 3 一1 0 ) 可以看出它是分别在毛y ，z 方向交替 使用一维隐格式的结果，每个时问层上只需解三个三对角的方程组，可用追赶法求解，因 此计算鼍小 3 1 4 过渡层边界条件的处理 在使用交替方向隐式差分格式( 3 一1 0 ) 解微分方程问题( 3 1 ) 一( 3 5 ) 时，除 了需要t 吼，f 和吩n ，+ l 在边界处的值外，还需要n ，+ w l 3 ，“，+ k y 23 在边界处的值，由边界条件 第三章交替方向隐格式及相关格式 ( 3 2 ) 一( 3 4 ) 和( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 两式，可得到格式( 3 1 0 ) 中过渡层的边界条件为 y 3 = a ( k t x 玑z z ，n t ) + ( 1 一互1 ( r 一：) 霹) ( 1 一互1 ( r 一；) 鳄) ( ( 七分，l a z ，+ 1 ) a t ) 一，l ( k a y ，z z ，n a t ) ) n 肘- 1 ，- 1 3 = ，2 ( 七，z n t ) + ( 1 一；p 一：) 霹) ( 1 一互1 ( r 一：) 霹) ( ，2 ( 七掣，l a z ，m + 1 ) a t ) 一h ( k y ，i a z ，n a t ) ) 嵋盖妒= 9 1 0 岱，i a z ，n a t ) + ( 1 一；( r 一；) ) ( g l ( j a z ，i a z ，+ 1 ) a t ) 一g l u x ，l a z ，n a t ) ) 璐3 = 9 2 ( j z ，i a z ，n a t ) + ( 1 一；( r 一；) 霹) ( 卯( j a x ，l a z ，+ 1 ) t ) 一仍o 霸i a z ，n a t ) ) 其中j ，k ，f _ 1 ，2 ，m 一1 3 1 5 数值饲子 在区域d ： o z ，y ，z 1 ，t o ) 上对初边值问题 o ua 2 钍a 2 u俨乱 瓦2 弘+ 帝+ 弘 u l , ；0 = s i n ( x + y + z 1 u l z ：0 = e 一3 s i n ( y + z ) ，u l z ；1 = e - s t s i n ( 1 + ! ，+ 孑) u l ”：0 = e 一越s i n ( x + z ) ，u l ，：l = e - - 3 t s i n ( x + 1 + z ) i z ：0 = e - 3 t s i n ( x + 秒) ，u l 。：l = e 一乳s i n ( x + 掣+ 1 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 用本文格式( 3 1 0 ) 和文【1 4 】格式求数值解并与精确解u ( x ，y ，z ，t ) = e 一缸s i n ( x + 甜+ z ) 相比较，在使用格式( 3 1 0 ) 进行计算时，其过渡层的边界条件可按( 3 1 6 ) 一( 3 1 9 ) 式处理取z = a