（计算数学专业论文）非线性问题空间分解法的收敛性.pdf

摘要 本文主要讨论了一类非线性问题的空间分解算法及其收敛性定理。文中利 罚最优化中的水平集技巧，将已有的收敛性定理推广，即将全局性条件削弱为 面部性条件，还降低了对泛函光滑性的要求，使所得结果应用范围扩大，可包 晤最小曲面问题等对应的非一致椭圆算予，从本质上改进了已有结果，最后一 蕈给出了数值例子。 关键词：非线性问题，空间分解法，s c h w a r z 算法，渐近几何收敛，最小 曲面问题，水平集 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，as p a c ed e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rn o n l i n e a rp r o b l e m sa n di t s c o n v e r g e n c ea r ed i s c u s s e db yu s i n gat e c h n i q u eo f l e v e ls e ti no p t i m i z a t i o nt h e o r y t h ee x i s t e dc o n v e r g e n c et h e o r yi sg e n e r a l i z e d ，iel o c a la s s u m p t i o n su s e dt ot a k et h e p l a c eo fg l o b a lo n e s ，i nt h em e a n t i m er e q u i r e m e n tf o rs m o o t h n e s so ff u n c t i o ni s r e d u c e dh e n c et h er e s u l t sc a nb ea p p l i e dt os o m e u n i f o r m l ye l l i p t i co p e r a t o r ss u c h a so n ei nm i n i m a ls u r f a c ep r o b l e m i nt h el a s t c h a p t e gn u m e r i c a le x a m p l e sa r e g i v e n k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp r o b l e m ，s p a c ed e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，s c h w a r za l g o r i t h m ， a s y m p t o t i c a l l yg e o m e t r i cc o n v e r g e n c e ，m i n i m a ls u r f a c ep r o b l e m ，l e v e ls e t 第一章引 言 区域分解法是于十九世纪末提出。于二十世纪八十年代得到迅速发展。至今已在为求解 偏微分边值问题的个重要方法，见文 i - 1 2 】及其文献，线性问题的研究已较为完善，非线 性问题却有待进一步的研究和发展而许多数学物理及工程问题都归结为非线性问题，因而 研究非线性问题具有重要意义 s c h w a r z 算法历史最久而又十分重要的一类区域分解法，它产生于百余年前，二十世纪六 十年代开始用于数值方法，八十年代后期以来迅速发展在一九八七年第一次区域分解国际会 议上，pl l i o n s ( 1 3 1 ) 提出了用空间分解作为区域分解法理论基础一九九二年j cx u ( 1 4 】) 把人们有为重视的多重网格法也纳入空间分解的框架，进一步用空间分解的观点研究区域分 解法和多重网格法x c1 k 自九十年代以来对空间分解法作了较系统的研究，见文 1 5 - 1 8 但他的理论有较大的局限性，他在文 1 5 中给出的一类空间分解法的渐近几何收敛的定理 不仅对泛函光滑性要求高而且其理论分析所提条件中的常数均为全局性常数，因而不能用 于很多非线性椭圆方程。特别是非一致椭圆方程，例如最小蓝面方程本文降低了对泛函光 滑性的要求，而且通过最优化中的技巧将全局性常及削弱为局部性常数，并得到同样的收敛 率，这使所得结果应用范围大为扩大，可包括最小曲面问题等对应的非一致椭圆算子 本文将主要讨论用空间分解法求解下列极值问题； 设l 为自反b a n a c h 空间，f 为v 上泛函，求v ，使 f ( “) 5 吵f ( ”) ( 1 1 用空间分解法求解( 11 ) 时，将空间y 分解为 v = 巧+ 巧十1 l 然后在k ( i = 1 ，2 ，一，m ) 上求解较小甚至较简单的问题我们并用数值试验表明，计算结 果与理论相符 本文安排如下：第二章我们叙述问题( 1 1 ) 的空间分解算法，并给出初步改进的收敛性 定理。降低其对泛函光滑性的要求；第三章给出避一步改进的收敛定理，将其全局性常数削 弱为局部性常效；第四章给出类非线性问题有限元逼近的区域分解算法，并用第二，三章 的结果证明算法的收敛性质；第五章给出上述算法的数值试验 1 第二章带全局常数的收敛性定理 【15 3 给出了一类空间分解法的收敛定理，它要求泛函三次连续可微本章放宽了这一条 件，证明了两个渐近几何收敛性定理，改进了 1 5 1 的结果同时。本章还对问题和算法作了 较深刻的分析 2 1 算法与假设 为求解问题( 11 ) ，我们给出算法一 算法a 步l 步2 步3 步4 取“? k ，d ， 0 ，o l + 口m 墨1 ，i = 1 ， ，me o o ，n = 0 并行解子问题：求i ? + k ，使 求“? + 时一般采用迭代法，即构造序列 u ? + ”u ? + 扣，“? + ( 2 2 当采用n e w t o n 法或拟n e w t o n 法时，序列具有超线性收敛性，从而 充分大时成立( 参看 c 1 9 ) 0 “：1 + 5 ，一矗? + 5 l 矿 “? + 5 + 1 一u ? + 5 ， 因此在实际计算时条件( 2 2 ) 可用以下条件代替： u ? + 5 + 1 一u ? + 5 l ，ss 。i u ? 一u ? + 5 | 。l i y l u ? + 5 l + 1 一u ? + 5 ，l | ，l ， 由于计算中“? n ? ”，而女_ 。时罅+ ，_ 。? ，u y 5 ，+ 1 一u ? + ，- 0 ，因此上式即 忖毛1 一u n + 忙彘忪一辞“4 9 虬 朋 一 如 l l l 、f 啡 ， + i 嵋 皓 蹦 w ，一v f 0 ，使得 f ( t 王j ) 一f ( u ) l l v ，se l i 埘一 | l y 、 v u ，埘v( 23 k 1 1 w u i 融 v u ，山v( 24 ) ，；三 c 。( 薹 j “；) v 2 ( 薹 i 品) 2 ， - ( j u 。 jl i 品) ， j 2 l t - i = 1 v w i j v ，u i ，v j 巧 ( 2 ，5 ) 由条件( 2 3 ) 和( 2 4 ) 可知f 是强凸的，问题( 11 ) 与( 2 1 ) 均有唯一解 令= 、层可万f 可可万面( j i 了，n = o ，i ，2 ，由条件( 2 4 ) ，e 。有意义，且可作 为误差“一u 的一种度量，因为e 。_ 0 ( n _ ) 等价于u 兀一+ u ( u 一十。o ) 对于空间分解，我们假设( 参看m 1 4 ) 有常数c 2 0 ，使对任何u n 存在叭k 满足 ”= 眵s 四 ( 26 ) 为保证收敛性，我们要求s o 较小，即满足 0 ( 1 一e o ) 1 es 暑( 27 ) 上式右端显然小于或等于l 4 顺便指出， 15 中关于o 的条件应换为( 2 7 ) 为宜，因为 1 5 】 在推导该条件时计算上有疏忽 2 2 收敛性定理 在我们证明收敛定理之前，先来看与这个定理相关的两个引理 引理2 1 如果条件( 2 3 ) 和( 2 4 ) 成立，则泛函f 满足： ，( 珊) 一f ( ”) 三 + 虿k f ( 加) 一f 扣) s + ； i a t 擘l , 由t a y l o r 展开公式。得 w 一# 幅，y v ，v( 2 8 j 一 “ ， v ，m y ( 2g ) f ( ) = f ( ) 十 + ； ( 2 1 0 ) 3 即将f ( v ) 移至左端，即得 f ( ) 一f ( ”) = + ； ( 2 l ) 其中为u 与”之间的某一点而由g 可导定义，有 又由c 2 4 ) 知 故 l i r a 三! ! 竖! ! 竺二1 2 1 ：竺二! 三二s ! ：竖! ! 竺二! 三 t _ + 0 z ：l i 。曼! 篮型竺二盟；! ! 堕塑二堕三( 2 1 1 ) t _ 0t 2k t 2 一u i 吾 将上式代入( 2 1 0 7 ) 得 另一方面，由( 2 3 ) 有 ，、删一v l l ； f ( 。) 一f ( 。) 2 + 要。一。 ； 茎l ij f 幢4 - t ( w u ) ) 一f 7 ( f ) | f rj | 一 v 茎l t 2 一u 旧 结合( 2 1 1 ) ，得 l l l w 一 吾 将上式代入( 2 1 ) ，即得 r f ( 叫) 一f ( ”) + 百“l l w 一 i i 移 引理证毕 引理22 设条件( 2 3 ) 至( 2 7 ) 成立， “) 由算法a 产生，则成立 其中 k 2 ( e “+ 1 ) 2s4 锘【f ( 矿) 一f ( u “+ 1 ) n = 0 ，l ，2 ，一，( 21 2 ) c p = c t 伤k i ( 1 咱) 一1 + a 主“ 4 证，记w ? + = 女“+ u ? “，西? + 5 = * i “2 + i ? “，则( 2 1 ) 等价于 = 0 ， v k( 2 1 3 ) 又因为由算法 的步3 ，有 扩“= u ? ” = u ? + 峨( u ? “一u ? ) = u n + n t ( u 垮一u ? ) = 。，f u “+ “y 5 一“? ) + f l 一 = 薹。；婶+ + ( t 一姜n 。) u n 而且，由f 2 2 j 又可有 即 n + ，n + u u t 。 s 。舾n 一“? + 眇 s 。( u “一u ? + 5 v + i i u ? + 5 一d ? + 5 v ) “? “一“川 于是由，的凸性，引理2 1 ，f 2 1 4 ) ，( 2 】1 ) ，( 27 ) 和f 2 ，1 5 ) 推出 ，f f n ) 一f ( u n + 1 ) = f l u ) 一，f u ，+ + l = 1“) ，( 矿) e ；姜- , ( f ( ”p ) ，小矿5 ) + i k p m f t 卜矿刘 垫( f ( 5 ) 一，) ，u p ) + 等纠h 嘭 5 ( 21 4 21 5 1 扩 、， o 。 一妻。，w 卅( t b 烀u 删， + 等薹a t f l u ? 一u ? + 5 i i ： 2 等参护屺 一c 妻。”；一卜u 州1 2 等墨1 2 等冬 t 咖) 1 吼壹i = l 讣? 札u ? 忆 对。n + l u 甩条件( 26 ) ，即取也k ，使 再令“= u ? “一，则 u ”1 一u = 札 m ；“ l = l 且 。 。 i i “? “岫i 哆= 恻赆酬u 时1 一u 幅 t = l l = i 叉因为 = 0 ，v v 所以得 8 “+ 1 ) 2 = = m = w一 1 ， + n l u 1 2 + 茸 ，一 + n “f 吼 一 + n i u n “p + + 西 f n uf 一 十 n uf p 一 + 睇 哼 一 + 哼 + 擘 f 。川 m = v 求和得 s4 0 凡。i f ( i l n - 1 ) _ f ( “) = 4 四k 一2 ( f ( i i 0 ) 一f ( t i n ) 】 4 c ；k 一2 f ( “o ) 一f ( “) 】 故n _ + 。时，e “_ + 0 现在证明本章的两个渐近几何收敛性定理 定理2 l 设引理2 2 条件成立，且f “满足l i p s c h i t z 条件，即 f ”( ) 一f “( u ) i i 7 i l 一v lj v w ，口v 其中 风：意憋e n + i ，c ，锄心2 ，c ：2 q 膨 ”“一k 2 + 2 c ：孑一g 。一。“一 1 。 证：由t a y l o r 公式，得 ( 21 6 尸( u “) 一f ( “) = + j 1 f 7 7 ( u + 目4 ( “n u ) ) ( u n 一“) 2 ( 21 8 ) f ( u ) 一f ( “n + 1 ) = 一 一i l f 7 ( u + 口“+ ( “n + 1 一u ) ) ( u n + l u ) 2 ( 2 1 9 ) 其中目“，俨+ 1 0 ，1 将( 2 1 8 ) 与( 2 1 9 ) 两式相加，并考虑到真解u 的性质： = 0 ， v u v 以及( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式，我们得到 f ( u n ) 一f ( u ”1 ) = ；( e 。) 2 一；( e n + 1 ) 2 + f t + 如， ( 22 0 ) 其中 = ；f ”( “+ 口“( “一u ) ) ( u “一“) 2 一； 厶= 一j 1 f ”( “+ p “+ 1 ( “n 一u ) ) ( u “+ l u ) 2 + ； r 矾 p 一。 对式22 将证 一一 一( 一 f 丽 2 = 矿 风 洲 熙 则 且 对，中第二项用中值定理得到 ，- = ；f ”( u + 目“( u n u ) ) ( u n u ) 2 一；f “( u + 自“( “一u ) ) ( u n u ) ： = ； f ( “+ 目“( “一u ) ) 一f ”( “+ d “( “n u ) ) j ( u n u ) ： ! ；j j f ”( u + 口”( “”一u ) ) 一f ”( u + d “( “n 一“) ) j j ，i ”u n 一。j j ； 扣“一u 旧 s ；赤) 3 类似地，对止中第二项用中值定理，得到 ，2 = 一j 1 ，j b + l ( u ”1 叫) ( u ”1 叫。+ ( u + 驴+ i ( 。州_ u ) ) ( 。n “叫： = ；( “+ 舻1 ( u 叫一u j ) f ，( u + z ( 。一一。) ) j ( 。一一。) 。 茎； f ”( u + 占n + 1 ( u “十l u ) ) 一f “( u + 日n + z ( 。n + - 一。) ) i i v 。n + ，一。i i 移 s ；上k 3 1 2 ( 1 ) 3 令g = 2 q 凡3 ，3 + 将1 1 ，如的估计式代入( 2 1 7 ) ，得 即卜脚”1 ) 扣) 2 抄+ 甲+ j 而1 ( e n + 1 ) 3 + i 3 1 丽l f ) a 又由引理22 耳2 f + 1 ) 2 2 印( e “) 2 2 印e “+ i ) 2 + g ( e j 3 + g ( 。n ) 3 整理得 ( k 2 + 2 口一o p “+ 1 ) ( e n + 1 ) 21 ( 2 四+ g e n ) ( e n ) 2 邵得 ( e “+ 1 ) 2s 风( e “) 2 其中p 。= 菇象笔嘉 因此 瓤风= 南 l ， 其中c = 2 四k 2 ，定理证毕 。! ：竺警孳我们知n _ o 。盹扩- + o ，所以当n 充分大时，有e “ 簸和e n + - 鲑 从而当n 充分大时有风 1 9 若不需写出风的显式表达式，则定理2 1 的条件可减弱为f ”连续， 定理2 2 设引理2 2 的条件成立，且f ”连续则 e n + 1 ) 2s 风( e n ) 2 n = 0 ，l ，2 且 熙如：而cc ：警 证：显然( 2 i7 ) 式在定理22 条件下也成立： 对，t 的第二项用中值定理，得 ；( e “+ 1 ) 2 + f 1 + 如( 22 1 ；f ”( “+ 口“( u n 一“) ) ( u n 一“) 2 i 1 ； f ( u + 目“( “一u ) ) 一f 7 7 ( u + 舀”( u “一u ) ) i ( “n u ) 3 ；i l f 7 ( u + 目“( “n 一“) ) 一f 7 ( “+ 百”( “n 一“) ) i f y | | “n u i 睁 型k a l = ( u + 怖”一u j 因为f ”连续，所以有 1 “垒；k - a 2 f “( “+ 目”( u n 一“) ) 一f 7 7 ( “+ 驴( “一u ) ) - 0 ，( n - + 。) ( 2 2 2 因此 类似地，对如有 如= 一；( f “( u 十口”+ 1 ( “”+ j 一“) ) + ；，( “+ 驴+ 1 ( u “+ - 一u ”1 ( u 一+ - 一u ) 。 s ；f 7 ( u + d “+ 1 ( u n + l u ) ) 一f ( u + 日n + 1 ( u n + - 一u ) ) y ll u + - - - l i b s ；k q ( e ”1 ) 2 f ，( u + 舻1 ( u ，一u ) ) 一f ，( u + 舻( - 一u ) ) v 强为f n 连续所以南 矿垒；k - a ，2 i f ”+ 驴+ 1 ( u + l - u ) ) 一f ，( u + 一1 ( u + 1 - u ) ) 】- o 因此 l o 又由引理2 2 中的( 2 1 0 ) 式。得 即 ( ，2 + 2 c ；) ( e “+ 1 ) 2s2 印( e ”) 2 + 叩”( e “) 2 一厅”( e “+ 1 ) 2 从( 22 2 ) 和( 22 3 ) 式知，当n 充分大时。有矿 k 2 2 那么 风= 磊 t 因此 定理证毕 恕风= 丽c 0 ，o t i 0 ，q l + + d ms l ，u ? k ， = l ，一，m ；n ：= 0 ； 步2 得近似解。? “，要求 u ? + 5 一“? + 5 l m i n ! 。i i u ? 一i ? + 5 f i ，d ) i = 1 ，+ ，m ： ( 37 步4 达到预定要求则输出h ”1 = 三lu ? ”，否则n ：= n + i ，转步2 注l ( 37 ) 中的d 仅在理论证明中用到，实际计算时可去掉，但( 37 ) 中i ? + 未知，实 际计算时可用下式代替： 忖 1 一u 掣忙熹忪一u p m 其中u ? + 。为u ”ij 的第k 次近似当用具有超线性收敛的算法( 例如n e w t o n 法) 求解 ( 3 6 ) 时，这种代替是合理的( 参看 1 9 1 ) 由条件( 32 ) 可推知e n = 、，层了可万广1 可可忑f 二百j 可作为误差“n 一“的一种度量 由( 3 2 ) 还可知f 严格凸，故( 11 ) 与( 3 6 ) 均有唯一解关于空间分解( 3 5 ) 我们假设( 参 看 1 l4 j ) 有常数c 使得对任何”v ，存在”。k ，满足 蓦蕊舛c l ( 3 。) l 墨。52 l 、7 集 3 2 收敛性定理 引理3 1 设( 3 2 ) 成立，则f 为v 上凸泛函且水平集s m = 口v ：f ( ) m ) 为凸 证明；首先证明f 在y 上为凸的 因为v v ，t ) v ，有 = 。1 + i m 。5 二! 旦竺l ! j ；二三业 = 舰0 型坠芝2 竺丛坠t _ +t 1 3 饼 ， 使 垫( 州h j ) 十挚新i u ? 癸 一 一一 一 争静”1 掣+ 5 眩 一到，婶“坞) 叫( 曲) p q - i b n 挚纠妒掣+ 。屺 ，萎a 刮“一i i u p 5 忆 从而f ( u k + 2 ) f ( u + 1 ) sf ( u 。) ，故u k + 2 s ( o ) ，故当n = + 1 时，( 31 5 ) 也成立，综上 所述对任何非负整数n ，( 31 5 ) 成立 现来证( 3 1 3 ) 式，我们还将用到估计式( 注意( 3 1 8 ) ) ： f u ? 一吱? + 5 f i ， 兰 j u ? 一u ? + 5 j j ，+ j u ? + 5 一吐? + 5 j j ， 1 2 蚤蕃( f ”( 纠( 哼+ 1 一哼) ，曰“一计) 一妻( ，”( 矗) 一。? ) 心“优)= lj = l= 、 ，o。， 1 8 o 。 啦 铀 一 h 皓 啮 女 一 一 母 眦 啦 。言 挚竿 一 一 其中f 。= 反矿+ 1 + ( 1 一矗) 。，毛= 废u n + 1 + ( 1 一口) 西? + 、p n 1 】因为出? + 5 s ( o ) ，而 由引理3 l 知s ( o ) 是凸的，所以f 。i s ( o ) cs ( 1 ) 于是再由条件( 3 2 ) 和( 33 ) 及式( 3 1 5 ) 和f 32 0 ) ，推出 s c 。，( 姜i | u ? + ；一“? jj ：) 5 ( 薹j l u ? + 1 l i ；) 5 + o 妻忪一i 叫伊1 讪忆 ( 别矿5 ( 剽u + i _ v i1 v ) 5 喜。，l | 。? 一u ? + ； ：) 5 ( 娄l l u ? + l 一；l ；) 5 墨赢f 妻讣，q 叫”叫i v + ) ( 1 咄) i 。fo q 忙“叫2 删妒”叫 r 5 c ( a 圭。嘶一：i 嘶小咱厂) 志( 脚卜脚州) ) 刮“ 墨。 4 枷f ( u “) 一f ( u 叫) ) 5 未再可两f 币丽矿石 ：g 卜引f ( 。n ) 一f t ) ) rk 奄一 所以 1 q 志州卅一r 砾1 = 急m ) _ f + 1 ) 卜 即 ；( 1 ) ( 矿“) 2s4 q f ( “”) 一f ( u ”1 ) 引理证毕 注2 若u n + = u ”，则扩+ 1 = u “，迭代停止因为e o i ，故由( 3 7 ) 推知 “? + i ：。? + = “? ，i ：1 ，m 1 9 于是由( 3 1 4 ) ，得 = 0 ，咖v 从而“= u 即驴为真解 2 若u n + u n ，则由( 3 1 5 ) 知 f ( 矿+ 1 ) f ( u “) 特别地。若u “o ，记 雪( 1 ) = u v ：f ( ) sf ( u 1 ) ，j = d i s t ( g ( 1 ) ，p s ( o ) ) 则可在n 1 时( 37 ) 式中的j 代替d 、从而可在( 31 2 ) 和( 3 1 3 ) 中以s ( o ) 代替s ( 1 ) 推论3 i 在引理3 3 的条件下，算法b 是收敛的，即n - o 。时，e ”_ 0 证，将( 3 1 3 ) 式对n = 0 ，i ，2 ，求和，得 n n ( e “) 2 s 4 四k 菇) f ( u i - i ) 一f ( 矿) i = ll = t = 4 c ；茹) f ( “。) 一f ( “”) s4 c ；k 晶1 【f ( u o ) 一f ( u ) ) 故n _ o 。时，e n _ 0 推论证毕 现在证明本文的主要结果，两个带局部常数的渐近几何收敛性定理 定理3 1 设引理3 3 条件成立，且f ”在s m 上满足l i p s c h i t z 条件，即 f ”( ) 一f ”( ) y 7 | | w 一 | | v v w ，u s m j l l 9 ( e n + 1 ) 2 s 风( e “) 2 n = 0 ，l ，2 ，( 3 2 1 ) 且 l i r a 3 。= 南， ( 3 2 2 ) 其中风= 币萎精，g = 南，c = 簪 证t 由t a y l o r 公式。得 f ( “) 一，( u ) = + i i ，”( u + 扩( u n u ) ) ( u n u ) 2 ( 3 2 3 ) 脚) 一f ( b n + 1 ) = 一 一；川u + 1 ( u n + 1 一训( u 1 一妒( 3 2 4 ) 9 n 其中卯，0 ”“【0 1 将( 32 3 ) 式与( 32 4 ) 式相加，并考虑到真解u 的性质 = 0 v v v 以及条件( 31 ) 和( 32 ) ，我们得到 = ；( e n ) 2 一；( e “+ 1 ) 2 + ，t + 如( 3 2 5 其中 ，。= ；f 1 u + 口“( “”一u ) ) ( u n 一“) 2 j 1 ， f ，= 一；f7 ( u + 日“+ 1 ( u “+ l u ) ) ( u “+ l u ) 2 + ； f ( u n + 1 ) 对，：中第二项用中值定理，得到 ，。 = ；f ”( “+ 目“( u n u ) ) ( “n 一“) 2 一；f ”( u + 百”( u “一u ) ) ( u n 一“) 2 = ： f ，( 。十目n ( 。n 一。) ) 一f ，( 。十驴( u n 一“) ) 1 ( “n 一“) ： s ；l i e7 7 ( + b n ( u n u ) ) 一f7 7 ( u + d “( u n u ) ) y u n u i ： 曼扣“u 防 类似地，对如中第二项用中值定理，得到 一；f ”( “+ 目“+ 1 ( “n + i u ) ) ( “n + 1 一u 1 2 十；f ”( u + 占n + 1 ( u n + i u ) ) ( “n + l 一“) 2 扣，( u + 驴+ 1 ( u n + 1 _ u ) ) 一( u + 1 ( u _ u ) ) 】( u - u ) 3 ；i f “( u + 自“+ 1 ( u “+ 1 一u ) ) 一f ”( u + 口“+ 1 一“) | 1 v “n + 1 一“1 1 扣一“旧 礴y - 、( 1 ) 3 令g = 遘素，将“，2 的估计式代入( 3 2 5 ) ，得 删- f ( 一1 ) 知2 一妒1 ) ，+ 赢f + 1 ) 3 + 毒) 3 又由引理3 3 巧；“e 1 ) 2s2 四( e “) 2 2 四( e n + 1 ) 24 - e r ( e n + 1 ) 34 - g r ( e “) 3 2 1 整理得 即得 其中 ( ；( 1 ) + 2 嘭一g e n + 1 ) ( e “+ 1 ) 2 ( 2 q + c r e “) ( e “) 2 风= ( e ”+ 1 ) 2s 风( e “) 2 因此 ， e 概“2 再z ， 其中c = 害譬，定理证毕 一s n l 若不需要写出口。的显式表达式，则定理3l 的f “l i p s c h i t z 连续这一条件可减弱为f 7 ， 连续 定理32 设引理3 3 的条件成立，且f ”连续。则 ( e “+ 1 ) 2s 口。( e “) 2 ，n = 0 ，l ，2 且 ，堍风= 南， 其中，c = 蒜 证：显然( 3 1 5 ) 式在定理32 条件下也成立： f ( “) 一f (